Tematem tego artykułu jest dzielenie liczb ujemnych. Najpierw podawana jest zasada dzielenia liczby ujemnej przez liczbę ujemną, podane są jej uzasadnienia, a następnie podane są przykłady dzielenia liczb ujemnych wraz ze szczegółowym opisem rozwiązań.
Nawigacja po stronie.
Reguła dzielenia liczb ujemnych
Zanim podamy regułę dzielenia liczb ujemnych, przypomnijmy sobie znaczenie akcji dzielenia. Podział w swej istocie polega na znalezieniu nieznanego czynnika przez znany produkt i znany inny czynnik. Oznacza to, że liczba c jest ilorazem a podzielonego przez b, gdy c b=a i odwrotnie, jeśli c b=a , to a:b=c .
Reguła dzielenia liczb ujemnych co następuje: iloraz dzielenia jednej liczby ujemnej przez drugą jest równy ilorazowi dzielenia licznika przez moduł mianownika.
Zapiszmy dźwięczną regułę za pomocą liter. Jeśli a i b są liczbami ujemnymi, to równość a:b=|a|:|b| .
Równość a:b=a b −1 jest łatwa do udowodnienia, zaczynając od własności mnożenia liczb rzeczywistych i definicje liczb odwrotnych. Rzeczywiście na tej podstawie można napisać łańcuch równości formy (a b −1) b=a (b −1 b)=a 1=a, co na mocy wspomnianego na początku sensu dzielenia dowodzi, że a · b − 1 jest ilorazem dzielenia a przez b .
Ta reguła pozwala przejść od dzielenia liczb ujemnych do mnożenia.
Pozostaje rozważyć zastosowanie rozważanych zasad dzielenia liczb ujemnych podczas rozwiązywania przykładów.
Przykłady dzielenia liczb ujemnych
Przeanalizujmy przykłady dzielenia liczb ujemnych. Zacznijmy od prostych przypadków, na których opracujemy zastosowanie reguły dzielenia.
Przykład.
Podziel liczbę ujemną −18 przez liczbę ujemną −3 , a następnie oblicz iloraz (−5):(−2) .
Rozwiązanie.
Zgodnie z regułą dzielenia liczb ujemnych iloraz dzielenia −18 przez −3 jest równy ilorazowi dzielenia modułów tych liczb. Skoro |−18|=18 i |−3|=3 , to (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , pozostaje tylko wykonać dzielenie liczb naturalnych, mamy 18:3=6.
W ten sam sposób rozwiązujemy drugą część zadania. Skoro |−5|=5 i |−2|=2 , to (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . Ten iloraz odpowiada ułamkowi zwykłemu 5/2, który można zapisać jako liczbę mieszaną.
Te same wyniki uzyskuje się, stosując inną regułę dzielenia liczb ujemnych. Rzeczywiście, liczba −3 jest zatem odwrotnością liczby 
, teraz wykonujemy mnożenie liczb ujemnych: 
. Podobnie, .
Odpowiedź:
(−18):(−3)=6 i 
.
Podczas dzielenia ułamkowych liczb wymiernych najwygodniej jest pracować ze zwykłymi ułamkami. Ale jeśli jest to wygodne, możesz dzielić i końcowe ułamki dziesiętne.
Przykład.
Podziel liczbę -0,004 przez -0,25 .
Rozwiązanie.
Moduły dywidendy i dzielnika wynoszą odpowiednio 0,004 i 0,25, więc zgodnie z zasadą dzielenia liczb ujemnych mamy (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .
- lub wykonać dzielenie ułamków dziesiętnych przez kolumnę,
- lub przejdź od ułamków dziesiętnych do zwykłych, a następnie podziel odpowiednie ułamki zwykłe.
Przyjrzyjmy się obu podejść.
Aby podzielić 0,004 przez 0,25 w kolumnie, najpierw przesuń przecinek o 2 cyfry w prawo, dzieląc 0,4 przez 25. Teraz wykonujemy dzielenie przez kolumnę: 
Więc 0,004:0,25=0,016 .
A teraz pokażmy, jak wyglądałoby rozwiązanie, gdybyśmy zdecydowali się zamienić ułamki dziesiętne na zwykłe. Ponieważ 
i wtedy 
i wykonaj
Ten artykuł zawiera szczegółowe omówienie dzielenie liczb o różnych znakach. Najpierw podano zasadę dzielenia liczb o różnych znakach. Poniżej znajdują się przykłady dzielenia liczb dodatnich przez ujemne i liczb ujemnych przez dodatnie.
Nawigacja po stronie.
Reguła dzielenia liczb o różnych znakach
W artykule dzielenie liczb całkowitych uzyskano regułę dzielenia liczb całkowitych o różnych znakach. Można go rozszerzyć zarówno na liczby wymierne, jak i rzeczywiste, powtarzając wszystkie argumenty z określonego przedimka.
Więc, reguła dzielenia liczb o różnych znakach ma następującą formułę: aby podzielić liczbę dodatnią przez liczbę ujemną lub liczbę ujemną przez liczbę dodatnią, należy podzielić dywidendę przez moduł dzielnika i postawić znak minus przed liczbą wynikową.
Piszemy tę regułę dzielenia za pomocą liter. Jeżeli liczby a i b mają różne znaki, to formuła jest poprawna a:b=−|a|:|b| .
Z reguły dźwięcznej jasno wynika, że wynikiem dzielenia liczb o różnych znakach jest liczba ujemna. Rzeczywiście, ponieważ moduł dywidendy i moduł dzielnika są bardziej dodatnie niż liczba, to ich iloraz jest liczbą dodatnią, a znak minus powoduje, że ta liczba jest ujemna.
Zauważ, że rozważana reguła sprowadza dzielenie liczb o różnych znakach do dzielenia liczb dodatnich.
Możesz podać inne sformułowanie reguły dzielenia liczb o różnych znakach: aby podzielić liczbę a przez liczbę b, musisz pomnożyć liczbę a przez liczbę b −1, czyli odwrotność liczby b. To jest, a:b=a b −1 .
Reguły tej można użyć, gdy możliwe jest wyjście poza zbiór liczb całkowitych (ponieważ nie każda liczba całkowita ma odwrotność). Innymi słowy, ma zastosowanie zarówno do zbioru liczb wymiernych, jak i do zbioru liczb rzeczywistych.
Oczywiste jest, że ta zasada dzielenia liczb o różnych znakach pozwala przejść od dzielenia do mnożenia.
Ta sama zasada jest stosowana przy dzieleniu liczb ujemnych.
Pozostaje zastanowić się, w jaki sposób ta zasada dzielenia liczb o różnych znakach jest stosowana w rozwiązywaniu przykładów.
Przykłady dzielenia liczb o różnych znakach
Rozważmy rozwiązania o kilku cechach przykłady dzielenia liczb o różnych znakach zrozumieć zasadę stosowania zasad z poprzedniego akapitu.
Przykład.
Podziel liczbę ujemną −35 przez liczbę dodatnią 7 .
Rozwiązanie.
Reguła dzielenia liczb o różnych znakach nakazuje najpierw znaleźć moduły dywidendy i dzielnika. Moduł -35 wynosi 35, a moduł 7 wynosi 7. Teraz musimy podzielić moduł dzielnej przez moduł dzielnika, czyli musimy podzielić 35 przez 7. Pamiętając, jak przebiega dzielenie liczb naturalnych, otrzymujemy 35:7=5. Pozostaje ostatni krok reguły dzielenia liczb o różnych znakach - wstaw minus przed liczbą wynikową, mamy -5.
Oto całe rozwiązanie: .
Można by wyjść z innego sformułowania reguły dzielenia liczb o różnych znakach. W tym przypadku najpierw znajdujemy liczbę będącą odwrotnością dzielnika 7. Ta liczba to ułamek zwykły 1/7. Zatem, . Pozostaje wykonać mnożenie liczb o różnych znakach: . Oczywiście doszliśmy do tego samego wyniku.
Odpowiedź:
(−35):7=−5 .
Przykład.
Oblicz iloraz 8:(−60) .
Rozwiązanie.
Zgodnie z zasadą dzielenia liczb o różnych znakach mamy 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60)
. Wynikowe wyrażenie odpowiada ujemnemu ułamkowi zwykłemu (patrz znak podziału jako słupek ułamkowy), możesz zmniejszyć ułamek o 4, otrzymamy 
.
Zapisujemy pokrótce całe rozwiązanie: .
Odpowiedź:
.
Podczas dzielenia ułamkowych liczb wymiernych o różnych znakach ich dywidenda i dzielnik są zwykle przedstawiane jako ułamki zwykłe. Wynika to z faktu, że nie zawsze wygodnie jest wykonywać dzielenie z liczbami w innym zapisie (na przykład dziesiętnym).
Przykład.
Rozwiązanie.
Moduł dzielnej to , a moduł dzielnika to 0,(23) . Aby podzielić moduł dywidendy przez moduł dzielnika, przejdźmy do ułamków zwykłych.
Przetłumaczmy liczbę mieszaną na ułamek zwykły: 
, I
W tym artykule opowiem o tym, jak znaleźć reszta z dzielenia liczb ujemnych. Niestety, w szkole poświęca się temu tematowi bardzo mało uwagi, chociaż zrozumienie przez ucznia podstawowych podstaw matematyki jest niezwykle ważne. Dlatego jako korepetytor z matematyki na swoich zajęciach szczegółowo analizuję ten materiał ze studentami. Znacznie upraszcza to dalsze przygotowania do Jednolitego Egzaminu Państwowego, OGE, egzaminów wstępnych i olimpiad matematycznych.
Więc zacznijmy. Aby podzielić dwie liczby całkowite resztą, należy skorzystać z następującego twierdzenia:
Dla dowolnych liczb całkowitych i , ponadto istnieje unikalna para liczb całkowitych i , taka, że  , Gdzie . |
Oto dywidenda, dzielnik, niepełny iloraz, reszta. Pamiętaj, że reszta jest liczbą nieujemną. Oczywiste jest, że warunek powstaje, ponieważ dzielenie przez zero jest niemożliwe.
Brzmi to dość skomplikowanie, ale w rzeczywistości nie ma nic skomplikowanego w tym twierdzeniu. Aby wszystko zrozumieć, przejdźmy do przykładów.
Przykłady znajdowania reszty z dzielenia liczb ujemnych
Przykład 1 Dzielenie z resztą z dodatniej liczby całkowitej przez dodatnią liczbę całkowitą.
Powiedzmy, że chcemy podzielić przez 4, pozostawiając resztę 27. Pytanie brzmi, ile razy 4 występuje w 27? Ale wiemy, że nie ma liczby całkowitej, którą można pomnożyć przez 4, aby otrzymać 27. Tak więc pytanie wymaga przeformułowania. Jaką liczbę należy pomnożyć przez 4, aby otrzymać liczbę jak najbardziej zbliżoną do 27, ale jej nie przekraczającą? Oczywiście ta liczba to 6. Jeśli 4 zostanie pomnożone przez 6, otrzymasz 24. Oryginalna dywidenda 27 nie ma 3. Zatem reszta z dzielenia 27 przez 4 wynosi 3:
Przykład 2 Dzielenie przez resztę ujemnej liczby całkowitej przez dodatnią liczbę całkowitą.
Co zrobić, jeśli chcesz znaleźć resztę z ujemnej liczby całkowitej -15 podzielonej przez dodatnią liczbę całkowitą 4? Zacznijmy od tego, że niepełny iloraz powinien okazać się ujemny, ponieważ przy dzieleniu liczby ujemnej przez dodatnią wynik jest ujemny. Można by przypuszczać, że iloraz częściowy w tym przypadku powinien być równy -3. Ale w tym przypadku, mnożąc -3 przez 4, otrzymujemy -12. A żeby otrzymać pierwotną dywidendę -15, trzeba do wyniku -12 dodać liczbę -3, która nie może być resztą, bo reszta nie może być ujemna!
Dlatego w tym przypadku niepełny iloraz wynosi -4. W tym przypadku pomnożenie -4 przez dzielnik 4 daje nam -16. A teraz, aby uzyskać pierwotną dywidendę -15, musisz dodać do tego wyniku liczbę 1. Jest nieujemna i mniejsza niż moduł dzielnika (czyli 4). czyli jest to reszta:
Przykład 3. Dzielenie dodatniej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą.
Rozważmy teraz przykład dzielenia reszty z dodatniej liczby całkowitej 113 przez ujemną liczbę całkowitą -3. Iloraz częściowy, tak jak w poprzednim przykładzie, musi być ujemny, ponieważ gdy liczba dodatnia jest dzielona przez liczbę ujemną, wynik jest ujemny. Zastanówmy się, ile dokładnie równy jest niepełny iloraz. Oczywiście jest równy -37. Rzeczywiście, pomnożenie -37 przez -3 daje 111. Teraz, aby otrzymać pierwotną dywidendę, musisz dodać do tego wyniku liczbę 2, która jest nieujemna i mniejsza niż moduł dzielnika (czyli moduł od -3, co jest równe 3). Więc nasza odpowiedź brzmi:
Przykład 4. Dzielenie z resztą z ujemnej liczby całkowitej przez ujemną liczbę całkowitą.
Cóż, ostatni przykład. Ujemną liczbę całkowitą -15 należy podzielić z resztą przez ujemną liczbę całkowitą -7. Iloraz częściowy musi być dodatni w znaku, ponieważ przy dzieleniu liczb ujemnych wynik jest dodatni. I jest równy 3. Rzeczywiście, mnożąc 3 przez -7, otrzymujemy -21. Teraz musimy dodać do tej liczby dodatni i mniejszy moduł -7 (czyli 7) numer 6, aby otrzymać naszą pierwotną dywidendę -15. Zatem reszta po podzieleniu liczb ujemnych -15 przez -7 to:
Sprawdź, jak dobrze zrozumiałeś tę lekcję. Znajdź sobie resztę z dzielenia liczb ujemnych:
c) -114 do -4.
Piszcie swoje odpowiedzi w komentarzach, sprawdzę je.
Przygotowane przez Siergieja Waleriewicza
Cele:
- naucz się dzielić liczby dodatnie i ujemne
- skonsolidować dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb dodatnich i ujemnych
- rozwijać piśmienną mowę matematyczną
- rozwijać zainteresowanie tematem
Sprzęt: komputer, projektor multimedialny.
Podczas zajęć
Nauczyciel: Cześć, usiądź. Dzisiaj będziemy studiować z tobą nowy materiał, ale od początku powtórzymy wcześniej przestudiowany materiał. Aby to zrobić, będziemy musieli rozwiązać przykłady.
1. Ćwiczenia ustne
| A) | |
| B) |  |
| V) |  |
| G) | |
| mi) |  |
| mi) |  |
| I) |
2. Pracuj nad tematem lekcji
(Slajdy 8-14)
1. Dzielenie liczb ujemnych ma takie samo znaczenie jak dzielenie liczb dodatnich, tj. Biorąc pod uwagę iloczyn i jeden z czynników, znajdź drugi czynnik.
Kto potrafi nazwać składniki podziału?
Na przykład: -10: (-5) = ?
Co oznacza -10: (-5)? (Więc znajdź liczbę x taką, że przy -5 x = -10)
Teraz znajdź znak liczby X.
Jak myślisz, jak to zrobić?
Ponieważ przy mnożeniu -5 przez X okazuje się, że liczba ujemna -10, więc czynniki muszą mieć różne znaki. Stąd, X jest liczbą dodatnią.
Teraz znajdźmy moduł liczby X.
Ponieważ moduł iloczynu jest równy iloczynowi modułów czynników, zatem . Stąd 
, ponieważ X jest liczbą dodatnią, więc x = badacz X =
2
Jest napisane tak:
lub krócej
(-10) : (-5) = 10: 5 = 2
Zasada: aby podzielić liczbę ujemną przez liczbę ujemną, należy podzielić moduł dzielnej przez moduł dzielnika.
2.2. Teraz podzielmy liczbę ujemną przez dodatnią.
Na przykład: -24:4=?
Co oznacza -24:4? (Więc, aby znaleźć taką liczbę X, że o 4 X = -24)
Teraz znajdźmy znak x.
Jak mogę to zrobić?
Ponieważ przy mnożeniu 4 przez x wynikiem jest liczba ujemna -24 X- liczba ujemna.
Teraz znajdźmy moduł liczby X.
Jak myślisz, ile to będzie równe?
stąd
ponieważ X jest zatem liczbą ujemną modulo 6 X będzie równy -6
Otrzymujemy: -24: 4 = -6
Podobnie okazuje się przy dzieleniu 24: (-4) \u003d -6
A teraz porozmawiajmy o algorytmie dzielenia liczb o różnych znakach. Więc:
- podzielić moduł dywidendy przez moduł dzielnika;
- umieść znak minus przed otrzymaną liczbą.
3. Dzieląc zero przez dowolną liczbę różną od zera, otrzymujemy zero.
I najważniejsza zasada: Dziel przez zero!
3. Konsolidacja nowego materiału
(Slajdy 15-16).
| 1) | |
| 2) |  |
| 3) |  |
| 4) |  |
| 5) |  |
| 6) |  |
2. Niezależna praca. Na tę czynność masz 8-10 minut.
(Slajdy 17-24)
| A) | -4 (-5) – (-30) : 6 = 25 |
| B) | 15: (-15) – (-24) : 8 = 2 |
| V) | -8 (-3 + 12) : 36 + 2 = 0 |
| G) | 2,3 (-6 – 4) : 5 = - 4,6 |
| mi) | (-8 + 32) : (-6) – 7 = -11 |
| mi) | -21 + (-3 - 4 + 5) : (-2) = - 20 |
| I) | -6 4 – 64: (-3,3 + 1,7) = - 64 |
| H) | (-6 + 6,4 – 10) : (-8) (-3) = - 3 |
W tym artykule podamy definicję dzielenia liczby ujemnej przez liczbę ujemną, sformułujemy i uzasadnimy regułę, podamy przykłady dzielenia liczb ujemnych oraz przeanalizujemy przebieg ich rozwiązania.
Dzielenie liczb ujemnych. reguła
Przypomnij sobie, na czym polega istota operacji dzielenia. Działanie to polega na znalezieniu nieznanego mnożnika przez znany iloczyn i znany inny mnożnik. Liczbę c nazywamy ilorazem dzielenia liczb aib, jeśli iloczyn c · b = a jest prawdziwy. W tym przypadku a ÷ b = do .
Reguła dzielenia liczb ujemnych
Iloraz dzielenia jednej liczby ujemnej przez inną liczbę ujemną jest równy ilorazowi dzielenia modułów tych liczb.
Niech a i b będą liczbami ujemnymi. Następnie
za ÷ b = za ÷ b .
Reguła ta redukuje dzielenie dwóch liczb ujemnych do dzielenia liczb dodatnich. Jest to ważne nie tylko dla liczb całkowitych, ale także dla liczb wymiernych i rzeczywistych. Wynik dzielenia liczby ujemnej przez liczbę ujemną jest zawsze liczbą dodatnią.
Oto inne sformułowanie tej reguły, odpowiednie dla liczb wymiernych i rzeczywistych. Podaje się ją za pomocą liczb odwrotnych i mówi: aby podzielić liczbę ujemną a przez liczbę niezdefiniowaną, pomnóż przez liczbę b - 1 , odwrotność b .
za ÷ b = za · b - 1 .
Tę samą regułę, która sprowadza dzielenie do mnożenia, można również zastosować do dzielenia liczb o różnych znakach.
Równość a ÷ b = a b - 1 można udowodnić korzystając z własności mnożenia liczb rzeczywistych i definicji liczb odwrotnych. Zapiszmy równości:
za b - 1 b = za b - 1 b = za 1 = za .
Na mocy definicji operacji dzielenia ta równość dowodzi, że istnieje iloraz dzielenia liczby przez liczbę b.
Przejdźmy do przykładów.
Zacznijmy od prostych przypadków, przechodząc do bardziej złożonych.
Przykład 1. Jak podzielić liczby ujemne
Podziel - 18 przez - 3 .
Moduły dzielnika i dywidendy to odpowiednio 3 i 18. Napiszmy:
18 ÷ - 3 = - 18 ÷ - 3 = 18 ÷ 3 = 6 .
Przykład 2. Jak podzielić liczby ujemne
Podziel - 5 przez - 2 .
Podobnie piszemy zgodnie z regułą:
5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Ten sam wynik uzyskamy, jeśli użyjemy drugiego sformułowania reguły z odwrotną liczbą.
5 ÷ - 2 = - 5 - 1 2 = 5 1 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Podczas dzielenia ułamkowych liczb wymiernych najwygodniej jest przedstawić je jako ułamki zwykłe. Można jednak również dzielić końcowe ułamki dziesiętne.
Przykład 3. Jak podzielić liczby ujemne
Podziel - 0,004 przez - 0,25 .
Najpierw zapisujemy moduły tych liczb: 0 , 004 i 0 , 25 .
Teraz możesz wybrać jedną z dwóch metod:
- Oddziel ułamki dziesiętne za pomocą kolumny.
- Przejdź do ułamków zwykłych i wykonaj dzielenie.
Przyjrzyjmy się obu metodom.
1. Wykonując dzielenie ułamków dziesiętnych przez kolumnę, przesuń przecinek o dwie cyfry w prawo.
Odpowiedź: - 0,004 ÷ 0,25 = 0,016
2. Teraz podajemy rozwiązanie z tłumaczeniem ułamków dziesiętnych na zwykłe.
0 004 = 4 1000; 0 , 25 = 25 100 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 100 25 = 4 250 = 0 , 016
Uzyskane wyniki są takie same.
Podsumowując, zauważamy, że jeśli dywidenda i dzielnik są liczbami niewymiernymi i są podane jako pierwiastki, potęgi, logarytmy itp., Wynik dzielenia jest zapisywany jako wyrażenie liczbowe, którego przybliżoną wartość oblicza się w razie potrzeby .
Przykład 4. Jak podzielić liczby ujemne
Oblicz iloraz liczb - 0 , 5 i - 5 .
0 , 5 ÷ - 5 = - 0 , 5 ÷ - 5 = 0 , 5 ÷ 5 = 1 2 1 5 = 1 2 5 = 5 10 .
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter