על מנת להשוות אירועים זה עם זה באופן כמותי לפי מידת האפשרות שלהם, יש כמובן לשייך מספר מסוים לכל אירוע, שהוא גדול יותר, ככל שהאירוע אפשרי יותר. אנו קוראים למספר הזה ההסתברות לאירוע. לכן, הסתברות לאירועהוא מדד מספרי למידת האפשרות האובייקטיבית של אירוע זה.
ההגדרה הקלאסית של הסתברות, שעלתה מניתוח ההימורים ויושמה בתחילה באופן אינטואיטיבי, צריכה להיחשב כהגדרה הראשונה של הסתברות.
הדרך הקלאסית לקביעת הסתברות מבוססת על הרעיון של אירועים סבירים ובלתי תואמים באותה מידה, שהם תוצאות של חוויה נתונה ויוצרים קבוצה שלמה של אירועים בלתי תואמים.
הדוגמה הפשוטה ביותר לאירועים אפשריים ובלתי תואמים באותה מידה היוצרים קבוצה שלמה היא הופעת כדור כזה או אחר מכד המכיל מספר כדורים באותו גודל, משקל ומאפיינים מוחשיים אחרים, שונים רק בצבע, מעורבבים היטב לפני ההוצאה. .
לכן, מבחן, שתוצאותיו יוצרות קבוצה שלמה של אירועים בלתי תואמים וסבירים באותה מידה, נאמר כי הוא מופחת לתכנית של כדים, או תכנית של מקרים, או משתלבת בתכנית הקלאסית.
אירועים אפשריים ובלתי תואמים באותה מידה המרכיבים קבוצה שלמה ייקראו פשוט מקרים או סיכויים. יתרה מכך, בכל ניסוי, יחד עם מקרים, יכולים להתרחש אירועים מורכבים יותר.
דוגמה: בעת הטלת קובייה, יחד עם מקרים A i - נקודות i נופלות על הפנים העליון, אירועים כמו B - מספר זוגי של נקודות נופלות, C - כפולה של שלוש נקודות נופלות ...
ביחס לכל אירוע שיכול להתרחש במהלך ביצוע הניסוי, המקרים מחולקים ל מועדף, שבו מתרחש אירוע זה, ולא חיובי, שבו האירוע אינו מתרחש. בדוגמה הקודמת, אירוע B מועדף על ידי מקרים A 2 , A 4 , A 6 ; אירוע C - מקרים A 3 , A 6 .
הסתברות קלאסיתהתרחשות של אירוע כלשהו היא היחס בין מספר המקרים המעדיפים את הופעתו של אירוע זה לבין המספר הכולל של מקרים אפשריים באותה מידה, בלתי תואמים, המהווים קבוצה שלמה בחוויה נתונה:
איפה P(A)- הסתברות להתרחשות אירוע א'; M- מספר מקרים נוחים לאירוע א'; נהוא המספר הכולל של המקרים.
דוגמאות:
1) (ראה דוגמה למעלה) P(B)= , P(C) =.
2) כד מכיל 9 כדורים אדומים ו-6 כחולים. מצא את ההסתברות שכדור אחד או שניים שנמשכים באקראי יהיה אדום.
א- כדור אדום מצויר באקראי:
M= 9, נ= 9 + 6 = 15, P(A)=
ב- שני כדורים אדומים נמשכים באקראי:
המאפיינים הבאים נובעים מההגדרה הקלאסית של הסתברות (הצג את עצמך):
1) ההסתברות לאירוע בלתי אפשרי היא 0;
2) ההסתברות לאירוע מסוים היא 1;
3) ההסתברות לאירוע כלשהו נעה בין 0 ל-1;
4) ההסתברות לאירוע מנוגד לאירוע A,
ההגדרה הקלאסית של הסתברות מניחה שמספר התוצאות של ניסוי הוא סופי. אולם בפועל, לעתים קרובות מאוד מתקיימים משפטים, שמספר המקרים האפשריים בהם הוא אינסופי. בנוסף, החולשה של ההגדרה הקלאסית היא שלעתים קרובות מאוד בלתי אפשרי לייצג את התוצאה של מבחן כמכלול של אירועים יסודיים. קשה עוד יותר לציין את העילה לשקול את התוצאות היסודיות של המבחן כסבירות באותה מידה. בדרך כלל, שוויון התוצאות היסודיות של המבחן נגזר משיקולי סימטריה. עם זאת, משימות כאלה נדירות מאוד בפועל. מסיבות אלו, לצד ההגדרה הקלאסית של הסתברות, נעשה שימוש גם בהגדרות אחרות של הסתברות.
הסתברות סטטיסטיתאירוע A הוא התדירות היחסית של התרחשות אירוע זה בבדיקות שבוצעו:
היכן ההסתברות להתרחשות אירוע א';
תדירות יחסית של התרחשות אירוע א';
מספר המשפטים שבהם הופיע אירוע א';
המספר הכולל של ניסויים.
בניגוד להסתברות קלאסית, הסתברות סטטיסטית היא מאפיין של הסתברות ניסיוני.
דוגמה: כדי לשלוט על איכות המוצרים מתוך אצווה, נבחרו באקראי 100 מוצרים, מתוכם 3 מוצרים התבררו כפגומים. קבע את ההסתברות לנישואין.
.
השיטה הסטטיסטית לקביעת ההסתברות חלה רק על אותם אירועים בעלי המאפיינים הבאים:
האירועים הנבחנים צריכים להיות תוצאות רק של אותם ניסויים שניתן לשחזר מספר בלתי מוגבל של פעמים באותה מערכת תנאים.
אירועים חייבים להיות בעלי יציבות סטטיסטית (או יציבות של תדרים יחסיים). המשמעות היא שבסדרות שונות של בדיקות, התדירות היחסית של האירוע אינה משתנה באופן משמעותי.
מספר הניסויים שמביאים לאירוע A חייב להיות גדול מספיק.
קל לאמת שמאפייני ההסתברות, הנובעים מההגדרה הקלאסית, נשמרים גם בהגדרה הסטטיסטית של הסתברות.
הִסתַבְּרוּתאירוע הוא היחס בין מספר התוצאות היסודיות המעדיפות אירוע נתון למספר כל תוצאות החוויה האפשריות באותה מידה שבהן אירוע זה עשוי להתרחש. ההסתברות לאירוע A מסומנת ב-P(A) (כאן P היא האות הראשונה של המילה הצרפתית הסתברות - הסתברות). לפי ההגדרה
(1.2.1)
היכן מספר התוצאות היסודיות המעדיפות אירוע א'; - מספר כל התוצאות היסודיות האפשריות באותה מידה של חוויה, היוצרות קבוצה שלמה של אירועים.
הגדרה זו של הסתברות נקראת קלאסית. זה התעורר בשלב הראשוני של התפתחות תורת ההסתברות.
להסתברות לאירוע יש את המאפיינים הבאים:
1. ההסתברות לאירוע מסוים שווה לאחד. בוא נציין אירוע מסוים באות . לאירוע מסוים, אם כן
(1.2.2)
2. ההסתברות לאירוע בלתי אפשרי היא אפס. אנו מציינים את האירוע הבלתי אפשרי באות. לאירוע בלתי אפשרי, אם כן
(1.2.3)
3. ההסתברות לאירוע אקראי מבוטאת כמספר חיובי קטן מאחד. מאז אי השוויון , או מרוצים עבור אירוע אקראי, אז
(1.2.4)
4. ההסתברות לאירוע כלשהו מספקת את אי השוויון
(1.2.5)
הדבר נובע מיחסים (1.2.2) -(1.2.4).
דוגמה 1כד מכיל 10 כדורים באותו גודל ומשקל, מתוכם 4 אדומים ו-6 כחולים. כדור אחד נמשך מהכד. מה ההסתברות שהכדור המצויר כחול?
פִּתָרוֹן. האירוע "התברר שהכדור הנשלף כחול" יסומן באות A. לניסוי זה 10 תוצאות אלמנטריות אפשריות באותה מידה, מתוכן 6 לטובת אירוע A. בהתאם לנוסחה (1.2.1), אנו מקבלים 
דוגמה 2כל המספרים הטבעיים מ-1 עד 30 כתובים על כרטיסים זהים ומניחים בכד. לאחר ערבוב יסודי של הקלפים, מוציאים קלף אחד מהכד. מה ההסתברות שהמספר על הקלף שנשלף הוא כפולה של 5?
פִּתָרוֹן.סמן ב-A את האירוע "המספר בכרטיס שנלקח הוא כפולה של 5". במבחן זה, ישנן 30 תוצאות אלמנטריות אפשריות באותה מידה, מתוכן 6 תוצאות מעדיפות אירוע א' (מספרים 5, 10, 15, 20, 25, 30). לָכֵן, 
דוגמה 3זורקים שתי קוביות, סכום הנקודות על הפרצופים העליונים מחושב. מצא את ההסתברות לאירוע B, המורכב מהעובדה שלפנים העליונות של הקוביות יהיו בסך הכל 9 נקודות.
פִּתָרוֹן.יש 6 2 = 36 תוצאות אלמנטריות אפשריות באותה מידה בניסוי זה. אירוע ב' מועדף על ידי 4 תוצאות: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), אז 
דוגמה 4. נבחר באקראי מספר טבעי שאינו עולה על 10. מה ההסתברות שמספר זה הוא ראשוני?
פִּתָרוֹן.סמן באות C את האירוע "המספר הנבחר הוא ראשוני". במקרה זה, n = 10, m = 4 (ראשוניים 2, 3, 5, 7). לכן, ההסתברות הרצויה 
דוגמה 5שני מטבעות סימטריים מושלכים. מה ההסתברות שלשני המטבעות יש ספרות בצדדים העליונים?
פִּתָרוֹן.נסמן באות D את האירוע "היה מספר בצד העליון של כל מטבע". ישנן 4 תוצאות אלמנטריות אפשריות באותה מידה במבחן זה: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (הסימון (ז, ג) אומר שעל המטבע הראשון יש סמל, על השני - מספר). אירוע D מועדף על ידי תוצאה יסודית אחת (C, C). מאז m = 1, n = 4, אז 
דוגמה 6מה ההסתברות שהספרות במספר דו ספרתי שנבחר באקראי זהות?
פִּתָרוֹן.מספרים דו ספרתיים הם מספרים מ-10 עד 99; יש 90 מספרים כאלה בסך הכל. ל-9 מספרים יש אותן ספרות (אלה הם המספרים 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). מכיוון שבמקרה זה m = 9, n = 90, אז 
,
כאשר A הוא אירוע "מספר עם אותן ספרות".
דוגמה 7מתוך אותיות המילה דִיפֵרֶנציִאָלִיאות אחת נבחרת באקראי. מה ההסתברות שאות זו תהיה: א) תנועות ב) עיצור ג) אות ח?
פִּתָרוֹן. יש במילה דיפרנציאל 12 אותיות, מתוכן 5 תנועות ו-7 עיצורים. אותיות חהמילה הזו לא. נסמן את האירועים: א' - "תנועות", ב' - "עיצור", ג' - "אות ח". מספר התוצאות היסודיות החיוביות: - עבור אירוע א', - עבור אירוע ב', - עבור אירוע ג'. מאז n \u003d 12, אז
, ו .
דוגמה 8מטילים שתי קוביות, מספר הנקודות על החלק העליון של כל קובייה מצוין. מצא את ההסתברות שלשתי הקוביות יש אותו מספר נקודות.
פִּתָרוֹן.הבה נסמן אירוע זה באות A. אירוע A מועדף על ידי 6 תוצאות אלמנטריות: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). בסך הכל ישנן תוצאות אלמנטריות אפשריות באותה מידה היוצרות קבוצה שלמה של אירועים, במקרה זה n=6 2 =36. אז ההסתברות הרצויה 
דוגמה 9הספר כולל 300 עמודים. מהי ההסתברות שלעמוד שנפתח באקראי יהיה מספר רצף שהוא כפולה של 5?
פִּתָרוֹן.מתנאי הבעיה נובע שיהיו n = 300 מכל התוצאות האלמנטריות האפשריות באותה מידה היוצרות קבוצה שלמה של אירועים. מתוכם, m = 60 בעד התרחשות האירוע המצוין. אכן, למספר שהוא כפולה של 5 יש את הצורה 5k, כאשר k הוא מספר טבעי, ומכאן 
. לָכֵן, 
, כאשר A - לאירוע "עמוד" יש מספר רצף שהוא כפולה של 5".
דוגמה 10. זורקים שתי קוביות, סכום הנקודות על הפרצופים העליונים מחושב. מה סביר יותר לקבל סך של 7 או 8?
פִּתָרוֹן. נציין את האירועים: א' - "נפלו 7 נקודות", ב' - "נפלו 8 נקודות". אירוע א' מועדף על ידי 6 תוצאות יסודיות: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), ואירוע ב' - על ידי 5 תוצאות: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). יש n = 6 2 = 36 מכל התוצאות היסודיות האפשריות באותה מידה. מכאן, ו.
אז, P(A)>P(B), כלומר קבלת סך של 7 נקודות הוא אירוע סביר יותר מאשר קבלת סך של 8 נקודות.
משימות
1. נבחר באקראי מספר טבעי שאינו עולה על 30. מה ההסתברות שמספר זה הוא כפולה של 3?
2. בכד אאדום ו בכדורים כחולים באותו גודל ומשקל. מה ההסתברות שכדור שנמשך באקראי מכד זה כחול?
3. נבחר באקראי מספר שאינו עולה על 30. מה ההסתברות שמספר זה הוא מחלק של זו?
4. בכד אכחול ו בכדורים אדומים באותו גודל ומשקל. כדור אחד נשאב מהכד הזה ומניח בצד. הכדור הזה אדום. ואז נמשך כדור נוסף מהכד. מצא את ההסתברות שגם הכדור השני אדום.
5. נבחר באקראי מספר טבעי שאינו עולה על 50. מה ההסתברות שמספר זה הוא ראשוני?
6. שלוש קוביות נזרקות, סכום הנקודות על הפרצופים העליונים מחושב. מה סביר יותר - לקבל סך של 9 או 10 נקודות?
7. זורקים שלוש קוביות, סכום הנקודות שנפלו מחושב. מה סביר יותר לקבל סך של 11 (אירוע א') או 12 נקודות (אירוע ב')?
תשובות
1. 1/3. 2 . ב/(א+ב). 3 . 0,2. 4 . (ב-1)/(א+ב-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - ההסתברות לקבל 9 נקודות בסך הכל; p 2 \u003d 27/216 - ההסתברות לקבל 10 נקודות בסך הכל; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
שאלות
1. איך קוראים להסתברות לאירוע?
2. מהי ההסתברות לאירוע מסוים?
3. מהי ההסתברות לאירוע בלתי אפשרי?
4. מהם גבולות ההסתברות לאירוע אקראי?
5. מהם גבולות ההסתברות לאירוע כלשהו?
6. איזו הגדרה של הסתברות נקראת קלאסית?
- הסתברות - מידת (מדד יחסי, הערכה כמותית) של האפשרות להתרחשות של אירוע כלשהו. כאשר הסיבות לאירוע אפשרי כלשהו להתרחש בפועל עולים על הסיבות ההפוכות, אז אירוע זה נקרא סביר, אחרת - לא סביר או בלתי סביר. החזקה של נימוקים חיוביים על פני שליליים, ולהיפך, יכולה להיות בדרגות שונות, וכתוצאה מכך ההסתברות (ואי הסבירות) גדולה או קטנה. לכן, ההסתברות מוערכת לרוב ברמה איכותית, במיוחד במקרים בהם הערכה כמותית מדויקת יותר או פחות היא בלתי אפשרית או קשה ביותר. אפשריות הדרגות שונות של "רמות" הסתברות.
חקר ההסתברות מנקודת מבט מתמטית הוא דיסציפלינה מיוחדת - תורת ההסתברות. בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה מתמטית, מושג ההסתברות מפורמל כמאפיין מספרי של אירוע - מדד הסתברות (או ערכו) - מדד על קבוצת אירועים (תת-קבוצות של קבוצה של אירועים יסודיים), לקיחת ערכים מ
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
מַשְׁמָעוּת
(\displaystyle 1)
מתאים לאירוע תקף. לאירוע בלתי אפשרי יש הסתברות 0 (ההפך בדרך כלל לא תמיד נכון). אם ההסתברות להתרחשות אירוע היא
(\displaystyle p)
אז ההסתברות לאי התרחשותו שווה ל
(\displaystyle 1-p)
בפרט, ההסתברות
(\displaystyle 1/2)
פירושו הסתברות שווה להתרחשות ואי התרחשות האירוע.
ההגדרה הקלאסית של הסתברות מבוססת על הרעיון של הסתברות שווה של תוצאות. ההסתברות היא היחס בין מספר התוצאות המעדיפות אירוע נתון לבין המספר הכולל של תוצאות סבירות באותה מידה. לדוגמה, ההסתברות לקבל ראשים או זנבות בהטלת מטבע אקראית היא 1/2 אם רק מניחים ששתי האפשרויות הללו מתרחשות והן סבירות באותה מידה. ניתן להכליל את ה"הגדרה" הקלאסית הזו של הסתברות למקרה של מספר אינסופי של ערכים אפשריים - לדוגמה, אם אירוע יכול להתרחש בהסתברות שווה בכל נקודה (מספר הנקודות הוא אינסופי) של איזשהו שטח מוגבל של שטח (מישור), אזי ההסתברות שזה יתרחש בחלק מהשטח המותר הזה שווה ליחס בין נפח (שטח) של חלק זה לנפח (שטח) של השטח של כל הנקודות האפשריות .
ה"הגדרה" האמפירית של הסתברות קשורה לתדירות התרחשות של אירוע, בהתבסס על העובדה שעם מספר גדול מספיק של ניסויים, התדירות צריכה להטות למידת האפשרות האובייקטיבית של אירוע זה. בהצגה המודרנית של תורת ההסתברות, ההסתברות מוגדרת בצורה אקסיומטית, כמקרה מיוחד של התיאוריה המופשטת של המידה של קבוצה. אף על פי כן, הקשר בין המידה המופשטת לבין ההסתברות, המבטאת את מידת האפשרות של אירוע, הוא בדיוק תדירות ההתבוננות בו.
התיאור ההסתברותי של תופעות מסוימות הפך נפוץ במדע המודרני, בפרט באקונומטריה, פיזיקה סטטיסטית של מערכות מקרוסקופיות (תרמודינמיות), כאשר אפילו במקרה של תיאור דטרמיניסטי קלאסי של תנועת החלקיקים, תיאור דטרמיניסטי של המערכת כולה. של חלקיקים אינו אפשרי ומתאים באופן מעשי. בפיזיקה קוונטית, התהליכים המתוארים עצמם הם בעלי אופי הסתברותי.
הוצג עד כה בבנק הפתוח של בעיות USE במתמטיקה (mathege.ru), שהפתרון שלה מבוסס על נוסחה אחת בלבד, שהיא הגדרה קלאסית של הסתברות.
הדרך הקלה ביותר להבין את הנוסחה היא באמצעות דוגמאות.
דוגמה 1בסל יש 9 כדורים אדומים ו-3 כחולים. הכדורים שונים רק בצבע. באקראי (בלי להסתכל) אנחנו מקבלים אחד מהם. מה ההסתברות שהכדור שנבחר בדרך זו יהיה כחול?
תגובה.בבעיות בתורת ההסתברות, קורה משהו (במקרה הזה, הפעולה שלנו של משיכת הכדור) שיכולה להיות תוצאה אחרת - תוצאה. יש לציין שניתן לראות את התוצאה בדרכים שונות. "שלפנו כדור" היא גם תוצאה. "שלפנו את הכדור הכחול" היא התוצאה. "שלפנו את הכדור הספציפי הזה מכל הכדורים האפשריים" - ההשקפה הפחות כללית הזו של התוצאה נקראת התוצאה היסודית. התוצאות היסודיות מיועדות בנוסחה לחישוב ההסתברות.
פִּתָרוֹן.כעת אנו מחשבים את ההסתברות לבחירת כדור כחול.
אירוע א': "התברר שהכדור שנבחר כחול"
המספר הכולל של כל התוצאות האפשריות: 9+3=12 (מספר כל הכדורים שיכולנו לצייר)
מספר התוצאות טובות לאירוע א': 3 (מספר התוצאות בהן התרחש אירוע א' - כלומר, מספר הכדורים הכחולים)
P(A)=3/12=1/4=0.25
תשובה: 0.25
הבה נחשב עבור אותה בעיה את ההסתברות לבחירת כדור אדום.
המספר הכולל של התוצאות האפשריות יישאר זהה, 12. מספר התוצאות החיוביות: 9. ההסתברות הרצויה: 9/12=3/4=0.75
ההסתברות לכל אירוע היא תמיד בין 0 ל-1.
לפעמים בדיבור יומיומי (אך לא בתורת ההסתברות!) ההסתברות לאירועים נאמדת באחוזים. המעבר בין הערכה מתמטית לשיחה נעשה על ידי הכפלה (או חלוקה) ב-100%.
כך,
במקרה זה, ההסתברות היא אפס לאירועים שלא יכולים לקרות - בלתי סביר. לדוגמה, בדוגמה שלנו, זו תהיה ההסתברות למשוך כדור ירוק מהסל. (מספר התוצאות החיוביות הוא 0, P(A)=0/12=0 אם סופרים לפי הנוסחה)
להסתברות 1 יש אירועים שבהחלט יקרו, ללא אפשרויות. לדוגמה, ההסתברות ש"הכדור הנבחר יהיה אדום או כחול" היא לבעיה שלנו. (מספר התוצאות הטובות: 12, P(A)=12/12=1)
הסתכלנו על דוגמה קלאסית הממחישה את ההגדרה של הסתברות. כל בעיות USE דומות בתורת ההסתברות נפתרות באמצעות נוסחה זו.
במקום כדורים אדומים וכחולים יכולים להיות תפוחים ואגסים, בנים ובנות, כרטיסים נלמדים ולא נלמדים, כרטיסים המכילים ולא מכילים שאלה בנושא (אבטיפוס , ), תיקים פגומים ואיכותיים או משאבות לגינה (אבטיפוס , ) - העיקרון נשאר זהה.
הם שונים מעט בניסוח הבעיה של תורת ההסתברות USE, שבה אתה צריך לחשב את ההסתברות של אירוע להתרחש ביום מסוים. ( , ) כמו במשימות הקודמות, עליך לקבוע מהי תוצאה יסודית, ולאחר מכן ליישם את אותה נוסחה.
דוגמה 2הכנס נמשך שלושה ימים. ביום הראשון והשני 15 דוברים כל אחד, ביום השלישי - 20. מה ההסתברות שדו"ח פרופסור מ' ייפול ביום השלישי, אם סדר הדו"חות ייקבע בהגרלה?
מהי התוצאה האלמנטרית כאן? - הקצאת דוח פרופסור לאחד מכל המספרים הסידוריים האפשריים לנאום. 15+15+20=50 אנשים משתתפים בהגרלה. כך, הדו"ח של פרופסור מ' יכול לקבל אחד מ-50 מספרים. זה אומר שיש רק 50 תוצאות אלמנטריות.
מהן התוצאות החיוביות? – אלו שמסתבר בהם שהפרופסור ידבר ביום השלישי. כלומר, 20 המספרים האחרונים.
לפי הנוסחה, ההסתברות P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
תשובה: 0.4
הגרלה כאן היא הקמת התכתבות אקראית בין אנשים ומקומות מסודרים. בדוגמה 2, ההתאמה נשקלה במונחים של איזה מהמקומות יכול אדם מסוים לקחת. אתה יכול לגשת לאותה סיטואציה מהצד השני: מי מהאנשים עם סבירות מה יכול להגיע למקום מסוים (אבטיפוס , , , ):
דוגמה 3בהגרלה משתתפים 5 גרמנים, 8 צרפתים ו-3 אסטונים. מה ההסתברות שהראשון (/שני/שביעי/אחרון - זה לא משנה) יהיה צרפתי.
מספר התוצאות היסודיות הוא מספר כל האנשים האפשריים שיכלו להגיע למקום נתון בהגרלה. 5+8+3=16 אנשים.
תוצאות טובות - הצרפתים. 8 אנשים.
הסתברות רצויה: 8/16=1/2=0.5
תשובה: 0.5
אב הטיפוס שונה במקצת. יש משימות לגבי מטבעות () וקוביות () שהן קצת יותר יצירתיות. פתרונות לבעיות אלו ניתן למצוא בדפי האב-טיפוס.
הנה כמה דוגמאות להטלת מטבעות או הטלת קוביות.
דוגמה 4כאשר אנו זורקים מטבע, מה ההסתברות לקבל זנבות?
תוצאות 2 - ראשים או זנבות. (מניחים שהמטבע לעולם לא נופל על הקצה) תוצאה חיובית - זנבות, 1.
הסתברות 1/2=0.5
תשובה: 0.5.
דוגמה 5מה אם נטיל מטבע פעמיים? מה ההסתברות שזה יעלה בראש בשתי הפעמים?
העיקר הוא לקבוע אילו תוצאות אלמנטריות נשקול בעת הטלת שני מטבעות. לאחר הטלת שני מטבעות, אחת מהתוצאות הבאות יכולה להתרחש:
1) PP - בשתי הפעמים זה עלה זנבות
2) PO - פעם ראשונה זנבות, פעם שניה ראשים
3) OP - בפעם הראשונה ראשים, בפעם השנייה זנבות
4) OO - ראש למעלה בשתי הפעמים
אין אפשרויות אחרות. משמעות הדבר היא שיש 4 תוצאות יסודיות. רק הראשונה חיובית, 1.
הסתברות: 1/4=0.25
תשובה: 0.25
מה ההסתברות ששתי הטלות מטבע ינחתו על זנבות?
מספר התוצאות היסודיות זהה, 4. התוצאות הטובות הן השנייה והשלישית, 2.
הסתברות לקבל זנב אחד: 2/4=0.5
בבעיות כאלה, נוסחה אחרת עשויה להועיל.
אם בהטלה אחת של מטבע יש לנו 2 תוצאות אפשריות, אז עבור שתי הטלות של תוצאות יהיו 2 2=2 2 =4 (כמו בדוגמה 5), עבור שלוש הטלות 2 2 2=2 3 =8, עבור ארבע. : 2·2·2·2=2 4 =16, … עבור N זריקות של תוצאות אפשריות יהיו 2·2·...·2=2 N .
אז, אתה יכול למצוא את ההסתברות לקבל 5 זנבות מתוך 5 הטלות מטבע.
המספר הכולל של התוצאות היסודיות: 2 5 =32.
תוצאות טובות: 1. (RRRRRR - כל 5 פעמים זנבות)
הסתברות: 1/32=0.03125
הדבר נכון גם לגבי הקוביות. עם זריקה אחת, יש 6 תוצאות אפשריות. לכן, עבור שתי זריקות: 6 6=36, עבור שלוש 6 6 6=216 וכו'.
דוגמה 6אנחנו זורקים קובייה. מה ההסתברות לקבל מספר זוגי?
סך התוצאות: 6, לפי מספר הפרצופים.
חיובי: 3 תוצאות. (2, 4, 6)
הסתברות: 3/6=0.5
דוגמה 7לזרוק שתי קוביות. מה ההסתברות שהסך הכל יגלגל 10? (עגול עד מאיות)
ישנן 6 תוצאות אפשריות לקוביה אחת. מכאן שלשניים, לפי הכלל הנ"ל, 6·6=36.
אילו תוצאות יהיו חיוביות עבור סך של 10 ליפול?
יש לפרק את 10 לסכום של שני מספרים מ-1 עד 6. ניתן לעשות זאת בשתי דרכים: 10=6+4 ו-10=5+5. אז, עבור קוביות, אפשרויות אפשריות:
(6 על הראשון ו-4 על השני)
(4 על הראשון ו-6 על השני)
(5 על הראשון ו-5 על השני)
בסך הכל 3 אפשרויות. הסתברות רצויה: 3/36=1/12=0.08
תשובה: 0.08
סוגים אחרים של בעיות B6 יידונו באחד מהמאמרים הבאים "כיצד לפתור".
בתחילה, בהיותה רק אוסף של מידע ותצפיות אמפיריות על משחק הקוביות, תורת ההסתברות הפכה למדע מוצק. פרמה ופסקל היו הראשונים שהעניקו לו מסגרת מתמטית.
מהרהורים על הנצחי ועד תורת ההסתברות
שני אנשים שתורת ההסתברות חייבת להם נוסחאות יסוד רבות, בלייז פסקל ותומס בייס, ידועים כאנשים דתיים עמוקים, האחרון היה שר פרסביטריאני. ככל הנראה, רצונם של שני המדענים הללו להוכיח את כשל הדעה על הון מסוים, המעניק מזל טוב לאהובים עליה, נתן תנופה למחקר בתחום זה. אחרי הכל, למעשה, כל משחק מזל, על הניצחונות וההפסדים שלו, הוא רק סימפוניה של עקרונות מתמטיים.
הודות להתרגשותו של השבליר דה מיר, שהיה באותה מידה מהמר ואדם שלא היה אדיש למדע, פסקל נאלץ למצוא דרך לחשב את ההסתברות. דה מיר התעניין בשאלה הזו: "כמה פעמים אתה צריך לזרוק שתי קוביות בזוגות כדי שההסתברות לקבל 12 נקודות תעלה על 50%?". השאלה השנייה שעניינה את האדון מאוד: "איך לחלק את ההימור בין המשתתפים במשחק הלא גמור?" כמובן, פסקל ענה בהצלחה על שתי השאלות של דה-מיר, שהפך ליוזם הבלתי מודע של פיתוח תורת ההסתברות. מעניין שהאדם של דה מיר נשאר מוכר באזור זה, ולא בספרות.
בעבר, אף מתמטיקאי עדיין לא עשה ניסיון לחשב את ההסתברויות לאירועים, שכן האמינו כי מדובר בפתרון ניחוש בלבד. בלייז פסקל נתן את ההגדרה הראשונה של ההסתברות לאירוע והראה כי מדובר בנתון ספציפי שניתן להצדיק אותו מתמטית. תורת ההסתברות הפכה לבסיס לסטטיסטיקה ונמצאת בשימוש נרחב במדע המודרני.
מהי אקראיות
אם ניקח בחשבון מבחן שניתן לחזור עליו אינסוף פעמים, אז נוכל להגדיר אירוע אקראי. זו אחת התוצאות האפשריות של החוויה.
ניסיון הוא יישום של פעולות ספציפיות בתנאים קבועים.
על מנת להיות מסוגל לעבוד עם תוצאות הניסיון, אירועים מסומנים בדרך כלל באותיות A, B, C, D, E ...
הסתברות לאירוע אקראי
כדי להיות מסוגל להמשיך לחלק המתמטי של הסתברות, יש צורך להגדיר את כל מרכיביו.
ההסתברות לאירוע היא מדד מספרי לאפשרות של התרחשות של אירוע כלשהו (A או B) כתוצאה מחוויה. ההסתברות מסומנת כ-P(A) או P(B).
תורת ההסתברות היא:
- אָמִיןהאירוע מובטח להתרחש כתוצאה מהניסוי Р(Ω) = 1;
- בלתי אפשריהאירוע לעולם לא יכול לקרות Р(Ø) = 0;
- אַקרַאִיהאירוע נמצא בין בטוח לבלתי אפשרי, כלומר, ההסתברות להתרחשותו אפשרית, אך אינה מובטחת (ההסתברות לאירוע אקראי היא תמיד בטווח של 0≤P(A)≤1).
יחסים בין אירועים
גם אחד וגם סכום האירועים A+B נחשבים כאשר האירוע נספר ביישום של לפחות אחד מהרכיבים, A או B, או שניהם - A ו-B.
ביחס אחד לשני, אירועים יכולים להיות:
- באותה מידה אפשרי.
- תוֹאֵם.
- שאינו עולה בקנה אחד.
- הפוך (סותרים זה את זה).
- תלוי.
אם שני אירועים יכולים להתרחש בהסתברות שווה, אז הם אפשרי באותה מידה.
אם התרחשות אירוע א' אינה מבטלת את ההסתברות להתרחשותו של אירוע ב', אז הם תוֹאֵם.
אם אירועים A ו-B לעולם לא מתרחשים באותו זמן באותו ניסוי, אז הם נקראים שאינו עולה בקנה אחד. הטלת מטבע היא דוגמה טובה: לעלות זנבות זה אוטומטית לא לעלות ראשים.
ההסתברות לסכום של אירועים בלתי תואמים כאלה מורכבת מסכום ההסתברויות של כל אחד מהאירועים:
P(A+B)=P(A)+P(B)
אם התרחשות של אירוע אחד הופכת את התרחשותו של אחר לבלתי אפשרית, אז הם נקראים הפוכים. אז אחד מהם מסומן כ-A, והשני - Ā (נקרא כ"לא A"). התרחשות אירוע A פירושה ש- לא התרחש. שני אירועים אלו יוצרים קבוצה שלמה עם סכום הסתברויות השווה ל-1.
לאירועים תלויים יש השפעה הדדית, מקטינים או מגדילים את ההסתברות זה לזה.
יחסים בין אירועים. דוגמאות
הרבה יותר קל להבין את העקרונות של תורת ההסתברות ואת השילוב של אירועים באמצעות דוגמאות.
הניסוי שיתבצע הוא לשלוף את הכדורים מהקופסה, והתוצאה של כל ניסוי היא תוצאה אלמנטרית.
אירוע הוא אחת התוצאות האפשריות של חוויה - כדור אדום, כדור כחול, כדור עם הספרה שש וכו'.
מבחן מספר 1. ישנם 6 כדורים, שלושה מהם כחולים עם מספרים אי-זוגיים, ושלושת האחרים אדומים עם מספרים זוגיים.
מבחן מספר 2. ישנם 6 כדורים כחולים עם מספרים מאחד עד שש.
בהתבסס על דוגמה זו, אנו יכולים למנות שילובים:
- אירוע אמין.בספרדית מס' 2, האירוע "לקבל את הכדור הכחול" הוא אמין, שכן ההסתברות להתרחשותו היא 1, שכן כל הכדורים כחולים ואי אפשר להחמיץ. בעוד שהאירוע "קבל את הכדור עם הספרה 1" הוא אקראי.
- אירוע בלתי אפשרי.בספרדית מס' 1 עם כדורים כחולים ואדומים, האירוע "קבל את הכדור הסגול" הוא בלתי אפשרי, שכן ההסתברות להתרחשותו היא 0.
- אירועים מקבילים.בספרדית מס' 1, האירועים "קבל את הכדור עם המספר 2" ו"קבל את הכדור עם המספר 3" סבירים באותה מידה, והאירועים "קבל את הכדור עם מספר זוגי" ו"קבל את הכדור עם המספר 2 " יש הסתברויות שונות.
- אירועים תואמים.קבלת שש בתהליך של זריקת קובייה פעמיים ברציפות הם אירועים תואמים.
- אירועים לא תואמים.באותה ספרדית אי אפשר לשלב אירועים מס' 1 "קבל את הכדור האדום" ו"קבל את הכדור עם מספר אי זוגי" באותה חוויה.
- אירועים הפוכים.הדוגמה הבולטת ביותר לכך היא הטלת מטבעות, שבה ציור ראשים זהה לאי ציור זנבות, וסכום ההסתברויות שלהם הוא תמיד 1 (קבוצה מלאה).
- אירועים תלויים. אז, בספרדית מס' 1, אתה יכול להגדיר לעצמך מטרה לחלץ כדור אדום פעמיים ברציפות. חילוץ או אי חילוץ בפעם הראשונה משפיע על ההסתברות לחילוץ בפעם השנייה.
ניתן לראות שהאירוע הראשון משפיע באופן משמעותי על ההסתברות של השני (40% ו-60%).
נוסחת הסתברות לאירוע
המעבר מגילוי עתידות לנתונים מדויקים מתרחש על ידי העברת הנושא למישור המתמטי. כלומר, ניתן לתרגם שיפוטים לגבי אירוע אקראי כמו "הסתברות גבוהה" או "הסתברות מינימלית" לנתונים מספריים ספציפיים. כבר מותר להעריך, להשוות ולהכניס חומר כזה לחישובים מורכבים יותר.
מנקודת המבט של החישוב, ההגדרה של ההסתברות לאירוע היא היחס בין מספר התוצאות החיוביות היסודיות למספר כל תוצאות החוויה האפשריות ביחס לאירוע מסוים. הסתברות מסומנת ב-P (A), כאשר P פירושה המילה "הסתברות", שמתורגמת מצרפתית כ"הסתברות".
אז הנוסחה להסתברות לאירוע היא:
כאשר m הוא מספר התוצאות החיוביות עבור אירוע A, n הוא הסכום של כל התוצאות האפשריות לחוויה זו. ההסתברות לאירוע היא תמיד בין 0 ל-1:
0 ≤ P(A) ≤ 1.
חישוב ההסתברות לאירוע. דוגמא
בוא ניקח ספרדית. מס' 1 עם כדורים, שתואר קודם לכן: 3 כדורים כחולים עם המספרים 1/3/5 ו-3 כדורים אדומים עם המספרים 2/4/6.
בהתבסס על מבחן זה, ניתן לשקול מספר משימות שונות:
- א - טיפת כדור אדום. יש 3 כדורים אדומים, ויש 6 גרסאות בסך הכל. זו הדוגמה הפשוטה ביותר, שבה ההסתברות לאירוע היא P(A)=3/6=0.5.
- B - הורדת מספר זוגי. ישנם 3 (2,4,6) מספרים זוגיים בסך הכל, והמספר הכולל של האפשרויות המספריות האפשריות הוא 6. ההסתברות לאירוע זה היא P(B)=3/6=0.5.
- C - אובדן של מספר גדול מ-2. ישנן 4 אפשרויות כאלה (3,4,5,6) מתוך המספר הכולל של התוצאות האפשריות 6. ההסתברות לאירוע C היא P(C)=4/6= 0.67.
כפי שניתן לראות מהחישובים, לאירוע C יש סבירות גבוהה יותר, שכן מספר התוצאות החיוביות האפשריות גבוה יותר מאשר ב-A ו-B.
אירועים לא תואמים
אירועים כאלה אינם יכולים להופיע בו-זמנית באותה חוויה. כמו בספרדית מס' 1, אי אפשר לקבל כדור כחול ואדום בו זמנית. כלומר, אתה יכול לקבל כדור כחול או אדום. באותו אופן, מספר זוגי ואי-זוגי אינם יכולים להופיע בקובייה בו-זמנית.
ההסתברות של שני אירועים נחשבת כהסתברות של הסכום או המכפלה שלהם. הסכום של אירועים כאלה A+B נחשב לאירוע המורכב מהופעת אירוע א' או ב', ומכפלת ה-AB שלהם - בהופעתם של שניהם. לדוגמה, הופעת שתי שישיות בבת אחת על פני שתי קוביות בזריקה אחת.
סכום של מספר אירועים הוא אירוע המרמז על התרחשות של לפחות אחד מהם. התוצר של מספר אירועים הוא ההתרחשות המשותפת של כולם.
בתורת ההסתברות, ככלל, השימוש באיחוד "ו" מציין את הסכום, האיחוד "או" - כפל. נוסחאות עם דוגמאות יעזרו לך להבין את ההיגיון של חיבור וכפל בתורת ההסתברות.
הסתברות לסכום האירועים שאינם תואמים
אם נחשבת ההסתברות לאירועים לא תואמים, אזי ההסתברות של סכום האירועים שווה לסכום ההסתברויות שלהם:
P(A+B)=P(A)+P(B)
לדוגמה: אנו מחשבים את ההסתברות שבספרדית. מס' 1 עם כדורים כחולים ואדומים יפיל מספר בין 1 ל-4. נחשב לא בפעולה אחת, אלא לפי סכום ההסתברויות של המרכיבים היסודיים. אז בניסוי כזה יש רק 6 כדורים או 6 מכל התוצאות האפשריות. המספרים המקיימים את התנאי הם 2 ו-3. ההסתברות לקבל את המספר 2 היא 1/6, ההסתברות למספר 3 היא גם 1/6. ההסתברות לקבל מספר בין 1 ל-4 היא:
ההסתברות לסכום של אירועים בלתי תואמים של קבוצה שלמה היא 1.
לכן, אם בניסוי עם קובייה נחבר את ההסתברויות לקבל את כל המספרים, אז כתוצאה מכך נקבל אחד.
זה נכון גם לאירועים מנוגדים, למשל, בניסוי במטבע, כאשר אחד הצדדים שלו הוא אירוע A, והשני הוא אירוע הפוך Ā, כידוע,
Р(А) + Р(Ā) = 1
הסתברות להפקת אירועים לא תואמים
הכפלת הסתברויות משמשת כאשר בוחנים את התרחשותם של שני אירועים לא תואמים או יותר בתצפית אחת. ההסתברות שאירועים A ו-B יופיעו בו בו-זמנית שווה למכפלת ההסתברויות שלהם, או:
P(A*B)=P(A)*P(B)
לדוגמה, ההסתברות שב מס' 1 כתוצאה משני ניסיונות יופיע פעמיים כדור כחול שווה ל
כלומר, ההסתברות להתרחשות אירוע כאשר כתוצאה משני ניסיונות עם חילוץ כדורים ייחלצו רק כדורים כחולים, היא 25%. קל מאוד לעשות ניסויים מעשיים בבעיה הזו ולראות אם זה באמת המצב.
אירועים משותפים
אירועים נחשבים למשותפים כאשר המראה של אחד מהם יכול לחפוף להופעתו של השני. למרות העובדה שהם משותפים, ההסתברות לאירועים עצמאיים נחשבת. למשל, זריקת שתי קוביות יכולה לתת תוצאה כאשר הספרה 6 נופלת על שתיהן. למרות שהאירועים התרחשו במקביל והופיעו בו זמנית, הם בלתי תלויים זה בזה - רק שש אחת יכולה ליפול, לקובייה השנייה אין השפעה עליו.
ההסתברות לאירועים משותפים נחשבת כהסתברות לסכומם.
ההסתברות לסכום האירועים המשותפים. דוגמא
ההסתברות של סכום האירועים A ו-B, המשותפים זה ביחס לזה, שווה לסכום ההסתברויות של האירוע בניכוי ההסתברות למכפלתם (כלומר, היישום המשותף שלהם):
מפרק R. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)
נניח שההסתברות לפגוע במטרה בירייה אחת היא 0.4. ואז אירוע א' - פגיעה במטרה בניסיון הראשון, ב' - בשני. אירועים אלו הם משותפים, שכן יתכן כי ניתן לפגוע במטרה גם מהירייה הראשונה וגם מהירייה השנייה. אבל האירועים אינם תלויים. מהי ההסתברות לאירוע פגיעה במטרה בשתי יריות (לפחות אחת)? לפי הנוסחה:
0,4+0,4-0,4*0,4=0,64
התשובה לשאלה היא: "ההסתברות לפגוע במטרה בשתי יריות היא 64%".
נוסחה זו להסתברות לאירוע יכולה להיות מיושמת גם על אירועים בלתי תואמים, כאשר ההסתברות להתרחשות משותפת של אירוע P(AB) = 0. המשמעות היא שההסתברות של סכום אירועים בלתי תואמים יכולה להיחשב למקרה מיוחד של הנוסחה המוצעת.
גיאומטריית הסתברות לבהירות
מעניין לציין שההסתברות של סכום האירועים המשותפים יכולה להיות מיוצגת כשני אזורים A ו-B המצטלבים זה עם זה. כפי שניתן לראות מהתמונה, שטח האיחוד שלהם שווה לשטח הכולל פחות שטח הצומת שלהם. ההסבר הגיאומטרי הזה הופך את הנוסחה הבלתי הגיונית לכאורה למובנת יותר. שימו לב שפתרונות גיאומטריים אינם נדירים בתורת ההסתברות.
ההגדרה של ההסתברות לסכום של קבוצה (יותר משניים) של אירועים משותפים היא די מסורבלת. כדי לחשב אותו, עליך להשתמש בנוסחאות הניתנות למקרים אלה.
אירועים תלויים
אירועים תלויים נקראים אם התרחשות של אחד (A) מהם משפיעה על ההסתברות להתרחשות של השני (B). יתרה מכך, נלקחת בחשבון ההשפעה הן של התרחשות אירוע א' והן של אי התרחשותו. למרות שאירועים נקראים תלויים בהגדרה, רק אחד מהם תלוי (B). ההסתברות הרגילה סומנה כ-P(B) או ההסתברות לאירועים בלתי תלויים. במקרה של תלויים, מוכנס מושג חדש - ההסתברות המותנית P A (B), שהיא ההסתברות לאירוע התלוי ב' בתנאי שהתרחש אירוע A (השערה), בו היא תלויה.
אבל גם אירוע A הוא אקראי, ולכן יש לו גם הסתברות שחייבים ואפשר לקחת בחשבון בחישובים. הדוגמה הבאה תראה כיצד לעבוד עם אירועים תלויים והשערה.
דוגמה לחישוב ההסתברות לאירועים תלויים
דוגמה טובה לחישוב אירועים תלויים היא חפיסת קלפים רגילה.
בדוגמה של חפיסה של 36 קלפים, שקול אירועים תלויים. יש צורך לקבוע את ההסתברות שהקלף השני שנשלף מהחפיסה יהיה חליפת יהלומים, אם הקלף הראשון שנשלף הוא:
- תוף מרים.
- עוד חליפה.
ברור שההסתברות לאירוע השני ב' תלויה ב-A הראשון. לכן, אם האפשרות הראשונה נכונה, שהיא קלף אחד (35) ויהלום אחד (8) פחות בחפיסה, ההסתברות לאירוע ב':
P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0.23
אם האפשרות השנייה נכונה, אז יש 35 קלפים בחפיסה, והמספר הכולל של הטמבורינים (9) עדיין נשמר, אז ההסתברות לאירוע הבא היא B:
P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0.26.
ניתן לראות שאם אירוע א' מותנה בכך שהקלף הראשון הוא יהלום, אז ההסתברות לאירוע ב' יורדת, ולהיפך.
כפל אירועים תלויים
בהתבסס על הפרק הקודם, אנו מקבלים את האירוע הראשון (A) כעובדה, אבל בעצם, יש לו אופי אקראי. ההסתברות לאירוע זה, כלומר חילוץ של טמבורין מחפיסת קלפים, שווה ל:
P(A) = 9/36=1/4
מכיוון שהתיאוריה אינה קיימת בפני עצמה, אלא היא נקראת לשרת מטרות מעשיות, ראוי לציין כי לרוב יש צורך בהסתברות להפקת אירועים תלויים.
לפי המשפט על מכפלת ההסתברויות של אירועים תלויים, ההסתברות להתרחשות של אירועים A ו-B תלויים במשותף שווה להסתברות של אירוע אחד A, כפול ההסתברות המותנית של אירוע B (בהתאם ל-A):
P (AB) \u003d P (A) * P A (B)
ואז בדוגמה עם חפיסה, ההסתברות לשלוף שני קלפים עם סדרת יהלומים היא:
9/36*8/35=0.0571 או 5.7%
וההסתברות לחלץ לא יהלומים בהתחלה, ואחר כך יהלומים, שווה ל:
27/36*9/35=0.19 או 19%
ניתן לראות שההסתברות להתרחשותו של אירוע ב' גדולה יותר, בתנאי שנשלף תחילה קלף בסדרה שאינה יהלום. תוצאה זו הגיונית ומובנת למדי.
הסתברות כוללת לאירוע
כאשר בעיה עם הסתברויות מותנות הופכת לרב פנים, לא ניתן לחשב אותה בשיטות קונבנציונליות. כאשר יש יותר משתי השערות, כלומר A1, A2, ..., A n, .. יוצרים קבוצה שלמה של אירועים בתנאי:
- P(A i)>0, i=1,2,...
- A i ∩ A j =Ø,i≠j.
- Σ k A k =Ω.
אז הנוסחה של ההסתברות הכוללת לאירוע B עם קבוצה שלמה של אירועים אקראיים A1, A2, ..., A n היא:
מבט אל העתיד
ההסתברות לאירוע אקראי חיונית בתחומי מדע רבים: אקונומטריה, סטטיסטיקה, פיזיקה וכו'. מאחר שלא ניתן לתאר תהליכים מסוימים באופן דטרמיניסטי, מכיוון שהם עצמם הסתברותיים, יש צורך בשיטות עבודה מיוחדות. ההסתברות של תורת אירועים יכולה לשמש בכל תחום טכנולוגי כדרך לקבוע אפשרות של שגיאה או תקלה.
ניתן לומר שעל ידי זיהוי ההסתברות, אנו עושים איכשהו צעד תיאורטי אל העתיד, מסתכלים עליו דרך הפריזמה של הנוסחאות.