Norėdami išvesti vėjo bangų energijos balanso lygtį giliavandenėje jūroje, darome prielaidą, kad banga yra dvimatė, ir pasirenkame tūrį, kurio atkarpa ABCD yra statmena bangos sklidimo krypčiai. X ašį nukreipiame bangos sklidimo kryptimi (pavėjui -), o Z ašį vertikaliai aukštyn. Y ašį nustatome statmenai brėžinio plokštumai (13 pav.), o atstumas išilgai ašies lygus vienetui. Tada paskirstytas tūris bus skaitiniu būdu lygus skerspjūvio plotui ABCD , kuri leidžia nuo trimatės problemos pereiti prie dvimatės.
Tarkime, kad pasirinkto tūrio apatinė riba yra gylyje, kuriame nėra bangos. Saulės atstumas , lygus dx, laikysime jį pakankamai mažu, kad pakeistume vidutines bangos elementų vertes. Akivaizdu, kad vidutinės bangos energijos pokytis pasirinktame tūryje per laiko vienetą bus toks , kur dx = BC ir E apibūdina vidutinę bangos energiją, esančią skysčio kolonėlėje, kurios pagrindo ploto vienetas ir aukštis lygus pasirinktos kolonėlės aukščiui. Tą patį energijos pokytį galima apskaičiuoti ir kitu būdu. Per veidą AB kairėje, per laiko vienetą, energijos patenka į kiekį E v Su, Kur v Su -- energijos perdavimo greitis lygus bangų grupės greičiui.
Per nuolatinės srovės veidą energija patenka į kiekį
E v Su +.
Per veidą AD per laiko vienetą vėjo energija teka tokiu kiekiu M p dx + mdx, Kur M p - vėjo perduodamos energijos kiekis dėl įprasto vėjo slėgio, ploto vienetui; M – tas pats dėl šlyties įtempių.
Galiausiai, dalis energijos ir kiekio E dx išsklaido dėl turbulentinės klampos ir paverčiama šiluma, E yra išsklaidytos energijos kiekis ploto vienete.
Taigi bendras vidutinės energijos pokytis paskirstytame tūryje per laiko vienetą
E v Su -+M p dx + Mdx-E dx=[-+M p + M – E ]dx.
Abiejų energijos pokyčio per laiko vienetą išraiškų prilyginimas ir sumažinimas dx, gauname vėjo bangų energijos balanso lygtį
-+M p + M – E .
Esant pastoviai bangai 0 ir todėl
= M p + M – E (19)
Energijos kiekis E skysčio kolonėlėje su vienetiniu pagrindu nustatomas pagal anksčiau išvestą formulę
kur a yra bangos amplitudė.
Energijos perdavimo greitis, lygus grupės greičiui, trumposioms bangoms nustatomas pagal aukščiau pateiktą formulę, kur Su - bangos sklidimo fazinis greitis. (19) lygtis sieja nežinomus bangos elementus – aukštį h ir ilgį bet kuriuo metu t su vėjo greičiu, jo veikimo trukme ir bangos nuvažiuotu atstumu išilgai X ašies ir vadinamas pagreičio ilgiu.
Tiesą sakant, bangos energija E, kaip rodo santykiai ir E z =, yra susijęs su bangos aukščiu. Šis terminas apibūdina energijos kitimą laikui bėgant, taigi ir bangos aukščio kitimą. Lygties narys nustato energijos perdavimą bangos sklidimo kryptimi ir yra susijęs su bangos nuvažiuotu atstumu X ašimi (pagreičio ilgiu), su bangos grupiniu greičiu cgr, kuris lemia perdavimo greitį. bangos energijos, ir iki bangos aukščio, su kuriuo bangos energija yra susijusi E. Lygties terminai M R Ir M lemia ne tik veikiančio vėjo greitis, bet ir priklauso nuo bangų elementų. Iššvaistomos energijos kiekis E, taip pat susiję su bangų elementais.
Kadangi (19) lygtis apima du nežinomus dydžius h ir jo sprendimas negali būti atliktas be papildomo ryšio, jungiančio šiuos nežinomus dalykus. Klasikinės teorijos pateikia ryšį tik tarp bangos ilgio, jo periodo ir sklidimo greičio c, todėl negali būti naudojamos nustatant ryšį tarp h Ir. Tokie koeficientai yra sukurti remiantis tam tikromis hipotezėmis, atsižvelgiant į eksperimentinius duomenis.
Energijos balanso lygties sprendimas yra paprastesnis pastovioms bangoms, ty kai 0.
Tačiau net ir šiuo atveju kyla didelių sunkumų. Tai apima fizinį energijos perdavimo iš vėjo į bangą mechanizmo paaiškinimą (taigi ir perduodamos galios skaičiavimo metodų pagrindimą), turbulentinės trinties nuostolių apibrėžimą ir, galiausiai, antrojo ryšio nustatymą. santykiai tarp aukščio ir bangos ilgio.
Kai kurie mokslininkai pagrindinį vaidmenį perduodant energiją iš vėjo į bangą priskiria tangentiniam vėjo stresui .
Kiti tyrinėtojai mano, kad vėjo ir bangos energija perduodama dėl slėgio skirtumo į vėją ir pavėjuje esančius bangos šlaitus. Tokio požiūrio laikosi akademikas V. V. Šuleikinas.
Esminis klausimas yra nustatyti galią, prarastą dėl turbulencijos, kuri atsiranda bangų metu.
Ne mažiau sunkus sprendžiant vėjo bangų energijos balanso lygtį yra bangos ilgio ir aukščio ryšių, būtinų antrajai lygčiai gauti, nustatymo klausimas.
Daugelis autorių šią problemą sprendžia remdamiesi vėjo bangų stebėjimų rezultatų apdorojimu. Natūralu, kad šiuo atveju daromos skirtingos išvados, nes tikrosios bangos yra labai įvairios ir nėra dvimatės. Pirmąjį teorinį sprendimą gavo V. V. Šuleikinas, kuris, pasitelkęs impulso momento teoremą laistyti daleles, judančias išilgai orbitų bangų metu apskritimo pavidalu, sukūrė teoriją apie bangų ilgių padidėjimą veikiant vėjui. Tai leido jam rasti antrąją bangos ilgio ir aukščio santykio lygtį.
Esant pastovioms bangoms, galia, kurią vėjas perduoda bangai, ir prarandama dėl turbulentinės trinties, turėtų būti lygus. Tokia lygybė, remiantis V.V.Šuleikino išvadomis, atsiranda tada, kai bangos greitis Su pasiekia 0,82 vėjo greitį, t.y., kai
Bangos greičio ir vėjo greičio santykis (=) vadinamas bedimensiniu greičiu arba amžiaus bangos, kadangi šis santykis apibūdina bangų vystymosi stadiją. Nuo bangų vystymosi pradžios iki = 1, jie yra veikiami vėjo. Pasiekus būklę >1, vėjas praktiškai nustoja juos veikti.
Vystantis bangoms, bangos ilgio padidėjimas, priešingai nei jų aukštis, vyksta netolygiai: iš pradžių augimas gana greitas, o vėliau sulėtėja. Didžiausias bangos statumas pasiekiamas ties 0,27. Tačiau per visą bangų vystymosi etapą jų ilgis auga greičiau nei aukštis, todėl bangų statumas mažėja.
Teorinės išvados ir stebėjimai rodo, kad stabilias bangas galima stebėti tik iki tiksliai apibrėžtų bangų statumo verčių. Tada banga tampa nestabili ir jos ketera griūva. Teoriškai ribinis bangos aukščio ir ilgio santykis yra 1/7. Stebėjimai pateikia artimas vertes (apie 1/10). Aukščiau aptartos bangų vystymosi problemos leidžia apibūdinti tik pagrindinius šio reiškinio bruožus. Tikrasis vaizdas yra daug sudėtingesnis. Visų pirma, reikia prisiminti, kad oro srautas, veikiantis jūros paviršių, yra nevienalytis savo struktūra. Vėjo greitis ir kryptis skirtinguose jūros paviršiaus taškuose nėra vienodi ir laikui bėgant nekinta. Todėl, veikiant vėjui, susidaro sudėtinga įvairaus aukščio ir ilgio bangų sistema. Dėl šios priežasties jie negali sklisti kaip lygiagrečios keteros, t. y. turėti dvimačių bangų pobūdį ir suskaidyti į kalvas ir įdubas, išsidėsčiusias maždaug šaškių lentos pavidalu, t. y. įgyti trimačių bangų pobūdį.
Bangų sklidimo greičių įvairovė lemia tai, kad vienos bangos aplenkia kitas, susilieja su jomis, t.y. atsiranda trukdžių. Kaip rezultatas, bangų grupės .
Dalelių transliacinis judėjimas (bangos srautas) padidina bangos statumą ir nupjauna jos viršūnę (susidaro balti dangteliai). Dėl to bangos nepasiekia ribinių verčių, kurios atsirastų dalelėms judant uždaromis orbitomis.
Nupjovus viršūnes, bangos atsitrenkia į laivą. Šį efektą dar labiau sustiprina tai, kad pagrindinių gravitacinių bangų paviršiuje kyla aukštesnės eilės bangos, kurios padidina keterų lūžimą.
Vėjo sukeltos bangos, plintančios bangų formavimosi zonoje vėjui susilpnėjus ir (ar) pakeitus jo kryptį, arba vėjo sukeltos bangos, kurios ateina iš bangų susidarymo zonos į kitą zoną, kurioje vėjas pučia skirtingu greičiu ir (arba) kita kryptimi, vadinami išsipūsti.
Vėjo sukeltos bangos, sklindančios nesant vėjo, vadinamos negyvas bangavimas . Vėjo bangoms ir bangavimui sąveikaujant, a sumaišytas susijaudinimas.
Švelnios banguojančios didelio ilgio bangos išeina už audros zonos ir sklinda prieš ją kaip bangos – audros artėjimo pranašai.
Energiją nustatyti metodais CM" pusiausvyros būsenoje ryšiai (4.2.13?16) buvo naudojami bendrai sistemos energijai ir bendrai visos sistemos mechaninei energijai.
OS balanso lygtis turi formą
čia: bendra sistemos energija vietinei arba detaliai pusiausvyros būsenai;
Papildomas terminas, kuriame atsižvelgiama į būsenos pasikeitimo pobūdį laikui bėgant (vidinės energijos ir naudingo išorinio darbo svyravimų funkcija).
čia: bendra visos sistemos mechaninė energija
Mechaninė objekto energija (objekto (kūno) kinetinės ir potencialinės energijos suma);
Užsakytas (naudingas) darbas prieš išorines jėgas (šilumos mainai, temperatūra, trintis, elektros energijos sistemos);
Netvarkingas (negrįžtamas) darbas (energija), atsiradęs dėl šilumos perdavimo, tūrinės ir tiesinės deformacijos, trinties, elektrinio potencialo;
Elementarus naudingas (užsakytas) darbas;
Kiekvienam smūgio tipui atsirandanti jėga;
Veiksmo sukeltas judėjimas;
Apibendrintas potencialas (temperatūra, slėgis, deformacija, elektrinis potencialas);
Plati valstybės koordinatė.
Nepusiausvyros būsenos sistemos bendroji energijos OS nustatoma pagal ryšį
čia: santykio funkcijos yra laiko funkcijos;
Sutvarkyta visos sistemos energija;
Sutrikusi visos sistemos energija;
Bendra visos sistemos mechaninė energija;
Kinetinė informacijos energija (informacijos energijos dalis, kuri veikia);
Vidinė sistemos energija;
Dalis informacijos energijos, susijusios su vidine sistemos dalių sąveika.
čia: - suminė sistemos kūno (objekto) energija;
visos sistemos kinetinė energija;
visos sistemos potenciali energija;
Vidinė sistemos energija
Nepusiausvyros būsenos energija;
Slėgis sistemos tūryje;
Cheminis potencialas;
dalelių skaičius;
Sistemos kinetinės energijos pokytis
Kinetinė energija, mechaninės sistemos energijos dalis, priklausanti nuo taškų greičių
čia: - sistemos dalelės masė;
Dalelių greitis
Sistemos masė;
Masės greičio centras;
Sistemos judėjimo aplink masės centrą kinetinė energija:
Kūno inercijos momentas;
Kūno kampinis greitis.
Palyginus dujų būsenos lygtį ir pagrindinę kinetinės teorijos lygtį, išplaukia
Todėl vidutinė energetinė vertė yra tokia:
Tai išplaukia iš santykio
Sistemos potencinės energijos pokytis, paimtas priešingu ženklu, atitinka vidinių konservatyvių jėgų darbą: .
Bendrosios mechaninės energijos pokytis:
Bendru atveju kinetinė energija nėra masės ir greičio funkcija ir priklauso nuo sistemoje vykstančių vidinių procesų (pavyzdžiui, infiltracijos, terpės dalelių implantacijos).
Esant baigtiniams poslinkiams veikiant apkrovai, kinetinės energijos pokytį galima laikyti suma
kur: - naudingo darbo sukeltas kinetinės energijos pokytis;
Vienašalis spontaniškas kinetinės energijos pokytis, sukeltas vidinių procesų. Ši energijos kaitos dalis gali būti teigiama arba neigiama.
Vidinė energija – sistemos energija, kuri priklauso tik nuo jos vidinės būsenos ir neapima visos sistemos energijos rūšių. Vidinė energija apima visų sistemos judėjimo formų energijos formas ir kiekvienos energijos formos visas energijos rūšis atskirai.
čia: ir - vidinė energija, nepusiausvyros būsenos entropija (vietinės arba detalios pusiausvyros būsenoms naudojamas indeksas "o");
Nemokama energija.
Sistemos vidinės energijos pokytis
čia: - vidinė energija, tūris, entropija;
Temperatūra, slėgis;
Cheminis potencialas, medžiagos molių skaičius sistemoje.
Tegul sistema atlieka mechaninio pobūdžio darbą, o elementarus nemechaninio pobūdžio darbas, (4.3.13) lygtis įgaus formą
Gibso energija kaip izobarinis-izoterminis potencialas apibrėžiamas kaip
Gibbs-Duhem santykis parašytas kaip
Santykiai (4.3.12)-(4.3.16) reiškia
Todėl, jei klasikinės (pusiausvyros) mechanikos ryšius išplėsime į OS, tada jų laisva energija gali pasirodyti lygi nuliui. Šis neatitikimas gali būti pašalintas, jei laisvosios energijos OS yra nulemta ne „atvirkštinio balanso“ (atėmus pusiausvyrinę energijos dalį), o vaizduojant laisvąją energiją pagal jų nesubalansuotus parametrus.
Tiriamoje sistemoje yra posistemis, kurio energija priklauso nuo chemiškai reaguojančių terpių energijos. Ilgalaikiams procesams dėl šios energijos dalies sumažėja sistemos galimo darbo kiekis, o tai prilygsta sistemos energijos sumažėjimui. Panagrinėkime cheminės reakcijos terpės laisvąją energiją.
Tegul homogeninės cheminės reakcijos vyksta uždaroje nepusiausvyros sistemoje. Dabartinės medžiagų koncentracijos reaguojančiame mišinyje yra susietos su pradinėmis koncentracijomis ryšiu
čia: - reakcijoje esančių medžiagų stechiometriniai koeficientai;
Reakcijos baigtumo laipsnis.
Vietoj parametro galima naudoti plačią cheminės nepusiausvyros būsenos koordinates
čia: medžiagos koncentracija iki reakcijos pabaigos.
OS pakeitimų priežastis:
Medžiagų, kurios nedalyvauja cheminėje reakcijoje, difuzija (masės perdavimas pusiausvyros būsenoje);
Reakcijoje dalyvaujančių medžiagų cheminiai virsmai;
Terpės kietųjų ir skystųjų fazių implantavimas objekto paviršiuje.
Masės perkėlimas vienodai keičia koncentracijas ir lapus;
Cheminės reakcijos keičiasi ir išlieka nepakitusios.
Atsižvelgiant į tai, kad (4.3.15) santykio terminas gali būti vaizduojamas kaip
čia: - specifinis cheminis cheminės reakcijos giminingumas.
Chemiškai reaguojančiose terpėse vidinė energija gali būti suskaidyta į komponentus:
Pusiausvyros būsenos vidinė energija
Nepusiausvyros būsenos vidinė energija
Vertė (laisvoji chemiškai reaguojančių sistemų energija arba cheminė energija) apibūdina vidinės energijos dalį, galinčią cheminiu būdu virsti ir atlikti naudingą išorinį darbą. Priešingai nei (Gibso energija) išreiškiama tik parametrais, todėl jos vertė nesikeičia medžiagų, kurios nedalyvauja cheminėje reakcijoje, difuzijos procesuose.
Įgyja OS termodinamikos 1-ojo ir 2-ojo dėsnių kombinuota lygtis
kur: apibūdina elementarų darbą, kurį sistema gali atlikti dėl vidinės cheminės energijos praradimo.
Reikšmė (cheminių reakcijų energija) nepriklauso nuo šilumos perdavimo ir masės perdavimo procesų sistemoje pusiausvyros būsenoje ir nepriklauso nuo tūrinės deformacijos.
Cheminės energijos pokytis (praradimas) lemia galimo darbo kiekį bet kokiomis proceso sąlygomis (ne tik ties arba).
Vidinės energijos pusiausvyrinių ir nepusiausvyrinių komponentų atskyrimas parametrų pagalba lemia skirtumą tarp masės perdavimo procesų pusiausvyros ir nepusiausvyros būsenoje.
Jeigu masės perdavimo procese keičiasi tik reagentų pusiausvyros koncentracijos, t.y. reakcijos produktai paduodami į sistemą, tada kitas procesas yra koordinatės didinimas, kai į sistemą tiekiami reagentai, kurie pašalina sistemas iš cheminės pusiausvyros būsenos. Pusiausvyros masės perdavimas (panašus į šilumos perdavimą) keičia pusiausvyrinę (negrįžtamą arba neveikiančią) sistemos vidinės energijos dalį.
Nepusiausvyrinis masės perdavimas turi didėjančią cheminę energiją, kurią sistema suvokia kaip sistemoje atliekamo darbo dalį.
Sistemos energijos tipai, nustatyti pagal vidinę būseną:
Nepusiausvyros būsenos vidinė energija
Susijusi energija: - entropija; temperatūra;
Laisva energija:.
Iš teorinės mechanikos veiksmą lemia santykis:
kur: - veiksmas;
gyvoji jėga;
Dalelių judėjimo greitis;
Dalelės greitis veikiant išorinėms jėgoms;
Dalelės veikimo terpėje greitis;
Laiko kelio elementas
Mažiausio veiksmo principas:
kur: - apibendrintos koordinatės;
Apibendrinti (konjuguoti) impulsai;
Hamiltono funkcija.
Kontinuumo mechanikoje laikoma, kad dalelė neturi įtakos terpei.
Pirmasis Niutono dėsnis – egzistuoja inercinės atskaitos sistemos (ISR), kurių atžvilgiu materialus taškas, nesant išorinių jėgų, neribotą laiką išlaiko greičio dydį ir kryptį;
Antrasis Niutono dėsnis – pagal ISO pagreitis yra tiesiogiai proporcingas gaunamoms jėgoms ir atvirkščiai proporcingas masei: ;
Trečiasis Niutono dėsnis – materialūs taškai vienas kitą veikia jėgomis.
Pajėgos turi:
būti tokio paties pobūdžio;
Turėti kryptį išilgai tiesios linijos, jungiančios taškus (daleles);
Būkite vienodi absoliučia verte ir priešinga kryptimi:
Jei fizinė sistema yra izoliuota, tai jos būsena, nulemta makroskopinių kintamųjų, negrįžtamai išsivysto į laike nekintančią būseną, ir šioje būsenoje fizinių ar cheminių pokyčių sistemoje nepastebima. Temperatūra visose šios būsenos sistemos dalyse yra vienoda. Manoma, kad tokia būsena gali būti laikoma pusiausvyra.
Mechaninės sistemos pusiausvyra – visos jėgos yra visiškai subalansuotos (gesina viena kitą).
Pusiausvyra – termodinaminių sistemų (TDS) būsena, kuri pastoviomis išorinėmis sąlygomis pasižymi parametrų nekintamumu laikui bėgant ir srautų nebuvimu sistemoje (bendra termodinamikos pradžia).
Stacionarioji sistemos būsena – tai būsena, kai sistemos charakteristikos laikui bėgant nekinta. Atviroms sistemoms būsena laikoma stacionaria, kai sistemos energija laikui bėgant nekinta. Sistemos sutrikimo laipsniui būdinga entropija.
Savavališkos būsenos evoliucija į pusiausvyros būseną atsiranda dėl negrįžtamų procesų. Pusiausvyros būsenoje išorinių jėgų darbą lemia išraiška
Nagrinėjant disipacinę struktūrą, išorinių jėgų darbą lemia santykis
kur: yra trajektorijos sklaidos tvarka.
Taigi pusiausvyros sistemoms būdingos:
Tolygus temperatūros pasiskirstymas;
Būsenos funkcijos yra energija ir entropija.
Temperatūros pasiskirstymo pastovumo reikalavimas nėra tarp reikalavimų, pagal kuriuos sistemos entropija arba energija tampa apibrėžta.
Nepusiausvyrinėse sistemose temperatūra pasiskirsto netolygiai, bet gana apibrėžtai, o entropijos, energijos ar materijos pasiskirstymas yra susijęs su termodinaminių potencialų pasiskirstymo tankiu.
čia: - entropijos tankis tūrio vienete;
Vidinės energijos tankis tūrio vienete;
Apgamų skaičius tūrio vienete.
Nepusiausvyra yra tokia būsena, per kurią pereinant iš vienos pusiausvyros būsenos į kitą gretimą, be galo artimą pusiausvyros būseną, atliekamas darbas yra mažesnis už maksimalų atliktą darbą pereinant tarp tų pačių pusiausvyros būsenų per tarpinę pusiausvyros būseną. Netoli bet kurios pusiausvyros būsenos yra gretimos, be galo artimos nepusiausvyros būsenos, kurių negalima pasiekti kvazistatiniu pusiausvyros perėjimu.
Termodinaminio potencialo praradimas
čia: - maksimalus darbas pusiausvyros būsenoje;
Faktinis nepusiausvyros sistemos veikimas.
Manoma, kad tai priklauso nuo pradinės ir galutinės būsenų, o nepriklauso nuo kelio (prielaida galioja uždaroms sistemoms).
Vietinės pusiausvyros principas
čia: - nepusiausvyros būsenos termodinaminis potencialas;
Sistemos praradimas.
Priklausomai nuo sistemos tipo, galite rašyti:
Izoliuota sistema (IS)
Uždara sistema (CS)
Atvira sistema (OS)
Energijos balanso lygtis integralioje formoje gali būti gauta iš pirmojo termodinamikos dėsnio
kur pirmasis skliausteliuose esantis narys yra skysčio judėjimo kinetinė energija, antrasis – padėties potenciali energija, trečiasis – skysčio entalpija, J/kg; En – bendra energija valdymo tūryje, J; q - šilumos srautas per valdymo paviršių, W; l S - galia įveikti išorines jėgas, daugiausia trinties jėgas, W; u - srauto greitis, m/s; ρ – terpės tankis, kg/m 3 ;
x yra kampas tarp normalaus ir valdymo paviršiaus; g - gravitacijos pagreitis, m / s 2; z - geometrinė galvutė, m; h – savitoji entalpija, J/kg;
S - valdymo paviršius; τ - laikas, s.
Cheminiams procesams kinetinė ir potencinė energija, taip pat galia įveikti išorines jėgas yra nereikšmingos, palyginti su entalpija, todėl galime rašyti
Ši lygtis iš esmės yra šilumos balanso lygtis.
Paprastam valdymo tūriui, apribotam valdymo paviršiais, statmenais skysčio srauto vektoriui, integruojant paskutinę lygtį gaunama
Pirmieji du šios lygties nariai gaunami taip. Jeigu imsime tankio konstantą, o cos(x) = ±1, tai
Nuo tada, kai gauname
Jei greitis abiejose atkarpose šiek tiek skiriasi, o skysčio srautas yra hidrodinamiškai nejudantis, tada šilumos balanso lygtį galima parašyti taip:
Jei sistema taip pat termiškai stacionari, tada:
Jei sistemoje nevyksta fazių virsmų ir cheminių reakcijų, tai galima pereiti nuo entalpijų prie šiluminių pajėgumų ir tada
Panagrinėkime šilumos balanso lygčių taikymo nestacionariomis sąlygomis pavyzdį.
9.1 pavyzdys. Du rezervuarai, kurių kiekvieno tūris yra 3 m 3, pripildomi 25 °C temperatūros vandeniu. Abu turi maišytuvus, kurie užtikrina beveik visišką maišymą. Tam tikru momentu į pirmą rezervuarą pradedama tiekti 9000 kg/h 90°C temperatūros vandens. Vanduo, paliekantis pirmąjį rezervuarą, patenka į antrąjį. 0,5 valandos nuo karšto vandens tiekimo pradžios nustatykite vandens temperatūrą antrame bake. Rezervuarai skaičiuoja šilumą
izoliuotas.
Sprendimas: Nubraižykime šilumos srauto schemą (9.1 pav.) ir šilumos balansą pirmajam rezervuarui.
9.1 pav. Šilumos srautų schema 9.1
Nesant šilumos perdavimo, q = 0 ir esant sąlygoms W = W 1 = W 2; trečiadienis \u003d trečiadienis 1 \u003d trečiadienis 2; dЕп = VρС P dТ 1, šilumos balanso lygtis bus tokia forma
WC P (T 0 – T 1)dτ = VρC P dT 1
Integravus nuo 0 iki τ ir nuo 25°C iki T 1 gauname
T 1 \u003d 90 - 65exp (-3τ)
Panašiai sudarykite antrojo bako šilumos balansą
WC P (T 1 – T 2)dτ=VρC P dT 2
iš kur 9000(T 1 – T 2) dτ = 3∙1000 dT 2 arba
Gaunama pirmos eilės tiesinė diferencialinė lygtis. Jis gali būti integruotas analitiškai žinomu būdu. Tada mes turime
T 2 \u003d exp (–3τ) (90 exp (3τ) – 195τ + C)
Pradinės sąlygos: esant τ=0 Т 2 = 25 °С. Savavališka konstanta C = - 65.
Galutinis sprendimas bus priimtas tokia forma
T 2 = 90 - 65 (3τ +1) exp(-3τ);
T 2 = 90 - 65 (3 ∙ 0,5 + 1) exp (-3 ∙ 0,5) \u003d 53,74 0 C.
Energijos balanso lygtis integralioje formoje gali būti gauta iš pirmojo termodinamikos dėsnio ir turi formą
kur pirmasis narys skliausteliuose yra skysčio judėjimo kinetinė energija, antrasis – padėties potenciali energija, trečiasis – skysčio entalpija, J/kg;
E p – bendra energija kontroliniame tūryje, J;
q yra šilumos srautas per valdymo paviršių, W;
ls– galia įveikti išorines jėgas, daugiausia trintį, W;
u– srauto greitis, m/s;
r – terpės tankis, kg/m3;
x yra kampas tarp normalaus ir atskaitos paviršiaus;
g- gravitacijos pagreitis, m/s 2;
z- geometrinė galvutė, m;
h– savitoji entalpija, J/kg;
S– valdymo paviršius;
atėjo laikas, s.
Cheminiams procesams kinetinė ir potencinė energija, taip pat galia įveikti išorines jėgas yra nereikšmingos, palyginti su entalpija, todėl galime rašyti
Ši lygtis iš esmės yra šilumos balanso lygtis.
Paprastam valdymo tūriui, apribotam valdymo paviršiais, statmenais skysčio srauto vektoriui, integruojant paskutinę lygtį gaunama
Pirmieji du šios lygties nariai gaunami taip. Jei imsime tankio konstantą ir cos( x)=±1, tada
Nes W=r ūS, tada gauname
Jei greitis abiejose atkarpose šiek tiek skiriasi, o skysčio srautas yra hidrodinamiškai nejudantis, tada šilumos balanso lygtį galima parašyti taip
Jei sistema taip pat termiškai stacionari, tada:
Jei sistemoje nevyksta fazių virsmų ir cheminių reakcijų, tai galima pereiti nuo entalpijų prie šiluminių pajėgumų ir tada
Panagrinėkime šilumos balanso lygčių taikymo nestacionariomis sąlygomis pavyzdį.
9.1 pavyzdys. Du rezervuarai, kurių kiekvieno tūris yra 3 m 3, pripildomi 25 °C temperatūros vandeniu. Abu turi maišytuvus, kurie užtikrina beveik visišką maišymą. Tam tikru momentu į pirmąjį baką pradedama tiekti 9000 kg / h vandens, kurio temperatūra yra 90 ° C. Vanduo, paliekantis pirmąjį rezervuarą, patenka į antrąjį. Nustatykite vandens temperatūrą antrame bake praėjus 0,5 val. nuo karšto vandens tiekimo pradžios. Cisternos laikomos termiškai izoliuotomis.
Sprendimas: Nubraižykime šilumos srauto schemą (9.1 pav.) ir šilumos balansą pirmajam rezervuarui. Nesant šilumos mainų q=0 ir sąlygomis
šilumos balanso lygtis įgaus formą
iš kur 9000(90- T1)d t = 3 1000 dT 1, arba
Po integravimo nuo 0 iki t ir nuo 25 °C iki T 1 gauname
T 1=90-65exp(-3t).
Panašiai sudarykite antrojo bako šilumos balansą
iš kur 9000 ( T 1 -T 2)d t = 3 1000 dT2, arba
Gaunama pirmos eilės tiesinė diferencialinė lygtis. Jis gali būti integruotas analitiškai žinomu būdu. Tada mes turime
Pradinės sąlygos: esant t=0 T 2=25 °С. Savavališka konstanta SU = -65.
Galutinis sprendimas bus priimtas tokia forma
Kaip pažymėta 1.1, elektromagnetinis laukas yra viena iš materijos formų. Kaip ir bet kuri kita materijos forma, ji turi energijos. Ši energija gali pasklisti erdvėje ir paversti kitomis energijos formomis.
Suformuluokime momentinės galios verčių balanso lygtį tam tikro tūrio atžvilgiu V, apribotas paviršiumi S (1.23 pav.). Įleiskite tūrį V, užpildytas vienalyte izotropine terpe, yra trečiųjų šalių šaltinių. Iš bendrų fizinių sampratų akivaizdu, kad trečiųjų šalių šaltinių išleidžiama galia gali būti naudojama Džaulio nuostoliams ir viduje esančio elektromagnetinio lauko energijai keisti. V, taip pat gali būti iš dalies išsibarstę, ištrūkti į aplinkinę erdvę per paviršių S. Šiuo atveju lygybė
kur Pst yra trečiųjų šalių šaltinių galia;
Rp – Džaulio nuostolių galia tūrio viduje V;
– galia, einanti per paviršių S;
W– elektromagnetinio lauko energija, sutelkta tūryje V, a dW/ dt– galia, sunaudota energijos tūriui pakeisti V.
Ryžiai. 1.23. Apimtis V, apribotas paviršiumi S
Šiame skyriuje bus naudojamos būsenos lygtys (1.53). Šios lygtys neleidžia atsižvelgti į energijos nuostolius poliarizacijos ir terpės įmagnetinimo metu. Todėl (1.120) lygties terminas Pp iš tikrųjų lemia džaulio nuostolių galią tūryje V, dėl laidumo srovės.
Lygtis (1.120) pateikia tik kokybinę energijos santykių idėją. Norėdami gauti kiekybinius ryšius, turite naudoti Maksvelo lygtis. Apsvarstykite pirmąją Maksvelo lygtį, atsižvelgdami į išorines sroves (1.111). Visi šios lygties nariai yra vektoriniai dydžiai, kurių matmuo yra A/m2.
Norėdami gauti lygtį, panašią į (1.120), turite modifikuoti pirmąją Maksvelo lygtį (1.111), kad jos sąlygos taptų skaliariniais dydžiais, matuojamais vatais. Norėdami tai padaryti, pakanka visus nurodytos lygybės narius skaliariškai padauginti iš vektoriaus E, o tada gautą išraišką integruoti į tūrį V. Skaliarinį padauginus iš vektoriaus E, gauname
(1.121)
Naudodami formulę div= H rot E – E rot H, žinomą iš vektorinės analizės, kairę santykio pusę (1.121) pakeičiame ir rot E pakeičiame jos reikšme iš antrosios Maksvelo lygties (1.39):
Pakeitę šią išraišką į (1.121), gauname
Paskutiniame (1.122) dešinėje pusėje esančiame langelyje buvo pakeista vektorių ir H skaliarinės sandaugos faktorių tvarka. Tai leistina, nes . Šis pokytis nėra esminis ir nesuteikia jokių pranašumų išvedant čia nagrinėjamą momentinės galios verčių balanso lygtį. Tačiau naudojant tokį žymėjimą visose lygties (1.122) sąlygose, antrasis veiksnys (vektoriai jst, j ir H) yra vektorius, kuris anksčiau buvo įtrauktas į pirmąją Maksvelo lygtį. Ši aplinkybė leis ateityje (žr. 1.8.4) kiek supaprastinti balanso lygties išvedimą monochromatinio lauko atveju (kompleksinės galios balanso lygtis). Terminų lygties (1.122) integravimas pagal tūrį V, mes gauname
kur yra elemento kryptis dS sutampa su išorinės normalės į paviršių S kryptimi. Pereinant iš (1.122) į (1.123), Ostrogradskio-Gauso teorema naudojama div [E, H] tūriniam integralui paversti vektoriaus paviršiniu integralu produktas [E, H]. Pristatome žymėjimą
P \u003d [E, H] (1,124)
ir paverskite integrandą paskutiniame nare dešinėje (1.123):
Pakeitę (1.124) ir (1.125) į (1.123) ir pakeitę integravimo ir diferenciacijos tvarką, gauname
Išsiaiškinkime į (1.126) lygtį įtrauktų posakių fizinę reikšmę.
Apsvarstykite pirmąjį žodį (1.126) dešinėje. Įsivaizduokime garsumą V be galo mažų ilgio cilindrų sumos pavidalu dl, kurių galai (dS) statmena srovės krypčiai (vektorius j). Tada Ej dV= EjdV= (Edl)(jds) = dUdl= dP P , Kur dl= jds– srovė, tekanti per nagrinėjamą be galo mažą cilindrą; dU= Edl– galimas ilgio pokytis dl, a dP P – tūrio džaulio galia dV. Todėl nagrinėjamas terminas yra Džaulio nuostolių Pp galia tūryje V. Naudojant santykį j = σ E, galima gauti kitus Рп atstovus:
(1.127)
Formulės (1.127) gali būti laikomos apibendrintu Džaulio-Lenco dėsniu (p. 33), galiojančiu laidžiam tūriui V savavališka forma.
Integralas kairėje (1.126) pusėje skiriasi nuo pirmojo dešiniosios pusės nario tik tuo, kad integralas, o ne jįskaitant jŠv . Todėl jis turi nustatyti trečiųjų šalių šaltinių galią. Atsižvelgsime į teigiamą galią, kurią išorinės srovės skleidžia elektromagnetiniam laukui. Elektros srovė yra tvarkingas įkrautų dalelių judėjimas. Teigiama srovės kryptis laikoma teigiamų krūvių judėjimo kryptimi. Srovė atiduoda energiją elektromagnetiniam laukui, kai jį sudarančios įkrautos dalelės lėtėja. Tam reikia, kad elektrinio lauko stiprumo vektorius E turėtų dedamąją, nukreiptą priešingai srovės krypčiai, t.y. vektorių taškinei sandaugai E Ir j st buvo neigiamas ( EjŠv<0). При этом левая часть равенства (1.126) будет положительной величиной. Таким образом, мгновенное значение мощности, отдаваемой сторонними токами электромагнитному полю в объеме V, nustatoma pagal išraišką
(1.128)
Kad suprastume paskutinio termino, esančio dešinėje lygties (1.126) pusėje, fizinę reikšmę, nagrinėjame specialų atvejį. Tarkime, kad tūris V apsuptas puikiai laidaus apvalkalo, sutampančiu su paviršiumi S. Tada vektoriaus liestinė E paviršiuje S bus lygus nuliui. Paviršiaus elementas dS kryptis sutampa su išorine normalia n0 . Vadinasi, paviršiaus integralas (1.126) lygtyje bus lygus nuliui, nes vektoriaus sandauga [ E, H] nustatomas į jį įtrauktų vektorių liestinės komponentais. Be to, darome prielaidą, kad tūrio V terpė neturi laidumo (σ = 0). Šiuo atveju nagrinėjamame regione nebus džaulių nuostolių, o pirmasis integralas dešinėje lygties (1.126) pusėje taip pat bus lygus nuliui. Kaip rezultatas, mes gauname
(1.129)
Akivaizdu, kad nagrinėjamu atveju išorinių šaltinių galia gali būti naudojama tik elektromagnetinio lauko energijai keisti. Taigi dešinioji lygybės pusė (1,129) yra elektromagnetinio lauko, saugomo tūryje, energijos kitimo greitis. V, tie. atitinka terminą dW/ dtV lygtis (1.126). Natūralu manyti, kad integralas dešinėje (1.129) yra lygus elektromagnetinio lauko energijai, koncentruotai tūryje V:
(1.130)
Griežtai kalbant, šis integralas gali skirtis nuo Wį kokią nors funkciją g = g (x, y, z) nepriklausomas nuo laiko. Nesunku patikrinti, ar funkcija g lygi nuliui. Perrašykime (1.130) į W=We + Wm , Kur
(1.131)
(1.132)
Tarkime, kad elektrinis ir magnetinis laukai yra pastovūs (nepriklauso nuo laiko). Šiuo atveju, kaip žinoma iš fizikos kurso, išraiškos (1.131) ir (1.132) nustato atitinkamai elektrinio ir magnetinio lauko energiją tūryje. V. Bet tai reiškia, kad g ≡ 0 ir šios išraiškos nustato momentines elektrinių ir magnetinių laukų energijos vertes tūryje V bet kokiai priklausomybei nuo laiko, o jų suma, nustatyta pagal (1.130) formulę, iš tiesų yra lygi elektromagnetinio lauko energijos momentinei vertei tūryje V.
Belieka išsiaiškinti (1.126) lygtyje esančio paviršiaus integralo fizikinę esmę. Manome, kad tome V nėra nuostolių, be to, elektromagnetinės energijos dydis išlieka pastovus (W = const). Šiuo atveju (1.126) lygtis įgauna formą
(1.133)
Tuo pačiu metu iš fizinių vaizdų akivaizdu, kad šiuo konkrečiu atveju visa išorinių šaltinių galia turėtų eiti į supančią erdvę (Рst = PΣ). Todėl (1.133) lygties dešinioji pusė lygi energijos srautui per paviršių S (per S einančios energijos kiekio santykio riba per laiką Δt kaip Δt → 0), t.y.
Natūralu manyti, kad vektorius P reiškia energijos srauto tankį (energijos srauto per plotą ΔS, esančio statmenai energijos sklidimo krypčiai, santykio su ΔS ribą esant ΔS→0). Formaliai, matematiškai ši prielaida nėra akivaizdi, nes vektoriaus pakeitimas Pįjungta P1 = P+ puvinys A, Kur A yra savavališkas vektorius, nekeičia PΣ reikšmės, tačiau tai tiesa ir ypač tiesiogiai išplaukia iš reliatyvistinės elektromagnetinio lauko teorijos.
Taigi lygybė (1,126) yra panaši į (1,120) ir yra elektromagnetinio lauko galios momentinių verčių balanso lygtis. Jį 1884 m. gavo Poyntingas ir vadinasi Rodyklės teorema. Atitinkamai vektorius P paskambino Poyntingo vektorius. Vardai taip pat dažnai naudojami "Umov-Poynting teorema" Ir " Umov-Poynting vektorius" siekdamas pabrėžti tai, kad energijos tvermės dėsnio formulavimą bendra forma, įvedus energijos srauto sąvoką ir jo tankį apibūdinantį vektorių, pirmasis pateikė N.A. Umovas 1874 m.
Atkreipkite dėmesį, kad energija gali patekti į tūrį V ne tik iš išorės šaltinių. Pavyzdžiui, energijos srautas per paviršių S gali būti nukreiptas iš aplinkinės erdvės į tūrį V. Šiuo atveju galia PΣ bus neigiama, nes energijos srautas, paliekantis tūrį, laikomas teigiamu Vį aplinkinę erdvę (elemento kryptis dS sutampa su išorinio normaliojo paviršiaus kryptimi S).
Trečiųjų šalių šaltiniai gali ne tik duoti energiją, bet ir priimti ją iš elektromagnetinio lauko. Tokiu atveju trečiųjų šalių šaltinių galia bus neigiama. Iš tiesų, elektromagnetinis laukas perduoda energiją laidumo srovei, jei pagreitina įkrautų dalelių, kurios sudaro srovę, judėjimą. Tam elektrinio lauko stiprumo vektorius E turi turėti dedamąją, orientuotą pagal srovės linijas, t.y. vektorių taškinei sandaugai E Ir j st buvo didesnis už nulį.
Išsamiau panagrinėkime formules, kurios nustato elektromagnetinio lauko energiją. Integrandai (1.131) ir (1.132) we = (1/2)εE2 ir wm = (1/2)μH2 gali būti interpretuojami kaip momentinės elektrinio ir magnetinio lauko tūrinės energijos tankio vertės, ir jų suma
(1.135)
kaip visos elektromagnetinio lauko energijos tūrinis tankis.
Pabrėžiame, kad superpozicijos principas, kurį tenkina elektrinių ir magnetinių laukų stiprių vektoriai, energijai netaikomas. Iš tiesų, tegul lauko energijas E1, H1 Ir E2, H2, esančioje teritorijoje atskirai V, atitinkamai lygus W1 Ir W2 . Tada viso lauko energija E = E1 + E2, H = H1 + H2 nustatoma pagal išraišką
laukų tarpusavio energija. Abipusė energija W12 gali būti teigiama arba neigiama. Jei vektoriai E1, Ir E2, ir H1 Ir H2 viena kitai statmena, tada W12 = 0.
Kintamų procesų atveju elektromagnetinės energijos pasiskirstymas kinta nuolat. Šį pokytį bet kuriame taške galima nustatyti remiantis (1.122) lygtimi, kuri patogiai pavaizduota taip:
(1.136)
kur ρst = - Ej st ir ρp = Ej yra atitinkamai momentinės trečiųjų šalių šaltinių galios tankio ir Džaulio nuostolių galios vertės. Pereinant nuo santykio (1.122) prie lygties (1.136), atsižvelgiama į (1.125) ir (1.135) formules. Lygtis (1.136) yra Poyntingo teoremos diferencinė forma.