Metody (reguły) ujawniania nierówności z modułami polegają na sekwencyjnym ujawnianiu modułów, przy użyciu przedziałów stałego znaku funkcji podmodułowych. W ostatecznej wersji uzyskuje się kilka nierówności, z których znajdują się przedziały lub przedziały spełniające warunek problemu.
Przejdźmy do rozwiązywania przykładów, które są powszechne w praktyce.
Nierówności liniowe z modułami
Przez liniowe rozumiemy równania, w których zmienna wchodzi do równania liniowo.
Przykład 1. Znajdź rozwiązanie nierówności
Rozwiązanie:
Z warunku problemu wynika, że moduły stają się zerowe przy x=-1 i x=-2. Punkty te dzielą oś liczbową na przedziały
W każdym z tych przedziałów rozwiązujemy daną nierówność. Aby to zrobić, najpierw sporządzamy rysunki graficzne obszarów stałego znaku funkcji submodułowych. Przedstawiono je jako obszary ze znakami każdej z funkcji.
lub interwały ze znakami wszystkich funkcji. 
W pierwszym przedziale otwórz moduły
Mnożymy obie części przez minus jeden, a znak nierówności zmieni się na przeciwny. Jeśli trudno ci przyzwyczaić się do tej zasady, możesz przesunąć każdą z części poza znak, aby pozbyć się minusa. Na koniec otrzymasz
Przecięciem zbioru x>-3 z polem, na którym rozwiązano równania, będzie przedział (-3;-2) . Dla tych, którym łatwiej jest szukać rozwiązań graficznie, można narysować przecięcie tych obszarów
Rozwiązaniem będzie ogólne skrzyżowanie obszarów. Przy ścisłych nierównościach krawędzie nie są uwzględniane. Jeśli nonstrict jest sprawdzane przez podstawienie.
W drugim przedziale otrzymujemy 
Sekcja będzie interwałem (-2; -5/3). Graficznie rozwiązanie będzie wyglądać
W trzecim przedziale otrzymujemy
Ten warunek nie daje rozwiązań na wymaganym obszarze.
Ponieważ dwa znalezione rozwiązania (-3;-2) i (-2;-5/3) graniczą z punktem x=-2 , to też sprawdzamy.
Zatem rozwiązaniem jest punkt x=-2. Mając to na uwadze, ogólne rozwiązanie będzie wyglądać następująco (-3;5/3).
Przykład 2. Znajdź rozwiązanie nierówności
|x-2|-|x-3|>=|x-4|
Rozwiązanie:
Punktami zerowymi funkcji submodułu będą punkty x=2, x=3, x=4 . Gdy wartości argumentów są mniejsze niż te punkty, funkcje submodułu są ujemne, a gdy wartości są duże, są dodatnie.
Punkty dzielą oś rzeczywistą na cztery przedziały. Otwieramy moduły zgodnie z przedziałami stałości znaku i rozwiązujemy nierówności.
1) W pierwszym przedziale wszystkie funkcje submodułowe są ujemne, dlatego rozszerzając moduły zmieniamy znak na przeciwny.
Przecięcie znalezionych wartości x z rozważanym przedziałem będzie zbiorem punktów
2) W przedziale między punktami x=2 i x=3 pierwsza funkcja podmodułu jest dodatnia, druga i trzecia są ujemne. Rozszerzając moduły, otrzymujemy
nierówność, która w przecięciu z przedziałem, na którym rozwiązujemy, daje jedno rozwiązanie - x=3.
3) W przedziale między punktami x=3 i x=4 pierwsza i druga funkcja podmodułu są dodatnie, a trzecia jest ujemna. Na tej podstawie otrzymujemy
Warunek ten pokazuje, że cały przedział spełni nierówność z modułami.
4) Dla wartości x>4 wszystkie funkcje są dodatnie. Rozbudowując moduły nie zmieniamy ich znaku.
Znaleziony warunek na przecięciu z przedziałem daje następujący zestaw rozwiązań
Ponieważ nierówność jest rozwiązana we wszystkich przedziałach, pozostaje znaleźć wspólną wartość wszystkich znalezionych wartości x. Rozwiązaniem są dwa interwały 
Ten przykład jest rozwiązany.
Przykład 3. Znajdź rozwiązanie nierówności
||x-1|-5|>3-2x
Rozwiązanie:
Mamy nierówność z modułem z modułu. Takie nierówności ujawniają się w miarę zagnieżdżania modułów, zaczynając od tych, które są umieszczone głębiej.
Funkcja submodułu x-1 jest zamieniana na zero w punkcie x=1 . Dla mniejszych wartości powyżej 1 jest to ujemne i dodatnie dla x>1 . Na tej podstawie otwieramy wewnętrzny moduł i rozważamy nierówność na każdym z przedziałów.
Najpierw rozważ przedział od minus nieskończoności do jednego 
Funkcja submodułu wynosi zero w punkcie x=-4 . Dla mniejszych wartości jest dodatnia, dla większych wartości jest ujemna. Rozwiń moduł dla x<-4:
Na przecięciu z obszarem, na którym się zastanawiamy, otrzymujemy zbiór rozwiązań
Kolejnym krokiem jest rozwinięcie modułu o przedział (-4; 1) 
Biorąc pod uwagę obszar ekspansji modułu, otrzymujemy przedział rozwiązań
PAMIĘTAJ: jeśli otrzymasz dwa odstępy w takich nieregularnościach z modułami, graniczące ze wspólnym punktem, to z reguły jest to również rozwiązanie.
Aby to zrobić, wystarczy sprawdzić.
W tym przypadku podstawiamy punkt x=-4.
Rozwiązaniem jest więc x=-4.
Rozwiń wewnętrzny moduł dla x>1
Funkcja submodułu jest ujemna dla x<6.
Rozszerzając moduł, otrzymujemy
Ten warunek w odcinku z przedziałem (1;6) daje pusty zbiór rozwiązań.
Dla x>6 otrzymujemy nierówność
Również rozwiązując otrzymaliśmy pusty zbiór.
Biorąc pod uwagę wszystkie powyższe, jedynym rozwiązaniem nierówności z modułami będzie następujący przedział.
Nierówności z modułami zawierającymi równania kwadratowe
Przykład 4. Znajdź rozwiązanie nierówności
|x^2+3x|>=2-x^2 
Rozwiązanie:
Funkcja submodułu znika w punktach x=0, x=-3. Przez proste podstawienie minus jeden 
ustalamy, że jest mniejszy od zera w przedziale (-3; 0) i dodatni poza nim.
Rozwiń moduł w obszarach, w których funkcja podmodułu jest dodatnia 
Pozostaje określić obszary, w których funkcja kwadratowa jest dodatnia. Aby to zrobić, określamy pierwiastki równania kwadratowego 
Dla wygody podstawiamy punkt x=0, który należy do przedziału (-2;1/2). Funkcja jest ujemna w tym przedziale, więc rozwiązaniem będą następujące zbiory x 
Tutaj w nawiasach zaznaczono krawędzie obszarów z rozwiązaniami, co zostało zrobione celowo, z uwzględnieniem następującej zasady.
PAMIĘTAJ: Jeśli nierówność z modułami lub prosta nierówność jest ścisła, to krawędzie znalezionych obszarów nie są rozwiązaniami, ale jeśli nierówności nie są ścisłe (), to krawędzie są rozwiązaniami (oznaczone nawiasami kwadratowymi).
Ta zasada jest stosowana przez wielu nauczycieli: jeśli podana jest ścisła nierówność, a podczas obliczeń w rozwiązaniu wpiszesz nawias kwadratowy ([,]), automatycznie uznają to za błędną odpowiedź. Ponadto podczas testowania, jeśli określono nieścisłą nierówność z modułami, wówczas wśród rozwiązań szukaj obszarów z nawiasami kwadratowymi.
Na przedziale (-3; 0), rozszerzając moduł, zmieniamy znak funkcji na przeciwny 
Biorąc pod uwagę zakres ujawnienia nierówności, rozwiązanie będzie miało postać
Razem z poprzednim obszarem da to dwa półprzedziały
Przykład 5. Znajdź rozwiązanie nierówności
9x^2-|x-3|>=9x-2 
Rozwiązanie:
Dana jest nieścisła nierówność, której funkcja podmodułu jest równa zeru w punkcie x=3. Przy mniejszych wartościach jest ujemny, przy większych wartościach dodatni. Rozwijamy moduł na przedziale x<3.
Znajdowanie wyróżnika równania
i korzenie 
Podstawiając punkt zerowy, dowiadujemy się, że na przedziale [-1/9; 1] funkcja kwadratowa jest ujemna, więc przedział jest rozwiązaniem. Następnie otwórz moduł dla x>3 
Dzisiaj, przyjaciele, nie będzie smarków i sentymentów. Zamiast tego wyślę cię do bitwy z jednym z najpotężniejszych przeciwników na kursie algebry dla klas 8-9 bez dalszych pytań.
Tak, wszystko dobrze zrozumiałeś: mówimy o nierównościach z modułem. Przyjrzymy się czterem podstawowym technikom, dzięki którym nauczysz się rozwiązywać około 90% tych problemów. A co z pozostałymi 10%? Cóż, porozmawiamy o nich w osobnej lekcji. :)
Zanim jednak przeanalizuję tam wszelkie sztuczki, chciałbym przypomnieć dwa fakty, które już powinniście znać. W przeciwnym razie ryzykujesz, że w ogóle nie zrozumiesz materiału dzisiejszej lekcji.
Co już musisz wiedzieć
Kapitan Evidence niejako sugeruje, że aby rozwiązać nierówności za pomocą modułu, musisz wiedzieć dwie rzeczy:
- Jak rozwiązuje się nierówności?
- Co to jest moduł.
Zacznijmy od punktu drugiego.
Definicja modułu
Tutaj wszystko jest proste. Istnieją dwie definicje: algebraiczna i graficzna. Zacznijmy od algebry:
Definicja. Moduł liczby $x$ jest albo samą liczbą, jeśli jest nieujemna, albo liczbą przeciwną do niej, jeśli oryginalna $x$ jest nadal ujemna.
Jest napisane tak:
\[\lewo| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]
Mówiąc prościej, moduł to „liczba bez minusa”. I właśnie w tej dwoistości (gdzieś nie trzeba nic robić z oryginalnym numerem, ale gdzieś tam trzeba usunąć jakiś minus) i cała trudność dla początkujących uczniów leży.
Istnieje również definicja geometryczna. Warto go znać, ale będziemy się do niego odwoływać tylko w złożonych i niektórych szczególnych przypadkach, w których podejście geometryczne jest wygodniejsze niż podejście algebraiczne (spoiler: nie dzisiaj).
Definicja. Niech punkt $a$ będzie oznaczony na prostej rzeczywistej. Następnie moduł $\left| x-a \right|$ to odległość od punktu $x$ do punktu $a$ na tej prostej.
Jeśli narysujesz obrazek, otrzymasz coś takiego:
Definicja modułu graficznego Tak czy inaczej, jego kluczowa właściwość wynika bezpośrednio z definicji modułu: moduł liczby jest zawsze wartością nieujemną. Ten fakt będzie czerwoną nitką przewijającą się przez całą naszą dzisiejszą historię.
Rozwiązanie nierówności. Metoda odstępów
Zajmijmy się teraz nierównościami. Jest ich bardzo dużo, ale teraz naszym zadaniem jest rozwiązanie przynajmniej najprostszego z nich. Te, które sprowadzają się do nierówności liniowych, a także do metody przedziałów.
Mam dwa duże samouczki na ten temat (nawiasem mówiąc, bardzo, BARDZO przydatne - polecam studiowanie):
- Metoda interwałowa dla nierówności (szczególnie obejrzyj wideo);
- Nierówności ułamkowo-wymierne to bardzo obszerna lekcja, ale po niej nie pozostaną żadne pytania.
Jeśli to wszystko wiesz, jeśli fraza „przejdźmy od nierówności do równania” nie sprawia, że masz niejasną ochotę zabić się pod ścianą, to jesteś gotowy: witaj w piekle w głównym temacie lekcji. :)
1. Nierówności postaci „Moduł mniejszy od funkcji”
Jest to jedno z najczęściej spotykanych zadań z modułami. Należy rozwiązać nierówność postaci:
\[\lewo| f\prawo| \ltg\]
Wszystko może działać jako funkcje $f$ i $g$, ale zwykle są to wielomiany. Przykłady takich nierówności:
\[\begin(wyrównaj) & \left| 2x+3\prawo| \ltx+7; \\ & \lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \lewo| ((x)^(2))-2\lewo| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(wyrównaj)\]
Wszystkie są rozwiązywane dosłownie w jednej linii zgodnie ze schematem:
\[\lewo| f\prawo| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \prawo.\prawo)\]
Łatwo zauważyć, że pozbywamy się modułu, ale zamiast tego otrzymujemy podwójną nierówność (lub, co jest tym samym, system dwóch nierówności). Ale to przejście uwzględnia absolutnie wszystkie możliwe problemy: jeśli liczba pod modułem jest dodatnia, metoda działa; jeśli jest ujemny, nadal działa; i nawet przy najbardziej nieodpowiedniej funkcji zamiast $f$ lub $g$ metoda nadal będzie działać.
Oczywiście pojawia się pytanie: czy nie jest łatwiej? Niestety nie możesz. To jest cały sens modułu.
Ale dość filozofowania. Rozwiążmy kilka problemów:
Zadanie. Rozwiąż nierówność:
\[\lewo| 2x+3\prawo| \ltx+7\]
Rozwiązanie. Mamy więc klasyczną nierówność postaci „moduł jest mniejszy niż” - nawet nie ma co przekształcać. Pracujemy według algorytmu:
\[\begin(wyrównaj) & \left| f\prawo| \lt g\Strzałka w prawo -g \lt f \lt g; \\ & \lewo| 2x+3\prawo| \lt x+7\Strzałka w prawo -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]
Nie spiesz się, aby otworzyć nawiasy poprzedzone „minusem”: całkiem możliwe, że z powodu pośpiechu popełnisz ofensywny błąd.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
Problem został sprowadzony do dwóch elementarnych nierówności. Notujemy ich rozwiązania na równoległych prostych rzeczywistych:
Skrzyżowanie wielu
Odpowiedzią będzie przecięcie tych zestawów.
Odpowiedź: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
Zadanie. Rozwiąż nierówność:
\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]
Rozwiązanie. To zadanie jest trochę trudniejsze. Na początek izolujemy moduł, przesuwając drugi wyraz w prawo:
\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\lewo(x+1 \prawo)\]
Oczywiście znowu mamy nierówność postaci „moduł jest mniejszy”, więc pozbywamy się modułu zgodnie ze znanym już algorytmem:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
Teraz uwaga: ktoś powie, że jestem trochę zboczeńcem z tymi wszystkimi nawiasami. Ale jeszcze raz przypominam, że naszym głównym celem jest poprawnie rozwiązać nierówność i uzyskać odpowiedź. Później, gdy doskonale opanujesz wszystko, co jest opisane w tej lekcji, możesz wypaczać się, jak chcesz: otwierać nawiasy, dodawać minusy itp.
A na początek po prostu pozbywamy się podwójnego minusa po lewej stronie:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\lewo(x+1\prawo)\]
Teraz otwórzmy wszystkie nawiasy w podwójnej nierówności:
Przejdźmy do podwójnej nierówności. Tym razem obliczenia będą poważniejsze:
\[\left\( \begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( wyrównaj)\do prawej.\]
Obie nierówności są kwadratowe i rozwiązuje się je metodą przedziałową (dlatego mówię: jeśli nie wiesz, co to jest, to lepiej nie zabieraj się jeszcze za moduły). Przechodzimy do równania w pierwszej nierówności:
\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\lewo(x+5 \prawo)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\koniec(wyrównaj)\]
Jak widać, wynik okazał się niepełnym równaniem kwadratowym, które jest rozwiązywane elementarnie. Zajmijmy się teraz drugą nierównością systemu. Tam musisz zastosować twierdzenie Viety:
\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \lewo(x-3 \prawo)\lewo(x+2 \prawo)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\koniec(wyrównaj)\]
Otrzymane liczby zaznaczamy na dwóch równoległych liniach (osobne dla pierwszej nierówności i osobne dla drugiej):
Ponownie, ponieważ rozwiązujemy układ nierówności, interesuje nas przecięcie zacieniowanych zbiorów: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Oto odpowiedź.
Odpowiedź: $x\in \left(-5;-2 \right)$
Myślę, że po tych przykładach schemat rozwiązania jest bardzo jasny:
- Wyizoluj moduł, przesuwając wszystkie pozostałe wyrazy na przeciwną stronę nierówności. Otrzymujemy więc nierówność postaci $\left| f\prawo| \ltg$.
- Rozwiąż tę nierówność, pozbywając się modułu, jak opisano powyżej. W pewnym momencie konieczne będzie przejście od podwójnej nierówności do układu dwóch niezależnych wyrażeń, z których każde można już rozwiązać osobno.
- Na koniec pozostaje tylko skrzyżować rozwiązania tych dwóch niezależnych wyrażeń - i to wszystko, otrzymamy ostateczną odpowiedź.
Podobny algorytm istnieje dla nierówności następującego typu, gdy moduł jest większy niż funkcja. Jest jednak kilka poważnych „ale”. Porozmawiamy teraz o tych „ale”.
2. Nierówności postaci „Moduł jest większy niż funkcja”
Wyglądają tak:
\[\lewo| f\prawo| \gt g\]
Podobny do poprzedniego? Wydaje się. Niemniej jednak takie zadania są rozwiązywane w zupełnie inny sposób. Formalnie schemat wygląda następująco:
\[\lewo| f\prawo| \gt g\Strzałka w prawo \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]
Innymi słowy, rozważymy dwa przypadki:
- Najpierw po prostu ignorujemy moduł - rozwiązujemy zwykłą nierówność;
- Następnie faktycznie otwieramy moduł ze znakiem minus, a następnie mnożymy obie części nierówności przez −1, ze znakiem.
W tym przypadku opcje są łączone nawiasem kwadratowym, tj. Mamy połączenie dwóch wymagań.
Zwróć uwagę jeszcze raz: przed nami nie jest system, ale agregat w odpowiedzi zestawy są łączone, a nie przecinane. To zasadnicza różnica w stosunku do poprzedniego akapitu!
Ogólnie rzecz biorąc, wielu uczniów ma dużo zamieszania ze związkami i skrzyżowaniami, więc przyjrzyjmy się temu problemowi raz na zawsze:
- „∪” to znak konkatenacji. W rzeczywistości jest to stylizowana litera „U”, która przyszła do nas z języka angielskiego i jest skrótem od „Union”, tj. "Wspomnienia".
- „∩” to znak skrzyżowania. To gówno nie wzięło się znikąd, ale pojawiło się jako opozycja do „∪”.
Aby było jeszcze łatwiej zapamiętać, po prostu dodaj nogi do tych znaków, aby zrobić okulary (tylko nie oskarżaj mnie teraz o promowanie uzależnienia od narkotyków i alkoholizmu: jeśli poważnie studiujesz tę lekcję, to już jesteś narkomanem):
Różnica między przecięciem a sumą zbiorów W tłumaczeniu na język rosyjski oznacza to, co następuje: związek (kolekcja) obejmuje elementy z obu zestawów, a więc nie mniej niż każdy z nich; ale przecięcie (system) obejmuje tylko te elementy, które są zarówno w pierwszym zestawie, jak iw drugim. Dlatego przecięcie zbiorów nigdy nie jest większe niż zbiory źródłowe.
Więc stało się jasne? To wspaniale. Przejdźmy do praktyki.
Zadanie. Rozwiąż nierówność:
\[\lewo| 3x+1 \prawo| \gt 5-4x\]
Rozwiązanie. Działamy według schematu:
\[\lewo| 3x+1 \prawo| \gt 5-4x\Strzałka w prawo \left[ \begin(wyrównaj) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(wyrównaj) \ Prawidłowy.\]
Rozwiązujemy każdą nierówność populacji:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]
Każdy wynikowy zestaw zaznaczamy na osi liczbowej, a następnie łączymy je:
Unia zestawów
Oczywiście odpowiedź to $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Odpowiedź: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
Zadanie. Rozwiąż nierówność:
\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]
Rozwiązanie. Dobrze? Nie, to wszystko to samo. Przechodzimy od nierówności z modułem do zbioru dwóch nierówności:
\[\lewo| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\strzałka w prawo \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\koniec(wyrównaj) \do prawej.\]
Rozwiązujemy każdą nierówność. Niestety korzenie nie będą tam zbyt dobre:
\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\koniec(wyrównaj)\]
W drugiej nierówności jest też trochę gry:
\[\begin(wyrównaj) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\koniec(wyrównaj)\]
Teraz musimy zaznaczyć te liczby na dwóch osiach - po jednej dla każdej nierówności. Musisz jednak zaznaczyć punkty we właściwej kolejności: im większa liczba, tym bardziej punkt przesunie się w prawo.
I tutaj czekamy na ustawienie. Jeśli wszystko jest jasne z liczbami $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (wyrażenia w liczniku pierwszego ułamki są mniejsze niż wyrażenia w liczniku drugiego , więc suma jest również mniejsza), z liczbami $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ też nie będzie trudności (liczba dodatnia oczywiście bardziej ujemna), ale z ostatnią parą wszystko nie jest takie proste. Co jest większe: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ czy $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Od odpowiedzi na to pytanie zależeć będzie układ punktów na liniach liczbowych i właściwie odpowiedź.
Porównajmy więc:
\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\koniec(macierz)\]
Wyodrębniliśmy pierwiastek, otrzymaliśmy liczby nieujemne po obu stronach nierówności, więc mamy prawo podnieść obie strony do kwadratu:
\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\koniec(macierz)\]
Myślę, że to nie do pomyślenia, że $4\sqrt(13) \gt 3$, więc $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, ostatecznie punkty na osiach zostaną ułożone w następujący sposób:
Przypadek brzydkich korzeni
Przypomnę, że rozwiązujemy zbiór, więc odpowiedzią będzie suma, a nie przecięcie zacieniowanych zbiorów.
Odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$
Jak widać, nasz schemat świetnie sprawdza się zarówno w prostych zadaniach, jak i tych bardzo trudnych. Jedynym „słabym punktem” w tym podejściu jest to, że trzeba poprawnie porównywać liczby niewymierne (a wierzcie mi: to nie są tylko pierwiastki). Ale osobna (i bardzo poważna lekcja) zostanie poświęcona kwestiom porównania. I ruszamy dalej.
3. Nierówności z nieujemnymi „ogonami”
Dotarliśmy więc do najciekawszych. Są to nierówności postaci:
\[\lewo| f\prawo| \gt\lewo| g\prawo|\]
Ogólnie rzecz biorąc, algorytm, o którym teraz będziemy mówić, jest prawdziwy tylko dla modułu. Działa we wszystkich nierównościach, w których po lewej i prawej stronie są gwarantowane wyrażenia nieujemne:
Co zrobić z tymi zadaniami? Tylko pamiętaj:
W nierównościach z nieujemnymi ogonami obie strony można podnieść do dowolnej naturalnej potęgi. Nie będzie żadnych dodatkowych ograniczeń.
Nas przede wszystkim zainteresuje kwadratura - spala moduły i pierwiastki:
\[\begin(wyrównaj) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\koniec(wyrównaj)\]
Tylko nie myl tego z pierwiastkiem z kwadratu:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\lewo| f \right|\ne f\]
Popełniono niezliczone błędy, gdy student zapomniał zainstalować moduł! Ale to zupełnie inna historia (są to nieracjonalne równania), więc nie będziemy się teraz w to zagłębiać. Lepiej rozwiążmy kilka problemów:
Zadanie. Rozwiąż nierówność:
\[\lewo| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \w prawo|\]
Rozwiązanie. Od razu zauważamy dwie rzeczy:
- To jest nieścisła nierówność. Punkty na osi liczbowej zostaną wykreślone.
- Obie strony nierówności są oczywiście nieujemne (jest to właściwość modułu: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
Dlatego możemy podnieść obie strony nierówności, aby pozbyć się modułu i rozwiązać problem za pomocą zwykłej metody przedziałowej:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\koniec(wyrównaj)\]
W ostatnim kroku trochę oszukałem: zmieniłem kolejność wyrazów, wykorzystując parzystość modułu (w rzeczywistości pomnożyłem wyrażenie $1-2x$ przez −1).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ prawo)\prawo)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Rozwiązujemy metodą interwałową. Przejdźmy od nierówności do równania:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\koniec(wyrównaj)\]
Znaleźliśmy znalezione korzenie na linii liczbowej. Jeszcze raz: wszystkie punkty są zacienione, ponieważ pierwotna nierówność nie jest ścisła!
Pozbycie się znaku modułu
Dla szczególnie upartych przypomnę: bierzemy znaki z ostatniej nierówności, którą zapisaliśmy przed przejściem do równania. I malujemy obszary wymagane w tej samej nierówności. W naszym przypadku jest to $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
OK, to już koniec. Problem rozwiązany.
Odpowiedź: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
Zadanie. Rozwiąż nierówność:
\[\lewo| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]
Rozwiązanie. Wszystko robimy tak samo. Nie będę komentował - wystarczy spojrzeć na kolejność działań.
Podnieśmy to do kwadratu:
\[\begin(wyrównaj) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ prawo))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
Metoda rozstawu:
\[\begin(wyrównaj) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Strzałka w prawo x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Strzałka w prawo D=16-40 \lt 0\Strzałka w prawo \varnic . \\\koniec(wyrównaj)\]
Na osi liczbowej jest tylko jeden pierwiastek:
Odpowiedzią jest cała gama
Odpowiedź: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.
Mała uwaga dotycząca ostatniego zadania. Jak trafnie zauważył jeden z moich studentów, oba wyrażenia podmodułowe w tej nierówności są oczywiście dodatnie, więc znak modułu można pominąć bez szkody dla zdrowia.
Ale to już zupełnie inny poziom myślenia i inne podejście - można to warunkowo nazwać metodą konsekwencji. O nim - w osobnej lekcji. A teraz przejdźmy do ostatniej części dzisiejszej lekcji i rozważmy uniwersalny algorytm, który zawsze działa. Nawet wtedy, gdy wszystkie poprzednie podejścia były bezsilne. :)
4. Sposób wyliczania opcji
Co jeśli wszystkie te sztuczki nie zadziałają? Jeśli nierówność nie sprowadza się do nieujemnych ogonów, jeśli nie można wyodrębnić modułu, jeśli w ogóle ból-smutek-tęsknota?
Wtedy na scenę wkracza „ciężka artyleria” całej matematyki – metoda wyliczania. W odniesieniu do nierówności z modułem wygląda to tak:
- Wypisz wszystkie wyrażenia submodułu i przyrównaj je do zera;
- Rozwiąż otrzymane równania i zaznacz znalezione pierwiastki na jednej osi liczbowej;
- Linia prosta zostanie podzielona na kilka odcinków, w obrębie których każdy moduł ma stały znak, a więc jednoznacznie się rozszerza;
- Rozwiąż nierówność na każdej takiej sekcji (możesz osobno rozważyć pierwiastki graniczne uzyskane w akapicie 2 - dla niezawodności). Połącz wyniki - to będzie odpowiedź. :)
Jak? Słaby? Łatwo! Tylko przez długi czas. Zobaczmy w praktyce:
Zadanie. Rozwiąż nierówność:
\[\lewo| x+2 \prawo| \lt\lewo| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
Rozwiązanie. To gówno nie sprowadza się do nierówności typu $\left| f\prawo| \lt g$, $\lewo| f\prawo| \gt g$ lub $\left| f\prawo| \lt\lewo| g \right|$, więc przejdźmy dalej.
Piszemy wyrażenia submodułu, przyrównujemy je do zera i znajdujemy pierwiastki:
\[\begin(align) & x+2=0\Strzałka w prawo x=-2; \\ & x-1=0\Strzałka w prawo x=1. \\\koniec(wyrównaj)\]
W sumie mamy dwa korzenie, które dzielą oś liczbową na trzy sekcje, wewnątrz których każdy moduł ujawnia się w unikalny sposób:
Dzielenie osi liczbowej przez zera funkcji submodularnych
Rozważmy każdą sekcję osobno.
1. Niech $x \lt -2$. Wtedy oba wyrażenia podmodułu są ujemne, a pierwotna nierówność jest przepisywana w następujący sposób:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(wyrównaj)\]
Otrzymaliśmy dość proste ograniczenie. Przetnijmy to z pierwotnym założeniem, że $x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
Oczywiście zmienna $x$ nie może być jednocześnie mniejsza niż −2 i większa niż 1,5. W tej dziedzinie nie ma rozwiązań.
1.1. Rozważmy osobno przypadek graniczny: $x=-2$. Podstawmy po prostu tę liczbę do pierwotnej nierówności i sprawdźmy: czy się zgadza?
\[\begin(wyrównaj) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \lewo| -3 \prawo|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnic . \\\koniec(wyrównaj)\]
Oczywiście łańcuch obliczeń doprowadził nas do niewłaściwej nierówności. Dlatego pierwotna nierówność jest również fałszywa, a $x=-2$ nie jest uwzględnione w odpowiedzi.
2. Niech teraz $-2 \lt x \lt 1$. Lewy moduł otworzy się już z „plusem”, ale prawy nadal z „minusem”. Mamy:
\[\begin(wyrównaj) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\koniec(wyrównaj)\]
Ponownie przecinamy się z pierwotnym wymaganiem:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
I znowu pusty zbiór rozwiązań, ponieważ nie ma liczb, które są jednocześnie mniejsze niż -2,5 i większe niż -2.
2.1. I znowu przypadek szczególny: $x=1$. Podstawiamy do pierwotnej nierówności:
\[\begin(wyrównaj) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \lewo| 3\prawo| \lt\lewo| 0 \prawo|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnic . \\\koniec(wyrównaj)\]
Podobnie jak w przypadku poprzedniego „specjalnego przypadku”, liczba $x=1$ wyraźnie nie została uwzględniona w odpowiedzi.
3. Ostatni element linii: $x \gt 1$. Tutaj wszystkie moduły są rozszerzone o znak plus:
\[\begin(wyrównaj) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]
I ponownie przecinamy znaleziony zbiór z pierwotnym ograniczeniem:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \Prawidłowy)\]
Wreszcie! Znaleźliśmy przedział, który będzie odpowiedzią.
Odpowiedź: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
Na koniec jedna uwaga, która może uchronić Cię przed głupimi błędami przy rozwiązywaniu prawdziwych problemów:
Rozwiązania nierówności z modułami to zwykle zbiory ciągłe na osi liczbowej - przedziały i odcinki. Pojedyncze punkty są znacznie rzadsze. A jeszcze rzadziej zdarza się, że granice rozwiązania (koniec odcinka) pokrywają się z granicą rozpatrywanego przedziału.
Dlatego jeśli granice (te bardzo „specjalne przypadki”) nie zostaną uwzględnione w odpowiedzi, to prawie na pewno nie zostaną uwzględnione obszary na lewo-prawo od tych granic. I odwrotnie: granica wprowadzona w odpowiedzi, co oznacza, że niektóre obszary wokół niej również będą odpowiedziami.
Pamiętaj o tym, sprawdzając swoje rozwiązania.
liczba modulo ta sama liczba jest wywoływana, jeśli jest nieujemna, lub ta sama liczba ze znakiem przeciwnym, jeśli jest ujemna.
Na przykład moduł 6 wynosi 6, a moduł -6 również wynosi 6.
Oznacza to, że moduł liczby jest rozumiany jako wartość bezwzględna, wartość bezwzględna tej liczby bez uwzględnienia jej znaku.
Oznaczone następująco: |6|, | X|, |A| itp.
(Aby uzyskać więcej informacji, zobacz sekcję „Moduł liczby”).
Równania modulo.
Przykład 1 . Rozwiązać równanie|10 X - 5| = 15.
Rozwiązanie.
Zgodnie z regułą równanie jest równoważne kombinacji dwóch równań:
10X - 5 = 15
10X - 5 = -15
My decydujemy:
10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10
X = 20: 10
X = -10: 10
X = 2
X = -1
Odpowiedź: X 1 = 2, X 2 = -1.
Przykład 2 . Rozwiązać równanie|2 X + 1| = X + 2.
Rozwiązanie.
Ponieważ moduł jest liczbą nieujemną, to X+ 2 ≥ 0. Odpowiednio:
X ≥ -2.
Tworzymy dwa równania:
2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)
My decydujemy:
2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2
2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1
X = 1
X = -1
Obie liczby są większe niż -2. Więc oba są pierwiastkami równania.
Odpowiedź: X 1 = -1, X 2 = 1.
Przykład 3
. Rozwiązać równanie
|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1
Rozwiązanie.
Równanie ma sens, jeśli mianownik nie jest równy zeru - więc jeśli X≠ 1. Weźmy ten warunek pod uwagę. Nasza pierwsza czynność jest prosta - nie tylko pozbywamy się ułamka, ale przekształcamy go w taki sposób, aby otrzymać moduł w najczystszej postaci:
|X+ 3| - 1 = 4 ( X - 1),
|X + 3| - 1 = 4X - 4,
|X + 3| = 4X - 4 + 1,
|X + 3| = 4X - 3.
Teraz mamy tylko wyrażenie pod modułem po lewej stronie równania. Zacząć robić.
Moduł liczby jest liczbą nieujemną — to znaczy musi być większy lub równy zeru. W związku z tym rozwiązujemy nierówność:
4X - 3 ≥ 0
4X ≥ 3
X ≥ 3/4
Mamy zatem drugi warunek: pierwiastek równania musi wynosić co najmniej 3/4.
Zgodnie z zasadą układamy układ dwóch równań i rozwiązujemy je:
X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)
X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3
X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3
X = 2
X = 0
Otrzymaliśmy dwie odpowiedzi. Sprawdźmy, czy są to pierwiastki pierwotnego równania.
Mieliśmy dwa warunki: pierwiastek równania nie może być równy 1 i musi wynosić co najmniej 3/4. To jest X ≠ 1, X≥ 3/4. Oba te warunki odpowiadają tylko jednej z dwóch otrzymanych odpowiedzi - liczbie 2. Stąd tylko ona jest pierwiastkiem pierwotnego równania.
Odpowiedź: X = 2.
Nierówności z modułem.
Przykład 1 . Rozwiąż nierówność| X - 3| < 4
Rozwiązanie.
Reguła modułu mówi:
|A| = A, Jeśli A ≥ 0.
|A| = -A, Jeśli A < 0.
Moduł może mieć zarówno liczbę nieujemną, jak i liczbę ujemną. Musimy więc rozważyć oba przypadki: X- 3 ≥ 0 i X - 3 < 0.
1) Kiedy X- 3 ≥ 0 nasza pierwotna nierówność pozostaje taka jaka jest, tylko bez znaku modulo:
X - 3 < 4.
2) Kiedy X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:
-(X - 3) < 4.
Otwierając nawiasy, otrzymujemy:
-X + 3 < 4.
Tak więc z tych dwóch warunków doszliśmy do połączenia dwóch systemów nierówności:
X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4
X - 3 < 0
-X + 3 < 4
Rozwiążmy je:
X ≥ 3
X < 7
X < 3
X > -1
Tak więc w naszej odpowiedzi mamy połączenie dwóch zbiorów:
3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.
Wyznacz najmniejszą i największą wartość. Są to -1 i 7. W tym samym czasie X większa niż -1, ale mniejsza niż 7.
Oprócz, X≥ 3. Zatem rozwiązaniem nierówności jest cały zbiór liczb od -1 do 7, wyłączając te skrajne liczby.
Odpowiedź: -1 < X < 7.
Lub: X ∈ (-1; 7).
Dodatki.
1) Istnieje prostszy i krótszy sposób rozwiązania naszej nierówności - graficzny. Aby to zrobić, narysuj oś poziomą (ryc. 1).
Wyrażenie | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X do punktu 3 mniej niż cztery jednostki. Zaznaczamy liczbę 3 na osi i liczymy 4 podziały na lewo i prawo od niej. Z lewej strony dojdziemy do punktu -1, z prawej do punktu 7. A więc punkty X po prostu widzieliśmy bez ich obliczania.
Co więcej, zgodnie z warunkiem nierówności, same -1 i 7 nie wchodzą w skład zbioru rozwiązań. W ten sposób otrzymujemy odpowiedź:
1 < X < 7.
2) Ale jest inne rozwiązanie, które jest jeszcze prostsze niż sposób graficzny. Aby to zrobić, naszą nierówność należy przedstawić w następującej postaci:
4 < X - 3 < 4.
W końcu tak to jest zgodnie z regułą modułu. Nieujemna liczba 4 i podobna liczba ujemna -4 to granice rozwiązania nierówności.
4 + 3 < X < 4 + 3
1 < X < 7.
Przykład 2 . Rozwiąż nierówność| X - 2| ≥ 5
Rozwiązanie.
Ten przykład znacznie różni się od poprzedniego. Lewa strona jest większa niż 5 lub równa 5. Z geometrycznego punktu widzenia rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby, które znajdują się w odległości co najmniej 5 jednostek od punktu 2 (ryc. 2). Wykres pokazuje, że są to wszystkie liczby mniejsze lub równe -3 i większe lub równe 7. Tak więc otrzymaliśmy już odpowiedź.
Odpowiedź: -3 ≥ X ≥ 7.
Po drodze rozwiązujemy tę samą nierówność, przestawiając wolny termin w lewo i w prawo z przeciwnym znakiem:
5 ≥ X - 2 ≥ 5
5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2
Odpowiedź jest taka sama: -3 ≥ X ≥ 7.
Lub: X ∈ [-3; 7]
Przykład rozwiązany.
Przykład 3 . Rozwiąż nierówność 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0
Rozwiązanie.
Numer X może być dodatnia, ujemna lub zerowa. Dlatego musimy wziąć pod uwagę wszystkie trzy okoliczności. Jak wiecie, są one uwzględniane w dwóch nierównościach: X≥ 0 i X < 0. При X≥ 0, po prostu przepisujemy naszą pierwotną nierówność taką, jaka jest, tylko bez znaku modulo:
6x 2 - X - 2 ≤ 0.
Teraz drugi przypadek: jeśli X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.
Rozszerzanie nawiasów:
6X 2 + X - 2 ≤ 0.
W ten sposób otrzymaliśmy dwa układy równań:
6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0
6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0
Musimy rozwiązać nierówności w układach - co oznacza, że musimy znaleźć pierwiastki dwóch równań kwadratowych. Aby to zrobić, przyrównujemy lewe strony nierówności do zera.
Zacznijmy od pierwszego:
6X 2 - X - 2 = 0.
Jak rozwiązać równanie kwadratowe - zobacz sekcję „Równanie kwadratowe”. Natychmiast nazwiemy odpowiedź:
X 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.
Z pierwszego układu nierówności wynika, że rozwiązaniem pierwotnej nierówności jest cały zbiór liczb od -1/2 do 2/3. Piszemy związek rozwiązań dla X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].
Rozwiążmy teraz drugie równanie kwadratowe:
6X 2 + X - 2 = 0.
Jego korzenie:
X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.
Wniosek: kiedy X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
Połączmy te dwie odpowiedzi i uzyskajmy ostateczną odpowiedź: rozwiązaniem jest cały zestaw liczb od -2/3 do 2/3, w tym te skrajne liczby.
Odpowiedź: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.
Lub: X ∈ [-2/3; 2/3].
Istnieje kilka sposobów rozwiązywania nierówności zawierających moduł. Rozważmy niektóre z nich.
1) Rozwiązanie nierówności przy użyciu geometrycznej własności modułu.
Przypomnę, jaka jest właściwość geometryczna modułu: moduł liczby x to odległość od początku do punktu o współrzędnej x.
W trakcie rozwiązywania nierówności w ten sposób mogą wystąpić 2 przypadki:
1. |x| ≤ b, 
A nierówność z modułem oczywiście sprowadza się do układu dwóch nierówności. Tutaj znak może być surowy, w takim przypadku punkty na obrazie zostaną „wybite”.
2. |x| ≥ b, wtedy obraz rozwiązania wygląda tak:
A nierówność z modułem oczywiście sprowadza się do zbioru dwóch nierówności. Tutaj znak może być surowy, w takim przypadku punkty na obrazie zostaną „wybite”.
Przykład 1
Rozwiąż nierówność |4 – |x|| ≥ 3.
Rozwiązanie.
Ta nierówność jest równoważna następującemu zbiorowi:
U [-1;1] U
Przykład 2
Rozwiąż nierówność ||x+2| – 3| ≤ 2.
Rozwiązanie.
Ta nierówność jest równoważna następującemu systemowi.
(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.
Rozwiązujemy osobno pierwszą nierówność układu. Jest to równoważne następującemu zestawowi:
U[-1; 3].
2) Rozwiązywanie nierówności z wykorzystaniem definicji modułu.
Przypomnę ci, żebyś zaczął definicja modułu.
|a| = a jeśli a ≥ 0 i |a| = -a jeśli a< 0.
Na przykład |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
Przykład 1
Rozwiąż nierówność 3|x – 1| ≤ x + 3.
Rozwiązanie.
Korzystając z definicji modułu otrzymujemy dwa układy:
(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3
(x-1< 0
(-3(x - 1) ≤ x + 3.
Rozwiązując oddzielnie pierwszy i drugi system, otrzymujemy:
(x ≥ 1
(x ≤ 3,
(X< 1
(x ≥ 0.
Rozwiązaniem pierwotnej nierówności będą wszystkie rozwiązania pierwszego systemu i wszystkie rozwiązania drugiego systemu.
Odpowiedź: x€.
3) Rozwiązywanie nierówności przez podnoszenie do kwadratu.
Przykład 1
Rozwiąż nierówność |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.
Rozwiązanie.
Podnieśmy obie strony nierówności do kwadratu. Zauważam, że podniesienie do kwadratu obu stron nierówności jest możliwe tylko wtedy, gdy obie są dodatnie. W tym przypadku mamy moduły zarówno po lewej, jak i prawej stronie, więc możemy to zrobić.
(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .
Teraz użyjmy następującej właściwości modułu: (|x|) 2 = x 2 .
(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.
(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,
(x - 2)(2x 2 - x)< 0,
x(x - 2)(2x - 1)< 0.
Rozwiązujemy metodą interwałową.
Odpowiedź: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Rozwiązywanie nierówności metodą zmiany zmiennych.
Przykład.
Rozwiąż nierówność (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Rozwiązanie.
Zauważ, że (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Wtedy otrzymamy nierówność
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Dokonajmy zmiany y = |2x + 3|.
Przepiszmy naszą nierówność uwzględniając zamianę.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
Rozkładamy na czynniki kwadratowy trójmian po lewej stronie.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1 - 11) / 2,
(y - 6)(y + 5) ≤ 0.
Rozwiązujemy metodą przedziałową i otrzymujemy:
Powrót do wymiany:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
Ta podwójna nierówność jest równoważna systemowi nierówności:
(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.
Każdą z nierówności rozwiązujemy osobno.
Pierwsza jest równoważna systemowi
(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.
Rozwiążmy to.
(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.
Druga nierówność oczywiście obowiązuje dla wszystkich x, ponieważ moduł jest z definicji liczbą dodatnią. Ponieważ rozwiązaniem systemu są wszystkie x, które jednocześnie spełniają pierwszą i drugą nierówność systemu, to rozwiązaniem pierwotnego systemu będzie rozwiązanie jego pierwszej podwójnej nierówności (w końcu druga jest prawdziwa dla wszystkich x).
Odpowiedź: x € [-4,5; 1,5].
blog.site, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.