सभी बहुभुज दिखाएँ। पाठ "बहुभुज

विषय: "बहुभुज। बहुभुज के प्रकार"

श्रेणी 9

एसएल №20

शिक्षक: खारितोनोविच टी.आई.पाठ का उद्देश्य: बहुभुज के प्रकारों का अध्ययन।

सीखने का कार्य:बहुभुजों के बारे में छात्रों के ज्ञान को अद्यतन, विस्तृत और सामान्य बनाना; बहुभुज के "घटकों" का एक विचार बनाएं; नियमित बहुभुजों के घटक तत्वों की संख्या का अध्ययन करें (त्रिकोण से एन-गॉन तक);

विकास कार्य:विश्लेषण करने, तुलना करने, निष्कर्ष निकालने, कम्प्यूटेशनल कौशल विकसित करने, मौखिक और लिखित गणितीय भाषण, स्मृति, साथ ही साथ सोचने और सीखने की गतिविधियों में स्वतंत्रता, जोड़े और समूहों में काम करने की क्षमता विकसित करना; अनुसंधान और शैक्षिक गतिविधियों का विकास;

शैक्षिक कार्य:स्वतंत्रता, गतिविधि, सौंपे गए कार्य के लिए जिम्मेदारी, लक्ष्य प्राप्त करने में दृढ़ता की खेती करना।

उपकरण: इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड (प्रस्तुति)

कक्षाओं के दौरान

प्रस्तुति दिखाएं: "बहुभुज"

"प्रकृति गणित की भाषा बोलती है, इस भाषा के अक्षर ... गणितीय आंकड़े।" जी गैलीली

पाठ की शुरुआत में, कक्षा को कार्य समूहों में विभाजित किया जाता है (हमारे मामले में, 3 समूहों में विभाजन)

1. कॉल स्टेज-

a) विषय पर छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना;

बी) अध्ययन के तहत विषय में रुचि का जागरण, सीखने की गतिविधियों के लिए प्रत्येक छात्र की प्रेरणा।

स्वागत: खेल "क्या आप मानते हैं कि ...", पाठ के साथ काम का संगठन।

कार्य के रूप: ललाट, समूह।

"क्या आप मानते हैं कि…।"

1. ... "बहुभुज" शब्द इंगित करता है कि इस परिवार के सभी आंकड़ों में "कई कोने" हैं?

2. ... क्या एक त्रिकोण बहुभुजों के एक बड़े परिवार से संबंधित है जो एक विमान पर विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय आकृतियों से अलग है?

3. ...क्या एक वर्ग नियमित अष्टभुज (चार भुजाएँ + चार कोने) होता है?

आज के पाठ में हम बहुभुज के बारे में बात करेंगे। हम सीखते हैं कि यह आकृति एक बंद टूटी हुई रेखा से बंधी है, जो बदले में सरल, बंद हो सकती है। आइए इस तथ्य के बारे में बात करें कि बहुभुज समतल, नियमित, उत्तल हैं। समतल बहुभुजों में से एक त्रिभुज है जिससे आप लंबे समय से परिचित हैं (आप छात्रों को बहुभुजों को चित्रित करने वाले पोस्टर दिखा सकते हैं, एक टूटी हुई रेखा, उनके विभिन्न प्रकार दिखा सकते हैं, आप टीसीओ का उपयोग भी कर सकते हैं)।

2. समझ का चरण

उद्देश्य: नई जानकारी प्राप्त करना, इसकी समझ, चयन।

रिसेप्शन: ज़िगज़ैग।

कार्य के रूप: व्यक्ति->जोड़ी->समूह।

प्रत्येक समूह को पाठ के विषय पर एक पाठ दिया जाता है, और पाठ को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि इसमें छात्रों को पहले से ज्ञात जानकारी और पूरी तरह से नई जानकारी दोनों शामिल हों। पाठ के साथ, छात्रों को प्रश्न प्राप्त होते हैं, जिनके उत्तर इस पाठ में पाए जाने चाहिए।

बहुभुज। बहुभुज के प्रकार।

रहस्यमय बरमूडा त्रिभुज के बारे में किसने नहीं सुना है, जहां जहाज और विमान बिना किसी निशान के गायब हो जाते हैं? लेकिन बचपन से जिस त्रिकोण से हम परिचित हैं, वह बहुत ही रोचक और रहस्यमयी चीजों से भरा हुआ है।

पहले से ही ज्ञात त्रिभुजों के प्रकारों के अलावा, भुजाओं (स्केलेन, समद्विबाहु, समबाहु) और कोणों (तीव्र-कोण, अधिक-कोण, समकोण) से विभाजित, त्रिभुज बहुभुजों के एक बड़े परिवार से संबंधित है, जो बीच में प्रतिष्ठित है। विमान पर कई अलग-अलग ज्यामितीय आकृतियाँ।

"बहुभुज" शब्द इंगित करता है कि इस परिवार के सभी आंकड़ों में "कई कोने" हैं। लेकिन यह आंकड़ा बताने के लिए पर्याप्त नहीं है।

एक टूटी हुई रेखा A1A2...एक ऐसी आकृति है जिसमें बिंदु A1,A2,...An और खंड A1A2, A2A3,... होते हैं जो उन्हें जोड़ते हैं। बिंदुओं को पॉलीलाइन के कोने कहा जाता है, और खंडों को पॉलीलाइन के लिंक कहा जाता है। (चित्र .1)

एक टूटी हुई रेखा को सरल कहा जाता है यदि इसमें स्व-प्रतिच्छेदन नहीं होता है (चित्र 2,3)।

एक टूटी हुई रेखा को बंद कहा जाता है यदि इसके सिरे मेल खाते हैं। एक टूटी हुई रेखा की लंबाई उसके कड़ियों की लंबाई का योग है (चित्र 4)।

एक साधारण बंद टूटी हुई रेखा को बहुभुज कहा जाता है यदि इसके आसन्न लिंक एक ही सीधी रेखा (चित्र 5) पर स्थित नहीं होते हैं।

"अनेक" भाग के स्थान पर "बहुभुज" शब्द को एक विशिष्ट संख्या से प्रतिस्थापित करें, उदाहरण के लिए 3. आपको एक त्रिभुज मिलेगा। या 5. फिर - पंचभुज। ध्यान दें कि जितने कोण हैं उतने ही कोण हैं, इसलिए इन आकृतियों को बहुपार्श्व कहा जा सकता है।

पॉलीलाइन के शीर्षों को बहुभुज के शीर्ष कहा जाता है, और पॉलीलाइन के लिंक को बहुभुज की भुजाएं कहा जाता है।

बहुभुज समतल को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: आंतरिक और बाह्य (चित्र 6)।

एक समतल बहुभुज या बहुभुज क्षेत्र एक बहुभुज से घिरे हुए समतल का परिमित भाग होता है।

बहुभुज के दो शीर्ष जो एक ही भुजा के सिरे हों, पड़ोसी कहलाते हैं। वे शीर्ष जो एक भुजा के सिरे नहीं हैं, असन्निकट हैं।

n शीर्षों वाला बहुभुज और इसलिए n भुजाएँ n-गॉन कहलाती हैं।

हालांकि एक बहुभुज की भुजाओं की सबसे छोटी संख्या 3 होती है। लेकिन त्रिकोण, एक दूसरे से जुड़कर, अन्य आकृतियों का निर्माण कर सकते हैं, जो बदले में बहुभुज भी होते हैं।

बहुभुज के गैर-पड़ोसी शीर्षों को जोड़ने वाले खंडों को विकर्ण कहा जाता है।

एक बहुभुज को उत्तल कहा जाता है यदि यह अपनी भुजा वाली किसी भी रेखा के संबंध में एक अर्ध-तल में स्थित हो। इस मामले में, लाइन को ही हाफ-प्लेन से संबंधित माना जाता है

किसी दिए गए शीर्ष पर एक उत्तल बहुभुज का कोण उस शीर्ष पर अभिसारी होने वाली भुजाओं द्वारा निर्मित कोण होता है।

आइए प्रमेय को सिद्ध करें (एक उत्तल n-गॉन के कोणों के योग पर): एक उत्तल n-गॉन के कोणों का योग 1800*(n - 2) के बराबर है।

सबूत। मामले में n=3 प्रमेय मान्य है। चलो А1А2… А n एक दिया हुआ उत्तल बहुभुज है और n>3 है। आइए इसमें विकर्ण बनाएं (एक शीर्ष से)। चूँकि बहुभुज उत्तल है, ये विकर्ण इसे n - 2 त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। बहुभुज के कोणों का योग इन सभी त्रिभुजों के कोणों के योग के समान है। प्रत्येक त्रिभुज के कोणों का योग 1800 है, और इन त्रिभुजों की संख्या n - 2 है। इसलिए, एक उत्तल n - कोण A1A2 ... के कोणों का योग 1800 * (n - 2) है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

किसी दिए गए शीर्ष पर एक उत्तल बहुभुज का बहिष्कोण उस शीर्ष पर बहुभुज के आंतरिक कोण का आसन्न कोण होता है।

एक उत्तल बहुभुज को नियमित कहा जाता है यदि सभी भुजाएँ समान हों और सभी कोण समान हों।

तो वर्ग को अलग तरह से कहा जा सकता है - एक नियमित चतुर्भुज। समबाहु त्रिभुज भी नियमित होते हैं। इस तरह के आंकड़े इमारतों को सजाने वाले स्वामी के लिए लंबे समय से रुचि रखते हैं। उन्होंने सुंदर पैटर्न बनाए, उदाहरण के लिए, लकड़ी की छत पर। लेकिन लकड़ी की छत बनाने के लिए सभी नियमित बहुभुजों का उपयोग नहीं किया जा सकता था। लकड़ी की छत नियमित अष्टकोना से नहीं बनाई जा सकती। तथ्य यह है कि उनके पास प्रत्येक कोण 1350 के बराबर है। और यदि कोई बिंदु ऐसे दो अष्टकोणों का शीर्ष है, तो उनके पास 2700 होगा, और तीसरे अष्टकोण के लिए कहीं भी फिट नहीं है: 3600 - 2700 = 900। लेकिन एक के लिए चौकोर यह काफी है। इसलिए, नियमित अष्टकोना और वर्गों से लकड़ी की छत को मोड़ना संभव है।

सितारे सही हैं। हमारा पाँच-नुकीला तारा एक नियमित पंचकोणीय तारा है। और यदि आप वर्ग को केंद्र के चारों ओर 450 से घुमाते हैं, तो आपको एक नियमित अष्टकोणीय तारा मिलता है।

टूटी हुई रेखा क्या है? बताएं कि पॉलीलाइन के वर्टिकल और लिंक क्या होते हैं।

किस टूटी हुई रेखा को सरल कहा जाता है?

किस टूटी हुई रेखा को बंद कहा जाता है?

बहुभुज क्या है? बहुभुज के शीर्ष क्या कहलाते हैं? बहुभुज की भुजाएँ क्या होती हैं?

समतल बहुभुज क्या है? बहुभुजों के उदाहरण दीजिए।

एन-गॉन क्या है?

समझाइए कि बहुभुज के कौन से शीर्ष आसन्न हैं और कौन से नहीं।

बहुभुज का विकर्ण क्या होता है?

उत्तल बहुभुज क्या है?

बताएं कि बहुभुज के कौन से कोने बाहरी हैं और कौन से आंतरिक हैं?

एक नियमित बहुभुज क्या है? नियमित बहुभुजों के उदाहरण दीजिए।

उत्तल n-गॉन के कोणों का योग कितना होता है? इसे साबित करो।

छात्र पाठ के साथ काम करते हैं, पूछे गए सवालों के जवाब तलाशते हैं, जिसके बाद विशेषज्ञ समूह बनते हैं, जिसमें समान मुद्दों पर काम किया जाता है: छात्र मुख्य बात पर प्रकाश डालते हैं, एक सहायक सार तैयार करते हैं, किसी एक में जानकारी प्रस्तुत करते हैं ग्राफिक रूप। काम के अंत में, छात्र अपने कार्य समूहों में लौट आते हैं।

3. चिंतन की अवस्था -

क) उनके ज्ञान का आकलन, ज्ञान के अगले चरण के लिए चुनौती;

बी) प्राप्त जानकारी की समझ और विनियोग।

रिसेप्शन: शोध कार्य।

कार्य के रूप: व्यक्ति->जोड़ी->समूह।

कार्यकारी समूह प्रस्तावित प्रश्नों के प्रत्येक खंड के उत्तर के विशेषज्ञ हैं।

कार्यकारी समूह में लौटकर, विशेषज्ञ समूह के अन्य सदस्यों को उनके सवालों के जवाबों से परिचित कराता है। समूह में कार्य समूह के सभी सदस्यों की सूचनाओं का आदान-प्रदान होता है। इस प्रकार, प्रत्येक कार्य समूह में, विशेषज्ञों के काम के लिए धन्यवाद, अध्ययन के तहत विषय पर एक सामान्य विचार बनता है।

छात्रों का शोध कार्य- टेबल भरना।

नियमित बहुभुज आरेखण भुजाओं की संख्या शीर्षों की संख्या सभी आंतरिक कोणों का योग आंतरिक की डिग्री माप। कोण बाहरी कोण का डिग्री माप विकर्णों की संख्या

ए) त्रिकोण

बी) चतुर्भुज

बी) पांच छेद

डी) षट्कोण

ई) एन-गॉन

पाठ के विषय पर दिलचस्प समस्याओं का समाधान।

1) एक नियमित बहुभुज की कितनी भुजाएँ होती हैं, जिसका प्रत्येक आंतरिक कोण 1350 के बराबर होता है?

2) एक निश्चित बहुभुज में, सभी आंतरिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। क्या इस बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग हो सकता है: 3600, 3800?

3) क्या 100,103,110,110,116 डिग्री के कोणों के साथ पेंटागन बनाना संभव है?

पाठ का सारांश।

रिकॉर्डिंग गृहकार्य: STR66-72 नंबर 15,17 और समस्या: एक चतुर्भुज में, एक सीधा चित्र बनाएं ताकि वह इसे तीन त्रिभुजों में विभाजित कर सके।

परीक्षण के रूप में प्रतिबिंब (एक इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड पर)

विषय, छात्रों की आयु: ज्यामिति, ग्रेड 9

पाठ का उद्देश्य: बहुभुज के प्रकारों का अध्ययन।

सीखने का कार्य: बहुभुज के बारे में छात्रों के ज्ञान को अद्यतन, विस्तारित और सामान्य बनाना; बहुभुज के "घटकों" का एक विचार बनाएं; नियमित बहुभुजों के घटक तत्वों की संख्या का अध्ययन करें (त्रिकोण से एन-गॉन तक);

विकासशील कार्य: विश्लेषण करने, तुलना करने, निष्कर्ष निकालने, कम्प्यूटेशनल कौशल विकसित करने, मौखिक और लिखित गणितीय भाषण, स्मृति, साथ ही सोच और सीखने की गतिविधियों में स्वतंत्रता, जोड़े और समूहों में काम करने की क्षमता विकसित करने की क्षमता विकसित करना; अनुसंधान और शैक्षिक गतिविधियों का विकास;

शैक्षिक कार्य: स्वतंत्रता, गतिविधि, सौंपे गए कार्य के लिए जिम्मेदारी, लक्ष्य प्राप्त करने में दृढ़ता को शिक्षित करना।

कक्षाओं के दौरान:ब्लैकबोर्ड पर एक उद्धरण लिखा है

"प्रकृति गणित की भाषा बोलती है, इस भाषा के अक्षर ... गणितीय आंकड़े।"जी गैलीली

पाठ की शुरुआत में, कक्षा को कार्य समूहों में विभाजित किया गया है (हमारे मामले में, प्रत्येक 4 लोगों के समूहों में विभाजन - समूह के सदस्यों की संख्या प्रश्न समूहों की संख्या के बराबर है)।

1. कॉल स्टेज-

लक्ष्य:

a) विषय पर छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना;

बी) अध्ययन के तहत विषय में रुचि का जागरण, सीखने की गतिविधियों के लिए प्रत्येक छात्र की प्रेरणा।

स्वागत: खेल "क्या आप मानते हैं कि ...", पाठ के साथ काम का संगठन।

कार्य के रूप: ललाट, समूह।

"क्या आप मानते हैं कि…।"

1. ... "बहुभुज" शब्द इंगित करता है कि इस परिवार के सभी आंकड़ों में "कई कोने" हैं?

2. ... एक त्रिभुज बहुभुजों के एक बड़े परिवार से संबंधित है, जो समतल पर कई अलग-अलग ज्यामितीय आकृतियों के बीच प्रतिष्ठित है?

3. ...क्या एक वर्ग नियमित अष्टभुज (चार भुजाएँ + चार कोने) होता है?

आज के पाठ में हम बहुभुज के बारे में बात करेंगे। हम सीखते हैं कि यह आकृति एक बंद टूटी हुई रेखा से बंधी है, जो बदले में सरल, बंद हो सकती है। आइए इस तथ्य के बारे में बात करें कि बहुभुज समतल, नियमित, उत्तल हैं। समतल बहुभुजों में से एक त्रिभुज है जिससे आप लंबे समय से परिचित हैं (आप छात्रों को बहुभुजों को चित्रित करने वाले पोस्टर दिखा सकते हैं, एक टूटी हुई रेखा, उनके विभिन्न प्रकार दिखा सकते हैं, आप टीसीओ का उपयोग भी कर सकते हैं)।

2. समझ का चरण

उद्देश्य: नई जानकारी प्राप्त करना, इसकी समझ, चयन।

रिसेप्शन: ज़िगज़ैग।

कार्य के रूप: व्यक्ति->जोड़ी->समूह।

प्रत्येक समूह को पाठ के विषय पर एक पाठ दिया जाता है, और पाठ को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि इसमें छात्रों को पहले से ज्ञात जानकारी और पूरी तरह से नई जानकारी दोनों शामिल हों। पाठ के साथ, छात्रों को प्रश्न प्राप्त होते हैं, जिनके उत्तर इस पाठ में पाए जाने चाहिए।

बहुभुज। बहुभुज के प्रकार।

रहस्यमय बरमूडा त्रिभुज के बारे में किसने नहीं सुना है, जहां जहाज और विमान बिना किसी निशान के गायब हो जाते हैं? लेकिन बचपन से जिस त्रिकोण से हम परिचित हैं, वह बहुत ही रोचक और रहस्यमयी चीजों से भरा हुआ है।

पहले से ही ज्ञात त्रिभुजों के प्रकारों के अलावा, भुजाओं (स्केलेन, समद्विबाहु, समबाहु) और कोणों (तीव्र-कोण, अधिक-कोण, समकोण) से विभाजित, त्रिभुज बहुभुजों के एक बड़े परिवार से संबंधित है, जो बीच में प्रतिष्ठित है। विमान पर कई अलग-अलग ज्यामितीय आकृतियाँ।

"बहुभुज" शब्द इंगित करता है कि इस परिवार के सभी आंकड़ों में "कई कोने" हैं। लेकिन यह आंकड़ा बताने के लिए पर्याप्त नहीं है।

एक टूटी हुई रेखा A 1 A 2 ... A n एक आकृति है जिसमें बिंदु A 1, A 2, ... A n और खंड A 1 A 2, A 2 A 3, ... उन्हें जोड़ते हैं। बिंदुओं को पॉलीलाइन के कोने कहा जाता है, और खंडों को पॉलीलाइन के लिंक कहा जाता है। (चित्र .1)

एक टूटी हुई रेखा को सरल कहा जाता है यदि इसमें स्व-प्रतिच्छेदन नहीं होता है (चित्र 2,3)।

एक टूटी हुई रेखा को बंद कहा जाता है यदि इसके सिरे मेल खाते हैं। एक टूटी हुई रेखा की लंबाई उसके कड़ियों की लंबाई का योग है (चित्र 4)।

एक साधारण बंद टूटी हुई रेखा को बहुभुज कहा जाता है यदि इसके आसन्न लिंक एक ही सीधी रेखा (चित्र 5) पर स्थित नहीं होते हैं।

"अनेक" भाग के स्थान पर "बहुभुज" शब्द को एक विशिष्ट संख्या से प्रतिस्थापित करें, उदाहरण के लिए 3. आपको एक त्रिभुज मिलेगा। या 5. फिर - पंचभुज। ध्यान दें कि जितने कोण हैं उतने ही कोण हैं, इसलिए इन आकृतियों को बहुपार्श्व कहा जा सकता है।

पॉलीलाइन के शीर्षों को बहुभुज के शीर्ष कहा जाता है, और पॉलीलाइन के लिंक को बहुभुज की भुजाएं कहा जाता है।

बहुभुज समतल को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: आंतरिक और बाह्य (चित्र 6)।

एक समतल बहुभुज या बहुभुज क्षेत्र एक बहुभुज से घिरे हुए समतल का परिमित भाग होता है।

बहुभुज के दो शीर्ष जो एक ही भुजा के सिरे हों, पड़ोसी कहलाते हैं। वे शीर्ष जो एक भुजा के सिरे नहीं हैं, असन्निकट हैं।

n शीर्षों वाला बहुभुज और इसलिए n भुजाएँ n-गॉन कहलाती हैं।

हालांकि एक बहुभुज की भुजाओं की सबसे छोटी संख्या 3 होती है। लेकिन त्रिकोण, एक दूसरे से जुड़कर, अन्य आकृतियों का निर्माण कर सकते हैं, जो बदले में बहुभुज भी होते हैं।

बहुभुज के गैर-पड़ोसी शीर्षों को जोड़ने वाले खंडों को विकर्ण कहा जाता है।

एक बहुभुज को उत्तल कहा जाता है यदि यह अपनी भुजा वाली किसी भी रेखा के संबंध में एक अर्ध-तल में स्थित हो। इस मामले में, सीधी रेखा को ही आधा विमान माना जाता है।

किसी दिए गए शीर्ष पर एक उत्तल बहुभुज का कोण उस शीर्ष पर अभिसारी होने वाली भुजाओं द्वारा निर्मित कोण होता है।

आइए प्रमेय को सिद्ध करें (उत्तल n-गॉन के कोणों के योग पर): उत्तल n-गॉन के कोणों का योग 180 0 *(n - 2) के बराबर है।

सबूत। मामले में n=3 प्रमेय मान्य है। चलो А 1 А 2 … А n दिया हुआ उत्तल बहुभुज है और n>3 है। आइए इसमें विकर्ण बनाएं (एक शीर्ष से)। चूँकि बहुभुज उत्तल है, ये विकर्ण इसे n - 2 त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। बहुभुज के कोणों का योग इन सभी त्रिभुजों के कोणों के योग के समान है। प्रत्येक त्रिभुज के कोणों का योग 180 0 है, और इन त्रिभुजों की संख्या n - 2 है। इसलिए, उत्तल n - कोण A 1 A 2 ... A n के कोणों का योग 180 0 * है ( एन - 2)। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

किसी दिए गए शीर्ष पर एक उत्तल बहुभुज का बहिष्कोण उस शीर्ष पर बहुभुज के आंतरिक कोण का आसन्न कोण होता है।

एक उत्तल बहुभुज को नियमित कहा जाता है यदि सभी भुजाएँ समान हों और सभी कोण समान हों।

तो वर्ग को अलग तरह से कहा जा सकता है - एक नियमित चतुर्भुज। समबाहु त्रिभुज भी नियमित होते हैं। इस तरह के आंकड़े इमारतों को सजाने वाले स्वामी के लिए लंबे समय से रुचि रखते हैं। उन्होंने सुंदर पैटर्न बनाए, उदाहरण के लिए, लकड़ी की छत पर। लेकिन लकड़ी की छत बनाने के लिए सभी नियमित बहुभुजों का उपयोग नहीं किया जा सकता था। लकड़ी की छत नियमित अष्टकोना से नहीं बनाई जा सकती। तथ्य यह है कि उनके पास प्रत्येक कोण 135 0 के बराबर है। और यदि कोई बिंदु दो ऐसे अष्टकोणों का शीर्ष है, तो उनके पास 270 0 होगा, और तीसरे अष्टकोण के लिए कहीं भी फिट नहीं होगा: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. लेकिन एक वर्ग के लिए काफी है। इसलिए, नियमित अष्टकोना और वर्गों से लकड़ी की छत को मोड़ना संभव है।

सितारे सही हैं। हमारा पाँच-नुकीला तारा एक नियमित पंचकोणीय तारा है। और यदि आप वर्ग को केंद्र के चारों ओर 45 0 से घुमाते हैं, तो आपको एक नियमित अष्टकोणीय तारा मिलता है।

1 समूह

टूटी हुई रेखा क्या है? बताएं कि पॉलीलाइन के वर्टिकल और लिंक क्या होते हैं।

किस टूटी हुई रेखा को सरल कहा जाता है?

किस टूटी हुई रेखा को बंद कहा जाता है?

बहुभुज क्या है? बहुभुज के शीर्ष क्या कहलाते हैं? बहुभुज की भुजाएँ क्या होती हैं?

2 समूह

समतल बहुभुज क्या है? बहुभुजों के उदाहरण दीजिए।

एन-गॉन क्या है?

समझाइए कि बहुभुज के कौन से शीर्ष आसन्न हैं और कौन से नहीं।

बहुभुज का विकर्ण क्या होता है?

3 समूह

उत्तल बहुभुज क्या है?

बताएं कि बहुभुज के कौन से कोने बाहरी हैं और कौन से आंतरिक हैं?

एक नियमित बहुभुज क्या है? नियमित बहुभुजों के उदाहरण दीजिए।

4 समूह

उत्तल n-गॉन के कोणों का योग कितना होता है? इसे साबित करो।

छात्र पाठ के साथ काम करते हैं, पूछे गए सवालों के जवाब तलाशते हैं, जिसके बाद विशेषज्ञ समूह बनते हैं, जिसमें समान मुद्दों पर काम किया जाता है: छात्र मुख्य बात पर प्रकाश डालते हैं, एक सहायक सार तैयार करते हैं, किसी एक में जानकारी प्रस्तुत करते हैं ग्राफिक रूप। काम के अंत में, छात्र अपने कार्य समूहों में लौट आते हैं।

3. चिंतन की अवस्था -

क) उनके ज्ञान का आकलन, ज्ञान के अगले चरण के लिए चुनौती;

बी) प्राप्त जानकारी की समझ और विनियोग।

रिसेप्शन: शोध कार्य।

कार्य के रूप: व्यक्ति->जोड़ी->समूह।

कार्यकारी समूह प्रस्तावित प्रश्नों के प्रत्येक खंड के उत्तर के विशेषज्ञ हैं।

कार्यकारी समूह में लौटकर, विशेषज्ञ समूह के अन्य सदस्यों को उनके सवालों के जवाबों से परिचित कराता है। समूह में कार्य समूह के सभी सदस्यों की सूचनाओं का आदान-प्रदान होता है। इस प्रकार, प्रत्येक कार्य समूह में, विशेषज्ञों के काम के लिए धन्यवाद, अध्ययन के तहत विषय पर एक सामान्य विचार बनता है।

छात्रों का शोध कार्य - तालिका भरना।

नियमित बहुभुज	चित्रकला	भुजाओं की संख्या	चोटियों की संख्या	सभी आंतरिक कोणों का योग	डिग्री उपाय इंट। कोना	बाहरी कोण की डिग्री माप	विकर्णों की संख्या
ए) त्रिकोण
बी) चतुर्भुज
बी) पांच दीवार
डी) षट्कोण
ई) एन-गॉन

पाठ के विषय पर दिलचस्प समस्याओं का समाधान।

• चतुर्भुज में, एक रेखा खींचिए ताकि वह इसे तीन त्रिभुजों में विभाजित करे।
• एक नियमित बहुभुज की कितनी भुजाएँ होती हैं, जिसका प्रत्येक आंतरिक कोण 135 0 के बराबर होता है?
• एक निश्चित बहुभुज में, सभी आंतरिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। क्या इस बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग हो सकता है: 360 0 , 380 0 ?

पाठ का सारांश। रिकॉर्डिंग होमवर्क।

बहुभुज के प्रकार:

चतुर्भुजों

चतुर्भुजों, क्रमशः 4 भुजाएँ और कोने होते हैं।

एक दूसरे के विपरीत भुजाओं और कोणों को कहा जाता है विलोम.

विकर्ण उत्तल चतुर्भुजों को त्रिभुजों में विभाजित करते हैं (चित्र देखें)।

एक उत्तल चतुर्भुज के कोणों का योग 360° होता है (सूत्र का प्रयोग करके: (4-2)*180°)।

समानांतर चतुर्भुज

चतुर्भुजविपरीत समांतर भुजाओं वाला एक उत्तल चतुर्भुज है (आकृति में 1 संख्या)।

समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ और कोण सदैव बराबर होते हैं।

और चौराहे के बिंदु पर विकर्णों को आधे में बांटा गया है।

ट्रापेज़

ट्रापेज़एक चतुर्भुज भी है, और ट्रापेज़केवल दो भुजाएँ समांतर होती हैं, जिन्हें कहते हैं मैदान. अन्य पक्ष हैं दोनों पक्ष.

आकृति में समलम्बाकार संख्या 2 और 7 है।

त्रिकोण के रूप में:

यदि भुजाएँ बराबर हैं, तो समलंब है समद्विबाहु;

यदि कोई एक कोण समकोण है, तो समलंब है आयताकार।

एक ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा आधारों के योग का आधा और उनके समानांतर होती है।

विषमकोण

विषमकोणएक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं।

समांतर चतुर्भुज के गुणों के अतिरिक्त, समचतुर्भुजों का अपना एक विशेष गुण होता है - समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैंएक दूसरे और समचतुर्भुज के कोनों को समद्विभाजित करें.

आकृति में, समचतुर्भुज की संख्या 5 है।

आयत

आयत- यह एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें प्रत्येक कोना एक समकोण है (चित्र संख्या 8 में देखें)।

समांतर चतुर्भुज के गुणों के अतिरिक्त आयतों का अपना एक विशेष गुण होता है - आयत के विकर्ण बराबर होते हैं.

चौकों

वर्गएक आयत है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं (#4)।

इसमें एक आयत और एक समचतुर्भुज के गुण हैं (क्योंकि सभी भुजाएँ समान हैं)।

एक बंद टूटी हुई रेखा से घिरे विमान के भाग को बहुभुज कहा जाता है।

इस खंडित रेखा के खंड कहलाते हैं दलोंबहुभुज। AB, BC, CD, DE, EA (चित्र 1) - बहुभुज ABCDE की भुजाएँ। एक बहुभुज की सभी भुजाओं का योग उसका कहलाता है परिमाप.

बहुभुज कहा जाता है उत्तल, यदि यह इसके किसी भी पक्ष के एक तरफ स्थित है, दोनों शीर्षों से परे अनिश्चित काल तक विस्तारित है।

बहुभुज MNPKO (चित्र 1) उत्तल नहीं होगा, क्योंकि यह सीधी रेखा KP के एक से अधिक तरफ स्थित है।

हम केवल उत्तल बहुभुजों पर विचार करेंगे।

किसी बहुभुज की दो आसन्न भुजाओं से बनने वाले कोण कहलाते हैं आंतरिककोने, और उनके शीर्ष - बहुभुज शिखर.

एक बहुभुज के दो असम्बद्ध शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड को बहुभुज का विकर्ण कहते हैं।

एसी, एडी - बहुभुज के विकर्ण (चित्र 2)।

बहुभुज के आंतरिक कोनों से सटे कोनों को बहुभुज के बाहरी कोने कहा जाता है (चित्र 3)।

कोणों (भुजाओं) की संख्या के आधार पर बहुभुज को त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचकोण आदि कहा जाता है।

दो बहुभुजों को बराबर कहा जाता है यदि उन्हें अध्यारोपित किया जा सकता है।

खुदा और परिचालित बहुभुज

यदि किसी बहुभुज के सभी शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हों, तो बहुभुज कहलाता है अंकित कियाएक सर्कल में, और सर्कल बताया गया हैबहुभुज के पास (अंजीर।)

यदि किसी बहुभुज की सभी भुजाएँ वृत्त की स्पर्श रेखा हों, तो बहुभुज कहलाता है बताया गया हैसर्कल के चारों ओर, और सर्कल कहा जाता है अंकित कियाएक बहुभुज (अंजीर।) में।

बहुभुजों की समानता

एक ही नाम के दो बहुभुज समरूप कहलाते हैं यदि उनमें से एक का कोण क्रमशः दूसरे के कोण के बराबर हो, और बहुभुज की समरूप भुजाएँ समानुपाती हों।

भुजाओं (कोणों) की समान संख्या वाले बहुभुज समान नाम वाले बहुभुज कहलाते हैं।

समरूप बहुभुजों की भुजाएँ समरूप कहलाती हैं यदि वे समरूपी समान कोणों के शीर्षों को जोड़ते हैं (चित्र।)।

इसलिए, उदाहरण के लिए, बहुभुज ABCDE को बहुभुज A'B'C'D'E' के समान होने के लिए, यह आवश्यक है कि: E = ∠E' और, इसके अतिरिक्त, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'।

समरूप बहुभुजों का परिमाप अनुपात

पहले, समान अनुपातों की श्रृंखला के गुण पर विचार करें। आइए, उदाहरण के लिए, संबंध: 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 =2।

आइए इन संबंधों के पिछले सदस्यों का योग ज्ञात करें, फिर - उनके बाद के सदस्यों का योग और प्राप्त योगों का अनुपात ज्ञात करें, हमें मिलता है:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

यदि हम कुछ अन्य संबंधों को लेते हैं, तो हम वही प्राप्त करेंगे: उदाहरण के लिए: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 2/3 और फिर हम इन राशियों का अनुपात ज्ञात करते हैं , हम पाते हैं:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

दोनों ही मामलों में, समान संबंधों की श्रृंखला के पिछले सदस्यों का योग उसी श्रृंखला के बाद के सदस्यों के योग से संबंधित होता है, क्योंकि इनमें से किसी भी संबंध का पिछला सदस्य उसके अगले सदस्य से संबंधित होता है।

हमने कई संख्यात्मक उदाहरणों पर विचार करके इस संपत्ति को निकाला। इसे कड़ाई से और सामान्य रूप में निकाला जा सकता है।

अब समरूप बहुभुजों के परिमापों के अनुपात पर विचार करें।

बता दें कि बहुभुज ABCDE बहुभुज A'B'C'D'E' के समान है (चित्र।)।

यह इन बहुभुजों की समानता से अनुसरण करता है

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

हमारे द्वारा निकाले गए समान संबंधों की श्रृंखला के गुण के आधार पर, हम लिख सकते हैं:

हमारे द्वारा लिए गए संबंधों की पिछली शर्तों का योग पहले बहुभुज (P) की परिधि है, और इन संबंधों की बाद की शर्तों का योग दूसरे बहुभुज (P ') की परिधि है, इसलिए P / P' = एबी / एबी '।

इस तरह, समरूप बहुभुजों के परिमाप उनकी संगत भुजाओं के रूप में संबंधित होते हैं।

समरूप बहुभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात

मान लीजिए ABCDE और A'B'C'D'E' समान बहुभुज हैं (चित्र।)।

यह ज्ञात है कि ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' और ΔADE ~ ΔA'D'E' है।

अलावा,

चूँकि इन अनुपातों का दूसरा अनुपात बराबर है, जो बहुभुजों की समानता से अनुसरण करता है, तब

समान अनुपातों की श्रृंखला के गुण का उपयोग करने पर, हमें यह प्राप्त होता है:

जहाँ S और S' इन समरूप बहुभुजों के क्षेत्रफल हैं।

इस तरह, समरूप बहुभुजों के क्षेत्रफल समान भुजाओं के वर्गों के रूप में संबंधित होते हैं।

परिणामी सूत्र को इस रूप में परिवर्तित किया जा सकता है: S / S '= (AB / A'B ') 2

एक मनमाना बहुभुज का क्षेत्रफल

इसे एक मनमाना चतुर्भुज ABDC (चित्र।) के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है।

इसमें एक विकर्ण बनाते हैं, उदाहरण के लिए AD। हमें दो त्रिभुज ABD और ACD प्राप्त होते हैं, जिनका क्षेत्रफल हम परिकलित कर सकते हैं। तब हम इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात करते हैं। परिणामी योग दिए गए चतुर्भुज के क्षेत्र को व्यक्त करेगा।

यदि आपको एक पंचभुज के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है, तो हम उसी तरह आगे बढ़ते हैं: हम किसी एक कोने से विकर्ण खींचते हैं। हमें तीन त्रिभुज मिलते हैं, जिनके क्षेत्रफल की हम गणना कर सकते हैं। तो हम इस पंचकोण का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। किसी भी बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना करते समय हम ऐसा ही करते हैं।

बहुभुज प्रक्षेपण क्षेत्र

याद रखें कि एक रेखा और एक तल के बीच का कोण एक दी गई रेखा और उसके तल पर प्रक्षेपण के बीच का कोण होता है (चित्र)।

प्रमेय। विमान पर बहुभुज के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्र बहुभुज के विमान और प्रक्षेपण विमान द्वारा गठित कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए अनुमानित बहुभुज के क्षेत्र के बराबर है।

प्रत्येक बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है, जिनके क्षेत्रफल का योग बहुभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। इसलिए, यह त्रिभुज के लिए प्रमेय को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है।

मान लीजिए ΔABC को समतल पर प्रक्षेपित किया जाता है आर. दो मामलों पर विचार करें:

a) ΔABS में से एक भुजा समतल के समांतर है आर;

b) ΔABC में से कोई भी भुजा समांतर नहीं है आर.

विचार करना पहला मामला: चलो [एबी] || आर.

(एबी) विमान के माध्यम से ड्रा करें आर 1 || आरऔर ओर्थोगोनली ΔABC पर प्रोजेक्ट करें आर 1 और आगे आर(चावल।); हमें ΔABC 1 और ΔA'B'C' प्राप्त होता है।

प्रक्षेपण गुण के अनुसार, हमारे पास ΔABC 1 (cong) ΔA'B'C' है, और इसलिए

एस ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

आइए ⊥ और खंड D 1 C 1 बनाएं। फिर ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ समतल ΔABC और समतल के बीच का कोण है आर 1। इसीलिए

एस ∆ ABC1 = 1/2 | एबी | | सी 1 डी 1 | = 1/2 | एबी | | सीडी 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

और, इसलिए, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

आइए विचार करने के लिए आगे बढ़ते हैं दूसरा मामला. एक विमान खींचो आर 1 || आरउस शीर्ष ΔАВС से होकर, विमान से कितनी दूरी आरसबसे छोटा (इसे शीर्ष A होने दें)।

आइए विमान पर ΔABC डिज़ाइन करें आर 1 और आर(चावल।); इसके प्रक्षेपण क्रमशः ΔAB 1 C 1 और ΔA'B'C' होने दें।

माना (BC) ∩ पी 1 = डी। तब

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

अन्य सामग्री

बहुभुज गुण

एक बहुभुज एक ज्यामितीय आकृति है, जिसे आमतौर पर स्व-चौराहों (एक साधारण बहुभुज (चित्र 1a)) के बिना एक बंद पॉलीलाइन के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन कभी-कभी स्व-चौराहों की अनुमति होती है (तब बहुभुज सरल नहीं होता है)।

पॉलीलाइन के शीर्षों को बहुभुज के शीर्ष कहा जाता है, और खंडों को बहुभुज की भुजाएँ कहा जाता है। किसी बहुभुज के शीर्षों को पड़ोसी कहा जाता है यदि वे इसकी किसी एक भुजा के सिरे हों। बहुभुज के गैर-पड़ोसी शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंडों को विकर्ण कहा जाता है।

किसी दिए गए शीर्ष पर एक उत्तल बहुभुज का कोण (या आंतरिक कोण) इस शीर्ष पर अभिसरण करने वाली भुजाओं द्वारा निर्मित कोण होता है, और कोण को बहुभुज के किनारे से माना जाता है। विशेष रूप से, यदि बहुभुज उत्तल नहीं है तो कोण 180° से अधिक हो सकता है।

किसी दिए गए शीर्ष पर एक उत्तल बहुभुज का बहिष्कोण उस शीर्ष पर बहुभुज के आंतरिक कोण का आसन्न कोण होता है। सामान्य तौर पर, बाहरी कोण 180° और आंतरिक कोण के बीच का अंतर होता है। > 3 के लिए -गॉन के प्रत्येक शीर्ष से -3 विकर्ण होते हैं, इसलिए -गॉन के विकर्णों की कुल संख्या बराबर होती है।

तीन कोने वाले बहुभुज को त्रिभुज कहा जाता है, चार के साथ - एक चतुर्भुज, पाँच के साथ - एक पंचकोण, और इसी तरह।

बहुभुज के साथ एनशिखर कहा जाता है एन-वर्ग।

एक समतल बहुभुज एक आकृति है जिसमें एक बहुभुज और उससे घिरे क्षेत्र का परिमित भाग होता है।

एक बहुभुज को उत्तल कहा जाता है यदि निम्न (समतुल्य) स्थितियों में से कोई एक मिलता है:

• 1. यह अपने पड़ोसी शीर्षों को जोड़ने वाली किसी भी सीधी रेखा के एक ओर स्थित होता है। (अर्थात, किसी बहुभुज की भुजाओं का विस्तार उसकी दूसरी भुजाओं को नहीं काटता है);
• 2. यह कई आधे विमानों का चौराहा (यानी आम हिस्सा) है;
• 3. बहुभुज से संबंधित बिंदुओं पर सिरों वाला कोई भी खंड पूरी तरह से इसका है।

एक उत्तल बहुभुज को नियमित कहा जाता है यदि सभी भुजाएँ समान हों और सभी कोण समान हों, उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज, एक वर्ग और एक पंचभुज।

एक उत्तल बहुभुज को एक वृत्त के चारों ओर खुदा हुआ कहा जाता है यदि इसकी सभी भुजाएँ किसी वृत्त की स्पर्शरेखा हों

एक नियमित बहुभुज एक बहुभुज है जिसमें सभी कोण और सभी भुजाएँ समान होती हैं।

बहुभुज गुण:

1 एक उत्तल -गॉन का प्रत्येक विकर्ण, जहाँ >3, इसे दो उत्तल बहुभुजों में विघटित करता है।

2 एक उत्तल -गॉन के सभी कोणों का योग बराबर होता है।

डी-इन: गणितीय आगमन की विधि द्वारा प्रमेय को सिद्ध करते हैं। = 3 के लिए यह स्पष्ट है। मान लें कि प्रमेय a -gon के लिए सत्य है, जहाँ <, और इसे -गॉन के लिए साबित करें।

एक दिया गया बहुभुज होने दें। इस बहुभुज का एक विकर्ण खींचिए। प्रमेय 3 के अनुसार, बहुभुज एक त्रिभुज और एक उत्तल -गॉन (चित्र 5) में विघटित हो जाता है। प्रेरण परिकल्पना द्वारा। दूसरी ओर, । इन समानताओं को जोड़ना और उसे ध्यान में रखना (- आंतरिक बीम कोण ) और (- आंतरिक बीम कोण ), हम प्राप्त करते हैं। जब हम प्राप्त करते हैं:।

3 किसी भी नियमित बहुभुज के बारे में एक वृत्त का वर्णन करना संभव है, और इसके अलावा, केवल एक।

डी-इन: एक नियमित बहुभुज होने दें, और और कोणों के द्विभाजक हों, और (चित्र 150)। चूंकि, इसलिए, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке के बारे में।आइए इसे साबित करें हे = ओए 2 = के बारे में =… = ओए पी . त्रिकोण के बारे मेंसमद्विबाहु, इसलिए के बारे में= के बारे में. त्रिभुजों की समानता की दूसरी कसौटी के अनुसार, इसलिए, के बारे में = के बारे में. इसी प्रकार यह सिद्ध होता है के बारे में = के बारे मेंवगैरह। तो बिंदु के बारे मेंबहुभुज के सभी शीर्षों से समदूरस्थ, इसलिए केंद्र के साथ वृत्त के बारे में RADIUS के बारे मेंएक बहुभुज के चारों ओर परिचालित है।

आइए अब हम सिद्ध करें कि केवल एक ही परिबद्ध वृत्त है। एक बहुभुज के कुछ तीन शीर्षों पर विचार करें, उदाहरण के लिए, ए 2 , . चूंकि इन बिंदुओं से केवल एक वृत्त गुजरता है, फिर बहुभुज के बारे में … आप एक से अधिक वृत्त का वर्णन नहीं कर सकते।

• 4 किसी भी नियमित बहुभुज में, आप एक वृत्त अंकित कर सकते हैं और इसके अलावा, केवल एक।
• 5 एक नियमित बहुभुज में अंकित एक वृत्त बहुभुज की भुजाओं को उनके मध्य बिंदुओं पर स्पर्श करता है।
• 6 एक नियमित बहुभुज के परिगत एक वृत्त का केंद्र एक ही बहुभुज में खुदे हुए एक वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है।
• 7 समरूपता:

एक आकृति को सममित (सममित) कहा जाता है यदि कोई ऐसी गति (समान नहीं) है जो इस आकृति को अपने आप में बदल देती है।

• 7.1। एक सामान्य त्रिभुज में सममिति का कोई अक्ष या केंद्र नहीं होता है, यह सममित नहीं होता है। एक समद्विबाहु (लेकिन समबाहु नहीं) त्रिभुज में समरूपता का एक अक्ष होता है: आधार के लंबवत समद्विभाजक।
• 7.2। एक समबाहु त्रिभुज में समरूपता के तीन अक्ष होते हैं (पक्षों के लंबवत समद्विभाजक) और केंद्र के बारे में घूर्णी समरूपता 120 ° के घूर्णन कोण के साथ होती है।

7.3 किसी नियमित n-गॉन में सममिति के n अक्ष होते हैं, जो सभी इसके केंद्र से होकर गुजरते हैं। इसमें घूर्णन कोण के साथ केंद्र के बारे में घूर्णी समरूपता भी है।

यहां तक ​​की एनसममिति के कुछ अक्ष विपरीत शीर्षों से होकर गुजरते हैं, अन्य विपरीत पक्षों के मध्यबिंदुओं से होकर गुजरते हैं।

विषम के लिए एनप्रत्येक अक्ष विपरीत दिशा के शीर्ष और मध्य बिंदु से होकर गुजरती है।

भुजाओं की सम संख्या वाले सम बहुभुज का केंद्र इसकी सममिति का केंद्र होता है। भुजाओं की विषम संख्या वाले नियमित बहुभुज में समरूपता का कोई केंद्र नहीं होता है।

8 समानता:

समानता के साथ, और -गॉन एक -गॉन, आधा विमान - आधे विमान में जाता है, इसलिए उत्तल होता है एन-गोन उत्तल हो जाता है एन-गॉन।

प्रमेय: यदि उत्तल बहुभुजों की भुजाएँ और कोण समानताओं को संतुष्ट करते हैं:

पोडियम गुणांक कहां है

तब ये बहुभुज समरूप होते हैं।

• 8.1 दो समरूप बहुभुजों के परिमापों का अनुपात समरूपता के गुणांक के बराबर होता है।
• 8.2। दो उत्तल समरूप बहुभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात समानता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है।

बहुभुज त्रिभुज परिधि प्रमेय