המוקד של מאמר זה הוא חלוקה של מספרים שליליים. ראשית, ניתן הכלל לחלוקת מספר שלילי לשלילה, ניתנות ההצדקות שלו, ולאחר מכן ניתנות דוגמאות לחלוקת מספרים שליליים עם תיאור מפורט של הפתרונות.
ניווט בדף.
כלל לחלוקת מספרים שליליים
לפני שניתן את הכלל לחלוקת מספרים שליליים, הבה נזכיר את המשמעות של פעולת החלוקה. חלוקה במהותה מייצגת מציאת גורם לא ידוע על ידי מוצר ידוע וגורם אחר ידוע. כלומר, המספר c הוא המנה של a חלקי b כאשר c b=a , ולהיפך, אם c b=a , אז a:b=c .
כלל לחלוקת מספרים שלילייםהבא: המנה של חלוקת מספר שלילי אחד באחר שווה למנה של חלוקת המונה במודולוס של המכנה.
בואו נרשום את הכלל המדובב באמצעות אותיות. אם a ו-b הם מספרים שליליים, אז השוויון a:b=|a|:|b| .
קל להוכיח את השוויון a:b=a b −1, החל מ מאפייני הכפל של מספרים ממשייםוהגדרות של מספרים הדדיים. אכן, על בסיס זה, ניתן לכתוב שרשרת של שוויון של הצורה (a b −1) b=a (b −1 b)=a 1=a, אשר מכוח תחושת החלוקה שהוזכרה בתחילת המאמר, מוכיחה כי a · b − 1 היא מנת החלוקה של a ב-b .
והכלל הזה מאפשר לך לעבור מחלוקת מספרים שליליים לכפל.
נותר לשקול את היישום של הכללים הנחשבים לחלוקת מספרים שליליים בעת פתרון דוגמאות.
דוגמאות לחלוקת מספרים שליליים
בואו ננתח דוגמאות לחלוקה של מספרים שליליים. נתחיל במקרים פשוטים, עליהם נחשוב על יישום כלל החלוקה.
דוגמא.
חלקו את המספר השלילי −18 במספר השלילי −3, ואז חשבו את המנה (−5):(−2) .
פִּתָרוֹן.
לפי כלל החלוקה של מספרים שליליים, המנה של חלוקת −18 ב-3 שווה למנה של חלוקת המודולים של המספרים הללו. מאז |−18|=18 ו-|−3|=3, אז (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , נותר רק לבצע את החלוקה של המספרים הטבעיים, יש לנו 18:3=6.
אנחנו פותרים את החלק השני של הבעיה באותו אופן. מאז |−5|=5 ו- |−2|=2, אז (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . מנה זו מתאימה לשבר רגיל 5/2, שניתן לכתוב כמספר מעורב.
אותן תוצאות מתקבלות באמצעות כלל שונה לחלוקת מספרים שליליים. ואכן, המספר −3 הוא הפוך המספר, אם כן 
, כעת אנו מבצעים את הכפל של מספרים שליליים: 
. כמו כן, .
תשובה:
(−18):(−3)=6 ו 
.
כאשר מחלקים מספרים רציונליים שברים, הכי נוח לעבוד עם שברים רגילים. אבל, אם נוח, אז אתה יכול לחלק ושברים עשרוניים סופיים.
דוגמא.
מחלקים את המספר -0.004 ב-0.25.
פִּתָרוֹן.
המודולים של הדיבידנד והמחלק הם 0.004 ו-0.25, בהתאמה, אז לפי הכלל לחלוקת מספרים שליליים, יש לנו (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .
- או לבצע חלוקה של שברים עשרוניים בעמודה,
- או לעבור משברים עשרוניים לשברים רגילים, ולאחר מכן לחלק את השברים הרגילים המתאימים.
בואו נסתכל על שתי הגישות.
כדי לחלק 0.004 ב-0.25 בעמודה, הזיזו תחילה את 2 הספרות בפסיק ימינה, תוך חלוקת 0.4 ב-25. כעת אנו מבצעים חלוקה לפי עמודה: 
אז 0.004:0.25=0.016 .
ועכשיו בואו נראה איך היה נראה הפתרון אם נחליט להמיר שברים עשרוניים לשברים רגילים. כי 
ואז 
, ולבצע
מאמר זה מספק סקירה מפורטת חלוקת מספרים עם סימנים שונים. ראשית, ניתן הכלל לחלוקת מספרים בסימנים שונים. להלן דוגמאות לחלוקת מספרים חיוביים במספרים שליליים ושליליים במספרים חיוביים.
ניווט בדף.
כלל לחלוקת מספרים עם סימנים שונים
בחלוקת המאמר של מספרים שלמים התקבל הכלל לחלוקת מספרים שלמים בסימנים שונים. ניתן להרחיב אותו גם למספרים רציונליים וגם למספרים ממשיים על ידי חזרה על כל הטיעונים מהמאמר שצוין.
כך, כלל לחלוקת מספרים עם סימנים שוניםיש את הניסוח הבא: כדי לחלק מספר חיובי במספר שלילי או מספר שלילי בחיובי, יש צורך לחלק את הדיבידנד במודול המחלק, ולשים סימן מינוס לפני המספר המתקבל.
אנו כותבים את כלל החלוקה באמצעות אותיות. אם למספרים a ו-b יש סימנים שונים, אז הנוסחה תקפה a:b=−|a|:|b| .
מהכלל המושמע ברור שהתוצאה של חלוקת מספרים בסימנים שונים היא מספר שלילי. ואכן, מכיוון שמודול הדיבידנד ומודול המחלק חיוביים יותר מהמספר, אז המנה שלהם היא מספר חיובי, וסימן המינוס הופך את המספר הזה לשלילי.
שימו לב שהכלל הנחשב מפחית את החלוקה של מספרים עם סימנים שונים לחלוקה של מספרים חיוביים.
אפשר לתת ניסוח נוסף של הכלל לחלוקת מספרים בסימנים שונים: כדי לחלק את המספר a במספר b, צריך להכפיל את המספר a במספר b −1, את ההדדיות של המספר b. זה, a:b=a b −1 .
ניתן להשתמש בכלל זה כאשר ניתן לחרוג מקבוצת המספרים השלמים (שכן לא לכל מספר שלם יש הפוך). במילים אחרות, זה ישים על קבוצת המספרים הרציונליים כמו גם על קבוצת המספרים הממשיים.
ברור שהכלל הזה לחלוקת מספרים בסימנים שונים מאפשר לעבור מחילוק לכפל.
אותו כלל משמש בעת חלוקת מספרים שליליים.
נותר לשקול כיצד כלל זה לחלוקת מספרים עם סימנים שונים מיושם בפתרון דוגמאות.
דוגמאות לחלוקת מספרים עם סימנים שונים
הבה נבחן פתרונות בעלי מספר מאפיינים דוגמאות לחלוקת מספרים עם סימנים שוניםלתפוס את העיקרון של יישום הכללים מהפסקה הקודמת.
דוגמא.
מחלקים את המספר השלילי −35 במספר החיובי 7.
פִּתָרוֹן.
הכלל לחלוקת מספרים עם סימנים שונים קובע תחילה למצוא את המודולים של הדיבידנד והמחלק. המודולוס של −35 הוא 35 והמודלוס של 7 הוא 7. כעת עלינו לחלק את מודול הדיבידנד במודול המחלק, כלומר, עלינו לחלק את 35 ב-7. אם נזכור כיצד מתבצעת החלוקה של המספרים הטבעיים, נקבל 35:7=5. השלב האחרון של הכלל לחלוקת מספרים עם סימנים שונים נשאר - שימו מינוס לפני המספר המתקבל, יש לנו -5.
הנה הפתרון המלא: .
אפשר להמשיך מניסוח אחר של הכלל לחלוקת מספרים עם סימנים שונים. במקרה זה, אנו מוצאים תחילה את המספר שהוא ההדדיות של המחלק 7. מספר זה הוא השבר הנפוץ 1/7. לכן, . זה נשאר לבצע את הכפל של מספרים עם סימנים שונים:. ברור שהגענו לאותה תוצאה.
תשובה:
(−35):7=−5 .
דוגמא.
חשב את המנה 8:(−60) .
פִּתָרוֹן.
לפי הכלל של חלוקת מספרים עם סימנים שונים, יש לנו 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60)
. הביטוי המתקבל מתאים לשבר רגיל שלילי (ראה את סימן החלוקה כפס שברים), ניתן להקטין את השבר ב-4, נקבל 
.
אנו רושמים את כל הפתרון בקצרה: .
תשובה:
.
כאשר מחלקים מספרים רציונליים שברים עם סימנים שונים, הדיבידנד והמחלק שלהם מיוצגים בדרך כלל כשברים רגילים. זאת בשל העובדה שלא תמיד נוח לבצע חלוקה עם מספרים בסימון אחר (למשל בעשרוני).
דוגמא.
פִּתָרוֹן.
מודול הדיבידנד הוא , ומודול המחלק הוא 0,(23) . כדי לחלק את מודול הדיבידנד במודול המחלק, נעבור לשברים רגילים.
בואו נתרגם מספר מעורב לשבר רגיל: 
, ו
במאמר זה אדבר על איך למצוא שארית החלוקה של מספרים שליליים. למרבה הצער, מעט מאוד תשומת לב מוקדשת לנושא זה בבית הספר, אם כי חשוב ביותר לתלמיד להבין את היסודות הבסיסיים של המתמטיקה. לכן, בתור מורה למתמטיקה, בשיעורים שלי אני מנתח את החומר הזה עם התלמידים לכל הפרטים. זה מקל מאוד על הכנה נוספת לבחינת המדינה המאוחדת, OGE, מבחני כניסה ואולימפיאדות במתמטיקה.
אז בואו נתחיל. כדי לחלק שני מספרים שלמים עם שארית, עליך להשתמש במשפט הבא:
עבור כל מספרים שלמים ו, יתר על כן, יש זוג ייחודי של מספרים שלמים ו, כזה  , איפה . |
הנה הדיבידנד, הוא המחלק, הוא המנה הלא מלאה, הוא היתרה. שימו לב שהשאר הוא מספר לא שלילי. ברור שהמצב נוצר כי חלוקה באפס היא בלתי אפשרית.
זה נשמע מסובך למדי, אבל למעשה אין שום דבר מסובך במשפט הזה. כדי להבין הכל, נעבור לדוגמאות.
דוגמאות למציאת יתרת החלוקה של מספרים שליליים
דוגמה 1חלוקה עם שארית של מספר שלם חיובי במספר שלם חיובי.
נניח שאנחנו רוצים לחלק ב-4, ולהשאיר שארית של 27. השאלה היא כמה פעמים מופיע 4 ב-27? אבל אנחנו יודעים שאין מספר שלם שניתן להכפיל ב-4 כדי לקבל 27. אז צריך לנסח מחדש את השאלה. איזה מספר יש להכפיל ב-4 כדי לקבל מספר קרוב ככל האפשר ל-27, אך לא לחרוג ממנו? ברור שמספר זה הוא 6. אם 4 מוכפל ב-6, אז אתה מקבל 24. לדיבידנד המקורי 27 חסר 3. לכן, יתרת החלוקה של 27 ב-4 היא 3:
דוגמה 2מחלקים עם שארית של מספר שלם שלילי במספר שלם חיובי.
מה אם אתה רוצה למצוא את השארית של מספר שלם שלילי -15 חלקי מספר שלם חיובי 4? נתחיל מזה שהמנה הלא מלאה אמורה להתברר כשלילית, שכן כאשר מחלקים מספר שלילי בחיובי, התוצאה היא שלילית. אפשר להניח שהמנה החלקית במקרה זה צריכה להיות שווה ל-3. אבל במקרה זה, כפול -3 ב-4, נקבל -12. וכדי לקבל את הדיבידנד המקורי -15, אתה צריך להוסיף את המספר -3 לתוצאה -12, שאינה יכולה להיות שארית, כי השארית לא יכולה להיות שלילית!
לכן, במקרה זה, המנה הלא מלאה היא -4. במקרה זה, הכפלת -4 במחלק של 4 נותנת לנו -16. ועכשיו, כדי לקבל את הדיבידנד המקורי -15, צריך להוסיף לתוצאה זו את המספר 1. הוא לא שלילי ופחות ממודול המחלק (כלומר, 4). כלומר, זה השאר:
דוגמה 3. חלוקה של מספר שלם חיובי במספר שלם שלילי.
שקול כעת את הדוגמה של חלוקה עם שארית של השלם החיובי 113 במספר השלילי השלילי -3. המנה החלקית, כמו בדוגמה הקודמת, חייבת להיות שלילית, כי כאשר מספר חיובי מחולק במספר שלילי, התוצאה שלילית. בואו נחשוב למה בדיוק שווה המנה הלא מלאה. ברור שזה שווה ל-37. ואכן, הכפלת -37 ב-3 מביאה ל- 111. כעת, כדי לקבל את הדיבידנד המקורי, עליך להוסיף לתוצאה זו את המספר 2, שהוא לא שלילי וקטן מהמודלוס של המחלק (כלומר, המודולוס של -3, ששווה ל-3). אז התשובה שלנו היא:
דוגמה 4. חלוקה עם שארית של מספר שלם שלילי במספר שלם שלילי.
ובכן, הדוגמה האחרונה. יש לחלק מספר שלם שלילי -15 עם שארית במספר שלם שלילי -7. המנה החלקית חייבת להיות חיובית בסימן, כי כאשר מחלקים מספרים שליליים, התוצאה חיובית. וזה שווה ל-3. ואכן, כפול 3 ב-7, נקבל -21. כעת עלינו להוסיף למספר הזה מודול חיובי ופחות -7 (כלומר, 7) מספר 6 כדי לקבל את הדיבידנד המקורי שלנו -15. לכן, היתרה לאחר חלוקת המספרים השליליים -15 ב-7 היא:
בדוק עד כמה הבנת את השיעור הזה. מצא לעצמך את שארית החלוקה של מספרים שליליים:
ג) -114 עד -4.
כתבו את תשובותיכם בתגובות, אני אבדוק אותן.
הוכן על ידי סרגיי ולרייביץ'
מטרות:
- למד לחלק מספרים חיוביים ושליליים
- לאחד חיבור, חיסור וכפל של מספרים חיוביים ושליליים
- לפתח דיבור מתמטי יודע קרוא וכתוב
- לפתח עניין בנושא
צִיוּד:מחשב, מקרן מולטימדיה.
במהלך השיעורים
מוֹרֶה:שלום, שבי. היום נלמד איתך חומר חדש, אבל מההתחלה נחזור על החומר שנלמד קודם. לשם כך, נצטרך לפתור דוגמאות.
1. תרגילים בעל פה
| א) | |
| ב) |  |
| V) |  |
| ז) | |
| ה) |  |
| ה) |  |
| ו) |
2. עבודה על נושא השיעור
(שקופיות 8-14)
1. לחלוקה של מספרים שליליים יש משמעות זהה לחלוקה של מספרים חיוביים, כלומר. בהינתן המוצר ואחד הגורמים, מצא את הגורם השני.
מי יכול למנות את מרכיבי החלוקה?
לדוגמה: -10: (-5) = ?
מה המשמעות של -10: (-5)? (לכן, מצא מספר x כך שב-5 x = -10)
כעת מצא את סימן המספר איקס.
איך לדעתך אפשר לעשות את זה?
מאז מכפילים -5 ב איקסמסתבר שמספר שלילי -10, אז לגורמים חייבים להיות סימנים שונים. לָכֵן, איקסהוא מספר חיובי.
עכשיו בואו נמצא את המודולוס של המספר איקס.
מאז המודולוס של המכפלה שווה למכפלה של מודול הגורמים, לכן . לָכֵן 
, כי איקסהוא מספר חיובי, אז x = חוקר איקס =
2
זה כתוב כך:
או קצר יותר
(-10) : (-5) = 10: 5 = 2
כלל: כדי לחלק מספר שלילי בשלילי, עליך לחלק את מודול הדיבידנד במודול המחלק.
2.2. כעת נחלק את המספר השלילי במספר החיובי.
לדוגמה: -24:4=?
מה המשמעות של -24:4? (אז למצוא מספר כזה איקס, שבשעה 4 איקס = -24)
עכשיו בואו נמצא את הסימן של x.
איך אני יכול לעשות את זה?
מכיוון שכאשר מכפילים 4 ב-x, התוצאה היא מספר שלילי -24, לכן איקס- מספר שלילי.
עכשיו בואו נמצא את המודולוס של המספר איקס.
למה אתה חושב שזה יהיה שווה?
לָכֵן
כי איקסהוא מספר שלילי מודולו 6, אם כן איקסיהיה שווה ל-6
נקבל: -24: 4 = -6
באופן דומה, מתברר כאשר מחלקים 24: (-4) \u003d -6
ועכשיו בואו נדבר על האלגוריתם לחלוקת מספרים עם סימנים שונים. כך:
- מחלקים את מודול הדיבידנד במודול המחלק;
- שימו סימן מינוס לפני המספר המתקבל.
3. כאשר מחלקים את האפס בכל מספר שאינו שווה לאפס, מתקבל אפס.
והכלל הכי חשוב: מחלקים באפס!
3. איחוד חומר חדש
(שקופיות 15-16).
| 1) | |
| 2) |  |
| 3) |  |
| 4) |  |
| 5) |  |
| 6) |  |
2. עבודה עצמאית. יש לך 8-10 דקות לפעילות זו.
(שקופיות 17-24)
| א) | -4 (-5) – (-30) : 6 = 25 |
| ב) | 15: (-15) – (-24) : 8 = 2 |
| V) | -8 (-3 + 12) : 36 + 2 = 0 |
| ז) | 2,3 (-6 – 4) : 5 = - 4,6 |
| ה) | (-8 + 32) : (-6) – 7 = -11 |
| ה) | -21 + (-3 - 4 + 5) : (-2) = - 20 |
| ו) | -6 4 – 64: (-3,3 + 1,7) = - 64 |
| ח) | (-6 + 6,4 – 10) : (-8) (-3) = - 3 |
במאמר זה ניתן הגדרה לחלוקת מספר שלילי בשלילי, ננסח וננמק את הכלל, ניתן דוגמאות לחלוקת מספרים שליליים וננתח את מהלך פתרונם.
חלוקה של מספרים שליליים. כְּלָל
נזכיר מהי מהות פעולת החלוקה. פעולה זו היא מציאת מכפיל לא ידוע על ידי מוצר ידוע ומכפיל אחר ידוע. מספר c נקרא מנה מחלוקת המספרים a ו-b אם המכפלה c · b = a נכון. במקרה זה, a ÷ b = c .
כלל לחלוקת מספרים שליליים
המנה של חלוקת מספר שלילי אחד במספר שלילי אחר שווה למנה של חלוקת המודולים של המספרים הללו.
תנו ל-a ו-b להיות מספרים שליליים. לאחר מכן
a ÷ b = a ÷ b .
כלל זה מפחית את החלוקה של שני מספרים שליליים לחלוקה של מספרים חיוביים. זה תקף לא רק עבור מספרים שלמים, אלא גם עבור מספרים רציונליים וממשיים. התוצאה של חלוקת מספר שלילי במספר שלילי היא תמיד מספר חיובי.
הנה ניסוח נוסף של כלל זה, המתאים למספרים רציונליים וממשיים. הוא ניתן באמצעות מספרים הדדיים ואומר: כדי לחלק מספר שלילי a במספר לא מוגדר, תכפילו במספר b - 1 , ההדדיות של b .
a ÷ b = a · b - 1 .
אותו כלל שמצמצם את החלוקה לכפל יכול להיות מיושם גם על החלוקה של מספרים עם סימנים שונים.
ניתן להוכיח את השוויון a ÷ b = a b - 1 באמצעות תכונת הכפל של מספרים ממשיים והגדרה של מספרים הדדיים. נרשום את השוויון:
a b - 1 b = a b - 1 b = a 1 = a .
מכוח הגדרת פעולת החלוקה, שוויון זה מוכיח שיש מנה של חלוקת מספר במספר b.
נעבור לדוגמאות.
נתחיל עם מקרים פשוטים ונעבור למקרים מורכבים יותר.
דוגמה 1. כיצד לחלק מספרים שליליים
חלק - 18 ב - 3 .
מודולי המחלק והדיבידנד הם 3 ו-18 בהתאמה. בוא נכתוב:
18 ÷ - 3 = - 18 ÷ - 3 = 18 ÷ 3 = 6 .
דוגמה 2. איך מחלקים מספרים שליליים
חלקו - 5 ב - 2 .
באופן דומה, אנו כותבים על פי הכלל:
5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2 .
אותה תוצאה תתקבל אם נשתמש בניסוח השני של הכלל עם המספר ההפוך.
5 ÷ - 2 = - 5 - 1 2 = 5 1 2 = 5 2 = 2 1 2 .
כאשר מחלקים מספרים רציונליים שברים, הכי נוח לייצג אותם כשברים רגילים. עם זאת, אתה יכול גם לחלק עשרוניות נגררות.
דוגמה 3. כיצד לחלק מספרים שליליים
חלק - 0.004 ב - 0.25 .
ראשית, נכתוב את המודולים של המספרים האלה: 0 , 004 ו- 0 , 25 .
כעת תוכל לבחור באחת משתי שיטות:
- הפרד שברים עשרוניים עם עמודה.
- עבור לשברים רגילים ובצע חלוקה.
בואו נסתכל על שתי השיטות.
1. ביצוע חלוקה של שברים עשרוניים בעמודה, הזז את הפסיק שתי ספרות ימינה.
תשובה: - 0, 004 ÷ 0, 25 = 0, 016
2. כעת אנו נותנים פתרון עם תרגום של שברים עשרוניים לשברים רגילים.
0 , 004 = 4 1000 ; 0 , 25 = 25 100 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 100 25 = 4 250 = 0 , 016
התוצאות שהתקבלו זהות.
לסיכום, נציין שאם הדיבידנד והמחלק הם מספרים אי-רציונליים וניתנים במונחים של שורשים, חזקות, לוגריתמים וכו', תוצאת החלוקה נכתבת כביטוי מספרי, שערכו המשוער מחושב במידת הצורך. .
דוגמה 4. כיצד לחלק מספרים שליליים
חשב את המנה של מספרים - 0 , 5 ו - 5 .
0 , 5 ÷ - 5 = - 0 , 5 ÷ - 5 = 0 , 5 ÷ 5 = 1 2 1 5 = 1 2 5 = 5 10 .
אם אתה מבחין בטעות בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter