محور هذه المقالة قسمة الأعداد السالبة. أولاً ، يتم إعطاء قاعدة قسمة رقم سالب على رقم سالب ، ومبرراته ، ومن ثم يتم إعطاء أمثلة لتقسيم الأرقام السالبة مع وصف مفصل للحلول.
التنقل في الصفحة.
حكم قسمة الأعداد السالبة
قبل إعطاء قاعدة قسمة الأعداد السالبة ، لنتذكر معنى إجراء القسمة. يمثل التقسيم في جوهره إيجاد عامل غير معروف بمنتج معروف وعامل آخر معروف. أي أن الرقم c هو حاصل قسمة a على b عندما يكون c b = a ، والعكس صحيح ، إذا كان c b = a ، فإن a: b = c.
حكم قسمة الأعداد السالبةما يلي: حاصل قسمة عدد سالب على آخر يساوي حاصل قسمة البسط على مقياس المقام.
دعنا نكتب القاعدة الصوتية باستخدام الحروف. إذا كانت a و b أرقامًا سالبة ، فإن المساواة أ: ب = | أ |: | ب | .
من السهل إثبات المساواة أ: ب = أ ب −1 ، بدءًا من خصائص مضاعفة الأعداد الحقيقيةوتعريفات الأرقام المتبادلة. في الواقع ، على هذا الأساس ، يمكن للمرء أن يكتب سلسلة من المساواة في النموذج (أ ب −1) ب = أ (ب −1 ب) = أ 1 = أ، والذي ، بحكم معنى التقسيم المذكور في بداية المقال ، يثبت أن أ · ب - 1 هو حاصل قسمة أ على ب.
وهذه القاعدة تسمح لك بالانتقال من قسمة الأعداد السالبة إلى الضرب.
يبقى النظر في تطبيق القواعد المدروسة لقسمة الأرقام السالبة عند حل الأمثلة.
أمثلة على قسمة الأعداد السالبة
دعنا نحلل أمثلة على قسمة الأعداد السالبة. لنبدأ بالحالات البسيطة التي سنعمل فيها على تطبيق قاعدة القسمة.
مثال.
اقسم الرقم السالب −18 على الرقم السالب −3 ، ثم احسب حاصل القسمة (−5): (- 2).
حل.
وفقًا لقاعدة قسمة الأرقام السالبة ، فإن حاصل قسمة 18 على −3 يساوي حاصل قسمة معاملات هذه الأرقام. منذ | −18 | = 18 و | −3 | = 3 ، إذن (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 ، يبقى فقط لأداء قسمة الأعداد الطبيعية ، لدينا 18: 3 = 6.
نحل الجزء الثاني من المشكلة بنفس الطريقة. منذ | −5 | = 5 و | −2 | = 2 ، إذن (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . يتوافق حاصل القسمة هذا مع كسر عادي 5/2 ، والذي يمكن كتابته في صورة عدد كسري.
يتم الحصول على نفس النتائج باستخدام قاعدة مختلفة لقسمة الأرقام السالبة. في الواقع ، الرقم −3 هو الرقم عكسيًا إذن 
الآن نقوم بضرب الأعداد السالبة: 
. على نفس المنوال، .
إجابة:
(18): (- 3) = 6 و 
.
عند قسمة الأعداد المنطقية الكسرية ، من الأنسب العمل مع الكسور العادية. ولكن ، إذا كان ذلك مناسبًا ، يمكنك قسمة الكسور العشرية والنهائية.
مثال.
قسّم الرقم -0.004 على -0.25.
حل.
وحدات المقسوم والمقسوم عليها 0.004 و 0.25 على التوالي ، ثم وفقًا لقاعدة قسمة الأرقام السالبة ، لدينا (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .
- أو إجراء قسمة الكسور العشرية على عمود ،
- أو انتقل من الكسور العشرية إلى الكسور العادية ، ثم اقسم الكسور العادية المقابلة.
دعونا نلقي نظرة على كلا النهجين.
لقسمة 0.004 على 0.25 في عمود ، انقل رقم الفاصلة 2 أولاً إلى اليمين ، مع قسمة 0.4 على 25. الآن نقوم بالقسمة على عمود: 
إذن 0.004: 0.25 = 0.016.
والآن دعونا نوضح كيف سيبدو الحل إذا قررنا تحويل الكسور العشرية إلى كسور عادية. لأن 
وثم 
، وتنفيذها
تقدم هذه المقالة نظرة عامة مفصلة قسمة الأرقام بعلامات مختلفة. أولاً ، يتم إعطاء قاعدة قسمة الأرقام ذات العلامات المختلفة. فيما يلي أمثلة على قسمة الأرقام الموجبة على الأعداد السالبة والسالبة على الأعداد الموجبة.
التنقل في الصفحة.
حكم قسمة الأرقام بعلامات مختلفة
في تقسيم المقالة للأعداد الصحيحة ، تم الحصول على قاعدة قسمة الأعداد الصحيحة ذات العلامات المختلفة. يمكن تمديده إلى كل من الأرقام المنطقية والأرقام الحقيقية بتكرار جميع الحجج من المقالة المحددة.
لذا، قاعدة لقسمة الأرقام بعلامات مختلفةلها الصيغة التالية: من أجل قسمة رقم موجب على رقم سالب أو سالب على رقم موجب ، من الضروري تقسيم المقسوم على معامل المقسوم عليه ، ووضع علامة ناقص أمام الرقم الناتج.
نكتب قاعدة القسمة هذه باستخدام الحروف. إذا كان للرقمين a و b علامات مختلفة ، فإن الصيغة صحيحة أ: ب = - | أ |: | ب | .
من القاعدة التي يتم التعبير عنها ، يتضح أن نتيجة قسمة الأرقام ذات العلامات المختلفة هي رقم سالب. في الواقع ، بما أن معامل المقسوم ومعامل المقسوم عليه موجبان أكثر من الرقم ، فإن حاصل القسمة هو رقم موجب ، وعلامة الطرح تجعل هذا الرقم سالبًا.
لاحظ أن القاعدة المدروسة تقلل من قسمة الأعداد بعلامات مختلفة إلى قسمة الأعداد الموجبة.
يمكنك إعطاء صيغة أخرى لقاعدة قسمة الأرقام بعلامات مختلفة: لقسمة الرقم أ على الرقم ب ، تحتاج إلى ضرب الرقم أ في الرقم ب -1 ، مقلوب الرقم ب. إنه، أ: ب = أ ب −1 .
يمكن استخدام هذه القاعدة عندما يكون من الممكن تجاوز مجموعة الأعداد الصحيحة (حيث ليس لكل عدد صحيح معكوس). بمعنى آخر ، إنه قابل للتطبيق على مجموعة الأعداد المنطقية وكذلك على مجموعة الأعداد الحقيقية.
من الواضح أن قاعدة قسمة الأعداد بعلامات مختلفة تسمح لك بالانتقال من القسمة إلى الضرب.
يتم استخدام نفس القاعدة عند قسمة الأرقام السالبة.
يبقى أن نفكر في كيفية تطبيق هذه القاعدة لقسمة الأرقام ذات العلامات المختلفة في حل الأمثلة.
أمثلة على قسمة الأرقام بعلامات مختلفة
دعونا نفكر في حلول عدة خصائص أمثلة على قسمة الأرقام بعلامات مختلفةلفهم مبدأ تطبيق القواعد من الفقرة السابقة.
مثال.
اقسم الرقم السالب −35 على الرقم الموجب 7.
حل.
تنص قاعدة قسمة الأرقام بعلامات مختلفة أولاً على إيجاد وحدات المقسوم والمقسوم عليه. مقياس 35 هو 35 ومقياس 7 هو 7. الآن علينا قسمة مقياس المقسوم على مقياس المقسوم عليه ، أي علينا قسمة 35 على 7. بتذكر كيفية إجراء قسمة الأعداد الطبيعية ، نحصل على 35: 7 = 5. تبقى الخطوة الأخيرة من قاعدة قسمة الأرقام ذات العلامات المختلفة - ضع علامة ناقص أمام الرقم الناتج ، لدينا -5.
هنا الحل الكامل:.
يمكن للمرء أن ينطلق من صياغة مختلفة لقاعدة قسمة الأعداد بعلامات مختلفة. في هذه الحالة ، نجد أولًا الرقم المقلوب للمقسوم عليه 7. هذا الرقم هو الكسر الشائع 1/7. هكذا، . يبقى القيام بضرب الأرقام بعلامات مختلفة:. من الواضح أننا توصلنا إلى نفس النتيجة.
إجابة:
(−35):7=−5 .
مثال.
احسب حاصل القسمة 8: (- 60).
حل.
بقاعدة قسمة الأعداد بعلامات مختلفة ، لدينا 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60)
. التعبير الناتج يتوافق مع كسر عادي سالب (انظر علامة القسمة على شكل شريط كسر) ، يمكنك تقليل الكسر بمقدار 4 ، نحصل على 
.
نكتب الحل الكامل باختصار:.
إجابة:
.
عند قسمة الأعداد المنطقية الكسرية بعلامات مختلفة ، فعادة ما يتم تمثيل المقسوم والمقسوم عليه ككسور عادية. هذا يرجع إلى حقيقة أنه ليس من الملائم دائمًا إجراء قسمة بأرقام بترميز مختلف (على سبيل المثال ، في النظام العشري).
مثال.
حل.
مقياس المقسوم هو ، ومقياس المقسوم عليه هو 0 ، (23). لقسمة مقياس المقسوم على مقياس المقسوم عليه ، دعنا ننتقل إلى الكسور العادية.
دعنا نترجم العدد الكسري إلى كسر عادي: 
، و
في هذه المقالة سأتحدث عن كيفية العثور عليها باقي قسمة الأعداد السالبة. لسوء الحظ ، لا يتم إيلاء اهتمام كبير لهذا الموضوع في المدرسة ، على الرغم من أنه من المهم للغاية أن يفهم الطالب الأسس الأساسية للرياضيات. لهذا السبب ، بصفتي مدرسًا للرياضيات ، أقوم في فصولي بتحليل هذه المادة مع الطلاب بكل التفاصيل. هذا يبسط إلى حد كبير التحضير الإضافي لامتحان الدولة الموحد و OGE وامتحانات القبول والأولمبياد في الرياضيات.
اذا هيا بنا نبدأ. لقسمة عددين صحيحين مع الباقي ، تحتاج إلى استخدام النظرية التالية:
لأي أعداد صحيحة ، علاوة على ذلك ، هناك زوج فريد من الأعداد الصحيحة ، وهذا هو  ، أين . |
هنا هو المقسوم ، هو القاسم ، هو حاصل القسمة غير المكتمل ، هو الباقي. يرجى ملاحظة أن الباقي هو رقم غير سالب. من الواضح أن الشرط ينشأ لأن القسمة على الصفر مستحيلة.
يبدو الأمر معقدًا إلى حد ما ، لكن في الواقع لا يوجد شيء معقد في هذه النظرية. لفهم كل شيء ، دعنا ننتقل إلى الأمثلة.
أمثلة لإيجاد باقي قسمة الأعداد السالبة
مثال 1قسمة مع باقي عدد صحيح موجب على عدد صحيح موجب.
لنفترض أننا نريد القسمة على 4 ، مع ترك الباقي 27. السؤال هو ، كم مرة تظهر 4 في 27؟ لكننا نعلم أنه لا يوجد عدد صحيح يمكن ضربه في 4 للحصول على 27. لذا يجب إعادة صياغة السؤال. ما الرقم الذي يجب ضربه في 4 للحصول على رقم قريب قدر الإمكان من 27 ، ولكن لا يتجاوزه؟ من الواضح أن هذا الرقم هو 6. إذا تم ضرب 4 في 6 ، فستحصل على 24. العائد الأصلي 27 ينقصه 3. لذلك ، فإن باقي قسمة 27 على 4 هو 3:
مثال 2اقسم مع باقي عدد صحيح سالب على عدد صحيح موجب.
ماذا لو أردت إيجاد باقي عدد صحيح سالب -15 مقسومًا على عدد صحيح موجب 4؟ لنبدأ بحقيقة أن حاصل القسمة غير المكتمل يجب أن يكون سالبًا ، لأنه عند قسمة رقم سالب على رقم موجب ، تكون النتيجة سالبة. قد يفترض المرء أن حاصل القسمة الجزئي في هذه الحالة يجب أن يساوي -3. لكن في هذه الحالة ، بضرب -3 في 4 ، نحصل على -12. وللحصول على المقسوم الأصلي -15 ، عليك إضافة الرقم -3 إلى النتيجة -12 ، والذي لا يمكن أن يكون الباقي ، لأن الباقي لا يمكن أن يكون سالبًا!
لذلك ، في هذه الحالة ، حاصل القسمة غير المكتمل هو -4. في هذه الحالة ، بضرب -4 في مقسوم عليه 4 ، نحصل على -16. والآن ، للحصول على المقسوم الأصلي -15 ، عليك إضافة الرقم 1 إلى هذه النتيجة ، فهو غير سالب وأقل من مقياس المقسوم عليه (أي 4). أي الباقي:
مثال 3. قسمة عدد صحيح موجب على عدد صحيح سالب.
لنتأمل الآن مثال القسمة مع باقي العدد الصحيح الموجب 113 على العدد الصحيح السالب -3. يجب أن يكون حاصل القسمة الجزئي ، كما في المثال السابق ، سالبًا ، لأنه عندما يتم قسمة رقم موجب على رقم سالب ، تكون النتيجة سالبة. دعونا نفكر في ما يساوي بالضبط حاصل القسمة غير المكتمل. من الواضح أنها تساوي -37. في الواقع ، ينتج عن ضرب -37 في -3 111. الآن ، للحصول على المقسوم الأصلي ، عليك أن تضيف إلى هذه النتيجة الرقم 2 ، وهو غير سالب وأقل من مقياس المقسوم عليه (أي ، المقياس من -3 ، وهو ما يساوي 3). لذا فإن إجابتنا هي:
مثال 4. قسمة مع باقي عدد صحيح سالب على عدد صحيح سالب.
حسنًا ، المثال الأخير. يجب قسمة العدد الصحيح السالب -15 مع باقي القسمة على عدد صحيح سالب -7. يجب أن يكون حاصل القسمة الجزئي موجبًا في الإشارة ، لأنه عند قسمة الأرقام السالبة ، تكون النتيجة موجبة. وهو يساوي 3. بالفعل ، بضرب 3 في -7 ، نحصل على -21. نحتاج الآن إلى إضافة وحدة موجبة وأقل إلى هذا الرقم -7 (أي 7) رقم 6 لنحصل على المقسوم الأصلي -15. لذلك ، فإن الباقي بعد قسمة الأعداد السالبة -15 على -7 هو:
تحقق من مدى فهمك لهذا الدرس. ابحث عن باقي قسمة الأعداد السالبة لنفسك:
ج) -114 إلى -4.
اكتب إجاباتك في التعليقات ، وسوف أتحقق منها.
من إعداد سيرجي فاليريفيتش
الأهداف:
- تعلم قسمة الأرقام الموجبة والسالبة
- دمج الجمع والطرح وضرب الأعداد الموجبة والسالبة
- تطوير الكلام الرياضي القراءة والكتابة
- تنمية الاهتمام بالموضوع
معدات:كمبيوتر شخصي ، جهاز عرض وسائط متعددة.
خلال الفصول
مدرس:مرحبا ، اجلس. سنقوم اليوم بدراسة مادة جديدة معك ، ولكن من البداية سوف نكرر المادة التي سبق دراستها. للقيام بذلك ، سنحتاج إلى حل الأمثلة.
1. تمارين الفم
| أ) | |
| ب) |  |
| الخامس) |  |
| ز) | |
| ه) |  |
| ه) |  |
| و) |
2. العمل على موضوع الدرس
(الشرائح 8-14)
1. قسمة الأعداد السالبة لها نفس معنى قسمة الأعداد الموجبة ، أي بمعرفة المنتج وأحد العوامل ، أوجد العامل الثاني.
من يستطيع تسمية مكونات التقسيم؟
على سبيل المثال: -10: (-5) =؟
ماذا يعني -10: (-5)؟ (لذا ، أوجد رقمًا س مثل هذا عند -5 س = -10)
الآن ابحث عن علامة الرقم X.
كيف تعتقد أن هذا يمكن القيام به؟
منذ عندما ضرب -5 في Xاتضح أن الرقم سالب -10 ، لذلك يجب أن يكون للعوامل علامات مختلفة. لذلك، Xهو رقم موجب.
لنجد الآن مقياس العدد X.
بما أن معامل المنتج يساوي حاصل ضرب معاملات العوامل ، لذلك. لذلك 
، لأن Xهو رقم موجب ، ثم س = المحقق X =
2
إنه مكتوب على هذا النحو:
أو أقصر
(-10) : (-5) = 10: 5 = 2
القاعدة: لقسمة عدد سالب على سالب واحد ، يجب قسمة مقياس المقسوم على مقياس المقسوم عليه.
2.2. الآن لنقسم العدد السالب على الموجب.
على سبيل المثال: -24: 4 =؟
ماذا تعني -24: 4؟ (لذا ، للعثور على مثل هذا الرقم X، ذلك في 4 X = -24)
لنجد الآن علامة x.
كيف أقوم بذلك؟
بما أنه عند ضرب 4 في x ، تكون النتيجة عددًا سالبًا -24 X- رقم سالب.
لنجد الآن مقياس العدد X.
ماذا تعتقد أنه سيكون مساويا ل؟
لذلك
لأن Xهو رقم سلبي مقياس 6 ، إذن Xسوف تساوي -6
نحصل على: -24: 4 = -6
وبالمثل ، اتضح عند قسمة 24: (-4) \ u003d -6
والآن لنتحدث عن خوارزمية قسمة الأرقام بعلامات مختلفة. لذا:
- اقسم معامل المقسوم على معامل المقسوم عليه ؛
- ضع علامة الطرح أمام الرقم الناتج.
3. عند قسمة الصفر على أي رقم لا يساوي الصفر ، نحصل على الصفر.
وأهم قاعدة: اقسموا على صفر!
3. توحيد المواد الجديدة
(الشرائح 15-16).
| 1) | |
| 2) |  |
| 3) |  |
| 4) |  |
| 5) |  |
| 6) |  |
2. العمل المستقل. لديك 8-10 دقائق لهذا النشاط.
(الشرائح 17-24)
| أ) | -4 (-5) – (-30) : 6 = 25 |
| ب) | 15: (-15) – (-24) : 8 = 2 |
| الخامس) | -8 (-3 + 12) : 36 + 2 = 0 |
| ز) | 2,3 (-6 – 4) : 5 = - 4,6 |
| ه) | (-8 + 32) : (-6) – 7 = -11 |
| ه) | -21 + (-3 - 4 + 5) : (-2) = - 20 |
| و) | -6 4 – 64: (-3,3 + 1,7) = - 64 |
| ح) | (-6 + 6,4 – 10) : (-8) (-3) = - 3 |
في هذه المقالة ، سنقدم تعريفًا لقسمة رقم سالب على رقم سالب ، وصياغة القاعدة وتبريرها ، وإعطاء أمثلة لتقسيم الأرقام السالبة وتحليل مسار حلها.
قسمة الأعداد السالبة. قاعدة
تذكر ما هو جوهر عملية التقسيم. هذا الإجراء هو اكتشاف لمضاعف غير معروف بواسطة منتج معروف ومضاعف آخر معروف. الرقم c يسمى حاصل قسمة العددين a و b إذا كان المنتج c · b = a صحيحًا. في هذه الحالة ، أ ÷ ب = ج.
حكم قسمة الأعداد السالبة
حاصل قسمة رقم سالب على رقم سالب آخر يساوي حاصل قسمة وحدات هذه الأرقام.
لنفترض أن a و b رقمان سالبان. ثم
أ ÷ ب = أ ÷ ب.
تقلل هذه القاعدة قسمة رقمين سالبين إلى قسمة أعداد موجبة. إنه صالح ليس فقط للأعداد الصحيحة ، ولكن أيضًا للأرقام المنطقية والحقيقية. تكون نتيجة قسمة رقم سالب على رقم سالب دائمًا رقمًا موجبًا.
إليك صيغة أخرى لهذه القاعدة ، مناسبة للأعداد المنطقية والحقيقية. تُعطى باستخدام أرقام متبادلة وتقول: لقسمة رقم سالب أ على رقم غير محدد ، اضرب في الرقم ب - 1 ، مقلوب ب.
أ ÷ ب = أ · ب - 1.
يمكن أيضًا تطبيق نفس القاعدة التي تقلل القسمة إلى الضرب على قسمة الأرقام بعلامات مختلفة.
يمكن إثبات المساواة أ ÷ ب = أ ب - 1 باستخدام خاصية الضرب للأرقام الحقيقية وتعريف الأرقام المتبادلة. دعنا نكتب المساواة:
أ ب - 1 ب = أ ب - 1 ب = أ 1 = أ.
بحكم تعريف عملية التقسيم ، تثبت هذه المساواة أن هناك حاصل قسمة لقسمة رقم على الرقم ب.
دعنا ننتقل إلى الأمثلة.
لنبدأ بالحالات البسيطة ، وننتقل إلى الحالات الأكثر تعقيدًا.
مثال 1. كيفية قسمة الأرقام السالبة
قسّم - 18 على - 3.
وحدات المقسوم والأرباح هي 3 و 18 على التوالي. دعنا نكتب:
18 - 3 = - 18 - 3 = 18 3 = 6.
مثال 2. كيفية قسمة الأرقام السالبة
قسّم - 5 على - 2.
وبالمثل نكتب حسب القاعدة:
5 ÷ - 2 = - 5 - 2 = 5 2 = 5 2 = 2 1 2.
سيتم الحصول على نفس النتيجة إذا استخدمنا الصيغة الثانية للقاعدة مع الرقم العكسي.
5 ÷ - 2 = - 5-1 2 = 5 1 2 = 5 2 = 2 1 2.
عند قسمة الأعداد المنطقية الكسرية ، يكون من الأنسب تمثيلها على أنها كسور عادية. ومع ذلك ، يمكنك أيضًا قسمة الكسور العشرية اللاحقة.
مثال 3. كيفية قسمة الأرقام السالبة
قسّم - 0.004 على - 0.25.
أولاً ، نكتب الوحدات النمطية لهذه الأرقام: 0 و 004 و 0 و 25.
يمكنك الآن اختيار إحدى الطريقتين التاليتين:
- افصل الكسور العشرية بعمود.
- انتقل إلى الكسور العادية وقم بإجراء القسمة.
دعنا نلقي نظرة على كلا الطريقتين.
1. بإجراء قسمة الكسور العشرية على عمود ، حرك الفاصلة رقمين إلى اليمين.
الجواب: - 0 ، 004 ÷ 0 ، 25 = 0 ، 016
2. الآن نعطي الحل بترجمة الكسور العشرية إلى كسور عادية.
0 ، 004 = 4 1000 ؛ 0، 25 = 25100 0، 004 ÷ 0، 25 = 41000 25100 = 41000100 25 = 4250 = 0، 016
النتائج التي تم الحصول عليها هي نفسها.
في الختام ، نلاحظ أنه إذا كان المقسوم والمقسوم عليه عددًا غير منطقي ومعطى من حيث الجذور والقوى واللوغاريتمات وما إلى ذلك ، تتم كتابة نتيجة القسمة كتعبير رقمي ، يتم حساب القيمة التقريبية لها إذا لزم الأمر .
مثال 4. كيفية قسمة الأرقام السالبة
احسب حاصل قسمة الأعداد - 0 و 5 و - 5.
0 ، 5 ÷ - 5 = - 0 ، 5 ÷ - 5 = 0 ، 5 5 = 1 2 1 5 = 1 2 5 = 5 10.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter