שיטות (כללים) לחשיפת אי-שוויון עם מודולים מורכבות מחשיפה רציפה של מודולים, תוך שימוש במרווחים של סימן קבוע של פונקציות תת-מודולים. בגרסה הסופית מתקבלים מספר אי-שוויון שמהם הם מוצאים מרווחים או פערים העונים על מצב הבעיה.
נעבור לפתרון דוגמאות המקובלות בפועל.
אי שוויון ליניארי עם מודולים
בליניארית אנו מתכוונים למשוואות שבהן המשתנה נכנס למשוואה באופן ליניארי.
דוגמה 1. מצא פתרון לאי שוויון
פִּתָרוֹן:
ממצב הבעיה נובע שהמודולים הופכים לאפס ב-x=-1 ו-x=-2. נקודות אלו מחלקות את הציר המספרי למרווחים
בכל אחד מהמרווחים הללו, אנו פותרים את אי השוויון הנתון. לשם כך, קודם כל, אנו מציירים שרטוטים גרפיים של אזורי סימן קבוע של פונקציות תת-מודולריות. הם מתוארים כאזורים עם סימנים של כל אחת מהפונקציות.
או מרווחים עם סימנים של כל הפונקציות. 
במרווח הראשון, פתח את המודולים
נכפיל את שני החלקים במינוס אחד, בעוד הסימן באי השוויון ישתנה להיפך. אם קשה לך להתרגל לכלל זה, אז אתה יכול להעביר כל אחד מהחלקים מעבר לשלט כדי להיפטר מהמינוס. בסוף תקבל
החיתוך של קבוצת x>-3 עם השטח שעליו נפתרו המשוואות יהיה המרווח (-3;-2) . למי שקל יותר לחפש פתרונות בצורה גרפית, ניתן לצייר את המפגש בין אזורים אלו
מפגש שטחים כללי יהיה הפתרון. עם אי אחידות קפדנית, הקצוות אינם כלולים. אם לא קפדנית מסומנת על ידי החלפה.
במרווח השני, אנחנו מקבלים 
הקטע יהיה המרווח (-2; -5/3). מבחינה גרפית, הפתרון ייראה
במרווח השלישי, אנחנו מקבלים
תנאי זה אינו נותן פתרונות על השטח הנדרש.
מכיוון ששני הפתרונות שנמצאו (-3;-2) ו-(-2;-5/3) גובלים בנקודה x=-2, אנו בודקים גם אותה.
לפיכך הנקודה x=-2 היא הפתרון. הפתרון הכללי עם זה בחשבון ייראה כך (-3;5/3).
דוגמה 2. מצא פתרון לאי השוויון
|x-2|-|x-3|>=|x-4|
פִּתָרוֹן:
האפסים של פונקציות תת-מודול יהיו הנקודות x=2, x=3, x=4. כאשר ערכי הארגומנטים נמוכים מנקודות אלו, הפונקציות של תת-מודול הן שליליות, וכאשר הערכים גדולים, הן חיוביות.
הנקודות מחלקות את הציר האמיתי לארבעה מרווחים. אנו פותחים את המודולים לפי מרווחי הקביעות של הסימן ופותרים את אי השוויון.
1) במרווח הראשון, כל הפונקציות התת-מודולריות הן שליליות, לכן, כאשר מרחיבים את המודולים, אנו משנים את הסימן להיפך.
החיתוך של ערכי x שנמצאו עם המרווח הנחשב יהיה קבוצת הנקודות
2) במרווח בין הנקודות x=2 ו-x=3, פונקציית תת-המודול הראשונה חיובית, השנייה והשלישית שלילית. הרחבת המודולים, אנחנו מבינים
אי שוויון שבחתך עם המרווח שעליו אנו פותרים, נותן פתרון אחד - x=3.
3) במרווח בין הנקודות x=3 ו-x=4, פונקציות תת-המודול הראשון והשני חיוביות, והשלישית שלילית. על סמך זה, אנחנו מקבלים
תנאי זה מראה שכל המרווח יספק את אי השוויון עם מודולים.
4) עבור ערכים x>4, כל הפונקציות הן סימן חיוביות. כאשר מרחיבים מודולים, אנו לא משנים את הסימן שלהם.
המצב שנמצא בצומת עם המרווח נותן את קבוצת הפתרונות הבאה
מכיוון שהאי-שוויון נפתר בכל המרווחים, נותר למצוא את הערך המשותף של כל ערכי ה-x שנמצאו. הפתרון הוא שני מרווחים 
דוגמה זו נפתרה.
דוגמה 3. מצא פתרון לאי השוויון
||x-1|-5|>3-2x
פִּתָרוֹן:
יש לנו אי שוויון עם מודול ממודול. אי-שוויון כזה מתגלה כאשר מודולים מקוננים, החל מאלה שממוקמים עמוק יותר.
פונקציית תת-מודול x-1 מומרת לאפס בנקודה x=1. עבור ערכים קטנים יותר מעבר ל-1 זה שלילי וחיובי עבור x>1. על סמך זה, אנו פותחים את המודול הפנימי ושוקלים את אי השוויון בכל אחד מהמרווחים.
ראשית שקול את המרווח ממינוס אינסוף לאחד 
פונקציית תת המודול היא אפס בנקודה x=-4. עבור ערכים קטנים יותר זה חיובי, עבור ערכים גדולים יותר זה שלילי. הרחב את המודול עבור x<-4:
בהצטלבות עם השטח שעליו אנו שוקלים, אנו מקבלים סט של פתרונות
השלב הבא הוא להרחיב את המודול על המרווח (-4; 1) 
בהתחשב באזור ההרחבה של המודול, אנו מקבלים את מרווח הפתרונות
זכור: אם אתה מקבל שני מרווחים באי סדרים כאלה עם מודולים, הגובלים בנקודה משותפת, אז, ככלל, זה גם פתרון.
כדי לעשות זאת, אתה רק צריך לבדוק.
במקרה זה, נחליף את הנקודה x=-4.
אז x=-4 הוא הפתרון.
הרחב את המודול הפנימי עבור x>1
פונקציית תת-מודול היא שלילית עבור x<6.
הרחבת המודול, אנחנו מקבלים
מצב זה בקטע עם המרווח (1;6) נותן קבוצה ריקה של פתרונות.
עבור x>6 נקבל את אי השוויון
גם בפתרון קיבלנו סט ריק.
בהתחשב בכל האמור לעיל, הפתרון היחיד לאי השוויון עם מודולים יהיה המרווח הבא.
אי שוויון עם מודולים המכילים משוואות ריבועיות
דוגמה 4. מצא פתרון לאי השוויון
|x^2+3x|>=2-x^2 
פִּתָרוֹן:
פונקציית תת-המודול נעלמת בנקודות x=0, x=-3. על ידי החלפה פשוטה מינוס אחד 
קבענו שהוא קטן מאפס במרווח (-3; 0) וחיובי מעבר לו.
הרחב את המודול באזורים שבהם פונקציית תת המודול חיובית 
נותר לקבוע את השטחים שבהם הפונקציה הריבועית חיובית. לשם כך, אנו קובעים את השורשים של המשוואה הריבועית 
מטעמי נוחות, נחליף את הנקודה x=0, השייכת למרווח (-2;1/2). הפונקציה שלילית במרווח זה, ולכן הפתרון יהיה הקבוצות הבאות x 
כאן, סוגריים מציינים את הקצוות של האזורים עם פתרונות; זה נעשה בכוונה, תוך התחשבות בכלל הבא.
זכור: אם אי השוויון עם מודולים, או אי שוויון פשוט הוא קפדני, אז הקצוות של האזורים שנמצאו אינם פתרונות, אבל אם אי השוויון אינם נוקשים (), אז הקצוות הם פתרונות (מסומנים בסוגריים מרובעים).
כלל זה משמש מורים רבים: אם ניתן אי שוויון קפדני, ואתה כותב סוגריים מרובעים ([,]) בפתרון במהלך חישובים, הם יראו זאת אוטומטית כתשובה לא נכונה. כמו כן, בעת בדיקה, אם צוין אי שוויון לא קפדני עם מודולים, אז בין הפתרונות, חפש אזורים עם סוגריים מרובעים.
במרווח (-3; 0), בהרחבת המודול, אנו משנים את הסימן של הפונקציה להפך 
בהתחשב בהיקף חשיפת אי השוויון, הפתרון יקבל את הצורה
יחד עם האזור הקודם, זה ייתן שני חצאי מרווחים
דוגמה 5. מצא פתרון לאי השוויון
9x^2-|x-3|>=9x-2 
פִּתָרוֹן:
ניתן אי שוויון לא קפדני, שפונקציית תת המודול שלו שווה לאפס בנקודה x=3. בערכים קטנים יותר זה שלילי, בערכים גדולים יותר זה חיובי. אנו מרחיבים את המודול על המרווח x<3.
מציאת המבדיל של המשוואה
ושורשים 
בהחלפת נקודת האפס, נגלה שבמרווח [-1/9; 1] הפונקציה הריבועית שלילית, ולכן המרווח הוא פתרון. לאחר מכן, פתח את המודול עבור x>3 
היום, חברים, לא יהיו נזלת וסנטימנטים. במקום זאת, אשלח אותך לקרב עם אחד היריבים האדירים בקורס האלגברה של כיתות ח'-ט' ללא שאלות נוספות.
כן, הבנת הכל נכון: אנחנו מדברים על אי-שוויון עם מודולוס. נסתכל על ארבע טכניקות בסיסיות בעזרתן תלמדו לפתור כ-90% מהבעיות הללו. מה עם שאר 10%? ובכן, נדבר עליהם בשיעור נפרד. :)
עם זאת, לפני ניתוח הטריקים שם, אני רוצה להיזכר בשתי עובדות שאתה כבר צריך לדעת. אחרת, אתה מסתכן שלא תבין כלל את החומר של השיעור של היום.
מה שאתה כבר צריך לדעת
קפטן עדות, כביכול, רומזת שכדי לפתור אי שוויון עם מודולוס, אתה צריך לדעת שני דברים:
- איך פותרים אי שוויון?
- מהו מודול.
נתחיל מהנקודה השנייה.
הגדרת מודול
הכל פשוט כאן. ישנן שתי הגדרות: אלגברית וגרפית. נתחיל באלגברה:
הַגדָרָה. המודול של המספר $x$ הוא המספר עצמו, אם הוא לא שלילי, או המספר שממול לו, אם ה-$x$ המקורי עדיין שלילי.
זה כתוב כך:
\[\left| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]
במילים פשוטות, המודולוס הוא "מספר ללא מינוס". וזה נמצא בדואליות הזו (איפשהו לא צריך לעשות כלום עם המספר המקורי, אבל איפשהו צריך להסיר שם איזה מינוס) וכל הקושי לתלמידים מתחילים טמון.
יש גם הגדרה גיאומטרית. כדאי לדעת גם, אבל נתייחס אליו רק במקרים מורכבים וכמה מיוחדים, שבהם הגישה הגיאומטרית נוחה יותר מהאלגברית (ספוילר: לא היום).
הַגדָרָה. תנו לנקודה $a$ להיות מסומנת על הקו האמיתי. לאחר מכן המודול $\left| x-a \right|$ הוא המרחק מהנקודה $x$ לנקודה $a$ בקו זה.
אם אתה מצייר ציור, אתה מקבל משהו כזה:
הגדרת מודול גרפי כך או אחרת, מאפיין המפתח שלו נובע מיד מהגדרת המודול: המודולוס של מספר הוא תמיד ערך לא שלילי. עובדה זו תהיה חוט אדום שעובר בכל הסיפור שלנו היום.
פתרון אי השוויון. שיטת ריווח
עכשיו בואו נתמודד עם אי השוויון. יש הרבה מאוד מהם, אבל המשימה שלנו כעת היא להיות מסוגלים לפתור לפחות את הפשוטה שבהן. אלו שמצטמצמים לאי שוויון ליניאריים, כמו גם לשיטת המרווחים.
יש לי שני מדריכים גדולים בנושא זה (אגב, מאוד מאוד שימושי - אני ממליץ ללמוד):
- שיטת המרווחים לאי-שוויון (בעיקר צפו בסרטון);
- אי שוויון חלקי-רציונלי הוא שיעור רב עוצמה, אבל אחריו לא יישארו לך שאלות בכלל.
אם אתה יודע את כל זה, אם המשפט "בואו נעבור מאי שוויון למשוואה" לא גורם לך לרצות במעורפל להתאבד אל הקיר, אז אתה מוכן: ברוכים הבאים לעזאזל לנושא המרכזי של השיעור. :)
1. אי שוויון בצורת "מודול פחות מפונקציה"
זוהי אחת המשימות הנפוצות ביותר עם מודולים. זה נדרש לפתור אי שוויון של הצורה:
\[\left| f\right| \ltg\]
כל דבר יכול לפעול כפונקציות $f$ ו-$g$, אבל בדרך כלל הם פולינומים. דוגמאות לאי שוויון כאלה:
\[\begin(align) & \left| 2x+3\ימין| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]
כולם נפתרים ממש בשורה אחת לפי הסכימה:
\[\left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \ימין ימין)\]
קל לראות שאנחנו נפטרים מהמודול, אבל במקום זה נקבל אי-שוויון כפול (או, שזה אותו דבר, מערכת של שני אי-שוויון). אבל המעבר הזה לוקח בחשבון לחלוטין את כל הבעיות האפשריות: אם המספר מתחת למודול הוא חיובי, השיטה עובדת; אם שלילי, זה עדיין עובד; ואפילו עם הפונקציה הכי לא מספקת במקום $f$ או $g$, השיטה עדיין תעבוד.
מטבע הדברים נשאלת השאלה: האם זה לא קל יותר? למרבה הצער, אתה לא יכול. זה כל הפואנטה של המודול.
אבל די להתפלספות. בואו נפתור כמה בעיות:
מְשִׁימָה. לפתור את אי השוויון:
\[\left| 2x+3\ימין| \ltx+7\]
פִּתָרוֹן. אז יש לנו אי שוויון קלאסי בצורה "המודול הוא פחות מ" - אין אפילו מה לשנות. אנו עובדים לפי האלגוריתם:
\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\ימין| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]
אל תמהרו לפתוח את הסוגריים שלפניהם "מינוס": בהחלט ייתכן שבגלל החיפזון תעשו טעות פוגענית.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
הבעיה צומצמה לשני אי-שוויון אלמנטרי. אנו מציינים את הפתרונות שלהם על קווים אמיתיים מקבילים:
צומת של רבים
ההצטלבות של קבוצות אלה תהיה התשובה.
תשובה: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
מְשִׁימָה. לפתור את אי השוויון:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]
פִּתָרוֹן. המשימה הזו קצת יותר קשה. מלכתחילה, אנו מבודדים את המודול על ידי הזזת המונח השני ימינה:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]
ברור, שוב יש לנו אי שוויון בצורה "המודול הוא פחות", אז אנחנו נפטרים מהמודול לפי האלגוריתם הידוע כבר:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
עכשיו שימו לב: מישהו יגיד שאני קצת סוטה עם כל הסוגריים האלה. אבל שוב אני מזכיר לך שהמטרה המרכזית שלנו היא לפתור נכון את אי השוויון ולקבל את התשובה. מאוחר יותר, כאשר שלטת בצורה מושלמת בכל מה שמתואר בשיעור זה, אתה יכול לסלף את עצמך כרצונך: לפתוח סוגריים, להוסיף מינוסים וכו'.
בתור התחלה, אנחנו פשוט נפטרים מהמינוס הכפול בצד שמאל:
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1\right)\]
עכשיו בואו נפתח את כל הסוגריים באי השוויון הכפול:
בואו נעבור לאי-שוויון כפול. הפעם החישובים יהיו רציניים יותר:
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( ליישור מימין.\]
שני אי השוויון הם מרובעים ונפתרים בשיטת האינטרוול (בגלל זה אני אומר: אם אתה לא יודע מה זה, עדיף לא לקחת מודולים עדיין). נעבור למשוואה באי השוויון הראשון:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]
כפי שאתה יכול לראות, הפלט התברר כמשוואה ריבועית לא שלמה, שנפתרת באופן יסודי. כעת נעסוק באי השוויון השני של המערכת. שם אתה צריך ליישם את המשפט של Vieta:
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]
נסמן את המספרים שהתקבלו בשני קווים מקבילים (מופרדים לאי השוויון הראשון ומפרידים לשני):
שוב, מכיוון שאנו פותרים מערכת של אי-שוויון, אנו מעוניינים במפגש בין הקבוצות המוצללות: $x\in \left(-5;-2 \right)$. זו התשובה.
תשובה: $x\in \left(-5;-2 \right)$
אני חושב שאחרי הדוגמאות האלה סכימת הפתרון ברורה מאוד:
- לבודד את המודול על ידי הזזת כל שאר האיברים לצד הנגדי של אי השוויון. כך נקבל אי שוויון בצורה $\left| f\right| \ltg$.
- פתור את אי השוויון על ידי היפטרות מהמודול כמתואר לעיל. בשלב מסוים יהיה צורך לעבור מאי שוויון כפול למערכת של שני ביטויים עצמאיים, שכל אחד מהם כבר יכול להיפתר בנפרד.
- לבסוף, נותר רק לחצות את הפתרונות של שני הביטויים העצמאיים הללו – וזהו, נקבל את התשובה הסופית.
אלגוריתם דומה קיים לאי-שוויון מהסוג הבא, כאשר המודולוס גדול מהפונקציה. עם זאת, יש כמה "אבלים" רציניים. נדבר על ה"אבל" האלה עכשיו.
2. אי שוויון בצורה "המודול גדול מהפונקציה"
הם נראים כך:
\[\left| f\right| \gt g\]
דומה לקודם? נראה ש. עם זאת, משימות כאלה נפתרות בצורה שונה לחלוטין. פורמלית, התוכנית היא כדלקמן:
\[\left| f\right| \gt g\rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]
במילים אחרות, אנו שוקלים שני מקרים:
- ראשית, אנו פשוט מתעלמים מהמודול - אנו פותרים את אי השוויון הרגיל;
- ואז, למעשה, נפתח את המודול עם סימן המינוס, ואז נכפיל את שני חלקי אי השוויון ב-1, עם סימן.
במקרה זה, האפשרויות משולבות עם סוגר מרובע, כלומר. יש לנו שילוב של שתי דרישות.
שימו לב שוב: לפנינו לא מערכת, אלא אגרגט, לכן בתשובה, הקבוצות משולבות, לא מצטלבות. זהו הבדל מהותי מהפסקה הקודמת!
באופן כללי, לסטודנטים רבים יש הרבה בלבול עם איגודים וצמתים, אז הבה נבחן את הנושא הזה אחת ולתמיד:
- "∪" הוא סימן שרשור. למעשה מדובר באות מסוג "U", שהגיעה אלינו מהשפה האנגלית והיא קיצור של "Union", כלומר. "אגודות".
- "∩" הוא סימן הצומת. הזבל הזה לא בא משום מקום, אלא רק הופיע כהתנגדות ל"∪".
כדי להקל עוד יותר על הזיכרון, פשוט הוסף רגליים לסימנים האלה כדי ליצור משקפיים (רק אל תאשים אותי בקידום התמכרות לסמים ואלכוהוליזם עכשיו: אם אתה לומד ברצינות את השיעור הזה, אז אתה כבר מכור לסמים):
הבדל בין צומת ואיחוד של קבוצות בתרגום לרוסית, משמעות הדבר היא הבאה: האיחוד (האוסף) כולל אלמנטים משתי הקבוצות, לכן, לא פחות מכל אחד מהם; אבל הצומת (מערכת) כוללת רק את האלמנטים שנמצאים גם בקבוצה הראשונה וגם בשנייה. לכן, מפגש הקבוצות לעולם אינו גדול מקבוצות המקור.
אז זה נעשה ברור יותר? זה מעולה. בואו נעבור לתרגול.
מְשִׁימָה. לפתור את אי השוויון:
\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]
פִּתָרוֹן. אנו פועלים לפי התכנית:
\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ ימין.\]
אנו פותרים כל אי שוויון באוכלוסיה:
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]
אנו מסמנים כל קבוצה שנוצרה על קו המספרים, ולאחר מכן משלבים אותם:
איחוד סטים
ברור שהתשובה היא $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
תשובה: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
מְשִׁימָה. לפתור את אי השוויון:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]
פִּתָרוֹן. נו? לא, הכל אותו דבר. אנו עוברים מאי-שוויון עם מודולוס לקבוצה של שני אי-שוויון:
\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]
אנחנו פותרים כל אי שוויון. למרבה הצער, השורשים לא יהיו טובים שם:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]
באי השוויון השני, יש גם קצת משחק:
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]
כעת עלינו לסמן את המספרים הללו על שני צירים - ציר אחד לכל אי שוויון. עם זאת, עליך לסמן את הנקודות בסדר הנכון: ככל שהמספר גדול יותר, הנקודה זזה ימינה יותר.
והנה אנחנו מחכים להגדרה. אם הכל ברור עם המספרים $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (המונחים במונה של הראשון השבר קטן מהאיברים במונה של השני, כך שגם הסכום קטן יותר), עם המספרים $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ גם לא יהיה קושי (מספר חיובי כמובן שלילי יותר), אבל עם הזוג האחרון, הכל לא כל כך פשוט. מה גדול יותר: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ או $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? סידור הנקודות על קווי המספרים ולמעשה התשובה תהיה תלויה בתשובה לשאלה זו.
אז בואו נשווה:
\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]
בודדנו את השורש, קיבלנו מספרים לא שליליים משני הצדדים של אי השוויון, אז יש לנו את הזכות לריבוע את שני הצדדים:
\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]
אני חושב שזה לא פשוט ש$4\sqrt(13) \gt 3$, אז $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, לבסוף הנקודות על הצירים יהיו מסודרות כך:
מקרה של שורשים מכוערים
הרשו לי להזכיר לכם שאנו פותרים קבוצה, ולכן התשובה תהיה האיחוד, ולא המפגש בין הקבוצות המוצללות.
תשובה: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$
כפי שאתה יכול לראות, התוכנית שלנו עובדת מצוין הן למשימות פשוטות והן למשימות קשות מאוד. "נקודת התורפה" היחידה בגישה הזו היא שצריך להשוות נכון בין מספרים אי-רציונליים (ותאמינו לי: אלה לא רק שורשים). אבל שיעור נפרד (ורציני מאוד) יוקדש לשאלות של השוואה. ואנחנו ממשיכים הלאה.
3. אי שוויון עם "זנבות" לא שליליים
אז הגענו למעניין ביותר. אלו הם אי השוויון של הצורה:
\[\left| f\right| \gt\left| g\right|\]
באופן כללי, האלגוריתם שעליו נדבר כעת נכון רק למודול. זה עובד בכל אי השוויון שבהם מובטחים ביטויים לא שליליים משמאל ומימין:
מה לעשות עם המשימות האלה? רק תזכור:
באי שוויון עם זנבות לא שליליים, ניתן להעלות את שני הצדדים לכל כוח טבעי. לא יהיו הגבלות נוספות.
קודם כל, נהיה מעוניינים בריבוע - זה שורף מודולים ושורשים:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]
רק אל תבלבלו את זה עם נטילת שורש הריבוע:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]
אינספור טעויות נעשו כאשר סטודנט שכח להתקין מודול! אבל זה סיפור אחר לגמרי (אלה, כביכול, משוואות לא רציונליות), אז לא ניכנס לזה עכשיו. טוב יותר נפתור כמה בעיות:
מְשִׁימָה. לפתור את אי השוויון:
\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]
פִּתָרוֹן. אנו שמים לב מיד לשני דברים:
- זה אי שוויון לא קפדני. נקודות על שורת המספרים ינוקבו.
- שני הצדדים של אי השוויון הם כמובן לא שליליים (זוהי תכונה של המודול: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
לכן, נוכל לריבוע את שני הצדדים של אי השוויון כדי להיפטר מהמודול ולפתור את הבעיה בשיטת המרווחים הרגילה:
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]
בשלב האחרון, רימיתי מעט: שיניתי את רצף האיברים, תוך שימוש בשוויון של המודולוס (למעשה, הכפלתי את הביטוי $1-2x$ ב-1).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ימין)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
אנו פותרים בשיטת המרווחים. בואו נעבור מאי שוויון למשוואה:
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]
אנו מסמנים את השורשים שנמצאו על קו המספרים. שוב: כל הנקודות מוצללות כי אי השוויון המקורי אינו קפדני!
היפטרות מהסימן של המודול
הרשו לי להזכיר לכם לעקשנים במיוחד: אנחנו לוקחים את הסימנים מאי השוויון האחרון, שנכתב לפני המעבר למשוואה. ואנחנו מציירים על השטחים הנדרשים באותו אי שוויון. במקרה שלנו, זהו $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.
בסדר הכל נגמר עכשיו. הבעיה נפתרה.
תשובה: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
מְשִׁימָה. לפתור את אי השוויון:
\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]
פִּתָרוֹן. אנחנו עושים הכל אותו דבר. אני לא אתייחס - רק תסתכל על רצף הפעולות.
בוא נסייר את זה:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ מימין))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
שיטת ריווח:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ חץ ימינה x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]
יש רק שורש אחד על קו המספרים:
התשובה היא מגוון שלם
תשובה: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.
הערה קטנה לגבי המשימה האחרונה. כפי שאחד התלמידים שלי ציין במדויק, שני הביטויים של תת-מודולים באי-שוויון זה הם כמובן חיוביים, כך שניתן להשמיט את סימן המודול ללא פגיעה בבריאות.
אבל זו כבר רמת חשיבה אחרת לגמרי וגישה אחרת – אפשר לקרוא לה בתנאי שיטת ההשלכות. עליו - בשיעור נפרד. ועכשיו בואו נעבור לחלק האחרון של השיעור של היום ונחשוב על אלגוריתם אוניברסלי שתמיד עובד. גם כשכל הגישות הקודמות היו חסרות אונים. :)
4. שיטת ספירת האפשרויות
מה אם כל הטריקים האלה לא יעבדו? אם אי השוויון לא יצטמצם לזנבות לא שליליים, אם אי אפשר לבודד את המודול, אם בכלל כאב-עצב-געגוע?
ואז נכנסת לזירה ה"ארטילריה הכבדה" של כל המתמטיקה - שיטת הספירה. לגבי אי שוויון עם המודולוס, זה נראה כך:
- כתוב את כל ביטויי תת-מודול והשווי אותם לאפס;
- פתרו את המשוואות שהתקבלו וסמנו את השורשים שנמצאו על קו מספר אחד;
- הקו הישר יחולק למספר חלקים, שבתוכם לכל מודול יש סימן קבוע ולכן מתרחב באופן חד משמעי;
- פתרו את אי השוויון בכל סעיף כזה (תוכלו לשקול בנפרד את שורשי הגבול שהתקבלו בפסקה 2 - לצורך מהימנות). שלבו את התוצאות - זו תהיה התשובה. :)
ובכן איך? חלש? בְּקַלוּת! רק להרבה זמן. בוא נראה בפועל:
מְשִׁימָה. לפתור את אי השוויון:
\[\left| x+2 \right| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
פִּתָרוֹן. הזבל הזה לא מסתכם באי-שוויון כמו $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ או $\left| f\right| \lt\left| g \right|$, אז בואו נמשיך.
אנו כותבים ביטויי תת-מודול, משווים אותם לאפס ומוצאים את השורשים:
\[\begin(align) & x+2=0\rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\חץ ימינה x=1. \\\end(align)\]
בסך הכל, יש לנו שני שורשים המחלקים את קו המספרים לשלושה חלקים, שבתוכם כל מודול מתגלה באופן ייחודי:
פיצול קו המספרים באפסים של פונקציות תת-מודולריות
הבה נשקול כל סעיף בנפרד.
1. תן $x \lt -2$. אז שני הביטויים של תת-מודולים הם שליליים, ואי השוויון המקורי נכתב מחדש באופן הבא:
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]
קיבלנו אילוץ די פשוט. בואו נחתוך אותו עם ההנחה המקורית ש$x \lt -2$:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
ברור שהמשתנה $x$ לא יכול להיות בו-זמנית פחות מ-2 אלא גדול מ-1.5. אין פתרונות בתחום הזה.
1.1. הבה נבחן בנפרד את מקרה הגבול: $x=-2$. בואו פשוט נחליף את המספר הזה באי השוויון המקורי ונבדוק: האם הוא מתקיים?
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]
ברור ששרשרת החישובים הובילה אותנו לאי השוויון השגוי. לכן, גם אי השוויון המקורי שקרי, ו-$x=-2$ לא נכלל בתשובה.
2. כעת תן $-2 \lt x \lt 1$. המודול השמאלי כבר ייפתח עם "פלוס", אבל הימני עדיין עם "מינוס". יש לנו:
\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]
שוב אנו מצטלבים עם הדרישה המקורית:
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\rightarrow x\in \varnothing \]
ושוב, קבוצת הפתרונות הריקה, שכן אין מספרים שהם גם קטנים מ-2.5 וגם גדולים מ-2.
2.1. ושוב מקרה מיוחד: $x=1$. אנו מחליפים לאי השוויון המקורי:
\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\ימין| \lt\left| 0 \right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]
בדומה ל"מקרה המיוחד" הקודם, המספר $x=1$ ברור שלא נכלל בתשובה.
3. החלק האחרון בשורה: $x \gt 1$. כאן כל המודולים מורחבים עם סימן פלוס:
\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]
ושוב אנו חותכים את הסט שנמצא עם האילוץ המקורי:
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4,5;+\infty \ימין)\]
סוף כל סוף! מצאנו את המרווח, שתהיה התשובה.
תשובה: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
לבסוף, הערה אחת שעשויה להציל אותך מטעויות מטופשות בעת פתרון בעיות אמיתיות:
פתרונות של אי שוויון עם מודולים הם בדרך כלל קבוצות רציפות על קו המספרים - מרווחים ומקטעים. נקודות בודדות הן הרבה יותר נדירות. ולעתים רחוקות אף יותר, קורה שגבולות הפתרון (סוף הקטע) עולים בקנה אחד עם גבול הטווח הנדון.
לכן, אם הגבולות (אותם "מקרים מיוחדים") לא כלולים בתשובה, אזי גם האזורים שמשמאל לימין של גבולות אלה לא ייכללו בתשובה. ולהיפך: הגבול נכנס בתגובה, מה שאומר שחלק מהאזורים סביבו יהיו גם תגובות.
זכור זאת כאשר אתה בודק את הפתרונות שלך.
מספר מודולומספר זה עצמו נקרא אם הוא לא שלילי, או אותו מספר עם הסימן ההפוך אם הוא שלילי.
לדוגמה, המודולוס של 6 הוא 6, והמודלוס של -6 הוא גם 6.
כלומר, מודולוס של מספר מובן כערך מוחלט, הערך המוחלט של מספר זה מבלי לקחת בחשבון את הסימן שלו.
מסומן כדלקמן: |6|, | איקס|, |א| וכו '
(לפרטים נוספים, עיין בסעיף "מודול מספר").
משוואות מודולו.
דוגמה 1 . פתור את המשוואה|10 איקס - 5| = 15.
פִּתָרוֹן.
בהתאם לכלל, המשוואה שווה ערך לשילוב של שתי משוואות:
10איקס - 5 = 15
10איקס - 5 = -15
אנחנו מחליטים:
10איקס = 15 + 5 = 20
10איקס = -15 + 5 = -10
איקס = 20: 10
איקס = -10: 10
איקס = 2
איקס = -1
תשובה: איקס 1 = 2, איקס 2 = -1.
דוגמה 2 . פתור את המשוואה|2 איקס + 1| = איקס + 2.
פִּתָרוֹן.
מכיוון שהמודלוס הוא מספר לא שלילי, אז איקס+ 2 ≥ 0. בהתאם:
איקס ≥ -2.
אנחנו עושים שתי משוואות:
2איקס + 1 = איקס + 2
2איקס + 1 = -(איקס + 2)
אנחנו מחליטים:
2איקס + 1 = איקס + 2
2איקס + 1 = -איקס - 2
2איקס - איקס = 2 - 1
2איקס + איקס = -2 - 1
איקס = 1
איקס = -1
שני המספרים גדולים מ-2. אז שניהם שורשי המשוואה.
תשובה: איקס 1 = -1, איקס 2 = 1.
דוגמה 3
. פתור את המשוואה
|איקס + 3| - 1
————— = 4
איקס - 1
פִּתָרוֹן.
המשוואה הגיונית אם המכנה אינו שווה לאפס - אז אם איקס≠ 1. בואו ניקח בחשבון את התנאי הזה. הפעולה הראשונה שלנו היא פשוטה - אנחנו לא רק נפטרים מהשבר, אלא אנחנו הופכים אותו בצורה כזו שנקבל את המודול בצורתו הטהורה ביותר:
|איקס+ 3| - 1 = 4 ( איקס - 1),
|איקס + 3| - 1 = 4איקס - 4,
|איקס + 3| = 4איקס - 4 + 1,
|איקס + 3| = 4איקס - 3.
כעת יש לנו רק את הביטוי מתחת למודולוס בצד שמאל של המשוואה. לך על זה.
המודולוס של מספר הוא מספר לא שלילי - כלומר עליו להיות גדול או שווה לאפס. בהתאם לכך, אנו פותרים את אי השוויון:
4איקס - 3 ≥ 0
4איקס ≥ 3
איקס ≥ 3/4
לפיכך, יש לנו תנאי שני: שורש המשוואה חייב להיות לפחות 3/4.
בהתאם לכלל, אנו מרכיבים קבוצה של שתי משוואות ונפתור אותן:
איקס + 3 = 4איקס - 3
איקס + 3 = -(4איקס - 3)
איקס + 3 = 4איקס - 3
איקס + 3 = -4איקס + 3
איקס - 4איקס = -3 - 3
איקס + 4איקס = 3 - 3
איקס = 2
איקס = 0
קיבלנו שתי תגובות. בואו נבדוק אם הם שורשי המשוואה המקורית.
היו לנו שני תנאים: שורש המשוואה לא יכול להיות שווה ל-1, והוא חייב להיות לפחות 3/4. זה איקס ≠ 1, איקס≥ 3/4. שני התנאים הללו מתאימים רק לאחת משתי התשובות שהתקבלו - המספר 2. מכאן שרק הוא השורש של המשוואה המקורית.
תשובה: איקס = 2.
אי שוויון עם המודולוס.
דוגמה 1 . לפתור את אי השוויון| איקס - 3| < 4
פִּתָרוֹן.
כלל המודול אומר:
|א| = א, אם א ≥ 0.
|א| = -א, אם א < 0.
למודולוס יכול להיות גם מספר לא שלילי וגם מספר שלילי. אז עלינו לשקול את שני המקרים: איקס- 3 ≥ 0 ו איקס - 3 < 0.
1) מתי איקס- 3 ≥ 0 אי השוויון המקורי שלנו נשאר כפי שהוא, רק ללא סימן המודולו:
איקס - 3 < 4.
2) מתי איקס - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:
-(איקס - 3) < 4.
פתיחת הסוגריים, נקבל:
-איקס + 3 < 4.
לפיכך, משני התנאים הללו, הגענו לאיחוד של שתי מערכות של אי-שוויון:
איקס - 3 ≥ 0
איקס - 3 < 4
איקס - 3 < 0
-איקס + 3 < 4
בואו נפתור אותם:
איקס ≥ 3
איקס < 7
איקס < 3
איקס > -1
אז, בתשובה שלנו יש לנו את האיחוד של שתי קבוצות:
3 ≤ איקס < 7 U -1 < איקס < 3.
קבע את הערכים הקטנים והגדולים ביותר. אלה הם -1 ו -7. באותו זמן איקסגדול מ-1 אך פחות מ-7.
חוץ מזה, איקס≥ 3. לפיכך, הפתרון לאי השוויון הוא כל קבוצת המספרים מ-1 עד 7, למעט מספרים קיצוניים אלו.
תשובה: -1 < איקס < 7.
אוֹ: איקס ∈ (-1; 7).
תוספות.
1) יש דרך פשוטה וקצרה יותר לפתור את אי השוויון שלנו - גרפית. לשם כך, צייר ציר אופקי (איור 1).
ביטוי | איקס - 3| < 4 означает, что расстояние от точки איקסלנקודה 3 פחות מארבע יחידות. אנו מסמנים את המספר 3 על הציר וסופרים 4 חלוקות משמאל ומימין לו. משמאל נגיע לנקודה -1, מימין - לנקודה 7. כך, הנקודות איקסרק ראינו בלי לחשב אותם.
יתרה מכך, לפי תנאי אי השוויון, -1 ו-7 עצמם אינם כלולים במכלול הפתרונות. כך, אנו מקבלים את התשובה:
1 < איקס < 7.
2) אבל יש פתרון אחר שהוא אפילו יותר פשוט מהדרך הגרפית. לשם כך, יש להציג את אי השוויון שלנו בצורה הבאה:
4 < איקס - 3 < 4.
הרי ככה זה לפי כלל המודול. המספר הלא שלילי 4 והמספר השלילי הדומה -4 הם גבולות הפתרון לאי השוויון.
4 + 3 < איקס < 4 + 3
1 < איקס < 7.
דוגמה 2 . לפתור את אי השוויון| איקס - 2| ≥ 5
פִּתָרוֹן.
דוגמה זו שונה משמעותית מהקודמת. הצד השמאלי גדול מ-5 או שווה ל-5. מנקודת מבט גיאומטרית, הפתרון לאי-השוויון הוא כל המספרים שנמצאים במרחק של 5 יחידות או יותר מנקודה 2 (איור 2). הגרף מראה שכל אלו הם מספרים שקטנים או שווים ל-3 וגדולים או שווים ל-7. אז, כבר קיבלנו את התשובה.
תשובה: -3 ≥ איקס ≥ 7.
על הדרך, אנו פותרים את אותו אי-שוויון על ידי ארגון מחדש של המונח החופשי ימינה ושמאלה עם הסימן ההפוך:
5 ≥ איקס - 2 ≥ 5
5 + 2 ≥ איקס ≥ 5 + 2
התשובה זהה: -3 ≥ איקס ≥ 7.
אוֹ: איקס ∈ [-3; 7]
דוגמה נפתרה.
דוגמה 3 . לפתור את אי השוויון 6 איקס 2 - | איקס| - 2 ≤ 0
פִּתָרוֹן.
מספר איקסיכול להיות חיובי, שלילי או אפס. לכן, עלינו לקחת בחשבון את שלושת הנסיבות. כפי שאתה יודע, הם נלקחים בחשבון בשני אי שוויון: איקס≥ 0 ו איקס < 0. При איקס≥ 0, אנו פשוט כותבים מחדש את אי השוויון המקורי שלנו כפי שהוא, רק ללא סימן המודולו:
6x2 - איקס - 2 ≤ 0.
עכשיו למקרה השני: אם איקס < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6איקס 2 - (-איקס) - 2 ≤ 0.
הרחבת הסוגריים:
6איקס 2 + איקס - 2 ≤ 0.
לפיכך, קיבלנו שתי מערכות משוואות:
6איקס 2 - איקס - 2 ≤ 0
איקס ≥ 0
6איקס 2 + איקס - 2 ≤ 0
איקס < 0
אנחנו צריכים לפתור אי-שוויון במערכות - מה שאומר שאנחנו צריכים למצוא את השורשים של שתי משוואות ריבועיות. לשם כך, נשווה את הצדדים השמאליים של אי השוויון לאפס.
נתחיל עם הראשון:
6איקס 2 - איקס - 2 = 0.
איך פותרים משוואה ריבועית - עיין בסעיף "משוואה ריבועית". מיד נמנה את התשובה:
איקס 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.
ממערכת האי-שוויון הראשונה, נקבל שהפתרון לאי-השוויון המקורי הוא כל קבוצת המספרים מ-1/2 עד 2/3. אנחנו כותבים את איחוד הפתרונות עבור איקס ≥ 0:
[-1/2; 2/3].
כעת נפתור את המשוואה הריבועית השנייה:
6איקס 2 + איקס - 2 = 0.
השורשים שלו:
איקס 1 = -2/3, איקס 2 = 1/2.
מסקנה: מתי איקס < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
נשלב את שתי התשובות ונקבל את התשובה הסופית: הפתרון הוא כל קבוצת המספרים מ-2/3 עד 2/3, כולל המספרים הקיצוניים הללו.
תשובה: -2/3 ≤ איקס ≤ 2/3.
אוֹ: איקס ∈ [-2/3; 2/3].
ישנן מספר דרכים לפתור אי שוויון המכילים מודולוס. בואו נשקול כמה מהם.
1) פתרון אי השוויון באמצעות התכונה הגיאומטרית של המודול.
הרשו לי להזכיר לכם מהי התכונה הגיאומטרית של המודול: המודול של המספר x הוא המרחק מהמקור לנקודה עם הקואורדינטה x.
במהלך פתרון אי השוויון בדרך זו, עשויים להופיע 2 מקרים:
1. |x| ≤ ב, 
ואי השוויון עם מודולוס כמובן מצטמצם למערכת של שני אי שוויון. כאן השלט יכול להיות קפדני, ובמקרה זה הנקודות בתמונה יהיו "מחוררות".
2. |x| ≥ ב,אז התמונה של הפתרון נראית כך:
ואי השוויון עם המודולוס מצטמצם כמובן לקבוצת שני אי השוויון. כאן השלט יכול להיות קפדני, ובמקרה זה הנקודות בתמונה יהיו "מחוררות".
דוגמה 1
פתור את אי השוויון |4 – |x|| ≥ 3.
פִּתָרוֹן.
אי שוויון זה שווה ערך לקבוצה הבאה:
U [-1;1] U
דוגמה 2
פתור את אי השוויון ||x+2| – 3| ≤ 2.
פִּתָרוֹן.
אי שוויון זה שווה ערך למערכת הבאה.
(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.
אנו פותרים בנפרד את אי השוויון הראשון של המערכת. זה שווה ערך לסט הבא:
U[-1; 3].
2) פתרון אי שוויון באמצעות הגדרת המודול.
תן לי להזכיר לך להתחיל הגדרת מודול.
|א| = א אם א ≥ 0 ו-|a| = -a אם א< 0.
לדוגמה, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
דוגמה 1
פתור את אי השוויון 3|x – 1| ≤ x + 3.
פִּתָרוֹן.
באמצעות הגדרת המודול, אנו מקבלים שתי מערכות:
(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3
(x - 1< 0
(-3(x - 1) ≤ x + 3.
פתרון המערכת הראשונה והשנייה בנפרד, אנו מקבלים:
(x ≥ 1
(x ≤ 3,
(איקס< 1
(x ≥ 0.
הפתרון לאי השוויון המקורי יהיו כל הפתרונות של המערכת הראשונה וכל הפתרונות של המערכת השנייה.
תשובה: x€.
3) פתרון אי שוויון על ידי ריבוע.
דוגמה 1
פתור את אי השוויון |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.
פִּתָרוֹן.
בוא נרבוע את שני הצדדים של אי השוויון. אני מציין שריבוע שני הצדדים של אי השוויון אפשרי רק אם שניהם חיוביים. במקרה זה, יש לנו מודולים משמאל ומימין, כך שנוכל לעשות זאת.
(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .
כעת נשתמש במאפיין המודול הבא: (|x|) 2 = x 2 .
(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.
(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,
(x - 2)(2x 2 - x)< 0,
x(x - 2)(2x - 1)< 0.
אנו פותרים בשיטת המרווחים.
תשובה: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) פתרון אי שוויון בשיטת שינוי המשתנים.
דוגמא.
פתור את אי השוויון (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
פִּתָרוֹן.
שימו לב ש-(2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . ואז נקבל את אי השוויון
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
בוא נעשה את השינוי y = |2x + 3|.
הבה נכתוב מחדש את אי השוויון שלנו תוך התחשבות בהחלפה.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
אנו מפרקים את הטרינום המרובע משמאל.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1 - 11) / 2,
(y - 6)(y + 5) ≤ 0.
אנו פותרים בשיטת המרווחים ומקבלים:
חזרה להחלפה:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
אי-השוויון הכפול הזה שווה ערך למערכת האי-שוויון:
(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.
אנחנו פותרים כל אחד מאי השוויון בנפרד.
הראשון שווה ערך למערכת
(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.
בואו נפתור את זה.
(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.
אי השוויון השני מתקיים כמובן עבור כל x, שכן המודולוס הוא, בהגדרה, מספר חיובי. כיוון שהפתרון של המערכת הוא כל x המקיימים בו זמנית את אי השוויון הראשון והשני של המערכת, אזי הפתרון של המערכת המקורית יהיה הפתרון של אי השוויון הכפול הראשון שלה (אחרי הכל, השני נכון לכל x).
תשובה: x € [-4.5; 1.5].
blog.site, עם העתקה מלאה או חלקית של החומר, נדרש קישור למקור.