Niech dane będą dwie proste i należy znaleźć ich punkt przecięcia. Ponieważ punkt ten należy do każdej z dwóch podanych prostych, jego współrzędne muszą spełniać zarówno równanie pierwszej prostej, jak i równanie drugiej prostej.
Aby więc znaleźć współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych, należy rozwiązać układ równań
Przykład 1. Znajdź punkt przecięcia linii i
Rozwiązanie. Znajdziemy współrzędne pożądanego punktu przecięcia, rozwiązując układ równań
Punkt przecięcia M ma współrzędne
Pokażmy, jak skonstruować prostą z jej równania. Aby narysować linię, wystarczy znać dwa jej punkty. Aby wykreślić każdy z tych punktów, nadajemy dowolną wartość jednej z jego współrzędnych, a następnie z równania znajdujemy odpowiednią wartość drugiej współrzędnej.
Jeżeli w ogólnym równaniu prostej oba współczynniki przy aktualnych współrzędnych nie są równe zeru, to aby skonstruować tę prostą, najlepiej jest znaleźć punkty jej przecięcia z osiami współrzędnych.
Przykład 2. Skonstruuj linię prostą.
Rozwiązanie. Znajdź punkt przecięcia tej prostej z osią x. Aby to zrobić, rozwiązujemy razem ich równania:
i dostajemy. W ten sposób znaleziono punkt M (3; 0) przecięcia tej prostej z osią odciętych (ryc. 40).
Rozwiązując następnie łącznie równanie danej prostej i równanie osi y
znajdujemy punkt przecięcia linii z osią y. Na koniec konstruujemy prostą z jej dwóch punktów M i
Oh-oh-oh-oh-oh… no to blado, jakbyś sobie czytała zdanie =) Jednak wtedy relaks pomoże, tym bardziej, że kupiłam dzisiaj odpowiednie akcesoria. Dlatego przejdźmy do pierwszej części, mam nadzieję, że do końca artykułu zachowam pogodny nastrój.
Wzajemny układ dwóch linii prostych
Przypadek, gdy sala śpiewa w refrenie. Dwie linie mogą:
1) dopasowanie;
2) być równoległe: ;
3) lub przecinają się w jednym punkcie: .
Pomoc dla debili : proszę pamiętać o matematycznym znaku skrzyżowania, będzie się on pojawiał bardzo często. Wpis oznacza, że prosta przecina się z prostą w punkcie.
Jak określić względną pozycję dwóch linii?
Zacznijmy od pierwszego przypadku:
Dwie linie pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich odpowiednie współczynniki są proporcjonalne, czyli istnieje taka liczba „lambda”, że równości
Rozważmy proste i ułóżmy trzy równania z odpowiadających im współczynników: . Z każdego równania wynika zatem, że linie te pokrywają się.
Rzeczywiście, jeśli wszystkie współczynniki równania 
pomnóż przez -1 (zmień znaki) i wszystkie współczynniki równania 
zmniejsz o 2, otrzymasz to samo równanie: .
Drugi przypadek, gdy proste są równoległe:
Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki przy zmiennych są proporcjonalne: 
, Ale.
Jako przykład rozważmy dwie linie proste. Sprawdzamy proporcjonalność odpowiednich współczynników dla zmiennych: 
Jednak jasne jest, że .
I trzeci przypadek, gdy linie się przecinają:
Dwie linie przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych NIE są proporcjonalne, czyli NIE istnieje taka wartość "lambda" aby równości były spełnione 
Tak więc dla prostych ułożymy układ: 
Z pierwszego równania wynika, że , a z drugiego równania: , stąd system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem współczynniki przy zmiennych nie są proporcjonalne.
Wniosek: linie przecinają się
W praktycznych problemach można zastosować właśnie rozważany schemat rozwiązania. Nawiasem mówiąc, jest bardzo podobny do algorytmu sprawdzania współliniowości wektorów, który rozważaliśmy na lekcji. Pojęcie liniowej (nie)zależności wektorów. Podstawa wektorowa. Ale jest bardziej cywilizowany pakiet:
Przykład 1
Znajdź względne położenie linii: 
Rozwiązanie na podstawie badania wektorów kierujących liniami prostymi:
a) Z równań znajdujemy wektory kierunkowe linii: 
.
, więc wektory nie są współliniowe i proste się przecinają.
Na wszelki wypadek postawię kamień ze wskazówkami na skrzyżowaniu:
Reszta przeskakuje przez kamień i idzie dalej, prosto do Kashchei Nieśmiertelnego =)
b) Znajdź wektory kierunkowe prostych: 
Proste mają ten sam wektor kierunku, co oznacza, że są albo równoległe, albo takie same. Tutaj wyznacznik nie jest konieczny.
Oczywiście współczynniki niewiadomych są proporcjonalne, natomiast .
Sprawdźmy, czy równość jest prawdziwa: 
Zatem,
c) Znajdź wektory kierunkowe prostych: 
Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów: 
, zatem wektory kierunkowe są współliniowe. Linie są równoległe lub pokrywają się.
Współczynnik proporcjonalności „lambda” można łatwo zobaczyć bezpośrednio ze stosunku współliniowych wektorów kierunkowych. Jednak można to również znaleźć za pomocą współczynników samych równań: 
.
Sprawdźmy teraz, czy równość jest prawdziwa. Oba wolne terminy są zerowe, więc:
Otrzymana wartość spełnia to równanie (zwykle spełnia je dowolna liczba).
W ten sposób linie się pokrywają.
Odpowiedź:
Bardzo szybko nauczysz się (lub już się nauczyłeś) rozwiązywać rozważany problem ustnie dosłownie w ciągu kilku sekund. Pod tym względem nie widzę powodu, aby oferować coś za samodzielne rozwiązanie, lepiej dołożyć jeszcze jedną ważną cegiełkę w geometrycznym fundamencie:
Jak narysować linię równoległą do danej?
Za nieznajomość tego najprostszego zadania Słowik Rozbójnik surowo karze.
Przykład 2
Linię prostą określa równanie . Napisz równanie prostej równoległej przechodzącej przez ten punkt.
Rozwiązanie: Oznacz nieznaną linię literą . Co mówi o tym warunek? Linia przechodzi przez punkt. A jeśli proste są równoległe, to oczywiste jest, że wektor kierunkowy prostej „ce” nadaje się również do zbudowania prostej „te”.
Wyciągamy wektor kierunkowy z równania:
Odpowiedź:
Geometria przykładu wygląda prosto: 
Weryfikacja analityczna składa się z następujących kroków:
1) Sprawdzamy, czy proste mają ten sam wektor kierunkowy (jeśli równanie prostej nie zostanie odpowiednio uproszczone, to wektory będą współliniowe).
2) Sprawdź, czy punkt spełnia wynikowe równanie.
Weryfikacja analityczna w większości przypadków jest łatwa do przeprowadzenia werbalnie. Przyjrzyj się dwóm równaniom, a wielu z was szybko odkryje, w jaki sposób linie są równoległe bez żadnego rysowania.
Przykłady samodzielnego rozwiązania dzisiaj będą kreatywne. Bo ciągle trzeba rywalizować z Babą Jagą, a ona, wiadomo, jest miłośniczką wszelkiego rodzaju zagadek.
Przykład 3
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do prostej if
Istnieje racjonalny i niezbyt racjonalny sposób rozwiązania. Najkrótsza droga znajduje się na końcu lekcji.
Popracowaliśmy trochę nad liniami równoległymi i wrócimy do nich później. Przypadek zbiegających się linii jest mało interesujący, więc rozważmy problem, który jest ci dobrze znany ze szkolnego programu nauczania:
Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch prostych?
Jeśli prosto 
przecinają się w punkcie , to jego współrzędne są rozwiązaniem układy równań liniowych 
Jak znaleźć punkt przecięcia prostych? Rozwiąż system.
Twoje zdrowie znaczenie geometryczne układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi to dwie przecinające się (najczęściej) linie proste na płaszczyźnie.
Przykład 4
Znajdź punkt przecięcia prostych
Rozwiązanie: Istnieją dwa sposoby rozwiązania - graficzny i analityczny.
Graficzny sposób polega po prostu na narysowaniu podanych linii i znalezieniu punktu przecięcia bezpośrednio z rysunku: 
Oto nasz punkt: . Aby to sprawdzić, należy podstawić jego współrzędne do każdego równania prostej, powinny one pasować zarówno tam, jak i tam. Innymi słowy, współrzędne punktu są rozwiązaniem układu. W rzeczywistości rozważaliśmy graficzny sposób rozwiązania układy równań liniowych z dwoma równaniami, dwiema niewiadomymi.
Metoda graficzna oczywiście nie jest zła, ale zauważalne są wady. Nie, nie chodzi o to, że siódmoklasiści decydują w ten sposób, chodzi o to, że zrobienie poprawnego i DOKŁADNEGO rysunku zajmie trochę czasu. Ponadto niektóre linie nie są tak łatwe do skonstruowania, a sam punkt przecięcia może znajdować się gdzieś w trzydziestym królestwie poza arkuszem zeszytu.
Dlatego bardziej celowe jest poszukiwanie punktu przecięcia metodą analityczną. Rozwiążmy układ: 
Do rozwiązania układu wykorzystano metodę dodawania równań wyrazami. Aby rozwinąć odpowiednie umiejętności, odwiedź lekcję Jak rozwiązać układ równań?
Odpowiedź:
Weryfikacja jest banalna - współrzędne punktu przecięcia muszą spełniać każde równanie układu.
Przykład 5
Znajdź punkt przecięcia prostych, jeśli się przecinają.
To jest przykład zrób to sam. Zadanie można wygodnie podzielić na kilka etapów. Analiza warunku sugeruje, że konieczne jest:
1) Napisz równanie prostej.
2) Napisz równanie prostej.
3) Znajdź względne położenie linii.
4) Jeśli linie się przecinają, znajdź punkt przecięcia.
Opracowanie algorytmu działania jest typowe dla wielu problemów geometrycznych i będę się na tym wielokrotnie koncentrował.
Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu samouczka:
Para butów nie została jeszcze zużyta, ponieważ przeszliśmy do drugiej części lekcji:
Prostopadłe linie. Odległość od punktu do linii.
Kąt między liniami
Zacznijmy od typowego i bardzo ważnego zadania. W pierwszej części nauczyliśmy się budować prostą równoległą do podanej, a teraz chatka na kurzych nóżkach obróci się o 90 stopni:
Jak narysować linię prostopadłą do danej?
Przykład 6
Linię prostą określa równanie . Napisz równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt.
Rozwiązanie: Wiadomo z założenia, że . Byłoby miło znaleźć wektor kierunkowy linii prostej. Ponieważ linie są prostopadłe, sztuczka jest prosta:
Z równania „usuwamy” wektor normalny: , który będzie wektorem kierunkowym prostej.
Tworzymy równanie prostej przez punkt i wektor kierunkowy:
Odpowiedź: 
Rozłóżmy szkic geometryczny:
Hmmm... Pomarańczowe niebo, pomarańczowe morze, pomarańczowy wielbłąd.
Analityczna weryfikacja rozwiązania:
1) Wyodrębnij wektory kierunkowe z równań 
i z pomocą iloczyn skalarny wektorów wnioskujemy, że proste są rzeczywiście prostopadłe: .
Nawiasem mówiąc, możesz użyć normalnych wektorów, jest to jeszcze łatwiejsze.
2) Sprawdź, czy punkt spełnia wynikowe równanie 
.
Weryfikacja jest łatwa do przeprowadzenia ustnie.
Przykład 7
Znajdź punkt przecięcia prostych prostopadłych, jeśli równanie jest znane 
i kropka.
To jest przykład zrób to sam. W zadaniu jest kilka działań, więc wygodnie jest ułożyć rozwiązanie punkt po punkcie.
Nasza ekscytująca podróż trwa:
Odległość od punktu do linii
Przed nami prosty pas rzeki i naszym zadaniem jest dotarcie do niego jak najkrótszą drogą. Nie ma żadnych przeszkód, a najbardziej optymalną trasą będzie poruszanie się po prostopadłości. Oznacza to, że odległość od punktu do linii jest długością odcinka prostopadłego.
Odległość w geometrii jest tradycyjnie oznaczana grecką literą „ro”, na przykład: - odległość od punktu „em” do linii prostej „de”.
Odległość od punktu do linii 
wyraża się wzorem
Przykład 8
Znajdź odległość od punktu do prostej 
Rozwiązanie: wszystko, czego potrzebujesz, to ostrożnie podstawić liczby do wzoru i wykonać obliczenia:
Odpowiedź: 
Wykonajmy rysunek: 
Odległość znaleziona od punktu do linii jest dokładnie równa długości czerwonego odcinka. Jeśli wykonasz rysunek na papierze w kratkę w skali 1 jednostki. \u003d 1 cm (2 komórki), wtedy odległość można zmierzyć zwykłą linijką.
Rozważ inne zadanie według tego samego rysunku:
Zadanie polega na znalezieniu współrzędnych punktu , który jest symetryczny do punktu względem prostej 
. Proponuję wykonać działania we własnym zakresie, jednak nakreślę algorytm rozwiązania z wynikami pośrednimi:
1) Znajdź prostą prostopadłą do prostej.
2) Znajdź punkt przecięcia linii: 
.
Obie akcje są szczegółowo omówione w tej lekcji.
3) Punkt jest środkiem odcinka. Znamy współrzędne środka i jednego z końców. Przez wzory na współrzędne środka odcinka znajdować .
Sprawdzenie, czy odległość jest również równa 2,2 jednostki, nie będzie zbędne.
Tutaj mogą pojawić się trudności w obliczeniach, ale w wieży bardzo pomaga mikrokalkulator, który pozwala liczyć ułamki zwykłe. Doradzałem wiele razy i będę polecał ponownie.
Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?
Przykład 9
Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami
To kolejny przykład niezależnego rozwiązania. Mała podpowiedź: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania. Odprawa na koniec lekcji, ale lepiej spróbuj sam zgadnąć, myślę, że udało ci się dobrze rozproszyć swoją pomysłowość.
Kąt między dwiema liniami
Niezależnie od rogu, to oścież: 
W geometrii kąt między dwiema liniami prostymi jest traktowany jako KĄT MNIEJSZY, z czego automatycznie wynika, że nie może być rozwarty. Na rysunku kąt wskazany czerwonym łukiem nie jest uważany za kąt między przecinającymi się liniami. A jego „zielony” sąsiad lub zorientowane przeciwnie karmazynowy kącik.
Jeśli linie są prostopadłe, to dowolny z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.
Czym różnią się kąty? Orientacja. Po pierwsze, kierunek „przewijania” rogu ma fundamentalne znaczenie. Po drugie, kąt skierowany ujemnie jest zapisywany ze znakiem minus, na przykład, jeśli .
Dlaczego to powiedziałem? Wydaje się, że można sobie poradzić ze zwykłą koncepcją kąta. Faktem jest, że we wzorach, za pomocą których znajdziemy kąty, łatwo można uzyskać wynik ujemny i nie powinno to nikogo dziwić. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzne znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego konieczne jest wskazanie jego orientacji (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) za pomocą strzałki.
Jak znaleźć kąt między dwiema liniami? Istnieją dwie formuły robocze:
Przykład 10
Znajdź kąt między liniami
Rozwiązanie I Metoda pierwsza
Rozważmy dwie proste określone równaniami w postaci ogólnej: 
Jeśli prosto nie prostopadłe, To zorientowany kąt między nimi można obliczyć ze wzoru: 
Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - to jest dokładnie to iloczyn skalarny wektory kierunkowe prostych:
Jeśli , to mianownik wzoru znika, a wektory będą ortogonalne, a proste będą prostopadłe. Dlatego zgłoszono zastrzeżenie co do nieprostopadłości linii w sformułowaniu.
W oparciu o powyższe rozwiązanie można wygodnie sformalizować w dwóch krokach:
1) Oblicz iloczyn skalarny wektorów kierujących liniami prostymi:
więc proste nie są prostopadłe.
2) Kąt między liniami znajdujemy według wzoru:
Korzystając z funkcji odwrotnej, łatwo jest znaleźć sam kąt. W tym przypadku używamy nieparzystości łuku tangensa (patrz ryc. Wykresy i własności funkcji elementarnych):
Odpowiedź: 
W odpowiedzi podajemy dokładną wartość, a także wartość przybliżoną (najlepiej zarówno w stopniach, jak i radianach), obliczoną za pomocą kalkulatora.
Cóż, minus, więc minus, jest w porządku. Oto ilustracja geometryczna: 
Nic dziwnego, że kąt okazał się mieć orientację ujemną, ponieważ w stanie problemu pierwsza liczba jest linią prostą i właśnie od niej zaczęło się „skręcanie” kąta.
Jeśli naprawdę chcesz uzyskać kąt dodatni, musisz zamienić proste, czyli wziąć współczynniki z drugiego równania 
i weź współczynniki z pierwszego równania . Krótko mówiąc, musisz zacząć od directa 
.
Linia prostopadła
To zadanie jest prawdopodobnie jednym z najpopularniejszych i najbardziej pożądanych w podręcznikach szkolnych. Zadania oparte na tym temacie są wielorakie. To jest definicja punktu przecięcia dwóch prostych, to jest definicja równania prostej przechodzącej przez punkt na pierwotnej linii pod dowolnym kątem.
Omówimy ten temat, wykorzystując w naszych obliczeniach dane uzyskane za pomocą
Tam właśnie rozważano przekształcenie ogólnego równania prostej na równanie ze współczynnikiem kierunkowym i odwrotnie oraz wyznaczenie pozostałych parametrów prostej zgodnie z zadanymi warunkami.
Czego nam brakuje do rozwiązania problemów, którym poświęcona jest ta strona?
1. Wzory do obliczania jednego z kątów między dwiema przecinającymi się liniami.
Jeżeli mamy dwie linie proste dane równaniami:
wtedy jeden z kątów jest obliczany w następujący sposób:
2. Równanie prostej o nachyleniu przechodzącym przez dany punkt
Ze wzoru 1 widzimy dwa stany graniczne
a) kiedy wtedy i zatem te dwie dane proste są równoległe (lub pokrywają się)
b) kiedy , wtedy , a zatem proste te są prostopadłe, to znaczy przecinają się pod kątem prostym.
Jakie mogą być początkowe dane do rozwiązania takich problemów, z wyjątkiem danej linii prostej?
Punkt na prostej i kąt, pod jakim przecina go druga prosta
Drugie równanie prostej
Jakie zadania może rozwiązać bot?
1. Dane są dwie proste (jawnie lub pośrednio, na przykład przez dwa punkty). Oblicz punkt przecięcia i kąty pod którymi się przecinają.
2. Biorąc pod uwagę jedną prostą, punkt na prostej i jeden kąt. Wyznacz równanie prostej, która przecina daną prostą pod określonym kątem
Przykłady
Dwie proste są dane równaniami. Znajdź punkt przecięcia tych prostych i kąty pod którymi się przecinają
linia_p A=11;B=-5;C=6,k=3/7;b=-5
Otrzymujemy następujący wynik
Równanie pierwszej linii
y = 2,2 x + (1,2)
Równanie drugiej linii
y = 0,4285714285714 x + (-5)
Kąt przecięcia dwóch prostych (w stopniach)
-42.357454705937
Punkt przecięcia dwóch prostych
x=-3,5
y=-6,5
Nie zapominaj, że parametry dwóch linii są oddzielone przecinkiem, a parametry każdej linii średnikiem.
Linia przechodzi przez dwa punkty (1:-4) i (5:2) . Znajdź równanie prostej, która przechodzi przez punkt (-2:-8) i przecina pierwotną linię pod kątem 30 stopni.
Jedna linia prosta jest nam znana, ponieważ znane są dwa punkty, przez które przechodzi.
Pozostaje określić równanie drugiej linii prostej. Jeden punkt jest nam znany, a zamiast drugiego wskazany jest kąt, pod którym pierwsza linia przecina drugą.
Wszystko wydaje się być znane, ale najważniejsze jest, aby się nie pomylić. Mówimy o kącie (30 stopni) nie między osią x a prostą, ale między pierwszą a drugą prostą.
W tym celu publikujemy w ten sposób. Ustalmy parametry pierwszej linii i dowiedzmy się, pod jakim kątem przecina ona oś x.
prosta xa=1;xb=5;ya=-4;yb=2
Równanie ogólne Ax+By+C = 0
Współczynnik A = -6
Współczynnik B = 4
Współczynnik C = 22
Współczynnik a= 3,6666666666667
Współczynnik b = -5,5
Współczynnik k = 1,5
Kąt nachylenia do osi (w stopniach) f = 56,309932474019
Współczynnik p = 3,0508510792386
Współczynnik q = 2,5535900500422
Odległość między punktami=7,211102550928
Widzimy, że pierwsza linia przecina oś pod kątem 56,309932474019 stopni.
Dane źródłowe nie mówią dokładnie, w jaki sposób druga linia przecina pierwszą. W końcu można narysować dwie linie spełniające warunki, pierwszą obróconą o 30 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a drugą o 30 stopni przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Policzmy je
Jeśli druga linia zostanie obrócona o 30 stopni W LEWO, to druga linia będzie miała pewien stopień przecięcia z osią x 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 stopni
linia_p xa=-2;ya=-8;f=86,309932474019
Parametry linii prostej zgodnie z podanymi parametrami
Równanie ogólne Ax+By+C = 0
Współczynnik A = 23,011106998916
Współczynnik B = -1,4840558255286
Współczynnik C = 34,149767393603
Równanie prostej w odcinkach x/a+y/b = 1
Współczynnik a= -1,4840558255286
Współczynnik b = 23,011106998916
Równanie prostej o współczynniku kątowym y = kx + b
Współczynnik k = 15,505553499458
Kąt nachylenia do osi (w stopniach) f = 86,309932474019
Równanie normalne prostej x*cos(q)+y*sin(q)-p = 0
Współczynnik p = -1,4809790664999
Współczynnik q = 3,0771888256405
Odległość między punktami=23,058912962428
Odległość od punktu do linii li =
to znaczy, że nasze równanie drugiego wiersza to y= 15.505553499458x+ 23.011106998916
Punkt przecięcia linii
Dajmy sobie dane dwie linie proste określone przez ich współczynniki i . Konieczne jest znalezienie ich punktu przecięcia lub stwierdzenie, że proste są równoległe.
Rozwiązanie
Jeśli dwie proste nie są równoległe, to się przecinają. Aby znaleźć punkt przecięcia wystarczy ułożyć układ dwóch równań prostych i go rozwiązać:
Korzystając ze wzoru Cramera, od razu znajdujemy rozwiązanie układu, które będzie pożądane punkt przecięcia:
Jeżeli mianownik wynosi zero, tj.
wtedy system rozwiązań nie ma (direct są równoległe i nie pokrywają się) lub ma nieskończenie wiele (bezpośrednie mecz). Jeśli konieczne jest rozróżnienie tych dwóch przypadków, należy sprawdzić, czy współczynniki prostych są proporcjonalne z tym samym współczynnikiem proporcjonalności co współczynniki i , dla których wystarczy obliczyć dwa wyznaczniki, jeśli oba są równe do zera, to linie pokrywają się:
Realizacja
struct pt (podwójne x, y;); linia struktury (podwójne a, b, c;); constdouble EPS=1e-9; double det (double a, double b, double c, double d)(return a * d - b * c;) bool przecięcie (prosta m, prosta n, pt & res)(double zn = det (m.a, m.b, n.a , n.b);if(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}
Lekcja z serii " Algorytmy geometryczne»
Witaj drogi czytelniku.
Wskazówka 1: Jak znaleźć współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych
Napiszmy jeszcze trzy nowe funkcje.
Funkcja LinesCross() określi, czy przecinać czy dwa człon. W nim względne położenie segmentów jest określane za pomocą produktów wektorowych. Aby obliczyć iloczyn wektorowy, napiszmy funkcję - VektorMulti().
Funkcja RealLess() zostanie wykorzystana do zaimplementowania operacji porównania „<” (строго меньше) для вещественных чисел.
Zadanie 1. Dwa segmenty są określone przez ich współrzędne. Napisz program, który określa Czy te odcinki się przecinają? bez znalezienia punktu przecięcia.
Rozwiązanie
. Drugi jest podany przez kropki.
Rozważmy segment i punkty oraz .
Punkt leży na lewo od linii, dla której iloczyn wektorowy 
> 0, ponieważ wektory są zorientowane dodatnio.
Punkt znajduje się na prawo od linii, jest to iloczyn wektorowy< 0, так как векторы отрицательно ориентированы.
Aby punkty i , leżały po przeciwnych stronach prostej , wystarczy spełnić warunek< 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).
Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla segmentu i punktów oraz .
Więc jeśli 
, to odcinki się przecinają.
Aby sprawdzić ten warunek, używana jest funkcja LinesCross(), a do obliczania iloczynów wektorowych używana jest funkcja VektorMulti().
ax, ay to współrzędne pierwszego wektora,
bx, by to współrzędne drugiego wektora.
Geometria programu4; (Czy 2 odcinki się przecinają?) Const _Eps: Real=1e-4; (dokładność obliczeń) var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: rzeczywista; var v1,v2,v3,v4: real;funkcja RealLess(Const a, b: Real): Boolean; (Ściśle mniej niż) rozpocząć RealLess:= b-a> _Eps koniec; (RealLess)function VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): real; (ax,ay - współrzędne a bx,by - współrzędne b) begin vektormulti:= ax*by-bx*ay; koniec;Linie funkcyjneKrzyż(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:rzeczywiste): wartość logiczna; (Czy odcinki się przecinają?) begin v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vectormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vectormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vectormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); jeśli RealLess(v1*v2.0) i RealLess(v3*v4.0) (v1v2<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.
Wyniki realizacji programu:
Podaj współrzędne odcinków: -1 1 2 2,52 2 1 -1 3
Tak.
Napisaliśmy program, który określa, czy odcinki określone przez ich współrzędne przecinają się.
W następnej lekcji napiszemy algorytm, za pomocą którego można określić, czy punkt leży wewnątrz trójkąta.
Drogi Czytelniku.
Przeczytałeś już kilka lekcji z serii Algorytmy geometryczne. Czy wszystko, co jest dostępne, jest napisane? Będę bardzo wdzięczny za pozostawienie opinii na temat tych lekcji. Być może coś jeszcze trzeba poprawić.
Z poważaniem Wiera Gospodarec.
Niech dane będą dwa segmenty. Pierwszy jest podany przez kropki P 1 (x 1 ; y 1) I P 2 (x 2 ; y 2). Drugi jest podany przez kropki P 3 (x 3 ; y 3) I P 4 (x 4 ; y 4).
Względne położenie segmentów można sprawdzić za pomocą iloczynów wektorowych: 
Rozważ segment P 3 P 4 i punkty P1 I P2.
Kropka P1 leży po lewej stronie linii P 3 P 4, dla niego iloczyn wektorowy v1 > 0, ponieważ wektory są zorientowane dodatnio.
Kropka P2 znajduje się na prawo od linii, dla niej iloczyn wektorowy v2< 0
, ponieważ wektory są zorientowane ujemnie.
Wskazać P1 I P2 leżą po przeciwnych stronach linii prostej P 3 P 4, wystarczy warunek v 1 v 2< 0 (produkty wektorowe miały przeciwne znaki).
Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla segmentu P 1 P 2 i punkty P3 I P4.
Więc jeśli v 1 v 2< 0 I v 3 v 4< 0 , to odcinki się przecinają.
Iloczyn krzyżowy dwóch wektorów oblicza się według wzoru:
Gdzie:
topór, tak to współrzędne pierwszego wektora,
bx, przez są współrzędnymi drugiego wektora.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty określone przez ich współrzędne.
Niech dane będą dwa nie pokrywające się punkty na linii prostej: P1 ze współrzędnymi ( x1;y1) I P2 ze współrzędnymi (x 2 ; y 2).
Przecięcie linii
W związku z tym wektor o początku w punkcie P1 i zakończyć w punkcie P2 ma współrzędne (x 2 -x 1, y 2 - y 1). Jeśli P(x, y) jest dowolnym punktem na linii, a następnie współrzędnymi wektora P 1 P równy (x - x 1, y - y 1).
Za pomocą iloczynu krzyżowego warunek współliniowości wektorów P 1 P I P 1 P 2 można zapisać tak:
|P 1 P, P 1 P 2 |=0, tj. (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
Lub
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0
Ostatnie równanie przepisuje się w następujący sposób:
topór + przez + do = 0, (1)
Gdzie
za \u003d (y 2 -y 1),
b \u003d (x 1 -x 2),
c \u003d x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1)
Tak więc linię prostą można wyznaczyć równaniem postaci (1).
Jak znaleźć punkt przecięcia prostych?
Oczywistym rozwiązaniem jest rozwiązanie układu równań prostych:
topór 1 +o 1 =-c 1
topór 2 +o 2 =-c 2 (2)
Wpisz oznaczenia:
Tutaj D jest wyznacznikiem systemu i D x , D y to wyznaczniki otrzymane przez zastąpienie kolumny współczynników odpowiadającej niewiadomej kolumną wyrazów wolnych. Jeśli D ≠ 0, to układ (2) jest określony, to znaczy ma jednoznaczne rozwiązanie. To rozwiązanie można znaleźć za pomocą następujących wzorów: x 1 \u003d D x / D, y 1 \u003d D y / D, które nazywane są wzorami Cramera. Małe przypomnienie, jak obliczany jest wyznacznik drugiego rzędu. Wyznacznik rozróżnia dwie przekątne: główną i drugorzędną. Główna przekątna składa się z elementów pobranych w kierunku od lewego górnego rogu wyznacznika do prawego dolnego rogu. Boczna przekątna - od prawego górnego rogu do lewego dolnego. Wyznacznik drugiego rzędu jest równy iloczynowi elementów głównej przekątnej minus iloczyn elementów drugorzędnej przekątnej.
Jeśli prosto
leżeć więc w tej samej płaszczyźnie
lub w postaci wektorowej
I odwrotnie, jeśli spełniony jest warunek (3), to proste leżą w tej samej płaszczyźnie.
Wyjaśnienie. Jeśli linie (1) i (2) leżą w tej samej płaszczyźnie, to linia leży w tej ostatniej (ryc. 177), to znaczy wektory są współpłaszczyznowe (i odwrotnie). To właśnie wyraża równanie (3) (zob. § 120).
Komentarz. Jeśli (w tym przypadku (3) jest koniecznie spełnione), to proste są równoległe. W przeciwnym razie proste spełniające warunek (3) przecinają się.
Przykład. Określ, czy proste się przecinają
a jeśli tak, to w którym momencie.
Rozwiązanie. Proste (1) i (2) leżą w tej samej płaszczyźnie, ponieważ wyznacznik (3), równy znika. Linie te nie są równoległe (czynniki przewodnie nie są proporcjonalne). Aby znaleźć punkt przecięcia, należy rozwiązać układ czterech równań (1), (2) z trzema niewiadomymi. Z reguły taki układ nie ma rozwiązań, ale w tym przypadku (dzięki spełnieniu warunku (3)) rozwiązanie istnieje. Po rozwiązaniu układu dowolnych trzech równań otrzymujemy Czwarte równanie jest spełnione. Punkt przecięcia (1; 2; 3).