घात वाले समीकरण समाधान के उदाहरण हैं। एक घातीय समीकरण क्या है और इसे कैसे हल किया जाए

घातीय समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उनके लिए जो "बहुत अधिक ...")

क्या हुआ है घातीय समीकरण? यह एक समीकरण है जिसमें अज्ञात (x) और उनके साथ व्यंजक हैं संकेतककुछ डिग्री। और केवल वहाँ! क्या यह महत्वपूर्ण है।

वहां आप हैं घातीय समीकरणों के उदाहरण:

3 x 2 x = 8 x + 3

टिप्पणी! डिग्री के आधार में (नीचे) - केवल संख्याएँ. में संकेतकडिग्री (ऊपर) - एक्स के साथ भावों की एक विस्तृत विविधता। यदि, अचानक, एक्स संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में प्रकट होता है, उदाहरण के लिए:

यह मिश्रित प्रकार का समीकरण होगा। ऐसे समीकरणों को हल करने के स्पष्ट नियम नहीं होते। अभी हम उन पर विचार नहीं करेंगे। यहां हम निपटेंगे घातीय समीकरणों का समाधानअपने शुद्धतम रूप में।

वास्तव में, शुद्ध घातीय समीकरण भी हमेशा स्पष्ट रूप से हल नहीं होते हैं। लेकिन कुछ प्रकार के घातीय समीकरण हैं जिन्हें हल किया जा सकता है और किया जाना चाहिए। ये वे प्रकार हैं जिन्हें हम देख रहे होंगे।

सबसे सरल घातीय समीकरणों का समाधान।

आइए कुछ बहुत ही बुनियादी बात से शुरू करें। उदाहरण के लिए:

बिना किसी सिद्धांत के भी, सरल चयन से यह स्पष्ट है कि x = 2. और कुछ नहीं, सही !? कोई अन्य x मान रोल नहीं करता है। और अब आइए इस पेचीदा घातीय समीकरण के हल को देखें:

हमने क्या किया है? हम, वास्तव में, बस एक ही बॉटम्स (ट्रिपल) को बाहर फेंक देते हैं। पूरी तरह से बाहर कर दिया। और, क्या अच्छा है, निशान मारो!

दरअसल, अगर घातीय समीकरण में बाईं ओर और दाईं ओर हैं जो उसीकिसी भी डिग्री में संख्या, इन नंबरों को हटाया जा सकता है और समान घातांक। गणित अनुमति देता है। यह बहुत सरल समीकरण को हल करने के लिए बना हुआ है। यह अच्छा है, है ना?)

हालांकि, आइए विडंबना याद रखें: आप आधारों को तभी हटा सकते हैं जब बाएँ और दाएँ आधार संख्याएँ शानदार अलगाव में हों!बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के। आइए समीकरणों में कहते हैं:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , या

आप डबल्स नहीं निकाल सकते!

ठीक है, हम सबसे महत्वपूर्ण बात में महारत हासिल कर चुके हैं। दुष्ट घातीय व्यंजकों से सरल समीकरणों की ओर कैसे बढ़ें।

"यहाँ वे समय हैं!" - आप बताओ। "नियंत्रण और परीक्षा पर इतना आदिम कौन देगा!"

सहमत होने के लिए मजबूर। कोई नहीं होगा। लेकिन अब आप जानते हैं कि भ्रमित करने वाले उदाहरणों को हल करते समय कहां जाना है। इसे ध्यान में रखना जरूरी है, जब वही आधार संख्या बाईं ओर - दाईं ओर हो। तब सब आसान हो जाएगा। दरअसल, यह गणित का क्लासिक्स है। हम मूल उदाहरण लेते हैं और इसे वांछित में बदल देते हैं हमदिमाग। गणित के नियमों के अनुसार, बिल्कुल।

उन उदाहरणों पर विचार करें जिन्हें उन्हें सरलतम रूप में लाने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयासों की आवश्यकता होती है। चलो उन्हें बुलाओ सरल घातीय समीकरण।

सरल घातीय समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

घातीय समीकरणों को हल करते समय, मुख्य नियम हैं शक्तियों के साथ कार्रवाई।इन कार्यों के ज्ञान के बिना कुछ भी काम नहीं करेगा।

डिग्री वाले कार्यों के लिए, व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता को जोड़ना चाहिए। क्या हमें समान आधार संख्याओं की आवश्यकता है? इसलिए हम उन्हें एक स्पष्ट या एन्क्रिप्टेड रूप में उदाहरण में ढूंढ रहे हैं।

आइए देखें कि यह व्यवहार में कैसे किया जाता है?

आइए हमें एक उदाहरण दें:

2 2x - 8 x+1 = 0

पहली नज़र मैदान।वे... वे अलग हैं! दो और आठ। लेकिन अभी निराश होना जल्दबाजी होगी। इसे याद करने का समय आ गया है

दो और आठ डिग्री के रिश्तेदार हैं।) इसे लिखना काफी संभव है:

8 x+1 = (2 3) x+1

यदि हम शक्तियों के साथ क्रियाओं के सूत्र को याद करते हैं:

(एन) एम = एक एनएम,

यह आम तौर पर बहुत अच्छा काम करता है:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

मूल उदाहरण ऐसा दिखाई देता है:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

हम हस्तांतरण 2 3 (एक्स+1)दाईं ओर (किसी ने गणित की प्रारंभिक क्रियाओं को रद्द नहीं किया!), हमें मिलता है:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

व्यावहारिक रूप से बस इतना ही। ठिकानों को हटाना:

हम इस राक्षस को हल करते हैं और प्राप्त करते हैं

यह सही जवाब है।

इस उदाहरण में, दो की शक्तियों को जानने से हमें मदद मिली। हम पहचान कीआठ में, एन्क्रिप्टेड ड्यूस। यह तकनीक (विभिन्न संख्याओं के तहत सामान्य आधारों को कूटबद्ध करना) घातीय समीकरणों में एक बहुत लोकप्रिय चाल है! हाँ, लघुगणक में भी। संख्याओं में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने में सक्षम होना चाहिए। घातीय समीकरणों को हल करने के लिए यह अत्यंत महत्वपूर्ण है।

तथ्य यह है कि किसी संख्या को किसी भी घात तक बढ़ाना कोई समस्या नहीं है। गुणा करें, कागज के एक टुकड़े पर भी, और बस इतना ही। उदाहरण के लिए, हर कोई 3 को पाँचवीं शक्ति तक बढ़ा सकता है। यदि आप गुणा तालिका जानते हैं तो 243 निकलेगा।) लेकिन घातीय समीकरणों में, अधिक बार यह आवश्यक है कि किसी शक्ति को न बढ़ाया जाए, बल्कि इसके विपरीत ... किस संख्या में किस हद तक 243 नंबर के पीछे छिपा है, या कहें, 343... यहां कोई कैलकुलेटर आपकी मदद नहीं करेगा।

आपको कुछ संख्याओं की शक्तियों को दृष्टि से जानने की आवश्यकता है, हाँ ... क्या हम अभ्यास करें?

निर्धारित करें कि कौन सी शक्तियाँ और कौन सी संख्याएँ संख्याएँ हैं:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

उत्तर (बेशक गड़बड़ी में!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

अगर आप गौर से देखेंगे तो आपको एक अजीबोगरीब तथ्य नजर आएगा। सवालों से ज्यादा जवाब हैं! खैर, ऐसा होता है... उदाहरण के लिए, 2 6 , 4 3 , 8 2 सभी 64 है।

आइए मान लें कि आपने संख्याओं से परिचित होने की जानकारी पर ध्यान दिया है।) मैं आपको याद दिला दूं कि घातीय समीकरणों को हल करने के लिए, हम आवेदन करते हैं पूरागणितीय ज्ञान का भंडार। निम्न-मध्यम वर्ग से भी शामिल है। आप सीधे हाई स्कूल नहीं गए, है ना?

उदाहरण के लिए, घातीय समीकरणों को हल करते समय, सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर रखना अक्सर मदद करता है (हैलो टू ग्रेड 7!) आइए एक उदाहरण देखें:

3 2x+4 -11 9 x = 210

और फिर, पहली नज़र - आधार पर! डिग्रियों के आधार अलग-अलग हैं ... तीन और नौ। और हम चाहते हैं कि वे वही रहें। ठीक है, इस मामले में इच्छा काफी संभव है!) क्योंकि:

9 x = (3 2) x = 3 2x

डिग्री के साथ क्रियाओं के समान नियमों के अनुसार:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

यह बहुत अच्छा है, आप लिख सकते हैं:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। तो, आगे क्या है !? तीनों को बाहर नहीं फेंका जा सकता ... गतिरोध?

बिल्कुल नहीं। सबसे सार्वभौमिक और शक्तिशाली निर्णय नियम को याद रखना सभीगणित कार्य:

यदि आप नहीं जानते कि क्या करना है, तो वह करें जो आप कर सकते हैं!

तुम देखो, सब कुछ बनता है)।

इस घातीय समीकरण में क्या है कर सकनाकरना? हाँ, बाईं ओर सीधे कोष्ठकों के लिए पूछता है! 3 2x का उभयनिष्ठ गुणक स्पष्ट रूप से इसका संकेत देता है। आइए कोशिश करें, और फिर हम देखेंगे:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

उदाहरण बेहतर और बेहतर होता रहता है!

हमें याद है कि आधारों को खत्म करने के लिए, हमें बिना किसी गुणांक के शुद्ध डिग्री की आवश्यकता होती है। 70 नंबर हमें परेशान करता है। इसलिए हम समीकरण के दोनों पक्षों को 70 से विभाजित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

ओप-पा! सब ठीक हो गया है!

यह अंतिम उत्तर है।

हालाँकि, ऐसा होता है कि समान आधार पर टैक्सीिंग प्राप्त की जाती है, लेकिन उनका परिसमापन नहीं होता है। यह दूसरे प्रकार के चरघातांकी समीकरणों में होता है। आइए इस प्रकार को प्राप्त करें।

घातीय समीकरणों को हल करने में चर का परिवर्तन। उदाहरण।

आइए समीकरण को हल करें:

4 x - 3 2 x +2 = 0

पहला - हमेशा की तरह। चलिए बेस पर चलते हैं। ड्यूस को।

4 x = (2 2) x = 2 2x

हमें समीकरण मिलता है:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

और यहाँ हम लटकेंगे। पिछली तरकीबें काम नहीं करेंगी, चाहे आप इसे कैसे भी घुमाएँ। हमें शस्त्रागार से एक और शक्तिशाली और बहुमुखी तरीके से प्राप्त करना होगा। यह कहा जाता है परिवर्तनीय प्रतिस्थापन।

विधि का सार आश्चर्यजनक रूप से सरल है। एक जटिल आइकन (हमारे मामले में, 2 x) के बजाय, हम एक और, सरल एक (उदाहरण के लिए, टी) लिखते हैं। ऐसा प्रतीत होता है कि अर्थहीन प्रतिस्थापन आश्चर्यजनक परिणाम देता है!) सब कुछ स्पष्ट और समझने योग्य हो जाता है!

तो चलो

फिर 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d टी 2

हम अपने समीकरण में x की सभी शक्तियों को t से प्रतिस्थापित करते हैं:

खैर, यह शुरू हो गया है?) अभी तक द्विघात समीकरणों को नहीं भूले हैं? हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हमें मिलता है:

यहाँ, मुख्य बात यह नहीं है कि रुकना है, जैसा कि होता है ... यह अभी तक उत्तर नहीं है, हमें x की आवश्यकता है, t की नहीं। हम एक्स पर लौटते हैं, यानी। एक प्रतिस्थापन बनाना। पहले टी 1 के लिए:

वह है,

एक जड़ मिली। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:

उम... लेफ्ट 2 x, राइट 1... एक अड़चन? हाँ, बिलकुल नहीं! यह याद रखने के लिए पर्याप्त है (डिग्री के साथ क्रियाओं से, हाँ ...) कि एकता है कोईसंख्या से शून्य। कोई भी। आपको जो भी चाहिए, हम लगा देंगे। हमें दो चाहिए। साधन:

अब बस इतना ही। 2 जड़ें मिलीं:

यह उत्तर है।

पर घातीय समीकरणों को हल करनाअंत में, कुछ अजीब अभिव्यक्ति कभी-कभी प्राप्त होती है। प्रकार:

सात से, एक साधारण डिग्री के माध्यम से काम नहीं करता है। वे रिश्तेदार नहीं हैं... मैं यहां कैसे हो सकता हूं? कोई भ्रमित हो सकता है ... लेकिन वह व्यक्ति जो इस साइट पर "लघुगणक क्या है?" विषय पढ़ता है। , केवल संयम से मुस्कुराएं और दृढ़ हाथ से बिल्कुल सही उत्तर लिखें:

परीक्षा में कार्य "बी" में ऐसा कोई उत्तर नहीं हो सकता है। एक विशिष्ट संख्या आवश्यक है। लेकिन कार्यों में "सी" - आसानी से।

यह पाठ सबसे सामान्य घातीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण प्रदान करता है। आइए मुख्य को हाइलाइट करें।

व्यावहारिक सुझाव:

1. सबसे पहले हम देखते हैं मैदानडिग्री। आइए देखें कि क्या उन्हें नहीं किया जा सकता है जो उसी।आइए इसे सक्रिय रूप से उपयोग करके करने का प्रयास करें शक्तियों के साथ कार्रवाई।यह मत भूलो कि x के बिना संख्याओं को भी डिग्री में बदला जा सकता है!

2. हम घातीय समीकरण को उस रूप में लाने का प्रयास करते हैं जब बाएँ और दाएँ हैं जो उसीसंख्या किसी भी डिग्री के लिए। हम उपयोग करते हैं शक्तियों के साथ कार्रवाईऔर गुणनखंडन।संख्याओं में क्या गिना जा सकता है - हम गिनते हैं।

3. यदि दूसरी सलाह काम नहीं करती है, तो हम चर प्रतिस्थापन लागू करने का प्रयास करते हैं। नतीजा एक समीकरण हो सकता है जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। बहुधा - वर्ग। या भिन्नात्मक, जो एक वर्ग में भी कम हो जाता है।

4. घातीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको "दृष्टि से" कुछ संख्याओं की डिग्री जानने की आवश्यकता है।

हमेशा की तरह, पाठ के अंत में आपको थोड़ा हल करने के लिए आमंत्रित किया जाता है।) अपने दम पर। सरल से जटिल तक।

घातीय समीकरणों को हल करें:

अधिक मुश्किल:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 एक्स - 8 3 एक्स = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

जड़ों का उत्पाद खोजें:

2 3-x + 2 x = 9

घटित?

खैर, फिर सबसे जटिल उदाहरण (यह हल हो गया है, हालांकि, दिमाग में ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

क्या अधिक दिलचस्प है? तो यहां आपके लिए एक बुरा उदाहरण है। बढ़ी हुई कठिनाई पर काफी खींच रहा है। मैं संकेत दूंगा कि इस उदाहरण में, सभी गणितीय कार्यों को हल करने के लिए सरलता और सबसे सार्वभौमिक नियम बचाता है।)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

विश्राम के लिए एक उदाहरण सरल है):

9 2 एक्स - 4 3 एक्स = 0

और डेज़र्ट के लिए। समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए:

एक्स 3 एक्स - 9एक्स + 7 3 एक्स - 63 = 0

हां हां! यह एक मिश्रित प्रकार का समीकरण है! जिन पर हमने इस पाठ में विचार नहीं किया। और उन्हें क्या माना जाए, उन्हें हल करने की आवश्यकता है!) समीकरण को हल करने के लिए यह पाठ काफी है। खैर, सरलता की जरूरत है ... और हां, सातवीं कक्षा आपकी मदद करेगी (यह एक संकेत है!) ।

उत्तर (अव्यवस्था में, अर्धविराम द्वारा अलग किए गए):

1; 2; 3; 4; कोई समाधान नहीं है; 2; -2; -5; 4; 0.

क्या सब कुछ सफल है? महान।

एक समस्या है? कोई बात नहीं! विशेष खंड 555 में, इन सभी घातीय समीकरणों को विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ हल किया गया है। क्या, क्यों और क्यों। और, ज़ाहिर है, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों के साथ काम करने पर अतिरिक्त मूल्यवान जानकारी है। इनके साथ ही नहीं।)

विचार करने के लिए एक आखिरी मजेदार सवाल। इस पाठ में, हमने चरघातांकी समीकरणों के साथ काम किया। मैंने यहाँ ODZ के बारे में एक शब्द भी क्यों नहीं कहा?समीकरणों में यह बहुत महत्वपूर्ण बात है, वैसे...

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यह पाठ उन लोगों के लिए है जो घातीय समीकरणों को सीखना शुरू ही कर रहे हैं। हमेशा की तरह, आइए परिभाषा और सरल उदाहरणों के साथ शुरुआत करें।

यदि आप यह पाठ पढ़ रहे हैं, तो मुझे संदेह है कि आपको पहले से ही सबसे सरल समीकरणों की न्यूनतम समझ है - रैखिक और वर्ग: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ आदि। इस तरह के निर्माणों को हल करने में सक्षम होने के लिए उस विषय में "लटका" न करने के लिए नितांत आवश्यक है जिस पर अभी चर्चा की जाएगी।

तो, घातीय समीकरण। मैं आपको कुछ उदाहरण देता हूं:

\[(((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

उनमें से कुछ आपको अधिक जटिल लग सकते हैं, उनमें से कुछ, इसके विपरीत, बहुत सरल हैं। लेकिन वे सभी एक महत्वपूर्ण विशेषता से एकजुट हैं: उनके पास एक घातीय कार्य $f\left(x \right)=((a)^(x))$ है। इस प्रकार, हम परिभाषा प्रस्तुत करते हैं:

एक चरघातांकी समीकरण कोई भी समीकरण होता है जिसमें एक चरघातांकी फलन होता है, अर्थात रूप की एक अभिव्यक्ति $((ए)^(x))$। निर्दिष्ट फ़ंक्शन के अलावा, ऐसे समीकरणों में कोई अन्य बीजगणितीय निर्माण हो सकता है - बहुपद, जड़ें, त्रिकोणमिति, लघुगणक, आदि।

तो ठीक है। परिभाषा समझी। अब सवाल यह है कि इस सारी बकवास को कैसे सुलझाया जाए? उत्तर एक ही समय में सरल और जटिल दोनों है।

आइए अच्छी खबर के साथ शुरू करें: कई छात्रों के साथ मेरे अनुभव से, मैं कह सकता हूं कि उनमें से ज्यादातर के लिए, घातीय समीकरण समान लघुगणक की तुलना में बहुत आसान हैं, और इससे भी अधिक त्रिकोणमिति।

लेकिन एक बुरी खबर भी है: कभी-कभी सभी प्रकार की पाठ्यपुस्तकों और परीक्षाओं के लिए समस्याओं के संकलनकर्ता "प्रेरणा" से आते हैं, और उनका नशीली दवाओं से भरा मस्तिष्क ऐसे क्रूर समीकरण बनाने लगता है कि उन्हें हल करना न केवल छात्रों के लिए समस्याग्रस्त हो जाता है - कई शिक्षक भी ऐसी समस्याओं पर अटक जाते हैं।

हालाँकि, आइए दुखद बातों के बारे में बात न करें। और आइए उन तीन समीकरणों पर लौटते हैं जो कहानी की शुरुआत में दिए गए थे। आइए उनमें से प्रत्येक को हल करने का प्रयास करें।

पहला समीकरण: $((2)^(x))=4$। ठीक है, संख्या 4 प्राप्त करने के लिए संख्या 2 को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? शायद दूसरा? आखिरकार, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — और हमने सही संख्यात्मक समानता प्राप्त की है, अर्थात वास्तव में $x=2$। खैर, धन्यवाद, कैप, लेकिन यह समीकरण इतना सरल था कि मेरी बिल्ली भी इसे हल कर सकती थी। :)

आइए निम्नलिखित समीकरण देखें:

\[(((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

लेकिन यहां थोड़ा और मुश्किल है। कई छात्र जानते हैं कि $((5)^(2))=25$ गुणा तालिका है। कुछ को यह भी संदेह है कि $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ अनिवार्य रूप से नकारात्मक घातांक की परिभाषा है (सूत्र के समान $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

अंत में, केवल कुछ चुनिंदा लोगों का अनुमान है कि इन तथ्यों को जोड़ा जा सकता है और आउटपुट निम्न परिणाम है:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

इस प्रकार, हमारा मूल समीकरण निम्नानुसार फिर से लिखा जाएगा:

\[(((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

और अब यह पहले से ही पूरी तरह हल हो गया है! समीकरण के बाईं ओर एक घातीय कार्य है, समीकरण के दाईं ओर एक घातीय कार्य है, उनके अलावा कहीं और कुछ भी नहीं है। इसलिए, आधारों को "त्यागना" और संकेतकों को मूर्खतापूर्ण रूप से समान करना संभव है:

हमें सबसे सरल रैखिक समीकरण मिला है जिसे कोई भी छात्र केवल दो पंक्तियों में हल कर सकता है। ठीक है, चार पंक्तियों में:

\[\शुरू (संरेखित करें) और 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\अंत (संरेखित करें)\]

यदि आप यह नहीं समझते हैं कि अंतिम चार पंक्तियों में क्या हुआ, तो "रैखिक समीकरण" विषय पर लौटना सुनिश्चित करें और इसे दोहराएं। क्योंकि इस विषय को स्पष्ट रूप से आत्मसात किए बिना, आपके लिए घातीय समीकरणों को लेना जल्दबाजी होगी।

\[((9)^(x))=-3\]

अच्छा, आप कैसे तय करते हैं? पहला विचार: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, इसलिए मूल समीकरण को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

\[((\बाएं(((3)^(2)) \दाएं))^(x))=-3\]

फिर हम याद करते हैं कि एक डिग्री को एक शक्ति तक बढ़ाते समय, संकेतक गुणा किए जाते हैं:

\[((\बाएं(((3)^(2)) \दाएं))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\शुरू (संरेखित करें) और 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\अंत (संरेखित)\]

और इस तरह के निर्णय के लिए हमें ईमानदारी से योग्य ड्यूस मिलता है। हमारे लिए, एक पोकेमोन की समानता के साथ, तीन के सामने इस तीन की शक्ति के लिए ऋण चिह्न भेजा। और आप ऐसा नहीं कर सकते। और यही कारण है। त्रिगुण की विभिन्न शक्तियों पर एक नज़र डालें:

\[\begin(मैट्रिक्स) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(मैट्रिक्स)\]

इस टैबलेट को संकलित करते समय, मैंने जितनी जल्दी हो सके विकृत नहीं किया: मैंने सकारात्मक डिग्री, और नकारात्मक डिग्री, और यहां तक ​​​​कि आंशिक भी माना ... ठीक है, यहां कम से कम एक नकारात्मक संख्या कहां है? वह नहीं है! और यह नहीं हो सकता, क्योंकि एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन $y=((a)^(x))$, सबसे पहले, हमेशा केवल सकारात्मक मान लेता है (कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप एक को कितना गुणा करते हैं या दो से विभाजित करते हैं, यह अभी भी एक होगा सकारात्मक संख्या), और दूसरी बात, इस तरह के फ़ंक्शन का आधार, संख्या $a$, परिभाषा के अनुसार सकारात्मक संख्या है!

खैर, फिर समीकरण $((9)^(x))=-3$ को कैसे हल किया जाए? नहीं, कोई जड़ नहीं है। और इस अर्थ में, घातीय समीकरण द्विघात के समान हैं - कोई जड़ भी नहीं हो सकती है। लेकिन अगर द्विघात समीकरणों में जड़ों की संख्या विवेचक द्वारा निर्धारित की जाती है (विवेचक सकारात्मक है - 2 जड़ें, ऋणात्मक - कोई जड़ें नहीं), तो घातीय समीकरणों में यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि समान चिह्न के दाईं ओर क्या है।

इस प्रकार, हम मुख्य निष्कर्ष तैयार करते हैं: फॉर्म का सबसे सरल घातीय समीकरण $((a)^(x))=b$ की जड़ है अगर और केवल अगर $b>0$। इस सरल तथ्य को जानने के बाद, आप आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि आपके लिए प्रस्तावित समीकरण के मूल हैं या नहीं। वे। क्या यह इसे हल करने के लायक है या तुरंत लिख दें कि कोई जड़ नहीं है।

यह ज्ञान हमें कई बार मदद करेगा जब हमें अधिक जटिल समस्याओं को हल करना होगा। इस बीच, पर्याप्त गीत - यह घातीय समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी एल्गोरिथ्म का अध्ययन करने का समय है।

घातीय समीकरणों को कैसे हल करें

तो चलिए समस्या तैयार करते हैं। घातीय समीकरण को हल करना आवश्यक है:

\[((ए)^(x))=बी,\क्वाड ए,बी>0\]

"भोले" एल्गोरिथ्म के अनुसार जो हमने पहले इस्तेमाल किया था, संख्या $b$ को संख्या $a$ की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है:

इसके अलावा, यदि चर $x$ के बजाय कोई अभिव्यक्ति है, तो हमें एक नया समीकरण मिलेगा, जिसे पहले ही हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

\[\शुरू(संरेखित करें)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\अंत (संरेखित करें)\]

और अजीब तरह से, यह योजना लगभग 90% मामलों में काम करती है। फिर बाकी 10% का क्या? शेष 10% फॉर्म के थोड़े "स्किज़ोफ्रेनिक" घातीय समीकरण हैं:

\[(((2)^(x))=3;\चौगुना ((5)^(x))=15;\चौगुना ((4)^(2x))=11\]

3 प्राप्त करने के लिए आपको किस शक्ति के लिए 2 बढ़ाने की आवश्यकता है? पहले में? लेकिन नहीं: $((2)^(1))=2$ पर्याप्त नहीं है। क्षण में? न तो: $((2)^(2))=4$ बहुत अधिक है। तो क्या?

जानकार छात्रों ने शायद पहले ही अनुमान लगा लिया है: ऐसे मामलों में, जब "खूबसूरती से" हल करना असंभव है, "भारी तोपखाने" मामले से जुड़ा हुआ है - लघुगणक। मैं आपको याद दिला दूं कि लघुगणक का उपयोग करके, किसी भी सकारात्मक संख्या को किसी अन्य सकारात्मक संख्या की शक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है (एक के अपवाद के साथ):

यह सूत्र याद है? जब मैं अपने छात्रों को लघुगणक के बारे में बताता हूं, तो मैं हमेशा आपको चेतावनी देता हूं: यह सूत्र (यह मूल लघुगणकीय पहचान भी है या, यदि आप चाहें, तो लघुगणक की परिभाषा) आपको बहुत लंबे समय तक परेशान करेगा और सबसे अधिक "उभरेगा" अप्रत्याशित स्थान। खैर, वह सामने आई। आइए हमारे समीकरण और इस सूत्र को देखें:

\[\शुरू(संरेखित करें)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(संरेखित करें) \]

अगर हम मानते हैं कि $a=3$ दाईं ओर हमारी मूल संख्या है, और $b=2$ एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन का बहुत आधार है जिसके लिए हम दाईं ओर कम करना चाहते हैं, तो हमें निम्नलिखित मिलते हैं:

\[\शुरू(संरेखित)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\लॉग )_(2))3. \\\अंत (संरेखित करें)\]

हमें थोड़ा अजीब जवाब मिला: $x=((\log )_(2))3$। किसी अन्य कार्य में, इस तरह के उत्तर के साथ, बहुत से लोग संदेह करेंगे और अपने समाधान को दोबारा जांचना शुरू कर देंगे: क्या हुआ अगर कहीं गलती हुई? मैं आपको खुश करने की जल्दबाजी करता हूं: यहां कोई त्रुटि नहीं है, और घातीय समीकरणों की जड़ों में लघुगणक काफी सामान्य स्थिति है। इसलिए इसकी आदत डाल लें। :)

अब हम सादृश्य द्वारा शेष दो समीकरणों को हल करते हैं:

\[\शुरू(संरेखित)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11)\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! वैसे, अंतिम उत्तर को अलग तरीके से लिखा जा सकता है:

यह हम थे जिन्होंने गुणक को लघुगणक के तर्क में पेश किया। लेकिन कोई भी हमें इस कारक को आधार से जोड़ने से नहीं रोकता है:

इसके अलावा, तीनों विकल्प सही हैं - वे एक ही संख्या लिखने के विभिन्न रूप हैं। इस निर्णय में किसे चुनना और लिखना है यह आपके ऊपर है।

इस प्रकार, हमने $((a)^(x))=b$ के रूप के किसी भी घातीय समीकरण को हल करना सीख लिया है, जहां संख्या $a$ और $b$ सख्ती से सकारात्मक हैं। हालाँकि, हमारी दुनिया की कठोर वास्तविकता यह है कि इस तरह के सरल कार्य आपको बहुत कम ही मिलेंगे। अधिक बार आप कुछ इस तरह से आएंगे:

\[\शुरू(संरेखित)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09। \\\अंत (संरेखित करें)\]

अच्छा, आप कैसे तय करते हैं? क्या यह बिल्कुल हल किया जा सकता है? और अगर ऐसा है तो कैसे?

घबराए नहीं। इन सभी समीकरणों को जल्दी और सरल रूप से उन सरल सूत्रों में घटाया जाता है, जिन पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं। आपको बस बीजगणित पाठ्यक्रम की कुछ युक्तियों को याद रखने की जानकारी होनी चाहिए। और हां, यहां डिग्री के साथ काम करने का कोई नियम नहीं है। मैं अब इस सब के बारे में बात करूंगा। :)

घातीय समीकरणों का परिवर्तन

याद रखने वाली पहली बात यह है कि कोई भी घातीय समीकरण, चाहे वह कितना भी जटिल क्यों न हो, एक तरह से या किसी अन्य को सरलतम समीकरणों में कम किया जाना चाहिए - वही जिन्हें हमने पहले ही माना है और जिन्हें हम हल करना जानते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भी घातीय समीकरण को हल करने की योजना इस तरह दिखती है:

1. मूल समीकरण लिखिए। उदाहरण के लिए: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. कुछ फालतू बकवास करो। या यहां तक ​​कि कुछ बकवास जिसे "समीकरण बदलना" कहा जाता है;
3. आउटपुट पर, सबसे सरल भाव जैसे $((4)^(x))=4$ या ऐसा कुछ और प्राप्त करें। इसके अलावा, एक प्रारंभिक समीकरण एक साथ कई ऐसे भाव दे सकता है।

पहले बिंदु के साथ, सब कुछ स्पष्ट है - मेरी बिल्ली भी एक पत्ते पर समीकरण लिख सकती है। तीसरे बिंदु के साथ भी, ऐसा लगता है, कमोबेश स्पष्ट है - हमने पहले ही इस तरह के समीकरणों का एक पूरा गुच्छा हल कर लिया है।

लेकिन दूसरे बिंदु का क्या? परिवर्तन क्या हैं? क्या परिवर्तित करना है? और कैसे?

खैर, इसका पता लगाते हैं। सबसे पहले, मैं निम्नलिखित का उल्लेख करना चाहूंगा। सभी घातीय समीकरणों को दो प्रकारों में बांटा गया है:

1. समीकरण समान आधार वाले चरघातांकी फलनों से बना है। उदाहरण: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. सूत्र में विभिन्न आधारों के साथ घातीय कार्य होते हैं। उदाहरण: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ और $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$।

आइए पहले प्रकार के समीकरणों से शुरू करें - वे हल करने में सबसे आसान हैं। और उनके समाधान में स्थिर भावों के चयन जैसी तकनीक हमारी मदद करेगी।

एक स्थिर अभिव्यक्ति को हाइलाइट करना

आइए इस समीकरण को फिर से देखें:

\[(((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

हम क्या देखते हैं? चारों को अलग-अलग डिग्री तक उठाया जाता है। लेकिन ये सभी शक्तियाँ अन्य संख्याओं के साथ चर $x$ का सरल योग हैं। इसलिए, डिग्री के साथ काम करने के नियमों को याद रखना आवश्यक है:

\[\शुरू(संरेखित)& ((ए)^(x+y))=((ए)^(x))\cdot ((ए)^(y)); \\& ((ए)^(x-y))=((ए)^(x)):((ए)^(y))=\frac(((ए)^(x)))(((ए )^(वाई)))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

सीधे शब्दों में कहें, घातांक के जोड़ को शक्तियों के उत्पाद में परिवर्तित किया जा सकता है, और घटाव को आसानी से विभाजन में बदल दिया जाता है। आइए इन सूत्रों को हमारे समीकरण से शक्तियों पर लागू करने का प्रयास करें:

\[\शुरू(संरेखित)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \\& \\end(संरेखित करें)\]

हम इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए मूल समीकरण को फिर से लिखते हैं, और फिर हम बाईं ओर के सभी शब्दों को एकत्रित करते हैं:

\[\शुरू(संरेखित)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -ग्यारह; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\अंत (संरेखित करें)\]

पहले चार शब्दों में तत्व $((4)^(x))$ है - आइए इसे ब्रैकेट से बाहर निकालें:

\[\शुरू(संरेखित करें)& ((4)^(x))\cdot \बाएं(1+\frac(1)(4)-4 \दाएं)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \बाएं(-\frac(11)(4) \दाएं)=-11. \\\अंत (संरेखित करें)\]

यह समीकरण के दोनों भागों को अंश $-\frac(11)(4)$, यानी से विभाजित करने के लिए रहता है। अनिवार्य रूप से उलटे अंश से गुणा करें - $-\frac(4)(11)$। हम पाते हैं:

\[\शुरू (संरेखित) और ((4)^(x))\cdot \बाएं (-\frac(11)(4) \दाएं)\cdot \बाएं (-\frac(4)(11) \दाएं )=-11\cdot \बाएं (-\frac(4)(11) \दाएं); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! हमने मूल समीकरण को सरलतम में घटाया और अंतिम उत्तर प्राप्त किया।

उसी समय, हल करने की प्रक्रिया में, हमने सामान्य कारक $((4)^(x))$ की खोज की (और यहां तक ​​​​कि ब्रैकेट से बाहर निकाल दिया) - यह स्थिर अभिव्यक्ति है। इसे एक नए चर के रूप में नामित किया जा सकता है, या आप इसे सटीक रूप से व्यक्त कर सकते हैं और उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। किसी भी मामले में, समाधान का प्रमुख सिद्धांत इस प्रकार है:

मूल समीकरण में एक स्थिर व्यंजक ढूँढ़ें जिसमें एक चर है जिसे आसानी से सभी घातांकीय फलनों से अलग किया जा सकता है।

अच्छी खबर यह है कि लगभग हर घातीय समीकरण ऐसी स्थिर अभिव्यक्ति को स्वीकार करता है।

लेकिन एक बुरी खबर भी है: इस तरह के भाव बहुत पेचीदा हो सकते हैं, और उनमें अंतर करना काफी मुश्किल हो सकता है। तो आइए एक और समस्या पर नजर डालते हैं:

\[(((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

शायद अब किसी के मन में सवाल होगा: “पाशा, क्या तुम पत्थर मार रहे हो? यहाँ विभिन्न आधार हैं - 5 और 0.2। लेकिन आइए एक शक्ति को आधार 0.2 के साथ बदलने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, आइए दशमलव अंश से छुटकारा पाएं, इसे सामान्य पर लाएँ:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\बाएं(x+1 \दाएं)))=((\बाएं(\frac(2)(10) ) \दाएं))^(-\बाएं(x+1 \दाएं))=((\बाएं(\frac(1)(5) \दाएं))^(-\बाएं(x+1 \दाएं)) )\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 5 अभी भी दिखाई दे रही है, यद्यपि भाजक में। उसी समय, संकेतक को नकारात्मक के रूप में फिर से लिखा गया। और अब हम डिग्री के साथ काम करने के सबसे महत्वपूर्ण नियमों में से एक को याद करते हैं:

\[((क)^(-n))=\frac(1)(((क)^(n)))\Rightarrow ((\बाएं(\frac(1)(5) \दाएं))^( -\बाएं(x+1 \दाएं))=((\बाएं(\frac(5)(1) \दाएं))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

यहाँ, बेशक, मैंने थोड़ा धोखा दिया। क्योंकि पूरी तरह से समझने के लिए, नकारात्मक संकेतकों से छुटकारा पाने का सूत्र इस प्रकार लिखा जाना था:

\[((ए)^(-एन))=\frac(1)(((ए)^(एन)))=((\बाएं(\frac(1)(ए) \दाएं))^(एन ))\Rightarrow ((\बाएं(\frac(1)(5) \दाएं))^(-\बाएं(x+1 \दाएं))=((\बाएं(\frac(5)(1) \ दाएं))^(x+1))=(((5)^(x+1))\]

दूसरी ओर, हमें केवल एक अंश के साथ काम करने से कोई नहीं रोकता:

\[((\बाएं(\frac(1)(5) \दाएं))^(-\बाएं(x+1 \दाएं))=(\बाएं(((5)^(-1)) \ दाएं))^(-\बाएं(x+1 \दाएं))=((5)^(\बाएं(-1 \दाएं)\cdot \बाएं (-\बाएं(x+1 \दाएं) \दाएं) ))=((5)^(x+1))\]

लेकिन इस मामले में, आपको एक डिग्री को दूसरी डिग्री तक बढ़ाने में सक्षम होना चाहिए (मैं आपको याद दिलाता हूं: इस मामले में, संकेतक जोड़े जाते हैं)। लेकिन मुझे अंशों को "फ्लिप" नहीं करना था - शायद किसी के लिए यह आसान होगा। :)

किसी भी मामले में, मूल घातीय समीकरण को फिर से लिखा जाएगा:

\[\शुरू(संरेखित)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\अंत (संरेखित करें)\]

तो यह पता चला है कि मूल समीकरण को पहले की तुलना में हल करना और भी आसान है: यहां आपको एक स्थिर अभिव्यक्ति को एकल करने की भी आवश्यकता नहीं है - सब कुछ अपने आप कम हो गया है। यह केवल याद रखना है कि $1=((5)^(0))$, जहां से हमें मिलता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\अंत (संरेखित करें)\]

वह पूरा समाधान है! हमें अंतिम उत्तर मिला: $x=-2$। उसी समय, मैं एक तरकीब नोट करना चाहूंगा जिसने हमारे लिए सभी गणनाओं को सरल बना दिया है:

घातीय समीकरणों में, दशमलव अंशों से छुटकारा पाना सुनिश्चित करें, उन्हें सामान्य लोगों में अनुवादित करें। यह आपको डिग्रियों के समान आधारों को देखने और समाधान को बहुत सरल बनाने की अनुमति देगा।

अब आइए और अधिक जटिल समीकरणों पर चलते हैं जिनमें अलग-अलग आधार होते हैं, जो आम तौर पर शक्तियों का उपयोग करके एक दूसरे के लिए कम नहीं होते हैं।

प्रतिपादक संपत्ति का उपयोग करना

मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास दो और विशेष रूप से कठोर समीकरण हैं:

\[\शुरू(संरेखित)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09। \\\अंत (संरेखित करें)\]

यहां मुख्य कठिनाई यह है कि यह स्पष्ट नहीं है कि किस आधार पर नेतृत्व करना है। निश्चित भाव कहाँ हैं? सामान्य आधार कहाँ हैं? इसमें से कुछ भी नहीं है।

लेकिन आइए दूसरे रास्ते पर जाने की कोशिश करें। यदि कोई तैयार समान आधार नहीं हैं, तो आप उपलब्ध आधारों का गुणनखंडन करके उन्हें खोजने का प्रयास कर सकते हैं।

आइए पहले समीकरण से शुरू करें:

\[\शुरू(संरेखित)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\बाएं(7\cdot 3 \दाएं))^(3x))=((7)^(3x))\ सीडीओटी ((3)^(3x))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

लेकिन आखिरकार, आप इसके विपरीत कर सकते हैं - संख्या 7 और 3 से संख्या 21 बनाएं। बाईं ओर ऐसा करना विशेष रूप से आसान है, क्योंकि दोनों डिग्री के संकेतक समान हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\बाएं(7\cdot 3 \दाएं))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! आपने प्रतिपादक को उत्पाद से बाहर कर दिया और तुरंत एक सुंदर समीकरण प्राप्त किया जिसे कुछ पंक्तियों में हल किया जा सकता है।

अब दूसरे समीकरण से निपटते हैं। यहाँ सब कुछ बहुत अधिक जटिल है:

\[(((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[(((100)^(x-1))\cdot ((\बाएं(\frac(27)(10) \दाएं))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

इस मामले में, अंश अप्रासंगिक निकले, लेकिन अगर कुछ कम किया जा सकता है, तो इसे कम करना सुनिश्चित करें। इसका परिणाम अक्सर दिलचस्प आधार होगा जिसके साथ आप पहले से ही काम कर सकते हैं।

दुर्भाग्य से, हम कुछ भी लेकर नहीं आए हैं। लेकिन हम देखते हैं कि उत्पाद में बाईं ओर के घातांक विपरीत हैं:

मैं आपको याद दिला दूं: एक्सपोनेंट में माइनस साइन से छुटकारा पाने के लिए, आपको केवल अंश को "फ्लिप" करने की आवश्यकता है। तो चलिए मूल समीकरण को फिर से लिखते हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें)& ((100)^(x-1))\cdot ((\बाएं(\frac(10)(27) \दाएं))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\बाएं(100\cdot \frac(10)(27) \दाएं))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\बाएं(\frac(1000)(27) \दाएं))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\अंत (संरेखित करें)\]

दूसरी पंक्ति में, हमने नियम $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\बाएं(a\cdot b \right) ))^ (x))$, और बाद वाले में उन्होंने संख्या 100 को एक अंश से गुणा किया।

अब ध्यान दें कि बाईं ओर (आधार पर) और दाईं ओर की संख्याएँ कुछ हद तक समान हैं। कैसे? हाँ, जाहिर है: वे एक ही संख्या की शक्तियाँ हैं! अपने पास:

\[\शुरू(संरेखित)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\बाएं(\frac(\frac() 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\बाएं(\frac(3)(10) \दाएं))^(2)). \\\अंत (संरेखित करें)\]

इस प्रकार, हमारा समीकरण निम्नानुसार फिर से लिखा जाएगा:

\[((\बाएं((\बाएं(\frac(10)(3) \दाएं))^(3)) \दाएं))^(x-1))=((\बाएं(\frac(3) )(10) \दाएं))^(2))\]

\[((\बाएं((\बाएं(\frac(10)(3) \दाएं))^(3)) \दाएं))^(x-1))=((\बाएं(\frac(10) )(3) \दाएं))^(3\बाएं(x-1 \दाएं)))=((\बाएं(\frac(10)(3) \दाएं))^(3x-3))\]

उसी समय, दाईं ओर, आप समान आधार के साथ एक डिग्री भी प्राप्त कर सकते हैं, जिसके लिए यह अंश को "फ्लिप" करने के लिए पर्याप्त है:

\[((\बाएं(\frac(3)(10) \दाएं))^(2))=((\बाएं(\frac(10)(3) \दाएं))^(-2))\]

अंत में, हमारा समीकरण रूप लेगा:

\[\शुरू(संरेखित)& ((\बाएं(\frac(10)(3) \दाएं))^(3x-3))=((\बाएं(\frac(10)(3) \दाएं)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\अंत (संरेखित करें)\]

वह पूरा समाधान है। इसका मुख्य विचार इस तथ्य पर आधारित है कि अलग-अलग कारणों से भी, हम इन कारणों को कम करके एक ही करने की कोशिश करते हैं। इसमें हमें समीकरणों के प्रारंभिक परिवर्तन और शक्तियों के साथ काम करने के नियमों से मदद मिलती है।

लेकिन कौन से नियम और कब उपयोग करें? यह कैसे समझें कि एक समीकरण में आपको दोनों पक्षों को किसी चीज़ से विभाजित करने की आवश्यकता है, और दूसरे में - घातीय फ़ंक्शन के आधार को कारकों में विघटित करने के लिए?

इस प्रश्न का उत्तर अनुभव से मिलेगा। पहले सरल समीकरणों पर अपना हाथ आजमाएं, और फिर धीरे-धीरे कार्यों को जटिल बनाएं - और बहुत जल्द आपके कौशल समान यूएसई या किसी स्वतंत्र/परीक्षण कार्य से किसी भी घातीय समीकरण को हल करने के लिए पर्याप्त होंगे।

और इस कठिन कार्य में आपकी मदद करने के लिए, मैं एक स्वतंत्र समाधान के लिए अपनी वेबसाइट पर समीकरणों का एक सेट डाउनलोड करने का सुझाव देता हूं। सभी समीकरणों के उत्तर हैं, इसलिए आप हमेशा स्वयं को जांच सकते हैं।

सभी नए वीडियो पाठों से अवगत होने के लिए हमारी साइट साइट के यूट्यूब चैनल पर।

सबसे पहले, आइए डिग्री और उनके गुणों के मूल सूत्रों को याद करें।

एक संख्या का उत्पाद एस्वयं n बार होता है, हम इस व्यंजक को a a … a = a n के रूप में लिख सकते हैं

1. एक 0 = 1 (एक ≠ 0)

3. एक एन एम = एक एन + एम

4. (एन) एम = एनएम

5. ए एन बी एन = (एबी) एन

7. ए एन / ए एम \u003d एन - एम

शक्ति या घातीय समीकरण- ये समीकरण हैं जिनमें चर शक्तियों (या घातांक) में हैं, और आधार एक संख्या है।

घातीय समीकरणों के उदाहरण:

इस उदाहरण में, संख्या 6 आधार है, यह हमेशा सबसे नीचे है, और चर एक्सडिग्री या माप।

आइए हम घातीय समीकरणों के और उदाहरण दें।
2 x *5=10
16x-4x-6=0

अब देखते हैं कि घातीय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है?

आइए एक साधारण समीकरण लें:

2 एक्स = 2 3

ऐसा उदाहरण मन में भी हल किया जा सकता है। यह देखा जा सकता है कि x=3. आखिरकार, बाएँ और दाएँ पक्षों के बराबर होने के लिए, आपको x के बजाय संख्या 3 डालने की आवश्यकता है।
अब देखते हैं कि यह निर्णय कैसे किया जाना चाहिए:

2 एक्स = 2 3
एक्स = 3

इस समीकरण को हल करने के लिए, हमने हटा दिया एक ही मैदान(यानी, ड्यूस) और जो बचा था उसे लिख दिया, ये डिग्रियां हैं। हमें वह उत्तर मिला जिसकी हम तलाश कर रहे थे।

अब हम अपने समाधान को सारांशित करते हैं।

घातीय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम:
1. जाँच करने की आवश्यकता है जो उसीक्या समीकरण के आधार दाईं ओर और बाईं ओर हैं। यदि आधार समान नहीं हैं, तो हम इस उदाहरण को हल करने के लिए विकल्पों की तलाश कर रहे हैं।
2. आधार समान होने के बाद, समान बनानाडिग्री और परिणामी नए समीकरण को हल करें।

अब कुछ उदाहरण हल करते हैं:

चलिए सरल शुरू करते हैं।

बाएँ और दाएँ पक्ष के आधार संख्या 2 के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम आधार को त्याग सकते हैं और उनकी डिग्री की बराबरी कर सकते हैं।

x+2=4 सबसे सरल समीकरण निकला है।
एक्स = 4 - 2
एक्स = 2
उत्तर: एक्स = 2

निम्नलिखित उदाहरण में, आप देख सकते हैं कि आधार भिन्न हैं, ये 3 और 9 हैं।

3 3x - 9 x + 8 = 0

आरंभ करने के लिए, हम नौ को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है:

अब आपको वही आधार बनाने की जरूरत है। हम जानते हैं कि 9=3 2 । आइए घात सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करें।

3 3x \u003d (3 2) x + 8

हमें 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 मिलते हैं

3 3x \u003d 3 2x + 16 अब यह स्पष्ट है कि बाएँ और दाएँ पक्षों के आधार समान हैं और तीन के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन्हें त्याग सकते हैं और डिग्री की बराबरी कर सकते हैं।

3x=2x+16 को सबसे सरल समीकरण मिला
3x-2x=16
एक्स = 16
उत्तर: एक्स = 16।

आइए निम्नलिखित उदाहरण देखें:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

सबसे पहले, हम आधारों को देखते हैं, आधार अलग-अलग दो और चार होते हैं। और हमें वही होना चाहिए। हम चौगुनी को सूत्र (a n) m = a nm के अनुसार रूपांतरित करते हैं।

4 x = (2 2) x = 2 2x

और हम एक सूत्र a n m = a n + m का भी उपयोग करते हैं:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

समीकरण में जोड़ें:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। लेकिन अन्य संख्याएँ 10 और 24 हमारे साथ हस्तक्षेप करती हैं। उनके साथ क्या करना है? यदि आप बारीकी से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि बाईं ओर हम 2 2x दोहराते हैं, यहाँ उत्तर है - हम 2 2x को कोष्ठक से बाहर कर सकते हैं:

2 2x (2 4 - 10) = 24

आइए कोष्ठक में अभिव्यक्ति की गणना करें:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

हम पूरे समीकरण को 6 से विभाजित करते हैं:

कल्पना कीजिए 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 आधार समान हैं, उन्हें त्यागें और डिग्री की बराबरी करें।
2x \u003d 2 सबसे सरल समीकरण निकला। हम इसे 2 से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है
एक्स = 1
उत्तर: एक्स = 1।

आइए समीकरण को हल करें:

9 x - 12*3 x +27= 0

आइए रूपांतरित करें:
9 x = (3 2) x = 3 2x

हमें समीकरण मिलता है:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

हमारे आधार समान हैं, तीन के बराबर हैं। इस उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि पहले ट्रिपल में दूसरे (सिर्फ x) की तुलना में दो बार (2x) डिग्री है। इस मामले में आप फैसला कर सकते हैं प्रतिस्थापन विधि. सबसे छोटी डिग्री वाली संख्या को इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

फिर 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d टी 2

हम टी के साथ समीकरण में एक्स के साथ सभी डिग्री को प्रतिस्थापित करते हैं:

टी 2 - 12t + 27 \u003d 0
हमें एक द्विघात समीकरण मिलता है। हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हमें मिलता है:
डी=144-108=36
टी 1 = 9
टी 2 = 3

वेरिएबल को लौटें एक्स.

हम टी 1 लेते हैं:
टी 1 \u003d 9 \u003d 3 एक्स

वह है,

3 एक्स = 9
3 x = 3 2
एक्स 1 = 2

एक जड़ मिली। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:
टी 2 \u003d 3 \u003d 3 एक्स
3 x = 3 1
एक्स 2 = 1
उत्तर: x 1 \u003d 2; एक्स 2 = 1।

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कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक चरण

• पाठ के विषय का संदेश (बोर्ड पर लिखा हुआ),
• ग्रेड 10-11 में सामान्यीकरण पाठ की आवश्यकता:

ज्ञान के सक्रिय आत्मसात करने के लिए छात्रों को तैयार करने का चरण

दुहराव

परिभाषा।

एक चरघातांकी समीकरण एक समीकरण है जिसमें घातांक में एक चर होता है (विद्यार्थी उत्तर देता है)।

शिक्षक का नोट। घातीय समीकरण ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों के वर्ग से संबंधित हैं। यह कठिन-से-उच्चारण नाम बताता है कि ऐसे समीकरण, आम तौर पर बोल रहे हैं, सूत्रों के रूप में हल नहीं किए जा सकते हैं।

उन्हें केवल कंप्यूटर पर लगभग संख्यात्मक तरीकों से ही हल किया जा सकता है। लेकिन परीक्षा के प्रश्नों का क्या? पूरी तरकीब यह है कि परीक्षक समस्या को इस तरह से रचता है कि वह केवल एक विश्लेषणात्मक समाधान को स्वीकार करता है। दूसरे शब्दों में, आप ऐसे समरूप परिवर्तन कर सकते हैं (और करना चाहिए!) जो दिए गए चरघातांकी समीकरण को सरलतम चरघातांकी समीकरण में बदल देते हैं। यह सबसे सरल समीकरण है और इसे कहा जाता है: सबसे सरल घातीय समीकरण। यह हल हो गया है लघुगणक।

एक घातीय समीकरण के समाधान के साथ स्थिति एक भूलभुलैया के माध्यम से एक यात्रा के समान है, जिसे विशेष रूप से समस्या के संकलक द्वारा आविष्कार किया गया था। इन बहुत सामान्य विचारों से, काफी विशिष्ट अनुशंसाएँ अनुसरण करती हैं।

घातीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको चाहिए:

1. न केवल सभी घातीय पहचानों को सक्रिय रूप से जानते हैं, बल्कि चर के मूल्यों के सेट भी खोजते हैं, जिस पर इन पहचानों को परिभाषित किया गया है, ताकि इन पहचानों का उपयोग करते समय, कोई अनावश्यक जड़ें प्राप्त न करें, और इससे भी अधिक, खो न जाए समीकरण के समाधान।

2. सक्रिय रूप से सभी घातीय सर्वसमिकाओं को जानें।

3. स्पष्ट रूप से, विस्तार से और त्रुटियों के बिना, समीकरणों का गणितीय परिवर्तन करें (समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में शब्दों को स्थानांतरित करें, चिन्ह को बदलना न भूलें, अंश को एक सामान्य भाजक में कम करें, आदि)। इसे गणितीय संस्कृति कहा जाता है। साथ ही, गणना स्वयं हाथों से स्वचालित रूप से की जानी चाहिए, और सिर को समाधान के सामान्य मार्गदर्शक धागे के बारे में सोचना चाहिए। परिवर्तनों को यथासंभव सावधानीपूर्वक और विस्तार से करना आवश्यक है। केवल यही एक सही, त्रुटि-मुक्त समाधान की गारंटी देगा। और याद रखें: एक छोटी अंकगणितीय त्रुटि केवल एक पारलौकिक समीकरण बना सकती है, जिसे सिद्धांत रूप में विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। यह पता चला है कि आप अपना रास्ता भूल गए और भूलभुलैया की दीवार में भाग गए।

4. समस्याओं को हल करने के तरीकों को जानें (अर्थात समाधान की भूलभुलैया के माध्यम से सभी रास्तों को जानें)। प्रत्येक चरण में सही अभिविन्यास के लिए, आपको (होशपूर्वक या सहज रूप से!) करना होगा:

• परिभाषित करना समीकरण प्रकार;
• संबंधित प्रकार याद रखें समाधान विधिकार्यों।

अध्ययन सामग्री के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का चरण।

शिक्षक, छात्रों के साथ, एक कंप्यूटर की भागीदारी के साथ, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों और उन्हें हल करने के तरीकों का अवलोकन पुनरावृत्ति करता है, और एक सामान्य योजना तैयार करता है। (L.Ya. Borevsky के प्रशिक्षण कंप्यूटर प्रोग्राम "गणित का पाठ्यक्रम - 2000" का उपयोग किया जाता है, PowerPoint प्रस्तुति के लेखक T.N. Kuptsova हैं।)

चावल। 1.यह आंकड़ा सभी प्रकार के घातीय समीकरणों की एक सामान्य योजना दिखाता है।

जैसा कि इस आरेख से देखा जा सकता है, घातीय समीकरणों को हल करने की रणनीति इस घातीय समीकरण को समीकरण में कम करना है, सबसे पहले, समान आधारों के साथ , और फिर - और एक ही घातांक के साथ।

एक ही आधार और घातांक के साथ एक समीकरण प्राप्त करने के बाद, आप इस डिग्री को एक नए चर के साथ बदल देते हैं और इस नए चर के संबंध में एक सरल बीजगणितीय समीकरण (आमतौर पर भिन्नात्मक परिमेय या द्विघात) प्राप्त करते हैं।

इस समीकरण को हल करके और एक व्युत्क्रम प्रतिस्थापन करके, आप सरल घातीय समीकरणों के एक सेट के साथ समाप्त होते हैं जो सामान्य रूप से लॉगरिदम का उपयोग करके हल किए जाते हैं।

समीकरण अलग खड़े होते हैं जिसमें केवल (निजी) शक्तियों के उत्पाद होते हैं। घातीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, इन समीकरणों को तुरंत एक आधार पर लाना संभव है, विशेष रूप से, सबसे सरल घातीय समीकरण के लिए।

विचार करें कि डिग्री के तीन अलग-अलग आधारों के साथ एक घातीय समीकरण कैसे हल किया जाता है।

(यदि शिक्षक के पास L.Ya. Borevsky "पाठ्यक्रम गणित - 2000" द्वारा एक शिक्षण कंप्यूटर प्रोग्राम है, तो स्वाभाविक रूप से हम डिस्क के साथ काम करते हैं, यदि नहीं, तो आप नीचे प्रस्तुत प्रत्येक डेस्क के लिए इस प्रकार के समीकरण को प्रिंट कर सकते हैं .)

चावल। 2.समीकरण समाधान योजना।

चावल। 3.समीकरण को हल करने की शुरुआत

चावल। 4.समीकरण के समाधान का अंत।

व्यवहारिक कार्य करना

समीकरण के प्रकार का निर्धारण करें और इसे हल करें।

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

पाठ का सारांश

एक पाठ ग्रेडिंग।

पाठ का अंत

शिक्षक के लिए

व्यावहारिक कार्य उत्तरों की योजना।

व्यायाम:समीकरणों की सूची से, निर्दिष्ट प्रकार के समीकरणों का चयन करें (तालिका में उत्तर की संख्या डालें):

1. तीन अलग-अलग आधार
2. दो अलग-अलग आधार - अलग-अलग घातांक
3. शक्तियों का आधार - एक संख्या की शक्तियाँ
4. समान आधार, विभिन्न घातांक
5. समान घातांक आधार - समान घातांक
6. शक्तियों का उत्पाद
7. डिग्री के दो अलग-अलग आधार - समान संकेतक
8. सबसे सरल घातीय समीकरण

1. (शक्तियों का उत्पाद)

2. (एक ही आधार - विभिन्न घातांक)

उदाहरण:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

घातीय समीकरणों को कैसे हल करें

किसी भी घातीय समीकरण को हल करते समय, हम इसे \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \) के रूप में लाने का प्रयास करते हैं, और फिर संकेतकों की समानता के लिए संक्रमण करते हैं, अर्थात्:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

उदाहरण के लिए:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

महत्वपूर्ण! उसी तर्क से, इस तरह के संक्रमण के लिए दो आवश्यकताएं होती हैं:
- संख्या में बाएँ और दाएँ समान होना चाहिए;
- डिग्री बाएँ और दाएँ "शुद्ध" होना चाहिए, यानी कोई भी गुणा, भाग आदि नहीं होना चाहिए।

उदाहरण के लिए:

समीकरण को इस रूप में लाने के लिए \(a^(f(x))=a^(g(x))\) और उपयोग किया जाता है।

उदाहरण . घातीय समीकरण को हल करें \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
समाधान:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		हम जानते हैं कि \(27 = 3^3\). इसे ध्यान में रखते हुए, हम समीकरण बदलते हैं।
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		मूल \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) के गुण से हमें वह मिलता है \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). आगे, डिग्री गुण \((a^b)^c=a^(bc)\) का प्रयोग करके, हमें \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( प्राप्त होता है। 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		हम यह भी जानते हैं कि \(a^b a^c=a^(b+c)\). इसे बाईं ओर लागू करने पर, हम पाते हैं: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		अब याद रखें कि: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). इस सूत्र का उल्टा भी उपयोग किया जा सकता है: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). तब \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		संपत्ति \((a^b)^c=a^(bc)\) को दाईं ओर लागू करने पर, हम पाते हैं: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		और अब हमारे पास समान आधार हैं और कोई हस्तक्षेप करने वाले गुणांक आदि नहीं हैं। तो हम संक्रमण कर सकते हैं।
		उदाहरण . घातीय समीकरण को हल करें \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) समाधान: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) फिर से हम विपरीत दिशा में डिग्री गुण \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) का उपयोग करते हैं। \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) अब याद रखें कि \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) डिग्री के गुणों का उपयोग करते हुए, हम रूपांतरित करते हैं: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) हम समीकरण को ध्यान से देखते हैं, और हम देखते हैं कि प्रतिस्थापन \(t=2^x\) खुद को यहां सुझाता है। \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) हालाँकि, हमें \ (t \) मान मिले, और हमें \ (x \) की आवश्यकता है। हम रिवर्स प्रतिस्थापन करते हुए एक्स पर लौटते हैं। \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) ऋणात्मक घात गुण का उपयोग करके दूसरे समीकरण को रूपांतरित करें... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...और उत्तर तक हल करें। \(x_1=1\) \(x_2=-1\) उत्तर : \(-1; 1\). प्रश्न बना रहता है - कैसे समझें कि कब किस विधि को लागू किया जाए? यह अनुभव के साथ आता है। इस बीच, आपने इसे काम नहीं किया है, जटिल समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य अनुशंसा का उपयोग करें - "यदि आप नहीं जानते कि क्या करना है - तो आप जो कर सकते हैं वह करें।" यही है, देखें कि आप समीकरण को सिद्धांत रूप में कैसे बदल सकते हैं, और इसे करने का प्रयास करें - क्या होगा यदि यह बाहर आता है? मुख्य बात केवल गणितीय रूप से उचित परिवर्तन करना है। समाधान के बिना घातीय समीकरण आइए दो और स्थितियों पर गौर करें जो अक्सर छात्रों को परेशान करती हैं: - घात के लिए धनात्मक संख्या शून्य के बराबर होती है, उदाहरण के लिए, \(2^x=0\); - घात की धनात्मक संख्या ऋणात्मक संख्या के बराबर होती है, उदाहरण के लिए, \(2^x=-4\). आइए इसे क्रूर बल द्वारा हल करने का प्रयास करें। यदि x एक धनात्मक संख्या है, तो जैसे-जैसे x बढ़ता है, पूरी शक्ति \(2^x\) केवल बढ़ेगी: \ (एक्स = 1 \); \(2^1=2\) \ (एक्स = 2 \); \(2^2=4\) \ (एक्स = 3 \); \(2^3=8\). \ (एक्स = 0 \); \(2^0=1\) विगत भी। ऋणात्मक x हैं। संपत्ति \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) को याद रखते हुए, हम जांचते हैं: \ (एक्स = -1 \); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \ (एक्स = -2 \); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \ (एक्स = -3 \); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) इस तथ्य के बावजूद कि संख्या प्रत्येक चरण के साथ छोटी होती जाती है, यह कभी भी शून्य तक नहीं पहुंचेगी। तो नकारात्मक डिग्री ने भी हमें नहीं बचाया। हम एक तार्किक निष्कर्ष पर आते हैं: किसी भी शक्ति के लिए एक सकारात्मक संख्या एक सकारात्मक संख्या बनी रहेगी। इस प्रकार, उपरोक्त दोनों समीकरणों का कोई हल नहीं है। विभिन्न आधारों के साथ घातीय समीकरण व्यवहार में, कभी-कभी अलग-अलग आधारों के साथ घातीय समीकरण होते हैं जो एक दूसरे के लिए कम नहीं होते हैं, और एक ही समय में एक ही घातांक के साथ। वे इस तरह दिखते हैं: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), जहां \(a\) और \(b\) धनात्मक संख्याएं हैं। उदाहरण के लिए: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) इस तरह के समीकरणों को समीकरण के किसी भी भाग से विभाजित करके आसानी से हल किया जा सकता है (आमतौर पर दाईं ओर से विभाजित किया जाता है, अर्थात \ (b ^ (f (x)) \)। आप इस तरह से विभाजित कर सकते हैं, क्योंकि एक सकारात्मक संख्या किसी भी डिग्री के लिए सकारात्मक है (अर्थात, हम शून्य से विभाजित नहीं होते हैं।) हम प्राप्त करते हैं: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x))) \(=1\) उदाहरण . घातीय समीकरण को हल करें \(5^(x+7)=3^(x+7)\) समाधान: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) यहां हम पांच को तीन में नहीं बदल सकते, या इसके विपरीत (कम से कम उपयोग किए बिना)। इसलिए हम \(a^(f(x))=a^(g(x))\) के रूप में नहीं आ सकते हैं। इसी समय, संकेतक समान हैं। आइए समीकरण को दाईं ओर से विभाजित करें, अर्थात \(3^(x+7)\) द्वारा (हम ऐसा कर सकते हैं, क्योंकि हम जानते हैं कि ट्रिपल किसी भी डिग्री में शून्य नहीं होगा)। \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7)) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) अब गुण \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) याद रखें और इसे बाईं ओर से विपरीत दिशा में उपयोग करें। दाईं ओर, हम केवल भिन्न को कम करते हैं। \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) यह कोई बेहतर नहीं लग रहा था। लेकिन डिग्री की एक और संपत्ति याद रखें: \(a^0=1\), दूसरे शब्दों में: "शून्य की कोई भी संख्या \(1\) के बराबर होती है।" इसका विलोम भी सत्य है: "एक इकाई को किसी भी संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसे शून्य की शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है।" इसका उपयोग हम दाईं ओर के आधार को बाईं ओर के आधार के समान बनाकर करते हैं। \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) वोइला! हम नींव से छुटकारा पा लेते हैं। हम उत्तर लिखते हैं। उत्तर : \(-7\). कभी-कभी प्रतिपादकों की "समानता" स्पष्ट नहीं होती है, लेकिन डिग्री के गुणों का कुशल उपयोग इस मुद्दे को हल करता है। उदाहरण . घातीय समीकरण को हल करें \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) समाधान: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) समीकरण काफी दुखद लग रहा है ... न केवल आधारों को एक ही संख्या में घटाया जा सकता है (सात \(\frac(1)(3)\) के बराबर नहीं होंगे), इसलिए संकेतक भी अलग हैं... हालांकि, आइए लेफ्ट डिग्री ड्यूस के एक्सपोनेंट का उपयोग करें। \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) संपत्ति \((a^b)^c=a^(b c)\) को ध्यान में रखते हुए, बाईं ओर बदलें: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\)। \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) अब, नकारात्मक शक्ति संपत्ति \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) को याद करते हुए, हम दाईं ओर रूपांतरित होते हैं: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) हेलेलुजाह! अंक समान हैं! पहले से परिचित योजना के अनुसार कार्य करते हुए, हम उत्तर से पहले निर्णय लेते हैं। उत्तर : \(2\).