KETURI puikūs taškai
TRIKAMPIS
Geometrija
8 klasė
Sacharova Natalija Ivanovna
Simferopolio MBOU vidurinė mokykla Nr. 28
- Trikampio medianų susikirtimo taškas
- Trikampio pusiausvyros susikirtimo taškas
- Trikampio aukščių susikirtimo taškas
- Trikampio vidurio statmenų susikirtimo taškas
Mediana
Mediana (BD) Trikampis yra atkarpa, jungianti trikampio viršūnę su priešingos kraštinės vidurio tašku.
medianos trikampiai susikerta vienu metu (gravitacijos centras trikampis) ir padalykite šį tašką santykiu 2: 1, skaičiuojant nuo viršaus.
BIEKTORIAUS
Bisektorius (AD) trikampis vadinamas trikampio vidinio kampo pusiausvyros atkarpa. ∟ BLOGAS = ∟CAD.
Kiekvienas taškas bisektorius neišsivysčiusio kampo yra vienodu atstumu nuo jo kraštų.
Atgal: kiekvienas taškas kampo viduje ir vienodu atstumu nuo kampo kraštų yra ant jo bisektorius.
Visi bisektoriniai trikampiai susikerta viename taške įrašytas centras į trikampį apskritimai.
Apskritimo spindulys (OM) yra statmenas, numestas iš centro (T.O) į trikampio kraštą
AUKŠTIS
Aukštis (CD) Trikampis yra statmens atkarpa, nukrenta iš trikampio viršūnės į tiesę, kurioje yra priešinga kraštinė.
Aukštumos trikampiai (ar jų plėtiniai) susikerta vienas tašką.
VIDURIO STAPEMENYS
Statmenas bisektorius (DF) vadinama tiese, statmena trikampio kraštinei ir dalijančia ją pusiau.
Kiekvienas taškas vidurio statmenas(m) iki atkarpos yra vienodu atstumu nuo šios atkarpos galų.
Atgal: kiekvienas taškas, esantis vienodu atstumu nuo atkarpos galų, yra vidurio taške statmenai jam.
Visos trikampio kraštinių statmenos pusės susikerta viename taške - aprašytojo centras šalia trikampio apskritimai .
Apriboto apskritimo spindulys yra atstumas nuo apskritimo centro iki bet kurios trikampio viršūnės (OA).
Puslapis 177 №675 (brėžinys)
Namų darbai
P.173 § 3 apibrėžimai ir teoremos p.177 Nr. 675 (pabaiga)
Tikslai:
- apibendrinti mokinių žinias tema „Keturi nuostabūs trikampio taškai“, tęsti darbą ugdant įgūdžius konstruojant trikampio aukštį, medianą, pusiausvyrą;
Supažindinti mokinius su naujomis įbrėžto apskritimo trikampyje ir apibūdintomis aplink jį sąvokomis;
Ugdyti tyrimo įgūdžius;
- ugdyti mokinių užsispyrimą, tikslumą, organizuotumą.
Užduotis: išplėsti pažintinį susidomėjimą geometrija.
Įranga: lenta, piešimo įrankiai, spalvoti pieštukai, trikampio modelis kraštovaizdžio lape; kompiuteris, multimedijos projektorius, ekranas.
Per užsiėmimus
1.
Organizacinis momentas (1 minutė)
Mokytojas:Šioje pamokoje kiekvienas iš jūsų pasijusite inžinieriumi mokslo darbu, atlikę praktinį darbą, galėsite įvertinti save. Kad darbas vyktų sėkmingai, per pamoką būtina labai tiksliai ir organizuotai atlikti visus veiksmus su modeliu. Linkiu sėkmės.
2.
Mokytojas: užrašų knygelėje nupieškite išskleistą kampą
K. Kokius žinote kampo bisektoriaus konstravimo būdus?
Kampo pusiausvyros nustatymas. Du studentai lentoje atlieka kampo pusiausvyros konstravimą (pagal iš anksto paruoštus modelius) dviem būdais: liniuote, kompasais. Šie du mokiniai žodžiu įrodo teiginius:
1. Kokią savybę turi kampo pusiausvyros taškai?
2. Ką galima pasakyti apie taškus, esančius kampo viduje ir vienodu atstumu nuo kampo kraštinių?
Mokytojas: nubrėžkite keturkampį trikampį ABC bet kuriuo iš būdų, pastatykite kampo A ir kampo C bisektrius, nukreipkite juos
sankirta – taškas O. Kokią hipotezę galite iškelti apie spindulį BO? Įrodykite, kad spindulys BO yra trikampio ABC pusiausvyra. Suformuluokite išvadą apie visų trikampio pusių išsidėstymą.
3.
Dirbkite su trikampio modeliu (5-7 min.).
1 variantas – ūminis trikampis;
2 variantas – stačiakampis trikampis;
3 variantas – bukas trikampis.
Mokytojas: ant trikampio modelio pastatykite du bisektorius, apibraukite juos geltonai. Nurodykite susikirtimo tašką
Bisektoriaus taškas K. Žr. 1 skaidrę.
4.
Pasiruošimas pagrindiniam pamokos etapui (10-13 min.).
Mokytojas: Savo sąsiuvinyje nupieškite segmentą AB. Kokius įrankius galima naudoti tiesės atkarpos statmenajam bisektoriui sukurti? Statmens bisektoriaus apibrėžimas. Du studentai lentoje atlieka statmeno bisektoriaus konstrukciją
(pagal iš anksto paruoštus modelius) dviem būdais: liniuote, kompasu. Šie du mokiniai žodžiu įrodo teiginius:
1. Kokią savybę turi atkarpos vidurio statmens taškai?
2. Ką galima pasakyti apie taškus, esančius vienodais atstumais nuo atkarpos AB galų Mokytojas: nubraižykite keturkampį trikampį ABC ir bet kurioms dviem trikampio ABC kraštinėms nubrėžkite statmenas dvikampes.
Pažymėkite susikirtimo tašką O. Per tašką O nubrėžkite statmeną trečiajai kraštinei. Ką pastebite? Įrodykite, kad tai yra atkarpos statmena pusiausvyra.
5.
Darbas su trikampio modeliu (5 min.) Mokytojas: trikampio modelyje pastatykite statmenas dvikampes dviejose trikampio kraštinėse ir apibraukite jas žaliai. Pažymėkite statmenų bisektorių susikirtimo tašką su tašku O. Žiūrėkite skaidrę Nr. 2.
6.
Pasiruošimas pagrindiniam pamokos etapui (5-7 min.) Mokytojas: nubraižykite bukąjį trikampį ABC ir pastatykite du aukščius. Nurodykite jų susikirtimo tašką O.
1. Ką galima pasakyti apie trečiąjį aukštį (trečiasis aukštis, jei tęsiamas už pagrindo, eis per tašką O)?
2. Kaip įrodyti, kad visi aukščiai susikerta viename taške?
3. Kokią naują figūrą suformuoja šios aukštumos ir kokios jos joje?
7.
Dirbkite su trikampio modeliu (5 min.).
Mokytojas: Ant trikampio modelio pastatykite tris aukščius ir apveskite juos mėlyna spalva. Pažymėkite aukščių susikirtimo tašką su tašku H. Žiūrėkite skaidrę Nr. 3.
Antra pamoka
8.
Pasiruošimas pagrindiniam pamokos etapui (10-12 min.).
Mokytojas: Nubrėžkite smailųjį trikampį ABC ir nubrėžkite visas jo medianas. Nurodykite jų susikirtimo tašką O. Kokią savybę turi trikampio medianos?
9.
Darbas su trikampio modeliu (5 min.).
Mokytojas: ant trikampio modelio pastatykite tris medianas ir apveskite jas ruda spalva.
Pažymėkite medianų susikirtimo tašką su tašku T. Žiūrėkite 4 skaidrę.
10.
Konstrukcijos teisingumo tikrinimas (10-15 min.).
1. Ką galima pasakyti apie tašką K? / Taškas K yra pusiausvyros susikirtimo taškas, jis yra vienodu atstumu nuo visų trikampio kraštinių /
2. Modelyje parodykite atstumą nuo taško K iki ilgosios trikampio kraštinės. Kokią figūrą nupiešėte? Kaip tai yra
nupjauti į šoną? Paryškinkite paprastu pieštuku. (Žr. 5 skaidrę).
3. Koks taškas yra vienodu atstumu nuo trijų plokštumos taškų, kurie nėra vienoje tiesėje? Sukurkite apskritimą geltonu pieštuku, kurio centras K ir spindulys lygus paprastu pieštuku pasirinktam atstumui. (Žr. 6 skaidrę).
4. Ką pastebėjote? Kaip šis apskritimas yra santykinis su trikampiu? Į trikampį įbrėžėte apskritimą. Kaip vadinasi toks būrelis?
Mokytojas pateikia trikampyje įbrėžto apskritimo apibrėžimą.
5. Ką galima pasakyti apie tašką O? \PointO – vidurinių statmenų susikirtimo taškas ir jis yra vienodu atstumu nuo visų trikampio viršūnių \. Kokią figūrą galima sukurti sujungus taškus A, B, C ir O?
6. Sukurkite žalios spalvos apskritimą (O; OA). (Žr. skaidrę Nr. 7).
7. Ką pastebėjote? Kaip šis apskritimas yra santykinis su trikampiu? Kaip vadinasi toks būrelis? Koks yra trikampio pavadinimas šiuo atveju?
Mokytojas pateikia apibrėžto apskritimo aplink trikampį apibrėžimą.
8. Prie taškų O, H ir T pritvirtinkite liniuotę ir per šiuos taškus nubrėžkite tiesią liniją raudonai. Ši linija vadinama tiesia linija.
Euler (žr. 8 skaidrę).
9. Palyginkite OT ir TN. Patikrinkite FROM:TN=1: 2. (Žr. skaidrę Nr. 9).
10. a) Raskite trikampio medianas (ruda spalva). Rašalu pažymėkite medianų pagrindus.
Kur yra šie trys taškai?
b) Raskite trikampio aukščius (mėlyna spalva). Aukščių pagrindus pažymėkite rašalu. Kiek iš šių taškų? \ 1 variantas-3; 2 variantas-2; 3-3 variantas\.c) Išmatuokite atstumus nuo viršūnių iki aukščių susikirtimo taško. Pavadinkite šiuos atstumus (AN,
VN, CH). Raskite šių segmentų vidurio taškus ir paryškinkite rašalu. Kiek
taškų? \1 variantas-3; 2 variantas-2; 3-3 variantas\.
11. Suskaičiuokite, kiek taškų pažymėtų rašalu? \ 1 variantas - 9; 2 variantas-5; 3-9 variantas\. Paskirti
taškai D 1 , D 2 ,…, D 9 . (Žr. skaidrę Nr. 10.) Per šiuos taškus galite sukurti Eulerio apskritimą. Apskritimo taško E centras yra atkarpos OH viduryje. Statome apskritimą raudonai (E; ED 1). Šis ratas, kaip ir tiesi linija, pavadintas didžiojo mokslininko vardu. (Žr. 11 skaidrę).
11.
Eulerio pristatymas (5 min.).
12. Apatinė eilutė(3 min.) Rezultatas: "5" – jei gausite tiksliai geltonus, žalius ir raudonus apskritimus bei Eilerio liniją. „4“ – jei apskritimai netikslūs 2–3 mm. "3" - jei apskritimai yra netikslūs 5-7 mm.
Šioje pamokoje apžvelgsime keturis nuostabius trikampio taškus. Išsamiai apsistosime ties dviem iš jų, priminsime svarbių teoremų įrodymus ir išspręsime problemą. Likusius du mes prisimename ir apibūdiname.
Tema:8 klasės geometrijos kurso kartojimas
Pamoka: keturi nuostabūs trikampio taškai
Trikampis visų pirma yra trys atkarpos ir trys kampai, todėl atkarpų ir kampų savybės yra pagrindinės.
Pateiktas AB segmentas. Bet kuri atkarpa turi vidurį, o per jį galima nubrėžti statmeną – jį žymime p. Taigi p yra statmenas bisektorius.
Teorema (pagrindinė statmeno bisektoriaus savybė)
Bet kuris taškas, esantis ant statmeno bisektoriaus, yra vienodu atstumu nuo atkarpos galų.
Įrodyk tai
Įrodymas:
Apsvarstykite trikampius ir (žr. 1 pav.). Jie yra stačiakampiai ir lygūs, nes. turi bendrą koją OM, o AO ir OB kojos yra lygios pagal sąlygą, taigi turime du stačiakampius trikampius, lygius dviejose kojose. Iš to išplaukia, kad trikampių hipotenzės taip pat yra lygios, tai yra, ką reikėjo įrodyti.
Ryžiai. 1
Atvirkštinė teorema yra teisinga.
Teorema
Kiekvienas taškas, nutolęs vienodu atstumu nuo atkarpos galų, yra ant šios atkarpos statmenos pusės.
Pateikta atkarpa AB, jai statmena mediana p, taškas M, vienodu atstumu nuo atkarpos galų (žr. 2 pav.).
Įrodykite, kad taškas M yra ant atkarpos statmenos pusės.
Ryžiai. 2
Įrodymas:
Panagrinėkime trikampį. Jis yra lygiašonis, kaip ir sąlyga. Apsvarstykite trikampio medianą: taškas O yra pagrindo AB vidurio taškas, OM - vidurio taškas. Pagal lygiašonio trikampio savybę mediana, nubrėžta į jo pagrindą, yra ir aukštis, ir pusė. Taigi išplaukia, kad. Bet tiesė p taip pat statmena AB. Žinome, kad į tašką O galima nubrėžti vieną statmeną atkarpai AB, o tai reiškia, kad tiesės OM ir p sutampa, taigi iš to seka, kad taškas M priklauso tiesei p, kurią reikėjo įrodyti.
Jei reikia apibūdinti apskritimą apie vieną atkarpą, tai galima padaryti, ir tokių apskritimų yra be galo daug, tačiau kiekvieno iš jų centras bus ant atkarpos statmenos pusės.
Sakoma, kad statmenas bisektorius yra taškų, nutolusių vienodu atstumu nuo atkarpos galų, vieta.
Trikampis susideda iš trijų segmentų. Dviem iš jų nubrėžkime vidurio statmenis ir gaukime jų susikirtimo tašką O (žr. 3 pav.).
Taškas O priklauso statmenai trikampio kraštinei BC, o tai reiškia, kad jis yra vienodu atstumu nuo jo viršūnių B ir C, šį atstumą pažymėkime kaip R:.
Be to, taškas O yra statmenoje atkarpai AB, t.y. tačiau iš čia .
Taigi dviejų vidurio taškų susikirtimo taškas O
Ryžiai. 3
trikampio statmenys yra vienodu atstumu nuo jo viršūnių, o tai reiškia, kad jis taip pat yra ant trečiojo statmeno bisektoriaus.
Pakartojome svarbios teoremos įrodymą.
Trys statmenos trikampio pusiausvyros susikerta viename taške – apibrėžtojo apskritimo centre.
Taigi, mes atsižvelgėme į pirmąjį puikų trikampio tašką - jo statmenų bisektorių susikirtimo tašką.
Pereikime prie savavališko kampo savybės (žr. 4 pav.).
Atsižvelgiant į kampas , Jo bisector AL, taškas M guli ant bisector.
Ryžiai. 4
Jei taškas M yra ant kampo bisektoriaus, tada jis yra vienodu atstumu nuo kampo kraštinių, tai yra, kampo kraštinių atstumai nuo taško M iki AC ir iki BC yra lygūs.
Įrodymas:
Apsvarstykite trikampius ir . Tai yra stačiakampiai trikampiai, ir jie yra lygūs, nes. turi bendrą hipotenuzę AM, o kampai ir yra lygūs, nes AL yra kampo bisector . Taigi, stačiakampiai trikampiai yra lygūs hipotenuzėje ir smailiame kampe, todėl išplaukia, kad , kurį reikėjo įrodyti. Taigi, taškas kampo bisektoriuje yra vienodu atstumu nuo to kampo kraštinių.
Atvirkštinė teorema yra teisinga.
Teorema
Jei taškas yra vienodu atstumu nuo neišplėsto kampo kraštinių, tai jis guli ant jo bisektoriaus (žr. 5 pav.).
Duotas neišvystytas kampas, taškas M, kad atstumas nuo jo iki kampo kraštų būtų vienodas.
Įrodykite, kad taškas M yra ant kampo pusiausvyros.
Ryžiai. 5
Įrodymas:
Atstumas nuo taško iki linijos yra statmens ilgis. Iš taško M nubrėžkite statmenus MK į kraštą AB ir MP į kraštą AC.
Apsvarstykite trikampius ir . Tai yra stačiakampiai trikampiai, ir jie yra lygūs, nes. turi bendrą hipotenuzę AM, kojos MK ir MR yra lygios pagal būklę. Taigi stačiakampiai trikampiai yra lygūs hipotenuzėje ir kojoje. Iš trikampių lygybės išplaukia atitinkamų elementų lygybė, lygūs kampai yra prieš lygias kojas, taigi, 
, todėl taškas M yra ant duoto kampo bisektoriaus.
Jei reikia įbrėžti apskritimą į kampą, tai galima padaryti, ir tokių apskritimų yra be galo daug, bet jų centrai yra ant duoto kampo bisektoriaus.
Sakoma, kad pusiausvyra yra taškų, esančių vienodu atstumu nuo kampo kraštinių, vieta.
Trikampis sudarytas iš trijų kampų. Dviejų iš jų sukonstruojame bisektorius, gauname jų susikirtimo tašką O (žr. 6 pav.).
Taškas O yra ant kampo bisektoriaus, o tai reiškia, kad jis yra vienodu atstumu nuo jo kraštinių AB ir BC, atstumą pažymėkime kaip r:. Be to, taškas O yra ant kampo bisector , o tai reiškia, kad jis yra vienodu atstumu nuo jo kraštinių AC ir BC: , , Taigi .
Nesunku pastebėti, kad bisektorių susikirtimo taškas yra vienodu atstumu nuo trečiojo kampo kraštinių, o tai reiškia, kad jis yra
Ryžiai. 6
kampo bisektorius. Taigi visi trys trikampio pusiausvyros susikerta viename taške.
Taigi, prisiminėme kitos svarbios teoremos įrodymą.
Trikampio kampų pusiausvyros susikerta viename taške – įbrėžto apskritimo centre.
Taigi, mes atsižvelgėme į antrąjį nuostabų trikampio tašką - pusiausvyros susikirtimo tašką.
Išnagrinėjome kampo pusiausvyrą ir atkreipėme dėmesį į svarbias jo savybes: pusiaukampio taškai yra vienodu atstumu nuo kampo kraštinių, be to, iš vieno taško į apskritimą nubrėžtos liestinių atkarpos yra lygios.
Įveskime tam tikrą žymėjimą (žr. 7 pav.).
Lygias liestinių atkarpas pažymėkite x, y ir z. Kraštinė BC, esanti priešais viršūnę A, žymima kaip a, panašiai AC kaip b, AB kaip c.
Ryžiai. 7
1 uždavinys: Trikampio pusperimetras ir kraštinės ilgis a yra žinomi. Raskite liestinės, nubrėžtos iš viršūnės A - AK, pažymėtos x, ilgį.
Akivaizdu, kad trikampis nėra visiškai apibrėžtas, o tokių trikampių yra daug, tačiau paaiškėja, kad jie turi keletą bendrų elementų.
Problemoms, kuriose kalbame apie įrašytą apskritimą, galime pasiūlyti tokią sprendimo techniką:
1. Nubrėžkite pusiausvyras ir gaukite įbrėžto apskritimo centrą.
2. Iš centro O nubrėžkite statmenus į šonus ir gaukite sąlyčio taškus.
3. Pažymėkite lygias liestes.
4. Užrašykite ryšį tarp trikampio kraštinių ir liestinių.
Silčenkovas Ilja
medžiaga pamokai, pristatymas su animacija
Parsisiųsti:
Peržiūra:
Norėdami naudoti pristatymų peržiūrą, susikurkite „Google“ paskyrą (paskyrą) ir prisijunkite: https://accounts.google.com
Skaidrių antraštės:
Trikampio vidurio linija yra atkarpa, jungianti dviejų jo kraštinių vidurio taškus ir lygi pusei šios kraštinės. Taip pat pagal teoremą trikampio vidurio linija lygiagreti vienai iš jo kraštinių ir lygi pusei šios kraštinės.
Jei tiesė yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena ir kitai.
Įspūdingi trikampio taškai
Įspūdingi trikampio taškai Medianų susikirtimo taškas (trikampio centras); Bisektorių susikirtimo taškas, įbrėžto apskritimo centras; Statmenų bisektorių susikirtimo taškas; Aukščių susikirtimo taškas (ortocentras); Eulerio linija ir devynių taškų apskritimas; Gergonne ir Nagel taškai; Point Fermat-Torricelli;
Medianų susikirtimo taškas
Trikampio mediana yra atkarpa, jungianti bet kurio trikampio kampo viršūnę su priešingos kraštinės vidurio tašku.
I. Trikampio medianos susikerta viename taške, kuris kiekvieną medianą dalija santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršaus.
Įrodymas:
A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 2. Atkarpa A 1 B 1 yra lygiagreti kraštinei AB ir 1/2 AB \u003d A 1 B 1, ty AB \u003d 2A1B1 (pagal trikampio vidurio linijos teoremą), todėl 1 \u003d 4 ir 3 \u003d 2 ( nes jie sudaro vidinius kryžminius kampus su lygiagrečiomis tiesėmis AB ir A 1 B 1, o BB 1 – 1, 4 ir AA 1 – 3, 2 3. Todėl trikampiai AOB ir A 1 OB 1 yra panašūs dviem kampais ir, todėl jų kraštinės yra proporcingos , t.y. AO ir A 1 O, BO ir B 1 O, AB ir A 1 B 1 kraštinių santykiai yra lygūs.Bet AB = 2A 1 B 1, todėl AO \u003d 2A 1 O ir BO \u003d 2B 1 O. Taigi BB 1 ir AA 1 medianų susikirtimo taškas O, skaičiuojant nuo viršaus, kiekvieną iš jų padalija santykiu 2:1. Įrodyta teorema. Panašiai galima įrodyti ir apie kitos dvi medianos
Masės centras kartais vadinamas centroidu. Štai kodėl jie sako, kad medianos susikirtimo taškas yra trikampio centroidas. Vienalytės trikampės plokštės masės centras yra tame pačiame taške. Jei panaši plokštelė dedama ant kaiščio taip, kad smeigtuko galas tiksliai atsitrenktų į trikampio centroidą, tada plokštė bus pusiausvyroje. Taip pat medianų susikirtimo taškas yra jo vidurinio trikampio apskritimo centras. Įdomi medianų susikirtimo taško savybė yra susijusi su fizine masės centro samprata. Pasirodo, jei trikampio viršūnėse dedamos lygios masės, jų centras kris būtent šioje vietoje.
Bisektorių susikirtimo taškas
Trikampio bisektorius – kampo, jungiančio vieno iš trikampio kampų viršūnę su tašku, esančiu priešingoje pusėje, atkarpa.
Trikampio pusiausvyros susikerta viename taške, esančiame vienodu atstumu nuo jo kraštinių.
Įrodymas:
C A B A 1 B 1 C 1 0 1. Raide O pažymėkite trikampio ABC pusiaukampių AA 1 ir BB 1 susikirtimo tašką. 3. Pasinaudokime tuo, kad kiekvienas neišskleisto kampo bisektoriaus taškas yra vienodu atstumu nuo jo kraštinių ir atvirkščiai: kiekvienas taškas, esantis kampo viduje ir vienodai nutolęs nuo kampo kraštinių, yra ant jo bisektoriaus. Tada OK=OL ir OK=OM. Tai reiškia, kad OM \u003d OL, t. 4. Vadinasi, visos trys trikampio ABC pusiausvyros susikerta taške O. K L M Teorema įrodyta. 2. Iš šio taško nubrėžkite statmenis OK, OL ir OM, atitinkamai, tiesioms AB, BC ir CA.
Statmenų bisektorių susikirtimo taškas
Vidurinis statmuo yra tiesi linija, einanti per tam tikros atkarpos vidurio tašką ir statmena jai.
Statmenys trikampio kraštinėms kertasi viename taške, esančiame vienodu atstumu nuo trikampio viršūnių.
Įrodymas:
B C A m n 1. Raide O pažymėkite statmenų m ir n trikampio ABC kraštinių AB ir BC susikirtimo tašką. O 2. Naudodami teoremą, kad kiekvienas atkarpos statmenos pusės taškas yra vienodu atstumu nuo šios atkarpos galų ir atvirkščiai: kiekvienas taškas, esantis vienodu atstumu nuo atkarpos galų, yra ant jai statmenos pusės, gauname, kad OB= OA ir OB=OC. 3. Todėl OA \u003d OC, tai yra, taškas O yra vienodu atstumu nuo atkarpos AC galų ir todėl yra ant šios atkarpos statmenos pusės. 4. Todėl visi trys statmenai trikampio ABC kraštinėms m, n ir p kertasi taške O. Teorema įrodyta. R
Aukščių (arba jų plėtinių) susikirtimo taškas
Trikampio aukštis yra statmenas, nubrėžtas nuo bet kurio trikampio kampo viršūnės iki linijos, kurioje yra priešinga kraštinė.
Trikampio aukščiai arba jų plėtiniai susikerta viename taške, kuris gali būti trikampyje arba už jo ribų.
Įrodymas:
Įrodykime, kad tiesės AA 1 , BB 1 ir CC 1 susikerta viename taške. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. Nubrėžkite tiesę per kiekvieną trikampio ABC viršūnę, lygiagrečią priešingajai kraštinei. Gauname trikampį A 2 B 2 C 2. 2. Taškai A, B ir C yra šio trikampio kraštinių vidurio taškai. Iš tiesų, AB \u003d A 2 C ir AB \u003d CB 2 kaip priešingos lygiagretainių ABA 2 C ir ABCB 2 pusės, todėl A 2 C \u003d CB 2. Panašiai C 2 A \u003d AB 2 ir C 2 B \u003d BA 2. Be to, kaip matyti iš konstrukcijos, CC 1 yra statmena A 2 B 2, AA 1 yra statmena B 2 C 2, o BB 1 yra statmena A 2 C 2 (iš lygiagrečių tiesių ir sekantinės teoremos pasekmės) . Taigi tiesės AA 1, BB 1 ir CC 1 yra statmenos trikampio A 2 B 2 C 2 kraštinėms. Todėl jie susikerta viename taške. Teorema įrodyta.
Baranova Elena
Šiame darbe aptariami svarbūs trikampio taškai, jų savybės ir dėsningumai, tokie kaip devynių taškų apskritimas ir Eulerio linija. Pateikiamas istorinis Eulerio linijos ir devynių taškų apskritimo atradimo fonas. Siūloma praktinė mano projekto taikymo kryptis.
Parsisiųsti:
Peržiūra:
Norėdami naudoti pristatymų peržiūrą, susikurkite „Google“ paskyrą (paskyrą) ir prisijunkite: https://accounts.google.com
Skaidrių antraštės:
„ĮSPĖTI TRIKAMPIO TAŠKAI“. (Matematikos taikomieji ir pagrindiniai klausimai) Baranova Elena 8 klasė, MKOU "20 vidurinė mokykla" Poz. Novoizobilny, Tatjana Vasilievna Dukhanina, matematikos mokytoja MKOU "Vidurinė mokykla Nr. 20" Novoizobilny gyvenvietė 2013. Savivaldybės valstybinė švietimo įstaiga "Vidurinė mokykla Nr. 20"
Tikslas: trikampio tyrinėjimas jo nuostabiuose taškuose, jų klasifikacijų ir savybių tyrimas. Uždaviniai: 1. Išstudijuoti reikiamą literatūrą 2. Išstudijuoti trikampio žymiųjų taškų klasifikaciją 3. Susipažinti su trikampio žymiųjų taškų savybėmis 4. Mokėti statyti trikampio žymiuosius taškus. 5. Ištirkite nuostabių taškų apimtį. Studijų objektas – matematikos šaka – geometrija Studijų objektas – trikampis Aktualumas: praplėsti savo žinias apie trikampį, jo žymių taškų savybes. Hipotezė: trikampio ir gamtos ryšys
Vidurinių statmenų susikirtimo taškas Jis yra vienodu atstumu nuo trikampio viršūnių ir yra apibrėžtojo apskritimo centras. Apskritimai, apibrėžti apie trikampius, kurių viršūnės yra trikampio kraštinių vidurio taškai, o trikampio viršūnės susikerta viename taške, kuris sutampa su statmenų bisektorių susikirtimo tašku.
Pusiklių susikirtimo taškas Trikampio pusiaukampių susikirtimo taškas yra vienodu atstumu nuo trikampio kraštinių. OM=OA=OV
Aukščių susikirtimo taškas Trikampio, kurio viršūnės yra aukščių pagrindai, pusiaukampių susikirtimo taškas sutampa su trikampio aukščių susikirtimo tašku.
Medianų susikirtimo taškas Trikampio medianos susikerta viename taške, kuris kiekvieną medianą dalija santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės. Jei medianų susikirtimo taškas yra sujungtas su viršūnėmis, tada trikampis bus padalintas į tris vienodo ploto trikampius. Svarbi medianų susikirtimo taško savybė yra ta, kad vektorių, kurių pradžia yra medianų susikirtimo taškas, o galai yra trikampių viršūnės, suma yra lygi nuliui.
Torricelli taškas Pastaba: Torricelli taškas egzistuoja, jei visi trikampio kampai yra mažesni nei 120.
Devynių taškų apskritimas B1, A1, C1 yra aukščių pagrindas; A2, B2, C2 - atitinkamų kraštinių vidurio taškai; A3, B3, C3, - atkarpų AN, BH ir CH vidurio taškai.
Eilerio linija Medianų susikirtimo taškas, aukščių susikirtimo taškas, devynių taškų apskritimo centras yra vienoje tiesėje, kuri vadinama Eilerio linija matematiko, kuris nustatė šį modelį, garbei.
Šiek tiek iš nuostabių taškų atradimo istorijos 1765 m. Euleris atrado, kad trikampio kraštinių vidurio taškai ir jo aukščių pagrindai yra tame pačiame apskritime. Įspūdingiausia nuostabiųjų trikampio taškų savybė yra ta, kad kai kurie iš jų yra tarpusavyje susiję tam tikru santykiu. Medianų M susikirtimo taškas, aukščių H susikirtimo taškas ir apibrėžtojo apskritimo O centras yra toje pačioje tiesėje, o taškas M dalija atkarpą OH taip, kad santykis OM: OH = 1:2 galioja.. Šią teoremą įrodė Leonhardas Euleris 1765 m.
Geometrijos ir gamtos santykis. Šioje padėtyje potenciali energija turi mažiausią reikšmę, o atkarpų MA + MB + MS suma bus mažiausia, o vektorių, esančių ant šių atkarpų su pradžia Torricelli taške, suma bus lygi nuliui.
Išvados Sužinojau, kad be nuostabių aukščių susikirtimo taškų, medianų, pusiau ir vidurio statmenų, taip pat yra nuostabių trikampio taškų ir linijų. Sukauptas žinias šia tema galiu panaudoti savo edukacinėje veikloje, savarankiškai taikyti teoremas tam tikroms problemoms spręsti, išnagrinėtas teoremas pritaikyti realioje situacijoje. Manau, kad nuostabių trikampio taškų ir linijų naudojimas matematikos studijose yra efektyvus. Jų žinojimas labai pagreitina daugelio užduočių sprendimą. Siūloma medžiaga gali būti naudojama tiek matematikos pamokose, tiek popamokinėje veikloje 5-9 klasių mokiniams.
Peržiūra:
Norėdami naudoti peržiūrą, susikurkite sau Google paskyrą (paskyrą) ir prisijunkite: