Un parallelepipedo è un prisma le cui basi sono parallelogrammi. In questo caso, tutti i bordi saranno parallelogrammi.
Ogni parallelepipedo può essere considerato come un prisma in tre modi diversi, poiché ogni due facce opposte possono essere prese come basi (in Fig. 5, facce ABCD e A"B"C"D", oppure ABA"B" e CDC"D ", o BCB "C" e ADA"D").
Il corpo in questione presenta dodici spigoli, quattro uguali e paralleli tra loro.
Teorema 3
. Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto, coincidente con il centro di ciascuna di esse.
Il parallelepipedo ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) ha quattro diagonali AC", BD", CA", DB". Dobbiamo dimostrare che i punti medi di due qualsiasi di essi, ad esempio AC e BD", coincidono. Ciò deriva dal fatto che la figura ABC"D", avente i lati uguali e paralleli AB e C"D", è un parallelogramma.
Definizione 7
. Un parallelepipedo retto è un parallelepipedo che è anche un prisma rettilineo, cioè un parallelepipedo i cui bordi laterali sono perpendicolari al piano della base.
Definizione 8
. Un parallelepipedo rettangolare è un parallelepipedo retto la cui base è un rettangolo. In questo caso, tutte le sue facce saranno rettangoli.
Un parallelepipedo rettangolo è un prisma diritto, qualunque delle sue facce prendiamo come base, poiché ciascuno dei suoi spigoli è perpendicolare agli spigoli emergenti dallo stesso vertice, e sarà, quindi, perpendicolare ai piani delle facce definite da questi bordi. Al contrario, un parallelepipedo diritto, ma non rettangolare, può essere visto come un prisma retto in un solo modo.
Definizione 9
. Le lunghezze di tre spigoli di un parallelepipedo rettangolare, di cui non ci siano due paralleli tra loro (ad esempio, tre spigoli emergenti dallo stesso vertice), sono chiamate sue dimensioni. Due parallelepipedi rettangolari aventi dimensioni corrispondentemente uguali sono ovviamente uguali tra loro.
Definizione 10
.Un cubo è un parallelepipedo rettangolare, le cui tre dimensioni sono uguali tra loro, per cui tutte le sue facce sono quadrate. Due cubi i cui bordi sono uguali sono uguali. 
Definizione 11
. Un parallelepipedo inclinato in cui tutti gli spigoli sono uguali tra loro e gli angoli di tutte le facce sono uguali o complementari si chiama romboedro.
Tutte le facce di un romboedro sono rombi uguali. (Alcuni cristalli di grande importanza hanno una forma romboedrica, ad esempio i cristalli di spato islandese.) In un romboedro puoi trovare un vertice (e anche due vertici opposti) tali che tutti gli angoli adiacenti ad esso siano uguali tra loro.
Teorema 4
. Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali tra loro. Il quadrato della diagonale è uguale alla somma dei quadrati delle tre dimensioni.
Nel parallelepipedo rettangolare ABCDA"B"C"D" (Fig. 6), le diagonali AC" e BD" sono uguali, poiché il quadrilatero ABC"D" è un rettangolo (la retta AB è perpendicolare al piano ECB" C", in cui si trova BC") .
Inoltre AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 in base al teorema del quadrato dell'ipotenusa. Ma in base allo stesso teorema AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; quindi noi Avere:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.
ARGOMENTO 10.3. PARALLELIPEDO E SUE PROPRIETÀ.
Definizione di parallelepipedo. Proprietà di un parallelepipedo con dimostrazioni. Cubo
Parallelepipedo - prisma, la cui base è parallelogramma.
Tipi di parallelepipedo
Esistono diversi tipi di parallelepipedi:
- Parallelepipedo rettangolare- questo è un parallelepipedo le cui facce sono tutte rettangoli;
- Parallelepipedo destro- questo è un parallelepipedo con 4 facce laterali - rettangoli;
- Parallelepipedo inclinatoè un parallelepipedo le cui facce laterali non sono perpendicolari alle basi.
Elementi essenziali
Si chiamano due facce di un parallelepipedo che non hanno uno spigolo in comune opposto, e avendo un vantaggio comune - adiacente. Due vertici di un parallelepipedo che non appartengono alla stessa faccia si dicono opposti. Segmento si chiama connettere i vertici opposti diagonalmente parallelepipedo. Si chiamano le lunghezze di tre spigoli di un parallelepipedo rettangolare avente un vertice comune misurazioni.
Proprietà
- Il parallelepipedo è simmetrico rispetto al centro della sua diagonale.
- Qualsiasi segmento i cui estremi appartengono alla superficie del parallelepipedo e passanti per il centro della sua diagonale è da esso diviso a metà; in particolare, tutte le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto e sono da esso secate in due.
- Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e uguali.
- Il quadrato della diagonale di un parallelepipedo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati delle sue tre dimensioni.
Formule di base
Parallelepipedo destro
Superficie laterale S b =P o *h, dove P o è il perimetro della base, h è l'altezza
Superficie totale S p =S b +2S o, dove S o è l'area di base
Volume V=S o *h
] Parallelepipedo rettangolare
Superficie laterale S b =2c(a+b), dove a, b sono i lati della base, c è lo spigolo laterale del parallelepipedo rettangolare
Superficie totale Sp =2(ab+bc+ac)
Volume V=abc, dove a, b, c sono le dimensioni di un parallelepipedo rettangolare.
Se la base del prisma è un parallelogramma si chiama parallelepipedo. Tutte le facce di un parallelepipedo sono parallelogrammi.
La Figura 12, a) mostra un parallelepipedo inclinato e la Figura 12, b) mostra un parallelepipedo dritto.
Le facce di un parallelepipedo che non hanno vertici in comune si dicono opposte.
Teorema 1. Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e uguali.
Prova: Consideriamo alcune due facce opposte di un parallelepipedo, ad esempio e (Fig. 13). Poiché tutte le facce di un parallelepipedo sono parallelogrammi, allora una linea retta è parallela ad una linea retta, e una linea retta è parallela ad una linea retta. Ne consegue che i piani delle facce considerate sono paralleli.
TRASCRIZIONE DEL TESTO DELLA LEZIONE:
Considera questi elementi:
Mattoncini da costruzione, dadi, forno a microonde. Questi oggetti sono uniti dalla forma.
Una superficie costituita da due parallelogrammi uguali ABCD e A1B1C1D1
e quattro parallelogrammi AA1B1B e BB1C1C, СС1D1D, AA1D1D sono chiamati parallelepipedi.
I parallelogrammi che compongono un parallelepipedo si chiamano facce. Faccia A1В1С1D1. Bordo ВВ1С1С. Bordo ABCD.
In questo caso, le facce ABCD e A1B1C1D1 sono più spesso chiamate basi, e le restanti facce sono laterali.
I lati dei parallelogrammi si chiamano spigoli del parallelepipedo. Costola A1B1. Nervatura CC1. Costata d.C.
Il bordo CC1 non appartiene alle basi; è chiamato bordo laterale.
I vertici dei parallelogrammi si chiamano vertici di un parallelepipedo.
Vertice D1. Vershina B. Vershina S.
Vertici D1 e B
non appartengono alla stessa faccia e si dicono opposti.
Un parallelepipedo può essere rappresentato in diversi modi
Un parallelepipedo alla cui base si trova un rombo e le immagini delle facce sono parallelogrammi.
Un parallelepipedo alla cui base si trova un quadrato. I bordi invisibili AA1, AB, AD sono rappresentati da linee tratteggiate.
Un parallelepipedo alla cui base si trova un quadrato
Parallelepipedo alla cui base si trova un rettangolo o parallelogramma
Un parallelepipedo con tutte le facce quadrate. Più spesso si chiama cubo.
Tutti i parallelepipedi considerati hanno proprietà. Formuliamoli e dimostriamoli.
Proprietà 1. Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e uguali.
Consideriamo il parallelepipedo ABCDA1B1C1D1 e dimostriamo, ad esempio, il parallelismo e l'uguaglianza delle facce BB1C1C e AA1D1D.
Per la definizione di parallelepipedo, la faccia ABCD è un parallelogramma, il che significa, per la proprietà di un parallelogramma, che il bordo BC è parallelo al bordo AD.
Anche la faccia ABB1A1 è un parallelogramma, il che significa che i bordi BB1 e AA1 sono paralleli.
Ciò significa che due rette intersecanti BC e BB1 rispettivamente di un piano sono parallele a due rette rispettivamente AD e AA1 di un altro piano, il che significa che i piani ABB1A1 e BCC1D1 sono paralleli.
Tutte le facce di un parallelepipedo sono parallelogrammi, il che significa BC = AD, BB1 = AA1.
In questo caso i lati degli angoli B1BC e A1AD sono rispettivamente co-diretti, cioè uguali.
Pertanto, due lati adiacenti e l'angolo tra loro del parallelogramma ABB1A1 sono rispettivamente uguali a due lati adiacenti e l'angolo tra loro del parallelogramma BCC1D1, il che significa che questi parallelogrammi sono uguali.
Il parallelepipedo ha anche una proprietà sulle diagonali. La diagonale di un parallelepipedo è un segmento che collega i vertici non adiacenti. La linea tratteggiata nel disegno mostra le diagonali B1D, BD1, A1C.
Quindi, proprietà 2. Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto e sono divise a metà dal punto di intersezione.
Per dimostrare la proprietà consideriamo il quadrilatero BB1D1D. Le sue diagonali B1D, BD1 sono le diagonali del parallelepipedo ABCDA1B1C1D1.
Nella prima proprietà, abbiamo già scoperto che il bordo BB1 è parallelo e uguale al bordo AA1, ma il bordo AA1 è parallelo e uguale al bordo DD1. Pertanto gli archi BB1 e DD1 sono paralleli e uguali, il che dimostra che il quadrilatero BB1D1D è un parallelogramma. E in un parallelogramma, secondo la proprietà, le diagonali B1D, BD1 si intersecano in un punto O e sono divise a metà in questo punto.
Anche il quadrilatero BC1D1A è un parallelogramma e le sue diagonali C1A si intersecano in un punto e sono secate in questo punto. Le diagonali del parallelogramma C1A, ВD1 sono le diagonali del parallelepipedo, il che significa che la proprietà formulata è dimostrata.
Per consolidare la conoscenza teorica del parallelepipedo, considera il problema della dimostrazione.
Sui bordi del parallelepipedo si segnano i punti L,M,N,P in modo che BL=CM=A1N=D1P. Dimostrare che ALMDNB1C1P è un parallelepipedo.
La faccia BB1A1A è un parallelogramma, il che significa che il bordo BB1 è uguale e parallelo al bordo AA1, ma a seconda della condizione, i segmenti BL e A1N, il che significa che i segmenti LB1 e NA sono uguali e paralleli.
3) Pertanto il quadrilatero LB1NA è un parallelogramma.
4) Poiché CC1D1D è un parallelogramma, significa che il bordo CC1 è uguale e parallelo al bordo D1D e CM è uguale a D1P per condizione, il che significa che i segmenti MC1 e DP sono uguali e paralleli
Pertanto anche il quadrilatero MC1PD è un parallelogramma.
5) Gli angoli LB1N e MC1P sono uguali come angoli con i lati rispettivamente paralleli e identicamente diretti.
6) Abbiamo scoperto che i parallelogrammi e MC1PD hanno i lati corrispondenti uguali e gli angoli tra loro sono uguali, il che significa che i parallelogrammi sono uguali.
7) I segmenti sono uguali a seconda della condizione, il che significa che BLMC è un parallelogramma e il lato BC è parallelo al lato LM è parallelo al lato B1C1.
8) Analogamente, dal parallelogramma NA1D1P segue che il lato A1D1 è parallelo al lato NP e parallelo al lato AD.
9) Le facce opposte ABB1A1 e DCC1D1 del parallelepipedo sono parallele in proprietà, e i segmenti di rette parallele racchiuse tra piani paralleli sono uguali, cioè sono uguali i segmenti B1C1, LM, AD, NP.
Si è scoperto che nei quadrilateri ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD, due lati sono paralleli e uguali, il che significa che sono parallelogrammi. Allora la nostra superficie ALMDNB1C1P è composta da sei parallelogrammi, di cui due uguali, e per definizione è un parallelepipedo.
Definizione
Poliedro chiameremo una superficie chiusa composta da poligoni e che delimita una certa parte dello spazio.
Vengono chiamati i segmenti che costituiscono i lati di questi poligoni costolette poliedro e i poligoni stessi lo sono bordi. I vertici dei poligoni sono chiamati vertici dei poliedri.
Considereremo solo i poliedri convessi (questo è un poliedro che si trova su un lato di ciascun piano contenente la sua faccia).
I poligoni che compongono un poliedro ne formano la superficie. La parte di spazio delimitata da un dato poliedro si chiama interno.
Definizione: prisma
Consideriamo due poligoni uguali \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) situati su piani paralleli in modo che i segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) parallelo. Un poliedro formato dai poligoni \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) , nonché dai parallelogrammi \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), è chiamato (\(n\)-gonale) prisma.
I poligoni \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) sono chiamati basi prismatiche, parallelogrammi \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– facce laterali, segmenti \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- nervature laterali.
Pertanto, i bordi laterali del prisma sono paralleli e uguali tra loro.
Consideriamo un esempio: un prisma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), alla cui base si trova un pentagono convesso.
Altezza I prismi sono una perpendicolare lasciata cadere da un punto qualsiasi di una base al piano di un'altra base.
Se i bordi laterali non sono perpendicolari alla base, viene chiamato tale prisma inclinato(Fig. 1), altrimenti – Dritto. In un prisma rettilineo, i bordi laterali sono altezze e le facce laterali sono rettangoli uguali.
Se un poligono regolare si trova alla base di un prisma rettilineo, allora si chiama prisma corretto.
Definizione: concetto di volume
L'unità di misura del volume è un cubo unitario (un cubo che misura \(1\times1\times1\) unità\(^3\), dove unità è una determinata unità di misura).
Possiamo dire che il volume di un poliedro è la quantità di spazio che questo poliedro limita. Altrimenti: si tratta di una quantità il cui valore numerico indica quante volte un cubo unitario e le sue parti rientrano in un dato poliedro.
Il volume ha le stesse proprietà dell'area:
1. I volumi di cifre uguali sono uguali.
2. Se un poliedro è composto da più poliedri non intersecanti, il suo volume è uguale alla somma dei volumi di questi poliedri.
3. Il volume è una quantità non negativa.
4. Il volume è misurato in cm\(^3\) (centimetri cubi), m\(^3\) (metri cubi), ecc.
Teorema
1. L'area della superficie laterale del prisma è uguale al prodotto del perimetro della base e dell'altezza del prisma.
L'area della superficie laterale è la somma delle aree delle facce laterali del prisma.
2. Il volume del prisma è uguale al prodotto dell'area di base e dell'altezza del prisma: \
Definizione: parallelepipedo
Parallelepipedoè un prisma con alla base un parallelogramma.
Tutte le facce del parallelepipedo (ci sono \(6\) : \(4\) facce laterali e \(2\) basi) sono parallelogrammi, e le facce opposte (parallele tra loro) sono parallelogrammi uguali (Fig. 2) .
Diagonale di un parallelepipedoè un segmento che collega due vertici di un parallelepipedo che non giacciono sulla stessa faccia (ce ne sono \(8\): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) eccetera.).
Parallelepipedo rettangolareè un parallelepipedo retto con alla base un rettangolo.
Perché Poiché questo è un parallelepipedo retto, le facce laterali sono rettangoli. Ciò significa che in generale tutte le facce di un parallelepipedo rettangolare sono rettangoli.
Tutte le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali (questo deriva dall'uguaglianza dei triangoli \(\triangolo ACC_1=\triangolo AA_1C=\triangolo BDD_1=\triangolo BB_1D\) eccetera.).
Commento
Quindi un parallelepipedo ha tutte le proprietà di un prisma.
Teorema
La superficie laterale di un parallelepipedo rettangolare è \
La superficie totale di un parallelepipedo rettangolare è \
Teorema
Il volume di un cuboide è uguale al prodotto dei suoi tre bordi che emergono da un vertice (tre dimensioni del cuboide): \
Prova
Perché In un parallelepipedo rettangolare gli spigoli laterali sono perpendicolari alla base, quindi sono anche le sue altezze, cioè \(h=AA_1=c\) Poiché la base è un rettangolo, quindi \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Ecco da dove viene questa formula.
Teorema
La diagonale \(d\) di un parallelepipedo rettangolo si trova utilizzando la formula (dove \(a,b,c\) sono le dimensioni del parallelepipedo) \
Prova
Diamo un'occhiata alla Fig. 3. Perché la base è un rettangolo, quindi \(\triangolo ABD\) è rettangolare, quindi per il teorema di Pitagora \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Perché tutti gli spigoli laterali sono quindi perpendicolari alle basi \(BB_1\perp (ABC) \Freccia destra BB_1\) perpendicolare a qualsiasi linea retta in questo piano, cioè \(BB_1\perpBD\) . Ciò significa che \(\triangolo BB_1D\) è rettangolare. Quindi, per il teorema di Pitagora \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.
Definizione: cubo
Cuboè un parallelepipedo rettangolare le cui facce sono tutte quadrate uguali.
Pertanto, le tre dimensioni sono uguali tra loro: \(a=b=c\) . Quindi è vero quanto segue
Teoremi
1. Il volume di un cubo con bordo \(a\) è uguale a \(V_(\text(cube))=a^3\) .
2. La diagonale del cubo si trova utilizzando la formula \(d=a\sqrt3\) .
3. Superficie totale di un cubo \(S_(\text(cubo intero))=6a^2\).