Aby sprawdzić, czy układ wektorów jest liniowo zależny, należy ułożyć kombinację liniową tych wektorów i sprawdzić, czy może ona wynosić zero, jeśli przynajmniej jeden współczynnik jest równy zero.
Przypadek 1. Układ wektorów jest dany przez wektory
Tworzymy kombinację liniową
Otrzymaliśmy jednorodny układ równań. Jeśli ma niezerowe rozwiązanie, to wyznacznik musi być równy zeru. Zróbmy wyznacznik i znajdźmy jego wartość.
Wyznacznik wynosi zero, więc wektory są zależne liniowo.
Przypadek 2. Układ wektorów dany jest funkcjami analitycznymi:
a) , jeśli tożsamość jest prawdziwa, to układ jest liniowo zależny.
Zróbmy kombinację liniową.
Należy sprawdzić, czy istnieją takie a, b, c (z których przynajmniej jedno nie jest równe zeru), dla których dane wyrażenie jest równe zeru.
Piszemy funkcje hiperboliczne
wtedy liniowa kombinacja wektorów przyjmie postać:
Stąd, weźmy na przykład, wtedy kombinacja liniowa jest równa zeru, a zatem układ jest liniowo zależny.
Odpowiedź: Układ jest liniowo zależny.
b) , tworzymy kombinację liniową
Liniowa kombinacja wektorów musi wynosić zero dla dowolnych wartości x.
Sprawdźmy, czy istnieją specjalne przypadki.
Liniowa kombinacja wektorów jest zerowa tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki są równe zeru.
Układ jest więc liniowo niezależny.
Odpowiedź: Układ jest liniowo niezależny.
5.3. Znajdź jakąś bazę i wyznacz wymiar liniowej przestrzeni rozwiązań.
Stwórzmy rozszerzoną macierz i sprowadźmy ją do postaci trapezu metodą Gaussa.
Aby uzyskać jakąś podstawę, podstawiamy dowolne wartości:
Zdobądź pozostałe współrzędne
5.4. Znajdź współrzędne wektora X w bazie, jeśli jest ona podana w bazie.
Znalezienie współrzędnych wektora w nowej bazie sprowadza się do rozwiązania układu równań
Metoda 1. Znajdowanie za pomocą macierzy przejść
Skomponuj macierz przejść
Znajdźmy wektor w nowej bazie według wzoru
Znajdź macierz odwrotną i wykonaj mnożenie
Metoda 2. Znajdowanie poprzez zestawianie układu równań.
Skomponuj wektory bazowe ze współczynników bazy
Znalezienie wektora w nowej bazie ma postać
Gdzie D jest danym wektorem X.
Otrzymane równanie można rozwiązać w dowolny sposób, odpowiedź będzie taka sama.
Odpowiedź: wektor w nowej bazie.
5.5. Niech x = (X 1 , X 2 , X 3 ) . Czy następujące przekształcenia są liniowe.
Ułóżmy macierze operatorów liniowych ze współczynników danych wektorów.
Sprawdźmy własność operacji liniowych dla każdej macierzy operatora liniowego.
Lewą stronę można znaleźć przez pomnożenie macierzy A na wektor
Prawą stronę obliczamy mnożąc dany wektor przez skalar .
Widzimy, co to znaczy, że transformacja nie jest liniowa.
Sprawdźmy inne wektory.
Transformacja nie jest liniowa.
Transformacja jest liniowa.
Odpowiedź: Oh nie jest przekształceniem liniowym, Vx- nie liniowy Cx- liniowy.
Notatka. Możesz wykonać to zadanie znacznie łatwiej, uważnie przyglądając się podanym wektorom. W Oh widzimy, że istnieją terminy, które nie zawierają elementów X, czego nie można było uzyskać w wyniku operacji liniowej. W Vx istnieje element X do trzeciej potęgi, której również nie można uzyskać przez pomnożenie przez wektor X.
5.6. Dany X = { X 1 , X 2 , X 3 } , Topór = { X 2 – X 3 , X 1 , X 1 + X 3 } , bx = { X 2 , 2 X 3 , X 1 } . Wykonaj podane działanie: ( A ( B – A )) X .
Wypiszmy macierze operatorów liniowych.
Wykonajmy operację na macierzach
Mnożąc wynikową macierz przez X, otrzymujemy
Definicja 1. Liniowa kombinacja wektorów jest sumą iloczynów tych wektorów i skalarów:
Definicja 2. Układ wektorów nazywamy układem liniowo zależnym, jeśli ich kombinacja liniowa (2.8) znika:
a wśród liczb jest co najmniej jedna różna od zera.
Definicja 3. Wektory nazywamy liniowo niezależnymi, jeśli ich kombinacja liniowa (2.8) znika tylko wtedy, gdy wszystkie są liczbami.
Z tych definicji można uzyskać następujące wnioski.
Wniosek 1. W liniowo zależnym systemie wektorów co najmniej jeden wektor można wyrazić jako liniową kombinację pozostałych.
Dowód. Niech (2.9) będzie spełnione i niech dla pewności będzie współczynnikiem. Mamy wtedy: Zauważ, że sytuacja odwrotna jest również prawdziwa.
Konsekwencja 2. Jeżeli układ wektorów zawiera wektor zerowy, to układ ten jest (koniecznie) liniowo zależny – dowód jest oczywisty.
Wniosek 3. Jeśli wśród N wektor dowolny k() wektory są liniowo zależne, to wszystkie N wektory są liniowo zależne (dowód pomijamy).
2 0 . Liniowe kombinacje dwóch, trzech i czterech wektorów. Rozważmy kwestie liniowej zależności i niezależności wektorów na prostej, płaszczyźnie iw przestrzeni. Przedstawmy odpowiednie twierdzenia.
Twierdzenie 1. Aby dwa wektory były liniowo zależne, konieczne i wystarczające jest, aby były one współliniowe.
Konieczność. Niech wektory będą liniowo zależne. Oznacza to, że ich kombinacja liniowa = 0 i (dla pewności). Oznacza to równość i (zgodnie z definicją mnożenia wektora przez liczbę) wektory i są współliniowe.
Adekwatność. Niech wektory będą współliniowe (║) (zakładamy, że są różne od wektora zerowego; w przeciwnym razie ich liniowa zależność jest oczywista).
Z Twierdzenia (2.7) (patrz §2.1, punkt 2, 0) wynika, że lub – kombinacja liniowa jest równa zeru, a współczynnik jest równy 1 – wektory i są liniowo zależne.
Z twierdzenia tego wynika następujący wniosek.
Konsekwencja. Jeśli wektory nie są współliniowe, to są liniowo niezależne.
Twierdzenie 2. Aby trzy wektory były liniowo zależne, konieczne i wystarczające jest, aby były one współpłaszczyznowe.
Konieczność. Niech wektory i będą liniowo zależne. Pokażmy, że są one współpłaszczyznowe.
Definicja liniowej zależności wektorów implikuje istnienie liczb takich, że jest to liniowa kombinacja, a jednocześnie (dla określoności). Następnie z tej równości możemy wyrazić wektor: =, czyli wektor jest równy przekątnej równoległoboku zbudowanego na wektorach po prawej stronie tej równości (ryc. 2.6). Oznacza to, że wektory leżą w tej samej płaszczyźnie.
Adekwatność. Niech wektory będą współpłaszczyznowe. Pokażmy, że są one liniowo zależne.
Wykluczmy przypadek współliniowości dowolnej pary wektorów (bo wtedy ta para jest liniowo zależna iz Wniosku 3 (patrz poz. 1 0) wszystkie trzy wektory są liniowo zależne). Należy zauważyć, że takie założenie wyklucza również istnienie wektora zerowego wśród wskazanych trzech.
Przenosimy trzy współpłaszczyznowe wektory na jedną płaszczyznę i sprowadzamy je do wspólnego początku. Przez koniec wektora rysujemy proste równoległe do wektorów; w tym przypadku otrzymujemy wektory i (ryc. 2.7) - ich istnienie zapewnia fakt, że wektory nie są współliniowe z założenia wektorów. Wynika z tego, że wektor = +. Przepisując tę równość w postaci (–1)++=0, dochodzimy do wniosku, że wektory i są liniowo zależne.
Z udowodnionego twierdzenia wynikają dwa wnioski.
Wniosek 1. Niech nie będą wektorami współliniowymi, niech wektor będzie dowolnym wektorem leżącym w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory i. Istnieją więc liczby takie, że
Konsekwencja 2. Jeśli wektory nie są współpłaszczyznowe, to są liniowo niezależne.
Twierdzenie 3. Dowolne cztery wektory są liniowo zależne.
Dowód pomijamy; z pewnymi modyfikacjami kopiuje dowód Twierdzenia 2. Przedstawmy wniosek z tego twierdzenia.
Konsekwencja. Dla dowolnych wektorów niewspółpłaszczyznowych i dowolnego takiego wektora
Komentarz. Dla wektorów w przestrzeni (trójwymiarowej) pojęcia liniowej zależności i niezależności mają, jak wynika z Twierdzeń 1-3 powyżej, proste znaczenie geometryczne.
Niech będą dwa liniowo zależne wektory i. W tym przypadku jeden z nich jest liniową kombinacją drugiego, to znaczy po prostu różni się od niego współczynnikiem liczbowym (na przykład). Geometrycznie oznacza to, że oba wektory leżą na wspólnej linii; mogą mieć te same lub przeciwne kierunki (ryc. 2.8 xx).
Jeśli dwa wektory znajdują się względem siebie pod kątem (ryc. 2.9 xx), to w tym przypadku jednego z nich nie można uzyskać, mnożąc drugi przez liczbę - takie wektory są liniowo niezależne. Dlatego liniowa niezależność dwóch wektorów oznacza, że wektorów tych nie można ułożyć na jednej linii prostej.
Znajdźmy geometryczne znaczenie liniowej zależności i niezależności trzech wektorów.
Niech wektory , i będą liniowo zależne i niech (dla pewności) wektor będzie kombinacją liniową wektorów u, tj. położonych w płaszczyźnie zawierającej wektory u. Oznacza to, że wektory leżą w tej samej płaszczyźnie. Odwrotne stwierdzenie jest również prawdziwe: jeśli wektory leżą w tej samej płaszczyźnie, to są liniowo zależne.
Zatem wektory i są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy nie leżą w tej samej płaszczyźnie.
3 0 . Pojęcie podstawy. Jednym z najważniejszych pojęć algebry liniowej i wektorowej jest pojęcie bazy. Wprowadzamy definicje.
Definicja 1. Parę wektorów nazywa się uporządkowaną, jeśli określono, który wektor z tej pary jest uważany za pierwszy, a który za drugi.
Definicja 2. Uporządkowaną parę wektorów niewspółliniowych nazywamy bazą na płaszczyźnie wyznaczonej przez dane wektory.
Twierdzenie 1. Każdy wektor na płaszczyźnie można przedstawić jako kombinację liniową podstawowego układu wektorów:
i ta reprezentacja jest wyjątkowa.
Dowód. Niech wektory i utworzą bazę. Wtedy dowolny wektor można przedstawić jako
Aby udowodnić niepowtarzalność, załóżmy, że istnieje jeszcze jeden rozkład. Mamy wtedy =0 i przynajmniej jedna z różnic jest różna od zera. To ostatnie oznacza, że wektory są liniowo zależne, to znaczy współliniowe; jest to sprzeczne z twierdzeniem, że stanowią one podstawę.
Ale wtedy rozkład jest wyjątkowy.
Definicja 3. Nazywa się potrójną liczbę wektorów uporządkowaną, jeśli wskazano, który wektor jest uważany za pierwszy, który jest drugim, a który trzecim.
Definicja 4. Uporządkowana trójka wektorów niewspółpłaszczyznowych nazywana jest bazą w przestrzeni.
Twierdzenie o dekompozycji i jednoznaczności również tutaj obowiązuje.
Twierdzenie 2. Każdy wektor można przedstawić jako kombinację liniową podstawowego układu wektorów:
i ta reprezentacja jest jednoznaczna (pomijamy dowód twierdzenia).
W rozwinięciach (2.12) i (2.13) wielkości te nazywane są współrzędnymi wektora w danej bazie (dokładniej współrzędnymi afinicznymi).
Ze stałą podstawą można pisać.
Na przykład, jeśli podano podstawę i podano to, oznacza to, że ma miejsce reprezentacja (dekompozycja).
4 0 . Operacje liniowe na wektorach w postaci współrzędnych. Wprowadzenie bazy pozwala na zastąpienie operacji liniowych na wektorach zwykłymi operacjami liniowymi na liczbach – współrzędnych tych wektorów.
Dajmy jakąś podstawę. Oczywiście ustawienie współrzędnych wektora w tej bazie całkowicie determinuje sam wektor. Są następujące propozycje:
a) dwa wektory i są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im współrzędne są równe:
b) przy mnożeniu wektora przez liczbę jego współrzędne są mnożone przez tę liczbę:
c) przy dodawaniu wektorów dodawane są ich odpowiednie współrzędne:
Pomijamy dowody tych własności; Udowodnijmy własność b) tylko jako przykład. Mamy
Komentarz. W przestrzeni (na płaszczyźnie) można wybrać nieskończenie wiele baz.
Podajemy przykład przejścia z jednej bazy do drugiej, ustalamy zależność między współrzędnymi wektora w różnych podstawach.
Przykład 1. W układzie podstawowym podane są trzy wektory:, i. W podstawie wektor ma rozkład. Znajdź współrzędne wektora w bazie.
Rozwiązanie. Posiadamy rozszerzenia:,,; zatem =+2+= =, czyli w podstawie.
Przykład 2. Niech w jakiejś bazie dane będą cztery wektory przez ich współrzędne: ,, i.
Dowiedz się, czy wektory tworzą bazę; w przypadku pozytywnej odpowiedzi znajdź rozkład wektora na tej podstawie.
Rozwiązanie. 1) wektory tworzą bazę, jeśli są liniowo niezależne. Skomponujmy liniową kombinację wektorów () i dowiedzmy się, dla którego jonu znika: = 0. Mamy:
Z definicji równości wektorów w postaci współrzędnych otrzymujemy następujący układ równań (liniowych jednorodnych algebraicznych): ;;, którego wyznacznik = 1, czyli układ ma (tylko) rozwiązanie trywialne. Oznacza to, że wektory są liniowo niezależne, a zatem tworzą bazę.
2) rozwiń wektor w tej podstawie. Mamy:=lub w postaci współrzędnych.
Przechodząc do równości wektorów w postaci współrzędnych, otrzymujemy układ liniowych niejednorodnych równań algebraicznych: ;;. Rozwiązując go (na przykład zgodnie z regułą Cramera) otrzymujemy: ,, oraz (). Mamy rozkład wektora w bazie: =.
5 0 . Rzut wektora na oś. Właściwości projekcji. Niech będzie jakaś oś l, czyli prostą z wybranym na niej kierunkiem i niech dany będzie jakiś wektor Zdefiniujmy pojęcie rzutu wektora na oś l.
Definicja. Rzut wektora na oś l nazywa się iloczynem modułu tego wektora i cosinusa kąta między osiami l i wektor (Rys.2.10):
Konsekwencją tej definicji jest stwierdzenie, że równe wektory mają równe rzuty (na tę samą oś).
Zwróć uwagę na właściwości projekcji.
1) rzut sumy wektorów na pewną oś l jest równe sumie rzutów wyrazów wektorów na tę samą oś:
2) rzut iloczynu skalara i wektora jest równy iloczynowi tego skalara i rzutu wektora na tę samą oś:
Konsekwencja. Rzut liniowej kombinacji wektorów na oś jest równy liniowej kombinacji ich rzutów:
Pomijamy dowody własności.
6 0 . Prostokątny kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni.Rozkład wektora na wektory jednostkowe osi. Niech jako podstawę przyjmą trzy wzajemnie prostopadłe wektory jednostkowe; wprowadzamy dla nich specjalną notację. Umieszczając je, zacznij od punktu O, skieruj wzdłuż nich (zgodnie z wektorami jednostkowymi) osie współrzędnych Wół,Ojej i O z(oś z zaznaczonym dodatnim kierunkiem, punktem odniesienia i jednostką długości nazywana jest osią współrzędnych).
Definicja. Uporządkowany układ trzech wzajemnie prostopadłych osi współrzędnych o wspólnym początku i wspólnej jednostce długości nazywany jest prostokątnym kartezjańskim układem współrzędnych w przestrzeni.
Oś Wół zwaną osią x, Ojej- oś y i O z – oś aplikacji.
Zajmijmy się rozwinięciem dowolnego wektora pod względem podstawy. Z twierdzenia (patrz §2.2, punkt 3 0 , (2.13)) wynika, że można je jednoznacznie rozwinąć względem podstawy (tutaj zamiast zapisu stosuje się współrzędną):
W (2.21) są (prostokątne kartezjańskie) współrzędne wektora. Znaczenie współrzędnych kartezjańskich określa następujące twierdzenie.
Twierdzenie. Kartezjańskie prostokątne współrzędne wektora są odpowiednio rzutami tego wektora na osie Wół,Ojej i O z.
Dowód. Wektor umieszczamy w początku układu współrzędnych - punkcie O. Wtedy jego koniec zbiegnie się z pewnym punktem.
Narysuj przez punkt trzy płaszczyzny równoległe do płaszczyzn współrzędnych Oyz,Oxz I oksy(Rys. 2.11xx). Otrzymujemy wtedy:
W (2.22) wektory nazywane są składowymi wektora wzdłuż osi Wół,Ojej i O z.
Niech i oznaczymy odpowiednio kąty utworzone przez wektor z wektorami jednostkowymi. Następnie dla składników otrzymujemy następujące wzory:
= =, = =, = =(2.23)
Z (2.21), (2.22) (2.23) znajdujemy:
– współrzędne wektora to rzuty tego wektora na osie współrzędnych Wół,Ojej i O z odpowiednio.
Komentarz. Liczby nazywane są cosinusami kierunkowymi wektora.
Moduł wektora (przekątna prostokątnego równoległościanu) oblicza się ze wzoru:
Ze wzorów (2.23) i (2.24) wynika, że cosinusy kierunkowe można obliczyć ze wzorów:
Podnosząc obie części każdej z równości w (2.25) i dodając wyraz po wyrazie lewą i prawą część wynikowych równości, dochodzimy do wzoru:
- nie trzy kąty tworzą określony kierunek w przestrzeni, lecz tylko te, których cosinusy są powiązane relacją (2.26).
7 0 . Współrzędne wektora i punktu promienia.Wyznaczanie wektora na podstawie jego początku i końca. Wprowadźmy definicję.
Definicja. Wektor promienia (oznaczony) jest wektorem łączącym początek współrzędnych O z tym punktem (ryc. 2.12 xx):
Każdemu punktowi w przestrzeni odpowiada określony wektor promienia (i odwrotnie). Zatem punkty w przestrzeni są reprezentowane w algebrze wektorów przez ich wektory promienia.
Oczywiście współrzędne punktu M są rzutami jego wektora promienia na osie współrzędnych:
a zatem,
– wektor promienia punktu to wektor, którego rzuty na osie współrzędnych są równe współrzędnym tego punktu. Wynikają z tego dwa wpisy: i.
Otrzymamy wzory do obliczania rzutów wektora na podstawie współrzędnych jego punktu początkowego i punktu końcowego.
Narysujmy wektory promienia i wektor (ryc. 2.13). Rozumiemy to
– rzuty wektora na wektory współrzędnych są równe różnicom odpowiednich współrzędnych końca i początku wektora.
8 0 . Niektóre problemy dotyczące współrzędnych kartezjańskich.
1) warunki kolinearności wektorów . Z twierdzenia (patrz §2.1, punkt 2 0 , wzór (2.7)) wynika, że aby wektory były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby zależność: = zachodziła. Z tej równości wektorów otrzymujemy trzy równości w postaci współrzędnych:, z których wynika warunek współrzędności wektorów w postaci współrzędnych:
– aby wektory były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby ich odpowiednie współrzędne były proporcjonalne.
2) odległość między punktami . Z przedstawienia (2.29) wynika, że odległość między punktami i jest określona wzorem
3) podział segmentów pod tym względem . Niech podane będą punkty i współczynniki. Musisz znaleźć współrzędne punktu M (rys. 2.14).
Z warunku wektorów współliniowych mamy: , skąd i
Z (2.32) otrzymujemy w postaci współrzędnych:
Ze wzorów (2.32') można otrzymać wzory na obliczenie współrzędnych środka odcinka przy założeniu:
Komentarz. Rozważymy odcinki dodatnie lub ujemne, w zależności od tego, czy ich kierunek pokrywa się z kierunkiem od początku odcinka do końca, lub nie pasuje. Następnie, korzystając ze wzorów (2,32) - (2,32”), możesz znaleźć współrzędne punktu dzielącego odcinek zewnętrznie, to znaczy, że punkt podziału M znajduje się na kontynuacji odcinka, a nie wewnątrz niego. W tym samym czasie, oczywiście.
4) równanie powierzchni sferycznej . Ułóżmy równanie powierzchni sferycznej - zbioru punktów równoodległych w pewnej odległości od jakiegoś ustalonego środka - punktu. Oczywiście w tym przypadku i biorąc pod uwagę wzór (2.31)
Równanie (2.33) jest równaniem pożądanej powierzchni sferycznej.
zależność liniowa
relacja postaci C1u1+C2u2+... +Cnun?0, gdzie C1, C2,..., Cn to liczby, z których przynajmniej jedna? 0 i u1, u2,..., un to na przykład pewne obiekty matematyczne. wektory lub funkcje.
Zależność liniowa
(matematyka), relacja formy
C11u1 + C2u2 + ... + Cn = 0, (*)
gdzie С1, C2, ..., Cn ≈ liczby, z których przynajmniej jedna jest różna od zera, oraz u1, u2, ..., un ≈ taka czy inna matematyka. obiekty, dla których zdefiniowano operacje dodawania i mnożenia przez liczbę. W relacji (*) obiekty u1, u2, ..., un mieszczą się w 1. potędze, czyli liniowo; dlatego zależność między nimi opisana tą relacją nazywa się liniową. Znak równości we wzorze (*) może mieć różne znaczenia i powinien być wyjaśniony w każdym konkretnym przypadku. Koncepcja L.h. stosowane w wielu gałęziach matematyki. Możemy więc mówić o L. z. między wektorami, między funkcjami jednej lub więcej zmiennych, między elementami przestrzeni liniowej i tak dalej. w przeciwnym razie nazywane są liniowo niezależnymi. Jeżeli obiekty u1, u2, ..., un są liniowo zależne, to co najmniej jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych, tj.
u1 = a 1u1 + ... + a i-1ui-1 + a i+1ui+1 + ... + zakonnica.
Funkcje ciągłe jednej zmiennej
u1 = j 1(x), u2 = j 2(x), ..., un = j n(x) nazywamy liniowo zależnymi, jeśli istnieje między nimi relacja postaci (*), w której znak równości to rozumiane jako tożsamość względem x. Aby funkcje j 1(x), j 2(x), ..., j n(x), określone na pewnym odcinku a £ x £ b, były zależne liniowo, konieczne i wystarczające jest, aby ich wyznacznik Grama znika
ja, k = 1,2, ..., n.
Jeżeli funkcje j1(x), j2(x), ..., jn(x) są rozwiązaniami liniowego równania różniczkowego, to dla istnienia liniowego równania różniczkowego między nimi konieczne i wystarczające jest, aby Wrońskian zniknął przynajmniej w jednym punkcie.
══ Formy liniowe w m zmiennych
u1=ai1x1+ai2x2+...+aixm
(i = 1, 2, ..., n)
nazywamy liniowo zależnymi, jeśli istnieje relacja postaci (*), w której znak równości jest rozumiany jako tożsamość względem wszystkich zmiennych x1, x2, ..., xm. Aby n form liniowych było liniowo zależnych od n zmiennych, konieczne i wystarczające jest, aby wyznacznik zniknął
Zadanie 1. Sprawdź, czy układ wektorów jest liniowo niezależny. Układ wektorów będzie określony przez macierz układu, której kolumny składają się ze współrzędnych wektorów.
Rozwiązanie. Niech kombinacja liniowa będzie równa zeru. Zapisując tę równość we współrzędnych, otrzymujemy następujący układ równań:
Taki układ równań nazywamy trójkątnym. Ma tylko jedno rozwiązanie. Zatem wektory są liniowo niezależne.
Zadanie 2. Sprawdź, czy układ wektorów jest liniowo niezależny.
Rozwiązanie. Wektory są liniowo niezależne (patrz Zadanie 1). Udowodnijmy, że wektor jest kombinacją liniową wektorów . Współczynniki ekspansji w wektorach wyznacza się z układu równań
Ten system, podobnie jak trójkątny, ma unikalne rozwiązanie.
Dlatego układ wektorów jest liniowo zależny.
Komentarz. Nazywa się macierze takie jak w zadaniu 1 trójkątny , aw zadaniu 2 – schodkowy trójkątny . Kwestię liniowej zależności układu wektorów można łatwo rozwiązać, jeśli macierz złożona ze współrzędnych tych wektorów jest schodkowo trójkątna. Jeśli macierz nie ma specjalnej formy, to używaj elementarne przekształcenia strun , zachowując liniowe relacje między kolumnami, można go sprowadzić do formy trójkąta schodkowego.
Elementarne przekształcenia strun macierze (EPS) nazywane są następującymi operacjami na macierzy:
1) permutacja linii;
2) mnożenie ciągu znaków przez liczbę różną od zera;
3) dodanie do łańcucha kolejnego ciągu, pomnożonego przez dowolną liczbę.
Zadanie 3. Znajdź maksymalnie liniowo niezależny podsystem i oblicz rząd układu wektorów
Rozwiązanie. Zredukujmy macierz układu za pomocą EPS do postaci trójkąta schodkowego. Dla wyjaśnienia procedury wiersz z numerem macierzy do przekształcenia zostanie oznaczony symbolem . Kolumna po strzałce pokazuje działania, które należy wykonać na wierszach przekonwertowanej macierzy, aby uzyskać wiersze nowej macierzy.
Oczywiście pierwsze dwie kolumny wynikowej macierzy są liniowo niezależne, trzecia kolumna jest ich liniową kombinacją, a czwarta nie zależy od pierwszych dwóch. Wektory nazywane są podstawowymi. Tworzą one maksymalnie liniowo niezależny podsystem systemu, a rząd systemu wynosi trzy.
Podstawa, współrzędne
Zadanie 4. Znajdź bazę i współrzędne wektorów w tej bazie na zbiorze wektorów geometrycznych, których współrzędne spełniają warunek .
Rozwiązanie. Zbiór jest płaszczyzną przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Dowolna baza na płaszczyźnie składa się z dwóch niewspółliniowych wektorów. Współrzędne wektorów w wybranej bazie wyznacza się rozwiązując odpowiedni układ równań liniowych.
Istnieje inny sposób rozwiązania tego problemu, gdy można znaleźć podstawę za pomocą współrzędnych.
Współrzędne przestrzenne nie są współrzędnymi na płaszczyźnie, ponieważ są powiązane relacją, to znaczy nie są niezależne. Zmienne niezależne i (nazywane są wolnymi) jednoznacznie określają wektor na płaszczyźnie i dlatego można je wybrać jako współrzędne w . Wtedy baza składa się z wektorów leżących i odpowiadających zbiorom zmiennych wolnych i , czyli .
Zadanie 5. Znajdź podstawę i współrzędne wektorów w tej bazie na zbiorze wszystkich wektorów w przestrzeni , których współrzędne nieparzyste są sobie równe.
Rozwiązanie. Wybieramy, podobnie jak w poprzednim zadaniu, współrzędne w przestrzeni.
Ponieważ , wolne zmienne jednoznacznie określają wektor z, a zatem są współrzędnymi. Odpowiednia baza składa się z wektorów .
Zadanie 6. Znajdź podstawę i współrzędne wektorów w tej podstawie na zbiorze wszystkich macierzy postaci , gdzie są dowolne liczby.
Rozwiązanie. Każda macierz z może być jednoznacznie reprezentowana jako:
Relacja ta jest rozwinięciem wektora względem podstawy o współrzędnych .
Zadanie 7. Znajdź wymiar i podstawę rozpiętości liniowej układu wektorów
Rozwiązanie. Za pomocą EPS przekształcamy macierz ze współrzędnych wektorów układu do postaci schodkowo-trójkątnej.
Kolumny ostatniej macierzy są liniowo niezależne, a kolumny są przez nie wyrażane liniowo. Dlatego wektory tworzą podstawę , i .
Komentarz. Podstawa jest wybrana niejednoznacznie. Na przykład wektory również tworzą podstawę.
Zadanie. Oddział pionierów wyruszył z miasta na kampanię. Teraz jest w środku
5 km od miasta i jedzie z prędkością 3 km na godzinę. Jak daleko od miasta będzie za x godzin?
Rozwiązanie. Za x godzin oddział pokona kilometry, a jeszcze wcześniej przejechał 5 km. Zatem po x godzinach odległość od miasta będzie równa kilometrom. Oznaczając tę odległość przez y, będziemy mieli;
Ta równość wyraża zależność drogi od czasu, ale nie będzie to już zależność wprost proporcjonalna, jak łatwo zauważyć z poniższej tabeli
Stosunek drogi do czasu nie jest tutaj równy tej samej liczbie.
Definicja. Związek między dwiema wielkościami x i y, wyrażony wzorem, w którym k i są liczbami, nazywa się związkiem liniowym.
W szczególności, jeśli wtedy
Stąd zależność wprost proporcjonalna jest szczególnym przypadkiem zależności liniowej.
2. Wykres zależności liniowej.
Zbudujmy wykres dowolnej zależności liniowej; załóżmy np.
Postępujmy następująco. Najpierw zbudujmy wykres zależności.
Będzie to linia prosta przechodząca przez początek (ryc. 26).
Zobaczmy, jak będą się one znajdować względem tego prostego punktu liniowego wykresu zależności:
Na przykład utwórzmy tabelę wartości x i y:
Widzimy, że dla dowolnej osi odciętych rzędna punktu drugiego wykresu jest o 3 jednostki większa niż rzędna punktu pierwszego wykresu. Oznacza to, że odpowiedni punkt drugiego wykresu będzie o 3 jednostki wyższy niż punkt pierwszego.
Po zbudowaniu tych punktów otrzymujemy linię prostą równoległą do pierwszej prostej (ryc. 26).
Wykres liniowy to linia prosta.
Wynika z tego, że aby skonstruować wykres zależności liniowej, wystarczy znaleźć dwa jego punkty.
Pokażmy to na przykładzie.
Stawiając otrzymujemy . Znaleźliśmy więc jeden punkt. Stawiając więcej otrzymujemy drugi punkt (2; 7). Konstruując te punkty i przeciągając przez nie linię prostą, otrzymujemy pożądany wykres, czyli wykres zależności liniowej wyrażonej wzorem
Zwykle, aby zbudować liniowy wykres zależności, przyjmuje się dwa punkty, w których linia prosta przecina osie współrzędnych. A więc zakładając, że dostajemy Zakładając, że dostajemy Rysując linię prostą przechodzącą przez punkty, otrzymujemy żądany wykres (Rys. 27).