साधारण अंशों का विभाजन। अंशों के साथ क्रियाएँ

विभाजन है। इस लेख में हम बात करेंगे साधारण अंशों का विभाजन. सर्वप्रथम, हम साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम देंगे और भिन्नों को विभाजित करने के उदाहरण देखेंगे। इसके बाद, हम एक साधारण अंश को एक प्राकृतिक संख्या से और एक संख्या को एक भिन्न से विभाजित करने पर ध्यान केंद्रित करेंगे। अंत में, विचार करें कि मिश्रित संख्या से साधारण भिन्न का विभाजन कैसे किया जाता है।

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एक सामान्य अंश का एक सामान्य अंश से विभाजन

यह ज्ञात है कि विभाजन गुणन का व्युत्क्रम है (विभाजन और गुणन के बीच संबंध देखें)। अर्थात्, विभाजन में अज्ञात कारक खोजना शामिल है जब उत्पाद और अन्य कारक ज्ञात हों। साधारण अंशों को विभाजित करते समय विभाजन की समान भावना को संरक्षित किया जाता है।

साधारण भिन्नों को विभाजित करने के उदाहरणों पर विचार करें।

ध्यान दें कि हमें अंशों की कमी और अनुचित भिन्न से पूर्णांक भाग के चयन के बारे में नहीं भूलना चाहिए।

एक सामान्य अंश का एक प्राकृतिक संख्या से विभाजन

हम इसे तुरंत देंगे एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का नियम: अंश a / b को एक प्राकृतिक संख्या n से विभाजित करने के लिए, आपको अंश को समान छोड़ने की आवश्यकता है, और भाजक को n से गुणा करें, अर्थात।

यह विभाजन नियम साधारण अंशों के लिए विभाजन नियम से सीधे अनुसरण करता है। दरअसल, एक प्राकृतिक संख्या का एक अंश के रूप में प्रतिनिधित्व निम्नलिखित समानता की ओर जाता है .

एक अंश को एक संख्या से विभाजित करने के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

अंश 16/45 को प्राकृतिक संख्या 12 से विभाजित करें।

समाधान।

एक अंश को एक संख्या से विभाजित करने के नियम से, हमारे पास है . आइए करते हैं कमी: . यह विभाजन पूरा हो गया है।

उत्तर:

.

एक सामान्य अंश द्वारा एक प्राकृतिक संख्या का विभाजन

भिन्नों को विभाजित करने का नियम समान है एक प्राकृतिक संख्या को एक सामान्य अंश से विभाजित करने का नियम: एक प्राकृतिक संख्या n को एक साधारण अंश a / b से विभाजित करने के लिए, आपको संख्या n को भिन्न a / b के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा।

आवाज वाले नियम के अनुसार, और एक प्राकृतिक संख्या को एक साधारण अंश से गुणा करने का नियम आपको इसे फॉर्म में फिर से लिखने की अनुमति देता है।

एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

प्राकृत संख्या 25 को भिन्न 15/28 से विभाजित करें।

समाधान।

भाग से गुणन की ओर बढ़ते हैं, हमारे पास है . घटाव और पूर्णांक भाग का चयन करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं।

उत्तर:

.

मिश्रित संख्या से एक आम अंश का विभाजन

मिश्रित संख्या से एक आम अंश का विभाजनसाधारण अंशों के विभाजन में आसानी से कम हो जाता है। ऐसा करने के लिए, यह करने के लिए पर्याप्त है

) और भाजक द्वारा भाजक (हम गुणनफल का भाजक प्राप्त करते हैं)।

अंश गुणन सूत्र:

उदाहरण के लिए:

अंशों और हरों के गुणा के साथ आगे बढ़ने से पहले, अंशों में कमी की संभावना की जांच करना आवश्यक है। यदि आप अंश को कम करने का प्रबंधन करते हैं, तो आपके लिए गणना करना जारी रखना आसान होगा।

एक साधारण अंश का एक अंश से विभाजन।

एक प्राकृतिक संख्या को शामिल करने वाले अंशों का विभाजन।

यह उतना डरावना नहीं है जितना लगता है। जोड़ के मामले में, हम एक पूर्णांक को हर में एक इकाई के साथ एक भिन्न में परिवर्तित करते हैं। उदाहरण के लिए:

मिश्रित अंशों का गुणन।

भिन्नों को गुणा करने के नियम (मिश्रित):

• मिश्रित भिन्नों को अनुचित में परिवर्तित करें;
• अंशों के अंश और हर को गुणा करें;
• हम अंश को कम करते हैं;
• यदि हमें एक अनुचित अंश मिलता है, तो हम अनुचित अंश को मिश्रित अंश में बदल देते हैं।

टिप्पणी!एक मिश्रित अंश को दूसरे मिश्रित अंश से गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित अंशों के रूप में लाना होगा, और फिर साधारण अंशों को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका।

किसी साधारण अंश को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है।

टिप्पणी!एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, अंश के भाजक को इस संख्या से विभाजित करना आवश्यक है, और अंश को अपरिवर्तित छोड़ दें।

उपरोक्त उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि यह विकल्प उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है जब किसी भिन्न के हर को बिना शेषफल के एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाता है।

बहुस्तरीय अंश।

हाई स्कूल में, तीन मंजिला (या अधिक) अंश अक्सर पाए जाते हैं। उदाहरण:

इस तरह के एक अंश को उसके सामान्य रूप में लाने के लिए, 2 बिंदुओं के विभाजन का उपयोग किया जाता है:

टिप्पणी!भिन्नों को विभाजित करते समय, विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।

टिप्पणी, उदाहरण के लिए:

एक को किसी भिन्न से विभाजित करने पर, परिणाम वही भिन्न होगा, केवल उल्टा:

भिन्नों को गुणा करने और विभाजित करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक भावों के साथ काम करने में सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है। सभी गणनाओं को सावधानीपूर्वक और सटीक, एकाग्र और स्पष्ट रूप से करें। अपने सिर में गणनाओं में भ्रमित होने की तुलना में एक मसौदे में कुछ अतिरिक्त पंक्तियाँ लिखना बेहतर है।

2. विभिन्न प्रकार के अंशों वाले कार्यों में - साधारण अंशों के प्रकार पर जाएँ।

3. हम सभी अंशों को तब तक कम करते हैं जब तक कि इसे कम करना संभव न हो।

4. हम 2 बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करते हुए, बहु-स्तरीय भिन्नात्मक भावों को सामान्य में लाते हैं।

5. हम अपने दिमाग में इकाई को एक अंश में विभाजित करते हैं, केवल भिन्न को उलट कर।

गणित के पाठ्यक्रम से विभिन्न कार्यों को हल करने के लिए भौतिकी को भिन्नों को विभाजित करना पड़ता है। यह करना बहुत आसान है यदि आप इस गणितीय संक्रिया को करने के कुछ नियमों को जानते हैं।

भिन्नों को विभाजित करने के तरीके पर एक नियम बनाने से पहले, आइए कुछ गणितीय शब्दों को याद करें:

1. किसी भिन्न के ऊपरी भाग को अंश और नीचे वाले भाग को हर कहा जाता है।
2. विभाजित करते समय, संख्याओं को इस प्रकार कहा जाता है: लाभांश: विभाजक \u003d भागफल

भिन्नों को कैसे विभाजित करें: साधारण भिन्न

दो साधारण अंशों को विभाजित करने के लिए, भाजक के व्युत्क्रम से भाज्य का गुणा करें। इस अंश को दूसरे तरीके से उलटा भी कहा जाता है, क्योंकि यह अंश और भाजक की अदला-बदली के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

भिन्नों को कैसे विभाजित करें: मिश्रित भिन्न

यदि हमें मिश्रित भिन्नों को विभाजित करना है, तो यहाँ भी सब कुछ काफी सरल और स्पष्ट है। सबसे पहले, मिश्रित भिन्न को साधारण अनुचित भिन्न में बदलें। ऐसा करने के लिए, हम ऐसे भिन्न के हर को पूर्णांक से गुणा करते हैं और अंश को परिणामी गुणनफल में जोड़ते हैं। नतीजतन, हमें मिश्रित अंश का एक नया अंश मिला, और इसका भाजक अपरिवर्तित रहेगा। आगे के अंशों का विभाजन उसी तरह से किया जाएगा जैसे साधारण अंशों का विभाजन। उदाहरण के लिए:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

किसी अंश को किसी संख्या से कैसे विभाजित करें

एक साधारण अंश को एक संख्या से विभाजित करने के लिए, बाद वाले को एक अंश (अनुचित) के रूप में लिखा जाना चाहिए। यह करना बहुत आसान है: यह संख्या अंश के स्थान पर लिखी जाती है, और ऐसे भिन्न का हर एक के बराबर होता है। आगे का विभाजन सामान्य तरीके से किया जाता है। आइए इसे एक उदाहरण के साथ देखें:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

दशमलव को कैसे विभाजित करें

अक्सर, एक वयस्क को कठिनाई होती है, यदि आवश्यक हो, कैलकुलेटर की सहायता के बिना, पूर्णांक या दशमलव अंश को दशमलव अंश में विभाजित करने के लिए।

इसलिए, दशमलव अंशों को विभाजित करने के लिए, आपको केवल विभाजक में अल्पविराम को पार करना होगा और उस पर ध्यान देना बंद करना होगा। विभाज्य में, अल्पविराम को ठीक उतने ही वर्णों के दाईं ओर ले जाना चाहिए जितने कि भाजक के भिन्नात्मक भाग में थे, यदि आवश्यक हो तो शून्य जोड़ दें। और फिर एक पूर्णांक द्वारा सामान्य विभाजन का उत्पादन करें। इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए निम्नलिखित उदाहरण लें।

एक अंश एक पूरे का एक या अधिक भाग होता है, जिसे आमतौर पर एक इकाई (1) के रूप में लिया जाता है। प्राकृतिक संख्याओं की तरह, आप अंशों (जोड़, घटाव, भाग, गुणन) के साथ सभी बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं, इसके लिए आपको भिन्नों के साथ काम करने की विशेषताओं को जानने और उनके प्रकारों के बीच अंतर करने की आवश्यकता है। कई प्रकार के भिन्न होते हैं: दशमलव और साधारण, या सरल। प्रत्येक प्रकार के अंशों की अपनी विशिष्टताएँ होती हैं, लेकिन एक बार जब आप पूरी तरह से समझ जाते हैं कि एक बार उनसे कैसे निपटना है, तो आप भिन्नों के साथ किसी भी उदाहरण को हल करने में सक्षम होंगे, क्योंकि आप अंशों के साथ अंकगणितीय गणना करने के मूल सिद्धांतों को जानेंगे। आइए विभिन्न प्रकार के अंशों का उपयोग करके एक अंश को एक पूर्णांक से विभाजित करने के उदाहरण देखें।

एक अंश को प्राकृतिक संख्या से कैसे विभाजित करें?
साधारण या साधारण अंशों को ऐसे अंश कहा जाता है जो संख्याओं के ऐसे अनुपात के रूप में लिखे जाते हैं जिसमें लाभांश (अंश) को अंश के शीर्ष पर इंगित किया जाता है, और अंश के भाजक (भाजक) को नीचे इंगित किया जाता है। इस तरह के अंश को पूर्णांक से कैसे विभाजित करें? आइए एक उदाहरण देखें! मान लीजिए कि हमें 8/12 को 2 से भाग देना है।

ऐसा करने के लिए, हमें क्रियाओं की एक श्रृंखला करनी चाहिए:
इस प्रकार, यदि हमें एक अंश को एक पूर्णांक से विभाजित करने के कार्य का सामना करना पड़ता है, तो समाधान योजना कुछ इस तरह दिखाई देगी:

इसी प्रकार, आप किसी साधारण (सरल) भिन्न को पूर्णांक से विभाजित कर सकते हैं।

दशमलव को पूर्णांक से कैसे विभाजित करें?
एक दशमलव अंश एक अंश है जो एक इकाई को दस, एक हजार और इसी तरह भागों में विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। दशमलव अंशों के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ काफी सरल हैं।

एक अंश को पूर्णांक से विभाजित करने के तरीके के एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि हमें दशमलव अंश 0.925 को प्राकृतिक संख्या 5 से विभाजित करने की आवश्यकता है।

सारांशित करते हुए, हम दो मुख्य बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो एक पूर्णांक द्वारा दशमलव अंशों को विभाजित करने का कार्य करते समय महत्वपूर्ण हैं:

• एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के लिए, एक कॉलम में विभाजन का उपयोग किया जाता है;
  
• एक अल्पविराम निजी में रखा जाता है जब लाभांश के पूर्णांक भाग का विभाजन पूरा हो जाता है।
  

इन सरल नियमों को लागू करके, आप हमेशा किसी भी दशमलव या भिन्न को पूर्णांक से आसानी से विभाजित कर सकते हैं।