अंतरिक्ष में रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था। अंतरिक्ष में सीधी रेखा की समस्या

मान लीजिए कि दो रेखाएँ दी गई हैं और उनका प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना आवश्यक है। चूंकि यह बिंदु दो दी गई रेखाओं में से प्रत्येक से संबंधित है, इसलिए इसके निर्देशांकों को पहली पंक्ति के समीकरण और दूसरी पंक्ति के समीकरण दोनों को संतुष्ट करना चाहिए।

इस प्रकार, दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हमें समीकरणों की प्रणाली को हल करना चाहिए

उदाहरण 1. रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं और

समाधान। हम समीकरणों की प्रणाली को हल करके वांछित प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक पाएंगे

प्रतिच्छेदन बिंदु M के निर्देशांक हैं

आइए हम दिखाते हैं कि इसके समीकरण से एक सीधी रेखा कैसे बनाई जाती है। एक रेखा खींचने के लिए, उसके दो बिंदुओं को जानना पर्याप्त है। इन बिंदुओं में से प्रत्येक को प्लॉट करने के लिए, हम इसके एक निर्देशांक को मनमाना मान देते हैं, और फिर समीकरण से हम दूसरे निर्देशांक का संगत मान पाते हैं।

यदि एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में, वर्तमान निर्देशांक पर दोनों गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं, तो इस सीधी रेखा का निर्माण करने के लिए, निर्देशांक अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजना सबसे अच्छा है।

उदाहरण 2. एक सरल रेखा की रचना कीजिए।

समाधान। x-अक्ष के साथ इस रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हम एक साथ उनके समीकरणों को हल करते हैं:

और हमें मिलता है। इस प्रकार, भुज अक्ष के साथ इस सीधी रेखा के चौराहे का बिंदु M (3; 0) पाया गया (चित्र 40)।

दी गई रेखा के समीकरण और y-अक्ष के समीकरण को संयुक्त रूप से हल करना

हम y-अक्ष के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं। अंत में, हम इसके दो बिंदुओं M और से एक रेखा बनाते हैं

ओह-ओह-ओह-ओह-ओह ... ठीक है, यह टिनी है, जैसे कि आप अपने लिए वाक्य पढ़ते हैं =) हालांकि, तब विश्राम में मदद मिलेगी, खासकर जब से मैंने आज उपयुक्त सामान खरीदा है। इसलिए, पहले खंड पर चलते हैं, मुझे उम्मीद है कि लेख के अंत तक मैं एक हंसमुख मिजाज रखूंगा।

दो सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था

मामला जब हॉल कोरस में गाता है। दो लाइन कर सकते हैं:

1) मैच;

2) समानांतर होना:;

3) या एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें:।

डमी के लिए मदद : कृपया चौराहे का गणितीय चिन्ह याद रखें, यह बहुत बार होगा। प्रविष्टि का अर्थ है कि रेखा बिंदु पर रेखा के साथ प्रतिच्छेद करती है।

दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति का निर्धारण कैसे करें?

आइए पहले मामले से शुरू करते हैं:

दो रेखाएँ संपाती होती हैं यदि और केवल यदि उनके संबंधित गुणांक आनुपातिक हैं, अर्थात्, एक ऐसी संख्या "लैम्ब्डा" है जो समानताएँ हैं

आइए सीधी रेखाओं पर विचार करें और संगत गुणांकों से तीन समीकरण बनाएं: . प्रत्येक समीकरण से यह अनुसरण करता है कि, इसलिए, ये रेखाएँ संपाती हैं।

दरअसल, अगर समीकरण के सभी गुणांक -1 (संकेत बदलें), और समीकरण के सभी गुणांक से गुणा करें 2 से कम करने पर, आपको वही समीकरण मिलता है: .

दूसरा मामला जब रेखाएं समानांतर होती हैं:

दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि चर पर उनके गुणांक समानुपाती होते हैं: , लेकिन.

उदाहरण के तौर पर, दो सीधी रेखाओं पर विचार करें। हम चरों के संगत गुणांकों की समानुपातिकता की जाँच करते हैं :

हालाँकि, यह स्पष्ट है कि।

और तीसरा मामला, जब रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं:

दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि उनके चर के गुणांक आनुपातिक नहीं हैं, अर्थात्, "लैम्ब्डा" का ऐसा कोई मूल्य नहीं है कि समानताएँ पूरी हों

तो, सीधी रेखाओं के लिए हम एक प्रणाली की रचना करेंगे:

पहले समीकरण से यह अनुसरण करता है, और दूसरे समीकरण से: इसलिए, प्रणाली असंगत है(कोई समाधान नहीं)। इस प्रकार, चर पर गुणांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं

व्यावहारिक समस्याओं में, अभी विचार की गई समाधान योजना का उपयोग किया जा सकता है। वैसे, यह कोलीनियरिटी के लिए वैक्टर की जाँच के लिए एल्गोरिथम के समान है, जिसे हमने पाठ में माना था। वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता की अवधारणा। वेक्टर आधार. लेकिन एक और सभ्य पैकेज है:

उदाहरण 1

रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए:

समाधानसीधी रेखाओं के निर्देशक वैक्टर के अध्ययन के आधार पर:

क) समीकरणों से हम रेखाओं के दिशा सदिशों का पता लगाते हैं: .

, इसलिए सदिश समरेख नहीं हैं और रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

बस के मामले में, मैं चौराहे पर संकेत के साथ एक पत्थर रखूंगा:

बाकी लोग पत्थर पर कूदते हैं और सीधे कश्ची द डेथलेस =)

बी) लाइनों के दिशा वैक्टर खोजें:

रेखाओं की एक ही दिशा सदिश होती है, जिसका अर्थ है कि वे या तो समानांतर हैं या समान हैं। यहाँ निर्धारक आवश्यक नहीं है।

जाहिर है, अज्ञात के गुणांक आनुपातिक हैं, जबकि .

आइए जानें कि समानता सच है या नहीं:

इस प्रकार,

सी) लाइनों के दिशा वैक्टर खोजें:

आइए इन वैक्टरों के निर्देशांक से बना निर्धारक की गणना करें:
, इसलिए, दिशा सदिश समरेख हैं। रेखाएँ या तो समानांतर हैं या संपाती हैं।

आनुपातिकता कारक "लैम्ब्डा" कोलीनियर दिशा वैक्टर के अनुपात से सीधे देखना आसान है। हालाँकि, यह स्वयं समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से भी पाया जा सकता है: .

आइए अब पता करें कि क्या समानता सत्य है। दोनों मुक्त शर्तें शून्य हैं, इसलिए:

परिणामी मूल्य इस समीकरण को संतुष्ट करता है (कोई भी संख्या आम तौर पर इसे संतुष्ट करती है)।

इस प्रकार, रेखाएं मेल खाती हैं।

उत्तर:

बहुत जल्द आप सेकंड के एक मामले में शाब्दिक रूप से विचार की गई समस्या को हल करने के लिए सीखेंगे (या पहले ही सीख चुके हैं)। इस संबंध में, मुझे एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ पेश करने का कोई कारण नहीं दिखता है, ज्यामितीय नींव में एक और महत्वपूर्ण ईंट रखना बेहतर है:

किसी दिए गए के समानांतर रेखा कैसे खींचे?

इस सरल कार्य की अज्ञानता के लिए, नाइटिंगेल रॉबर गंभीर रूप से दंडित करता है।

उदाहरण 2

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। एक समांतर रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए जो बिंदु से गुजरती है।

समाधान: अज्ञात रेखा को अक्षर से निरूपित करें। इसके बारे में शर्त क्या कहती है? रेखा बिंदु से होकर गुजरती है। और यदि रेखाएँ समानांतर हैं, तो यह स्पष्ट है कि "सीई" रेखा का निर्देशन वेक्टर भी "डी" रेखा के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

हम समीकरण से दिशा वेक्टर निकालते हैं:

उत्तर:

उदाहरण की ज्यामिति सरल दिखती है:

विश्लेषणात्मक सत्यापन में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1) हम जाँचते हैं कि रेखाओं की दिशा समान है (यदि रेखा का समीकरण ठीक से सरल नहीं है, तो सदिश समरेख होंगे)।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है।

ज्यादातर मामलों में विश्लेषणात्मक सत्यापन मौखिक रूप से करना आसान होता है। दो समीकरणों को देखें और आप में से कई लोग जल्दी से यह पता लगा लेंगे कि रेखाएँ बिना किसी रेखाचित्र के समानांतर कैसे हैं।

आत्मनिरीक्षण के उदाहरण आज रचनात्मक रहेंगे। क्योंकि आपको अभी भी बाबा यगा के साथ प्रतिस्पर्धा करनी है, और वह, आप जानते हैं, सभी प्रकार की पहेलियों का प्रेमी है।

उदाहरण 3

यदि रेखा के समान्तर बिन्दु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण लिखिए

हल करने के लिए एक तर्कसंगत और बहुत तर्कसंगत तरीका नहीं है। सबसे छोटा तरीका पाठ के अंत में है।

हमने समानांतर रेखाओं के साथ थोड़ा सा काम किया है और बाद में उनके पास लौटेंगे। संयोग रेखाओं का मामला बहुत कम रुचि का है, तो आइए एक ऐसी समस्या पर विचार करें जो आपको स्कूल के पाठ्यक्रम से अच्छी तरह से पता है:

दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता कैसे लगाएं?

अगर सीधा बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो इसके निर्देशांक हल हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता कैसे लगाएं? सिस्टम को हल करें।

यहां तुम्हारे लिए है दो अज्ञात के साथ दो रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली का ज्यामितीय अर्थएक समतल पर दो अन्तर्विभाजक (अक्सर) सीधी रेखाएँ होती हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं

समाधानहल करने के दो तरीके हैं - ग्राफिकल और एनालिटिकल।

ग्राफिकल तरीका केवल दी गई रेखाएँ खींचना है और ड्राइंग से सीधे चौराहे के बिंदु का पता लगाना है:

यहाँ हमारी बात है:. जाँचने के लिए, आपको इसके निर्देशांकों को एक सीधी रेखा के प्रत्येक समीकरण में प्रतिस्थापित करना चाहिए, उन्हें वहाँ और वहाँ दोनों में फिट होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, बिंदु के निर्देशांक सिस्टम के समाधान हैं। वास्तव में, हमने हल करने के लिए एक ग्राफिकल तरीके पर विचार किया रैखिक समीकरणों की प्रणालीदो समीकरणों के साथ, दो अज्ञात।

चित्रमय विधि, बेशक, खराब नहीं है, लेकिन ध्यान देने योग्य कमियां हैं। नहीं, बात यह नहीं है कि सातवीं कक्षा के बच्चे इस तरह से निर्णय लेते हैं, मुद्दा यह है कि एक सही और सटीक चित्र बनाने में समय लगेगा। इसके अलावा, कुछ पंक्तियों का निर्माण करना इतना आसान नहीं है, और प्रतिच्छेदन बिंदु स्वयं नोटबुक शीट के बाहर तीसवें राज्य में कहीं हो सकता है।

इसलिए, विश्लेषणात्मक विधि द्वारा प्रतिच्छेदन बिंदु की खोज करना अधिक समीचीन है। आइए सिस्टम को हल करें:

प्रणाली को हल करने के लिए, समीकरणों के शब्दवार जोड़ की विधि का उपयोग किया गया था। प्रासंगिक कौशल विकसित करने के लिए, पाठ पर जाएँ समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?

उत्तर:

सत्यापन तुच्छ है - प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक को सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।

उदाहरण 5

यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं तो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

यह स्वयं करने का उदाहरण है। समस्या को कई चरणों में विभाजित करना सुविधाजनक है। स्थिति का विश्लेषण बताता है कि यह आवश्यक है:
1) सरल रेखा का समीकरण लिखिए।
2) एक सरल रेखा का समीकरण लिखिए।
3) रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए।
4) यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

कई ज्यामितीय समस्याओं के लिए एक क्रिया एल्गोरिथ्म का विकास विशिष्ट है, और मैं बार-बार इस पर ध्यान केंद्रित करूंगा।

ट्यूटोरियल के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर:

एक जोड़ी जूते अभी तक पुराने नहीं हुए हैं, जैसा कि हम पाठ के दूसरे खंड में पहुंचे:

लम्बवत रेखायें। एक बिन्दु से एक रेखा की दूरी।
रेखाओं के बीच का कोण

आइए एक विशिष्ट और बहुत महत्वपूर्ण कार्य से शुरू करें। पहले भाग में, हमने सीखा कि दिए गए के समानांतर एक सीधी रेखा कैसे बनाई जाती है, और अब मुर्गे की टांगों पर झोपड़ी 90 डिग्री घूम जाएगी:

किसी दिए गए पर लंबवत रेखा कैसे खींचे?

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। एक बिंदु से गुजरने वाली लंब रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए।

समाधान: अनुमान से ज्ञात होता है कि . सीधी रेखा की दिशा सदिश का पता लगाना अच्छा होगा। चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं, चाल सरल है:

समीकरण से हम सामान्य वेक्टर को "हटा" देते हैं: , जो सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर होगा।

हम एक बिंदु और एक निर्देशन वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं:

उत्तर:

आइए ज्यामितीय स्केच को प्रकट करें:

हम्म्... नारंगी आसमान, नारंगी समुद्र, नारंगी ऊंट।

समाधान का विश्लेषणात्मक सत्यापन:

1) समीकरणों से दिशा सदिशों को निकालें और मदद से वैक्टर का डॉट उत्पादहम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि रेखाएँ वास्तव में लंबवत हैं: .

वैसे, आप सामान्य वैक्टर का उपयोग कर सकते हैं, यह और भी आसान है।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है .

सत्यापन, फिर से, मौखिक रूप से करना आसान है।

उदाहरण 7

यदि समीकरण ज्ञात हो, तो लंब रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए और डॉट।

यह स्वयं करने का उदाहरण है। कार्य में कई क्रियाएं होती हैं, इसलिए समाधान को बिंदुवार व्यवस्थित करना सुविधाजनक होता है।

हमारी रोमांचक यात्रा जारी है:

बिंदु से रेखा की दूरी

हमारे सामने नदी की एक सीधी पट्टी है और हमारा काम उस तक कम से कम तरीके से पहुंचना है। कोई बाधा नहीं है, और सबसे इष्टतम मार्ग लंब के साथ आंदोलन होगा। अर्थात्, एक बिंदु से एक रेखा की दूरी लंब खंड की लंबाई है।

ज्यामिति में दूरी को पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षर "आरओ" द्वारा निरूपित किया जाता है, उदाहरण के लिए: - बिंदु "एम" से सीधी रेखा "डी" तक की दूरी।

बिंदु से रेखा की दूरी सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

उदाहरण 8

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी ज्ञात कीजिए

समाधान: आपको केवल सूत्र में संख्याओं को सावधानी से प्रतिस्थापित करने और गणना करने की आवश्यकता है:

उत्तर:

आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

बिंदु से रेखा तक की दूरी बिल्कुल लाल खंड की लंबाई है। यदि आप 1 इकाई के पैमाने पर चेकर्ड पेपर पर चित्र बनाते हैं। \u003d 1 सेमी (2 कोशिकाएं), फिर दूरी को एक साधारण शासक से मापा जा सकता है।

उसी चित्र के अनुसार एक अन्य कार्य पर विचार करें:

कार्य बिंदु के निर्देशांक को खोजना है, जो रेखा के संबंध में बिंदु के सममित है . मैं अपने दम पर कार्रवाई करने का प्रस्ताव करता हूं, हालांकि, मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिथम की रूपरेखा तैयार करूंगा:

1) एक रेखा खोजें जो एक रेखा के लंबवत हो।

2) रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं: .

इस पाठ में दोनों क्रियाओं पर विस्तार से चर्चा की गई है।

3) बिंदु खंड का मध्य बिंदु है। हम मध्य और एक छोर के निर्देशांक जानते हैं। द्वारा खंड के मध्य के निर्देशांक के लिए सूत्रपाना ।

यह जाँचना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि दूरी भी 2.2 इकाइयों के बराबर है।

यहां गणना में कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं, लेकिन टॉवर में एक माइक्रोकैलकुलेटर बहुत मदद करता है, जिससे आप साधारण अंशों की गणना कर सकते हैं। कई बार सलाह दी है और फिर से सिफारिश करेंगे.

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण 9

दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक और उदाहरण है। एक छोटा सा संकेत: हल करने के अपरिमित रूप से अनेक तरीके हैं। पाठ के अंत में बहस करना, लेकिन अपने लिए अनुमान लगाने का बेहतर प्रयास करें, मुझे लगता है कि आप अपनी सरलता को अच्छी तरह से फैलाने में कामयाब रहे।

दो रेखाओं के बीच का कोण

जो भी कोना है, फिर जंब:


ज्यामिति में, दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को छोटा कोण माना जाता है, जिससे स्वतः ही पता चलता है कि यह अधिक कोण नहीं हो सकता। आकृति में, लाल चाप द्वारा इंगित कोण को प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण नहीं माना जाता है। और इसका "हरा" पड़ोसी या विपरीत उन्मुखक्रिमसन कॉर्नर।

यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो उनके बीच के कोण के रूप में 4 कोणों में से किसी को भी लिया जा सकता है।

कोण किस प्रकार भिन्न हैं? अभिविन्यास। सबसे पहले, कोने को "स्क्रॉल" करने की दिशा मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। दूसरे, एक नकारात्मक रूप से उन्मुख कोण को ऋण चिह्न के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए, यदि .

मैंने ऐसा क्यों कहा? ऐसा लगता है कि आप कोण की सामान्य अवधारणा से प्राप्त कर सकते हैं। तथ्य यह है कि जिन सूत्रों से हम कोणों का पता लगाएंगे, उनमें नकारात्मक परिणाम आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, और यह आपको आश्चर्य से नहीं लेना चाहिए। माइनस साइन वाला कोण कोई बुरा नहीं है, और इसका एक बहुत ही विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ है। एक नकारात्मक कोण के लिए ड्राइंग में, एक तीर के साथ इसके अभिविन्यास (दक्षिणावर्त) को इंगित करना अनिवार्य है।

दो रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

समाधानऔर विधि एक

सामान्य रूप में समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाओं पर विचार करें:

अगर सीधा लंबवत नहीं, वह उन्मुखीउनके बीच के कोण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

आइए भाजक पर करीब से ध्यान दें - यह बिल्कुल ऐसा ही है अदिश उत्पादसीधी रेखाओं की दिशा वैक्टर:

यदि , तब सूत्र का हर गायब हो जाता है, और सदिश ओर्थोगोनल होंगे और रेखाएँ लंबवत होंगी। इसीलिए सूत्रीकरण में रेखाओं की गैर-लंबवतता के बारे में एक आरक्षण किया गया था।

पूर्वगामी के आधार पर, समाधान को दो चरणों में आसानी से औपचारिक रूप दिया जाता है:

1) सीधी रेखाओं के वेक्टरों को निर्देशित करने के स्केलर उत्पाद की गणना करें:
इसलिए रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।

2) हम सूत्र द्वारा रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करते हैं:

व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोण को स्वयं खोजना आसान है। इस मामले में, हम चाप स्पर्शरेखा की विषमता का उपयोग करते हैं (चित्र देखें। प्रारंभिक कार्यों के रेखांकन और गुण):

उत्तर:

उत्तर में, हम एक कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना की गई सटीक मान, साथ ही अनुमानित मूल्य (अधिमानतः डिग्री और रेडियन दोनों में) का संकेत देते हैं।

खैर, माइनस, सो माइनस, ठीक है। यहाँ एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण एक नकारात्मक अभिविन्यास निकला, क्योंकि समस्या की स्थिति में पहली संख्या एक सीधी रेखा है और कोण का "घुमा" ठीक उसी से शुरू हुआ।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको सीधी रेखाओं की अदला-बदली करने की आवश्यकता है, अर्थात दूसरे समीकरण से गुणांक लें , और पहले समीकरण से गुणांक लें। संक्षेप में, आपको सीधे से शुरू करने की आवश्यकता है .

लंबवत रेखा

यह कार्य शायद स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में सबसे लोकप्रिय और मांग में से एक है। इस विषय पर आधारित कार्य कई गुना हैं। यह दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की परिभाषा है, यह किसी भी कोण पर मूल रेखा पर एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण की परिभाषा है।

हम अपनी गणना में प्राप्त डेटा का उपयोग करके इस विषय को कवर करेंगे

यह वहाँ था कि एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के परिवर्तन, एक ढलान के साथ एक समीकरण में और इसके विपरीत, और दी गई शर्तों के अनुसार एक सीधी रेखा के शेष मापदंडों के निर्धारण पर विचार किया गया।

इस पृष्ठ को समर्पित समस्याओं को हल करने के लिए हमारे पास क्या कमी है?

1. दो अन्तर्विभाजक रेखाओं के बीच के कोणों में से एक की गणना के लिए सूत्र।

यदि हमारे पास दो सीधी रेखाएँ हैं जो समीकरणों द्वारा दी गई हैं:

फिर कोणों में से एक की गणना इस प्रकार की जाती है:

2. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली ढलान वाली सीधी रेखा का समीकरण

सूत्र 1 से, हम दो सीमावर्ती राज्यों को देख सकते हैं

a) जब तब और इसलिए ये दो दी गई रेखाएँ समानांतर (या संपाती) हैं

ख) कब , फिर , और इसलिए ये रेखाएँ लंबवत हैं, अर्थात वे एक समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

दी गई सीधी रेखा को छोड़कर ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए प्रारंभिक डेटा क्या हो सकता है?

एक रेखा पर एक बिंदु और वह कोण जिस पर दूसरी रेखा इसे काटती है

रेखा का दूसरा समीकरण

बॉट कौन से कार्य हल कर सकता है?

1. दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं (स्पष्ट रूप से या अस्पष्ट रूप से, उदाहरण के लिए, दो बिंदुओं द्वारा)। चौराहे के बिंदु और कोणों की गणना करें जिस पर वे प्रतिच्छेद करते हैं।

2. एक सीधी रेखा, एक सीधी रेखा पर एक बिंदु और एक कोण दिया हुआ है। एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए गए रेखा को एक निर्दिष्ट कोण पर प्रतिच्छेद करती है

उदाहरण

समीकरणों द्वारा दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं। इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु और वे कोण ज्ञात कीजिए जिन पर वे प्रतिच्छेद करते हैं

लाइन_पी ए=11;बी=-5;सी=6,के=3/7;बी=-5

हमें निम्न परिणाम मिलता है

पहली पंक्ति का समीकरण

वाई = 2.2 x + (1.2)

दूसरी पंक्ति का समीकरण

वाई = 0.4285714285714 एक्स + (-5)

दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन कोण (डिग्री में)

-42.357454705937

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

एक्स = -3.5

वाई = -6.5

यह मत भूलो कि दो पंक्तियों के मापदंडों को अल्पविराम से अलग किया जाता है, और प्रत्येक पंक्ति के मापदंडों को अर्धविराम से अलग किया जाता है।

रेखा दो बिंदुओं (1:-4) और (5:2) से होकर गुजरती है। उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (-2:-8) से गुजरती है और मूल रेखा को 30 डिग्री के कोण पर काटती है।

एक सीधी रेखा हमें ज्ञात है, क्योंकि जिन दो बिंदुओं से वह गुजरती है, वे ज्ञात हैं।

यह दूसरी सीधी रेखा के समीकरण को निर्धारित करने के लिए बनी हुई है। एक बिंदु हमें ज्ञात है, और दूसरे के बजाय, वह कोण जिस पर पहली पंक्ति दूसरी को काटती है, इंगित किया गया है।

ऐसा लगता है कि सब कुछ ज्ञात है, लेकिन यहां मुख्य बात गलत नहीं है। हम एक्स-अक्ष और रेखा के बीच के कोण (30 डिग्री) के बारे में बात कर रहे हैं, लेकिन पहली और दूसरी पंक्तियों के बीच।

इसके लिए हम इस तरह पोस्ट करते हैं। आइए पहली पंक्ति के पैरामीटर निर्धारित करें, और पता लगाएं कि यह एक्स-अक्ष को किस कोण पर काटता है।

रेखा xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2

सामान्य समीकरण एक्स + बाय + सी = 0

गुणांक ए = -6

फैक्टर बी = 4

गुणांक सी = 22

गुणांक ए = 3.66666666666667

गुणांक बी = -5.5

गुणांक के = 1.5

अक्ष के झुकाव का कोण (डिग्री में) f = 56.309932474019

गुणांक पी = 3.0508510792386

गुणांक क्यू = 2.5535900500422

बिंदुओं के बीच की दूरी = 7.211102550928

हम देखते हैं कि पहली रेखा अक्ष को एक कोण पर काटती है 56.309932474019 डिग्री।

स्रोत डेटा यह नहीं बताता है कि दूसरी पंक्ति पहली पंक्ति को कैसे काटती है। आखिरकार, शर्तों को पूरा करने वाली दो रेखाएँ खींचना संभव है, पहली 30 डिग्री दक्षिणावर्त और दूसरी 30 डिग्री वामावर्त घुमाई गई।

आइए उनकी गिनती करें

यदि दूसरी पंक्ति को 30 डिग्री काउंटर-क्लॉकवाइज़ घुमाया जाता है, तो दूसरी पंक्ति में x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन की डिग्री होगी 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 डिग्री

लाइन_p xa=-2;ya=-8;f=86.309932474019

दिए गए मापदंडों के अनुसार सीधी रेखा पैरामीटर

सामान्य समीकरण एक्स + बाय + सी = 0

गुणांक ए = 23.011106998916

कारक बी = -1.4840558255286

गुणांक सी = 34.149767393603

खंडों x/a+y/b = 1 में एक सीधी रेखा का समीकरण

गुणांक ए = -1.4840558255286

गुणांक बी = 23.011106998916

कोणीय गुणांक y = kx + b के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण

गुणांक के = 15.505553499458

अक्ष के झुकाव का कोण (डिग्री में) f = 86.309932474019

रेखा x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0 का सामान्य समीकरण

गुणांक पी = -1.4809790664999

गुणांक क्यू = 3.0771888256405

बिंदुओं के बीच की दूरी = 23.058912962428

बिंदु से रेखा की दूरी li =

अर्थात्, हमारी दूसरी पंक्ति का समीकरण y= है 15.505553499458x+ 23.011106998916

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु

हमें उनके गुणांकों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाएँ और दी जाती हैं। उनके प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजना आवश्यक है, या यह पता लगाना है कि रेखाएँ समानांतर हैं।

समाधान

यदि दो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं, तो वे प्रतिच्छेद करती हैं। चौराहे के बिंदु को खोजने के लिए, दो समीकरणों की एक प्रणाली बनाने और इसे हल करने के लिए पर्याप्त है:

क्रैमर के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम तुरंत सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं, जो वांछित होगा चौराहे की जगह:

यदि भाजक शून्य है, अर्थात

तब समाधान की प्रणाली में कोई (प्रत्यक्ष समानांतर हैंऔर मेल नहीं खाते) या असीम रूप से कई हैं (प्रत्यक्ष मिलान). यदि इन दो मामलों के बीच अंतर करना आवश्यक है, तो यह जांचना आवश्यक है कि लाइनों के गुणांक गुणांक के समान आनुपातिक गुणांक के साथ आनुपातिक हैं और जिसके लिए यह दो निर्धारकों की गणना करने के लिए पर्याप्त है, यदि वे दोनों समान हैं शून्य करने के लिए, तो रेखाएँ संपाती हैं:

कार्यान्वयन

संरचना पीटी (डबल एक्स, वाई;); संरचना रेखा (डबल ए, बी, सी;); स्थिर डबल ईपीएस = 1e-9; डबल डेट (डबल ए, डबल बी, डबल सी, डबल डी) (रिटर्न ए * डी - बी * सी;) बूल इंटरसेक्ट (लाइन एम, लाइन एन, पीटी और रेस) (डबल जेडएन = डीईटी (एमए, एमबी, एनए , n.b); अगर (एब्स (zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}

श्रृंखला से सबक " ज्यामितीय एल्गोरिदम»

नमस्कार प्रिय पाठक।

युक्ति 1: दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक कैसे ज्ञात करें

आइए तीन और नए कार्य लिखें।

लाइन्सक्रॉस () फ़ंक्शन यह निर्धारित करेगा कि क्या इंटरसेक्टचाहे दो खंड. इसमें वेक्टर उत्पादों का उपयोग करके खंडों की सापेक्ष स्थिति निर्धारित की जाती है। वेक्टर उत्पादों की गणना करने के लिए, आइए एक फ़ंक्शन लिखें - VektorMulti ()।

RealLess () फ़ंक्शन का उपयोग तुलना ऑपरेशन को लागू करने के लिए किया जाएगा।<” (строго меньше) для вещественных чисел.

कार्य 1। उनके निर्देशांक द्वारा दो खंड दिए गए हैं। एक प्रोग्राम लिखें जो निर्धारित करता है क्या ये खंड प्रतिच्छेद करते हैं?प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजे बिना।

समाधान
. दूसरा डॉट्स द्वारा दिया गया है।

एक खंड और अंक और पर विचार करें।

बिंदु रेखा के बाईं ओर स्थित है, जिसके लिए वेक्टर उत्पाद > 0, क्योंकि सदिश धनात्मक उन्मुख होते हैं।

बिंदु रेखा के दाईं ओर स्थित है, इसके लिए वेक्टर उत्पाद< 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

बिंदुओं के लिए तथा , रेखा के विपरीत पक्षों पर झूठ बोलने के लिए, यह स्थिति पर्याप्त है< 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

खंड और अंक और के लिए समान तर्क दिया जा सकता है।

तो यदि , फिर खंड प्रतिच्छेद करते हैं।

इस स्थिति की जाँच करने के लिए, LinesCross() फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है, और वेक्टर उत्पादों की गणना करने के लिए, VektorMulti() फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है।

ax, ay पहले सदिश के निर्देशांक हैं,

bx, by दूसरे वेक्टर के निर्देशांक हैं।

कार्यक्रम ज्यामिति4; (क्या 2 खंड प्रतिच्छेद करते हैं?) Const _Eps: Real=1e-4; (गणना सटीकता) var X1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4: वास्तविक; var v1,v2,v3,v4: real; function RealLess(Const a, b: Real): बूलियन; (सख्ती से कम) RealLess शुरू करें: = b-a> _Eps अंत; (RealLess) function VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): वास्तविक; (ax,ay - a निर्देशांक bx, by - b निर्देशांक) start vektormulti:= ax*by-bx*ay; अंत; फ़ंक्शन लाइन्सक्रॉस (X1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4: वास्तविक): बूलियन; (क्या खंड प्रतिच्छेद करते हैं?) start v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vectormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vectormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vectormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); अगर रियललेस(v1*v2.0) और रियललेस(v3*v4.0) (v1v2)<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.

कार्यक्रम निष्पादन परिणाम:

खंडों के निर्देशांक दर्ज करें: -1 1 2 2.52 2 1 -1 3
हाँ।

हमने एक प्रोग्राम लिखा है जो यह निर्धारित करता है कि उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए खंड प्रतिच्छेद करते हैं या नहीं।

अगले पाठ में, हम एक एल्गोरिथम लिखेंगे जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि कोई बिंदु त्रिभुज के अंदर स्थित है या नहीं।

प्रिय पाठक।

आपने ज्यामितीय एल्गोरिथम श्रृंखला के कई पाठ पहले ही पढ़ लिए हैं। क्या सब कुछ लिखित उपलब्ध है? यदि आप इन पाठों के बारे में समीक्षा छोड़ते हैं तो मैं बहुत आभारी रहूंगा। शायद कुछ और सुधार की जरूरत है।

साभार, वेरा गोस्पोडारेट्स।

दो खंड दिए जाने दें। पहला डॉट्स द्वारा दिया गया है पी 1 (एक्स 1; वाई 1)और पी 2 (एक्स 2; वाई 2). दूसरा डॉट्स द्वारा दिया गया है पी 3 (एक्स 3; वाई 3)और पी 4 (एक्स 4; वाई 4).

वेक्टर उत्पादों का उपयोग करके खंडों की सापेक्ष स्थिति की जाँच की जा सकती है:

खंड पर विचार करें पी 3 पी 4और अंक पी 1और प2.

डॉट पी 1रेखा के बाईं ओर स्थित है पी 3 पी 4, इसके लिए वेक्टर उत्पाद v1 > 0, क्योंकि वैक्टर सकारात्मक रूप से उन्मुख होते हैं।
डॉट प2लाइन के दाईं ओर स्थित है, इसके लिए वेक्टर उत्पाद वी 2< 0 , क्योंकि वैक्टर नकारात्मक रूप से उन्मुख होते हैं।

इंगित करने के लिए पी 1और प2एक सीधी रेखा के विपरीत दिशा में लेटें पी 3 पी 4, यह पर्याप्त है कि स्थिति वी 1 वी 2< 0 (वेक्टर उत्पादों के विपरीत संकेत थे)।

इसी तरह के तर्क खंड के लिए किए जा सकते हैं पी 1 पी 2और अंक पी 3और पी 4.

तो यदि वी 1 वी 2< 0 और वी 3 वी 4< 0 , फिर खंड प्रतिच्छेद करते हैं।

दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

कहाँ:
कुल्हाड़ी, एयपहले वेक्टर के निर्देशांक हैं,
bx, द्वारादूसरे वेक्टर के निर्देशांक हैं।

उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए दो अलग-अलग बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण।

एक सीधी रेखा पर दो गैर-संपाती बिंदु दिए जाने दें: पी 1निर्देशांक के साथ ( एक्स1;वाई1)और प2निर्देशांक के साथ (एक्स 2; वाई 2).

रेखा चौराहा

तदनुसार, बिंदु पर मूल के साथ वेक्टर पी 1और एक बिंदु पर समाप्त प2निर्देशांक हैं (एक्स 2 -एक्स 1, वाई 2 -वाई 1). अगर पी (एक्स, वाई)रेखा पर एक मनमाना बिंदु है, फिर वेक्टर के निर्देशांक पी 1 पीबराबर (एक्स - एक्स 1, वाई - वाई 1)।

क्रॉस उत्पाद की मदद से, सदिशों की संपार्श्विकता की स्थिति पी 1 पीऔर पी 1 पी 2इस प्रकार लिखा जा सकता है:
|पी 1 पी,पी 1 पी 2 |=0, अर्थात। (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
या
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0

अंतिम समीकरण इस प्रकार फिर से लिखा गया है:
कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0, (1)
कहाँ
ए \u003d (वाई 2 -वाई 1),
बी \u003d (एक्स 1 -एक्स 2),
सी \u003d एक्स 1 (वाई 1 -वाई 2) + वाई 1 (एक्स 2 -एक्स 1)

अतः सरल रेखा को समीकरण (1) के रूप में दिया जा सकता है।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता कैसे लगाएं?
स्पष्ट समाधान लाइनों के समीकरणों की प्रणाली को हल करना है:

ax 1 +by 1 =-c 1
कुल्हाड़ी 2 + बाई 2 =-सी 2 (2)

पदनाम दर्ज करें:

यहाँ डीप्रणाली का निर्धारक है, और डी एक्स, डी वाईसंगत अज्ञात के लिए गुणांकों के स्तंभ को मुक्त पदों के स्तंभ से प्रतिस्थापित करके प्राप्त निर्धारक हैं। अगर डी ≠ 0, तब निकाय (2) निश्चित है, अर्थात् इसका एक अद्वितीय हल है। यह समाधान निम्न सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है: एक्स 1 \u003d डी एक्स / डी, वाई 1 \u003d डी वाई / डी, जिन्हें क्रैमर का सूत्र कहा जाता है। दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना कैसे की जाती है, इसका एक छोटा सा अनुस्मारक। निर्धारक दो विकर्णों के बीच अंतर करता है: मुख्य और द्वितीयक। मुख्य विकर्ण में निर्धारक के ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएं कोने तक दिशा में ले जाने वाले तत्व होते हैं। पार्श्व विकर्ण - ऊपरी दाएँ से निचले बाएँ तक। दूसरा क्रम निर्धारक मुख्य विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर होता है जो द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के बराबर होता है।

अगर सीधा

फिर उसी विमान में लेट जाओ

या वेक्टर रूप में

इसके विपरीत, यदि स्थिति (3) संतुष्ट होती है, तो रेखाएँ एक ही तल में स्थित होती हैं।

व्याख्या। यदि रेखाएँ (1) और (2) एक ही तल में स्थित हैं, तो रेखा उत्तरार्द्ध (चित्र 177) में स्थित है, अर्थात, वैक्टर समतलीय (और इसके विपरीत) हैं। यही समीकरण (3) व्यक्त करता है (देखें § 120)।

टिप्पणी। अगर (इस मामले में (3) जरूरी संतुष्ट है), तो रेखाएं समानांतर हैं। अन्यथा, स्थिति (3) को संतुष्ट करने वाली रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

उदाहरण। निर्धारित करें कि क्या रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं

और यदि हां, तो किस बिंदु पर।

समाधान। सीधी रेखाएँ (1) और (2) एक ही तल में होती हैं, क्योंकि सारणिक (3) के बराबर लुप्त हो जाता है। ये रेखाएँ समानांतर नहीं हैं (गाइड कारक आनुपातिक नहीं हैं)। प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए, तीन अज्ञात के साथ चार समीकरणों (1), (2) की प्रणाली को हल करना आवश्यक है। एक नियम के रूप में, ऐसी प्रणाली का कोई समाधान नहीं है, लेकिन इस मामले में (शर्त (3) की पूर्ति के कारण) एक समाधान है। किसी भी तीन समीकरणों की प्रणाली को हल करने के बाद, हमें चौथा समीकरण मिलता है। चौराहा बिंदु (1; 2; 3)।