מה זאת אומרת הגבלה. הגבול הנפלא השני

מתמטיקה היא המדע שבונה את העולם. גם המדען וגם האדם הפשוט - אף אחד לא יכול בלעדיו. ראשית, מלמדים ילדים צעירים לספור, לאחר מכן להוסיף, לגרוע, להכפיל ולחלק, לפי חטיבת הביניים נכנסים למשחק ייעודי אותיות, ובגדול כבר אי אפשר לוותר עליהם.

אבל היום נדבר על מה מבוססת כל המתמטיקה הידועה. על קהילת המספרים הנקראת "מגבלות רצף".

מהם רצפים ואיפה הגבול שלהם?

משמעות המילה "רצף" אינה קשה לפירוש. זו בנייה כזו של דברים, שבה מישהו או משהו ממוקמים בסדר או בתור מסויים. לדוגמה, התור לכרטיסים לגן החיות הוא רצף. ויכול להיות רק אחד! אם, למשל, מסתכלים על התור לחנות, זה רצף אחד. ואם אדם אחד יוצא פתאום מהתור הזה, אז זה תור אחר, סדר אחר.

גם המילה "גבול" מתפרשת בקלות - זה הסוף של משהו. עם זאת, במתמטיקה, גבולות הרצפים הם אותם ערכים על קו המספרים שרצף מספרים נוטה אליהם. למה מתאמץ ולא נגמר? זה פשוט, לקו המספרים אין סוף, ולרוב הרצפים, כמו קרניים, יש רק התחלה והם נראים כך:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

מכאן שההגדרה של רצף היא פונקציה של הארגומנט הטבעי. במילים פשוטות יותר, זוהי סדרה של חברים מקבוצה כלשהי.

איך בנוי רצף מספרים?

הדוגמה הפשוטה ביותר לרצף מספרים עשויה להיראות כך: 1, 2, 3, 4, …n…

ברוב המקרים, למטרות מעשיות, רצפים בנויים ממספרים, ולכל חבר הבא בסדרה, נסמן אותו ב-X, יש שם משלו. לדוגמה:

x 1 - האיבר הראשון ברצף;

x 2 - האיבר השני ברצף;

x 3 - האיבר השלישי;

x n הוא האיבר ה-n.

בשיטות מעשיות, הרצף ניתן על ידי נוסחה כללית שבה יש משתנה כלשהו. לדוגמה:

X n \u003d 3n, אז סדרת המספרים עצמה תיראה כך:

כדאי לזכור שבסימון הכללי של רצפים, אתה יכול להשתמש בכל אותיות לטיניות, ולא רק X. לדוגמה: y, z, k וכו'.

התקדמות אריתמטית כחלק מרצפים

לפני שמחפשים את גבולות הרצפים, מומלץ להעמיק בעצם הרעיון של סדרת מספרים כזו, שכולם נתקלו בה כשהיו במעמד הביניים. התקדמות אריתמטית היא סדרה של מספרים שבה ההבדל בין איברים סמוכים הוא קבוע.

משימה: "תן 1 \u003d 15, ואת שלב ההתקדמות של סדרת המספרים d \u003d 4. בנה את 4 החברים הראשונים בשורה הזו"

פתרון: a 1 = 15 (לפי תנאי) הוא האיבר הראשון בהתקדמות (סדרת המספרים).

ו-2 = 15+4=19 הוא האיבר השני בהתקדמות.

ו-3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 הוא המונח השלישי.

ו-4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 הוא המונח הרביעי.

עם זאת, בשיטה זו קשה להגיע לערכים גדולים, למשל, עד 125. . במיוחד עבור מקרים כאלה, נגזרה נוסחה נוחה לתרגול: a n \u003d a 1 + d (n-1). במקרה זה, 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

סוגי רצפים

רוב הסיקוונסים הם אינסופיים, כדאי לזכור לכל החיים. ישנם שני סוגים מעניינים של סדרות מספרים. הראשון ניתן על ידי הנוסחה a n =(-1) n . מתמטיקאים מתייחסים לעתים קרובות לרצפי הבזק הזה. למה? בוא נבדוק את המספרים שלו.

1, 1, -1, 1, -1, 1 וכו'. בעזרת דוגמה זו, מתברר שניתן לחזור על מספרים ברצפים בקלות.

רצף פקטורי. קל לנחש שישנו פקטוריאלי בנוסחה שמגדיר את הרצף. לדוגמה: ו-n = (n+1)!

ואז הרצף ייראה כך:

ו-2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

ו-3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 וכו'.

רצף שניתן על ידי התקדמות אריתמטית נקרא ירידה אינסופית אם נצפה אי השוויון -1 עבור כל האיברים שלו

ו-3 \u003d - 1/8 וכו'.

יש אפילו רצף המורכב מאותו מספר. אז, ו-n \u003d 6 מורכב ממספר אינסופי של שישיות.

קביעת הגבול של רצף

מגבלות רצף קיימות זמן רב במתמטיקה. כמובן, הם ראויים לעיצוב המוכשר שלהם. אז, הגיע הזמן ללמוד את ההגדרה של גבולות רצף. ראשית, שקול את הגבול עבור פונקציה לינארית בפירוט:

1. כל המגבלות מקוצרות כ-lim.
2. ערך הגבול מורכב מהקיצור lim, משתנה כלשהו הנוטה למספר מסוים, אפס או אינסוף, וכן מהפונקציה עצמה.

קל להבין שאת הגדרת הגבול של רצף ניתן לנסח באופן הבא: זהו מספר מסוים, שאליו מתקרבים כל איברי הרצף באופן אינסופי. דוגמה פשוטה: ו-x = 4x+1. ואז הרצף עצמו ייראה כך.

5, 9, 13, 17, 21…x…

לפיכך, הרצף הזה יגדל ללא הגבלת זמן, מה שאומר שהגבול שלו שווה לאינסוף כ-x→∞, ויש לכתוב זאת כך:

אם ניקח רצף דומה, אבל x שואף ל-1, נקבל:

וסדרת המספרים תהיה כזו: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 וכו'. בכל פעם צריך להחליף את המספר יותר ויותר קרוב לאחד (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). ניתן לראות מסדרה זו שהגבול של הפונקציה הוא חמש.

מחלק זה כדאי לזכור מהו הגבול של רצף מספרי, ההגדרה והשיטה לפתרון משימות פשוטות.

סימון כללי עבור מגבלת הרצפים

לאחר שניתח את גבול הרצף המספרי, הגדרתו ודוגמאותיו, נוכל להמשיך לנושא מורכב יותר. ניתן לנסח לחלוטין את כל גבולות הרצפים על ידי נוסחה אחת, שבדרך כלל מנותחת בסמסטר הראשון.

אז מה המשמעות של קבוצת האותיות, המודולים וסימני אי השוויון?

∀ הוא מכמת אוניברסלי, המחליף את הביטויים "לכולם", "לכל דבר" וכו'.

∃ הוא מכמת קיום, במקרה זה זה אומר שיש ערך N כלשהו השייך לקבוצת המספרים הטבעיים.

מקל אנכי ארוך אחרי N אומר שהקבוצה הנתונה N היא "כזה". בפועל, זה יכול להיות "כזה", "כזה" וכו'.

כדי לגבש את החומר, קרא את הנוסחה בקול.

אי ודאות וודאות הגבול

שיטת מציאת הגבול של הרצפים, שנידונה לעיל, למרות שהיא פשוטה לשימוש, אינה כה רציונלית בפועל. נסה למצוא את הגבול לפונקציה הזו:

אם נחליף ערכי x שונים (הגדלים בכל פעם: 10, 100, 1000 וכו'), אז נקבל ∞ במונה, אבל גם ∞ במכנה. מסתבר שבריר מוזר למדי:

אבל האם זה באמת כך? חישוב הגבול של הרצף המספרי במקרה זה נראה קל מספיק. אפשר היה להשאיר הכל כמו שהוא, כי התשובה מוכנה, והיא התקבלה בתנאים סבירים, אבל יש דרך אחרת במיוחד למקרים כאלה.

ראשית, בואו נמצא את המדרגה הגבוהה ביותר במונה של השבר - זוהי 1, מכיוון שניתן לייצג את x כ-x 1.

עכשיו בואו נמצא את הדרגה הגבוהה ביותר במכנה. גם 1.

חלקו גם את המונה וגם את המכנה במשתנה במידה הגבוהה ביותר. במקרה זה, נחלק את השבר ב-x 1.

לאחר מכן, בואו נמצא לאיזה ערך נוטה כל מונח המכיל את המשתנה. במקרה זה, שברים נחשבים. בתור x→∞, הערך של כל אחד מהשברים שואף לאפס. בעת ביצוע מאמר בכתב, כדאי להעלות את הערות השוליים הבאות:

מתקבל הביטוי הבא:

כמובן, השברים המכילים x לא הפכו לאפסים! אבל הערך שלהם כל כך קטן שמותר בהחלט לא לקחת אותו בחשבון בחישובים. למעשה, x לעולם לא יהיה שווה ל-0 במקרה זה, כי אי אפשר לחלק באפס.

מהי שכונה?

הבה נניח שלרשותו של הפרופסור רצף מורכב, שניתן, מן הסתם, בנוסחה מורכבת לא פחות. הפרופסור מצא את התשובה, אבל האם היא מתאימה? אחרי הכל, כל האנשים עושים טעויות.

Auguste Cauchy המציא דרך מצוינת להוכיח את גבולות הרצפים. לשיטתו קראו מבצע שכונתי.

נניח שיש איזו נקודה a, השכונה שלה בשני הכיוונים על הקו האמיתי שווה ל-ε ("אפסילון"). מכיוון שהמשתנה האחרון הוא מרחק, ערכו תמיד חיובי.

כעת בוא נגדיר איזה רצף x n ונניח שהאיבר העשירי של הרצף (x 10) כלול בשכונה של a. איך לכתוב עובדה זו בשפה מתמטית?

נניח ש-x 10 נמצא מימין לנקודה a, ואז המרחק x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

כעת הגיע הזמן להסביר הלכה למעשה את הנוסחה שהוזכרה לעיל. זה הוגן לקרוא למספר מסוים נקודת הסיום של רצף אם אי השוויון ε>0 מתקיים עבור כל אחד מהגבלות שלו, ולשכונה כולה יש מספר טבעי משלה N, כך שכל איברי הרצף עם מספרים גבוהים יותר להיות בתוך הרצף |x n - a|< ε.

עם ידע כזה, קל לפתור את הגבולות של רצף, להוכיח או להפריך תשובה מוכנה.

משפטים

משפטים על גבולות הרצפים הם מרכיב חשוב בתיאוריה, שבלעדיהם תרגול בלתי אפשרי. ישנם רק ארבעה משפטים עיקריים, כאשר זוכרים אילו, אתה יכול להקל באופן משמעותי על תהליך הפתרון או ההוכחה:

1. ייחודיות הגבול של רצף. לכל רצף יכול להיות רק מגבלה אחת או בכלל לא. אותה דוגמה עם תור שיכול להיות רק קצה אחד.
2. אם לסדרה של מספרים יש מגבלה, אז רצף המספרים הללו מוגבל.
3. הגבול של סכום (הפרש, מכפלה) של רצפים שווה לסכום (הפרש, מכפלה) של גבולותיהם.
4. מגבלת המנה של שני רצפים שווה למנה של הגבולות אם ורק אם המכנה לא נעלם.

הוכחת רצף

לפעמים נדרש לפתור בעיה הפוכה, להוכיח גבול נתון של רצף מספרי. בואו נסתכל על דוגמה.

הוכיחו שהגבול של הרצף שניתן על ידי הנוסחה שווה לאפס.

לפי הכלל הנ"ל, עבור כל רצף אי השוויון |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

נבטא את n במונחים של "אפסילון" כדי להראות את קיומו של מספר מסוים ולהוכיח את קיומו של מגבלת רצף.

בשלב זה, חשוב לזכור ש"אפסילון" ו-"en" הם מספרים חיוביים ולא שווה לאפס. עכשיו אתה יכול להמשיך בטרנספורמציות נוספות באמצעות הידע על אי שוויון שנצבר בתיכון.

מאיפה מסתבר ש-n > -3 + 1/ε. מכיוון שכדאי לזכור שאנחנו מדברים על מספרים טבעיים, ניתן לעגל את התוצאה על ידי הצבתה בסוגריים מרובעים. לפיכך, הוכח כי עבור כל ערך של שכונת "אפסילון" של הנקודה a = 0, נמצא ערך כך שהאי-שוויון הראשוני מתקיים. מכאן נוכל לקבוע בבטחה שהמספר a הוא הגבול של הרצף הנתון. Q.E.D.

עם שיטה כל כך נוחה, אתה יכול להוכיח את הגבול של רצף מספרי, לא משנה כמה מסובך זה עשוי להיראות במבט ראשון. העיקר לא להיכנס לפאניקה למראה המשימה.

או שאולי הוא לא קיים?

קיומה של מגבלת רצף אינו הכרחי בפועל. קל למצוא סדרות כאלה של מספרים שבאמת אין להם סוף. לדוגמה, אותו מהבהב x n = (-1) n . ברור שלרצף המורכב משתי ספרות בלבד החוזרות על מחזוריות לא יכול להיות גבול.

אותו סיפור חוזר על עצמו עם רצפים המורכבים ממספר בודד, שבר, בעל חוסר ודאות בכל סדר במהלך החישובים (0/0, ∞/∞, ∞/0 וכו'). עם זאת, יש לזכור שמתבצע גם חישוב שגוי. לפעמים בדיקה מחדש של הפתרון שלך יעזור לך למצוא את גבול הירושה.

רצף מונוטוני

למעלה, שקלנו כמה דוגמאות לרצפים, שיטות לפתרונם, ועכשיו בואו ננסה לקחת מקרה ספציפי יותר ולכנות אותו "רצף חד-גוני".

הגדרה: זה הוגן לקרוא לכל רצף גדל מונוטונית אם הוא עומד באי השוויון הקפדני x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

לצד שני התנאים הללו, קיימים גם אי שוויון דומים לא קפדניים. בהתאם לכך, x n ≤ x n +1 (רצף לא יורד) ו-x n ≥ x n +1 (רצף לא הולך וגדל).

אבל קל יותר להבין זאת בעזרת דוגמאות.

הרצף שניתן על ידי הנוסחה x n \u003d 2 + n יוצר את סדרת המספרים הבאה: 4, 5, 6 וכו'. זהו רצף מונוטוני המתגבר.

ואם ניקח x n \u003d 1 / n, אז נקבל סדרה: 1/3, ¼, 1/5 וכו '. זהו רצף מונוטוני יורד.

גבול של רצף מתכנס ומתוחם

רצף מוגבל הוא רצף שיש לו גבול. רצף מתכנס הוא סדרה של מספרים שיש לה גבול אינפיניטסימלי.

לפיכך, הגבול של רצף מוגבל הוא כל מספר ממשי או מרוכב. זכור שיכול להיות רק גבול אחד.

הגבול של רצף מתכנס הוא כמות אינסופית (אמיתית או מורכבת). אם אתה מצייר דיאגרמת רצף, אז בשלב מסוים הוא יתכנס, כביכול, נוטה להפוך לערך מסוים. מכאן השם - רצף מתכנס.

גבול רצף מונוטוני

לרצף כזה יכול להיות גבול או לא. ראשית, כדאי להבין מתי זה, מכאן אתה יכול להתחיל כאשר מוכיחים את היעדר מגבלה.

בין רצפים מונוטוניים, מתכנסים ומתפצלים. מתכנס - זהו רצף שנוצר על ידי קבוצת x ויש לו גבול ממשי או מורכב בקבוצה זו. Divergent - רצף שאין לו גבול בקבוצה שלו (לא אמיתי ולא מורכב).

יתרה מכך, הרצף מתכנס אם הגבול העליון והתחתון שלו מתכנסים בייצוג גיאומטרי.

הגבול של רצף מתכנס יכול במקרים רבים להיות שווה לאפס, שכן לכל רצף אינפיניטסימלי יש גבול ידוע (אפס).

לא משנה איזה רצף מתכנס אתה לוקח, כולם מוגבלים, אבל רחוק מלהתכנס כל הרצפים התחומים.

הסכום, ההפרש, המכפלה של שני רצפים מתכנסים הוא גם רצף מתכנס. עם זאת, המנה יכולה גם להתכנס אם היא מוגדרת!

פעולות שונות עם גבולות

גבולות של רצפים הם אותו ערך משמעותי (ברוב המקרים) כמו מספרים ומספרים: 1, 2, 15, 24, 362 וכו'. מסתבר שניתן לבצע פעולות מסוימות עם גבולות.

ראשית, בדיוק כמו ספרות ומספרים, ניתן להוסיף ולהחסיר את המגבלות של כל רצף. בהתבסס על המשפט השלישי על גבולות הרצפים, השוויון הבא נכון: גבול סכום הרצפים שווה לסכום גבולותיהם.

שנית, בהתבסס על המשפט הרביעי על גבולות הרצפים, השוויון הבא נכון: גבול המכפלה של המספר ה-n של הרצפים שווה למכפלת הגבולות שלהם. כך גם לגבי חלוקה: גבול המנה של שני רצפים שווה למנה של גבולותיהם, ובלבד שהגבול אינו שווה לאפס. אחרי הכל, אם מגבלת הרצפים שווה לאפס, אז חלוקה באפס תתברר, וזה בלתי אפשרי.

מאפייני ערך רצף

נראה שהגבול של הרצף המספרי כבר נותח בפירוט מסוים, אבל ביטויים כמו מספרים "קטנים לאין שיעור" ו"גדולים לאין שיעור" מוזכרים יותר מפעם אחת. ברור שאם יש רצף 1/x, שבו x→∞, אז שבר כזה קטן לאין שיעור, ואם אותו רצף, אבל הגבול שואף לאפס (x→0), אז השבר הופך לערך גדול לאין שיעור. . ולערכים כאלה יש מאפיינים משלהם. המאפיינים של הגבול של רצף בעל ערכים קטנים או גדולים שרירותיים הם כדלקמן:

1. הסכום של כל מספר של כמויות קטנות באופן שרירותי יהיה גם כמות קטנה.
2. הסכום של כל מספר של ערכים גדולים יהיה ערך גדול לאין שיעור.
3. התוצר של כמויות קטנות באופן שרירותי הוא קטן לאין שיעור.
4. המכפלה של מספרים גדולים באופן שרירותי הוא כמות גדולה לאין שיעור.
5. אם הרצף המקורי נוטה למספר אינסופי, אז ההדדיות שלו תהיה אינסופית ונוטה לאפס.

למעשה, חישוב הגבול של רצף אינו משימה כל כך קשה אם אתה מכיר אלגוריתם פשוט. אבל גבולות הרצפים הם נושא שדורש תשומת לב והתמדה מרבית. כמובן, די פשוט לתפוס את מהות הפתרון של ביטויים כאלה. החל בקטן, לאורך זמן, אתה יכול להגיע לגבהים גדולים.

• לְהַגבִּיל, -א, M.

  1. אדג', סוף של משהו. הנה הגבול הקיצוני של מחוז פרם.מאמין-סיביריאק, דרוז'קי. נראה היה שאין גבול ליערות הללו.בלוב, איב. || עָבָר.הסוף, הסוף, ההשלמה של smth. [המטופל] לא חשב על סופו הקרוב, - על הגבול שאליו מיהר במהירות מסחררת.גלדקוב, אנרגיה. היא הייתה עבורם אדם זקן שמתקרב לגבול החיים, שנותר עם החלק הנשי האחרון - טיפול אימהי.לברנב, אישה זקנה. רק קטסטרופה יכולה לשים קץ למחלוקת של ניקיטה עם עצמו.פדין, אחים.

  2. pl. ח. (גבולות, -ov). תכונה טבעית או מותנית שהיא הגבול של א שטחים; חזית. במזרח, הוא [סביאטוסלב] דחק את גבולות הארץ הרוסית לאותם גבולות שחמש מאות שנה מאוחר יותר, איוון האיום נאלץ לשרטט שוב.א.נ. טולסטוי, מאיפה הגיעה האדמה הרוסית. פעם אחת מחוץ לארץ אביו, מת חליפין מנוסטלגיה - געגועים למולדתו.גריבצ'וב, בריוזקה והאוקיינוס. || מהאוֹ איזה.שטח, שטח מוקף בחלקם. גבולות. יערות אשגין קיבלו ציידים לאזורים המוגנים שלהם.טיכונוב, קשת כפולה. בליל האביב הזה, הזמירים הלבנים, עם הדוקסולוגיה השואגת שלהם, מכריזים על גבולות היער.פסטרנק, לילה לבן. בהדרגה, מוזיקה קאמרית חרגה מעבר לאחוזות של אנשים עשירים ואצילים והחלה להתבצע באולמות קונצרטים, שם אנו מאזינים לה גם היום.קבלבסקי, כשלושה לווייתנים ועוד הרבה. || טראד.-משורר.קצה, מדינה. והנסיך הזין את חיציו הצייתנים ברעל ההוא ואיתם שלח מוות לשכנים בארצות זרות.פושקין, אנכר. אני זוכר איך השמש בערה, עלתה לשמי החורף, כשמטוס טס למוסקבה מרחוק.סמליאקוב, לזכרו של דימיטרוב. || פרק זמן מוגבל על ידי מונחים (בדרך כלל בשילוב בְּתוֹך). אומרים שהם נוסעים לאורנבורג בברזל, ואולי אני אלך, אבל הכל תוך 14 יום.ל. טולסטוי, מכתב לש. א. טולסטוי, 4 בספטמבר. 1876.

  3. בדרך כלל pl. ח. (גבולות, -ov) עָבָר.מידה, גבול סמט.; מִסגֶרֶת. בגבולות הגינות. □ סוף סוף, כל סבלנות 365 יש גבולות. Pisarev, שיריו של היינה לאחר המוות. – עד ​​כאן אינני חורג מהזכויות המוענקות לי בחוק מפקד השייטת.סטפנוב, פורט ארתור. הידע של פיודור אנדרייביץ' על עבר מולדתו היה צנוע מאוד, בעיקר במסגרת "הקורס הקצר". E. Nosov, אין לך עשרה רובל. || הדרגה הגבוהה ביותר של גבול חלומות. □ כוחות האנשים, הפיזיים והמוסריים, הובאו לקצה גבול התשישות.ו' קוז'בניקוב, צנחן. ארצי, הדחף שלך יפה בכל דבר להגיע לגבול האחרון!וינוקורוב, "האינטרנציונל".

  4. מַחצֶלֶת.קבוע שאליו ניגש משתנה התלוי במשתנה אחר כאשר האחרון משתנה בצורה מסוימת. הגבול של הרצף המספרי.

  על הגבול- 1) בדרגת מתח קיצונית. עצבים עד הקצה; 2) במידה קיצונית של גירוי. [גליה:] אני עצמי מפחדת ממנו היום. הוא על הקצה. Pogodin פרחים חיים.

מקור (גרסה מודפסת):מילון השפה הרוסית: ב-4 כרכים / RAS, Institute of Linguistics. מחקר; אד. א.פ. יבגנייבה. - מהדורה רביעית, נמחקה. - מ.: רוס. lang.; משאבים פוליגראפיים, 1999; (גרסה אלקטרונית):

הפונקציות היסודיות העיקריות סודרו.

כאשר עוברים לפונקציות בעלות צורה מורכבת יותר, בהחלט נפגוש ביטויים שערכם אינו מוגדר. ביטויים כאלה נקראים אי ודאות.

בואו נרשום הכל סוגי אי הוודאות העיקריים: אפס חלקי אפס (0 ב-0), אינסוף חלקי אינסוף, אפס כפול אינסוף, אינסוף מינוס אינסוף, אחד בחזקת אינסוף, אפס בחזקת אפס, אינסוף בחזקת אפס.

כל הביטויים האחרים אינם חוסר ודאות והם מקבלים ערך סופי או אינסופי ספציפי לחלוטין.

לחשוף אי ודאותמאפשר:

• פישוט סוג הפונקציה (התמרה של ביטוי באמצעות נוסחאות כפל מקוצר, נוסחאות טריגונומטריות, כפל בביטויים מצומדים עם צמצום לאחר מכן, וכו');
• שימוש בגבולות ראויים לציון;
• החלת הלכת L'Hospital;
• השימוש בהחלפת ביטוי אינפיניטסימלי במקבילה שלו (באמצעות טבלה של אינפיניטסימליים שווים).

אנחנו מקבצים את אי הוודאות לתוך טבלת אי הוודאות. עבור כל סוג של אי ודאות, אנו מכניסים בהתכתבות את שיטת הגילוי שלה (שיטת מציאת הגבול).

טבלה זו, יחד עם טבלת הגבולות של הפונקציות היסודיות הבסיסיות, יהיו הכלים העיקריים שלך במציאת מגבלות כלשהן.

בוא ניתן כמה דוגמאות כאשר הכל מתקבל מיד לאחר החלפת הערך ואי ודאות לא מתעוררת.

דוגמא.

חשב מגבלה

פִּתָרוֹן.

אנו מחליפים את הערך:

וקיבלנו תשובה מיד.

תשובה:

דוגמא.

חשב מגבלה

פִּתָרוֹן.

אנו מחליפים את הערך x=0 בבסיס פונקציית החזקה המעריכית שלנו:

כלומר, ניתן לשכתב את הגבול כ

עכשיו בואו נסתכל על האינדקס. זוהי פונקציית כוח. הבה נפנה לטבלת הגבולות לפונקציות חזקות עם מעריך שלילי. משם יש לנו ו לכן אנחנו יכולים לכתוב .

על סמך זה, ניתן לכתוב את המגבלה שלנו כך:

שוב נפנה לטבלת הגבולות, אבל לפונקציות אקספוננציאליות בעלות בסיס גדול מאחד, שממנה יש לנו:

תשובה:

בואו נסתכל על דוגמאות עם פתרונות מפורטים חשיפה של אי בהירות על ידי שינוי ביטויים.

לעתים קרובות מאוד, יש לשנות מעט את הביטוי תחת סימן הגבול כדי להיפטר מעמימות.

דוגמא.

חשב מגבלה

פִּתָרוֹן.

אנו מחליפים את הערך:

הגיע לאי ודאות. אנו מסתכלים על טבלת אי הוודאות כדי לבחור שיטת פתרון. בואו ננסה לפשט את הביטוי.

תשובה:

דוגמא.

חשב מגבלה

פִּתָרוֹן.

אנו מחליפים את הערך:

הגיע לאי ודאות (0 על 0). אנו מסתכלים בטבלת אי הוודאות כדי לבחור שיטת פתרון ומנסים לפשט את הביטוי. נכפיל גם את המונה וגם את המכנה בביטוי המצומד למכנה.

עבור המכנה, הביטוי הצמוד הוא

הכפלנו את המכנה כדי שנוכל ליישם את נוסחת הכפל המקוצר - הפרש הריבועים ואז לצמצם את הביטוי שנוצר.

לאחר סדרה של טרנספורמציות, אי הוודאות נעלמה.

תשובה:

תגובה:עבור גבולות מסוג זה, שיטת הכפל בביטויים מצומדים אופיינית, אז אל תהסס להשתמש בה.

דוגמא.

חשב מגבלה

פִּתָרוֹן.

אנו מחליפים את הערך:

הגיע לאי ודאות. אנו מסתכלים בטבלת אי הוודאות כדי לבחור שיטת פתרון ומנסים לפשט את הביטוי. מכיוון שגם המונה וגם המכנה נעלמים ב-x=1, אם ניתן להקטין את הביטויים הללו (x-1) ואי הוודאות תיעלם.

בואו נחלק את המונה לגורמים:

בואו נחלק את המכנה לגורמים:

המגבלה שלנו תהיה בצורה:

לאחר השינוי, התגלתה חוסר הוודאות.

תשובה:

שקול את הגבולות באינסוף ביטויי כוח. אם המעריכים של ביטוי הכוח חיוביים, אז הגבול באינסוף הוא אינסופי. יתר על כן, הערך העיקרי הוא בעל הדרגה הגדולה ביותר, את השאר ניתן לזרוק.

דוגמא.

דוגמא.

אם הביטוי מתחת לסימן הגבול הוא שבר, וגם המונה וגם המכנה הם ביטויי עוצמה (m הוא החזקה של המונה, ו-n הוא החזקה של המכנה), אז כאשר יש אי ודאות של הצורה אינסוף באינסוף, במקרה הזה מתגלה אי ודאותחלוקה וממנה ומכנה ב

דוגמא.

חשב מגבלה

נושא 4.6 חישוב גבולות

הגבול של פונקציה אינו תלוי אם היא מוגדרת בנקודת הגבול או לא. אבל בתרגול של חישוב גבולות הפונקציות היסודיות, נסיבות אלו חיוניות.

1. אם הפונקציה היא אלמנטרית ואם ערך הגבול של הארגומנט שייך לתחום ההגדרה שלו, אזי חישוב הגבול של הפונקציה מצטמצם להחלפה פשוטה של ​​ערך הגבול של הארגומנט, מכיוון הגבול של הפונקציה היסודית f (x) ב x שואףא , הנכלל בתחום ההגדרה, שווה לערך הפרטי של הפונקציה ב-x= א, כלומר lim f(x)=f( א) .

2. אם x הולך לאינסוףאו שהארגומנט נוטה למספר שאינו שייך לתחום הפונקציה, אז בכל מקרה כזה, מציאת הגבול של הפונקציה דורשת מחקר מיוחד.

להלן הגבולות הפשוטים ביותר, המבוססים על מאפיינים של גבולות, שיכולים לשמש כנוסחאות:

מקרים מורכבים יותר של מציאת הגבול של פונקציה:

כל אחד נחשב בנפרד.

חלק זה יציג את הדרכים העיקריות לחשיפת אי ודאויות.

1. המקרה כאשר x שואףא הפונקציה f(x) מייצגת את היחס בין שתי כמויות אינסופיות

א) ראשית עליך לוודא שלא ניתן למצוא את הגבול של הפונקציה על ידי החלפה ישירה, ועם השינוי המצוין בארגומנט, הוא מייצג את היחס בין שתי כמויות אינפיניטימליות. טרנספורמציות נעשות כדי להקטין את השבר בגורם הנוטה ל-0. לפי הגדרת הגבול של פונקציה, הארגומנט x שואף לערך הגבול שלו, לעולם לא חופף איתו.

באופן כללי, אם מחפשים את הגבול של פונקציה x שואףא , אז יש לזכור ש-x לא לוקח את הערך א, כלומר x אינו שווה ל-a.

ב) משפט בזוט מיושם. אם אתה מחפש את הגבול של שבר שהמונה והמכנה שלו הם פולינומים שהופכים ל-0 בנקודת הגבול x \u003d א, אז לפי המשפט הנ"ל, שני הפולינומים מתחלקים ללא שארית ב-x- א.

ג) האי-רציונליות במונה או במכנה מושמדת על ידי הכפלת המונה או המכנה בביטוי המצומד לאי-רציונלי, ואז לאחר פישוט השבר מצטמצם.

ד) נעשה שימוש בגבול המדהים הראשון (4.1).

ה) אנו משתמשים במשפט השקילות האינפיניטסימלי ובב.מ. הבא:

2. המקרה כאשר x שואףא הפונקציה f(x) מייצגת את היחס בין שתי כמויות גדולות לאין שיעור

א) מחלקים את המונה והמכנה של שבר בחזקת הבלתי נודע.

ב) באופן כללי, אתה יכול להשתמש בכלל

3. המקרה כאשר x שואףא הפונקציה f(x) מייצגת את המכפלה של ערך אינפיניטסימלי וגדול לאין שיעור

השבר מומר לצורה שהמונה והמכנה שלה נוטים בו זמנית ל-0 או לאינסוף, כלומר. מקרה 3 מצטמצם למקרה 1 או מקרה 2.

4. המקרה כאשר x שואףא הפונקציה f(x) מייצגת את ההפרש של שתי כמויות חיוביות לאין סוף

מקרה זה מצטמצם למין 1 או 2 באחת מהדרכים הבאות:

א) הפחתת שברים למכנה משותף;

ב) הפיכת הפונקציה לצורת שבר;

ג) להיפטר מחוסר היגיון.

5. המקרה כאשר x שואףא הפונקציה f(x) מייצגת חזקה שהבסיס שלה נוטה ל-1 והמעריך שלה נוטה לאינסוף.

הפונקציה עוברת טרנספורמציה בצורה כזו שתשתמש בגבול המדהים השני (4.2).

דוגמא.למצוא .

כי x נוטה ל-3, אז המונה של השבר נוטה למספר 3 2 +3 *3+4=22, והמכנה למספר 3+8=11. לָכֵן,

דוגמא

כאן המונה והמכנה של השבר ב x נוטה ל-2נוטה ל-0 (אי ודאות של הצורה), אנו מפרקים את המונה והמכנה לגורמים, נקבל lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

דוגמא

נכפיל את המונה והמכנה בביטוי המצומד למונה, יש לנו

פתיחת הסוגריים במונה, אנחנו מקבלים

דוגמא

שלב 2 דוגמא. הבה ניתן דוגמה ליישום מושג הגבול של פונקציה בחישובים כלכליים. קחו בחשבון עסקה פיננסית רגילה: הלוואת סכום ס 0 בתנאי שלאחר פרק זמן טהסכום יוחזר רחוב. בוא נגדיר את הערך ר צמיחה יחסיתנוּסחָה

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

ניתן לבטא צמיחה יחסית באחוזים על ידי הכפלת הערך המתקבל רעד 100.

מנוסחה (1) קל לקבוע את הערך רחוב:

רחוב= ס 0 (1 + ר)

בעת חישוב הלוואות ארוכות טווח המכסות מספר שנים תמימות, נעשה שימוש בתכנית ריבית דריבית. זה מורכב בעובדה שאם בשנה הראשונה הסכום ס 0 עולה ב-(1+ ר) פעמים, ולאחר מכן בשנה השנייה ב-(1+ ר) כפול הסכום גדל ס 1 = ס 0 (1 + ר), זה ס 2 = ס 0 (1 + ר) 2 . באופן דומה, מסתבר ס 3 = ס 0 (1 + ר) 3 . מהדוגמאות לעיל, אתה יכול לגזור נוסחה כללית לחישוב הגידול של הסכום עבור נשנים בחישוב לפי תכנית הריבית דריבית:

S n= ס 0 (1 + ר) נ.

בחישובים פיננסיים, נעשה שימוש בתוכניות שבהן ריבית דריבית מחושבת מספר פעמים בשנה. יחד עם זאת, הוא קובע תעריף שנתי רו מספר תשלומים בשנה ק. ככלל, הצבירה מתבצעת במרווחי זמן קבועים, כלומר באורך כל מרווח ט קהוא חלק מהשנה. ואז לתקופה של טשנים (כאן טלא בהכרח מספר שלם) רחובמחושב לפי הנוסחה

(2)

איפה החלק השלם של המספר, זהה למספר עצמו, אם, למשל, ט? מספר שלם.

תן לשיעור השנתי להיות רוהפיק נצבירות בשנה במרווחי זמן קבועים. ואז לשנה הסכום ס 0 גדל לערך שנקבע על ידי הנוסחה

(3)

בניתוח תיאורטי ובפרקטיקה של פעילות פיננסית, נתקלים לעתים קרובות במושג "ריבית נצברת ברציפות". על מנת לעבור לריבית שנצברת ברציפות, יש צורך בנוסחאות (2) ו-(3) להגדיל ללא הגבלת זמן, בהתאמה, את המספרים קו נ(כלומר לכוון קו נעד אינסוף) וחשבו לאיזה גבול ישטטו הפונקציות רחובו ס 1 . הבה ניישם את ההליך הזה על נוסחה (3):

שימו לב שהגבול בסוגרים מתולתלים זהה לגבול המדהים השני. מכאן עולה כי בשיעור שנתי רבריבית שנצברת ברציפות, הסכום ס 0 עבור שנה אחת מוגדל לערך ס 1 * , שנקבע מהנוסחה

ס 1 * = ס 0 אה (4)

עכשיו תן את הסכום ס 0 מושאל בריבית נפעם בשנה במרווחי זמן קבועים. לציין ר השיעור שנתי שבו בסוף השנה הסכום ס 0 מוגדל לערך ס 1 * מנוסחה (4). במקרה זה, נגיד זאת ר ה- זה שיעור ריבית שנתי נפעם בשנה, שווה ערך לאחוז שנתי רעם צבירה מתמשכת.מנוסחה (3) אנו מקבלים

S* 1 \u003d S 0 (1 + r e / n) n

השוואת החלקים הנכונים של הנוסחה האחרונה והנוסחה (4), בהנחה באחרונה ט= 1, נוכל לגזור קשרים בין הכמויות רו ר ה:

נוסחאות אלו נמצאות בשימוש נרחב בחישובים פיננסיים.

פוּנקצִיָה y=f (איקס)נקרא החוק (הכלל), לפיו, כל אלמנט x מקבוצת X משויך למרכיב y אחד ויחיד מקבוצת Y.

אלמנט x ∈ Xשקוראים לו ארגומנט פונקציהאוֹ משתנה בלתי תלוי.
אלמנט y ∈ ישקוראים לו ערך פונקציהאוֹ משתנה תלוי.

קבוצה X נקראת היקף הפונקציה.
סט אלמנטים y ∈ י, שיש להם תמונות מקדימות בסט X , נקרא שטח או קבוצה של ערכי פונקציה.

הפונקציה בפועל נקראת מוגבל מלמעלה (מלמטה), אם יש מספר כזה M שהאי-שוויון הבא מתקיים לכולם:
.
פונקציית המספר נקראת מוגבל, אם קיים מספר M כך שלכולם :
.

פנים עליוןאוֹ גבול עליון מדויקפונקציה אמיתית נקראת הקטן מבין המספרים המגבילה את טווח הערכים שלה מלמעלה. כלומר, זהו מספר s שלגביו, לכל ולכל , יש ארגומנט כזה, שערך הפונקציה שלו עולה על s′ : .
ניתן לציין את הגבול העליון של הפונקציה באופן הבא:
.

בהתאמה פנים תחתוניםאוֹ גבול תחתון מדויקפונקציה אמיתית נקראת הגדולה מבין המספרים המגבילה את טווח הערכים שלה מלמטה. כלומר, זהו מספר i שעבור כולם ועבור כל , יש ארגומנט כזה, שערך הפונקציה ממנה קטן מ-i′ : .
ניתן לציין את הגבול התחתון של פונקציה באופן הבא:
.

קביעת הגבול של פונקציה

הגדרה של גבול Cauchy של פונקציה

מגבלות פונקציות סופיות בנקודות הקצה

תן לפונקציה להיות מוגדרת בשכונה כלשהי של נקודת הסיום, למעט אולי הנקודה עצמה. בנקודה , אם עבור כל אחד קיים כזה , בהתאם , שלכל x , שעבורו , אי השוויון
.
הגבול של פונקציה מסומן באופן הבא:
.
או ב.

באמצעות הסמלים הלוגיים של קיום ואוניברסליות, ניתן לכתוב את הגדרת הגבול של פונקציה באופן הבא:
.

מגבלות חד צדדיות.
גבול שמאל בנקודה (גבול צד שמאל):
.
גבול ימין בנקודה (גבול ימין):
.
הגבולות משמאל וימין מסומנים לעתים קרובות כדלקמן:
; .

גבולות סופיים של פונקציה בנקודות באינסוף

גבולות בנקודות מרוחקות עד אינסוף מוגדרות בצורה דומה.
.
.
.
הם מכונים לעתים קרובות כ:
; ; .

שימוש במושג שכונה של נקודה

אם נציג את המושג של שכונה מנוקבת של נקודה, אז נוכל לתת הגדרה אחידה של הגבול הסופי של פונקציה בנקודות סופיות ובאינסוף:
.
כאן לנקודות קצה
; ;
.
כל שכונות של נקודות באינסוף מנוקבות:
; ; .

מגבלות פונקציות אינסופיות

הַגדָרָה
תן לפונקציה להיות מוגדרת בשכונה מנוקבת כלשהי של נקודה (סופית או אינסוף). גבול הפונקציה f (איקס)בתור x → x 0 שווה אינסוף, אם עבור מספר גדול באופן שרירותי M > 0 , קיים מספר δ M > 0 , בהתאם ל-M , שלכל x השייכים לשכונה δ M מנוקבת של הנקודה : , מתקיים אי השוויון הבא:
.
הגבול האינסופי מוגדר כך:
.
או ב.

באמצעות הסמלים הלוגיים של קיום ואוניברסליות, ניתן לכתוב את ההגדרה של הגבול האינסופי של פונקציה באופן הבא:
.

אפשר גם להציג הגדרות של הגבולות האינסופיים של סימנים מסוימים השווים ו:
.
.

הגדרה אוניברסלית של הגבול של פונקציה

באמצעות המושג של שכונה של נקודה, אפשר לתת הגדרה אוניברסלית של הגבול הסופי והאינסופי של פונקציה, החלה הן על סופיות (דו-צדדיות וחד-צדדיות) והן על נקודות מרוחקות עד אינסוף:
.

הגדרת הגבול של פונקציה לפי Heine

תן לפונקציה להיות מוגדרת על קבוצה כלשהי X : .
המספר a נקרא הגבול של הפונקציהבנקודה:
,
אם לרצף כלשהו שמתכנס ל-x 0 :
,
שהאלמנטים שלו שייכים לקבוצה X : ,
.

אנו כותבים הגדרה זו באמצעות הסמלים הלוגיים של קיום ואוניברסליות:
.

אם ניקח כקבוצה X את השכונה השמאלית של הנקודה x 0 , אז נקבל את ההגדרה של הגבול השמאלי. אם זה ימני, אז אנחנו מקבלים את ההגדרה של הגבול הנכון. אם ניקח את השכונה של נקודה באינסוף כקבוצת X, נקבל את ההגדרה של הגבול של פונקציה באינסוף.

מִשׁפָּט
ההגדרות של Cauchy וה-Heine של הגבול של פונקציה שוות ערך.
הוכחה

מאפיינים ומשפטים של הגבול של פונקציה

יתרה מכך, אנו מניחים שהפונקציות הנחשבות מוגדרות בשכונה המקבילה של הנקודה , שהיא מספר סופי או אחד מהסמלים: . זה יכול להיות גם נקודת גבול חד צדדית, כלומר, להיות בעל הצורה או . השכונה היא דו-צדדית למגבלה דו-צדדית וחד-צדדית לחד-צדדית.

מאפיינים בסיסיים

אם ערכי הפונקציה f (איקס)לשנות (או להפוך ללא מוגדר) במספר סופי של נקודות x 1 , x 2 , x 3 , ... x n, אז שינוי זה לא ישפיע על הקיום והערך של הגבול של הפונקציה בנקודה שרירותית x 0 .

אם יש גבול סופי, אז יש שכונה מנוקבת כזו של הנקודה x 0 , שעליו הפונקציה f (איקס)מוגבל:
.

תן לפונקציה להיות בנקודה x 0 מגבלת סיום שאינה אפס:
.
ואז, עבור כל מספר c מהמרווח , קיימת שכונה מנוקבת כזו של הנקודה x 0 בשביל מה,
, אם ;
, אם .

אם, בשכונה מנוקבת כלשהי של הנקודה , הוא קבוע, אז .

אם יש גבולות סופיים ועל איזו שכונה מנוקבת של הנקודה x 0
,
זה.

אם , ועל איזו שכונה של הנקודה
,
זה.
בפרט, אם בשכונה כלשהי של נקודה
,
אז אם , אז ו ;
אם , אז ו .

אם בשכונה מנוקבת כלשהי של הנקודה x 0 :
,
ויש גבולות שווים סופיים (או אינסופיים של סימן מסוים:
, זה
.

הוכחות למאפיינים העיקריים ניתנות בעמוד
"מאפיינים בסיסיים של גבולות פונקציה".

תכונות אריתמטיות של הגבול של פונקציה

תנו לפונקציות ולהגדיר באיזו שכונה מנוקבת של הנקודה. ויהיו גבולות סופיים:
ו.
ותן C להיות קבוע, כלומר מספר נתון. לאחר מכן
;
;
;
, אם .

אם, אז.

הוכחות למאפיינים אריתמטיים ניתנות בדף
"מאפיינים אריתמטיים של גבולות הפונקציה".

קריטריון קוצ'י לקיומו של גבול של פונקציה

מִשׁפָּט
על מנת שתוגדר פונקציה בשכונה מנוקבת כלשהי של נקודה סופית או בנקודת האינסוף x 0 , היה גבול סופי בשלב זה, זה הכרחי ומספיק עבור כל ε > 0 הייתה שכונה מנוקבת כזו של הנקודה x 0 , שלכל נקודה ומשכונה זו מתקיים אי השוויון הבא:
.

מגבלת פונקציה מורכבת

משפט גבול פונקציה מורכבת
תן לפונקציה גבול ומפה את השכונה המנוקבת של הנקודה לשכונה המנוקבת של הנקודה. תן לפונקציה להיות מוגדרת על השכונה הזו ותהיה לה הגבלה.
כאן - נקודות אחרונות או מרוחקות לאין שיעור:. שכונות והגבולות התואמים שלהן יכולים להיות דו-צדדיים או חד-צדדיים.
אז יש גבול של הפונקציה המורכבת והיא שווה ל:
.

משפט הגבלת הפונקציה המורכבת חל כאשר הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה או שיש לה ערך שונה מערך הגבול. כדי ליישם משפט זה, חייבת להיות שכונה מנוקבת של הנקודה שבה קבוצת הערכים של הפונקציה אינה מכילה את הנקודה:
.

אם הפונקציה רציפה בנקודה , ניתן להחיל את סימן הגבול על הארגומנט של הפונקציה הרציפה:
.
להלן משפט המקביל למקרה זה.

משפט על הגבול של פונקציה רציפה של פונקציה
שיהיה גבול לפונקציה g (ט)כמו t → t 0 , והוא שווה ל-x 0 :
.
כאן נקודה ט 0 יכול להיות סופי או באינסוף: .
ותן לפונקציה f (איקס)רציף ב-x 0 .
אז יש גבול של הפונקציה המרוכבת f (g(t)), והוא שווה ל-f (x0):
.

ההוכחות למשפטים ניתנות בדף
"הגבול והמשכיות של פונקציה מורכבת".

פונקציות אינסופיות וגדולות לאין שיעור

פונקציות קטנות לאין שיעור

הַגדָרָה
פונקציה נקראת אינפיניטסימלית עבור if
.

סכום, הבדל ומוצרשל מספר סופי של פונקציות קטנות לאין שיעור עבור היא פונקציה אינסופית עבור .

מכפלה של פונקציה מוגבלתעל איזו שכונה מנוקבת של הנקודה, לאינפיניטסימלי עבור היא פונקציה אינפיניטסימלית של עבור.

כדי שלפונקציה תהיה גבול סופי, זה הכרחי ומספיק
,
איפה היא פונקציה אינפיניטסימלית עבור .

"מאפיינים של פונקציות אינפיניטסימליות".

פונקציות גדולות לאין שיעור

הַגדָרָה
הפונקציה נקראת גדול לאין שיעור עבור if
.

הסכום או ההפרש של פונקציה מוגבלת, על איזו שכונה מנוקבת של הנקודה, ופונקציה גדולה לאין שיעור ב- היא פונקציה גדולה לאין שיעור ב.

אם הפונקציה גדולה לאין שיעור ב , והפונקציה מוגבלת, בשכונה מנוקבת כלשהי של הנקודה , אז
.

אם הפונקציה , בשכונה מנוקבת כלשהי של הנקודה , עונה על אי השוויון:
,
והפונקציה קטנה לאין שיעור עבור:
, וכן (על איזו שכונה מנוקבת של הנקודה), אז
.

הוכחות לנכסים מפורטות בסעיף
"מאפיינים של פונקציות גדולות לאין שיעור".

קשר בין פונקציות גדולות לאין שיעור ופונקציות קטנות לאין שיעור

הקשר בין פונקציות גדולות לאין שיעור לפונקציות קטנות לאין שיעור נובע משתי התכונות הקודמות.

אם הפונקציה גדולה לאין שיעור ב , אז הפונקציה קטנה לאין שיעור ב .

אם הפונקציה קטנה לאין שיעור עבור , ו , אז הפונקציה גדולה לאין שיעור עבור .

היחס בין פונקציה אינפיניטסימלית לפונקציה גדולה לאין שיעור יכול לבוא לידי ביטוי באופן סמלי:
, .

אם לפונקציה אינפיניטסימלית יש סימן מוגדר ב , כלומר, היא חיובית (או שלילית) בשכונה מנוקבת כלשהי של הנקודה , אז עובדה זו יכולה לבוא לידי ביטוי באופן הבא:
.
באופן דומה, אם לפונקציה גדולה לאין שיעור יש סימן מסוים ב-, אז הם כותבים:
.

אז ניתן להשלים את הקשר הסמלי בין פונקציות קטנות לאין שיעור לפונקציות גדולות לאין שיעור על ידי היחסים הבאים:
, ,
, .

נוסחאות נוספות המתייחסות לסמלי אינסוף ניתן למצוא בדף
"מצביע על האינסוף ותכונותיהם".

גבולות של פונקציות מונוטוניות

הַגדָרָה
פונקציה המוגדרת על קבוצה כלשהי של מספרים ממשיים X נקראת הגדלת בקפדנות, אם בכל זאת מתקיים אי השוויון הבא:
.
בהתאם לכך, עבור פוחתת בהחלטפונקציה, מתקיים אי השוויון הבא:
.
ל לא יורד:
.
ל לא מתגבר:
.

זה מרמז שתפקוד הגובר אך ורק אינו פוחת. גם פונקציה יורדת בהחלט אינה גדלה.

הפונקציה נקראת חַדגוֹנִיאם הוא לא יורד או לא עולה.

מִשׁפָּט
תן לפונקציה לא להקטין את המרווח , שבו .
אם הוא מוגבל מלמעלה במספר M: אז יש גבול סופי. אם לא מוגבל למעלה, אז .
אם הוא מוגבל מלמטה במספר m : , אז יש גבול סופי . אם לא מוגבל למטה, אז .

אם הנקודות a ו-b נמצאות באינסוף, אז בביטויים סימני הגבול מתכוונים לכך .
ניתן לנסח משפט זה בצורה קומפקטית יותר.

תן לפונקציה לא להקטין את המרווח , שבו . אז יש מגבלות חד-צדדיות בנקודות a ו-b:
;
.

משפט דומה לפונקציה שאינה מתגברת.

תן לפונקציה לא להגדיל את המרווח , שבו . אז יש מגבלות חד-צדדיות:
;
.

הוכחת המשפט מצוינת בדף
"גבולות של פונקציות מונוטוניות".

הפניות:
ל.ד. קודריאבצב. קורס ניתוח מתמטי. כרך 1. מוסקבה, 2003.
ס"מ. ניקולסקי. קורס ניתוח מתמטי. כרך 1. מוסקבה, 1983.