ארבע נקודות נהדרות
משולש
גֵאוֹמֶטרִיָה
כיתה ח'
סחרובה נטליה איבנובנה
תיכון MBOU מס' 28 של סימפרופול
- נקודת חיתוך של החציונים של משולש
- נקודת חיתוך של חצויים של משולש
- נקודת החיתוך של הגבהים של המשולש
- נקודת חיתוך של הניצבים האמצעיים של משולש
חֲצִיוֹן
חציון (BD)משולש הוא קטע קו המחבר את קודקוד המשולש לנקודת האמצע של הצלע הנגדית.
חציוניםמשולשים מצטלבים בנקודה אחת (מרכז כוח המשיכהמשולש) ומחלקים נקודה זו ביחס של 2: 1, בספירה מלמעלה.
חוֹצֶה
Bisector (AD)משולש נקרא קטע חצוי הזווית הפנימית של המשולש. ∟ BAD = ∟CAD.
כל נקודה חצוייםשל זווית לא מפותחת נמצא במרחק שווה מהצדדים שלה.
חזור: כל נקודה בתוך זווית ובמרחק שווה מצידי הזווית שוכנת עליה חוֹצֶה.
כולם חצוייםמשולשים מצטלבים בנקודה אחת מרכז רשום לתוך משולש מעגלים.
רדיוס המעגל (OM) הוא מאונך שנפל מהמרכז (T.O) לצד המשולש
גוֹבַה
גובה (CD)משולש הוא קטע של מאונך שנפל מקודקוד המשולש אל הישר המכיל את הצלע הנגדית.
גבהיםמשולשים (או שלוחותיהם) מצטלבים אחד נְקוּדָה.
MID PPERPENDICULAR
חציו הניצב (DF)נקרא קו מאונך לצלע המשולש ומחלק אותו לשניים.
כל נקודה אמצע אנך(מ) למקטע נמצא במרחק שווה מקצוות מקטע זה.
חזור: כל נקודה במרחק שווה מקצות הקטע נמצאת על נקודת האמצע אֲנָכִילו.
כל חצוי הניצבים של צלעות המשולש חותכים בנקודה אחת - מרכז המתואר ליד המשולש מעגלים .
רדיוס המעגל המוקף הוא המרחק ממרכז המעגל לכל קודקוד המשולש (OA).
עמוד 177 №675 (ציור)
שיעורי בית
P.173 § 3 הגדרות ומשפטים עמ' 177 מס' 675 (סיום)
מטרות:
- לסכם את הידע של התלמידים בנושא "ארבע נקודות נפלאות של המשולש", להמשיך לעבוד על היווצרות מיומנויות בבניית גובה, חציון, חצויה של משולש;
להכיר לתלמידים את המושגים החדשים של עיגול חרוט במשולש ומתואר סביבו;
לפתח מיומנויות מחקר;
- לטפח התמדה, דיוק, ארגון של תלמידים.
מְשִׁימָה:להרחיב את העניין הקוגניטיבי בנושא הגיאומטריה.
צִיוּד:לוח, כלי ציור, עפרונות צבעוניים, דגם משולש על גיליון נוף; מחשב, מקרן מולטימדיה, מסך.
במהלך השיעורים
1.
רגע ארגוני (דקה אחת)
מוֹרֶה:בשיעור זה כל אחד מכם ירגיש כמו מהנדס מחקר, לאחר סיום העבודה המעשית תוכל להעריך את עצמך. כדי שהעבודה תצליח, יש צורך לבצע את כל הפעולות עם המודל בצורה מדויקת ומאורגנת במהלך השיעור. אני מאחל לך הצלחה.
2.
מורה: צייר זווית פרושה במחברת שלך
ש. אילו שיטות לבניית חוצה של זווית אתה מכיר?
קביעת חציו של זווית. שני תלמידים מבצעים על הלוח את בניית חצוי הזווית (לפי מודלים מוכנים מראש) בשתי דרכים: עם סרגל, מצפנים. שני התלמידים הבאים מוכיחים מילולית את ההצהרות:
1. איזו תכונה יש לנקודות של חוצה זווית?
2. מה ניתן לומר על הנקודות השוכנות בתוך הזווית ובמרחק שווה מצידי הזווית?
מורה: צייר משולש טטראגונלי ABC בכל אחת מהדרכים, בנה את חצוי הזווית A וזווית C, הצבע עליהם
צומת - נקודה O. איזו השערה אתה יכול להעלות לגבי הקרן BO? הוכח שקרן BO היא חוצה משולש ABC. נסח מסקנה לגבי מיקומם של כל חצוי המשולש.
3.
עובדים עם דגם המשולש (5-7 דקות).
אפשרות 1 - משולש חריף;
אפשרות 2 - משולש ישר זווית;
אפשרות 3 - משולש קהה.
המורה: בנה שני חצויים על דגם המשולש, הקיפו אותם בצהוב. ציין את נקודת ההצטלבות
נקודת חוצה K. ראה שקופית מספר 1.
4.
הכנה לשלב המרכזי של השיעור (10-13 דקות).
מורה: צייר את הקטע AB במחברת שלך. באילו כלים ניתן להשתמש כדי לבנות את חוצה הניצב של קטע קו? הגדרה של החציקטור הניצב. שני תלמידים מבצעים על הלוח את בניית החוט הניצב
(לפי מודלים מוכנים מראש) בשני אופנים: סרגל, מצפן. שני התלמידים הבאים מוכיחים מילולית את ההצהרות:
1. איזו תכונה יש לנקודות של הניצב האמצעי לקטע?
2. מה ניתן לומר על הנקודות הנמצאות במרחק שווה מקצות הקטע AB?מורה: צייר במשולש ארבע-כשירי ABC ובנה חצאים מאונכים לכל שתי צלעות של המשולש ABC.
סמן את נקודת החיתוך O. צייר מאונך לצלע השלישית דרך נקודה O. מה אתה שם לב? הוכיחו שזהו החציקטור הניצב של הקטע.
5.
עבדו עם מודל המשולש (5 דקות) מורה: במודל המשולש בנו את חצוי הניצבים לשתי צלעות המשולש והקיפו אותם בירוק. סמן את נקודת החיתוך של חצויים הניצבים עם נקודה O. ראה שקופית מס' 2.
6.
הכנה לשלב המרכזי של השיעור (5-7 דקות) המורה: לצייר משולש קהה ABC ולבנות שני גבהים. ציין את נקודת הצומת שלהם O.
1. מה ניתן לומר על הגובה השלישי (הגובה השלישי, אם ימשיך מעבר לבסיס, יעבור דרך הנקודה O)?
2. איך להוכיח שכל הגבהים מצטלבים בנקודה אחת?
3. איזו דמות חדשה יוצרים הגבהים האלה, ומה הם בה?
7.
עובדים עם דגם המשולש (5 דקות).
מורה: על דגם המשולש, בנה שלושה גבהים והקף אותם בכחול. סמן את נקודת החיתוך של הגבהים עם נקודה H. ראה שקופית מס' 3.
שיעור שני
8.
הכנה לשלב המרכזי של השיעור (10-12 דקות).
מורה: צייר משולש חריף ABC ותשרטט את כל החציונים שלו. ציין את נקודת החיתוך שלהם O. איזו תכונה יש לחציון של משולש?
9.
עבודה עם דגם המשולש (5 דקות).
מורה: על דגם של משולש, בנה שלושה חציונים והקף אותם בחום.
ציינו את נקודת החיתוך של החציונים בנקודה T. צפו בשקופית מספר 4.
10.
בדיקת תקינות הבנייה (10-15 דקות).
1. מה ניתן לומר על נקודה K? / נקודת K היא נקודת החיתוך של חצויים, היא נמצאת במרחק שווה מכל צלעות המשולש /
2. הציגו על הדגם את המרחק מנקודה K לצלע הארוכה של המשולש. איזו צורה ציירת? איך זה ממוקם
לחתוך לצד? הדגש מודגש עם עיפרון פשוט. (ראה שקופית מספר 5).
3. מהי נקודה במרחק שווה משלוש נקודות של המישור שאינן שוכנות על קו ישר אחד? בנו עיגול בעיפרון צהוב עם מרכז K ורדיוס השווה למרחק שנבחר בעיפרון פשוט. (ראה שקופית מספר 6).
4. מה שמת לב? איך המעגל הזה ביחס למשולש? רשמת עיגול במשולש. איך קוראים למעגל כזה?
המורה נותן את ההגדרה של עיגול חרוט במשולש.
5. מה ניתן לומר על נקודה O? \PointO - נקודת החיתוך של הניצבים המדיאליים והיא נמצאת במרחק שווה מכל קודקודי המשולש \. איזו דמות ניתן לבנות על ידי חיבור נקודות A, B, C ו-O?
6. בנה עיגול צבע ירוק (O; OA). (ראה שקופית מספר 7).
7. מה שמת לב? איך המעגל הזה ביחס למשולש? איך קוראים למעגל כזה? מה שם המשולש במקרה זה?
המורה נותן את ההגדרה של המעגל המוקף סביב משולש.
8. חברו סרגל לנקודות O, H ו-T ושרטטו קו ישר באדום דרך הנקודות הללו. קו זה נקרא קו ישר.
אוילר (ראה שקופית מספר 8).
9. השווה בין OT ו-TN. בדוק FROM:TN=1: 2. (ראה שקופית מס' 9).
10. א) מצא את החציונים של המשולש (בחום). סמן את הבסיסים של החציונים עם דיו.
איפה שלוש הנקודות האלה?
ב) מצא את הגבהים של המשולש (בכחול). סמן את בסיסי הגבהים בדיו. כמה מהנקודות האלה? \ 1 אפשרות-3; 2 אפשרות-2; אפשרות 3-3\.ג) מדוד את המרחקים מהקודקודים לנקודת החיתוך של הגבהים. תן שם למרחקים אלה (AN,
VN, CH). מצא את נקודות האמצע של מקטעים אלה והדגש עם דיו. כמה
נקודות? \1 אפשרות-3; 2 אפשרות-2; אפשרות 3-3\.
11. ספרו כמה נקודות מסומנות בדיו? \ אפשרות אחת - 9; 2 אפשרות-5; אפשרות 3-9\. לייעד
נקודות D 1 , D 2 ,…, D 9 . (ראה שקופית מספר 10) דרך נקודות אלו, ניתן לבנות מעגל אוילר. מרכז נקודת המעגל E נמצא באמצע הקטע OH. אנו בונים מעגל באדום (E; ED 1). מעגל זה, כמו הקו הישר, נקרא על שמו של המדען הגדול. (ראה שקופית מספר 11).
11.
מצגת אוילר (5 דקות).
12. שורה תחתונה(3 דקות) ציון: "5" - אם מקבלים בדיוק עיגולים צהובים, ירוקים ואדומים ואת הקו של אוילר. "4" - אם העיגולים אינם מדויקים ב-2-3 מ"מ. "3" - אם העיגולים אינם מדויקים ב-5-7 מ"מ.
בשיעור זה נתבונן בארבע נקודות נפלאות של המשולש. נתעכב על שניים מהם בפירוט, נזכור את ההוכחות של משפטים חשובים ונפתור את הבעיה. את שני הנותרים אנו נזכרים ומאפיינים.
נושא:חזרה על קורס גיאומטריה בכיתה ח'
שיעור: ארבע נקודות יוצאות דופן של משולש
משולש הוא, קודם כל, שלושה קטעים ושלוש זוויות, ולכן המאפיינים של קטעים וזוויות הם יסודיים.
ניתן פלח AB. לכל קטע יש אמצע, וניתן לצייר דרכו מאונך - נסמן אותו ב-p. לפיכך p הוא החציקטור הניצב.
משפט (תכונה בסיסית של חצויה מאונך)
כל נקודה השוכבת על חוצה הניצב נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע.
תוכיח את זה
הוכחה:
שקול משולשים ו (ראה איור 1). הם מלבניים ושווים, כי. יש רגל משותפת OM, והרגליים של AO ו-OB שוות בתנאי, לכן, יש לנו שני משולשים ישרי זווית שווים בשתי רגליים. מכאן נובע שגם התחתונים של המשולשים שווים, כלומר, מה שהיה צריך להוכיח.
אורז. 1
המשפט ההפוך הוא נכון.
מִשׁפָּט
כל נקודה הנמצאת במרחק שווה מקצוות קטע נמצאת על חוצה הניצב לקטע זה.
נתון הקטע AB, החציון המאונך לו p, הנקודה M, במרחק שווה מקצות הקטע (ראה איור 2).
הוכח שהנקודה M נמצאת על חוצה הניצב לקטע.
אורז. 2
הוכחה:
בואו ניקח בחשבון משולש. זה שווה שוקיים, כמו לפי תנאי. קחו בחשבון את החציון של המשולש: נקודה O היא נקודת האמצע של הבסיס AB, OM היא החציון. לפי התכונה של משולש שווה שוקיים, החציון הנמשך לבסיסו הוא גם גובה וגם חוצה. מכאן נובע ש. אבל גם הישר p מאונך ל-AB. אנו יודעים שניתן למשוך מאונך בודד לקטע AB לנקודה O, כלומר הישרים OM ו-p חופפים, ומכאן נובע שהנקודה M שייכת לישר p, שנדרש להוכחה.
אם יש צורך לתאר מעגל על קטע אחד, אפשר לעשות זאת, ויש אינסוף מעגלים כאלה, אבל מרכז כל אחד מהם יהיה על החציו הניצב לקטע.
אומרים שהחציו הניצב הוא המיקום של נקודות במרחק שווה מקצות קטע.
המשולש מורכב משלושה קטעים. נצייר אנכי אמצע לשניים מהם ונקבל את נקודת ה-O של החיתוך שלהם (ראה איור 3).
נקודה O שייכת לחציו הניצב לצלע BC של המשולש, כלומר היא נמצאת במרחק שווה מהקודקודים שלה B ו-C, נסמן את המרחק הזה כ-R:.
בנוסף, הנקודה O ממוקמת על חוצה הניצב לקטע AB, כלומר. אולם מכאן .
לפיכך, נקודת O של החיתוך של שתי נקודות אמצע
אורז. 3
הניצבים של המשולש נמצאים במרחק שווה מקודקודיו, מה שאומר שהוא שוכן גם על חוצה הניצב השלישי.
חזרנו על ההוכחה של משפט חשוב.
שלושת חצויים הניצבים של משולש חותכים בנקודה אחת - מרכז המעגל המוקף.
אז שקלנו את הנקודה המדהימה הראשונה של משולש - נקודת החיתוך של חצאיו הניצבים.
נעבור למאפיין של זווית שרירותית (ראה איור 4).
בהינתן זווית, חוצה AL שלו, נקודה M מונחת על חוצה.
אורז. 4
אם הנקודה M שוכנת על חוצה של הזווית, אז היא נמצאת במרחק שווה מצלעות הזווית, כלומר המרחקים מהנקודה M ל-AC ועד ל-BC של צלעות הזווית שווים.
הוכחה:
שקול משולשים ו. אלה משולשים ישרי זווית, והם שווים, כי. יש תחתון משותף AM, והזוויות ו שוות, שכן AL הוא חוצה של הזווית . לפיכך, משולשים ישרי זווית שווים בתחתית ובזווית חדה, ומכאן נובע כי , אשר נדרש להוכיח. לפיכך, נקודה על חוצה של זווית נמצאת במרחק שווה מצלעי זווית זו.
המשפט ההפוך הוא נכון.
מִשׁפָּט
אם נקודה נמצאת במרחק שווה מצלעות של זווית לא מורחבת, אז היא שוכבת על חוצה שלה (ראה איור 5).
ניתנת זווית לא מפותחת, נקודה M, כך שהמרחק ממנה לצידי הזווית זהה.
הוכח שהנקודה M נמצאת על חוצה של הזווית.
אורז. 5
הוכחה:
המרחק מנקודה לישר הוא אורך הניצב. צייר מהנקודה M מאונכים MK לצד AB ו-MP לצד AC.
שקול משולשים ו. אלה משולשים ישרי זווית, והם שווים, כי. יש תחתון משותף AM, הרגליים MK ו-MR שוות לפי מצב. לפיכך, משולשים ישרים זויים שווים בתחתית וברגל. משוויון המשולשים נובע השוויון של האלמנטים התואמים, זוויות שוות מונחות כנגד רגליים שוות, ובכך, 
, לפיכך, הנקודה M שוכנת על חוצה של הזווית הנתונה.
אם יש צורך לרשום מעגל בזווית, ניתן לעשות זאת, ויש אינסוף מעגלים כאלה, אבל המרכזים שלהם נמצאים על חוצה של הזווית הנתונה.
אומרים שהחצוי הוא מוקד הנקודות המרוחקות באותה מידה מצלעות זווית.
משולש מורכב משלוש פינות. אנו בונים את חצויים של שניים מהם, נקבל את הנקודה O של החתך ביניהם (ראה איור 6).
נקודה O שוכנת על חוצה של הזווית, כלומר היא נמצאת במרחק שווה מצלעותיה AB ו-BC, נסמן את המרחק כ-r:. כמו כן, הנקודה O שוכנת על חוצה של הזווית , כלומר היא נמצאת במרחק שווה מצלעיה AC ו-BC: , , ומכאן .
קל לראות שנקודת החיתוך של חצויים נמצאת במרחק שווה מצלעי הזווית השלישית, כלומר היא שוכנת על
אורז. 6
חוצה זווית. לפיכך, כל שלושת חצאי המשולש נחתכים בנקודה אחת.
אז, זכרנו את ההוכחה של משפט חשוב אחר.
חצוי הזוויות של משולש מצטלבים בנקודה אחת - מרכז המעגל הכתוב.
אז שקלנו את הנקודה הנפלאה השנייה של המשולש - נקודת החיתוך של חצויים.
בדקנו את חוצה של זווית וציינו את תכונותיו החשובות: נקודות החוצה נמצאות במרחק שווה מצלעי הזווית, בנוסף, מקטעי המשיקים הנמשכים למעגל מנקודה אחת שווים.
בואו נציג קצת סימון (ראה איור 7).
סמן מקטעים שווים של משיקים ב-x, y ו-z. הצלע BC המונחת מול קודקוד A מסומנת כ-a, בדומה AC כ-b, AB כ-c.
אורז. 7
בעיה 1: במשולש ידועים החצי-היקף ואורך הצלע a. מצא את אורך המשיק שנמשך מהקודקוד A - AK, המסומן ב-x.
ברור שהמשולש לא לגמרי מוגדר, ויש הרבה משולשים כאלה, אבל מסתבר שיש להם כמה אלמנטים משותפים.
לבעיות שבהן אנו מדברים על מעגל רשום, אנו יכולים להציע את טכניקת הפתרון הבאה:
1. צייר חצויים וקבל את מרכז המעגל החתום.
2. ממרכז O, צייר ניצבים לצדדים וקבל נקודות מגע.
3. סמן משיקים שווים.
4. כתבו את הקשר בין צלעות המשולש למשיקים.
סילצ'נקוב איליה
חומרים לשיעור, מצגת עם אנימציה
הורד:
תצוגה מקדימה:
כדי להשתמש בתצוגה המקדימה של מצגות, צור חשבון Google (חשבון) והיכנס: https://accounts.google.com
כתוביות של שקופיות:
קו האמצע של משולש הוא קטע המחבר בין נקודות האמצע של שתיים מצלעותיו ושווה למחצית הצלע הזו. כמו כן, לפי המשפט, קו האמצע של משולש מקביל לאחת מצלעותיו ושווה למחצית הצלע הזו.
אם ישר מאונך לאחד משני ישרים מקבילים, אז הוא גם מאונך לשני.
נקודות משולש יוצאות דופן
נקודות משולש ראויות לציון נקודת חיתוך של חציונים (מרכז המשולש); נקודת החיתוך של חצויים, מרכז המעגל הכתוב; נקודת החיתוך של חצויים הניצבים; נקודת חיתוך של גבהים (אורתוסנטר); קו אוילר ומעגל של תשע נקודות; ג'רגון ונאגל מצביעים; פוינט פרמה-טוריצ'לי;
נקודת חיתוך של חציונים
החציון של משולש הוא קטע קו המחבר את קודקוד כל זווית של המשולש עם נקודת האמצע של הצלע הנגדית.
I. החציונים של משולש מצטלבים בנקודה אחת, המחלקת כל חציון ביחס של 2:1, בספירה מלמעלה.
הוכחה:
A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 2. הקטע A 1 B 1 מקביל לצלע AB ו- 1/2 AB \u003d A 1 B 1 כלומר AB \u003d 2A1B1 (לפי משפט קו האמצע של המשולש), לכן 1 \u003d 4 ו- 3 \u003d 2 ( מכיוון שהן זוויות מוצלבות פנימיות עם קווים מקבילים AB ו-A 1 B 1 וחותכות את BB 1 עבור 1, 4 ו-AA 1 עבור 3, 2 3. לכן, המשולשים AOB ו-A 1 OB 1 דומים בשתי זוויות, ו, לכן, הצלעות שלהם פרופורציונליות, כלומר היחסים בין הצלעות של AO ו- A 1 O, BO ו- B 1 O, AB ו- A 1 B 1 שווים. אבל AB = 2A 1 B 1, ולכן AO \u003d 2A 1 O ו-BO \u003d 2B 1 O. לפיכך, נקודת החיתוך O של החציונים BB 1 ו-AA 1 מחלקת כל אחד מהם ביחס 2:1, ספירה מלמעלה. המשפט מוכח. באופן דומה, ניתן להוכיח על שני חציונים אחרים
מרכז המסה נקרא לפעמים מרכז המסה. לכן אומרים שנקודת החיתוך של החציון היא מרכז המשולש. מרכז המסה של צלחת משולשת הומוגנית ממוקם באותה נקודה. אם מניחים לוח דומה על סיכה כך שקצה הסיכה פוגע בדיוק במרכז המשולש, אזי הצלחת תהיה בשיווי משקל. כמו כן נקודת החיתוך של החציונים היא מרכז המעגל של המשולש החציוני שלו. תכונה מעניינת של נקודת החיתוך של חציונים קשורה למושג הפיזיקלי של מרכז המסה. מסתבר שאם שמים מסות שוות בקודקודים של משולש, אז המרכז שלהם ייפול בדיוק בנקודה זו.
נקודת חיתוך של חצויים
חוצה של משולש - קטע של חוצה זווית המחבר את קודקוד אחת מזוויות המשולש עם נקודה השוכנת בצד הנגדי.
חצויים של משולש נחתכים בנקודה אחת במרחק שווה מצלעותיו.
הוכחה:
C A B A 1 B 1 C 1 0 1. סמן באות O את נקודת החיתוך של חצויים AA 1 ו-BB 1 של המשולש ABC. 3. נשתמש בעובדה שכל נקודה של חצויה של זווית פרושה נמצאת במרחק שווה מצלעיה ולהיפך: כל נקודה השוכנת בתוך הזווית ובמרחק שווה מצלעי הזווית מונחת על חוצה שלה. ואז OK=OL ו-OK=OM. משמעות הדבר היא OM \u003d OL, כלומר, נקודה O נמצאת במרחק שווה מצלעות המשולש ABC, ולכן, נמצאת על חוצה CC1 של זווית C. 4. כתוצאה מכך, כל שלושת חצאי המשולש ABC נחתכים בנקודה O. K L M המשפט מוכח. 2. צייר מנקודה זו את הניצבים OK, OL ו-OM, בהתאמה, לקווים הישרים AB, BC ו-CA.
נקודת חיתוך של חצויים מאונכים
הניצב החציוני הוא קו ישר העובר דרך נקודת האמצע של קטע נתון ומאונך לו.
חצאי המשולש הניצבים לצלעות המשולש חותכים בנקודה אחת במרחק שווה מקודקודי המשולש.
הוכחה:
B C A m n 1. סמן באות O את נקודת החיתוך של חצויים הניצבים m ו-n לצלעות AB ו-BC של המשולש ABC. O 2. בעזרת המשפט שכל נקודה של חוצה הניצב לקטע נמצאת במרחק שווה מקצוות המקטע הזה ולהיפך: כל נקודה במרחק שווה מקצוות הקטע שוכנת על חוצה האנך אליו, נקבל ש-OB= OA ו-OB=OC. 3. לכן, OA \u003d OC, כלומר, הנקודה O נמצאת במרחק שווה מקצוות הקטע AC, ולכן, שוכנת על החציקטור הניצב לקטע זה. 4. לכן, כל שלושת חצאי הניצבים m, n ו-p לצלעות המשולש ABC חותכים בנקודה O. המשפט מוכח. ר
נקודת חיתוך של גבהים (או הרחבות שלהם)
גובהו של משולש הוא האנך הנמשך מקודקוד כל זווית של המשולש אל הישר המכיל את הצלע הנגדית.
גבהים של משולש או שלוחות שלו מצטלבים בנקודה אחת, שעשויה להיות במשולש, או עשויה להיות מחוצה לו.
הוכחה:
הבה נוכיח שהקווים AA 1, BB 1 ו-CC 1 מצטלבים בנקודה אחת. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. צייר קו דרך כל קודקוד של משולש ABC במקביל לצלע הנגדית. נקבל משולש A 2 B 2 C 2. 2. נקודות A, B ו-C הן נקודות האמצע של צלעות המשולש הזה. ואכן, AB \u003d A 2 C ו-AB \u003d CB 2 כצלעות מנוגדות של המקביליות ABA 2 C ו-ABCB 2, ולכן A 2 C \u003d CB 2. באופן דומה, C 2 A \u003d AB 2 ו- C 2 B \u003d BA 2. בנוסף, כדלקמן מהבנייה, CC 1 מאונך ל-A 2 B 2, AA 1 מאונך ל-B 2 C 2 ו-BB 1 מאונך ל-A 2 C 2 (מתוך התוצאה של הקווים המקבילים ומשפט הססקנט) . לפיכך, הקווים AA 1, BB 1 ו-CC 1 הם חוצים מאונכים לצלעות המשולש A 2 B 2 C 2. לכן, הם מצטלבים בנקודה אחת. המשפט הוכח.
בראנובה אלנה
מאמר זה דן בנקודות המדהימות של המשולש, בתכונותיהן ובסדירות שלהן, כגון מעגל תשע הנקודות וקו אוילר. ניתן הרקע ההיסטורי של גילוי קו אוילר ומעגל תשע הנקודות. מוצעת האוריינטציה המעשית של היישום של הפרויקט שלי.
הורד:
תצוגה מקדימה:
כדי להשתמש בתצוגה המקדימה של מצגות, צור חשבון Google (חשבון) והיכנס: https://accounts.google.com
כתוביות של שקופיות:
"הנקודות המדהימות של המשולש". (שאלות יישומיות ובסיסיות של מתמטיקה) Baranova Elena כיתה 8, MKOU "בית ספר תיכון מס' 20" Pos. Novoizobilny, Tatyana Vasilievna Dukhanina, מורה למתמטיקה MKOU "בית ספר תיכון מס' 20" התנחלות נובוזובילני 2013. מוסד חינוך ממלכתי עירוני "תיכון מס' 20"
מטרה: חקר משולש על נקודותיו המדהימות, חקר הסיווגים והתכונות שלהם. משימות: 1. ללמוד את הספרות הדרושה 2. ללמוד את סיווג הנקודות המדהימות של משולש 3. להכיר את תכונות הנקודות המדהימות של משולש 4. להיות מסוגל לבנות נקודות ראויות לציון של משולש. 5. חקור את היקף הנקודות הנפלאות. מושא הלימוד - ענף במתמטיקה - גיאומטריה נושא הלימוד - משולש רלוונטיות: להרחיב את הידע שלך על המשולש, תכונות הנקודות המדהימות שלו. השערה: חיבור המשולש לטבע
נקודת החיתוך של הניצבים האמצעיים היא מרוחק שווה מקודקודי המשולש והיא מרכז המעגל המוקף. מעגלים מוקפים על משולשים שקודקודיהם הם נקודות האמצע של צלעות המשולש וקודקודי המשולש מצטלבים בנקודה אחת, החופפת לנקודת החיתוך של חצויים הניצבים.
נקודת חיתוך של חצויים נקודת החיתוך של חצויים של משולש נמצאת במרחק שווה מצלעות המשולש. OM=OA=OV
נקודת חיתוך של גבהים נקודת החיתוך של חצויים של משולש שקודקודיו הם בסיסי הגבהים חופפים לנקודת החיתוך של גבהי המשולש.
נקודת חיתוך של חציונים החציונים של משולש מצטלבים בנקודה אחת, המחלקת כל חציון ביחס של 2:1, בספירה מהקודקוד. אם נקודת החיתוך של החציונים מחוברת לקודקודים, אזי המשולש יחולק לשלושה משולשים, שווים בשטחם. תכונה חשובה של נקודת החיתוך של החציונים היא העובדה שסכום הוקטורים, שתחילתם היא נקודת החיתוך של החציונים, והקצוות הם קודקודי המשולשים, שווה לאפס
נקודת Torricelli הערה: נקודת Torricelli קיימת אם כל הזוויות של המשולש קטנות מ-120.
המעגל של תשע נקודות B1, A1, C1 הוא בסיס הגבהים; A2, B2, C2 - נקודות האמצע של הצלעות המתאימות; A3, B3, C3, - נקודות האמצע של המקטעים AN, BH ו-CH.
קו אוילר נקודת החיתוך של החציונים, נקודת החיתוך של הגבהים, מרכז המעגל של תשע נקודות שוכנים על קו ישר אחד, הנקרא קו אוילר לכבוד המתמטיקאי שקבע את התבנית הזו.
קצת מההיסטוריה של גילוי נקודות ראויות לציון בשנת 1765 גילה אוילר שנקודות האמצע של צלעות המשולש ובסיסי הגבהים שלו שוכנים על אותו עיגול. התכונה המדהימה ביותר של הנקודות הנפלאות של משולש היא שחלקן קשורות זו לזו ביחס מסוים. נקודת החיתוך של החציונים M, נקודת החיתוך של הגבהים H ומרכז המעגל המוקף O נמצאים על אותו קו ישר, והנקודה M מחלקת את הקטע OH כך שהיחס OM: OH = 1: 2 משפט זה הוכח על ידי לאונרד אוילר ב-1765.
הקשר בין גיאומטריה לטבע. במיקום זה, האנרגיה הפוטנציאלית היא בעלת הערך הקטן ביותר וסכום המקטעים MA + MB + MS יהיה הקטן ביותר, וסכום הוקטורים השוכבים על מקטעים אלה עם ההתחלה בנקודת טוריצ'לי יהיה שווה לאפס.
מסקנות למדתי שבנוסף לנקודות החיתוך הנפלאות של גבהים, חציונים, חצויים ואמצע-ניצבים, יש גם נקודות וקווים נפלאים של משולש. אני יכול להשתמש בידע שנצבר בנושא זה בפעילויות החינוכיות שלי, ליישם משפטים באופן עצמאי לבעיות מסוימות, ליישם את המשפטים הנלמדים במצב אמיתי. אני מאמין שהשימוש בנקודות ובקווים נפלאים של המשולש בלימודי המתמטיקה יעיל. הכרתם מזרזת מאוד את הפתרון של משימות רבות. ניתן להשתמש בחומר המוצע הן בשיעורי מתמטיקה והן בפעילויות חוץ בית ספריות לתלמידי כיתות ה'-ט'.
תצוגה מקדימה:
כדי להשתמש בתצוגה המקדימה, צור לעצמך חשבון Google (חשבון) והיכנס: