गणित में यूएसई स्कूल स्नातकों के लिए प्रमाणपत्र प्राप्त करने और उच्च शिक्षण संस्थान में प्रवेश करने से पहले मुख्य परीक्षाओं में से एक है। ज्ञान नियंत्रण के इस संस्करण का उपयोग स्कूली शिक्षा की प्रक्रिया में प्राप्त विषयों में ज्ञान का आकलन करने के लिए किया जाता है। एकीकृत राज्य परीक्षा परीक्षण का रूप लेती है, अंतिम परीक्षा के लिए कार्यों की तैयारी रोसोब्रनाडज़ोर और शिक्षा के क्षेत्र में अन्य अधिकृत निकायों द्वारा की जाती है। गणित में उत्तीर्ण अंक उस विश्वविद्यालय की व्यक्तिगत आवश्यकताओं पर निर्भर करता है जिसमें वह प्रवेश लेता हैस्नातक। उच्च अंक के साथ सफलतापूर्वक परीक्षा उत्तीर्ण करना प्रवेश के लिए एक महत्वपूर्ण सफलता कारक है।

तकनीकी और आर्थिक विश्वविद्यालयों में प्रवेश के लिए प्रोफ़ाइल स्तर पर गणित आवश्यक है। परीक्षा कार्यों का आधार बुनियादी स्तर है, इसमें अधिक जटिल कार्य और उदाहरण जोड़े जाते हैं। छोटे और लंबे उत्तर अपेक्षित हैं:

पहले कार्यों के लिए गहन ज्ञान की आवश्यकता नहीं है - यह बुनियादी ज्ञान की परीक्षा है;
अगले 5 अधिक कठिन हैं, जिनके लिए विषय में औसत और उच्च स्तर की महारत की आवश्यकता होती है। इन कार्यों की जाँच कंप्यूटर का उपयोग करके की जाती है, क्योंकि इनका उत्तर संक्षिप्त होता है।

अंतिम सात कार्यों के लिए विस्तृत उत्तर आवश्यक हैं। सत्यापन के लिए विशेषज्ञों का एक समूह इकट्ठा किया जाता है। मुख्य बात यह है कि प्रोफ़ाइल स्तर में शामिल कार्यों की जटिलता के बावजूद, वे पूरी तरह से स्कूली पाठ्यक्रम के अनुरूप हैं। वे कठिन क्यों हो सकते हैं? इन उदाहरणों और कार्यों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, न केवल शुष्क ज्ञान की आवश्यकता होती है, बल्कि रचनात्मक रूप से समाधान तक पहुंचने, गैर-मानक स्थिति में ज्ञान को लागू करने की क्षमता भी होती है। यह वह शब्द है जो कठिनाई का कारण बनता है।

यदि छात्र इस स्तर को चुनता है, तो इसका तात्पर्य भविष्य में उच्च शिक्षण संस्थान में सटीक विज्ञान का अध्ययन जारी रखने की उसकी इच्छा से है। किसी विशेष परीक्षा के पक्ष में चुनाव यह भी इंगित करता है कि छात्र के ज्ञान का स्तर काफी ऊँचा है, दूसरे शब्दों में, मौलिक प्रशिक्षण की आवश्यकता नहीं है।
तैयारी प्रक्रिया में मुख्य अनुभागों की पुनरावृत्ति, बढ़ी हुई जटिलता की समस्याओं को हल करना शामिल है जिनके लिए गैर-मानक, रचनात्मक दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।

तैयारी के तरीके

बुनियादी प्रशिक्षण स्कूल में किया जाता है, जहां छात्र बुनियादी बातें सीखते हैं, कभी-कभी शिक्षक स्नातकों के लिए अतिरिक्त ऐच्छिक आयोजित करते हैं। मुख्य सिफ़ारिश यह है कि सभी विषयों में सावधानीपूर्वक और ध्यानपूर्वक महारत हासिल की जाए, विशेषकर अंतिम कक्षा में।
स्वतंत्र कार्य: इसके लिए विशेष आत्म-अनुशासन, इच्छाशक्ति और आत्म-नियंत्रण की आवश्यकता होती है। आपको ध्यान से पढ़ने की जरूरत है . समस्या दिशा में है - केवल एक विशेषज्ञ ही भावी आवेदक को उन विषयों पर सक्षम रूप से निर्देशित कर सकता है जिन पर ध्यान देने की आवश्यकता है।
ट्यूशन: एक पेशेवर विशेषज्ञ आपको जटिल कार्यों को कुशलतापूर्वक और शीघ्रता से हल करने में मदद करेगा।
पाठ्यक्रम और ऑनलाइन शिक्षण: समय और पैसा बचाने का एक आधुनिक और सिद्ध तरीका। एक महत्वपूर्ण लाभ: आप ऑनलाइन परीक्षण दे सकते हैं, तुरंत उत्तर प्राप्त कर सकते हैं, और विभिन्न कार्यों पर प्रशिक्षण ले सकते हैं।

"मैं गणित में परीक्षा को प्रोफ़ाइल स्तर पर हल करूंगा" परीक्षा की तैयारी करने और इसे सफलतापूर्वक पास करने का एक अवसर है।

माध्यमिक सामान्य शिक्षा

लाइन यूएमके जी.के. मुराविना। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत (10-11) (गहरा)

लाइन यूएमके मर्ज़लियाक। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत (10-11) (यू)

अंक शास्त्र

गणित में परीक्षा की तैयारी (प्रोफ़ाइल स्तर): कार्य, समाधान और स्पष्टीकरण

हम कार्यों का विश्लेषण करते हैं और शिक्षक के साथ उदाहरण हल करते हैं

प्रोफ़ाइल-स्तरीय परीक्षा का पेपर 3 घंटे 55 मिनट (235 मिनट) तक चलता है।

न्यूनतम सीमा- 27 अंक.

परीक्षा पत्र में दो भाग होते हैं, जो सामग्री, जटिलता और कार्यों की संख्या में भिन्न होते हैं।

कार्य के प्रत्येक भाग की परिभाषित विशेषता कार्यों का रूप है:

भाग 1 में पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में संक्षिप्त उत्तर के साथ 8 कार्य (कार्य 1-8) शामिल हैं;
भाग 2 में पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में संक्षिप्त उत्तर के साथ 4 कार्य (कार्य 9-12) और विस्तृत उत्तर के साथ 7 कार्य (कार्य 13-19) शामिल हैं (प्रदर्शन किए गए कार्यों के तर्क के साथ निर्णय का पूरा रिकॉर्ड)।

पनोवा स्वेतलाना अनातोलिवेना, विद्यालय की उच्चतम श्रेणी के गणित के शिक्षक, 20 वर्षों का कार्य अनुभव:

“स्कूल प्रमाणपत्र प्राप्त करने के लिए, एक स्नातक को एकीकृत राज्य परीक्षा के रूप में दो अनिवार्य परीक्षाएं उत्तीर्ण करनी होंगी, जिनमें से एक गणित है। रूसी संघ में गणितीय शिक्षा के विकास की अवधारणा के अनुसार, गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा को दो स्तरों में विभाजित किया गया है: बुनियादी और विशिष्ट। आज हम प्रोफ़ाइल स्तर के विकल्पों पर विचार करेंगे।

कार्य संख्या 1- प्रारंभिक गणित में 5-9 ग्रेड के दौरान अर्जित कौशल को व्यावहारिक गतिविधियों में लागू करने के लिए यूएसई प्रतिभागियों की क्षमता की जांच करता है। प्रतिभागी के पास कम्प्यूटेशनल कौशल होना चाहिए, तर्कसंगत संख्याओं के साथ काम करने में सक्षम होना चाहिए, दशमलव अंशों को गोल करने में सक्षम होना चाहिए, माप की एक इकाई को दूसरे में बदलने में सक्षम होना चाहिए।

उदाहरण 1जिस अपार्टमेंट में पेट्र रहता है, वहां ठंडे पानी का मीटर (मीटर) लगाया गया था। पहली मई को मीटर में 172 घन मीटर की खपत दिखाई गई। मीटर पानी, और पहली जून को - 177 घन मीटर। मी. पीटर को मई के लिए ठंडे पानी के लिए कितनी राशि का भुगतान करना चाहिए, यदि 1 घन मीटर की कीमत है। मीटर ठंडा पानी 34 रूबल 17 कोपेक है? अपना उत्तर रूबल में दें।

समाधान:

1) प्रति माह खर्च किए गए पानी की मात्रा ज्ञात करें:

177 - 172 = 5 (घन मीटर)

2) पता करें कि खर्च किए गए पानी के लिए कितना पैसा भुगतान किया जाएगा:

34.17 5 = 170.85 (रगड़)

उत्तर: 170,85.

कार्य संख्या 2- परीक्षा के सबसे सरल कार्यों में से एक है। अधिकांश स्नातक सफलतापूर्वक इसका सामना करते हैं, जो फ़ंक्शन की अवधारणा की परिभाषा की महारत को इंगित करता है। आवश्यकताओं के अनुसार कार्य प्रकार संख्या 2 कोडिफायर व्यावहारिक गतिविधियों और रोजमर्रा की जिंदगी में अर्जित ज्ञान और कौशल का उपयोग करने के लिए एक कार्य है। टास्क नंबर 2 में कार्यों का वर्णन करना, उनका उपयोग करना, मात्राओं के बीच विभिन्न वास्तविक संबंधों और उनके ग्राफ़ की व्याख्या करना शामिल है। टास्क नंबर 2 तालिकाओं, आरेखों, ग्राफ़ों में प्रस्तुत जानकारी निकालने की क्षमता का परीक्षण करता है। स्नातकों को फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने के विभिन्न तरीकों के साथ तर्क के मूल्य द्वारा फ़ंक्शन का मूल्य निर्धारित करने और उसके ग्राफ़ के अनुसार फ़ंक्शन के व्यवहार और गुणों का वर्णन करने में सक्षम होना चाहिए। फ़ंक्शन ग्राफ़ से सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान ढूंढने और अध्ययन किए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ बनाने में सक्षम होना भी आवश्यक है। समस्या की स्थितियों को पढ़ने, आरेख को पढ़ने में की गई गलतियाँ यादृच्छिक प्रकृति की होती हैं।

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उदाहरण 2यह आंकड़ा अप्रैल 2017 की पहली छमाही में एक खनन कंपनी के एक शेयर के विनिमय मूल्य में बदलाव को दर्शाता है। 7 अप्रैल को बिजनेसमैन ने इस कंपनी के 1,000 शेयर खरीदे. 10 अप्रैल को, उन्होंने खरीदे गए शेयरों में से तीन-चौथाई शेयर बेच दिए, और 13 अप्रैल को उन्होंने शेष सभी शेयर बेच दिए। इन परिचालनों के परिणामस्वरूप व्यवसायी को कितना नुकसान हुआ?

समाधान:

2) 1000 3/4 = 750 (शेयर) - खरीदे गए सभी शेयरों का 3/4 बनता है।

6) 247500 + 77500 = 325000 (रूबल) - 1000 शेयरों की बिक्री के बाद व्यवसायी को प्राप्त हुआ।

7) 340,000 - 325,000 = 15,000 (रूबल) - व्यवसायी को सभी कार्यों के परिणामस्वरूप नुकसान हुआ।

उत्तर: 15000.

कार्य संख्या 3- पहले भाग के बुनियादी स्तर का एक कार्य है, यह "प्लेनिमेट्री" पाठ्यक्रम की सामग्री के अनुसार ज्यामितीय आकृतियों के साथ क्रिया करने की क्षमता की जाँच करता है। टास्क 3 चेकर्ड पेपर पर एक आकृति के क्षेत्र की गणना करने की क्षमता, कोणों की डिग्री माप की गणना करने की क्षमता, परिधि की गणना करने आदि की क्षमता का परीक्षण करता है।

उदाहरण 3 1 सेमी x 1 सेमी के सेल आकार के साथ चेकर पेपर पर खींचे गए आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें (चित्र देखें)। अपना उत्तर वर्ग सेंटीमीटर में दें।

समाधान:इस आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप पीक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

इस आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम पीक सूत्र का उपयोग करते हैं:

एस= बी +	जी
	2

इसलिए, जहाँ V = 10, G = 6 है

एस = 18 +	6
	2

उत्तर: 20.

यह भी देखें: भौतिकी में एकीकृत राज्य परीक्षा: कंपन समस्याओं का समाधान

कार्य संख्या 4- पाठ्यक्रम का कार्य "संभावना सिद्धांत और सांख्यिकी"। सबसे सरल स्थिति में किसी घटना की संभावना की गणना करने की क्षमता का परीक्षण किया जाता है।

उदाहरण 4वृत्त पर 5 लाल और 1 नीला बिंदु हैं। निर्धारित करें कि कौन से बहुभुज बड़े हैं: सभी लाल शीर्षों वाले, या नीले शीर्षों में से एक वाले। अपने उत्तर में बताएं कि एक की संख्या दूसरे से कितनी अधिक है।

समाधान: 1) हम संयोजनों की संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं एनतत्वों द्वारा क:

जिसके सभी शीर्ष लाल हैं।

3) सभी लाल शीर्षों वाला एक पंचभुज।

4) 10 + 5 + 1 = सभी लाल शीर्षों के साथ 16 बहुभुज।

जिनके शीर्ष लाल हैं या एक नीले शीर्ष के साथ हैं।

8) एक षट्भुज जिसके शीर्ष लाल और एक नीला शीर्ष है।

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 बहुभुज जिनके सभी शीर्ष लाल या एक नीला शीर्ष है।

10) 42 - 16 = 26 बहुभुज जो नीले बिंदु का उपयोग करते हैं।

11) 26 - 16 = 10 बहुभुज - कितने बहुभुज, जिनमें से एक शीर्ष नीला बिंदु है, उन बहुभुजों से अधिक हैं, जिनमें सभी शीर्ष केवल लाल हैं।

उत्तर: 10.

कार्य संख्या 5- पहले भाग का मूल स्तर सबसे सरल समीकरणों (तर्कसंगत, घातीय, त्रिकोणमितीय, लघुगणक) को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है।

उदाहरण 5समीकरण 2 3+ को हल करें एक्स= 0.4 5 3 + एक्स .

समाधान।इस समीकरण के दोनों पक्षों को 5 3+ से विभाजित करें एक्स≠ 0, हमें मिलता है

2 3 + एक्स	= 0.4 या		2		3 + एक्स	=	2	,
5 3 + एक्स			5				5

जहां से यह 3 + का अनुसरण करता है एक्स = 1, एक्स = –2.

उत्तर: –2.

कार्य संख्या 6ज्यामितीय मात्रा (लंबाई, कोण, क्षेत्र) खोजने के लिए प्लानिमेट्री में, ज्यामिति की भाषा में वास्तविक स्थितियों का मॉडलिंग करना। ज्यामितीय अवधारणाओं और प्रमेयों का उपयोग करके निर्मित मॉडलों का अध्ययन। कठिनाइयों का स्रोत, एक नियम के रूप में, प्लैनिमेट्री के आवश्यक प्रमेयों का अज्ञान या गलत अनुप्रयोग है।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एबीसी 129 के बराबर है. डे- किनारे के समानांतर मध्य रेखा अब. समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एक बिस्तर.

समाधान।त्रिकोण सीडीईएक त्रिकोण के समान कैबदो कोनों पर, चूँकि कोना शीर्ष पर है सीसामान्य, कोण सीडीईकोण के बराबर कैबसंगत कोणों के रूप में डे || अबकाटनेवाला एसी. क्योंकि डेस्थिति के अनुसार त्रिभुज की मध्य रेखा है, फिर मध्य रेखा की संपत्ति के अनुसार | डे = (1/2)अब. अत: समानता गुणांक 0.5 है। समान आकृतियों के क्षेत्रफल, समानता गुणांक के वर्ग के रूप में संबंधित होते हैं

इस तरह, एस एबेड = एस Δ एबीसी – एस Δ सीडीई = 129 – 32,25 = 96,75.

कार्य संख्या 7- फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न के अनुप्रयोग की जाँच करता है। सफल कार्यान्वयन के लिए, व्युत्पन्न की अवधारणा का सार्थक, गैर-औपचारिक अधिकार आवश्यक है।

उदाहरण 7फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए य = एफ(एक्स) भुज के साथ बिंदु पर एक्स 0 एक स्पर्शरेखा खींची गई है, जो इस ग्राफ के बिंदुओं (4; 3) और (3; -1) से गुजरने वाली सीधी रेखा के लंबवत है। पाना एफ′( एक्स 0).

समाधान। 1) आइए दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करें और बिंदुओं (4; 3) और (3; -1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण खोजें।

(य – य 1)(एक्स 2 – एक्स 1) = (एक्स – एक्स 1)(य 2 – य 1)

(य – 3)(3 – 4) = (एक्स – 4)(–1 – 3)

(य – 3)(–1) = (एक्स – 4)(–4)

–य + 3 = –4एक्स+16| · (-1)

य – 3 = 4एक्स – 16

य = 4एक्स– 13, कहाँ क 1 = 4.

2) स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करें क 2 जो रेखा पर लंबवत है य = 4एक्स– 13, कहाँ क 1 = 4, सूत्र के अनुसार:

3) स्पर्शरेखा का ढलान संपर्क के बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है। साधन, एफ′( एक्स 0) = क 2 = –0,25.

उत्तर: –0,25.

कार्य संख्या 8- परीक्षा प्रतिभागियों के बीच प्राथमिक स्टीरियोमेट्री के ज्ञान की जांच करता है, आकृतियों के सतह क्षेत्रों और आयतन, डायहेड्रल कोणों को खोजने के लिए सूत्र लागू करने की क्षमता, समान आकृतियों के आयतन की तुलना करना, ज्यामितीय आकृतियों, निर्देशांक और वैक्टर आदि के साथ कार्य करने में सक्षम होना।

एक गोले के चारों ओर घिरे घन का आयतन 216 है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान। 1) वीघन = ए 3 (कहां एघन के किनारे की लंबाई है), इसलिए

ए 3 = 216

ए = 3 √216

2) चूँकि गोला एक घन में अंकित है, इसका मतलब है कि गोले के व्यास की लंबाई घन के किनारे की लंबाई के बराबर है, इसलिए डी = ए, डी = 6, डी = 2आर, आर = 6: 2 = 3.

कार्य संख्या 9- स्नातक को बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को बदलने और सरल बनाने की आवश्यकता होती है। संक्षिप्त उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर का कार्य संख्या 9। USE में "गणना और परिवर्तन" अनुभाग के कार्यों को कई प्रकारों में विभाजित किया गया है:

संख्यात्मक तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का परिवर्तन;

बीजीय व्यंजकों और भिन्नों का रूपांतरण;

संख्यात्मक/अक्षर अपरिमेय अभिव्यक्तियों का रूपांतरण;

डिग्री के साथ कार्रवाई;

लघुगणकीय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन;

संख्यात्मक/अक्षर त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों का रूपांतरण।

उदाहरण 9 tgα की गणना करें यदि यह ज्ञात है कि cos2α = 0.6 और

3π	< α < π.
4

समाधान। 1) आइए दोहरे तर्क सूत्र का उपयोग करें: cos2α = 2 cos 2 α - 1 और खोजें

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	क्योंकि 2 α		0,8		8		4		4		4

अत: tan 2 α = ± 0.5।

3) शर्त के अनुसार

3π	< α < π,
4

इसलिए α दूसरी तिमाही का कोण है और tgα है< 0, поэтому tgα = –0,5.

उत्तर: –0,5.

#विज्ञापन_डालें# टास्क नंबर 10- व्यावहारिक गतिविधियों और रोजमर्रा की जिंदगी में अर्जित प्रारंभिक ज्ञान और कौशल का उपयोग करने के लिए छात्रों की क्षमता की जांच करता है। हम कह सकते हैं कि ये भौतिकी की समस्याएँ हैं, गणित की नहीं, लेकिन शर्त में सभी आवश्यक सूत्र और मात्राएँ दी गई हैं। कार्यों को एक रैखिक या द्विघात समीकरण, या एक रैखिक या द्विघात असमानता को हल करने तक सीमित कर दिया गया है। इसलिए, ऐसे समीकरणों और असमानताओं को हल करने और उत्तर निर्धारित करने में सक्षम होना आवश्यक है। उत्तर पूर्ण संख्या या अंतिम दशमलव अंश के रूप में होना चाहिए।

द्रव्यमान के दो पिंड एम= 2 किलो प्रत्येक, समान गति से चल रहा है वी= एक दूसरे से 2α के कोण पर 10 मीटर/सेकेंड। उनकी बिल्कुल बेलोचदार टक्कर के दौरान निकलने वाली ऊर्जा (जूल में) अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित की जाती है क्यू = एमवी 2 पाप 2 α. पिंडों को किस सबसे छोटे कोण 2α (डिग्री में) पर चलना चाहिए ताकि टक्कर के परिणामस्वरूप कम से कम 50 जूल निकलें?
समाधान।समस्या को हल करने के लिए, हमें अंतराल 2α ∈ (0°; 180°) पर असमानता Q ≥ 50 को हल करने की आवश्यकता है।

एमवी 2 पाप 2 α ≥ 50

2 10 2 पाप 2 α ≥ 50

200 पाप2α ≥ 50

चूँकि α ∈ (0°; 90°), हम केवल हल करेंगे

हम असमानता के समाधान को रेखांकन द्वारा प्रस्तुत करते हैं:

चूँकि धारणा α ∈ (0°; 90°) से इसका मतलब है कि 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

टास्क नंबर 11- सामान्य है, लेकिन यह छात्रों के लिए कठिन हो जाता है। कठिनाइयों का मुख्य स्रोत एक गणितीय मॉडल (एक समीकरण तैयार करना) का निर्माण है। टास्क नंबर 11 शब्द समस्याओं को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है।

उदाहरण 11.स्प्रिंग ब्रेक के दौरान, 11-ग्रेडर वास्या को परीक्षा की तैयारी के लिए 560 प्रशिक्षण समस्याओं को हल करना पड़ा। 18 मार्च को, स्कूल के आखिरी दिन, वास्या ने 5 समस्याओं का समाधान किया। फिर हर दिन उसने पिछले दिन की तुलना में उतनी ही अधिक समस्याएं हल कीं। निर्धारित करें कि 2 अप्रैल को छुट्टी के आखिरी दिन वास्या ने कितनी समस्याएं हल कीं।

समाधान:निरूपित ए 1 = 5 - 18 मार्च को वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की संख्या, डी– वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की दैनिक संख्या, एन= 16 - 18 मार्च से 2 अप्रैल तक दिनों की संख्या सम्मिलित है, एस 16 = 560 - कार्यों की कुल संख्या, ए 16 - 2 अप्रैल को वास्या द्वारा हल किए गए कार्यों की संख्या। यह जानते हुए कि वास्या ने हर दिन पिछले दिन की तुलना में समान संख्या में कार्य हल किए हैं, तो आप अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

560 = (5 + ए 16) 8,

5 + ए 16 = 560: 8,

5 + ए 16 = 70,

ए 16 = 70 – 5

ए 16 = 65.

उत्तर: 65.

कार्य संख्या 12- कार्यों के साथ कार्य करने की छात्रों की क्षमता की जाँच करें, फ़ंक्शन के अध्ययन में व्युत्पन्न को लागू करने में सक्षम हों।

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु ज्ञात करें य= 10 एलएन( एक्स + 9) – 10एक्स + 1.

समाधान: 1) फ़ंक्शन का डोमेन खोजें: एक्स + 9 > 0, एक्स> –9, अर्थात x ∈ (–9; ∞).

2) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

4) पाया गया बिंदु अंतराल (-9; ∞) से संबंधित है। हम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों को परिभाषित करते हैं और चित्र में फ़ंक्शन के व्यवहार को दर्शाते हैं:

वांछित अधिकतम बिंदु एक्स = –8.

यूएमके जी.के. की तर्ज पर गणित में कार्य कार्यक्रम निःशुल्क डाउनलोड करें। मुराविना, के.एस. मुराविना, ओ.वी. मुराविना 10-11 निःशुल्क बीजगणित मैनुअल डाउनलोड करें

कार्य संख्या 13- विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता का एक बढ़ा हुआ स्तर, जो समीकरणों को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है, जटिलता के बढ़े हुए स्तर के विस्तृत उत्तर के साथ कार्यों के बीच सबसे सफलतापूर्वक हल किया जाता है।

a) समीकरण 2log 3 2 (2cos) को हल करें एक्स) – 5लॉग 3 (2cos एक्स) + 2 = 0

बी) इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो खंड से संबंधित हैं।

समाधान: a) मान लीजिए लॉग 3 (2cos एक्स) = टी, फिर 2 टी 2 – 5टी + 2 = 0,

लॉग3(2cos एक्स) =	2	⇔	2cos एक्स = 9	⇔	ओल एक्स =	4,5	⇔ क्योंकि \|क्योंकि एक्स\| ≤ 1,

लॉग3(2cos एक्स) =	1		2cos एक्स = √3		ओल एक्स =	√3
	2					2

फिर क्योंकि एक्स =	√3
	2

एक्स =	π	+ 2π क
	6

एक्स = –	π	+ 2π क, क ∈ जेड
	6

बी) खंड पर स्थित जड़ों का पता लगाएं।

चित्र से यह देखा जा सकता है कि दिए गए खंड की जड़ें हैं

11π	और	13π	.
6		6

उत्तर:ए)	π	+ 2π क; –	π	+ 2π क, क ∈ जेड; बी)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

कार्य संख्या 14- उन्नत स्तर विस्तृत उत्तर के साथ दूसरे भाग के कार्यों को संदर्भित करता है। कार्य ज्यामितीय आकृतियों के साथ कार्य करने की क्षमता का परीक्षण करता है। कार्य में दो आइटम हैं. पहले पैराग्राफ में, कार्य सिद्ध होना चाहिए, और दूसरे पैराग्राफ में, इसकी गणना की जानी चाहिए।

बेलन के आधार का परिधि व्यास 20 है, बेलन का जनरेटर 28 है। तल अपने आधारों को 12 और 16 लंबाई की जीवाओं के अनुदिश काटता है। जीवाओं के बीच की दूरी 2√197 है।

a) सिद्ध करें कि सिलेंडर के आधारों के केंद्र इस तल के एक ही तरफ स्थित हैं।

ख) इस तल और सिलेंडर के आधार के तल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान: a) लंबाई 12 की एक जीवा आधार वृत्त के केंद्र से = 8 की दूरी पर है, और लंबाई 16 की एक जीवा, इसी तरह, 6 की दूरी पर है। इसलिए, सिलेंडरों के आधारों के समानांतर एक विमान पर उनके प्रक्षेपणों के बीच की दूरी या तो 8 + 6 = 14, या 8 - 6 = 2 है।

फिर स्वरों के बीच की दूरी या तो है

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

शर्त के अनुसार, दूसरा मामला साकार हुआ, जिसमें जीवाओं के प्रक्षेपण सिलेंडर की धुरी के एक तरफ स्थित होते हैं। इसका मतलब यह है कि अक्ष सिलेंडर के भीतर इस तल को नहीं काटता है, यानी आधार इसके एक तरफ स्थित हैं। क्या साबित करने की जरूरत थी.

b) आइए आधारों के केंद्रों को O 1 और O 2 के रूप में निरूपित करें। आइए आधार के केंद्र से 12 लंबाई की एक जीवा के साथ इस जीवा पर लंबवत समद्विभाजक खींचें (जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, इसकी लंबाई 8 है) और दूसरे आधार के केंद्र से दूसरी जीवा तक। वे इन जीवाओं के लंबवत् एक ही तल β में स्थित हैं। आइए छोटी जीवा के मध्यबिंदु को A से बड़ा, और दूसरे आधार H (H ∈ β) पर A का प्रक्षेपण कहते हैं। फिर AB,AH ∈ β और, इसलिए, AB,AH जीवा के लंबवत हैं, अर्थात, दिए गए तल के साथ आधार की प्रतिच्छेदन रेखा।

अतः आवश्यक कोण है

∠ABH = आर्कटैन	एएच	= आर्कटिक	28	= आर्कटिक14.
	बिहार		8 – 6

कार्य संख्या 15- विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता का बढ़ा हुआ स्तर, असमानताओं को हल करने की क्षमता की जाँच करता है, जटिलता के बढ़े हुए स्तर के विस्तृत उत्तर के साथ कार्यों में सबसे सफलतापूर्वक हल किया जाता है।

उदाहरण 15असमानता का समाधान करें | एक्स 2 – 3एक्स| लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2 .

समाधान:इस असमानता की परिभाषा का क्षेत्र अंतराल (-1; +∞) है। तीन मामलों पर अलग से विचार करें:

1) चलो एक्स 2 – 3एक्स= 0, यानी एक्स= 0 या एक्स= 3. इस स्थिति में, यह असमानता सत्य हो जाती है, इसलिए, इन मूल्यों को समाधान में शामिल किया जाता है।

2) अभी चलो एक्स 2 – 3एक्स> 0, यानी एक्स∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). इस मामले में, इस असमानता को इस रूप में फिर से लिखा जा सकता है ( एक्स 2 – 3एक्स) लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2 और सकारात्मक अभिव्यक्ति से विभाजित करें एक्स 2 – 3एक्स. हमें लॉग 2 मिलता है ( एक्स + 1) ≤ –1, एक्स + 1 ≤ 2 –1 , एक्स≤ 0.5 -1 या एक्स≤ -0.5. परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है एक्स ∈ (–1; –0,5].

3) अंत में, विचार करें एक्स 2 – 3एक्स < 0, при этом एक्स∈ (0; 3). इस मामले में, मूल असमानता को फॉर्म (3) में फिर से लिखा जाएगा एक्स – एक्स 2) लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2. सकारात्मक व्यंजक 3 से विभाजित करने के बाद एक्स – एक्स 2, हमें लॉग 2 मिलता है ( एक्स + 1) ≤ 1, एक्स + 1 ≤ 2, एक्स≤ 1. क्षेत्रफल को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है एक्स ∈ (0; 1].

प्राप्त समाधानों को मिलाकर हम प्राप्त करते हैं एक्स ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

उत्तर: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

कार्य संख्या 16- उन्नत स्तर विस्तृत उत्तर के साथ दूसरे भाग के कार्यों को संदर्भित करता है। कार्य ज्यामितीय आकृतियों, निर्देशांकों और वैक्टरों के साथ कार्य करने की क्षमता का परीक्षण करता है। कार्य में दो आइटम हैं. पहले पैराग्राफ में, कार्य सिद्ध होना चाहिए, और दूसरे पैराग्राफ में, इसकी गणना की जानी चाहिए।

शीर्ष A पर 120° के कोण वाले समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, एक समद्विभाजक BD खींचा जाता है। आयत DEFH को त्रिभुज ABC में इस प्रकार अंकित किया गया है कि भुजा FH खंड BC पर और शीर्ष E खंड AB पर स्थित है। ए) साबित करें कि एफएच = 2डीएच। b) यदि AB = 4 है तो आयत DEFH का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

समाधान:ए)

1) ΔBEF - आयताकार, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, तो 30° के कोण के विपरीत पैर की संपत्ति के कारण EF = BE।

2) माना EF = DH = एक्स, तो बीई = 2 एक्स, बीएफ = एक्स√3 पाइथागोरस प्रमेय द्वारा।

3) चूँकि ΔABC समद्विबाहु है, तो ∠B = ∠C = 30˚।

BD, ∠B का समद्विभाजक है, इसलिए ∠ABD = ∠DBC = 15˚।

4) ΔDBH पर विचार करें - आयताकार, क्योंकि डीएच⊥बीसी।

2एक्स	=	4 – 2एक्स
2एक्स(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – एक्स
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – एक्स

एक्स = 3 – √3

ईएफ = 3 - √3

2) एस DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

एस DEFH = 24 - 12√3.

उत्तर: 24 – 12√3.

कार्य संख्या 17- विस्तृत उत्तर वाला एक कार्य, यह कार्य व्यावहारिक गतिविधियों और रोजमर्रा की जिंदगी में ज्ञान और कौशल के अनुप्रयोग, गणितीय मॉडल बनाने और तलाशने की क्षमता का परीक्षण करता है। यह कार्य आर्थिक सामग्री वाला एक पाठ्य कार्य है।

उदाहरण 17. 20 मिलियन रूबल की राशि में जमा राशि चार वर्षों के लिए खोलने की योजना है। प्रत्येक वर्ष के अंत में, बैंक वर्ष की शुरुआत में अपने आकार की तुलना में जमा राशि में 10% की वृद्धि करता है। इसके अलावा, तीसरे और चौथे वर्ष की शुरुआत में, जमाकर्ता सालाना जमा राशि की भरपाई करता है एक्समिलियन रूबल, कहाँ एक्स - पूरासंख्या। उच्चतम मान ज्ञात कीजिए एक्स, जिस पर बैंक चार वर्षों में जमा में 17 मिलियन से कम रूबल जोड़ देगा।

समाधान:पहले वर्ष के अंत में, योगदान 20 + 20 · 0.1 = 22 मिलियन रूबल होगा, और दूसरे के अंत में - 22 + 22 · 0.1 = 24.2 मिलियन रूबल। तीसरे वर्ष की शुरुआत में, योगदान (मिलियन रूबल में) (24.2+) होगा एक्स), और अंत में - (24.2+ एक्स) + (24,2 + एक्स) 0.1 = (26.62 + 1.1 एक्स). चौथे वर्ष की शुरुआत में योगदान (26.62 + 2.1) होगा एक्स), और अंत में - (26.62 + 2.1 एक्स) + (26,62 + 2,1एक्स) 0.1 = (29.282 + 2.31 एक्स). शर्त के अनुसार, आपको सबसे बड़ा पूर्णांक x ज्ञात करना होगा जिसके लिए असमानता है

(29,282 + 2,31एक्स) – 20 – 2एक्स < 17

29,282 + 2,31एक्स – 20 – 2एक्स < 17

0,31एक्स < 17 + 20 – 29,282

0,31एक्स < 7,718

एक्स <	7718
	310

एक्स <	3859
	155

एक्स < 24	139
	155

इस असमानता का सबसे बड़ा पूर्णांक समाधान संख्या 24 है।

उत्तर: 24.

कार्य संख्या 18- विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर का कार्य। यह कार्य आवेदकों की गणितीय तैयारी के लिए बढ़ी हुई आवश्यकताओं वाले विश्वविद्यालयों में प्रतिस्पर्धी चयन के लिए है। उच्च स्तर की जटिलता वाला कार्य किसी एक समाधान विधि को लागू करने का कार्य नहीं है, बल्कि विभिन्न विधियों के संयोजन का कार्य है। कार्य 18 को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए ठोस गणितीय ज्ञान के अलावा, उच्च स्तर की गणितीय संस्कृति की भी आवश्यकता होती है।

किस पर एअसमानताओं की प्रणाली

	एक्स 2 + य 2 ≤ 2एय – ए 2 + 1

	य + ए ≤ \|एक्स\| – ए

वास्तव में दो समाधान हैं?

समाधान:इस प्रणाली को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है

	एक्स 2 + (य– ए) 2 ≤ 1

	य ≤ \|एक्स\| – ए

यदि हम समतल पर पहली असमानता के समाधानों का समुच्चय बनाते हैं, तो हमें बिंदु (0) पर केन्द्रित त्रिज्या 1 के एक वृत्त (सीमा के साथ) का आंतरिक भाग मिलता है। ए). दूसरी असमानता के समाधान का सेट विमान का वह भाग है जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अंतर्गत स्थित है य = | एक्स| – ए, और बाद वाला फ़ंक्शन का ग्राफ़ है
य = | एक्स| , द्वारा नीचे स्थानांतरित कर दिया गया ए. इस प्रणाली का समाधान प्रत्येक असमानताओं के समाधान सेटों का प्रतिच्छेदन है।

नतीजतन, इस प्रणाली में केवल चित्र में दिखाए गए मामले में दो समाधान होंगे। 1.

वृत्त और रेखाओं के बीच संपर्क बिंदु सिस्टम के दो समाधान होंगे। प्रत्येक सीधी रेखा अपने अक्ष पर 45° के कोण पर झुकी होती है। तो त्रिकोण पीक्यूआर- आयताकार समद्विबाहु. डॉट क्यूनिर्देशांक हैं (0, ए), और बात आर- निर्देशांक (0, - ए). इसके अलावा, कटौती जनसंपर्कऔर पी क्यूवृत्त की त्रिज्या 1 के बराबर है। इसलिए,

QR= 2ए = √2, ए =	√2	.
	2

उत्तर: ए =	√2	.
	2

टास्क नंबर 19- विस्तृत उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर का कार्य। यह कार्य आवेदकों की गणितीय तैयारी के लिए बढ़ी हुई आवश्यकताओं वाले विश्वविद्यालयों में प्रतिस्पर्धी चयन के लिए है। उच्च स्तर की जटिलता वाला कार्य किसी एक समाधान विधि को लागू करने का कार्य नहीं है, बल्कि विभिन्न विधियों के संयोजन का कार्य है। कार्य 19 को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, ज्ञात तरीकों में से विभिन्न दृष्टिकोणों को चुनकर, अध्ययन की गई विधियों को संशोधित करके समाधान खोजने में सक्षम होना आवश्यक है।

होने देना एस.एन.जोड़ पीअंकगणितीय प्रगति के सदस्य ( एक पी). ह ज्ञात है कि एस एन + 1 = 2एन 2 – 21एन – 23.

ए) सूत्र दीजिए पीइस प्रगति का वां सदस्य।

बी) सबसे छोटा मॉड्यूलो योग ज्ञात कीजिए एस एन.

ग) सबसे छोटा खोजें पी, जिस पर एस एनएक पूर्णांक का वर्ग होगा.

समाधान: ए) जाहिर है, एक = एस एन – एस एन- 1 . इस सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं:

एस एन = एस (एन – 1) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 1) – 23 = 2एन 2 – 25एन,

एस एन – 1 = एस (एन – 2) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 2) – 23 = 2एन 2 – 25एन+ 27

साधन, एक = 2एन 2 – 25एन – (2एन 2 – 29एन + 27) = 4एन – 27.

बी) क्योंकि एस एन = 2एन 2 – 25एन, फिर फ़ंक्शन पर विचार करें एस(एक्स) = | 2एक्स 2 – 25एक्स|. उसका ग्राफ चित्र में देखा जा सकता है।

यह स्पष्ट है कि सबसे छोटा मान फ़ंक्शन के शून्य के निकटतम स्थित पूर्णांक बिंदुओं पर पहुंचता है। जाहिर है ये बिंदु हैं. एक्स= 1, एक्स= 12 और एक्स= 13. चूँकि, एस(1) = |एस 1 | = |2 – 25| = 23, एस(12) = |एस 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, एस(13) = |एस 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, तो सबसे छोटा मान 12 है।

ग) पिछले पैराग्राफ से यह पता चलता है कि एस.एन.तब से सकारात्मक एन= 13. चूंकि एस एन = 2एन 2 – 25एन = एन(2एन– 25), तब स्पष्ट स्थिति तब होती है जब यह अभिव्यक्ति एक पूर्ण वर्ग होती है जब इसका एहसास होता है एन = 2एन- 25, अर्थात्, साथ पी= 25.

यह 13 से 25 तक मानों की जाँच करना बाकी है:

एस 13 = 13 1, एस 14 = 14 3, एस 15 = 15 5, एस 16 = 16 7, एस 17 = 17 9, एस 18 = 18 11, एस 19 = 19 13 एस 20 = 20 13, एस 21 = 21 17, एस 22 = 22 19, एस 23 = 23 21, एस 24 = 24 23.

यह पता चला है कि छोटे मूल्यों के लिए पीपूर्ण वर्ग प्राप्त नहीं हुआ है.

उत्तर:ए) एक = 4एन- 27; बी) 12; ग) 25.

________________

*मई 2017 से, ड्रोफा-वेंटाना संयुक्त प्रकाशन समूह रूसी पाठ्यपुस्तक निगम का हिस्सा रहा है। निगम में एस्ट्रेल पब्लिशिंग हाउस और लेक्टा डिजिटल शैक्षिक मंच भी शामिल थे। रूसी संघ की सरकार के तहत वित्तीय अकादमी के स्नातक, आर्थिक विज्ञान के उम्मीदवार, डिजिटल शिक्षा (पाठ्यपुस्तकों के इलेक्ट्रॉनिक रूप, रूसी इलेक्ट्रॉनिक स्कूल, LECTA डिजिटल शैक्षिक मंच) के क्षेत्र में DROFA प्रकाशन गृह की नवीन परियोजनाओं के प्रमुख, अलेक्जेंडर ब्राइकिन को महानिदेशक नियुक्त किया गया है। DROFA पब्लिशिंग हाउस में शामिल होने से पहले, उन्होंने EKSMO-AST पब्लिशिंग होल्डिंग के रणनीतिक विकास और निवेश के उपाध्यक्ष का पद संभाला था। आज, रूसी पाठ्यपुस्तक प्रकाशन निगम के पास संघीय सूची में शामिल पाठ्यपुस्तकों का सबसे बड़ा पोर्टफोलियो है - 485 शीर्षक (लगभग 40%, सुधारात्मक स्कूलों के लिए पाठ्यपुस्तकों को छोड़कर)। निगम के प्रकाशन गृहों के पास भौतिकी, ड्राइंग, जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, प्रौद्योगिकी, भूगोल, खगोल विज्ञान में पाठ्यपुस्तकों के सेट हैं, जिनकी रूसी स्कूलों में सबसे अधिक मांग है - ज्ञान के क्षेत्र जो देश की उत्पादन क्षमता को विकसित करने के लिए आवश्यक हैं। निगम के पोर्टफोलियो में शिक्षा के क्षेत्र में राष्ट्रपति पुरस्कार से सम्मानित प्राथमिक विद्यालयों के लिए पाठ्यपुस्तकें और शिक्षण सहायक सामग्री शामिल हैं। ये विषय क्षेत्रों पर पाठ्यपुस्तकें और मैनुअल हैं जो रूस की वैज्ञानिक, तकनीकी और औद्योगिक क्षमता के विकास के लिए आवश्यक हैं।

, 11वीं कक्षा के स्नातकों के लिए एक अनिवार्य परीक्षा है। सांख्यिकीय रूप से, यह सबसे कठिन है।

हमारा सुझाव है कि आप परीक्षा के बारे में सामान्य जानकारी से परिचित हो जाएं और तुरंत तैयारी शुरू कर दें। 2019 की परीक्षा पिछले वर्ष से अलग नहीं है - यह मूल और प्रोफ़ाइल दोनों विकल्पों पर लागू होती है।

परीक्षा का बुनियादी स्तर

यह विकल्प स्नातकों के लिए दो मामलों में उपयुक्त है यदि:

किसी विश्वविद्यालय में प्रवेश के लिए गणित की कोई आवश्यकता नहीं;
स्नातक के बाद अपनी पढ़ाई जारी नहीं रखेंगे।

यदि आपकी चुनी हुई विशेषज्ञता में "गणित" विषय वाला कोई कॉलम है, तो बुनियादी स्तर आपका विकल्प नहीं है।

बुनियादी परीक्षा का मूल्यांकन

प्राथमिक स्कोर को टेस्ट स्कोर में बदलने का फॉर्मूला हर साल अपडेट किया जाता है और प्रारंभिक यूएसई अवधि के बाद ज्ञात हो जाता है। रोसोब्रनाडज़ोर का आदेश पहले ही जारी किया जा चुका है, जिसने आधिकारिक तौर पर 2019 के लिए सभी विषयों में प्राथमिक और परीक्षण अंकों के अनुपालन को तय किया है।

आदेश के अनुसार, गणित में कम से कम तीन के लिए बुनियादी परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए, आपको 12 प्राथमिक अंक प्राप्त करने होंगे। यह किन्हीं 12 कार्यों के सही ढंग से पूरा होने के बराबर है। अधिकतम प्राथमिक स्कोर 20 है.

बुनियादी परीक्षा संरचना

2019 में, फाउंडेशन लेवल मैथ टेस्ट में 20 लघु उत्तरीय प्रश्न होते हैं, जो एक पूर्णांक, या अंतिम दशमलव, या अंकों का अनुक्रम होता है। आपको या तो उत्तर की गणना करनी होगी या प्रस्तावित विकल्पों में से किसी एक को चुनना होगा।

USE का प्रोफ़ाइल स्तर

2019 में यह USE पिछले वर्ष के USE से अलग नहीं है।

यह प्रोफ़ाइल स्तर है जिसे स्नातकों को विश्वविद्यालयों में प्रवेश के लिए लेना चाहिए, क्योंकि अधिकांश विशिष्टताओं में गणित को प्रवेश के लिए मुख्य विषय के रूप में दर्शाया गया है।

प्रोफ़ाइल परीक्षण मूल्यांकन

यहां कुछ भी विशिष्ट नहीं है: हमेशा की तरह, आप प्राथमिक स्कोर एकत्र करते हैं, जिन्हें बाद में परीक्षण स्कोर में स्थानांतरित कर दिया जाता है। और पहले से ही 100-बिंदु प्रणाली पर, आप परीक्षा के लिए अंक निर्धारित कर सकते हैं।

परीक्षा को सरलता से गिनने के लिए, 6 प्राथमिक अंक प्राप्त करना पर्याप्त है। ऐसा करने के लिए, आपको भाग 1 के कम से कम 6 कार्यों को हल करना होगा। अधिकतम प्राथमिक स्कोर 32 है।

प्रोफ़ाइल परीक्षण संरचना

2019 में, प्रोफ़ाइल स्तर पर गणित में यूएसई परीक्षण में 19 कार्यों सहित दो भाग होते हैं।

भाग 1: संक्षिप्त उत्तर के साथ जटिलता के बुनियादी स्तर के 8 कार्य (1-8)।
भाग 2: संक्षिप्त उत्तर के साथ बढ़े हुए कठिनाई स्तर के 4 कार्य (9-12) और विस्तृत उत्तर के साथ बढ़े हुए और उच्च कठिनाई स्तर के 7 कार्य (13-19)।

परीक्षा की तैयारी

उत्तीर्णपंजीकरण और एसएमएस के बिना निःशुल्क ऑनलाइन USE परीक्षण। प्रस्तुत परीक्षण अपनी जटिलता और संरचना में संबंधित वर्षों में आयोजित वास्तविक परीक्षाओं के समान हैं।

डाउनलोड करनागणित में परीक्षा के डेमो संस्करण, जो आपको परीक्षा के लिए बेहतर तैयारी करने और इसे पास करने में आसान बनाने की अनुमति देंगे। सभी प्रस्तावित परीक्षण फेडरल इंस्टीट्यूट ऑफ पेडागोगिकल मेजरमेंट्स (एफआईपीआई) द्वारा एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी के लिए विकसित और अनुमोदित किए गए थे। उसी FIPI में, परीक्षा के सभी आधिकारिक संस्करण विकसित किए जा रहे हैं।
चेक आउटपरीक्षा की तैयारी के लिए बुनियादी सूत्रों के साथ, वे डेमो और परीक्षण विकल्पों के साथ आगे बढ़ने से पहले आपकी याददाश्त को ताज़ा करने में मदद करेंगे।

जो कार्य आप देखेंगे, वे संभवतः परीक्षा में नहीं मिलेंगे, लेकिन डेमो के समान कार्य होंगे, एक ही विषय पर या बस अलग-अलग संख्याओं के साथ।

सामान्य उपयोग के आंकड़े

वर्ष	न्यूनतम. उपयोग स्कोर	औसत अंक	आवेदकों की संख्या	उत्तीर्ण नहीं हुआ, %	मात्रा< 100 अंक	अवधि- परीक्षा की अवधि, न्यूनतम.
2009	21
2010	21	43,35	864 708	6,1	160	240
2011	24	47,49	738 746	4,9	205	240
2012	24	44,6	831 068	7,5	56	240
2013	24	48,7	803 741	6,2	538	240
2014	20	46,4				240
2015	27	45,4				235
2016	27					235
2017	27					235

गणित में यूएसई मुख्य अनुशासन है जिसे सभी स्नातक लेते हैं। परीक्षा परीक्षण को दो स्तरों में विभाजित किया गया है - मूल और प्रोफ़ाइल। दूसरे की आवश्यकता केवल उन लोगों के लिए है जो उच्च शिक्षा में गणित को अध्ययन का मुख्य विषय बनाने की योजना बना रहे हैं। बाकी सभी लोग बुनियादी स्तर पास कर लेते हैं। इस परीक्षण का उद्देश्य मानदंडों और मानकों के अनुपालन के लिए स्नातक छात्रों के कौशल और ज्ञान के स्तर की जांच करना है। मुख्य और बुनियादी स्तरों में विभाजन का उपयोग पहली बार 2017 में किया गया था ताकि जिन छात्रों को विश्वविद्यालय में प्रवेश के लिए उन्नत गणित की आवश्यकता नहीं है, वे कठिन असाइनमेंट की तैयारी में समय बर्बाद न करें।

प्रमाणपत्र प्राप्त करने और विश्वविद्यालय में आवेदन करने के लिए, आपको बुनियादी स्तर के कार्यों को संतोषजनक ढंग से पूरा करना होगा। तैयारी में बीजगणित और ज्यामिति में स्कूल पाठ्यक्रम की पुनरावृत्ति शामिल है। बुनियादी स्तर के उपयोग में कार्य विभिन्न स्तरों के ज्ञान वाले छात्रों के लिए उपलब्ध हैं। बुनियादी स्तर वे छात्र पास कर सकते हैं जो कक्षा में केवल ध्यान दे रहे थे।
तैयारी के लिए मुख्य सिफ़ारिशें हैं:

व्यवस्थित तैयारी पहले से ही शुरू कर देनी चाहिए ताकि आपको घबराना न पड़े, परीक्षा से 1-2 महीने पहले सभी कार्यों में महारत हासिल कर लें। उच्च गुणवत्ता वाले प्रशिक्षण के लिए आवश्यक अवधि ज्ञान के प्रारंभिक स्तर पर निर्भर करती है।
यदि आप आश्वस्त नहीं हैं कि आप स्वयं कार्यों में महारत हासिल कर लेंगे, तो किसी शिक्षक से मदद मांगें - वह आपके ज्ञान को व्यवस्थित करने में आपकी मदद करेगा।
कार्यक्रम के अनुसार समस्याओं, उदाहरणों, कार्यों को हल करने का अभ्यास करें।
कार्यों को ऑनलाइन हल करें - "मैं परीक्षा को हल करूंगा" नियमित प्रशिक्षण और परीक्षा की तैयारी में मदद करेगा। एक शिक्षक के साथ, आप गलतियों का विश्लेषण करने, उन कार्यों का विश्लेषण करने में सक्षम होंगे जो विशेष कठिनाइयों का कारण बनते हैं।

परीक्षा को सफलतापूर्वक पास करने के लिए, ऐसे विषयों को दोहराना आवश्यक है: समीकरण और असमानताएं, समन्वय प्रणाली, ज्यामितीय आकार, समान परिवर्तन, कार्य और वैक्टर।
तैयारी की प्रक्रिया में, अलग-अलग जटिलता के अधिक से अधिक कार्यों को हल करें, धीरे-धीरे समय के साथ कार्यों को पूरा करने पर स्विच करें। जानें .
तैयारी के तरीके

स्कूल में विषय का अध्ययन;
स्व-शिक्षा - उदाहरण के द्वारा समस्याओं को हल करना;
एक शिक्षक के साथ पाठ;
पाठ्यक्रमों में प्रशिक्षण;
ऑनलाइन तैयारी.

अंतिम विकल्प समय और धन बचाना है, अपनी ताकत का परीक्षण करने और समस्याग्रस्त कार्यों की सीमा को रेखांकित करने का अवसर है।

ऐसे 20 कार्य हैं (संख्या हर साल बदल सकती है) जिनके लिए संक्षिप्त उत्तर आवश्यक हैं। यह उस छात्र के लिए पर्याप्त है जो मानविकी में उच्च शिक्षण संस्थानों में प्रवेश की योजना बना रहा है।
कार्यों को पूरा करने के लिए विषय को 3 घंटे का समय दिया जाता है। काम शुरू करने से पहले, आपको निर्देशों को ध्यान से पढ़ना चाहिए और इसके प्रावधानों के अनुसार कार्य करना चाहिए। परीक्षा पुस्तिका के साथ संदर्भ सामग्री होती है जो परीक्षा परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए आवश्यक होती है। सभी कार्यों के सफल समापन के लिए 5 अंक दिए गए हैं, न्यूनतम सीमा स्कोर 3 है।

माध्यमिक सामान्य शिक्षा

लाइन यूएमके जी.के. मुराविना। बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत (10-11) (गहरा)

लाइन यूएमके मर्ज़लियाक। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत (10-11) (यू)

अंक शास्त्र

गणित में परीक्षा की तैयारी (प्रोफ़ाइल स्तर): कार्य, समाधान और स्पष्टीकरण

हम कार्यों का विश्लेषण करते हैं और शिक्षक के साथ उदाहरण हल करते हैं

प्रोफ़ाइल-स्तरीय परीक्षा का पेपर 3 घंटे 55 मिनट (235 मिनट) तक चलता है।

न्यूनतम सीमा- 27 अंक.

कार्य के प्रत्येक भाग की परिभाषित विशेषता कार्यों का रूप है:

भाग 1 में पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में संक्षिप्त उत्तर के साथ 8 कार्य (कार्य 1-8) शामिल हैं;
भाग 2 में पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में संक्षिप्त उत्तर के साथ 4 कार्य (कार्य 9-12) और विस्तृत उत्तर के साथ 7 कार्य (कार्य 13-19) शामिल हैं (प्रदर्शन किए गए कार्यों के तर्क के साथ निर्णय का पूरा रिकॉर्ड)।

समाधान:

1) प्रति माह खर्च किए गए पानी की मात्रा ज्ञात करें:

177 - 172 = 5 (घन मीटर)

2) पता करें कि खर्च किए गए पानी के लिए कितना पैसा भुगतान किया जाएगा:

34.17 5 = 170.85 (रगड़)

उत्तर: 170,85.

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समाधान:

2) 1000 3/4 = 750 (शेयर) - खरीदे गए सभी शेयरों का 3/4 बनता है।

6) 247500 + 77500 = 325000 (रूबल) - 1000 शेयरों की बिक्री के बाद व्यवसायी को प्राप्त हुआ।

7) 340,000 - 325,000 = 15,000 (रूबल) - व्यवसायी को सभी कार्यों के परिणामस्वरूप नुकसान हुआ।

उत्तर: 15000.

इस आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम पीक सूत्र का उपयोग करते हैं:

एस= बी +	जी
	2

इसलिए, जहाँ V = 10, G = 6 है

एस = 18 +	6
	2

उत्तर: 20.

जिसके सभी शीर्ष लाल हैं।

3) सभी लाल शीर्षों वाला एक पंचभुज।

4) 10 + 5 + 1 = सभी लाल शीर्षों के साथ 16 बहुभुज।

जिनके शीर्ष लाल हैं या एक नीले शीर्ष के साथ हैं।

8) एक षट्भुज जिसके शीर्ष लाल और एक नीला शीर्ष है।

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 बहुभुज जिनके सभी शीर्ष लाल या एक नीला शीर्ष है।

10) 42 - 16 = 26 बहुभुज जो नीले बिंदु का उपयोग करते हैं।

उत्तर: 10.

उदाहरण 5समीकरण 2 3+ को हल करें एक्स= 0.4 5 3 + एक्स .

समाधान।इस समीकरण के दोनों पक्षों को 5 3+ से विभाजित करें एक्स≠ 0, हमें मिलता है

2 3 + एक्स	= 0.4 या		2		3 + एक्स	=	2	,
5 3 + एक्स			5				5

जहां से यह 3 + का अनुसरण करता है एक्स = 1, एक्स = –2.

उत्तर: –2.

इस तरह, एस एबेड = एस Δ एबीसी – एस Δ सीडीई = 129 – 32,25 = 96,75.

(य – य 1)(एक्स 2 – एक्स 1) = (एक्स – एक्स 1)(य 2 – य 1)

(य – 3)(3 – 4) = (एक्स – 4)(–1 – 3)

(य – 3)(–1) = (एक्स – 4)(–4)

–य + 3 = –4एक्स+16| · (-1)

य – 3 = 4एक्स – 16

य = 4एक्स– 13, कहाँ क 1 = 4.

उत्तर: –0,25.

एक गोले के चारों ओर घिरे घन का आयतन 216 है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान। 1) वीघन = ए 3 (कहां एघन के किनारे की लंबाई है), इसलिए

ए 3 = 216

ए = 3 √216

संख्यात्मक तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का परिवर्तन;

बीजीय व्यंजकों और भिन्नों का रूपांतरण;

संख्यात्मक/अक्षर अपरिमेय अभिव्यक्तियों का रूपांतरण;

डिग्री के साथ कार्रवाई;

लघुगणकीय अभिव्यक्तियों का परिवर्तन;

संख्यात्मक/अक्षर त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों का रूपांतरण।

उदाहरण 9 tgα की गणना करें यदि यह ज्ञात है कि cos2α = 0.6 और

3π	< α < π.
4

समाधान। 1) आइए दोहरे तर्क सूत्र का उपयोग करें: cos2α = 2 cos 2 α - 1 और खोजें

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	क्योंकि 2 α		0,8		8		4		4		4

अत: tan 2 α = ± 0.5।

3) शर्त के अनुसार

3π	< α < π,
4

इसलिए α दूसरी तिमाही का कोण है और tgα है< 0, поэтому tgα = –0,5.

उत्तर: –0,5.

एमवी 2 पाप 2 α ≥ 50

2 10 2 पाप 2 α ≥ 50

200 पाप2α ≥ 50

चूँकि α ∈ (0°; 90°), हम केवल हल करेंगे

हम असमानता के समाधान को रेखांकन द्वारा प्रस्तुत करते हैं:

560 = (5 + ए 16) 8,

5 + ए 16 = 560: 8,

5 + ए 16 = 70,

ए 16 = 70 – 5

ए 16 = 65.

उत्तर: 65.

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु ज्ञात करें य= 10 एलएन( एक्स + 9) – 10एक्स + 1.

समाधान: 1) फ़ंक्शन का डोमेन खोजें: एक्स + 9 > 0, एक्स> –9, अर्थात x ∈ (–9; ∞).

2) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

वांछित अधिकतम बिंदु एक्स = –8.

a) समीकरण 2log 3 2 (2cos) को हल करें एक्स) – 5लॉग 3 (2cos एक्स) + 2 = 0

बी) इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो खंड से संबंधित हैं।

समाधान: a) मान लीजिए लॉग 3 (2cos एक्स) = टी, फिर 2 टी 2 – 5टी + 2 = 0,

लॉग3(2cos एक्स) =	2	⇔	2cos एक्स = 9	⇔	ओल एक्स =	4,5	⇔ क्योंकि \|क्योंकि एक्स\| ≤ 1,

लॉग3(2cos एक्स) =	1		2cos एक्स = √3		ओल एक्स =	√3
	2					2

फिर क्योंकि एक्स =	√3
	2

एक्स =	π	+ 2π क
	6

एक्स = –	π	+ 2π क, क ∈ जेड
	6

बी) खंड पर स्थित जड़ों का पता लगाएं।

चित्र से यह देखा जा सकता है कि दिए गए खंड की जड़ें हैं

11π	और	13π	.
6		6

उत्तर:ए)	π	+ 2π क; –	π	+ 2π क, क ∈ जेड; बी)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

a) सिद्ध करें कि सिलेंडर के आधारों के केंद्र इस तल के एक ही तरफ स्थित हैं।

ख) इस तल और सिलेंडर के आधार के तल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

फिर स्वरों के बीच की दूरी या तो है

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

अतः आवश्यक कोण है

∠ABH = आर्कटैन	एएच	= आर्कटिक	28	= आर्कटिक14.
	बिहार		8 – 6

उदाहरण 15असमानता का समाधान करें | एक्स 2 – 3एक्स| लॉग 2 ( एक्स + 1) ≤ 3एक्स – एक्स 2 .

प्राप्त समाधानों को मिलाकर हम प्राप्त करते हैं एक्स ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

उत्तर: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

समाधान:ए)

2) माना EF = DH = एक्स, तो बीई = 2 एक्स, बीएफ = एक्स√3 पाइथागोरस प्रमेय द्वारा।

3) चूँकि ΔABC समद्विबाहु है, तो ∠B = ∠C = 30˚।

BD, ∠B का समद्विभाजक है, इसलिए ∠ABD = ∠DBC = 15˚।

4) ΔDBH पर विचार करें - आयताकार, क्योंकि डीएच⊥बीसी।

2एक्स	=	4 – 2एक्स
2एक्स(√3 + 1)	=	4

1	=	2 – एक्स
√3 + 1	=	2

√3 – 1 = 2 – एक्स

एक्स = 3 – √3

ईएफ = 3 - √3

2) एस DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

एस DEFH = 24 - 12√3.

उत्तर: 24 – 12√3.

(29,282 + 2,31एक्स) – 20 – 2एक्स < 17

29,282 + 2,31एक्स – 20 – 2एक्स < 17

0,31एक्स < 17 + 20 – 29,282

0,31एक्स < 7,718

एक्स <	7718
	310

एक्स <	3859
	155

एक्स < 24	139
	155

इस असमानता का सबसे बड़ा पूर्णांक समाधान संख्या 24 है।

उत्तर: 24.

किस पर एअसमानताओं की प्रणाली

	एक्स 2 + य 2 ≤ 2एय – ए 2 + 1

	य + ए ≤ \|एक्स\| – ए

वास्तव में दो समाधान हैं?

समाधान:इस प्रणाली को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है

	एक्स 2 + (य– ए) 2 ≤ 1

	य ≤ \|एक्स\| – ए

नतीजतन, इस प्रणाली में केवल चित्र में दिखाए गए मामले में दो समाधान होंगे। 1.

QR= 2ए = √2, ए =	√2	.
	2

उत्तर: ए =	√2	.
	2

ए) सूत्र दीजिए पीइस प्रगति का वां सदस्य।

बी) सबसे छोटा मॉड्यूलो योग ज्ञात कीजिए एस एन.

ग) सबसे छोटा खोजें पी, जिस पर एस एनएक पूर्णांक का वर्ग होगा.

समाधान: ए) जाहिर है, एक = एस एन – एस एन- 1 . इस सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं:

एस एन = एस (एन – 1) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 1) – 23 = 2एन 2 – 25एन,

एस एन – 1 = एस (एन – 2) + 1 = 2(एन – 1) 2 – 21(एन – 2) – 23 = 2एन 2 – 25एन+ 27

साधन, एक = 2एन 2 – 25एन – (2एन 2 – 29एन + 27) = 4एन – 27.

यह 13 से 25 तक मानों की जाँच करना बाकी है:

यह पता चला है कि छोटे मूल्यों के लिए पीपूर्ण वर्ग प्राप्त नहीं हुआ है.

उत्तर:ए) एक = 4एन- 27; बी) 12; ग) 25.

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