אי שוויון לוגריתמי בשימוש
סכין מיכאיל אלכסנדרוביץ'
אקדמיה קטנה למדעים לסטודנטים של הרפובליקה של קזחסטן "מחפש"
MBOU "בית ספר תיכון סובייטי מס' 1", כיתה י"א, עיר. המחוז הסובייטי של סובייטסקי
Gunko Lyudmila Dmitrievna, מורה של MBOU "בית הספר התיכון הסובייטי מס' 1"
מחוז סובייטסקי
מטרת העבודה:מחקר של המנגנון לפתרון אי שוויון לוגריתמי C3 בשיטות לא סטנדרטיות, חושף עובדות מעניינות על הלוגריתם.
נושא לימוד:
3) למד לפתור אי שוויון C3 לוגריתמי ספציפי באמצעות שיטות לא סטנדרטיות.
תוצאות:
תוֹכֶן
מבוא ………………………………………………………………………………………………….4
פרק 1. רקע …………………………………………………………………...5
פרק 2. אוסף אי שוויון לוגריתמי ………………………… 7
2.1. מעברים שווים והשיטה המוכללת של מרווחים………………… 7
2.2. שיטת הרציונליזציה ………………………………………………………… 15
2.3. החלפה לא סטנדרטית ………………………………………………………………………………………………………………… ..... 22
2.4. משימות עם מלכודות……………………………………………………………… 27
מסקנה……………………………………………………………………………………… 30
סִפְרוּת……………………………………………………………………. 31
מבוא
אני בכיתה י"א ואני מתכנן להיכנס לאוניברסיטה שבה מתמטיקה היא מקצוע ליבה. ובגלל זה אני עובד הרבה עם המשימות של חלק ג'. במשימה ג3 צריך לפתור אי שוויון לא סטנדרטי או מערכת אי שוויון, בדרך כלל קשורה ללוגריתמים. במהלך ההכנה לבחינה, נתקלתי בבעיית היעדר שיטות וטכניקות לפתרון אי השוויון הלוגריתמי של הבחינה המוצעים ב-C3. השיטות הנלמדות בתכנית הלימודים של בית הספר בנושא זה אינן מהוות בסיס לפתרון משימות ג3. המורה למתמטיקה הציעה לי לעבוד עם מטלות C3 לבד בהדרכתה. בנוסף, התעניינתי בשאלה: האם יש לוגריתמים בחיינו?
מתוך מחשבה זו, נבחר הנושא:
"אי שוויון לוגריתמי בבחינה"
מטרת העבודה:מחקר של המנגנון לפתרון בעיות C3 באמצעות שיטות לא סטנדרטיות, חושף עובדות מעניינות על הלוגריתם.
נושא לימוד:
1) מצא את המידע הדרוש על שיטות לא סטנדרטיות לפתרון אי שוויון לוגריתמי.
2) מצא מידע נוסף על לוגריתמים.
3) למד לפתור בעיות C3 ספציפיות בשיטות לא סטנדרטיות.
תוצאות:
המשמעות המעשית טמונה בהרחבת המנגנון לפתרון בעיות C3. ניתן להשתמש בחומר זה בחלק מהשיעורים, לניהול מעגלים, שיעורים אופציונליים במתמטיקה.
תוצר הפרויקט יהיה האוסף "אי-שוויון C3 לוגריתמי עם פתרונות".
פרק 1. רקע
במהלך המאה ה-16, מספר החישובים המשוערים גדל במהירות, בעיקר באסטרונומיה. שיפור המכשירים, חקר תנועות כוכבי הלכת ועבודות אחרות דרשו חישובים עצומים, לפעמים שנים רבות. האסטרונומיה הייתה בסכנה ממשית לטבוע בחישובים שלא התגשמו. קשיים התעוררו גם בתחומים אחרים, למשל, בעסקי הביטוח, נדרשו טבלאות של ריבית דריבית לערכי אחוזים שונים. הקושי העיקרי היה כפל, חלוקה של מספרים רב ספרתיים, במיוחד כמויות טריגונומטריות.
גילוי הלוגריתמים התבסס על התכונות הידועות של התקדמות עד סוף המאה ה-16. ארכימדס דיבר על הקשר בין איברי ההתקדמות הגיאומטרית q, q2, q3, ... וההתקדמות האריתמטית של המדדים שלהם 1, 2, 3, ... במזמור. תנאי מוקדם נוסף היה הרחבת מושג התואר למעריכים שליליים ושברים. מחברים רבים הצביעו על כך שכפל, חילוק, העלאה לחזקה וחילוץ שורש תואמים באופן אקספוננציאלי בחשבון - באותו סדר - חיבור, חיסור, כפל וחילוק.
כאן היה הרעיון של הלוגריתם כמעריך.
בהיסטוריה של התפתחות תורת הלוגריתמים עברו כמה שלבים.
שלב 1
הלוגריתמים הומצאו לא יאוחר מ-1594 באופן עצמאי על ידי הברון הסקוטי נאפייר (1550-1617) ועשר שנים מאוחר יותר על ידי המכונאי השוויצרי Burgi (1552-1632). שניהם רצו לספק אמצעי נוח חדש לחישובים אריתמטיים, למרות שהם ניגשו לבעיה זו בדרכים שונות. נאפייר ביטא בצורה קינמטית את הפונקציה הלוגריתמית וכך נכנס לתחום חדש של תורת הפונקציות. בורג'י נשאר על בסיס שיקול של התקדמות בדידות. עם זאת, ההגדרה של הלוגריתם עבור שניהם אינה דומה לזו המודרנית. המונח "לוגריתם" (לוגריתמוס) שייך לנאפייר. היא נבעה משילוב של מילים יווניות: לוגוס - "יחסים" ו-ariqmo - "מספר", שפירושו "מספר יחסים". בתחילה השתמש נאפייר במונח אחר: numeri artificiales - "מספרים מלאכותיים", בניגוד ל-numeri naturalts - "מספרים טבעיים".
בשנת 1615, בשיחה עם הנרי בריגס (1561-1631), פרופסור למתמטיקה בגרש קולג' בלונדון, הציע נאפייר לקחת אפס עבור הלוגריתם של אחד, ו-100 עבור הלוגריתם של עשר, או מה שמסתכם באותה מידה. , רק 1. כך הודפסו לוגריתמים עשרוניים והטבלאות הלוגריתמיות הראשונות. מאוחר יותר, הוסיפו לטבלאות בריגס המוכר והמתמטיקאי ההולנדי אנדריאן פלאק (1600-1667). נאפייר ובריגס, למרות שהגיעו ללוגריתמים לפני כל אחד אחר, פרסמו את הטבלאות שלהם מאוחר יותר מאחרים - ב-1620. הסימנים לוג ו-לוג הוצגו בשנת 1624 על ידי I. Kepler. המונח "לוגריתם טבעי" הוצג על ידי מנגולי ב-1659, ואחריו נ' מרקטור ב-1668, והמורה הלונדוני ג'ון ספדל פרסם טבלאות של לוגריתמים טבעיים של מספרים מ-1 עד 1000 תחת השם "לוגריתמים חדשים".
ברוסית פורסמו הטבלאות הלוגריתמיות הראשונות ב-1703. אבל בכל הטבלאות הלוגריתמיות נעשו טעויות בחישוב. הטבלאות הראשונות ללא שגיאות פורסמו בשנת 1857 בברלין בעיבודו של המתמטיקאי הגרמני ק. ברמיקר (1804-1877).
שלב 2
התפתחות נוספת של תורת הלוגריתמים קשורה ליישום רחב יותר של גיאומטריה אנליטית וחשבון אינפיניטסימלי. עד אז, נוצר הקשר בין הנבוע של היפרבולה שווה צלעות ללוגריתם הטבעי. תורת הלוגריתמים של תקופה זו קשורה בשמותיהם של מספר מתמטיקאים.
המתמטיקאי, האסטרונום והמהנדס הגרמני ניקולאוס מרקטור במאמרו
"לוגריתמוטכניקה" (1668) נותנת סדרה שנותנת הרחבה של ln(x + 1) במונחים של
כוחות x:
ביטוי זה מתאים בדיוק למהלך מחשבתו, אם כי, כמובן, הוא לא השתמש בסימנים ד, ..., אלא בסמלים מסורבלים יותר. עם גילוי הסדרה הלוגריתמית השתנתה הטכניקה לחישוב הלוגריתמים: הם החלו להיקבע באמצעות סדרות אינסופיות. בהרצאותיו "מתמטיקה יסודית מנקודת מבט גבוהה יותר", שנקראו בשנים 1907-1908, הציע פ. קליין להשתמש בנוסחה כנקודת מוצא לבניית תורת הלוגריתמים.
שלב 3
הגדרה של פונקציה לוגריתמית כפונקציה של היפוך
אקספוננציאלי, לוגריתם כמעריך של בסיס נתון
לא גובש מיד. עבודתו של לאונרד אוילר (1707-1783)
"מבוא לניתוח האינפיניטסימלים" (1748) שימש כהמשך
פיתוח התיאוריה של הפונקציה הלוגריתמית. לכן,
134 שנים חלפו מאז הוצגו הלוגריתמים לראשונה
(ספירה מ-1614) לפני שמתמטיקאים הגיעו להגדרה
מושג הלוגריתם, שהוא כעת הבסיס של הקורס בבית הספר.
פרק 2. אוסף אי-שוויון לוגריתמי
2.1. מעברים שווים ושיטת המרווחים המוכללת.
מעברים שווים
אם > 1
אם 0 <
а <
1
שיטת מרווח כללי
שיטה זו היא האוניברסלית ביותר בפתרון אי שוויון כמעט מכל סוג. סכימת הפתרונות נראית כך:
1. הביאו את אי השוויון לצורה כזו, שבה הפונקציה ממוקמת בצד שמאל 
, ו-0 מימין.
2. מצא את היקף הפונקציה .
3. מצא את האפסים של פונקציה , כלומר לפתור את המשוואה 
(ופתירת משוואה בדרך כלל קלה יותר מפתרון אי שוויון).
4. צייר את תחום ההגדרה והאפסים של הפונקציה על קו ממשי.
5. קבע את סימני הפונקציה במרווחי זמן שהתקבלו.
6. בחר את המרווחים שבהם הפונקציה מקבלת את הערכים הדרושים, ורשום את התשובה.
דוגמה 1
פִּתָרוֹן:
החל את שיטת המרווחים
איפה
עבור ערכים אלה, כל הביטויים תחת סימני הלוגריתמים הם חיוביים.
תשובה:
דוגמה 2
פִּתָרוֹן:
1 דֶרֶך . ODZ נקבע על ידי אי השוויון איקס> 3. לקיחת לוגריתמים עבור כאלה איקסבבסיס 10, אנחנו מקבלים
אי השוויון האחרון יכול להיפתר על ידי יישום כללי הפירוק, כלומר. השוואת גורמים עם אפס. עם זאת, במקרה זה קל לקבוע את מרווחי הקביעות של הפונקציה
כך שניתן ליישם את שיטת המרווחים.
פוּנקצִיָה ו(איקס) = 2איקס(איקס- 3.5)לגǀ איקס- 3ǀ הוא רציף עבור איקס> 3 ונעלם בנקודות איקס 1 = 0, איקס 2 = 3,5, איקס 3 = 2, איקס 4 = 4. לפיכך, אנו קובעים את מרווחי הקביעות של הפונקציה ו(איקס):
תשובה:
דרך 2 . הבה ניישם את הרעיונות של שיטת המרווחים ישירות על אי השוויון המקורי.
לשם כך, נזכיר כי הביטויים אב- אג ו- ( א - 1)(ב- 1) יש סימן אחד. ואז אי השוויון שלנו עבור איקס> 3 שווה ערך לאי השוויון
אוֹ
אי השוויון האחרון נפתר בשיטת המרווחים
תשובה:
דוגמה 3
פִּתָרוֹן:
החל את שיטת המרווחים
תשובה:
דוגמה 4
פִּתָרוֹן:
מאז 2 איקס 2 - 3איקס+ 3 > 0 עבור הכל אמיתי איקס, זה
כדי לפתור את אי השוויון השני, אנו משתמשים בשיטת המרווחים
באי השוויון הראשון, אנחנו עושים את השינוי
אז אנחנו מגיעים לאי השוויון 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, העונים על אי השוויון -0.5< y < 1.
מאיפה, כי
אנחנו מקבלים את אי השוויון
שמתבצעת עם איקס, עבורו 2 איקס 2 - 3איקס - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
כעת, בהתחשב בפתרון אי השוויון השני של המערכת, אנו סוף סוף משיגים
תשובה:
דוגמה 5
פִּתָרוֹן:
אי שוויון שווה ערך למערכת של מערכות
אוֹ
החל את שיטת המרווחים או
תשובה:
דוגמה 6
פִּתָרוֹן:
אי שוויון הוא בגדר מערכת
לתת
לאחר מכן y > 0,
ואי השוויון הראשון
המערכת לובשת את הצורה
או, מתרחב
טרינום ריבועי לגורמים,
החלת שיטת המרווחים על אי השוויון האחרון,
אנו רואים שהפתרונות שלה עומדים בתנאי y> 0 יהיה הכל y > 4.
לפיכך, אי השוויון המקורי שווה למערכת:
אז, הפתרונות של אי השוויון הם כולם
2.2. שיטת רציונליזציה.
בעבר, שיטת הרציונליזציה של אי השוויון לא נפתרה, היא לא הייתה ידועה. זוהי "שיטה מודרנית יעילה חדשה לפתרון אי שוויון מעריכי ולוגיריתמי" (ציטוט מספרה של Kolesnikova S.I.)
וגם אם המורה הכיר אותו, היה חשש - אבל האם המומחה USE מכיר אותו, ולמה לא נותנים אותו בבית הספר? היו מצבים שהמורה אמרה לתלמיד: "מאיפה השגת? שב - 2".
כעת השיטה מקודמת בכל מקום. ולמומחים, ישנן הנחיות הקשורות לשיטה זו, וב"המהדורות השלמות ביותר של אפשרויות סטנדרטיות..." בפתרון C3, נעשה שימוש בשיטה זו.
השיטה מעולה!
"שולחן קסמים"
במקורות אחרים
אם a >1 ו-b >1, ואז log a b >0 ו-(a -1)(b -1)>0;
אם a >1 ו-0 אם 0<א<1 и b
>1, ולאחר מכן רישום a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
אם 0<א<1 и 00 ו-(a -1)(b -1)>0. ההיגיון לעיל הוא פשוט, אך מפשט באופן ניכר את הפתרון של אי-שוויון לוגריתמי. דוגמה 4
log x (x 2 -3)<0
פִּתָרוֹן:
דוגמה 5
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) פִּתָרוֹן: דוגמה 6
כדי לפתור את אי השוויון הזה, נכתוב (x-1-1) (x-1) במקום המכנה, ואת המכפלה (x-1) (x-3-9 + x) במקום המונה. דוגמה 7
דוגמה 8
2.3. החלפה לא סטנדרטית. דוגמה 1
דוגמה 2
דוגמה 3
דוגמה 4
דוגמה 5
דוגמה 6
דוגמה 7
log 4 (3 x -1) log 0.25 בוא נעשה את ההחלפה y=3 x -1; ואז אי השוויון הזה מקבל את הצורה log 4 log 0.25 כי log 0.25 בוא נעשה החלפה t =log 4 y ונקבל את אי השוויון t 2 -2t +≥0, שהפתרון שלו הוא המרווחים - לפיכך, כדי למצוא את הערכים של y, יש לנו קבוצה של שני אי-שוויון פשוטים ביותר לכן, אי השוויון המקורי שווה ערך לקבוצת שני אי השוויון המעריכיים, הפתרון של אי השוויון הראשון של קבוצה זו הוא המרווח 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ דוגמה 8
פִּתָרוֹן:
אי שוויון הוא בגדר מערכת הפתרון של אי השוויון השני, הקובע את ה-ODZ, יהיה מכלול אלה איקס,
לאיזה איקס > 0.
כדי לפתור את אי השוויון הראשון, אנחנו עושים את השינוי ואז נקבל את אי השוויון אוֹ מכלול הפתרונות של אי השוויון האחרון נמצא בשיטה מרווחים: -1< ט < 2. Откуда, возвращаясь к переменной איקס, אנחנו מקבלים אוֹ רבים מאלה איקס, שמספקים את אי השוויון האחרון שייך ל-ODZ ( איקס> 0), לפיכך, הוא פתרון למערכת, ומכאן אי השוויון המקורי. תשובה: 2.4. משימות עם מלכודות. דוגמה 1
פִּתָרוֹן.ה-ODZ של אי השוויון הוא כל x המקיים את התנאי 0 דוגמה 2
log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.
תשובה. (0; 0.5) U .
תשובה :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , ואז נכתוב מחדש את אי השוויון האחרון כ-2log 4 y -log 4 2 y ≤.
הפתרון של אוסף זה הוא המרווחים 0<у≤2 и 8≤у<+.
כלומר אגרגטים 
. לפיכך, אי השוויון המקורי מתקיים עבור כל הערכים של x מהמרווחים 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. לכן, כל x מהמרווח 0
סיכום
לא היה קל למצוא שיטות מיוחדות לפתרון בעיות C3 ממגוון גדול של מקורות חינוכיים שונים. במהלך העבודה הצלחתי ללמוד שיטות לא סטנדרטיות לפתרון אי שוויון לוגריתמי מורכב. אלו הם: מעברים שווים ושיטת המרווחים המוכללת, שיטת הרציונליזציה , החלפה לא סטנדרטית , משימות עם מלכודות ב-ODZ. שיטות אלו נעדרות בתכנית הלימודים בבית הספר.
בעזרת שיטות שונות, פתרתי 27 אי-שוויון שהוצעו ב-USE בחלק ג', כלומר C3. אי שוויון אלו עם פתרונות לפי שיטות היוו את הבסיס לאוסף "Logarithmic C3 Inequalities with Solutions", שהפך לתוצר הפרויקט של פעילותי. ההשערה שהעליתי בתחילת הפרויקט אוששה: ניתן לפתור בעיות C3 ביעילות אם שיטות אלו ידועות.
בנוסף, גיליתי עובדות מעניינות על לוגריתמים. היה לי מעניין לעשות את זה. תוצרי הפרויקט שלי יהיו שימושיים הן לתלמידים והן למורים.
מסקנות:
כך, מטרת הפרויקט מושגת, הבעיה נפתרת. וקיבלתי את הניסיון המלא והרב-תכליתי ביותר בפעילויות הפרויקט בכל שלבי העבודה. במהלך העבודה על הפרויקט, ההשפעה ההתפתחותית העיקרית שלי הייתה על יכולת נפשית, פעילויות הקשורות לפעולות נפשיות לוגיות, פיתוח יכולת יצירתית, יוזמה אישית, אחריות, התמדה ופעילות.
ערובה להצלחה בעת יצירת פרויקט מחקר עבור הפכתי להיות: ניסיון בית ספרי משמעותי, יכולת להוציא מידע ממקורות שונים, לבדוק את מהימנותו, לדרג אותו לפי משמעותו.
בנוסף לידע ישיר בנושאים במתמטיקה, הוא הרחיב את כישוריו המעשיים בתחום מדעי המחשב, צבר ידע וניסיון חדש בתחום הפסיכולוגיה, יצר קשרים עם חברים לכיתה ולמד לשתף פעולה עם מבוגרים. במהלך פעילות הפרויקט פותחו כישורים ויכולות חינוכיות כלליות ארגוניות, אינטלקטואליות ותקשורתיות.
סִפְרוּת
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. מערכות של אי-שוויון עם משתנה אחד (משימות טיפוסיות C3).
2. מלקובה א.ג. הכנה לבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה.
3. S. S. Samarova, פתרון אי-שוויון לוגריתמי.
4. מתמטיקה. אוסף עבודות הדרכה בעריכת א.ל. סמיונוב ואי.וי. יאשצ'נקו. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 עמ'-
המאמר מוקדש לניתוח משימות 15 מבחינת הפרופיל במתמטיקה לשנת 2017. במשימה זו מציעים לתלמידים לפתור אי שוויון, לרוב לוגריתמי. למרות שהם יכולים להעיד. מאמר זה מספק ניתוח של דוגמאות של אי-שוויון לוגריתמי, כולל אלה המכילים משתנה בבסיס הלוגריתם. כל הדוגמאות לקוחות מהבנק הפתוח של משימות USE במתמטיקה (פרופיל), כך שסביר מאוד שחוסר שוויון כזה יתקל במשימה 15 בבחינה. אידיאלי למי שרוצה ללמוד איך לפתור משימה 15 מהחלק השני של הפרופיל השתמש בפרק זמן קצר במתמטיקה כדי לקבל ציונים גבוהים יותר בבחינה.
ניתוח משימות 15 מתוך בחינת הפרופיל במתמטיקה
| דוגמה 1. פתרו את אי השוויון: |
במשימות 15 של בחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה (פרופיל), לעתים קרובות מוצאים אי-שוויון לוגריתמי. הפתרון של אי-שוויון לוגריתמי מתחיל בהגדרת טווח הערכים המקובלים. במקרה זה, אין משתנה בבסיס של שני הלוגריתמים, יש רק את המספר 11, מה שמפשט מאוד את המשימה. לכן, ההגבלה היחידה שיש לנו כאן היא ששני הביטויים תחת סימן הלוגריתם הם חיוביים:
Title="Renderd by QuickLaTeX.com">!}
אי השוויון הראשון במערכת הוא אי השוויון הריבועי. כדי לפתור את זה, באמת נעשה טוב אם לחלק את הצד השמאלי לגורמים. אני חושב שאתה יודע שכל טרינום מרובע של הצורה 
זה מחולק לגורמים באופן הבא:
היכן והם שורשי המשוואה . במקרה זה, המקדם הוא 1 (זהו המקדם המספרי שלפני ). גם המקדם שווה ל-1, והמקדם הוא איבר חופשי, הוא שווה ל-20. הכי קל לקבוע את שורשיו של טרינום באמצעות משפט וייטה. המשוואה שלנו מצטמצמת, כלומר סכום השורשים ותהיה שווה למקדם עם הסימן ההפוך, כלומר -1, והמכפלה של השורשים הללו תהיה שווה למקדם, כלומר -20. קל לנחש שהשורשים יהיו -5 ו-4.
כעת ניתן להביא בחשבון את הצד השמאלי של אי השוויון: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} איקסבנקודות -5 ו-4. לפיכך, הפתרון הרצוי לאי השוויון הוא המרווח . למי שלא מבין מה כתוב כאן, ניתן לראות את הפרטים בסרטון, החל מעכשיו. שם תמצאו גם הסבר מפורט כיצד פותרים את אי השוויון השני של המערכת. זה נמצא בפתרון. יתרה מכך, התשובה היא בדיוק כמו לגבי אי השוויון הראשון של המערכת. כלומר, הסט שנכתב למעלה הוא תחום הערכים הקבילים של אי השוויון.
אז, תוך התחשבות בפירוק לגורמים, אי השוויון המקורי מקבל את הצורה:
בעזרת הנוסחה נוסיף 11 בחזקת הביטוי מתחת לסימן הלוגריתם הראשון, ונעביר את הלוגריתם השני לצד שמאל של אי השוויון, תוך שינוי הסימן שלו להפך:
לאחר הפחתה נקבל:
אי השוויון האחרון, עקב הגידול בפונקציה , שווה ערך לאי השוויון 
, שהפתרון שלו הוא המרווח 
. נותר לחצות את זה עם תחום הערכים הקבילים של אי השוויון, וזו תהיה התשובה לכל המשימה.
אז לתשובה הרצויה למשימה יש את הטופס:
הבנו את המשימה הזו, עכשיו נעבור לדוגמא הבאה של משימה 15 של בחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה (פרופיל).
| דוגמה 2. פתור את אי השוויון:
|
אנו מתחילים את הפתרון בקביעת טווח הערכים הקבילים של אי השוויון הזה. הבסיס של כל לוגריתם חייב להיות מספר חיובי שאינו שווה ל-1. כל הביטויים מתחת לסימן הלוגריתם חייבים להיות חיוביים. המכנה של שבר לא חייב להיות אפס. התנאי האחרון שווה ערך ל, מכיוון שרק אחרת שני הלוגריתמים במכנה נעלמים. כל התנאים הללו קובעים את טווח הערכים הקבילים של אי שוויון זה, אשר ניתן על ידי מערכת אי השוויון הבאה:
Title="Renderd by QuickLaTeX.com">!}
בטווח הערכים המקובלים, נוכל להשתמש בנוסחאות טרנספורמציה לוגריתמית על מנת לפשט את הצד השמאלי של אי השוויון. שימוש בנוסחה 
להיפטר מהמכנה:
כעת יש לנו רק לוגריתמים בסיסיים. זה כבר יותר נוח. לאחר מכן, אנו משתמשים בנוסחה, וגם בנוסחה על מנת להביא את הביטוי שווה תהילה לצורה הבאה:
בחישובים השתמשנו במה שנמצא בטווח הערכים המקובלים. באמצעות ההחלפה, אנו מגיעים לביטוי:
בוא נשתמש בתחליף אחד נוסף: . כתוצאה מכך אנו מגיעים לתוצאה הבאה:
אז, חזור בהדרגה למשתנים המקוריים. ראשית למשתנה:
לעתים קרובות, כאשר פותרים אי-שוויון לוגריתמי, יש בעיות עם בסיס משתנה של הלוגריתם. אז, אי שוויון של הצורה
הוא אי שוויון סטנדרטי בבית ספר. ככלל, כדי לפתור אותה, נעשה שימוש במעבר למערכת מקבילה של מערכות:
החיסרון של שיטה זו הוא הצורך לפתור שבעה אי-שוויון, לא סופרים שתי מערכות וקבוצה אחת. אפילו עם פונקציות ריבועיות נתונות, פתרון האוכלוסייה עשוי לדרוש זמן רב.
ניתן להציע דרך חלופית, שאורכת פחות זמן, לפתור את אי השוויון הסטנדרטי הזה. לשם כך, אנו לוקחים בחשבון את המשפט הבא.
משפט 1. תנו לפונקציה מתמשכת הגדלה על קבוצה X. ואז על קבוצה זו סימן התוספת של הפונקציה יתאים לסימן התוספת של הארגומנט, כלומר. , איפה 
.
הערה: אם פונקציה של ירידה מתמשכת בסט X, אז .
בואו נחזור לאי השוויון. נעבור ללוגריתם העשרוני (אתה יכול ללכת לכל אחד עם בסיס קבוע גדול מאחד).
כעת אנו יכולים להשתמש במשפט, לשים לב במונה את תוספת הפונקציות 
ובמכנה. אז זה נכון
כתוצאה מכך, מספר החישובים המובילים לתשובה מצטמצם בכמחצית, מה שחוסך לא רק זמן, אלא גם מאפשר לך לבצע פחות שגיאות אריתמטיות ורשלנות.
דוגמה 1
בהשוואה עם (1) אנו מוצאים 
, 
, .
במעבר ל-(2) יהיה לנו:
דוגמה 2
בהשוואה עם (1) אנו מוצאים , , .
במעבר ל-(2) יהיה לנו:
דוגמה 3
מאז הצד השמאלי של אי השוויון הוא פונקציה גוברת עבור ו 
, אז התשובה מוגדרת .
ניתן להרחיב בקלות את סט הדוגמאות שבהן ניתן ליישם Terme 1 אם לוקחים בחשבון את Terme 2.
תן על הסט איקסהפונקציות , , , מוגדרות, ובקבוצה זו הסימנים וחופפים, כלומר, אז זה יהיה הוגן.
דוגמה 4
דוגמה 5
בגישה הסטנדרטית, הדוגמה נפתרת על פי הסכמה: המוצר קטן מאפס כאשר הגורמים הם בעלי סימנים שונים. הָהֵן. אנו רואים קבוצה של שתי מערכות של אי-שוויון שבהן, כפי שצוין בהתחלה, כל אי-שוויון מתפרק לשבע נוספות.
אם ניקח בחשבון את משפט 2, אז כל אחד מהגורמים, בהתחשב ב-(2), יכול להיות מוחלף בפונקציה אחרת בעלת אותו סימן בדוגמה זו של O.D.Z.
השיטה של החלפת התוספת של פונקציה בתוספת של הארגומנט, תוך התחשבות במשפט 2, מתבררת כנוחה מאוד בפתרון בעיות C3 USE טיפוסיות.
דוגמה 6
דוגמה 7
. בואו נסמן. לקבל
. שימו לב שההחלפה מרמזת: . אם נחזור למשוואה, נקבל
.
דוגמה 8
במשפטים שבהם אנו משתמשים, אין הגבלה על מחלקות הפונקציות. במאמר זה, כדוגמה, יושמו המשפטים לפתרון אי-שוויון לוגריתמי. הדוגמאות הבאות ידגימו את ההבטחה של השיטה לפתרון סוגים אחרים של אי שוויון.