מספר קבוע אשקוראים לו לְהַגבִּיל רצפים(x n ) אם עבור כל מספר חיובי קטן באופן שרירותיε > 0 יש מספר N כך שכל הערכים x n, שעבורו n>N, מספקים את אי השוויון
|x n - a|< ε. (6.1)
כתוב זאת באופן הבא: או x n →א.
אי השוויון (6.1) שווה ערך לאי השוויון הכפול
a-ε< x n < a + ε, (6.2)
כלומר הנקודות x n, החל ממספר כלשהו n>N, שוכב בתוך המרווח (a-ε, a + ε ), כלומר. ליפול לתוך כל קטןε -שכונת הנקודה א.
רצף שיש לו גבול נקרא מתכנסים, אחרת - מִסתַעֵף.
מושג הגבול של פונקציה הוא הכללה של מושג הגבול של רצף, מכיוון שניתן לראות את הגבול של רצף כגבול הפונקציה x n = f(n) של ארגומנט מספר שלם נ.
תנו לפונקציה f(x) ולתת א - נקודת הגבלהתחום ההגדרה של פונקציה זו D(f), כלומר. נקודה כזו, שכל שכונה שלה מכילה נקודות של קבוצת D(f) השונה מהן א. נְקוּדָה איכול או לא שייך לקבוצה D(f).
הגדרה 1.המספר הקבוע A נקרא לְהַגבִּיל פונקציות f(x) בְּ- x→a if עבור כל רצף (x n) של ערכי ארגומנטים הנוטים אליו א, לרצפים המתאימים (f(x n)) יש את אותו הגבול A.
הגדרה זו נקראת הגדרת הגבול של פונקציה לפי Heine,או " בשפת הרצפים”.
הגדרה 2. המספר הקבוע A נקרא לְהַגבִּיל פונקציות f(x) בְּ- x→a if, בהינתן מספר חיובי קטן שרירותי שרירותי ε, אפשר למצוא δ כאלה>0 (בהתאם ל- ε), אשר לכולם איקסשוכב פנימהε-שכונות של מספר א, כלומר ל איקסלספק את אי השוויון
0 <
x-a< ε
, הערכים של הפונקציה f(x) יהיו מצוייםε-שכונה של המספר A, כלומר.|f(x)-A|<
ε.
הגדרה זו נקראת הגדרת הגבול של פונקציה לפי Cauchy,אוֹ "בשפה ε - δ “.
הגדרות 1 ו-2 שוות ערך. אם הפונקציה f(x) כ-x →יש לְהַגבִּילשווה ל-A, זה כתוב כ
. (6.3)
במקרה שהרצף (f(x n)) גדל (או יורד) ללא הגבלת זמן עבור כל שיטה של קירוב איקסלגבול שלך א, אז נגיד שלפונקציה f(x) יש גבול אינסופי,וכתוב את זה כ:
משתנה (כלומר רצף או פונקציה) שהגבול שלו הוא אפס נקרא קטן לאין שיעור.
משתנה שגבולו שווה לאינסוף נקרא גדול לאין שיעור.
כדי למצוא את הגבול בפועל, השתמש במשפטים הבאים.
משפט 1 . אם כל גבול קיים
(6.4)
(6.5)
(6.6)
תגובה. ביטויים כמו 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - אינם בטוחים, למשל, היחס בין שתי כמויות אינסופיות או גדולות לאין שיעור, ומציאת גבול מסוג זה נקראת "גילוי אי ודאות".
משפט 2. (6.7)
הָהֵן. אפשר לעבור לגבול בבסיס התואר במעריך קבוע, בפרט, 
;
(6.8)
(6.9)
משפט 3.
(6.10)
(6.11)
איפה ה » 2.7 הוא הבסיס של הלוגריתם הטבעי. נוסחאות (6.10) ו- (6.11) נקראות הראשונה גבול נפלאוהגבול המדהים השני.
ההשלכות של הנוסחה (6.11) משמשות גם בפועל:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
במיוחד את הגבול
אם x → a ובו-זמנית x > a, ואז כתוב x→a + 0. אם, במיוחד, a = 0, אז במקום הסמל 0+0 כותבים +0. באופן דומה, אם x→a ובו זמנית x 
ונקראים בהתאם. גבול ימיןו גבול שמאל פונקציות f(x) בנקודה א. כדי שהגבול של הפונקציה f(x) תתקיים כ-x→a הוא הכרחי ומספיק עבור 
. הפונקציה f(x) נקראת רָצִיף בנקודה x 0 אם מגבלה
. (6.15)
תנאי (6.15) ניתן לשכתב כ:
,
כלומר, מעבר לגבול בסימן של פונקציה אפשרי אם הוא רציף בנקודה נתונה.
אם השוויון (6.15) מופר, אז אנחנו אומרים את זה בְּ- x = xo פוּנקצִיָה f(x) יש לזה פער.שקול את הפונקציה y = 1/x. התחום של פונקציה זו הוא הסט ר, מלבד x = 0. הנקודה x = 0 היא נקודת גבול של קבוצת D(f), שכן בכל אחת מהשכונות שלה, כלומר, כל מרווח פתוח המכיל את הנקודה 0 מכיל נקודות מ-D(f), אך הוא עצמו אינו שייך לקבוצה זו. הערך f(x o)= f(0) אינו מוגדר, ולכן לפונקציה יש אי רציפות בנקודה x o = 0.
הפונקציה f(x) נקראת רציף בצד ימין בנקודה x o אם מגבלה
,
ו רציף בצד שמאל בנקודה x o אם מגבלה
.
המשכיות של פונקציה בנקודה x oשווה להמשכיות שלו בנקודה זו הן מימין והן משמאל.
כדי שפונקציה תהיה רציפה בנקודה מסוימת x o, למשל, בצד ימין, יש צורך, ראשית, שיהיה גבול סופי, ושנית, שהגבול הזה יהיה שווה ל-f(x o). לכן, אם לפחות אחד משני התנאים הללו לא מתקיים, אז לפונקציה יהיה פער.
1. אם הגבול קיים ואינו שווה ל-f(x o), אז אומרים את זה פוּנקצִיָה f(x) בנקודהל-xo יש הפסקה מהסוג הראשון,אוֹ קְפִיצָה.
2. אם הגבול הוא+∞ או -∞ או לא קיים, אז אנחנו אומרים את זה ב נְקוּדָה x o לפונקציה יש הפסקה סוג שני.
לדוגמה, הפונקציה y = ctg x ב-xל- → +0 יש מגבלה שווה ל-+∞, לפיכך, בנקודה x=0 יש לו אי רציפות מהסוג השני. פונקציה y = E(x) (חלק שלם של איקס) בנקודות עם abssissas יש אי רציפות מהסוג הראשון, או קפיצות.
פונקציה שהיא רציפה בכל נקודה של המרווח נקראת רָצִיף V . פונקציה רציפה מיוצגת על ידי עקומה מוצקה.
בעיות רבות הקשורות לצמיחה מתמשכת של כמות כלשהי מובילות לגבול המדהים השני. משימות כאלה למשל כוללות: גידול התרומה על פי חוק ריבית דריבית, גידול אוכלוסיית המדינה, ריקבון של חומר רדיואקטיבי, ריבוי חיידקים וכו'.
לשקול דוגמה של יא.י.פרלמן, שנותן את הפרשנות של המספר הבבעיית הריבית דריבית. מספר היש גבול 
. בבנקי חיסכון מתווספים להון הקבוע כספי ריבית מדי שנה. אם החיבור נעשה לעתים קרובות יותר, ההון גדל מהר יותר, מכיוון שכמות גדולה מעורבת ביצירת ריבית. הבה ניקח דוגמה תיאורטית בלבד, מפושטת מאוד. תן לבנק לשים 100 ד'. יחידות בשיעור של 100% לשנה. אם כסף נושא ריבית מתווסף להון הקבוע רק לאחר שנה, אז בשלב זה 100 דנים. יחידות יהפוך ל-200 מאורות. עכשיו בואו נראה למה 100 מאורות יהפכו. יחידות, אם מוסיפים להון הקבוע כספי ריבית כל שישה חודשים. אחרי חצי שנה 100 מאורות. יחידות לגדול עד 100×
1.5 \u003d 150, ואחרי שישה חודשים נוספים - ב-150×
1.5 \u003d 225 (ד. יחידות). אם ההצטרפות מתבצעת כל 1/3 מהשנה, אז לאחר שנה 100 דן. יחידות להפוך ל-100× (1 +1/3) 3 » 237 (ד. יחידות). נגדיל את מסגרת הזמן להוספת כספי ריבית ל-0.1 שנה, 0.01 שנה, 0.001 שנה וכן הלאה. ואז מתוך 100 מאורות. יחידות שנה אחרי:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (יחידות יחידות),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (יחידות יחידות),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (יחידות יחידות).
בהפחתה בלתי מוגבלת של תנאי ריבית ההצטרפות, ההון שנצבר אינו גדל ללא הגבלת זמן, אלא מתקרב לגבול מסוים השווה לכ-271. ההון המוצב ב-100% לשנה אינו יכול לגדול יותר מפי 2.71, גם אם הריבית הצבורה הייתה. נוסף לבירה כל שנייה כי הגבול
דוגמה 3.1.בעזרת ההגדרה של הגבול של רצף מספרים, הוכח שלרצף x n =(n-1)/n יש גבול השווה ל-1.
פִּתָרוֹן.אנחנו צריכים להוכיח שזה לא משנהε > 0 אנחנו לוקחים, עבורו יש מספר טבעי N כך שלכל n N האי-שוויון|xn-1|< ε.
קח כל e > 0. מאז; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, ואז כדי למצוא את N מספיק לפתור את אי השוויון 1/n< ה. מכאן n>1/ ה ולפיכך, ניתן לקחת את N כחלק השלם של 1/ e , N = E(1/e ). כך הוכחנו שהגבול .
דוגמה 3.2
. מצא את הגבול של רצף שניתן על ידי מונח נפוץ 
.
פִּתָרוֹן.החל את משפט סכום הגבול ומצא את הגבול של כל איבר. עבור נ→ ∞ המונה והמכנה של כל איבר נוטים לאינסוף, ולא נוכל ליישם ישירות את משפט גבול המנה. לכן, תחילה אנו משנים x n, מחלקים את המונה והמכנה של האיבר הראשון ב n 2, והשני נ. לאחר מכן, בהחלת משפט גבול המנה ומשפט גבול הסכום, אנו מוצאים:
.
דוגמה 3.3. 
. למצוא .
פִּתָרוֹן. 
.
כאן השתמשנו במשפט מגבלת המעלות: הגבול של מעלה שווה לדרגת הגבול של הבסיס.
דוגמה 3.4
. למצוא ( 
).
פִּתָרוֹן.אי אפשר ליישם את משפט גבול ההפרש, מכיוון שיש לנו אי ודאות של הצורה ∞-∞ . בואו נשנה את הנוסחה של המונח הכללי:
.
דוגמה 3.5 . נתונה פונקציה f(x)=2 1/x . תוכיח שהגבול לא קיים.
פִּתָרוֹן.אנו משתמשים בהגדרה 1 של הגבול של פונקציה במונחים של רצף. קח רצף ( x n ) שמתכנס ל-0, כלומר. הבה נראה שהערך f(x n)= מתנהג בצורה שונה עבור רצפים שונים. תן x n = 1/n. ברור, אז הגבול 
בוא נבחר עכשיו בתור x nרצף עם איבר משותף x n = -1/n, גם הוא נוטה לאפס. 
לכן, אין גבול.
דוגמה 3.6 . תוכיח שהגבול לא קיים.
פִּתָרוֹן.תן x 1 , x 2 ,..., x n ,... להיות רצף שעבורו
. כיצד מתנהג הרצף (f(x n)) = (sin x n ) עבור x n שונה → ∞
אם x n \u003d p n, אז sin x n \u003d sin p n = 0 עבור כולם נולהגביל את אם
xn=2 p n+ p /2, ואז sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 עבור כולם נומכאן הגבול. לפיכך לא קיים.
יישומון לחישוב מגבלות מקוון
בתיבה העליונה, במקום sin(x)/x, הזן את הפונקציה שאת הגבול שלה אתה רוצה למצוא. בתיבה התחתונה, הזינו את המספר ש-x שואף אליו ולחץ על כפתור החשבון, קבל את הגבול הרצוי. ואם תלחצו על Show steps בפינה הימנית העליונה בחלון התוצאה, תקבלו פתרון מפורט.
כללי קלט פונקציה: sqrt(x) - שורש ריבועי, cbrt(x) - שורש קובייה, exp(x) - מעריך, ln(x) - לוגריתם טבעי, sin(x) - סינוס, cos(x) - קוסינוס, tan (x) - טנגנס, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. סימנים: * כפל, / חלוקה, ^ אקספונציה, במקום אינסוףאינסוף. דוגמה: הפונקציה מוזנת בתור sqrt(tan(x/2)).
פִּתָרוֹן מגבלות פונקציות מקוונות. מצא את ערך הגבול של פונקציה או רצף פונקציונלי בנקודה, חשב מגבילערך פונקציה באינסוף. לקבוע את ההתכנסות של סדרת מספרים וניתן לעשות הרבה יותר הודות לשירות המקוון שלנו -. אנו מאפשרים לך למצוא מגבלות פונקציה באינטרנט במהירות ובדייקנות. אתה בעצמך מזין את משתנה הפונקציה ואת הגבול אליו הוא שואף, השירות שלנו עושה עבורך את כל החישובים, נותן מענה מדויק ופשוט. ועבור למצוא את הגבול באינטרנטאתה יכול להזין גם סדרות מספריות וגם פונקציות אנליטיות המכילות קבועים בביטוי מילולי. במקרה זה, מגבלת הפונקציה שנמצאה תכיל את הקבועים הללו כארגומנטים קבועים בביטוי. השירות שלנו פותר כל בעיה מורכבת של חיפוש מגבלות באינטרנט, מספיק לציין את הפונקציה ואת הנקודה שבה יש צורך לחשב מגבלת פונקציה. מחשוב מגבלות באינטרנט, אתה יכול להשתמש בשיטות וכללים שונים לפתרון אותם, תוך השוואת התוצאה עם להגביל פתרון מקווןבאתר www.site, מה שיוביל לביצוע מוצלח של המשימה - תמנעו מטעויות ושגיאות הקלדה משלכם. או שאתה יכול לסמוך עלינו לחלוטין ולהשתמש בתוצאה שלנו בעבודה שלך, מבלי לבזבז מאמץ וזמן נוסף על חישובים עצמאיים של מגבלת הפונקציה. אנו מאפשרים הזנת ערכי גבול כגון אינסוף. עליך להזין מונח משותף של הרצף המספרי ו www.siteיחשב את הערך הגבלה באינטרנטעד פלוס מינוס אינסוף.
אחד המושגים הבסיסיים של ניתוח מתמטי הוא מגבלת פונקציהו מגבלת רצףבשלב מסוים ובאינסוף, חשוב להיות מסוגל לפתור נכון גבולות. עם השירות שלנו זה לא יהיה קשה. מתקבלת החלטה מגבלות באינטרנטבתוך שניות, התשובה מדויקת ומלאה. חקר החשבון מתחיל ב מעבר עד הקצה, גבולותמשמשים כמעט בכל הסעיפים של מתמטיקה גבוהה יותר, אז זה שימושי להחזיק שרת בהישג יד להגביל פתרונות באינטרנטשהוא האתר.
פוּנקצִיָה y=f (איקס)נקרא החוק (הכלל), לפיו, כל אלמנט x מקבוצת X משויך למרכיב y אחד ויחיד מקבוצת Y.
אלמנט x ∈ Xשקוראים לו ארגומנט פונקציהאוֹ משתנה בלתי תלוי.
אלמנט y ∈ ישקוראים לו ערך פונקציהאוֹ משתנה תלוי.
קבוצה X נקראת היקף פונקציה.
סט אלמנטים y ∈ י, שיש להם תמונות מקדימות בסט X , נקרא שטח או קבוצה של ערכי פונקציה.
הפונקציה בפועל נקראת מוגבל מלמעלה (מלמטה), אם יש מספר כזה M שהאי-שוויון הבא מתקיים לכולם:
.
פונקציית המספר נקראת מוגבל, אם קיים מספר M כך שלכולם :
.
פנים עליוןאוֹ גבול עליון מדויקפונקציה אמיתית נקראת הקטן מבין המספרים המגבילה את טווח הערכים שלה מלמעלה. כלומר, זהו מספר s שלגביו, לכל ולכל , יש ארגומנט כזה, שערך הפונקציה שלו עולה על s′ : .
ניתן לציין את הגבול העליון של הפונקציה באופן הבא:
.
בהתאמה פנים תחתוניםאוֹ גבול תחתון מדויקפונקציה אמיתית נקראת הגדולה מבין המספרים המגבילה את טווח הערכים שלה מלמטה. כלומר, זהו מספר i שעבור כולם ועבור כל , יש ארגומנט כזה, שערך הפונקציה שממנה קטן מ-i′ : .
ניתן לציין את הגבול התחתון של פונקציה באופן הבא:
.
קביעת הגבול של פונקציה
הגדרה של גבול Cauchy של פונקציה
מגבלות פונקציות סופיות בנקודות הקצה
תן לפונקציה להיות מוגדרת בשכונה כלשהי של נקודת הסיום, למעט אולי הנקודה עצמה. בנקודה , אם עבור כל אחד קיים כזה , בהתאם , שלכל x , שעבורו , אי השוויון
.
הגבול של פונקציה מסומן באופן הבא:
.
או ב.
באמצעות הסמלים הלוגיים של קיום ואוניברסליות, ניתן לכתוב את הגדרת הגבול של פונקציה באופן הבא:
.
מגבלות חד צדדיות.
גבול שמאל בנקודה (גבול צד שמאל):
.
גבול ימין בנקודה (גבול ימין):
.
הגבולות משמאל וימין מסומנים לעתים קרובות כדלקמן:
;
.
גבולות סופיים של פונקציה בנקודות באינסוף
גבולות בנקודות מרוחקות עד אינסוף מוגדרות בצורה דומה.
.
.
.
הם מכונים לעתים קרובות כ:
;
;
.
שימוש במושג שכונה של נקודה
אם נציג את המושג של שכונה מנוקבת של נקודה, אז נוכל לתת הגדרה אחידה של הגבול הסופי של פונקציה בנקודות סופיות ובאינסוף:
.
כאן לנקודות קצה
;
;
.
כל שכונות של נקודות באינסוף מנוקבות:
;
;
.
מגבלות פונקציות אינסופיות
הַגדָרָה
תן לפונקציה להיות מוגדרת בשכונה מנוקבת כלשהי של נקודה (סופית או אינסוף). גבול הפונקציה f (איקס)בתור x → x 0
שווה אינסוף, אם עבור מספר גדול באופן שרירותי M > 0
, קיים מספר δ M > 0
, בהתאם ל-M , שלכל x השייכים לשכונה δ M מנוקבת של הנקודה : , מתקיים אי השוויון הבא:
.
הגבול האינסופי מוגדר כך:
.
או ב.
באמצעות הסמלים הלוגיים של קיום ואוניברסליות, ניתן לכתוב את ההגדרה של הגבול האינסופי של פונקציה באופן הבא:
.
אפשר גם להציג הגדרות של גבולות אינסופיים של סימנים מסוימים השווים ו:
.
.
הגדרה אוניברסלית של הגבול של פונקציה
באמצעות המושג של שכונה של נקודה, אפשר לתת הגדרה אוניברסלית של הגבול הסופי והאינסופי של פונקציה, החלה הן על סופיות (דו-צדדיות וחד-צדדיות) והן על נקודות מרוחקות עד אינסוף:
.
הגדרת הגבול של פונקציה לפי Heine
תן לפונקציה להיות מוגדרת על קבוצה כלשהי X : .
המספר a נקרא הגבול של הפונקציהבנקודה:
,
אם לרצף כלשהו שמתכנס ל-x 0
:
,
שהאלמנטים שלו שייכים לקבוצה X : ,
.
אנו כותבים הגדרה זו באמצעות הסמלים הלוגיים של קיום ואוניברסליות:
.
אם ניקח כקבוצה X את השכונה השמאלית של הנקודה x 0 , אז נקבל את ההגדרה של הגבול השמאלי. אם זה ימני, אז אנחנו מקבלים את ההגדרה של הגבול הנכון. אם ניקח את השכונה של נקודה באינסוף כקבוצת X, נקבל את ההגדרה של הגבול של פונקציה באינסוף.
מִשׁפָּט
ההגדרות של Cauchy וה-Heine של הגבול של פונקציה שוות ערך.
הוכחה
מאפיינים ומשפטים של הגבול של פונקציה
יתרה מכך, אנו מניחים שהפונקציות הנחשבות מוגדרות בשכונה המקבילה של הנקודה , שהיא מספר סופי או אחד מהסמלים: . זה יכול להיות גם נקודת גבול חד צדדית, כלומר, להיות בעל הצורה או . השכונה היא דו-צדדית למגבלה דו-צדדית וחד-צדדית לחד-צדדית.
מאפיינים בסיסיים
אם ערכי הפונקציה f (איקס)לשנות (או להפוך ללא מוגדר) במספר סופי של נקודות x 1 , x 2 , x 3 , ... x n, אז שינוי זה לא ישפיע על הקיום והערך של הגבול של הפונקציה בנקודה שרירותית x 0 .
אם יש גבול סופי, אז יש שכונה מנוקבת כזו של הנקודה x 0
, שעליו הפונקציה f (איקס)מוגבל:
.
תן לפונקציה להיות בנקודה x 0
מגבלת סיום שאינה אפס:
.
ואז, עבור כל מספר c מהמרווח , קיימת שכונה מנוקבת כזו של הנקודה x 0
בשביל מה,
, אם ;
, אם .
אם, בשכונה מנוקבת כלשהי של הנקודה , הוא קבוע, אז .
אם יש גבולות סופיים ועל איזו שכונה מנוקבת של הנקודה x 0
,
זה.
אם , ועל איזו שכונה של הנקודה
,
זה.
בפרט, אם בשכונה כלשהי של נקודה
,
אז אם , אז ו ;
אם , אז ו .
אם בשכונה מנוקבת כלשהי של הנקודה x 0
:
,
ויש גבולות שווים סופיים (או אינסופיים של סימן מסוים:
, זה
.
הוכחות למאפיינים העיקריים ניתנות בעמוד
"מאפיינים בסיסיים של גבולות פונקציה".
תכונות אריתמטיות של הגבול של פונקציה
תנו לפונקציות ולהגדיר באיזו שכונה מנוקבת של הנקודה. ויהיו גבולות סופיים:
ו.
ותן C להיות קבוע, כלומר מספר נתון. לאחר מכן
;
;
;
, אם .
אם, אז.
הוכחות למאפיינים אריתמטיים ניתנות בדף
"מאפיינים אריתמטיים של גבולות הפונקציה".
קריטריון קוצ'י לקיומו של גבול של פונקציה
מִשׁפָּט
על מנת שתוגדר פונקציה בשכונה מנוקבת כלשהי של נקודה סופית או בנקודת האינסוף x 0
, היה גבול סופי בשלב זה, זה הכרחי ומספיק עבור כל ε > 0
הייתה שכונה מנוקבת כזו של הנקודה x 0
, שלכל נקודה ומשכונה זו מתקיים אי השוויון הבא:
.
מגבלת פונקציה מורכבת
משפט גבול פונקציה מורכבת
תן לפונקציה גבול ומפה את השכונה המנוקבת של הנקודה לשכונה המנוקבת של הנקודה. תן לפונקציה להיות מוגדרת על השכונה הזו ותהיה לה הגבלה.
כאן - נקודות אחרונות או מרוחקות לאין שיעור:. שכונות והגבולות התואמים שלהן יכולים להיות דו-צדדיים או חד-צדדיים.
אז יש גבול של הפונקציה המורכבת והיא שווה ל:
.
משפט הגבלת הפונקציה המורכבת חל כאשר הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה או שיש לה ערך שונה מערך הגבול. כדי ליישם משפט זה, חייבת להיות שכונה מנוקבת של הנקודה שבה קבוצת הערכים של הפונקציה אינה מכילה את הנקודה:
.
אם הפונקציה רציפה בנקודה , ניתן להחיל את סימן הגבול על הארגומנט של הפונקציה הרציפה:
.
להלן משפט המקביל למקרה זה.
משפט על הגבול של פונקציה רציפה של פונקציה
שיהיה גבול לפונקציה g (ט)כמו t → t 0
, והוא שווה ל-x 0
:
.
כאן נקודה ט 0
יכול להיות סופי או באינסוף: .
ותן לפונקציה f (איקס)רציף ב-x 0
.
אז יש גבול של הפונקציה המרוכבת f (g(t)), והוא שווה ל-f (x0):
.
ההוכחות למשפטים ניתנות בדף
"הגבול והמשכיות של פונקציה מורכבת".
פונקציות אינסופיות וגדולות לאין שיעור
פונקציות קטנות לאין שיעור
הַגדָרָה
פונקציה נקראת אינפיניטסימלית עבור if
.
סכום, הבדל ומוצרשל מספר סופי של פונקציות קטנות לאין שיעור עבור היא פונקציה אינסופית עבור .
מכפלה של פונקציה מוגבלתעל איזו שכונה מנוקבת של הנקודה, לאינפיניטסימלי עבור היא פונקציה אינפיניטסימלית של עבור.
כדי שלפונקציה תהיה גבול סופי, זה הכרחי ומספיק
,
איפה היא פונקציה אינפיניטסימלית עבור .
"מאפיינים של פונקציות אינפיניטסימליות".
פונקציות גדולות לאין שיעור
הַגדָרָה
הפונקציה נקראת גדול לאין שיעור עבור if
.
הסכום או ההפרש של פונקציה מוגבלת, על איזו שכונה מנוקבת של הנקודה, ופונקציה גדולה לאין שיעור ב- היא פונקציה גדולה לאין שיעור ב.
אם הפונקציה גדולה לאין שיעור ב , והפונקציה מוגבלת, בשכונה מנוקבת כלשהי של הנקודה , אז
.
אם הפונקציה , בשכונה מנוקבת כלשהי של הנקודה , עונה על אי השוויון:
,
והפונקציה קטנה לאין שיעור עבור:
, וכן (על איזו שכונה מנוקבת של הנקודה), אז
.
הוכחות לנכסים מפורטות בסעיף
"מאפיינים של פונקציות גדולות לאין שיעור".
קשר בין פונקציות גדולות לאין שיעור ופונקציות קטנות לאין שיעור
הקשר בין פונקציות גדולות לאין שיעור לפונקציות קטנות לאין שיעור נובע משתי התכונות הקודמות.
אם הפונקציה גדולה לאין שיעור ב , אז הפונקציה קטנה לאין שיעור ב .
אם הפונקציה קטנה לאין שיעור עבור , ו , אז הפונקציה גדולה לאין שיעור עבור .
היחס בין פונקציה אינפיניטסימלית לפונקציה גדולה לאין שיעור יכול לבוא לידי ביטוי באופן סמלי:
,
.
אם לפונקציה אינפיניטסימלית יש סימן מוגדר ב , כלומר, היא חיובית (או שלילית) בשכונה מנוקבת כלשהי של הנקודה , אז עובדה זו יכולה לבוא לידי ביטוי באופן הבא:
.
באופן דומה, אם לפונקציה גדולה לאין שיעור יש סימן מסוים ב-, אז הם כותבים:
.
אז ניתן להשלים את הקשר הסמלי בין פונקציות קטנות לאין שיעור לפונקציות גדולות לאין שיעור על ידי היחסים הבאים:
,
,
,
.
נוסחאות נוספות המתייחסות לסמלי אינסוף ניתן למצוא בדף
"מצביע על האינסוף ותכונותיהם".
גבולות של פונקציות מונוטוניות
הַגדָרָה
פונקציה המוגדרת על קבוצה כלשהי של מספרים ממשיים X נקראת הגדלת בקפדנות, אם בכל זאת מתקיים אי השוויון הבא:
.
בהתאם לכך, עבור יורד בהחלטפונקציה, מתקיים אי השוויון הבא:
.
ל לא יורד:
.
ל לא מתגבר:
.
זה מרמז שתפקוד הגובר אך ורק אינו פוחת. גם פונקציה יורדת בהחלט אינה גדלה.
הפונקציה נקראת חַדגוֹנִיאם הוא לא יורד או לא עולה.
מִשׁפָּט
תן לפונקציה לא להקטין את המרווח , שבו .
אם הוא מוגבל מלמעלה במספר M: אז יש גבול סופי. אם לא מוגבל למעלה, אז .
אם הוא מוגבל מלמטה במספר m : , אז יש גבול סופי . אם לא מוגבל למטה, אז .
אם הנקודות a ו-b נמצאות באינסוף, אז בביטויים סימני הגבול מתכוונים לכך .
ניתן לנסח משפט זה בצורה קומפקטית יותר.
תן לפונקציה לא להקטין את המרווח , שבו . אז יש מגבלות חד-צדדיות בנקודות a ו-b:
;
.
משפט דומה לפונקציה שאינה מתגברת.
תן לפונקציה לא להגדיל את המרווח , שבו . אז יש מגבלות חד-צדדיות:
;
.
הוכחת המשפט מצוינת בדף
"גבולות של פונקציות מונוטוניות".
הפניות:
ל.ד. קודריאבצב. קורס ניתוח מתמטי. כרך 1. מוסקבה, 2003.
ס"מ. ניקולסקי. קורס ניתוח מתמטי. כרך 1. מוסקבה, 1983.
מתמטיקה היא המדע שבונה את העולם. גם המדען וגם האדם הפשוט - אף אחד לא יכול בלעדיו. ראשית, מלמדים ילדים צעירים לספור, לאחר מכן להוסיף, לגרוע, להכפיל ולחלק, לפי חטיבת הביניים נכנסים למשחק ייעודי אותיות, ובגדול כבר לא ניתן לוותר עליהם.
אבל היום נדבר על מה מבוססת כל המתמטיקה הידועה. על קהילת המספרים הנקראת "מגבלות רצף".
מהם רצפים ואיפה הגבול שלהם?
משמעות המילה "רצף" אינה קשה לפירוש. זו בנייה כזו של דברים, שבה מישהו או משהו ממוקמים בסדר או בתור מסויים. לדוגמה, התור לכרטיסים לגן החיות הוא רצף. ויכול להיות רק אחד! אם, למשל, מסתכלים על התור לחנות, זה רצף אחד. ואם אדם אחד יוצא פתאום מהתור הזה, אז זה תור אחר, סדר אחר.
גם המילה "גבול" מתפרשת בקלות - זה הסוף של משהו. עם זאת, במתמטיקה, גבולות הרצפים הם אותם ערכים על קו המספרים שרצף מספרים נוטה אליהם. למה מתאמץ ולא נגמר? זה פשוט, לקו המספרים אין סוף, ולרוב הרצפים, כמו קרניים, יש רק התחלה והם נראים כך:
x 1, x 2, x 3, ... x n ...
מכאן שההגדרה של רצף היא פונקציה של הארגומנט הטבעי. במילים פשוטות יותר, זוהי סדרה של חברים מקבוצה כלשהי.
איך בנוי רצף מספרים?
הדוגמה הפשוטה ביותר לרצף מספרים עשויה להיראות כך: 1, 2, 3, 4, …n…
ברוב המקרים, למטרות מעשיות, רצפים בנויים ממספרים, ולכל חבר הבא בסדרה, נסמן אותו ב-X, יש שם משלו. לדוגמה:
x 1 - האיבר הראשון ברצף;
x 2 - האיבר השני ברצף;
x 3 - האיבר השלישי;
x n הוא האיבר ה-n.
בשיטות מעשיות, הרצף ניתן על ידי נוסחה כללית שבה יש משתנה כלשהו. לדוגמה:
X n \u003d 3n, אז סדרת המספרים עצמה תיראה כך:
כדאי לזכור שבסימון הכללי של רצפים, אתה יכול להשתמש בכל אותיות לטיניות, ולא רק X. לדוגמה: y, z, k וכו'.
התקדמות אריתמטית כחלק מרצפים
לפני שמחפשים את גבולות הרצפים, מומלץ להעמיק בעצם הרעיון של סדרת מספרים כזו, שכולם נתקלו בה כשהיו במעמד הביניים. התקדמות אריתמטית היא סדרה של מספרים שבה ההבדל בין איברים סמוכים הוא קבוע.
משימה: "תן 1 \u003d 15, ואת שלב ההתקדמות של סדרת המספרים d \u003d 4. בנה את 4 החברים הראשונים בשורה הזו"
פתרון: a 1 = 15 (לפי תנאי) הוא האיבר הראשון בהתקדמות (סדרת המספרים).
ו-2 = 15+4=19 הוא האיבר השני בהתקדמות.
ו-3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 הוא המונח השלישי.
ו-4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 הוא המונח הרביעי.
עם זאת, בשיטה זו קשה להגיע לערכים גדולים, למשל, עד 125. . במיוחד עבור מקרים כאלה, נגזרה נוסחה נוחה לתרגול: a n \u003d a 1 + d (n-1). במקרה זה, 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.
סוגי רצפים
רוב הסיקוונסים הם אינסופיים, כדאי לזכור לכל החיים. ישנם שני סוגים מעניינים של סדרות מספרים. הראשון ניתן על ידי הנוסחה a n =(-1) n . מתמטיקאים מתייחסים לעתים קרובות לרצפי הבזק הזה. למה? בוא נבדוק את המספרים שלו.
1, 1, -1, 1, -1, 1 וכו'. בעזרת דוגמה זו, מתברר שניתן לחזור על מספרים ברצפים בקלות.
רצף פקטורי. קל לנחש שישנו פקטוריאלי בנוסחה שמגדיר את הרצף. לדוגמה: ו-n = (n+1)!
ואז הרצף ייראה כך:
ו-2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;
ו-3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 וכו'.
רצף שניתן על ידי התקדמות אריתמטית נקרא ירידה אינסופית אם נצפה אי השוויון -1 עבור כל האיברים שלו ו-3 \u003d - 1/8 וכו'. יש אפילו רצף המורכב מאותו מספר. אז, ו-n \u003d 6 מורכב ממספר אינסופי של שישיות. מגבלות רצף קיימות זמן רב במתמטיקה. כמובן, הם ראויים לעיצוב המוכשר שלהם. אז, הגיע הזמן ללמוד את ההגדרה של גבולות רצף. ראשית, שקול את הגבול עבור פונקציה לינארית בפירוט: קל להבין שאת הגדרת הגבול של רצף ניתן לנסח באופן הבא: זהו מספר מסוים, שאליו מתקרבים כל איברי הרצף באופן אינסופי. דוגמה פשוטה: ו-x = 4x+1. ואז הרצף עצמו ייראה כך. 5, 9, 13, 17, 21…x… לפיכך, הרצף הזה יגדל ללא הגבלת זמן, מה שאומר שהגבול שלו שווה לאינסוף כ-x→∞, ויש לכתוב זאת כך: אם ניקח רצף דומה, אבל x שואף ל-1, נקבל: וסדרת המספרים תהיה כזו: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 וכו'. בכל פעם צריך להחליף את המספר יותר ויותר קרוב לאחד (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). ניתן לראות מסדרה זו שהגבול של הפונקציה הוא חמש. מחלק זה כדאי לזכור מהו הגבול של רצף מספרי, ההגדרה והשיטה לפתרון משימות פשוטות. לאחר שניתח את גבול הרצף המספרי, הגדרתו ודוגמאותיו, נוכל להמשיך לנושא מורכב יותר. ניתן לנסח לחלוטין את כל גבולות הרצפים על ידי נוסחה אחת, שבדרך כלל מנותחת בסמסטר הראשון. אז מה המשמעות של קבוצת האותיות, המודולים וסימני אי השוויון? ∀ הוא מכמת אוניברסלי, המחליף את הביטויים "לכולם", "לכל דבר" וכו'. ∃ הוא מכמת קיום, במקרה זה זה אומר שיש ערך N כלשהו השייך לקבוצת המספרים הטבעיים. מקל אנכי ארוך אחרי N אומר שהקבוצה הנתונה N היא "כזה". בפועל, זה יכול להיות "כזה", "כזה" וכו'. כדי לגבש את החומר, קרא את הנוסחה בקול. שיטת מציאת הגבול של הרצפים, שנידונה לעיל, למרות שהיא פשוטה לשימוש, אינה כה רציונלית בפועל. נסה למצוא את הגבול לפונקציה הזו: אם נחליף ערכי x שונים (הגדלים בכל פעם: 10, 100, 1000 וכו'), אז נקבל ∞ במונה, אבל גם ∞ במכנה. מסתבר שבריר מוזר למדי: אבל האם זה באמת כך? חישוב הגבול של הרצף המספרי במקרה זה נראה קל מספיק. אפשר היה להשאיר הכל כמו שהוא, כי התשובה מוכנה, והיא התקבלה בתנאים סבירים, אבל יש דרך אחרת במיוחד למקרים כאלה. ראשית, בואו נמצא את המדרגה הגבוהה ביותר במונה של השבר - זוהי 1, מכיוון שניתן לייצג את x כ-x 1. עכשיו בואו נמצא את הדרגה הגבוהה ביותר במכנה. גם 1. חלקו גם את המונה וגם את המכנה במשתנה במידה הגבוהה ביותר. במקרה זה, נחלק את השבר ב-x 1. לאחר מכן, בואו נמצא לאיזה ערך נוטה כל מונח המכיל את המשתנה. במקרה זה, שברים נחשבים. בתור x→∞, הערך של כל אחד מהשברים שואף לאפס. בעת ביצוע מאמר בכתב, כדאי להעלות את הערות השוליים הבאות: מתקבל הביטוי הבא: כמובן, השברים המכילים x לא הפכו לאפסים! אבל הערך שלהם כל כך קטן שמותר בהחלט לא לקחת אותו בחשבון בחישובים. למעשה, x לעולם לא יהיה שווה ל-0 במקרה זה, כי אי אפשר לחלק באפס. הבה נניח שלרשותו של הפרופסור רצף מורכב, שניתן, מן הסתם, בנוסחה מורכבת לא פחות. הפרופסור מצא את התשובה, אבל האם היא מתאימה? אחרי הכל, כל האנשים עושים טעויות. Auguste Cauchy המציא דרך מצוינת להוכיח את גבולות הרצפים. לשיטתו קראו מבצע שכונתי. נניח שיש איזו נקודה a, השכונה שלה בשני הכיוונים על הקו האמיתי שווה ל-ε ("אפסילון"). מכיוון שהמשתנה האחרון הוא מרחק, ערכו תמיד חיובי. כעת בוא נגדיר איזה רצף x n ונניח שהאיבר העשירי של הרצף (x 10) כלול בשכונה של a. איך לכתוב עובדה זו בשפה מתמטית? נניח ש-x 10 נמצא מימין לנקודה a, ואז המרחק x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. כעת הגיע הזמן להסביר הלכה למעשה את הנוסחה שהוזכרה לעיל. זה הוגן לקרוא למספר מסוים נקודת הסיום של רצף אם אי השוויון ε>0 מתקיים עבור כל אחד מהגבלות שלו, ולשכונה כולה יש מספר טבעי משלה N, כך שכל איברי הרצף עם מספרים גבוהים יותר להיות בתוך הרצף |x n - a|< ε. עם ידע כזה, קל לפתור את הגבולות של רצף, להוכיח או להפריך תשובה מוכנה. משפטים על גבולות הרצפים הם מרכיב חשוב בתיאוריה, שבלעדיהם תרגול בלתי אפשרי. ישנם רק ארבעה משפטים עיקריים, כאשר זוכרים אילו, אתה יכול להקל באופן משמעותי על תהליך הפתרון או ההוכחה: לפעמים נדרש לפתור בעיה הפוכה, להוכיח גבול נתון של רצף מספרי. בואו נסתכל על דוגמה. הוכיחו שהגבול של הרצף שניתן על ידי הנוסחה שווה לאפס. לפי הכלל הנ"ל, עבור כל רצף אי השוויון |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: נבטא את n במונחים של "אפסילון" כדי להראות את קיומו של מספר מסוים ולהוכיח את קיומו של מגבלת רצף. בשלב זה, חשוב לזכור ש"אפסילון" ו-"en" הם מספרים חיוביים ולא שווה לאפס. עכשיו אתה יכול להמשיך בטרנספורמציות נוספות באמצעות הידע על אי שוויון שנצבר בתיכון. מאיפה מסתבר ש-n > -3 + 1/ε. מכיוון שכדאי לזכור שאנחנו מדברים על מספרים טבעיים, ניתן לעגל את התוצאה על ידי הצבתה בסוגריים מרובעים. לפיכך, הוכח כי עבור כל ערך של שכונת "אפסילון" של הנקודה a = 0, נמצא ערך כך שהאי-שוויון הראשוני מתקיים. מכאן נוכל לקבוע בבטחה שהמספר a הוא הגבול של הרצף הנתון. Q.E.D. עם שיטה כל כך נוחה, אתה יכול להוכיח את הגבול של רצף מספרי, לא משנה כמה מסובך זה עשוי להיראות במבט ראשון. העיקר לא להיכנס לפאניקה למראה המשימה. קיומה של מגבלת רצף אינו הכרחי בפועל. קל למצוא סדרות כאלה של מספרים שבאמת אין להם סוף. לדוגמה, אותו מהבהב x n = (-1) n . ברור שלרצף המורכב משתי ספרות בלבד החוזרות על מחזוריות לא יכול להיות גבול. אותו סיפור חוזר על עצמו עם רצפים המורכבים ממספר בודד, שבר, בעל חוסר ודאות בכל סדר במהלך החישובים (0/0, ∞/∞, ∞/0 וכו'). עם זאת, יש לזכור שמתבצע גם חישוב שגוי. לפעמים בדיקה מחדש של הפתרון שלך יעזור לך למצוא את גבול הירושה. למעלה, שקלנו כמה דוגמאות לרצפים, שיטות לפתרונם, ועכשיו בואו ננסה לקחת מקרה ספציפי יותר ולכנות אותו "רצף חד-גוני". הגדרה: זה הוגן לקרוא לכל רצף גדל מונוטונית אם הוא עומד באי השוויון הקפדני x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. לצד שני התנאים הללו, קיימים גם אי שוויון דומים לא קפדניים. בהתאם לכך, x n ≤ x n +1 (רצף לא יורד) ו-x n ≥ x n +1 (רצף לא הולך וגדל). אבל קל יותר להבין זאת בעזרת דוגמאות. הרצף שניתן על ידי הנוסחה x n \u003d 2 + n יוצר את סדרת המספרים הבאה: 4, 5, 6 וכו'. זהו רצף מונוטוני המתגבר. ואם ניקח x n \u003d 1 / n, אז נקבל סדרה: 1/3, ¼, 1/5 וכו '. זהו רצף מונוטוני יורד. רצף מוגבל הוא רצף שיש לו גבול. רצף מתכנס הוא סדרה של מספרים שיש לה גבול אינפיניטסימלי. לפיכך, הגבול של רצף מוגבל הוא כל מספר ממשי או מרוכב. זכור שיכול להיות רק גבול אחד. הגבול של רצף מתכנס הוא כמות אינסופית (אמיתית או מורכבת). אם אתה מצייר דיאגרמת רצף, אז בשלב מסוים הוא יתכנס, כביכול, נוטה להפוך לערך מסוים. מכאן השם - רצף מתכנס. לרצף כזה יכול להיות גבול או לא. ראשית, כדאי להבין מתי זה, מכאן אתה יכול להתחיל כאשר מוכיחים את היעדר מגבלה. בין רצפים מונוטוניים, מתכנסים ומתפצלים. מתכנס - זהו רצף שנוצר על ידי קבוצת x ויש לו גבול ממשי או מורכב בקבוצה זו. Divergent - רצף שאין לו גבול בקבוצה שלו (לא אמיתי ולא מורכב). יתרה מכך, הרצף מתכנס אם הגבול העליון והתחתון שלו מתכנסים בייצוג גיאומטרי. הגבול של רצף מתכנס יכול במקרים רבים להיות שווה לאפס, שכן לכל רצף אינפיניטסימלי יש גבול ידוע (אפס). לא משנה איזה רצף מתכנס אתה לוקח, כולם מוגבלים, אבל רחוק מלהתכנס כל הרצפים התחומים. הסכום, ההפרש, המכפלה של שני רצפים מתכנסים הוא גם רצף מתכנס. עם זאת, המנה יכולה גם להתכנס אם היא מוגדרת! גבולות של רצפים הם אותו ערך משמעותי (ברוב המקרים) כמו מספרים ומספרים: 1, 2, 15, 24, 362 וכו'. מסתבר שניתן לבצע פעולות מסוימות עם גבולות. ראשית, בדיוק כמו ספרות ומספרים, ניתן להוסיף ולהחסיר את המגבלות של כל רצף. בהתבסס על המשפט השלישי על גבולות הרצפים, השוויון הבא נכון: גבול סכום הרצפים שווה לסכום גבולותיהם. שנית, בהתבסס על המשפט הרביעי על גבולות הרצפים, השוויון הבא נכון: גבול המכפלה של המספר ה-n של הרצפים שווה למכפלת הגבולות שלהם. כך גם לגבי חלוקה: גבול המנה של שני רצפים שווה למנה של גבולותיהם, ובלבד שהגבול אינו שווה לאפס. אחרי הכל, אם מגבלת הרצפים שווה לאפס, אז חלוקה באפס תתברר, וזה בלתי אפשרי. נראה שהגבול של הרצף המספרי כבר נותח בפירוט מסוים, אבל ביטויים כמו מספרים "קטנים לאין שיעור" ו"גדולים לאין שיעור" מוזכרים יותר מפעם אחת. ברור שאם יש רצף 1/x, שבו x→∞, אז שבר כזה קטן לאין שיעור, ואם אותו רצף, אבל הגבול שואף לאפס (x→0), אז השבר הופך לערך גדול לאין שיעור. . ולערכים כאלה יש מאפיינים משלהם. המאפיינים של הגבול של רצף בעל ערכים קטנים או גדולים שרירותיים הם כדלקמן: למעשה, חישוב הגבול של רצף אינו משימה כל כך קשה אם אתה מכיר אלגוריתם פשוט. אבל גבולות הרצפים הם נושא שדורש תשומת לב והתמדה מרבית. כמובן, די פשוט לתפוס את מהות הפתרון של ביטויים כאלה. החל בקטן, לאורך זמן, אתה יכול להגיע לגבהים גדולים.קביעת הגבול של רצף
סימון כללי עבור מגבלת הרצפים
חוסר ודאות וודאות הגבול
מהי שכונה?
משפטים
הוכחת רצף
או שאולי הוא לא קיים?
רצף מונוטוני
גבול של רצף מתכנס ומתוחם
גבול רצף מונוטוני
פעולות שונות עם גבולות
מאפייני ערך רצף