כדי לבדוק האם מערכת וקטורים תלויה לינארית, יש צורך להרכיב שילוב ליניארי של הוקטורים הללו ולבדוק אם היא יכולה להיות אפס אם לפחות מקדם אחד הוא אפס.
מקרה 1. מערכת הוקטורים ניתנת על ידי וקטורים
אנו יוצרים שילוב ליניארי
השגנו מערכת הומוגנית של משוואות. אם יש לו פתרון שאינו אפס, אז הקובע חייב להיות שווה לאפס. בוא נעשה קביעה ונמצא את הערך שלה.
הקובע הוא אפס, לכן הוקטורים תלויים ליניארית.
מקרה 2. מערכת הוקטורים ניתנת על ידי פונקציות אנליטיות:
א) , אם הזהות אמיתית, אז המערכת תלויה ליניארית.
בואו נעשה שילוב ליניארי.
יש לבדוק האם יש כאלה a,b,c (שלפחות אחד מהם אינו שווה לאפס) שעבורם הביטוי הנתון שווה לאפס.
אנו כותבים את הפונקציות ההיפרבוליות
אז השילוב הליניארי של וקטורים יקבל את הצורה:
מכאן, קח, למשל, אז הצירוף הליניארי שווה לאפס, לכן, המערכת תלויה לינארית.
תשובה: המערכת תלויה ליניארית.
ב), אנו מרכיבים שילוב ליניארי
שילוב ליניארי של וקטורים, חייב להיות אפס עבור כל ערכים של x.
בוא נבדוק מקרים מיוחדים.
שילוב ליניארי של וקטורים הוא אפס רק אם כל המקדמים הם אפס.
לכן, המערכת עצמאית ליניארית.
תשובה: המערכת עצמאית ליניארית.
5.3. מצא בסיס כלשהו וקבע את מימד המרחב הליניארי של פתרונות.
בואו ניצור מטריצה מורחבת ונביא אותה לצורת טרפז בשיטת גאוס.
כדי לקבל בסיס כלשהו, אנו מחליפים ערכים שרירותיים:
קבל את שאר הקואורדינטות
5.4. מצא את הקואורדינטות של וקטור X בבסיס, אם הוא נתון בבסיס.
מציאת הקואורדינטות של הווקטור בבסיס החדש מצטמצמת לפתרון מערכת המשוואות
שיטה 1. מציאת באמצעות מטריצת המעבר
חבר את מטריצת המעבר
בואו נמצא את הווקטור בבסיס החדש לפי הנוסחה
מצא את המטריצה ההפוכה ובצע את הכפל
שיטה 2. מציאת על ידי הרכבת מערכת משוואות.
חבר את וקטורי הבסיס מהמקדמים של הבסיס
למציאת וקטור בבסיס חדש יש את הצורה
איפה דהוא הווקטור הנתון איקס.
ניתן לפתור את המשוואה המתקבלת בכל דרך, התשובה תהיה זהה.
תשובה: וקטור בבסיס חדש.
5.5. תן x = (איקס 1 , איקס 2 , איקס 3 ) . האם התמורות הבאות הן ליניאריות.
הבה נרכיב מטריצות של אופרטורים ליניאריים מהמקדמים של וקטורים נתונים.
הבה נבדוק את המאפיין של פעולות ליניאריות עבור כל מטריצה של אופרטור ליניארי.
הצד השמאלי נמצא על ידי כפל מטריצה אלכל וקטור
אנו מוצאים את הצד הימני על ידי הכפלת הווקטור הנתון בסקלר.
אנו רואים מה זה אומר שהטרנספורמציה אינה ליניארית.
בוא נבדוק וקטורים אחרים.
השינוי אינו ליניארי.
השינוי הוא ליניארי.
תשובה: אהאינו טרנספורמציה ליניארית, Vx- לא ליניארי Cx- ליניארי.
הערה.אתה יכול להשלים משימה זו הרבה יותר קל על ידי הסתכלות קפדנית על הוקטורים הנתונים. IN אהאנו רואים שיש מונחים שאינם מכילים אלמנטים איקס, שלא ניתן היה להשיג כתוצאה מפעולה ליניארית. IN Vxיש אלמנט איקסבחזקת שלישית, שגם אותה לא ניתן היה לקבל על ידי הכפלה בוקטור איקס.
5.6. נָתוּן איקס = { איקס 1 , איקס 2 , איקס 3 } , גַרזֶן = { איקס 2 – איקס 3 , איקס 1 , איקס 1 + איקס 3 } , bx = { איקס 2 , 2 איקס 3 , איקס 1 } . בצע את הפעולה הנתונה: ( א ( ב – א )) איקס .
הבה נכתוב את המטריצות של אופרטורים ליניאריים.
בואו נבצע פעולה על מטריצות
כאשר מכפילים את המטריצה המתקבלת ב-X, נקבל
הגדרה 1. שילוב ליניארי של וקטורים הוא סכום התוצרים של הוקטורים והסקלרים הללו:
הגדרה 2. מערכת של וקטורים נקראת מערכת תלויה לינארית אם הצירוף הליניארי שלהם (2.8) נעלם:
ובין המספרים יש לפחות אחד מלבד אפס.
הגדרה 3. וקטורים נקראים בלתי תלויים ליניארי אם הצירוף הליניארי שלהם (2.8) נעלם רק אם כולם מספרים.
מהגדרות אלו ניתן לקבל את ההשלכות הבאות.
מסקנה 1. במערכת וקטורית תלויה לינארית, לפחות וקטור אחד יכול לבוא לידי ביטוי כשילוב ליניארי של האחרים.
הוכחה. בוא (2.9) יהיה מרוצה ותן, ליתר בטחון, להיות המקדם. לאחר מכן יש לנו: שימו לב שגם ההיפך נכון.
תוצאה 2.אם מערכת וקטורים מכילה וקטור אפס, אז מערכת זו תלויה (בהכרח) לינארית - ההוכחה ברורה.
מסקנה 3. אם בין נוקטור כל ק() וקטורים תלויים ליניארית, ואז כולם נוקטורים תלויים ליניארית (אנחנו משמיטים את ההוכחה).
2 0 . שילובים ליניאריים של שניים, שלושה וארבעה וקטורים. הבה נבחן שאלות של תלות לינארית ואי תלות של וקטורים על קו ישר, במישור ובמרחב. הבה נציג את המשפטים המתאימים.
משפט 1. כדי ששני וקטורים יהיו תלויים לינארית, יש צורך ומספיק שהם יהיו קולינאריים.
כּוֹרַח. תנו לוקטורים להיות תלויים לינארית. זה אומר שהצירוף הליניארי שלהם=0 ו (למען הבירור). זה מרמז על שוויון, ועל פי ההגדרה של הכפלת וקטור במספר) הוקטורים והן קולינאריים.
הלימה. תנו לוקטורים להיות קולינאריים (║) (אנו מניחים שהם שונים מהוקטור האפס; אחרת, התלות הליניארית שלהם ברורה).
לפי משפט (2.7) (ראה §2.1, פריט 2, 0) אז כך, או – הצירוף הליניארי שווה לאפס, והמקדם שווה ל-1 – הוקטורים ותלויים ליניארית.
המסקנה הבאה נובעת ממשפט זה.
תוֹצָאָה. אם הוקטורים אינם קולינאריים, אז הם בלתי תלויים לינארית.
משפט 2. כדי ששלושה וקטורים יהיו תלויים ליניארית, יש צורך ומספיק שהם יהיו דו מישוריים.
כּוֹרַח. תנו לוקטורים ולהיות תלויים ליניארית. הבה נראה שהם דו מישוריים.
ההגדרה של תלות ליניארית של וקטורים מרמזת על קיומם של מספרים כך בשילוב ליניארי, ובאותו זמן (לצורך ההגדרה). ואז מתוך השוויון הזה נוכל לבטא את הווקטור: =, כלומר הווקטור שווה לאלכסון המקבילית הבנויה על הוקטורים בצד ימין של השוויון הזה (איור 2.6). זה אומר שהווקטורים נמצאים באותו מישור.
הלימה. תנו לוקטורים להיות קומפלנריים. הבה נראה שהם תלויים ליניארית.
הבה נוציא את המקרה של קולינאריות של כל זוג וקטורים (מכיוון שאז זוג זה תלוי לינארית ולפי מסקנה 3 (ראה פריט 1 0) כל שלושת הוקטורים תלויים לינארית). שימו לב שהנחה כזו שוללת גם את קיומו של וקטור אפס בין השלושה המצוינים.
אנו מעבירים שלושה וקטורים קומפלנריים למישור אחד ומביאים אותם למקור משותף. דרך קצה הווקטור אנו מציירים קווים ישרים במקביל לוקטורים; במקרה זה, נקבל וקטורים (איור 2.7) - קיומם מובטח על ידי העובדה שהווקטורים אינם קולינאריים על ידי וקטורים של הנחה. מכאן נובע שהווקטור = +. משכתבים את השוויון הזה בצורה (–1)++=0, אנו מסיקים שהווקטורים והוקטורים תלויים ליניארית.
שתי תוצאות נובעות מהמשפט המוכח.
מסקנה 1. לא להיות וקטורים קולינאריים, תנו לוקטור להיות וקטור שרירותי השוכן במישור המוגדר על ידי הוקטורים ו. יש אז מספרים כאלה
תוצאה 2. אם הוקטורים אינם קומפלאריים, אז הם בלתי תלויים ליניארית.
משפט 3. כל ארבעה וקטורים תלויים ליניארית.
אנו משמיטים את ההוכחה; עם כמה שינויים, הוא מעתיק את ההוכחה של משפט 2. הבה נציג תוצאה של משפט זה.
תוֹצָאָה. עבור כל וקטורים שאינם קומפלנריים, וכל וקטור כזה
תגובה. עבור וקטורים במרחב (תלת מימדי), למושגים של תלות לינארית ועצמאות יש, כדלקמן ממשפטים 1-3 לעיל, משמעות גיאומטרית פשוטה.
שיהיו שני וקטורים תלויים לינארית ו. במקרה זה, אחד מהם הוא שילוב ליניארי של השני, כלומר, הוא פשוט שונה ממנו על ידי גורם מספרי (לדוגמה,). מבחינה גיאומטרית, זה אומר ששני הוקטורים נמצאים על קו משותף; הם יכולים לקבל כיוונים זהים או מנוגדים (איור 2.8 xx).
אם שני וקטורים ממוקמים בזווית זה לזה (איור 2.9 xx), אז במקרה זה לא ניתן לקבל אחד מהם על ידי הכפלת השני במספר - וקטורים כאלה הם בלתי תלויים ליניארית. לכן, העצמאות הליניארית של שני וקטורים פירושה שלא ניתן להניח וקטורים אלה על קו ישר אחד.
הבה נגלה את המשמעות הגיאומטרית של התלות והאי תלות הליניארית של שלושה וקטורים.
תנו לוקטורים , ולהיות תלויים לינארית ותן (לצורך ההגדרה) הווקטור יהיה שילוב ליניארי של הוקטורים u, כלומר, ממוקם במישור המכיל את הווקטורים u. זה אומר שהווקטורים נמצאים באותו מישור. ההצהרה ההפוכה נכונה גם היא: אם הוקטורים נמצאים באותו מישור, אז הם תלויים ליניארית.
לפיכך, וקטורים ו עצמאיים ליניארית אם ורק אם הם לא נמצאים באותו מישור.
3 0 . מושג הבסיס. אחד המושגים החשובים ביותר של אלגברה לינארית ווקטורית הוא מושג הבסיס. אנו מציגים הגדרות.
הגדרה 1. זוג וקטורים נקרא מסדר אם מצוין איזה וקטור מצמד זה נחשב לראשון ואיזה השני.
הגדרה 2.זוג מסודר של וקטורים לא קולינאריים נקרא בסיס במישור המוגדר על ידי הוקטורים הנתונים.
משפט 1. כל וקטור במישור יכול להיות מיוצג כשילוב ליניארי של מערכת הוקטורים הבסיסית:
והייצוג הזה הוא ייחודי.
הוכחה. תנו לוקטורים ויוצרים בסיס. אז כל וקטור יכול להיות מיוצג בתור
כדי להוכיח ייחודיות, נניח שיש עוד פירוק אחד. אז יש לנו =0, ולפחות אחד מההפרשים אינו אפס. המשמעות האחרונה היא שהווקטורים תלויים לינארית, כלומר קולינאריים; זה סותר את הקביעה שהם מהווים בסיס.
אבל אז הפירוק הוא ייחודי.
הגדרה 3. משולש של וקטורים נקרא מסדר אם מצוין איזה וקטור נחשב לראשון, שהוא השני, ואיזה הוא השלישי.
הגדרה 4. משולש מסודר של וקטורים לא קו-מפלריים נקרא בסיס במרחב.
גם כאן מתקיים משפט הפירוק והייחוד.
משפט 2. כל וקטור יכול להיות מיוצג כשילוב ליניארי של מערכת בסיסית של וקטורים,,:
והייצוג הזה הוא ייחודי (אנחנו משמיטים את הוכחת המשפט).
בהרחבות (2.12) ו-(2.13), הכמויות נקראות קואורדינטות של וקטור בבסיס נתון (ליתר דיוק, קואורדינטות זיקה).
עם בסיס קבוע, ניתן לכתוב u.
לדוגמה, אם ניתן בסיס וניתן לזה, אז זה אומר שמתבצע ייצוג (פירוק).
4 0 . פעולות ליניאריות על וקטורים בצורת קואורדינטות. הכנסת בסיס מאפשרת החלפת פעולות ליניאריות בוקטורים בפעולות ליניאריות רגילות על מספרים - הקואורדינטות של הוקטורים הללו.
תן בסיס כלשהו. ברור שהגדרת הקואורדינטות של הווקטור בבסיס זה קובעת לחלוטין את הווקטור עצמו. ישנן ההצעות הבאות:
א) שני וקטורים ושווים אם ורק אם הקואורדינטות המתאימות שלהם שוות:
ב) כאשר מכפילים וקטור במספר, הקואורדינטות שלו מוכפלות במספר זה:
ג) בעת הוספת וקטורים, הקואורדינטות המתאימות שלהם מתווספות:
אנו משמיטים את ההוכחות למאפיינים אלה; הבה נוכיח רכוש ב) רק כדוגמה. יש לנו
תגובה. בחלל (על המטוס) אפשר לבחור אינסוף בסיסים.
אנו נותנים דוגמה למעבר מבסיס אחד למשנהו, קובעים את הקשר בין הקואורדינטות של הווקטור בבסיסים שונים.
דוגמה 1. שלושה וקטורים ניתנים במערכת הבסיסית:, ו. בבסיס, לוקטור יש פירוק. מצא את הקואורדינטות של הווקטור בבסיס.
פִּתָרוֹן. יש לנו הרחבות:,,; לכן, =+2+= =, כלומר, בבסיס.
דוגמה 2. תנו בבסיס כלשהו ארבעה וקטורים ניתנים על ידי הקואורדינטות שלהם:,, ו.
גלה אם הוקטורים מהווים בסיס; במקרה של תשובה חיובית, מצא את הפירוק של הווקטור בבסיס זה.
פִּתָרוֹן. 1) וקטורים מהווים בסיס אם הם בלתי תלויים לינארית. בואו נרכיב שילוב ליניארי של וקטורים () ונגלה עבורו היון נעלם: = 0. יש לנו:
על פי הגדרת השוויון של וקטורים בצורת קואורדינטות, נקבל את המערכת הבאה של משוואות (אלגבריות הומוגניות ליניאריות): ;;, שהדטרמיננט שלהן=1, כלומר, למערכת יש (רק) פתרון טריוויאלי. המשמעות היא שהווקטורים הם בלתי תלויים באופן ליניארי, ומכאן שהם מהווים בסיס.
2) הרחב את הווקטור בבסיס זה. יש לנו:=או בצורת קואורדינטות.
עוברים לשוויון של וקטורים בצורת קואורדינטות, נקבל מערכת של משוואות אלגבריות לינאריות לא-הומוגניות: ;;. כשפותרים אותו (לדוגמה, לפי הכלל של קריימר), נקבל:,, ו-(). יש לנו פירוק של הווקטור בבסיס: =.
5 0 . הקרנה של וקטור על ציר. מאפייני הקרנה.שיהיה איזה ציר לכלומר קו ישר עם כיוון שנבחר עליו, וניתן וקטור כלשהו בוא נגדיר את המושג השלכה של וקטור על ציר ל.
הַגדָרָה. הקרנה של הווקטור על הציר לנקרא מכפלת המודולוס של וקטור זה והקוסינוס של הזווית בין הציר לוקטור (איור 2.10):
תוצאה של הגדרה זו היא האמירה שלווקטורים שווים יש תחזיות שוות (על אותו ציר).
שימו לב למאפיינים של תחזיות.
1) הקרנה של סכום הוקטורים על ציר כלשהו לשווה לסכום ההשלכות של איברי הוקטורים על אותו ציר:
2) ההשלכה של המכפלה של סקלאר ווקטור שווה למכפלת הסקלר הזה ולהשלכת הווקטור על אותו ציר:
תוֹצָאָה. ההקרנה של שילוב ליניארי של וקטורים על הציר שווה לשילוב הליניארי של תחזיותיהם:
אנו משמיטים את ההוכחות של המאפיינים.
6 0 . מערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית במרחב.פירוק וקטור בוקטורי יחידה של צירים.תן שלושה וקטורים יחידה ניצבים זה לזה להיבחר כבסיס; אנו מציגים סימון מיוחד עבורם. על ידי הצבתם התחל בנקודה O, לכוון לאורכם (לפי וקטורי היחידה) את צירי הקואורדינטות שׁוֹר,אויו-O ז(ציר עם כיוון חיובי שנבחר עליו, נקודת ייחוס ויחידת אורך נקרא ציר קואורדינטות).
הַגדָרָה. מערכת מסודרת של שלושה צירי קואורדינטות מאונכים זה לזה עם מוצא משותף ויחידת אורך משותפת נקראת מערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית במרחב.
צִיר שׁוֹר שנקרא ציר x, אוי- ציר ה-Y ו-O ז – ציר אפליקציה.
בואו נעסוק בהרחבה של וקטור שרירותי מבחינת הבסיס. עולה מהמשפט (ראה §2.2, פריט 3 0, (2.13)) שניתן להרחיב אותו באופן ייחודי מבחינת הבסיס (כאן, במקום הסימון, נעשה שימוש בקואורדינטה):
ב-(2.21) נמצאות הקואורדינטות (המלבני הקרטזיאני) של הווקטור. המשמעות של קואורדינטות קרטזיות נקבעת על ידי המשפט הבא.
מִשׁפָּט. הקואורדינטות המלבניות הקרטזיות של הווקטור הן הקרנות של הווקטור הזה, בהתאמה, על הצירים שׁוֹר,אויו-O ז.
הוכחה.אנו מניחים את הווקטור במקור מערכת הקואורדינטות - הנקודה O. אז הסוף שלו יחפוף לנקודה כלשהי.
צייר דרך נקודה שלושה מישורים מקבילים למישורי הקואורדינטות Oyz,אוקסזו אוקסי(איור 2.11 xx). נקבל אז:
ב (2.22) הווקטורים נקראים מרכיבי הווקטור לאורך הצירים שׁוֹר,אויו-O ז.
תנו וסמנו, בהתאמה, את הזוויות שנוצרות על ידי הווקטור עם וקטורי היחידה. לאחר מכן עבור הרכיבים נקבל את הנוסחאות הבאות:
= =, = =, = =(2.23)
מתוך (2.21), (2.22) (2.23) אנו מוצאים:
- קואורדינטות וקטוריות הן הקרנות של וקטור זה על צירי הקואורדינטות שׁוֹר,אויו-O זבהתאמה.
תגובה. המספרים נקראים קוסינוס כיוון של הווקטור.
מודול הווקטור (אלכסון של מקבילי מלבני) מחושב על ידי הנוסחה:
מהנוסחאות (2.23) ו- (2.24) עולה שניתן לחשב את הקוסינוסים של הכיוון באמצעות הנוסחאות:
העלאת שני החלקים של כל אחד מהשוויון ב-(2.25) והוספת איבר אחר איבר את החלק השמאלי והימני של השוויון המתקבל, נגיע לנוסחה:
- לא כל שלוש זוויות יוצרות כיוון מסוים במרחב, אלא רק אלו שהקוסינוסים שלהן קשורים בקשר (2.26).
7 0 . קואורדינטות וקטור ונקודה של רדיוס.קביעת וקטור לפי תחילתו וסופו. בואו נציג הגדרה.
הַגדָרָה. הרדיוס-וקטור (מסומן) הוא הווקטור המחבר את מקור הקואורדינטות Oעם נקודה זו (איור 2.12 xx):
כל נקודה במרחב מתאימה לוקטור רדיוס מסוים (ולהיפך). לפיכך, נקודות במרחב מיוצגות באלגברה וקטורית על ידי וקטורי הרדיוס שלהן.
ברור, הקואורדינטות של הנקודה Mהן תחזיות של וקטור הרדיוס שלו על צירי הקואורדינטות:
וכך,
– וקטור הרדיוס של נקודה הוא וקטור שההטלות שלו על צירי הקואורדינטות שוות לקואורדינטות של נקודה זו. מכאן נובעים שני ערכים: א.
נקבל נוסחאות לחישוב תחזיות וקטור לפי הקואורדינטות של נקודת ההתחלה - הנקודה והסיום שלו.
נצייר את וקטורי הרדיוס ואת הווקטור (איור 2.13). אנחנו מקבלים את זה
– ההקרנות של הווקטור על וקטורי הקואורדינטות שוות להפרשי הקואורדינטות המתאימות של הסוף וההתחלה של הווקטור.
8 0 . כמה בעיות בקואורדינטות קרטזיות.
1) תנאי קולינאריות וקטורית . מהמשפט (ראה §2.1, פריט 2 0, נוסחה (2.7)) עולה שכדי שהווקטורים יהיו קולינאריים יש צורך ומספיק שהיחס: = מתקיים. משוויון וקטור זה נקבל שלושה שווים בצורת הקואורדינטות:, שממנו נובע מצב הקולינאריות של וקטורים בצורת הקואורדינטות:
- כדי שווקטורים יהיו קולינאריים, יש צורך ומספיק שהקואורדינטות שלהם יהיו פרופורציונליות.
2) מרחק בין נקודות . מהייצוג (2.29) עולה כי המרחק בין נקודות ו- נקבע על ידי הנוסחה
3) חלוקת מגזרים מבחינה זו . תנו נקודות ויחסים. צריך למצוא את הקואורדינטות של הנקודה M (איור 2.14).
יש לנו מהמצב של וקטורים קולינאריים: , מנין ו
מ-(2.32) נקבל בצורת הקואורדינטות:
מנוסחאות (2.32 ') ניתן לקבל נוסחאות לחישוב הקואורדינטות של אמצע הקטע, בהנחה:
תגובה. נשקול את הקטעים וחיובי או שליליים, תלוי אם הכיוון שלהם עולה בקנה אחד עם הכיוון מתחילת הקטע ועד סופו, או לא תואם. לאחר מכן, באמצעות נוסחאות (2.32) - (2.32"), ניתן למצוא את הקואורדינטות של הנקודה המחלקת את הקטע כלפי חוץ, כלומר כך שנקודת המחלקה Mהוא על המשך הקטע, ולא בתוכו. במקביל, כמובן.
4) משוואת משטח כדורי . הבה נרכיב את המשוואה של משטח כדורי - מוקד הנקודות הנמצאות במרחק שווה ממרכז קבוע כלשהו - נקודה. ברור שבמקרה זה, ובהתחשב בנוסחה (2.31)
משוואה (2.33) היא משוואת המשטח הכדורי הרצוי.
תלות ליניארית
יחס של הצורה C1u1+C2u2+... +Cnun?0, כאשר C1, C2,..., Cn הם מספרים, מהם לפחות אחד? 0, ו-u1, u2,..., un הם כמה אובייקטים מתמטיים, למשל. וקטורים או פונקציות.
תלות לינארית
(מתמטיקה), יחס הצורה
C11u1 + C2u2 + ... + Cnun = 0, (*)
כאשר С1, C2, ..., Cn ≈ מספרים, שלפחות אחד מהם שונה מאפס, ו-u1, u2, ..., un ≈ מתמטיקה כזו או אחרת. עצמים שעבורם מוגדרות פעולות החיבור והכפל במספר. ביחס (*), העצמים u1, u2, ..., un נכללים בחזקת 1, כלומר לינארי; לכן, התלות ביניהם המתוארת בקשר זה נקראת ליניארית. סימן השוויון בנוסחה (*) יכול להיות בעל משמעויות שונות ויש להסבירו בכל מקרה ספציפי. המושג ל.ה. משמש בענפים רבים של מתמטיקה. אז אנחנו יכולים לדבר על ל.ז. בין וקטורים, בין פונקציות של משתנה אחד או יותר, בין אלמנטים של מרחב ליניארי וכן הלאה. אחרת הם נקראים עצמאית ליניארית. אם האובייקטים u1, u2, ..., un תלויים לינארית, אז לפחות אחד מהם הוא שילוב ליניארי של האחרים, כלומר.
u1 = a 1u1 + ... + a i-1ui-1 + a i+1ui+1 + ... + נזירה.
פונקציות רציפות של משתנה אחד
u1 = j 1(x), u2 = j 2(x), ..., un = j n(x) נקראים תלויים לינארית אם יש ביניהם יחס של הצורה (*), שבו סימן השוויון הוא מובן כיהות ביחס ל-x. כדי שהפונקציות j 1(x), j 2(x), ..., j n(x), המוגדרות בקטע כלשהו a £ x £ b, יהיו תלויות לינארית, יש צורך ומספיק שקובע הגראם שלהן נעלם
i, k = 1,2, ..., n.
אם הפונקציות j1 (x), j2(x), ..., jn(x) הן פתרונות של משוואת דיפרנציאלית לינארית, אזי לקיומה של משוואת דיפרנציאלית לינארית ביניהם הכרחי ומספיק שהוורונסקיאן ייעלם לפחות בשלב מסוים.
══ צורות לינאריות ב-m משתנים
u1=ai1x1+ai2x2+...+aixm
(i = 1, 2, ..., n)
נקראים תלויים לינארית אם יש יחס של הצורה (*), שבה סימן השוויון מובן זהות ביחס לכל המשתנים x1, x2, ..., xm. כדי ש-n צורות ליניאריות יהיו תלויות לינארית ב-n משתנים, יש צורך ומספיק שהדטרמיננטה ייעלם
משימה 1.גלה אם מערכת הוקטורים אינה תלויה ליניארית. מערכת הוקטורים תוגדר על ידי המטריצה של המערכת, שעמודותיה מורכבות מקואורדינטות הוקטורים.
פִּתָרוֹן.תנו לצירוף הליניארי להיות שווה לאפס. לאחר שכתבנו את השוויון הזה בקואורדינטות, נקבל את מערכת המשוואות הבאה:
מערכת משוואות כזו נקראת משולשת. יש לזה רק פתרון אחד. לכן, הוקטורים בלתי תלויים ליניארית.
משימה 2.גלה אם מערכת הוקטורים אינה תלויה ליניארית.
פִּתָרוֹן.הווקטורים הם בלתי תלויים ליניארית (ראה בעיה 1). בואו נוכיח שהווקטור הוא שילוב ליניארי של וקטורים. מקדמי ההתפשטות בוקטורים נקבעים ממערכת המשוואות
למערכת זו, כמו למערכת משולשת, יש פתרון ייחודי.
לכן, מערכת הוקטורים תלויה ליניארית.
תגובה. מטריצות כמו בבעיה 1 נקראות מְשּוּלָשׁ , ובבעיה 2 - מדורג משולש . שאלת התלות הליניארית של מערכת וקטורים נפתרת בקלות אם המטריצה המורכבת מהקואורדינטות של הוקטורים הללו היא משולשת בדרגה. אם למטריצה אין צורה מיוחדת, אז באמצעות טרנספורמציות מחרוזות יסודיות , תוך שמירה על יחסים ליניאריים בין עמודות, ניתן לצמצם אותו לצורה משולשת מדורגת.
טרנספורמציות מיתר יסודיותמטריצות (EPS) נקראות הפעולות הבאות על המטריצה:
1) תמורה של קווים;
2) הכפלת מחרוזת במספר שאינו אפס;
3) הוספת מחרוזת נוספת למחרוזת, כפולה במספר שרירותי.
משימה 3.מצא את תת-המערכת הבלתי תלויה המקסימלית וחשב את הדרגה של מערכת הוקטורים
פִּתָרוֹן.הבה נצמצם את המטריצה של המערכת בעזרת EPS לצורה מדורגת-משולשת. כדי להסביר את ההליך, הקו עם מספר המטריצה לשינוי יסומן בסמל . העמודה שאחרי החץ מציגה את הפעולות שיש לבצע בשורות המטריצה המומרת כדי לקבל את השורות של המטריצה החדשה.
ברור ששתי העמודות הראשונות של המטריצה המתקבלת אינן תלויות באופן ליניארי, העמודה השלישית היא השילוב הליניארי שלהן, והרביעית אינה תלויה בשני הראשונים. הוקטורים נקראים בסיסיים. הם יוצרים את תת-המערכת הבלתי תלויה המקסימלית של המערכת, ודרגת המערכת היא שלוש.
בסיס, קואורדינטות
משימה 4.מצא את הבסיס והקואורדינטות של וקטורים בבסיס זה על קבוצת הוקטורים הגיאומטריים שהקואורדינטות שלהם עומדות בתנאי.
פִּתָרוֹן. הסט הוא מטוס העובר דרך המוצא. בסיס שרירותי במישור מורכב משני וקטורים לא קולינאריים. הקואורדינטות של הוקטורים בבסיס הנבחר נקבעות על ידי פתרון המערכת המתאימה של משוואות ליניאריות.
יש דרך אחרת לפתור בעיה זו, כאשר אתה יכול למצוא את הבסיס לפי קואורדינטות.
קואורדינטות החלל אינן קואורדינטות במישור, מכיוון שהן קשורות בקשר, כלומר אינן עצמאיות. המשתנים הבלתי תלויים ו(הם נקראים חופשיים) קובעים באופן ייחודי את הווקטור במישור, ולכן ניתן לבחור אותם כקואורדינטות ב. ואז הבסיס מורכב מוקטורים השוכבים ומתואמים לקבוצות של משתנים חופשיים ו, כלומר, .
משימה 5.מצא את הבסיס והקואורדינטות של הוקטורים בבסיס זה על קבוצת כל הוקטורים במרחב, שהקואורדינטות האי זוגיות שלהם שוות זו לזו.
פִּתָרוֹן. אנו בוחרים, כמו בבעיה הקודמת, קואורדינטות במרחב.
מאז , המשתנים החופשיים קובעים באופן ייחודי את הווקטור מ, ולכן הם קואורדינטות. הבסיס המתאים מורכב מוקטורים.
משימה 6.מצא את הבסיס והקואורדינטות של וקטורים בבסיס זה על קבוצת כל המטריצות של הצורה , שם הם מספרים שרירותיים.
פִּתָרוֹן. כל מטריצה מ יכולה להיות מיוצגת באופן ייחודי כ:
יחס זה הוא הרחבת הווקטור ממונחים של בסיס עם קואורדינטות.
משימה 7.מצא את הממד והבסיס של הטווח הליניארי של מערכת וקטורים
פִּתָרוֹן.באמצעות ה-EPS, אנו הופכים את המטריצה מהקואורדינטות של וקטורי המערכת לצורה מדורגת-משולשת.
העמודות של המטריצה האחרונה אינן תלויות באופן ליניארי, והעמודות באות לידי ביטוי ליניארי דרכן. לכן, הוקטורים מהווים בסיס , ו.
תגובה. הבסיס ב נבחר בצורה מעורפלת. לדוגמה, וקטורים גם מהווים בסיס.
מְשִׁימָה. גזרת החלוצים יצאה לדרך מהעיר למסע. עכשיו הוא בפנים
5 ק"מ מהעיר ועובר במהירות של 3 ק"מ לשעה. כמה רחוק מהעיר הוא יהיה בעוד X שעות?
פִּתָרוֹן. תוך x שעות הגזרה תכסה קילומטרים, ועוד קודם לכן נסע 5 ק"מ. אז אחרי x שעות המרחק מהעיר יהיה שווה לקילומטרים. בציון המרחק הזה ב-y, יהיה לנו;
שוויון זה מבטא את התלות של הנתיב בזמן, אך זו לא תהיה עוד תלות פרופורציונלית, כפי שקל לראות מהטבלה הבאה
היחס בין נתיב לזמן כאן אינו שווה לאותו מספר.
הַגדָרָה. הקשר בין שתי כמויות x ו-y, המתבטאת בנוסחה שבה k ו הם מספרים, נקרא קשר ליניארי.
בפרט, אם אז
לפיכך, תלות פרופורציונלית ישירה היא מקרה מיוחד של תלות ליניארית.
2. גרף של תלות לינארית.
בואו נבנה גרף של כל קשר ליניארי נתון; נניח, למשל,
בואו נמשיך כדלקמן. בואו נבנה תחילה גרף תלות.
זה יהיה קו ישר העובר דרך המוצא (איור 26).
בואו נראה איך הם ימוקמו ביחס לנקודה הישר הזו של גרף התלות הליניארית:
לדוגמה, בואו ניצור טבלה של ערכי x ו-y:
אנו רואים כי עבור כל אבשיסה, הסמינטה של נקודת הגרף השני גדולה ב-3 יחידות מהאורדינטה של נקודת הגרף הראשון. המשמעות היא שהנקודה המתאימה של הגרף השני תהיה גבוהה ב-3 יחידות מהנקודה של הראשון.
לאחר בניית הנקודות הללו, נקבל קו ישר מקביל לישר הראשון (איור 26).
גרף לינארי הוא קו ישר.
מכאן נובע שכדי לבנות גרף תלות ליניארי, מספיק למצוא שתיים מהנקודות שלו.
בואו נראה זאת עם דוגמה.
לשים אנחנו מקבלים . אז מצאנו נקודה אחת. אם שמים יותר נקבל את הנקודה השנייה (2; 7). על ידי בניית נקודות אלו ושרטוט קו ישר דרכן, נקבל את הגרף הרצוי, כלומר גרף של תלות ליניארית המתבטאת בנוסחה
בדרך כלל, כדי לבנות גרף תלות ליניארי, לוקחים שתי נקודות שבהן הישר חוצה את צירי הקואורדינטות. אז, בהנחה שנקבל בהנחה שנקבל על ידי ציור קו ישר דרך הנקודות נקבל את הגרף הרצוי (איור 27).