למעשה, סיפור החלוקה באפס רדף את ממציאיו (א). אבל ההודים הם פילוסופים שרגילים לבעיות מופשטות. מה זה אומר לחלק בתשחץ ? עבור האירופאים של אז, שאלה כזו לא הייתה קיימת כלל, שכן הם לא ידעו על אפס או מספרים שליליים (שנמצאים משמאל לאפס בסולם).
בהודו, הפחתת גדול מקטן וקבלת מספר שלילי לא הייתה בעיה. אחרי הכל, מה המשמעות של 3-5 \u003d -2 בחיים הרגילים? זה אומר שמישהו היה חייב למישהו 2. מספרים שליליים נקראו חובות.
עכשיו בואו נעסוק באותה פשוטות בסוגיית החלוקה באפס. עוד בשנת 598 לספירה (רק תחשוב על לפני כמה זמן, לפני יותר מ-1400 שנה!) בהודו נולד המתמטיקאי ברהמגופטה, שגם תהה לחלק באפס.
הוא הציע שאם ניקח לימון ונתחיל לחתוך אותו לחתיכות, במוקדם או במאוחר נגיע לכך שהפרוסות יהיו קטנות מאוד. בדמיון, אנו יכולים להגיע לנקודה שבה הקטעים הופכים לשווים לאפס. אז, השאלה היא, אם מחלקים לימון לא ל-2, 4 או 10 חלקים, אלא למספר אינסופי של חלקים, מה גודל הפרוסות?
תקבלו מספר אינסופי של "אפס פרוסות". הכל די פשוט, אנחנו חותכים את הלימון דק מאוד, אנחנו מקבלים שלולית עם מספר אינסופי של חלקים.
אבל אם אתה לוקח את המתמטיקה, זה יוצא איכשהו לא הגיוני
a*0=0? מה אם b*0=0? אז: a*0=b*0. ומכאן: א=ב. כלומר, כל מספר שווה לכל מספר. אי הנכונות הראשונה של חלוקה באפס, בואו נמשיך הלאה. במתמטיקה, החלוקה נחשבת להיפוך של הכפל.
זה אומר שאם נחלק 4 ב-2, עלינו למצוא את המספר שכאשר מכפילים אותו ב-2 ייתן 4. לחלק 4 באפס - אתה צריך למצוא מספר שכאשר מוכפל באפס, ייתן 4. כלומר, x * 0 \u003d 4? אבל x*0=0! שוב מזל רע. אז אנחנו שואלים: "כמה אפסים אתה צריך לקחת כדי לקבל 4?"
אינסוף? מספר אינסופי של אפסים עדיין יצטבר לאפס.
וחלוקה של 0 ב-0 בדרך כלל נותנת אי ודאות, כי 0 * x \u003d 0, כאשר x הוא משהו בכלל. כלומר, יש אינסוף פתרונות.
לא הגיוני ומופשט פעולות אפס אינן מותרות בגבולות הצרים של האלגברה, ליתר דיוק זוהי פעולה בלתי מוגדרת. היא צריכה מכשיר.יותר רציני - מתמטיקה גבוהה יותר. אז בדרך כלשהי אתה לא יכול לחלק באפס, אבל אם אתה באמת רוצה, אז אתה יכול לחלק באפס, אבל אתה צריך להיות מוכן להבין דברים כמו פונקציית הדלתא של דיראק ודברים אחרים שקשה להבין. שתפו לבריאות.
לעתים קרובות, אנשים רבים תוהים מדוע אי אפשר להשתמש בחלוקה באפס? במאמר זה, נפרט מאיפה כלל זה הגיע, כמו גם אילו פעולות ניתן לבצע עם אפס.
בקשר עם
אפשר לקרוא לאפס אחד המספרים המעניינים ביותר. למספר הזה אין משמעות, זה אומר ריקנות במובן האמיתי של המילה. עם זאת, אם אתה שם אפס ליד ספרה כלשהי, אז הערך של ספרה זו יגדל פי כמה.
המספר מאוד מסתורי בפני עצמו. הוא שימש את אנשי המאיה הקדומים. עבור המאיה, אפס פירושו "התחלה", וגם הספירה לאחור של הימים הקלנדריים התחילה מאפס.
עובדה מעניינת מאוד היא שסימן האפס וסימן אי הוודאות היו דומים עבורם. בכך רצו בני המאיה להראות שאפס הוא אותו סימן זהה לאי ודאות. באירופה, הכינוי של אפס הופיע לאחרונה יחסית.
כמו כן, אנשים רבים מכירים את האיסור הקשור באפס. כל אדם יגיד את זה לא ניתן לחלק באפס. את זה אומרים מורים בבית הספר, וילדים בדרך כלל מקבלים את המילה שלהם. בדרך כלל, ילדים פשוט לא מעוניינים לדעת זאת, או שהם יודעים מה יקרה אם, לשמע איסור חשוב, הם ישאלו מיד "למה אתה לא יכול לחלק באפס?". אבל כשמתבגרים מתעוררת העניין, ואתה רוצה לדעת יותר על הסיבות לאיסור כזה. עם זאת, יש ראיות הגיוניות.
פעולות עם אפס
ראשית עליך לקבוע אילו פעולות ניתן לבצע עם אפס. קיים מספר סוגי פעילויות:
- חיבור;
- כֶּפֶל;
- חִסוּר;
- חלוקה (אפס במספר);
- אקספוננציה.
חָשׁוּב!אם יתווסף אפס למספר כלשהו במהלך החיבור, אז המספר הזה יישאר זהה ולא ישנה את ערכו המספרי. אותו דבר קורה אם מחסירים אפס מכל מספר.
עם כפל וחילוק, הדברים קצת שונים. אם להכפיל כל מספר באפס, אז גם המוצר יהפוך לאפס.
שקול דוגמה:
בוא נכתוב את זה כתוספת:
יש חמישה אפסים שנוספו בסך הכל, אז מסתבר ש
בואו ננסה להכפיל אחד באפס. גם התוצאה תהיה ריק.
ניתן לחלק את האפס בכל מספר אחר שאינו שווה לו. במקרה זה, יתברר, שגם ערכו יהיה אפס. אותו כלל חל על מספרים שליליים. אם מחלקים אפס במספר שלילי, מקבלים אפס.
אתה יכול גם להעלות כל מספר לאפס כוח. במקרה זה, תקבל 1. חשוב לזכור שהביטוי "אפס בחזקת אפס" הוא חסר משמעות לחלוטין. אם אתה מנסה להעלות אפס לעוצמה כלשהי, אתה מקבל אפס. דוגמא:
נשתמש בכלל הכפל, נקבל 0.
האם אפשר לחלק באפס
אז, כאן הגענו לשאלה העיקרית. האם אפשר לחלק באפסבכלל? ומדוע אי אפשר לחלק מספר באפס, בהתחשב בכך שכל שאר הפעולות עם אפס קיימות ומתקיימות במלואן? כדי לענות על שאלה זו, עליך לפנות למתמטיקה גבוהה יותר.
נתחיל בהגדרת המושג, מהו אפס? מורי בית ספר טוענים שאפס זה כלום. רֵיקָנוּת. כלומר, כשאתה אומר שיש לך 0 עטים, זה אומר שאין לך עטים בכלל.
במתמטיקה גבוהה יותר, המושג "אפס" רחב יותר. זה לא אומר ריק בכלל. כאן, אפס נקרא אי ודאות, כי אם עושים מחקר קטן, מתברר שעל ידי חלוקת אפס באפס, נוכל לקבל כל מספר אחר כתוצאה מכך, שאולי לא בהכרח יהיה אפס.
האם אתה יודע שאותן פעולות חשבון פשוטות שלמדת בבית הספר אינן כל כך שוות בינן לבין עצמן? השלבים הבסיסיים ביותר הם חיבור וכפל.
עבור מתמטיקאים, המושגים "" ו"חיסור" אינם קיימים. נניח: אם יורידו שלושה מחמישה, אז שניים יישארו. כך נראית חיסור. עם זאת, מתמטיקאים היו כותבים זאת כך:
כך, מסתבר שההפרש הלא ידוע הוא מספר מסוים שצריך להוסיף ל-3 כדי לקבל 5. כלומר, לא צריך להחסיר שום דבר, רק צריך למצוא מספר מתאים. כלל זה חל על תוספת.
הדברים קצת שונים עם כללי כפל וחילוק.ידוע שכפל באפס מוביל לאפס תוצאה. לדוגמה, אם 3:0=x, אז אם תהפוך את הרשומה, תקבל 3*x=0. והמספר שמוכפל ב-0 ייתן אפס במכפלה. מסתבר שמספר שייתן כל ערך מלבד אפס במוצר עם אפס לא קיים. זה אומר שחלוקה באפס היא חסרת משמעות, כלומר היא מתאימה לכלל שלנו.
אבל מה קורה אם תנסה לחלק אפס בעצמו? ניקח את x כמספר בלתי מוגדר. מסתבר שהמשוואה 0 * x \u003d 0. אפשר לפתור את זה.
אם ננסה לקחת אפס במקום x, נקבל 0:0=0. זה ייראה הגיוני? אבל אם ננסה לקחת כל מספר אחר במקום x, למשל, 1, אז נקבל 0:0=1. אותו מצב יהיה אם תיקח כל מספר אחר ו חבר אותו למשוואה.
במקרה זה, מתברר שאנו יכולים לקחת כל מספר אחר כגורם. התוצאה תהיה מספר אינסופי של מספרים שונים. לפעמים, בכל זאת, חלוקה ב-0 במתמטיקה גבוהה יותר הגיונית, אבל אז בדרך כלל יש מצב מסוים שבגללו אנחנו עדיין יכולים לבחור מספר מתאים אחד. פעולה זו נקראת "גילוי אי ודאות". בחשבון רגיל, החלוקה באפס תאבד שוב את משמעותה, מכיוון שלא נוכל לבחור מספר אחד מהקבוצה.
חָשׁוּב!אי אפשר לחלק את האפס באפס.
אפס ואינסוף
אינסוף נפוץ מאוד במתמטיקה גבוהה יותר. מכיוון שפשוט לא חשוב שתלמידי בית הספר ידעו שעדיין יש פעולות מתמטיות עם אינסוף, מורים לא יכולים להסביר לילדים כראוי מדוע אי אפשר לחלק באפס.
התלמידים מתחילים ללמוד את הסודות המתמטיים הבסיסיים רק בשנה הראשונה של המכון. מתמטיקה גבוהה יותר מספקת קבוצה גדולה של בעיות שאין להן פתרון. הבעיות המפורסמות ביותר הן הבעיות עם האינסוף. אפשר לפתור אותם עם ניתוח מתמטי.
אתה יכול גם להגיש בקשה לאינסוף פעולות מתמטיות בסיסיות:חיבור, הכפלה במספר. גם חיסור וחילוק נפוץ, אבל בסופו של דבר הם עדיין מסתכמים בשתי פעולות פשוטות.
ספר לימוד:"מתמטיקה" M.I.Moro
מטרות השיעור:ליצור תנאים להיווצרות היכולת לחלק 0 במספר.
מטרות השיעור:
- לחשוף את המשמעות של חלוקת 0 במספר באמצעות הקשר של כפל וחילוק;
- לפתח עצמאות, תשומת לב, חשיבה;
- ליצור מיומנויות פתרון דוגמאות לכפל וחילוק טבלאי.
כדי להשיג את המטרה, השיעור תוכנן תוך התחשבות גישת פעילות.
מבנה השיעור כלל:
- Org. רֶגַע, שמטרתו הייתה להגדיר באופן חיובי ילדים לפעילויות למידה.
- מוֹטִיבָצִיָהמותר לעדכן ידע, לגבש מטרות ויעדים של השיעור. לשם כך היו משימות מציאת מספר נוסף, סיווג דוגמאות לקבוצות, הוספת מספרים חסרים. במהלך פתרון המשימות הללו, הילדים נתקלו בְּעָיָה: הייתה דוגמה לפתרון שאין מספיק ידע קיים. מסיבה זו, ילדים להגדיר את המטרות שלהםולהגדיר את יעדי הלמידה לשיעור.
- חיפוש וגילוי ידע חדשנתן לילדים את ההזדמנות להציע אפשרויות שונותפתרונות משימות. בהתבסס על חומר שנלמד בעבר,הם הצליחו למצוא את הפתרון הנכון ולהגיע סיכוםבו גובש הכלל החדש.
- בְּמַהֲלָך קיבוע ראשוניתלמידים העירהפעולות שלהם, עובדים לפי הכלל, נבחרו בנוסף הדוגמאות שלהםלכלל זה.
- ל אוטומציה של פעולותו היכולת להשתמש בכללים לא סטנדרטייםמשימות, ילדים פתרו משוואות, ביטויים במספר פעולות.
- עבודה עצמאיתונערכה אימות הדדיהראה שרוב הילדים למדו את הנושא.
- בְּמַהֲלָך השתקפויותהילדים הגיעו למסקנה שמטרת השיעור הושגה והעריכו את עצמם בעזרת קלפים.
השיעור התבסס על פעולות עצמאיות של תלמידים בכל שלב, שקיעה מלאה במשימת הלמידה. זה הוקל על ידי טכניקות כגון עבודה בקבוצות, אימות עצמי והדדי, יצירת מצב של הצלחה, משימות מובדלות, רפלקציה עצמית.
במהלך השיעורים
| מטרת הבמה | תוכן במה | פעילות תלמידים | ||||||||||||
| 1. ארגון רֶגַע | ||||||||||||||
| הכנת תלמידים לעבודה, יחס חיובי לפעילויות למידה. | גירוי לפעילויות למידה. בדקו את מוכנותכם לשיעור, שבו זקוף, הישענו על גב הכיסא. שפשפו את האוזניים כדי להגביר את זרימת הדם למוח. היום תהיה לך הרבה עבודה מעניינת, שאני בטוח שתעשה טוב מאוד. |
ארגון מקום העבודה, בדיקת התאמה. | ||||||||||||
| 2. מוטיבציה. | ||||||||||||||
| גירוי של קוגניטיבי פעילות, הפעלת תהליך החשיבה |
מימוש ידע מספיק לרכישת ידע חדש. ספירה מילולית. בדיקת ידע בכפל טבלאי: |
פתרון משימות על בסיס ידע בכפל טבלאי. | ||||||||||||
| א) מצא את המספר הנוסף 2 4 6 7 10 12 14 6 18 24 29 36 42 הסבר מדוע הוא מיותר ובאיזה מספר יש להחליף אותו. |
מציאת המספר הנוסף. | |||||||||||||
| ב) מלא את המספרים החסרים: … 16 24 32 … 48 … |
הוספת המספר החסר. | |||||||||||||
| יצירת מצב בעיה משימות בזוגות: ג) סדרו את הדוגמאות ב-2 קבוצות: למה זה כל כך מופץ? (עם תשובה 4 ו-5). |
סיווג דוגמאות לקבוצות. | |||||||||||||
| כרטיסים: 8 7-6+30:6= 28:(16:4) 6= 30-(20-10:2):5= 30-(20-10 2):5= |
תלמידים חזקים עובדים על קלפים אישיים. | |||||||||||||
| מה שמת לב? יש כאן דוגמה נוספת? האם הצלחת לפתור את כל הדוגמאות? מי מתקשה? במה שונה הדוגמה הזו מהאחרות? אם מישהו יחליט אז כל הכבוד. אבל למה לא כולם יכלו להתמודד עם הדוגמה הזו? |
מציאת קושי. זיהוי ידע חסר, גורמים לקושי. |
|||||||||||||
| הצהרה על המשימה החינוכית. הנה דוגמה עם 0. ומ-0, אתה יכול לצפות לטריקים שונים. זהו מספר חריג. זוכר מה אתה יודע על 0? (a 0=0, 0 a=0, 0+a=a) תן דוגמאות. תראו כמה זה ערמומי: כשמוסיפים אותו הוא לא משנה את המספר, אבל כשמכפילים אותו הוא הופך אותו ל-0. האם הכללים הללו חלים על הדוגמה שלנו? איך הוא יתנהג כשהוא יאכל? |
תצפית על שיטות פעולות ידועות מ-0 ומתאם עם הדוגמה המקורית. | |||||||||||||
| אז מה המטרה שלנו? פתרו את הדוגמה הזו בצורה נכונה. שולחן על הלוח. מה צריך בשביל זה? למד את הכלל לחלוקת 0 במספר. |
להעלות השערה, | |||||||||||||
| איך למצוא את הפתרון הנכון? מהי פעולת הכפל? (עם חלוקה) תן דוגמא 2 3 = 6 6: 2 = 3 אנחנו יכולים עכשיו 0:5? זה אומר שאתה צריך למצוא מספר שכאשר מוכפל ב-5, יהיה 0. x 5=0 המספר הזה הוא 0. אז, 0:5=0. תן את הדוגמאות שלך. |
חפש פתרון המבוסס על שנלמד בעבר, | |||||||||||||
| ניסוח כללים. איזה כלל אפשר לנסח עכשיו? כשמחלקים 0 במספר, מקבלים 0. 0: a = 0. |
פתרון משימות טיפוסיות עם הערות. עבוד לפי הסכימה (0: a = 0) |
|||||||||||||
| 5. דקות פיזיות. | ||||||||||||||
| מניעת הפרות יציבה, הסרת עייפות מהעיניים, עייפות כללית. | ||||||||||||||
| 6. אוטומציה של ידע. | ||||||||||||||
| חשיפת גבולות הישימות של ידע חדש. | אילו עוד משימות עשויות לדרוש ידע על כלל זה? (בפתרון דוגמאות, משוואות) |
שימוש בידע נרכש במשימות שונות. עבודה קבוצתית. |
||||||||||||
| מה לא ידוע במשוואות הללו? זכור כיצד למצוא את המכפיל הלא ידוע. לפתור משוואות. מה הפתרון במשוואה 1? (0) ב 2? (אין פתרון, אי אפשר לחלק ב-0) |
בדיקה חוזרת של מיומנויות שנלמדו בעבר. | |||||||||||||
| ** ערכו משוואה עם הפתרון x=0 (x 5=0) | ללומדים חזקים, משימה יצירתית | |||||||||||||
| 7. עבודה עצמאית. | ||||||||||||||
| פיתוח עצמאות, יכולות קוגניטיביות | עבודה עצמאית עם אימות הדדי לאחר מכן. №6 |
פעולות נפשיות אקטיביות של תלמידים הקשורות לחיפוש פתרונות, על סמך הידע שלהם. שליטה עצמית ושליטה הדדית. תלמידים חזקים בודקים ועוזרים לחלשים יותר. |
||||||||||||
| 8. עבודה על חומר שכוסה בעבר. פיתוח מיומנויות פתרון בעיות. | ||||||||||||||
| גיבוש מיומנויות פתרון בעיות. | באיזו תדירות אתה חושב שהמספר 0 משמש במשימות? (לא, לא לעתים קרובות, כי 0 הוא כלום, ומשימות אמורות לכלול כמות מסוימת של משהו.) אז נפתור בעיות שבהן יש מספרים אחרים. קרא את המשימה. מה יעזור לפתור את הבעיה? (שולחן) אילו עמודות בטבלה יש לכתוב? מלא את השולחן. הכינו תוכנית לפתרון: מה צריך ללמוד בפעולה 1, ב-2? |
עבודה על משימה באמצעות גיליון אלקטרוני. תכנון פתרון בעיות. פתרון הקלטה עצמית. מודל שליטה עצמית. |
||||||||||||
| 9. השתקפות. תוצאות השיעור. | ||||||||||||||
| ארגון הערכה עצמית של פעילות. הגברת המוטיבציה של הילד. |
על איזה נושא אתה עובד היום? מה לא ידעת בתחילת השיעור? איזו מטרה הצבתם לעצמכם? הגעתם לזה? איזה כלל הגעת? דרג את העבודה שלך על ידי הגדרת התג המתאים:
| מודעות לפעילותו של האדם, התבוננות פנימית בעבודתו. תיקון ההתאמה של תוצאות הפעילויות והמטרה. | ||||||||||||
| 10. שיעורי בית. | ||||||||||||||
אומרים שאתה יכול לחלק באפס אם אתה קובע את תוצאת החלוקה באפס. רק צריך להרחיב את האלגברה. בצירוף מקרים מוזר, לא ניתן למצוא לפחות דוגמה, אבל מובנת ופשוטה יותר, להרחבה כזו. כדי לתקן את האינטרנט, אתה צריך הדגמה של אחת מהשיטות להרחבה כזו, או תיאור מדוע זה לא אפשרי.
המאמר נכתב בהמשך למגמה:
כתב ויתור
מטרת מאמר זה היא להסביר ב"שפה אנושית" כיצד פועלים היסודות הבסיסיים של המתמטיקה, לבנות ידע ולשחזר את קשרי סיבה ותוצאה שהוחמצו בין חלקי המתמטיקה. כל הטיעונים הם פילוסופיים, מבחינת שיפוטים הם חורגים מאלה המקובלים (ולכן, הוא אינו מתיימר להיות קפדני מתמטית). המאמר מיועד לרמת הקורא "עבר את המגדל לפני שנים רבות".הבנת עקרונות החשבון, היסוד, האלגברה הכללית והלינארית, ניתוח מתמטי ולא סטנדרטי, תורת הקבוצות, טופולוגיה כללית, גיאומטריה השלכתית ואפינית רצויה, אך לא חובה.
במהלך הניסויים, אף אינסוף לא הושפע.
פּרוֹלוֹג
ללכת "מעבר" הוא תהליך טבעי של חיפוש אחר ידע חדש. אבל לא כל חיפוש מביא ידע חדש ולכן תועלת.1. באופן כללי, הכל כבר התחלק אלינו!
1.1 הארכת אפינית של שורת המספרים
נתחיל מאיפה כנראה שכל ההרפתקנים מתחילים כאשר מחלקים באפס. זכור את הגרף של הפונקציה
.
משמאל ומימין לאפס, הפונקציה הולכת לכיוונים שונים של "אי-קיום". בנקודת האפס, יש בדרך כלל "מערבולת" ושום דבר לא נראה לעין.
במקום לזרוק את עצמנו בראש ל"בריכה", בואו נראה מה זורם ומה זורם משם. לשם כך, אנו משתמשים בגבול - הכלי העיקרי של ניתוח מתמטי. ה"טריק" העיקרי הוא שהגבול מאפשר לך להגיע לנקודה נתונה הכי קרוב שאפשר, אבל לא "לדרוך עליה". "גדר" כזו מול "המערבולת".
מְקוֹרִי
בסדר, ה"גדר" הוקמה. זה כבר לא כל כך מפחיד. יש לנו שני שבילים ל"מערבולת". נלך שמאלה - ירידה תלולה, ימינה - עלייה תלולה. לא משנה כמה אתה הולך ל"גדר", זה לא מתקרב. אין דרך לחצות את ה"אי-קיום" התחתון והעליון. עולים חשדות, אולי אנחנו הולכים במעגלים? אמנם לא, המספרים משתנים, אז לא במעגל. בואו לחטט בחזה בכלים של ניתוח מתמטי עדיין. בנוסף לגבולות עם "גדר", הערכה מגיעה עם אינסוף חיובי ושלילי. הערכים מופשטים לחלוטין (לא מספרים), רשמיים היטב ומוכנים לשימוש! זה מתאים לנו. הבה נשלים את ה"הוויה" שלנו (קבוצת המספרים הממשיים) בשני אינסוף סימנים.
שפה מתמטית:
הרחבה זו היא שמאפשרת לך לקחת את הגבול כאשר הטיעון נוטה לאינסוף ולקבל אינסוף כתוצאה מלקיחת הגבול.ישנם שני ענפים של מתמטיקה המתארים את אותו הדבר תוך שימוש בטרמינולוגיה שונה.
לסכם:
בשאריות יבשות. הגישות הישנות כבר לא עובדות. המורכבות של המערכת, בצורה של חבורה של "אם", "עבור כולם אבל" וכו', גדלה. היו לנו רק שתי אי ודאות 1/0 ו-0/0 (לא שקלנו פעולות כוח), אז היו חמש. חשיפת אי ודאות אחת הולידה אי ודאות עוד יותר.
גלגל 1.2
הכל לא נעצר בהקדמת האינסוף הבלתי חתום. כדי לצאת מחוסר הוודאות צריך רוח שנייה.אז יש לנו קבוצה של מספרים ממשיים ושתי אי ודאות 1/0 ו-0/0. כדי לבטל את הראשון, ביצענו הרחבה השלכתית של הקו האמיתי (כלומר, הצגנו אינסוף ללא סימן). בואו ננסה להתמודד עם אי הוודאות השנייה של הטופס 0/0. בואו נעשה את אותו הדבר. הבה נשלים את קבוצת המספרים באלמנט חדש המייצג את אי הוודאות השנייה.
הגדרת החלוקה מבוססת על כפל. זה לא מתאים לנו. בואו נתיר את הפעולות אחת מהשנייה, אבל נשמור על ההתנהגות הרגילה למספרים אמיתיים. הבה נגדיר פעולת חלוקה לא נורית, המסומנת ב-"/".
בואו נגדיר פעולות.
מבנה זה נקרא "גלגל". המונח נלקח בגלל הדמיון לתמונה הטופולוגית של ההרחבה השלכתית של הקו האמיתי והנקודה 0/0.
הכל נראה טוב, אבל השטן נמצא בפרטים:
כדי ליישב את כל התכונות, בנוסף להרחבת מערך האלמנטים, מתווסף בונוס בצורת לא אחת, אלא שתי זהויות המתארות את החוק החלוקתי.
שפה מתמטית:מנקודת מבט של אלגברה כללית, פעלנו בשטח. ובשטח, כידוע, רק שתי פעולות מוגדרות (חיבור וכפל). מושג החלוקה נגזר דרך הפוך, ואם אפילו עמוק יותר, אז אלמנטים בודדים. השינויים שנעשו הופכים את המערכת האלגברית שלנו למונואיד הן על ידי פעולת החיבור (עם אפס כיסוד ניטרלי) והן על ידי פעולת הכפל (עם יחידה כיסוד ניטרלי).ביצירותיהם של המגלים, לא תמיד נעשה שימוש בסמלים ∞ ו-⊥. במקום זאת, אתה יכול לראות את הערך בטופס /0 ו-0/0.
העולם כבר לא כל כך יפה, נכון? ובכל זאת, אל תמהר. בואו נבדוק האם הזהויות החדשות של החוק החלוקתי יתמודדו עם הסט המורחב שלנו.
הפעם התוצאה הרבה יותר טובה.לסכם:
בשאריות יבשות. אלגברה עובדת מצוין. עם זאת, המושג "לא מוגדר" נלקח כבסיס, שהחל להיחשב כמשהו קיים ולפעול איתו. יום אחד מישהו יגיד שהכל רע ואתה צריך לחלק את ה"לא מוגדר" הזה לעוד כמה "לא מוגדר", אבל קטנים יותר. אלגברה כללית תגיד: "אין בעיה, אחי!".
כך מניחים יחידות דמיוניות נוספות (j ו-k) בקווטרניונים. הוסף תגיות
אומרים שאתה יכול לחלק באפס אם אתה קובע את תוצאת החלוקה באפס. רק צריך להרחיב את האלגברה. בצירוף מקרים מוזר, לא ניתן למצוא לפחות דוגמה, אבל מובנת ופשוטה יותר, להרחבה כזו. כדי לתקן את האינטרנט, אתה צריך הדגמה של אחת מהשיטות להרחבה כזו, או תיאור מדוע זה לא אפשרי.
המאמר נכתב בהמשך למגמה:
כתב ויתור
מטרת מאמר זה היא להסביר ב"שפה אנושית" כיצד פועלים היסודות הבסיסיים של המתמטיקה, לבנות ידע ולשחזר את קשרי סיבה ותוצאה שהוחמצו בין חלקי המתמטיקה. כל הטיעונים הם פילוסופיים, מבחינת שיפוטים הם חורגים מאלה המקובלים (ולכן, הוא אינו מתיימר להיות קפדני מתמטית). המאמר מיועד לרמת הקורא "עבר את המגדל לפני שנים רבות".הבנת עקרונות החשבון, היסוד, האלגברה הכללית והלינארית, ניתוח מתמטי ולא סטנדרטי, תורת הקבוצות, טופולוגיה כללית, גיאומטריה השלכתית ואפינית רצויה, אך לא חובה.
במהלך הניסויים, אף אינסוף לא הושפע.
פּרוֹלוֹג
ללכת "מעבר" הוא תהליך טבעי של חיפוש אחר ידע חדש. אבל לא כל חיפוש מביא ידע חדש ולכן תועלת.1. באופן כללי, הכל כבר התחלק אלינו!
1.1 הארכת אפינית של שורת המספרים
נתחיל מאיפה כנראה שכל ההרפתקנים מתחילים כאשר מחלקים באפס. זכור את הגרף של הפונקציה.
משמאל ומימין לאפס, הפונקציה הולכת לכיוונים שונים של "אי-קיום". בנקודת האפס, יש בדרך כלל "מערבולת" ושום דבר לא נראה לעין.
במקום לזרוק את עצמנו בראש ל"בריכה", בואו נראה מה זורם ומה זורם משם. לשם כך, אנו משתמשים בגבול - הכלי העיקרי של ניתוח מתמטי. ה"טריק" העיקרי הוא שהגבול מאפשר לך להגיע לנקודה נתונה הכי קרוב שאפשר, אבל לא "לדרוך עליה". "גדר" כזו מול "המערבולת".
מְקוֹרִי
בסדר, ה"גדר" הוקמה. זה כבר לא כל כך מפחיד. יש לנו שני שבילים ל"מערבולת". נלך שמאלה - ירידה תלולה, ימינה - עלייה תלולה. לא משנה כמה אתה הולך ל"גדר", זה לא מתקרב. אין דרך לחצות את ה"אי-קיום" התחתון והעליון. עולים חשדות, אולי אנחנו הולכים במעגלים? אמנם לא, המספרים משתנים, אז לא במעגל. בואו לחטט בחזה בכלים של ניתוח מתמטי עדיין. בנוסף לגבולות עם "גדר", הערכה מגיעה עם אינסוף חיובי ושלילי. הערכים מופשטים לחלוטין (לא מספרים), רשמיים היטב ומוכנים לשימוש! זה מתאים לנו. הבה נשלים את ה"הוויה" שלנו (קבוצת המספרים הממשיים) בשני אינסוף סימנים.
שפה מתמטית:
הרחבה זו היא שמאפשרת לך לקחת את הגבול כאשר הטיעון נוטה לאינסוף ולקבל אינסוף כתוצאה מלקיחת הגבול.ישנם שני ענפים של מתמטיקה המתארים את אותו הדבר תוך שימוש בטרמינולוגיה שונה.
לסכם:
בשאריות יבשות. הגישות הישנות כבר לא עובדות. המורכבות של המערכת, בצורה של חבורה של "אם", "עבור כולם אבל" וכו', גדלה. היו לנו רק שתי אי ודאות 1/0 ו-0/0 (לא שקלנו פעולות כוח), אז היו חמש. חשיפת אי ודאות אחת הולידה אי ודאות עוד יותר.
גלגל 1.2
הכל לא נעצר בהקדמת האינסוף הבלתי חתום. כדי לצאת מחוסר הוודאות צריך רוח שנייה.אז יש לנו קבוצה של מספרים ממשיים ושתי אי ודאות 1/0 ו-0/0. כדי לבטל את הראשון, ביצענו הרחבה השלכתית של הקו האמיתי (כלומר, הצגנו אינסוף ללא סימן). בואו ננסה להתמודד עם אי הוודאות השנייה של הטופס 0/0. בואו נעשה את אותו הדבר. הבה נשלים את קבוצת המספרים באלמנט חדש המייצג את אי הוודאות השנייה.
הגדרת החלוקה מבוססת על כפל. זה לא מתאים לנו. בואו נתיר את הפעולות אחת מהשנייה, אבל נשמור על ההתנהגות הרגילה למספרים אמיתיים. הבה נגדיר פעולת חלוקה לא נורית, המסומנת ב-"/".
בואו נגדיר פעולות.
מבנה זה נקרא "גלגל". המונח נלקח בגלל הדמיון לתמונה הטופולוגית של ההרחבה השלכתית של הקו האמיתי והנקודה 0/0.
הכל נראה טוב, אבל השטן נמצא בפרטים:
כדי ליישב את כל התכונות, בנוסף להרחבת מערך האלמנטים, מתווסף בונוס בצורת לא אחת, אלא שתי זהויות המתארות את החוק החלוקתי.
שפה מתמטית:מנקודת מבט של אלגברה כללית, פעלנו בשטח. ובשטח, כידוע, רק שתי פעולות מוגדרות (חיבור וכפל). מושג החלוקה נגזר דרך הפוך, ואם אפילו עמוק יותר, אז אלמנטים בודדים. השינויים שנעשו הופכים את המערכת האלגברית שלנו למונואיד הן על ידי פעולת החיבור (עם אפס כיסוד ניטרלי) והן על ידי פעולת הכפל (עם יחידה כיסוד ניטרלי).ביצירותיהם של המגלים, לא תמיד נעשה שימוש בסמלים ∞ ו-⊥. במקום זאת, אתה יכול לראות את הערך בטופס /0 ו-0/0.
העולם כבר לא כל כך יפה, נכון? ובכל זאת, אל תמהר. בואו נבדוק האם הזהויות החדשות של החוק החלוקתי יתמודדו עם הסט המורחב שלנו
הפעם התוצאה הרבה יותר טובה.לסכם:
בשאריות יבשות. אלגברה עובדת מצוין. עם זאת, המושג "לא מוגדר" נלקח כבסיס, שהחל להיחשב כמשהו קיים ולפעול איתו. יום אחד מישהו יגיד שהכל רע ואתה צריך לחלק את ה"לא מוגדר" הזה לעוד כמה "לא מוגדר", אבל קטנים יותר. אלגברה כללית תגיד: "אין בעיה, אחי!".
כך מניחים יחידות דמיוניות נוספות (j ו-k) בקווטרניונים. הוסף תגיות