הגדר את היקף קוטר מיתר רדיוס מעגל. מהו מעגל כדמות גיאומטרית: תכונות ומאפיינים בסיסיים

מעגלהוא דמות המורכבת מכל הנקודות במישור הנמצאות במרחק שווה מנקודה נתונה. נקודה זו נקראת מרכז המעגל.

מעגל ברדיוס אפס (מעגל מנוון) הוא נקודה; לפעמים מקרה זה אינו נכלל בהגדרה.

יוטיוב אנציקלופדית

1 / 5

מעגל ומאפייניו (bezbotvy)

עיגול רשום ומוגבל - מבית bezbotvy

מתמטיקה: הכנה ל-OGE ולבחינת המדינה המאוחדת. פלנימטריה. מעגלים ותכונותיהם

מתמטיקה 26. מצפנים. מעגל ומעגל - בית ספר שישקינה

משוואת מעגל. משימה 18 (C5). ארתור שריפוב

כתוביות

יִעוּד

אם מעגל עובר, למשל, דרך נקודות A, B, C, אז הוא מסומן על ידי ציון נקודות אלה בסוגריים: (A, B, C). אז קשת המעגל העוברת דרך נקודות A, B, C מסומנת כקשת ABC (או קשת AC), כמו גם υ ABC (או υ AC).

הגדרות אחרות

עיגול קוטר א.ב א, ב א.בגלוי בזווית ישרה (הגדרה דרך הזווית על סמך קוטר המעגל).

עיגול עם אקורד א.בהוא דמות המורכבת מנקודות א, בוכל נקודות המישור שמהן הקטע א.בגלוי בזווית קבועה מצד אחד, שווה ל זווית חתומה של קשת AB, ובזווית קבועה נוספת בצד השני, שווה ל-180 מעלות מינוס זווית חתומה של קשת AB, המצוין לעיל (הגדרה באמצעות זווית חרוטה).
דמות המורכבת מנקודות כאלה X , (\displaystyle X,)שהיחס בין אורכי הקטעים גַרזֶןו BXתָמִיד: A X B X = c ≠ 1 , (\displaystyle (\frac (AX)(BX))=c\neq 1,)הוא מעגל (הגדרה דרך מעגל אפולוניוס).
נתון המורכב מכל הנקודות הללו, שלכל אחת מהן סכום ריבועי המרחקים לשתי נקודות נתונות שווה לערך נתון הגדול ממחצית הריבוע של המרחק בין הנקודות הנתונות, הוא גם מעגל (הגדרה דרך משפט פיתגורס עבור משולש ישר זווית שרירותי הכתוב במעגל עם תחתית, שהוא קוטר המעגל).
Mלצייר אקורדים בתוכו א.ב, CD, E.F.וכו', אז השוויון תקף: A M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F = … (\displaystyle AM\cdot (MB)=CM\cdot (MD)=EM\cdot (MF)=\dots ). השוויון תמיד יסופק ללא קשר לבחירת הנקודה Mוכיווני האקורדים המצוירים דרכו (הגדרה באמצעות אקורדים מצטלבים).
מעגל הוא דמות סגורה, שאינה מצטלבת עם התכונה הבאה. אם דרך נקודה שרירותית Mמחוצה לו, צייר שני משיקים לנקודות המגע שלהם עם המעגל, למשל, או ב, אז האורכים שלהם תמיד יהיו שווים: M A = M B (\displaystyle MA=MB). השוויון תמיד יתקיים ללא קשר לבחירת הנקודה M(הגדרה באמצעות משיקים שווים).
מעגל הוא דמות סגורה, שאינה מצטלבת עם התכונה הבאה. היחס בין האורך של כל אחד מהאקורדים שלו לסינוס של כל אחד מהם זווית חרוטה, המבוסס על אקורד זה, הוא ערך קבוע השווה לקוטר המעגל הזה (הגדרה דרך משפט הסינוסים).
מעגל הוא מקרה מיוחד של אליפסה, שבה המרחק בין המוקדים הוא אפס (הגדרה במונחים של אליפסה מנוונת).

הגדרות קשורות למעגל אחד

המיקום הגיאומטרי של נקודות במישור, שהמרחק ממנה לנקודה נתונה אינו גדול ממרחק נתון שאינו אפס, נקרא מסביב .
רַדִיוּס- לא רק המרחק, אלא גם קטע המחבר את מרכז המעגל עם אחת מנקודותיו. הרדיוס הוא תמיד חצי קוֹטֶרמעגלים.
הרדיוס תמיד מאונך לקו המשיק המצויר למעגל בנקודה המשותפת שלו עם המעגל. כלומר, הרדיוס הוא גם הנורמלי למעגל.
המעגל נקרא יחיד , אם הרדיוס שלו שווה לאחד. מעגל יחידההוא אחד האובייקטים העיקריים של הטריגונומטריה.
קטע המחבר שתי נקודות במעגל נקרא שלו אַקוֹרד. מיתר שעובר במרכז המעגל נקרא קוֹטֶר.
כל שתי נקודות לא חופפות במעגל מחלקות אותו לשני חלקים. כל אחד מהחלקים הללו נקרא קשת של מעגל. הקשת נקראת חצי עיגול, אם הקטע המחבר את קצותיו הוא קוטר.
אורכו של חצי עיגול יחידה מסומן ב- .

קו ישר שיש לו בדיוק נקודה משותפת אחת עם מעגל נקרא מַשִׁיקלמעגל, והנקודה המשותפת שלהם נקראת נקודת המגע של הקו והמעגל.
מַשִׁיקלמעגל הוא תמיד מאונך לרדיוס (וקוטרו) שלו מצויר בנקודת המגע, כלומר נוֹרמָלִי, בוצע בשלב זה.
קו ישר העובר דרך שתי נקודות שונות במעגל נקרא חוֹתֵך.

הגדרת משולשים למעגל אחד

משולש ABC נקרא רשום במעגל(A,B,C) אם כל שלושת הקודקודים שלו A,B ו-C נמצאים על המעגל הזה. במקרה זה המעגל נקרא מעגל מוקףמשולש ABC (ראה Circumcircle).
מַשִׁיקלמעגל המצויר דרך כל קודקוד של משולש הכתוב בו הוא אנטי מקביל לצלע של המשולש מול הקודקוד הנתון.
משולש ABC נקרא מוקף בערך מעגל(A",B",C"), אם כל שלוש הצלעות שלו AB, BC ו-CA נוגעות במעגל זה בנקודות C", A" ו-B", בהתאמה. במקרה זה המעגל נקרא עיגול רשוםמשולש ABC (ראה עיגול רשום).

הגדרות של זוויות עבור עיגול אחד

הזווית שנוצרת על ידי קשת של מעגל שווה באורכה לרדיוס נלקחת כ-1 רדיאן.

מֶרכָּזִיזווית - זווית שקודקודה במרכז המעגל. הזווית המרכזית שווה למידת הרדיאן/מעלה של הקשת עליה היא נשענת (ראה איור).
כָּתוּבזווית - זווית שקודקודה מונח על מעגל ושצלעותיה חותכות מעגל זה. זווית כתובהשווה למחצית ממידת המעלות של הקשת שעליה הוא נשען (ראה איור).
פינה חיצוניתל כָּתוּבזווית - הזווית שנוצרת מצד אחד והמשך הצלע השנייה כָּתוּבזווית (ראה איור זווית θ צבע חום). פינה חיצוניתשכן לזווית הכתובה בצד השני של המעגל יש אותו ערך θ .
זווית בין מעגל לקו ישר- הזווית בין ישר למשיק למעגל בנקודת החיתוך של הישר והמעגל. שתי הזוויות בין מעגל חוצה לקו ישר שוות.
זווית מכוסה בקוטר של מעגל- זווית כתובה במעגל זה, שצלעותיה מכילות את קצות הקוטר. הוא תמיד ישיר.

הגדרות קשורות לשני מעגלים

שני מעגלים בעלי מרכז משותף נקראים קונצנטרי.
שני מעגלים שיש להם רק נקודה משותפת אחת נקראים בִּדְבַרחיצונית אם למעגלים שלהם אין נקודות משותפות אחרות, ובפנים אם המעגלים שלהם נמצאים זה בתוך זה.
שני מעגלים בעלי שתי נקודות משותפות נקראים מצטלבים. המעגלים שלהם (התוחמים בהם) מצטלבים באזור הנקרא קטע מעגל כפול.
זָוִיתבין שני מעגלים חוצים (או משיקים) היא הזווית בין המשיקים שלהם המצויירת בנקודת החיתוך המשותפת (או המשיקים).
גַם זָוִיתבין שני מעגלים חותכים (או משיקים), נוכל לשקול את הזווית בין הרדיוסים (הקוטרים) שלהם המצויירים בנקודת החיתוך המשותפת (או הנקודה המשותפת).
מכיוון שלכל עיגול הרדיוס (או הקוטר) שלו והמשיק הנמשכים דרך כל נקודה של המעגל מאונכים זה לזה, ניתן להתייחס לרדיוס (או הקוטר) נוֹרמָלִילמעגל שנבנה בנקודה נתונה. כתוצאה מכך, שני סוגי הזוויות שהוגדרו בשתי הפסקאות הקודמות יהיו תמיד שווים זה לזה, כמו זוויות עם צלעות מאונכות זו לזו.
זווית ישרה נקראים מְאוּנָך. ניתן לספור מעגלים מְאוּנָך, אם הם יוצרים זווית ישרה זה עם זה.
ציר רדיקלי של שני מעגלים- מוקד גיאומטרי של נקודות שהדרגות שלהן ביחס לשני עיגולים נתונים שוות. במילים אחרות, האורכים של ארבעה משיקים הנמשכים לשני עיגולים נתונים מכל נקודה שווים Mנתון מיקום גיאומטרי של נקודות.

הגדרות זווית לשני עיגולים

זווית בין שני מעגלים מצטלבים- הזווית בין המשיקים למעגלים בנקודת החיתוך של מעגלים אלו. שתי הזוויות בין שני מעגלים מצטלבים שוות.
זווית בין שני מעגלים מפורקים- הזווית בין שני משיקים משותפים לשני מעגלים, הנוצרים בנקודת החיתוך של שני המשיקים הללו. נקודת החיתוך של שני המשיקים הללו חייבת להיות בין שני המעגלים, ולא בצד של אחד מהם (זווית זו אינה נחשבת). שתי הזוויות האנכיות בין שני מעגלים מפורקים שוות.

אורתוגונליות

שני מעגלים המצטלבים בזוויות ישרות נקראים מְאוּנָך. ניתן לספור מעגלים מְאוּנָך, אם הם יוצרים זווית ישרה זה עם זה.
נקראים שני מעגלים המצטלבים בנקודות A ו-B עם מרכזי O ו-O מְאוּנָך, אם הזוויות OAO" ו-OBO" הן זוויות ישרות. התנאי הזה הוא שמבטיח זווית נכונהבין מעגלים. במקרה זה, הרדיוסים (הנורמליים) של שני המעגלים המצוירים לנקודת החיתוך שלהם מאונכים. כתוצאה מכך, המשיקים של שני מעגלים הנמשכים לנקודת החיתוך שלהם הם גם בניצב. הטנגנס של מעגל מאונך לרדיוס (הרגיל) הנמשך לנקודת המשיכה. בדרך כלל, הזווית בין עקומות היא הזווית בין המשיקים שלהן המצויירת בנקודת החיתוך שלהן.
תנאי נוסף אפשרי. תנו לשני מעגלים החותכים בנקודות A ו-B את נקודות האמצע של קשתות מצטלבות בנקודות C ו-D, כלומר, קשת AC שווה לקשת CB, קשת AD שווה לקשת DB. ואז קוראים למעגלים האלה מְאוּנָך, אם הזוויות CAD ו-CBD הן זוויות ישרות.

הגדרות קשורות לשלושה מעגלים

שלושה מעגלים נקראים משיקים הדדיים (מצטלבים) אם שניים מהם נוגעים (מצטלבים) זה בזה.
בגיאומטריה מרכז רדיקלישלושה מעגלים היא נקודת החיתוך של שלושת הצירים הרדיקליים של זוגות מעגלים. אם המרכז הרדיקלי נמצא מחוץ לשלושת המעגלים, אז הוא מרכזו של מעגל בודד ( מעגל רדיקלי), אשר חוצה שלושה עיגולים נתונים מְאוּנָך.

הלמה של ארכימדס

הוכחה

לתת G (\displaystyle G)- הומוטיות שהופכת עיגול קטן למעגל גדול. אז ברור ש A 1 (\displaystyle A_(1))הוא המרכז של ההומוטיות הזו. ואז ישר B C (\displaystyle BC)יכנס לאיזשהו קו ישר a (\displaystyle a)משיק למעגל הגדול, ו A 2 (\displaystyle A_(2))יגיע לנקודה על הקו הזה ושייך למעגל גדול. אם נזכור שההומותטיה לוקחת קווים לקווים מקבילים אליהם, אנו מבינים זאת a ∥ B C (\displaystyle a\parallel BC). לתת G (A 2) = A 3 (\displaystyle G(A_(2))=A_(3))ו D (\displaystyle D)- הצבע על קו a (\displaystyle a), כזה שהוא חד, ו E (\displaystyle E)- נקודה כזו על קו a (\displaystyle a), מה ∠ B A 3 E (\displaystyle \angle BA_(3)E)- חריף. ואז, מאז a (\displaystyle a)- משיק למעגל הגדול ∠ C A 3 D (\displaystyle \angle CA_(3)D)= (\displaystyle =)∠ C B A 3 (\displaystyle \angle CBA_(3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\displaystyle =\angle BA_(3)E=\angle BCA_(3)). לָכֵן △ B C A 3 (\displaystyle \bigtriangleup BCA_(3))- שווה שוקיים, כלומר ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 (\displaystyle \angle BA_(1)A_(3)=\angle CA_(1)A_(3)), זה A 1 A 2 (\displaystyle A_(1)A_(2))- חוצה זווית ∠ B A 1 C (\displaystyle \angle BA_(1)C).

משפט דקארט לרדיוסים של ארבעה מעגלים משיקים בכיוון זוג

משפט דקארט"קובע כי הרדיוסים של כל ארבעה מעגלים משיקים זה לזה עומדים במשוואה ריבועית מסוימת. הם נקראים לפעמים חוגי Soddy.

נכסים

x 2 + y 2 = R 2 . (\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2).)

משוואת מעגל העובר דרך נקודות (x 1 , y 1) , (x 2 , y 2) , (x 3 , y 3) , (\displaystyle \left(x_(1),y_(1)\right),\left(x_(2) ,y_(2)\right),\left(x_(3),y_(3)\right),)לא שוכב על אותו קו ישר (באמצעות קביעה):

| x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 | = 0. (\displaystyle (\begin(vmatrix)x^(2)+y^(2)&x&y&1\\x_(1)^(2)+y_(1)^(2)&x_(1)&y_(1) )&1\\x_(2)^(2)+y_(2)^(2)&x_(2)&y_(2)&1\\x_(3)^(2)+y_(3)^(2)&x_ (3)&y_(3)&1\end(vmatrix))=0.) ( x = x 0 + R cos ⁡ φ y = y 0 + R sin ⁡ φ , 0 ⩽ φ< 2 π . {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases}},\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .}

במערכת הקואורדינטות הקרטזית, מעגל אינו גרף של פונקציה, אך ניתן לתאר אותו כאיחוד הגרפים של שתי הפונקציות הבאות:

y = y 0 ± R 2 − (x − x 0) 2 . (\displaystyle y=y_(0)\pm (\sqrt (R^(2)-(x-x_(0))^(2))).)

אם מרכז המעגל חופף למקור, הפונקציות לובשות את הצורה:

y = ± R 2 − x 2. (\displaystyle y=\pm (\sqrt (R^(2)-x^(2))).)

קואורדינטות קוטביות

רדיוס עיגול R (\displaystyle R)מרוכז בנקודה (ρ 0 , ϕ 0) (\displaystyle \left(\rho _(0),\phi _(0)\right)).

מעגל הוא קו סגור מעוקל במישור, שכל נקודותיו נמצאות באותו מרחק מנקודה אחת; נקודה זו נקראת מרכז המעגל.

החלק של המישור התחום במעגל נקרא מעגל.

קטע ישר המחבר בין נקודה במעגל למרכזה נקרא רדיוס(איור 84).

מכיוון שכל נקודות המעגל נמצאות באותו מרחק מהמרכז, אז כל הרדיוסים של אותו מעגל שווים זה לזה. הרדיוס מסומן בדרך כלל באות ראוֹ ר.

נקודה שצולמה בתוך מעגל ממוקמת ממרכזו במרחק קטן מהרדיוס. קל לאמת זאת אם אתה מצייר רדיוס דרך נקודה זו (איור 85).

נקודה שצולמה מחוץ למעגל ממוקמת ממרכזה במרחק גדול מהרדיוס. ניתן לאמת זאת בקלות על ידי חיבור נקודה זו למרכז המעגל (איור 85).

קטע קו ישר המחבר שתי נקודות במעגל נקרא אקורד.

האקורד העובר במרכז נקרא קוטר(איור 84). הקוטר מסומן בדרך כלל באות D. הקוטר שווה לשני רדיוסים:

מכיוון שכל הרדיוסים של אותו מעגל שווים זה לזה, אז כל הקטרים של מעגל נתון שווים זה לזה.

מִשׁפָּט. אקורד שאינו עובר במרכז עיגול קטן מהקוטר המצויירת באותו עיגול.

למעשה, אם נצייר אקורד כלשהו, למשל AB, ונחבר את הקצוות שלו עם המרכז O (איור 86), נראה שהאקורד AB קטן מהקו השבור AO+OB, כלומר AB r, ומאז 2 ר= D, ואז AB

אם המעגל מכופף לאורך הקוטר (איור 87), אז שני חלקי המעגל והמעגל יתיישרו. הקוטר מחלק את המעגל וההיקף לשני חלקים שווים.

שני עיגולים (שני עיגולים) נקראים שווים אם ניתן להרכיבם זה על זה כך שהם חופפים.

לכן, שני עיגולים (שני עיגולים) בעלי רדיוסים שווים שווים.

2. קשת מעגל.

חלק ממעגל נקרא קשת.

המילה "קשת" מוחלפת לפעמים בסימן \(\breve( )\). קשת מסומנת על ידי שתיים או שלוש אותיות, שתיים מהן ממוקמות בקצות הקשת, והשלישית בנקודה כלשהי על הקשת. בשרטוט 88, מצוינות שתי קשתות: \(\breve(ACB)\) ו-\(\breve(ADB)\).

כאשר קשת קטנה מחצי עיגול, היא מסומנת בדרך כלל בשתי אותיות. לפיכך, arc ADB יכול להיות מוגדר \(\breve(AB)\) (איור 88). נאמר כי אקורד המחבר את קצוות הקשת הוא מושך את הקשת.

אם נזיז את הקשת AC (איור 89, א) כך שתגלוש לאורך המעגל הנתון, ואם במקביל היא תואמת את הקשת MN, אז \(\breve(AC)\) = \(\breve (NM)\).

בשרטוט 89, b, קשתות AC ו-AB אינן שוות זו לזו. שתי הקשתות מתחילות בנקודה A, אבל קשת אחת \(\breve(AB)\) היא רק חלק מהקשת השנייה \(\breve(AC)\).

לכן \(\breve(AC)\) > \(\breve(AB)\); \(\breve(AB)\)

בניית מעגל באמצעות שלוש נקודות

מְשִׁימָה. צייר עיגול דרך שלוש נקודות שאינן שוכנות על אותו קו.

תנו לנו שלוש נקודות A, B ו-C שאינן שוכנות על אותו קו ישר (איור 311).

בואו נחבר את הנקודות הללו עם קטעים AB ו-BC. כדי למצוא נקודות במרחק שווה מנקודות A ו-B, חלקו את הקטע AB לשניים ושרטטו קו מאונך ל-AB דרך האמצע (נקודה M). כל נקודה של הניצב הזה מרוחקת באותה מידה מנקודות A ו-B.

כדי למצוא נקודות במרחק שווה מנקודות B ו-C, נחלק את הקטע BC לשניים ונצייר קו מאונך ל-BC דרך האמצע שלו (נקודה N). כל נקודה של הניצב הזה מרוחקת באותה מידה מנקודות B ו-C.

נקודת O של המפגש של הניצבים הללו תהיה באותו מרחק מנקודות אלו A, B ו-C (AO = BO = CO). אם ניקח את נקודת O כמרכז מעגל, עם רדיוס שווה ל-AO, נצייר מעגל, אז הוא יעבור דרך כל הנקודות הנתונות A, B ו-C.

נקודה O היא הנקודה היחידה שיכולה לשמש כמרכז מעגל העובר בשלוש נקודות A, B ו-C שאינן שוכנות על אותו קו, שכן שני אנכים לקטעים AB ו-BC יכולים להצטלב רק בנקודה אחת. זה אומר שלבעיה יש פתרון ייחודי.

הערה. אם שלוש נקודות A, B ו-C שוכנות על אותו קו ישר, אז לבעיה לא יהיה פתרון, שכן הניצבים לקטעים AB ו-BC יהיו מקבילים ולא תהיה נקודה מרוחקת באותה מידה מנקודות A, B, C, כלומר ... נקודה שיכולה לשמש כמרכז המעגל הרצוי.

אם נחבר את נקודות A ו-C עם קטע ונחבר את אמצע הקטע הזה (נקודה K) עם מרכז המעגל O, אז OK יהיה מאונך ל-AC (איור 311), שכן במשולש שווה שוקיים AOC OK הוא החציון, לכן OK⊥AC.

תוֹצָאָה. שלושה ניצבים לצלעות של משולש המצוירות דרך נקודות האמצע שלהם מצטלבים בנקודה אחת.

מעגל- דמות גיאומטרית המורכבת מכל נקודות המישור הממוקמות במרחק נתון מנקודה נתונה.

נקודה זו (O) נקראת מרכז המעגל.
רדיוס עיגול- זהו קטע המחבר את המרכז עם כל נקודה במעגל. לכל הרדיוסים יש אותו אורך (בהגדרה).
אַקוֹרד- קטע המחבר שתי נקודות במעגל. מיתר שעובר במרכז המעגל נקרא קוֹטֶר. מרכז המעגל הוא נקודת האמצע של כל קוטר.
כל שתי נקודות במעגל מחלקות אותו לשני חלקים. כל אחד מהחלקים הללו נקרא קשת של מעגל. הקשת נקראת חצי עיגול, אם הקטע המחבר את קצותיו הוא קוטר.
אורכו של חצי עיגול יחידה מסומן ב π .
סכום מידות המעלות של שתי קשתות של מעגל עם קצוות משותפים שווה ל 360º.
החלק של המישור התחום במעגל נקרא מסביב.
מגזר מעגלי- חלק ממעגל התחום בקשת ושני רדיוסים המחברים את קצוות הקשת למרכז המעגל. הקשת המגבילה את המגזר נקראת קשת של המגזר.
שני מעגלים בעלי מרכז משותף נקראים קונצנטרי.
שני מעגלים המצטלבים בזוויות ישרות נקראים מְאוּנָך.

המיקום היחסי של קו ישר ומעגל

אם המרחק ממרכז המעגל לקו הישר קטן מרדיוס המעגל ( ד), אז לקו הישר ולמעגל יש שתי נקודות משותפות. במקרה זה הקו נקרא חוֹתֵךביחס למעגל.
אם המרחק ממרכז המעגל לישר שווה לרדיוס המעגל, אזי ישר והמעגל יש רק נקודה משותפת אחת. הקו הזה נקרא משיק למעגל, והנקודה המשותפת שלהם נקראת נקודת מישוש בין קו למעגל.
אם המרחק ממרכז המעגל לישר גדול מרדיוס המעגל, אז הישר והעיגול אין נקודות משותפות

זוויות מרכזיות וכתובות

זווית מרכזיתהיא זווית שקודקודה במרכז המעגל.
זווית כתובה- זווית שקודקודה מונח על מעגל ושצלעותיה חותכות את המעגל.

משפט הזווית הכתובה

זווית חרוטה נמדדת בחצי הקשת שעליה היא נשענת.

מסקנה 1.
זוויות חרוטות המשתנות את אותה קשת שוות.

מסקנה 2.
זווית חרוטת המונחת על ידי חצי עיגול היא זווית ישרה.

משפט על מכפלת מקטעים של אקורדים מצטלבים.

אם שני אקורדים של מעגל מצטלבים, אז המכפלה של המקטעים של אקורד אחד שווה למכפלת המקטעים של האקורד השני.

נוסחאות בסיסיות

הֶקֵף:

C = 2∙π∙R

אורך קשת מעגלית:

R = С/(2∙π) = D/2

קוֹטֶר:

D = C/π = 2∙R

אורך קשת מעגלית:

l = (π∙R) / 180∙α,
איפה α - מידת מעלות של אורך קשת מעגלית)

שטח של מעגל:

S = π∙R 2

אזור המגזר המעגלי:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

משוואת מעגל

במערכת קואורדינטות מלבנית, משוואת מעגל עם רדיוס היא רמרוכז בנקודה ג(x o;y o) יש את הצורה:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

למשוואה של מעגל ברדיוס r עם מרכז במקור יש את הצורה:

x 2 + y 2 = r 2

ראשית, בואו נבין את ההבדל בין מעגל למעגל. כדי לראות את ההבדל הזה, די לשקול מהם שני הנתונים. אלו הן מספר אינסופי של נקודות במישור, הממוקמות במרחק שווה מנקודה מרכזית אחת. אבל, אם המעגל מורכב גם ממרחב פנימי, אז הוא לא שייך למעגל. מסתבר שמעגל הוא גם מעגל שמגביל אותו (מעגל(r)), וגם מספר אינספור של נקודות שנמצאות בתוך המעגל.

עבור כל נקודה L המונחת על המעגל, השוויון OL=R חל. (אורך הקטע OL שווה לרדיוס המעגל).

קטע שמחבר שתי נקודות במעגל הוא שלו אַקוֹרד.

אקורד העובר ישירות דרך מרכז המעגל הוא קוֹטֶרהמעגל הזה (D). ניתן לחשב את הקוטר באמצעות הנוסחה: D=2R

הֶקֵףמחושב לפי הנוסחה: C=2\pi R

שטח של מעגל: S=\pi R^(2)

קשת של מעגלנקרא אותו חלק שלו שנמצא בין שתי הנקודות שלו. שתי נקודות אלו מגדירות שתי קשתות של מעגל. תקליטור האקורד מגן על שתי קשתות: CMD ו-CLD. אקורדים זהים מחזיקים קשתות שוות.

זווית מרכזיתזווית שנמצאת בין שני רדיוסים נקראת.

אורך קשתניתן למצוא באמצעות הנוסחה:

שימוש במדידת מעלות: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
שימוש במדד רדיאן: CD = \alpha R

הקוטר, הניצב לאקורד, מחלק את האקורד ואת הקשתות המכווצות על ידו לשניים.

אם האקורדים AB ו-CD של המעגל מצטלבים בנקודה N, אז התוצרים של קטעי האקורדים המופרדים בנקודה N שווים זה לזה.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

טנג'נט למעגל

טנג'נט למעגלנהוג לקרוא לקו ישר שיש לו נקודה משותפת אחת עם עיגול.

אם לקו יש שתי נקודות משותפות, הוא נקרא חוֹתֵך.

אם תצייר את הרדיוס לנקודת המשיק, הוא יהיה מאונך למשיק למעגל.

נצייר שני משיקים מנקודה זו למעגל שלנו. מסתבר שהמקטעים המשיקים יהיו שווים זה לזה, ומרכז המעגל ימוקם בחציו של הזווית עם הקודקוד בנקודה זו.

AC = CB

עכשיו בואו נצייר משיק וחתך למעגל מהנקודה שלנו. נקבל שריבוע אורך קטע המשיק יהיה שווה למכפלת כל קטע הסקאנט וחלקו החיצוני.

AC^(2) = CD \cdot BC

ניתן להסיק: המכפלה של קטע שלם של הקטע הראשון והחלק החיצוני שלו שווה למכפלה של קטע שלם של הקטע השני והחלק החיצוני שלו.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

זוויות במעגל

מידות המעלות של הזווית המרכזית והקשת עליה היא נשענת שוות.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

זווית כתובההיא זווית שקודקודה על מעגל ושצלעותיה מכילות אקורדים.

אתה יכול לחשב אותו על ידי ידיעת גודל הקשת, שכן הוא שווה למחצית הקשת הזו.

\angle AOB = 2 \angle ADB

מבוסס על קוטר, זווית חתומה, זווית ישרה.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

זוויות חרוטות המשתרעות על אותה קשת זהות.

זוויות חרוטות הנשענות על אקורד אחד זהות או שסכוםן שווה ל-180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

על אותו עיגול נמצאים קודקודים של משולשים בעלי זוויות זהות ובסיס נתון.

זווית עם קודקוד בתוך המעגל וממוקמת בין שני מיתרים זהה למחצית מסכום הערכים הזוויתיים של קשתות המעגל הכלולים בתוך הזווית הנתונה והאנכית.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

זווית עם קודקוד מחוץ למעגל וממוקמת בין שני סקנטים זהה למחצית ההפרש בערכי הזווית של קשתות המעגל המוכלות בתוך הזווית.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

עיגול רשום

עיגול רשוםהוא מעגל המשיק לצלעות של מצולע.

בנקודה שבה חוצים חצויים של פינות מצולע, מרכזו ממוקם.

אין לרשום מעגל בכל מצולע.

השטח של מצולע עם עיגול רשום נמצא בנוסחה:

S = pr,

p הוא חצי ההיקף של המצולע,

r הוא רדיוס המעגל הכתוב.

מכאן נובע שרדיוס המעגל הכתוב שווה ל:

r = \frac(S)(p)

סכומי אורכי הצלעות הנגדיות יהיו זהים אם המעגל נרשם במרובע קמור. ולהיפך: מעגל מתאים למרובע קמור אם סכומי אורכי הצלעות הנגדיות זהים.

AB + DC = AD + BC

אפשר לרשום מעגל בכל אחד מהמשולשים. רק אחד בודד. בנקודה שבה חוצים חצויים של הזוויות הפנימיות של הדמות, מרכז המעגל החתום הזה ישכב.

רדיוס המעגל הכתוב מחושב על ידי הנוסחה:

r = \frac(S)(p) ,

כאשר p = \frac(a + b + c)(2)

מעגל מעגל

אם מעגל עובר דרך כל קודקוד של מצולע, אז מעגל כזה נקרא בדרך כלל מתואר על מצולע.

בנקודת החיתוך של חצויים הניצבים של הצדדים של דמות זו יהיה מרכז המעגל המקיף.

ניתן למצוא את הרדיוס על ידי חישובו כרדיוס המעגל המוקף סביב המשולש המוגדר על ידי כל 3 קודקודים של המצולע.

יש את התנאי הבא: ניתן לתאר מעגל סביב מרובע רק אם סכום הזוויות ההפוכות שלו שווה ל-180^( \circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

מסביב לכל משולש אפשר לתאר מעגל, ורק אחד. מרכז מעגל כזה ימוקם בנקודה שבה חוצים חצויים הניצבים של צלעות המשולש.

ניתן לחשב את רדיוס המעגל המוקף באמצעות הנוסחאות:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c הם אורכי צלעות המשולש,

S הוא שטח המשולש.

משפט תלמי

לבסוף, שקול את משפט תלמי.

משפט תלמי קובע שמכפלת האלכסונים זהה לסכום המכפלה של צלעות מנוגדות של מרובע מחזורי.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

כדי לקבל מושג כללי מהו עיגול, הסתכל על טבעת או חישוק. אפשר גם לקחת כוס וכוס עגולים, להניח אותם הפוך על פיסת נייר ולעקוב אחריו בעיפרון. בהגדלה חוזרת ונשנית, הקו המתקבל יהפוך לעבה ולא חלק לחלוטין, וקצוותיו יטושטשו. למעגל כדמות גיאומטרית אין מאפיין כמו עובי.

מעגל: הגדרה ואמצעי תיאור בסיסיים

מעגל הוא עקומה סגורה המורכבת מנקודות רבות הממוקמות באותו מישור ובמרחק שווה ממרכז המעגל. במקרה זה, המרכז נמצא באותו מישור. ככלל, הוא מסומן באות O.

המרחק מכל נקודה במעגל למרכז נקרא רדיוס ומסומן באות R.

אם מחברים שתי נקודות כלשהן במעגל, הקטע המתקבל ייקרא אקורד. המיתר העובר במרכז המעגל הוא הקוטר, המסומן באות D. הקוטר מחלק את המעגל לשתי קשתות שוות והוא כפול מאורך הרדיוס. לפיכך, D = 2R, או R = D/2.

מאפיינים של אקורדים

אם נמשך אקורד דרך שתי נקודות כלשהן של המעגל, ואז נמשך רדיוס או קוטר בניצב לזו האחרונה, אז קטע זה יפצל הן את האקורד והן את הקשת המנותקת על ידו לשני חלקים שווים. גם המשפט ההפוכה נכון: אם הרדיוס (הקוטר) מחלק את האקורד לשניים, אז הוא מאונך אליו.
אם נמשכים שני אקורדים מקבילים בתוך אותו מעגל, אז הקשתות המנותקות על ידם, כמו גם אלה הכלואות ביניהם, יהיו שוות.
נצייר שני אקורדים PR ו-QS המצטלבים בתוך המעגל בנקודה T. המכפלה של קטעים של אקורד אחד תמיד תהיה שווה למכפלה של קטעים של אקורד אחר, כלומר PT x TR = QT x TS.

היקף: מושג כללי ונוסחאות יסוד

אחד המאפיינים הבסיסיים של דמות גיאומטרית זו הוא ההיקף. הנוסחה נגזרת באמצעות כמויות כמו רדיוס, קוטר והקבוע "π", המשקפים את קביעות היחס בין ההיקף לקוטרו.

לפיכך, L = πD, או L = 2πR, כאשר L הוא ההיקף, D הוא הקוטר, R הוא הרדיוס.

הנוסחה להיקף יכולה להיחשב כראשונית כאשר מוצאים את הרדיוס או הקוטר עבור היקף נתון: D = L/π, R = L/2π.

מהו מעגל: הנחות בסיסיות

אין נקודות משותפות;
יש נקודה משותפת אחת, והישר נקרא משיק: אם תצייר רדיוס דרך המרכז ונקודת המשיק, אז הוא יהיה מאונך למשיק;
יש שתי נקודות משותפות, והקו נקרא סקאנט.

2. דרך שלוש נקודות שרירותיות השוכנות באותו מישור, לא ניתן לצייר יותר מעיגול אחד.

3. שני עיגולים יכולים לגעת רק בנקודה אחת, הממוקמת על הקטע המחבר בין מרכזי העיגולים הללו.

4. בכל סיבוב ביחס למרכז, המעגל הופך לתוך עצמו.

5. מהו מעגל מבחינת סימטריה?

אותה עקמומיות של הקו בכל נקודה;
יחסית לנקודה O;
סימטריית מראה ביחס לקוטר.

6. אם תבנה שתי זוויות חרוטות שרירותיות על בסיס אותה קשת של מעגל, הן יהיו שוות. זווית המבוססת על קשת השווה לחצי, כלומר מנותקת בקוטר מיתר, שווה תמיד ל-90°.

7. אם משווים קווים מעוקלים סגורים באותו אורך, מסתבר שהעיגול תוחם את קטע המישור בעל השטח הגדול ביותר.

עיגול רשום ומוקף במשולש

הרעיון של מהו מעגל לא יהיה שלם ללא תיאור של תכונות היחסים שלו עם משולשים.

כאשר בונים מעגל החתום במשולש, המרכז שלו תמיד יתאים לנקודת החיתוך של המשולש.
מרכז המעגל המוקף סביב משולש נמצא במפגש הניצבים החציוניים לכל אחת מצלעות המשולש.
אם נתאר מעגל, אז המרכז שלו יהיה באמצע התחתון, כלומר, האחרון יהיה הקוטר.
מרכזי המעגלים הכתובים והמעגלים יהיו באותה נקודה אם הבסיס לבנייה הוא

הצהרות בסיסיות על עיגולים ומרובעים

ניתן לתאר מעגל סביב מרובע קמור רק כאשר סכום הזוויות הפנימיות ההפוכות שלו שווה ל-180°.
אפשר לבנות מעגל רשום במרובע קמור אם סכום אורכי הצלעות הנגדיות שלו זהה.
ניתן לתאר מעגל סביב מקבילית אם זוויותיו ישרות.
ניתן לרשום מעגל במקבילית אם כל צלעותיו שוות, כלומר, הוא מעוין.
אתה יכול לבנות מעגל דרך פינות טרפז רק אם הוא שווה שוקיים. במקרה זה, מרכז המעגל המוקף ימוקם בצומת המרובע והמאונך החציוני שנמשך לצד.