טווח פונקציות (קבוצה של ערכי פונקציה). מושגים נחוצים ודוגמאות למציאת

הפונקציה היא המודל. בוא נגדיר את X כקבוצה של ערכים של משתנה בלתי תלוי // בלתי תלוי פירושו כל.

פונקציה היא כלל שלפיו, עבור כל ערך של המשתנה הבלתי תלוי מקבוצת X, ניתן למצוא את הערך היחיד של המשתנה התלוי. // כלומר לכל x יש y אחד.

מההגדרה עולה שיש שני מושגים - משתנה בלתי תלוי (שנסמן ב-x והוא יכול לקבל כל ערך) ומשתנה תלוי (שנסמן ב-y או f (x) והוא מחושב מהפונקציה כאשר אנחנו מחליפים את x).

לדוגמא y=5+x

1. עצמאי הוא x, אז ניקח כל ערך, נניח x = 3

2. ועכשיו אנו מחשבים את y, אז y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y תלוי ב-x, כי מה x שנחליף, אנחנו מקבלים y כזה)

אנו אומרים שהמשתנה y תלוי פונקציונלית במשתנה x וזה מסומן כך: y = f (x).

לדוגמה.

1.y=1/x. (נקרא היפרבולה)

2. y=x^2. (נקרא פרבולה)

3.y=3x+7. (נקרא קו ישר)

4. y \u003d √ x. (נקרא ענף הפרבולה)

המשתנה הבלתי תלוי (שנסמן ב-x) נקרא הארגומנט של הפונקציה.

היקף פונקציה

קבוצת כל הערכים שארגומנט פונקציה לוקח נקראת תחום הפונקציה ומסומנת ב-D(f) או D(y).

שקול את D(y) עבור 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) ו-(0;+∞) //כל קבוצת המספרים הממשיים למעט אפס.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / כל המספרים הממשיים הרבים

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / כל המספרים הממשיים הרבים

4. D (y) \u003d. נותר למצוא את החיתוך של קבוצות ערכים x כך ש-x∈D(f 2) ו-f 2 (x)∈D(f 1):

עבור arcsinx>0, הבה נזכיר את המאפיינים של פונקציית arcsine. הארקסינוס גדל על פני כל תחום ההגדרה [−1, 1] ונעלם ב-x=0, לכן, arcsinx>0 עבור כל x מהמרווח (0, 1] .

נחזור למערכת:

לפיכך, תחום ההגדרה הרצוי של הפונקציה הוא חצי מרווח (0, 1] .

תשובה:

(0, 1] .

כעת נעבור לפונקציות כלליות מורכבות y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . התחום של הפונקציה f במקרה זה נמצא כ .

דוגמא.

מצא את ההיקף של פונקציה .

פִּתָרוֹן.

ניתן לכתוב את הפונקציה המורכבת הנתונה כ-y \u003d f 1 (f 2 (f 3 (x))), כאשר f 1 - sin, f 2 - פונקציה של שורש התואר הרביעי, f 3 - lg.

אנו יודעים ש-D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)= ∪ ∪

בדרך המילולית של הגדרת פונקציה, אתה צריך לקרוא בעיון את התנאי ולמצוא הגבלות על x'ים שם. לפעמים העיניים מחפשות נוסחאות, והמילים שורקות את התודעה, כן...) דוגמה מהשיעור הקודם:

הפונקציה ניתנת על ידי התנאי: כל ערך של הארגומנט הטבעי x משויך לסכום הספרות המרכיבות את הערך של x.

יש לציין כאן שכן רקעל הערכים הטבעיים של x. ואז ו ד(ו)נרשם מיד:

D(f): x ∈ נ

כפי שאתה יכול לראות, היקף הפונקציה אינו מושג כל כך מסובך. מציאת אזור זה מצטמצמת לבחינת הפונקציה, כתיבת מערכת של אי-שוויון ופתרון מערכת זו. כמובן, יש כל מיני מערכות, פשוטות ומורכבות. אבל...

אני אגלה לך סוד קטן. לפעמים פונקציה שעבורה אתה צריך למצוא את ההיקף נראית פשוט מאיימת. אני רוצה להחוויר ולבכות.) אבל כדאי לרשום מערכת של אי-שוויון... ופתאום, המערכת מתגלה כאלמנטרית! ולעתים קרובות, ככל שהפונקציה גרועה יותר, כך המערכת פשוטה יותר...

מוסר השכל: העיניים מפחדות, הראש מחליט!)

הוראה

נזכיר שפונקציה היא תלות כזו של המשתנה Y במשתנה X, שבה כל ערך של המשתנה X מתאים לערך בודד של המשתנה Y.

המשתנה X הוא המשתנה הבלתי תלוי או הארגומנט. משתנה Y הוא המשתנה התלוי. כמו כן, ההנחה היא שהמשתנה Y הוא פונקציה של המשתנה X. ערכי הפונקציה שווים לערכי המשתנה התלוי.

לבהירות, כתוב ביטויים. אם התלות של משתנה Y במשתנה X היא פונקציה, היא נכתבת כך: y=f(x). (קרא: y שווה ל-f של x.) סמל f(x) מציין את הערך של הפונקציה המקבילה לערך של הארגומנט, שווה ל-x.

מחקר תפקוד על שִׁוּוּיאוֹ מוזר- אחד השלבים של האלגוריתם הכללי לחקר פונקציה, הנחוץ לשרטוט גרף של פונקציה וללימוד תכונותיה. בשלב זה, עליך לקבוע אם הפונקציה זוגית או אי-זוגית. אם לא ניתן לומר על פונקציה זוגית או אי-זוגית, אזי אומרים שהיא פונקציה כללית.

הוראה

החלף את הארגומנט x בארגומנט (-x) וראה מה קורה בסוף. השווה עם הפונקציה המקורית y(x). אם y(-x)=y(x), יש לנו פונקציה זוגית. אם y(-x)=-y(x), יש לנו פונקציה אי-זוגית. אם y(-x) אינו שווה ל-y(x) ואינו שווה ל-y(x), יש לנו פונקציה גנרית.

ניתן לבצע את כל הפעולות עם פונקציה רק ​​בקבוצה שבה היא מוגדרת. לכן, כאשר לומדים פונקציה ובונים את הגרף שלה, התפקיד הראשון הוא מציאת תחום ההגדרה.

הוראה

אם הפונקציה היא y=g(x)/f(x), פתור f(x)≠0 כי המכנה של שבר אינו יכול להיות אפס. לדוגמה, y=(x+2)/(x−4), x−4≠0. כלומר, תחום ההגדרה יהיה הסט (-∞; 4)∪(4; +∞).

כאשר קיים שורש זוגי בהגדרת הפונקציה, פתור אי שוויון שבו הערך גדול או שווה לאפס. ניתן לקחת שורש זוגי רק ממספר לא שלילי. לדוגמה, y=√(x−2), x−2≥0. אז התחום הוא הסט , כלומר אם y=arcsin(f(x)) או y=arccos(f(x)), אתה צריך לפתור את אי השוויון הכפול -1≤f(x)≤1. לדוגמה, y=arccos(x+2), -1≤x+2≤1. אזור ההגדרה יהיה הקטע [-3; -1].

לבסוף, אם ניתן שילוב של פונקציות שונות, אז תחום ההגדרה הוא המפגש בין תחומי ההגדרה של כל הפונקציות הללו. לדוגמה, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+lg(x−6). ראשית, מצא את התחום של כל המונחים. Sin(2*x) מוגדר על כל קו המספרים. עבור הפונקציה x/√(x+2) פתרו את אי השוויון x+2>0 והתחום יהיה (-2; +∞). התחום של הפונקציה arcsin(x−6) ניתן על ידי אי השוויון הכפול -1≤x-6≤1, כלומר, הקטע מתקבל. עבור הלוגריתם, אי השוויון x−6>0 מתקיים, וזהו המרווח (6; +∞). לפיכך, התחום של הפונקציה יהיה הסט (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), כלומר (6; 7].

סרטונים קשורים

מקורות:

• תחום של פונקציה עם לוגריתם

פונקציה היא מושג המשקף את היחס בין אלמנטים של קבוצות, או במילים אחרות, היא "חוק" לפיו כל אלמנט של קבוצה אחת (הנקראת תחום ההגדרה) משויך לאלמנט כלשהו של קבוצה אחרת (נקראת תחום הערכים).

משימות רבות מובילות אותנו לחפש קבוצה של ערכי פונקציה על קטע מסוים או על כל תחום ההגדרה. משימות כאלה כוללות הערכות שונות של ביטויים, פתרון אי-שוויון.

במאמר זה נגדיר את טווח הפונקציה, נשקול שיטות למציאתה, וננתח בפירוט את הפתרון של דוגמאות מפשוטות למורכבות יותר. כל החומר יסופק עם איורים גרפיים לבהירות. אז מאמר זה הוא תשובה מפורטת לשאלה כיצד למצוא את הטווח של פונקציה.

הַגדָרָה.

קבוצת הערכים של הפונקציה y = f(x) במרווח Xנקרא קבוצת כל הערכים של הפונקציה שהיא לוקחת בעת איטרציה על הכל.

הַגדָרָה.

הטווח של הפונקציה y = f(x)נקרא קבוצת כל הערכים של הפונקציה שהיא לוקחת בעת איטרציה על כל x מתחום ההגדרה.

טווח הפונקציה מסומן כ-E(f) .

הטווח של פונקציה וקבוצת הערכים של פונקציה אינם אותו דבר. מושגים אלו ייחשבו כשווי ערך אם המרווח X בעת מציאת קבוצת הערכים של הפונקציה y = f(x) עולה בקנה אחד עם תחום הפונקציה.

כמו כן, אל תבלבלו את טווח הפונקציה עם המשתנה x עבור הביטוי בצד ימין של המשוואה y=f(x) . שטח הערכים המותרים של המשתנה x עבור הביטוי f(x) הוא שטח ההגדרה של הפונקציה y=f(x) .

האיור מציג כמה דוגמאות.

גרפי פונקציות מוצגים עם קווים כחולים מודגשים, קווים אדומים דקים הם אסימפטוטים, נקודות אדומות וקווים על ציר Oy מציגים את טווח הפונקציה המתאימה.

כפי שניתן לראות, טווח הפונקציה מתקבל על ידי הקרנת גרף הפונקציה על ציר ה-y. זה יכול להיות מספר בודד (מקרה ראשון), קבוצת מספרים (מקרה שני), קטע (מקרה שלישי), מרווח (מקרה רביעי), קרן פתוחה (מקרה חמישי), איחוד (מקרה שישי) וכו' .

אז מה אתה צריך לעשות כדי למצוא את טווח הפונקציה.

נתחיל מהמקרה הפשוט ביותר: נראה כיצד לקבוע את קבוצת הערכים של פונקציה רציפה y = f(x) במרווח .

ידוע שפונקציה רציפה על קטע מגיעה לערכים המקסימליים והמינימליים שלה עליה. לפיכך, קבוצת הערכים של הפונקציה המקורית על הקטע תהיה הקטע . לכן, המשימה שלנו מצטמצמת למציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה במרווח .

לדוגמה, בואו נמצא את הטווח של פונקציית הקשת.

דוגמא.

ציין את הטווח של הפונקציה y = arcsinx.

פִּתָרוֹן.

תחום ההגדרה של ה-arcsine הוא הקטע [-1; 1] . מצא את הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה בקטע זה.

הנגזרת חיובית עבור כל x מהמרווח (-1; 1), כלומר, הפונקציה arcsine גדלה על פני כל תחום ההגדרה. לכן, הוא לוקח את הערך הקטן ביותר ב-x = -1, והגדול ביותר ב-x = 1.

קיבלנו את הטווח של פונקציית arcsine .

דוגמא.

מצא את קבוצת ערכי הפונקציה על הקטע.

פִּתָרוֹן.

מצא את הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה בקטע הנתון.

הבה נגדיר את נקודות הקיצון השייכות למקטע:

אנו מחשבים את ערכי הפונקציה המקורית בקצות הקטע ובנקודות :

לכן, קבוצת הערכים של הפונקציה על הקטע היא הקטע .

כעת נראה כיצד למצוא את קבוצת הערכים של פונקציה רציפה y = f(x) במרווחים (a; b), .

ראשית, אנו קובעים את נקודות הקיצון, את הקיצוניות של הפונקציה, את מרווחי העלייה והירידה של הפונקציה במרווח נתון. לאחר מכן, אנו מחשבים בקצוות של המרווח ו(או) את הגבולות באינסוף (כלומר, אנו לומדים את התנהגות הפונקציה בגבולות המרווח או באינסוף). מידע זה מספיק כדי למצוא את קבוצת ערכי הפונקציות במרווחים כאלה.

דוגמא.

קבע את קבוצת ערכי הפונקציות במרווח (-2; 2).

פִּתָרוֹן.

בואו נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הנופלות על המרווח (-2; 2):

נְקוּדָה x = 0 היא הנקודה המקסימלית, מכיוון שהנגזרת משנה סימן מפלוס למינוס במעבר דרכה, וגרף הפונקציה עובר מגביר ליורד.

הוא המקסימום המתאים של הפונקציה.

בואו נגלה את התנהגות הפונקציה כאשר x שואף ל-2 מימין וכאשר x שואף ל-2 משמאל, כלומר, נמצא גבולות חד צדדיים:

מה קיבלנו: כאשר הארגומנט משתנה מ-2 לאפס, ערכי הפונקציה עולים ממינוס אינסוף למינוס רביעית (המקסימום של הפונקציה ב-x = 0), כאשר הארגומנט משתנה מאפס ל-2, הפונקציה ערכים יורדים למינוס אינסוף. לפיכך, קבוצת ערכי הפונקציה במרווח (-2; 2) היא .

דוגמא.

ציין את קבוצת הערכים של פונקציית המשיק y = tgx במרווח.

פִּתָרוֹן.

הנגזרת של פונקציית המשיק במרווח היא חיובית , מה שמעיד על עלייה בפונקציה. אנו לומדים את התנהגות הפונקציה על גבולות המרווח:

לפיכך, כאשר הארגומנט משתנה מ-to, ערכי הפונקציה עולים ממינוס אינסוף לפלוס אינסוף, כלומר, קבוצת הערכים המשיקים במרווח זה היא קבוצת כל המספרים הממשיים.

דוגמא.

מצא את הטווח של פונקציית הלוגריתם הטבעי y = lnx.

פִּתָרוֹן.

פונקציית הלוגריתם הטבעי מוגדרת עבור ערכים חיוביים של הארגומנט . במרווח זה הנגזרת חיובית , זה מצביע על עלייה בפונקציה עליו. בוא נמצא את הגבול החד-צדדי של הפונקציה שכן הארגומנט שואף לאפס מימין, והגבול כ-x שואף לפלוס אינסוף:

אנו רואים שכאשר x משתנה מאפס לפלוס אינסוף, ערכי הפונקציה עולים ממינוס אינסוף לפלוס אינסוף. לכן, הטווח של פונקציית הלוגריתם הטבעי הוא כל קבוצת המספרים הממשיים.

דוגמא.

פִּתָרוֹן.

פונקציה זו מוגדרת עבור כל ערכי x אמיתיים. הבה נקבע את נקודות הקיצון, כמו גם את מרווחי העלייה והירידה של הפונקציה.

לכן, הפונקציה יורדת ב-, עולה ב-, x = 0 היא הנקודה המקסימלית, המקסימום המתאים של הפונקציה.

בואו נסתכל על התנהגות הפונקציה באינסוף:

לפיכך, באינסוף, ערכי הפונקציה מתקרבים באופן אסימפטוטי לאפס.

גילינו שכאשר הארגומנט משתנה ממינוס אינסוף לאפס (נקודת מקסימום), ערכי הפונקציה עולים מאפס לתשע (עד למקסימום של הפונקציה), וכאשר x משתנה מאפס לפלוס אינסוף, ערכי הפונקציה יורדים מתשע לאפס.

תסתכל על הציור הסכמטי.

כעת ניתן לראות בבירור שטווח הפונקציה הוא .

מציאת קבוצת הערכים של הפונקציה y = f(x) על מרווחים דורשת מחקרים דומים. לא נתעכב כעת על מקרים אלה בהרחבה. נראה אותם בדוגמאות שלהלן.

תנו לתחום של הפונקציה y = f(x) להיות איחוד של מספר מרווחים. כאשר מוצאים את הטווח של פונקציה כזו, קבוצות הערכים בכל מרווח נקבעות והאיחוד שלהן נלקח.

דוגמא.

מצא את הטווח של הפונקציה.

פִּתָרוֹן.

המכנה של הפונקציה שלנו לא צריך ללכת לאפס, כלומר,.

ראשית, בואו נמצא את קבוצת הערכים של הפונקציה בקרן הפתוחה.

נגזרת פונקציה הוא שלילי במרווח זה, כלומר הפונקציה יורדת בו.

מצאנו שכאשר הטיעון נוטה למינוס אינסוף, ערכי הפונקציה מתקרבים באופן אסימפטוטי לאחדות. כאשר x משתנה ממינוס אינסוף לשניים, ערכי הפונקציה יורדים מאחד למינוס אינסוף, כלומר במרווח הנחשב, הפונקציה מקבלת קבוצה של ערכים. אנחנו לא כוללים אחדות, שכן ערכי הפונקציה לא מגיעים אליה, אלא נוטים אליה רק ​​בצורה אסימפטוטית במינוס אינסוף.

אנו פועלים באופן דומה עבור קורה פתוחה.

גם הפונקציה יורדת במרווח זה.

קבוצת ערכי הפונקציות במרווח זה היא הסט .

לפיכך, הטווח הרצוי של ערכי פונקציות הוא האיחוד של הסטים ו.

איור גרפי.

בנפרד, עלינו להתעכב על פונקציות תקופתיות. טווח הפונקציות המחזוריות עולה בקנה אחד עם קבוצת הערכים במרווח המתאים לתקופה של פונקציה זו.

דוגמא.

מצא את הטווח של פונקציית הסינוס y = sinx.

פִּתָרוֹן.

פונקציה זו היא תקופתית עם תקופה של שני פאי. בואו ניקח קטע ונגדיר את קבוצת הערכים עליו.

הקטע מכיל שתי נקודות קיצון ו-.

אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בנקודות אלה ובגבולות המקטע, בוחרים את הערכים הקטנים והגדולים ביותר:

לָכֵן, .

דוגמא.

מצא את הטווח של פונקציה .

פִּתָרוֹן.

אנו יודעים שהטווח של הארקוסינוס הוא הקטע מאפס עד פי, כלומר, או בפוסט אחר. פוּנקצִיָה ניתן לקבל מ-arccosx על ידי הזזה ומתיחה לאורך ציר ה-x. טרנספורמציות כאלה אינן משפיעות על הטווח, לכן, . פוּנקצִיָה בא מ מתיחה שלוש פעמים לאורך ציר Oy, כלומר, . והשלב האחרון של טרנספורמציות הוא תזוזה בארבע יחידות למטה לאורך ציר ה-y. זה מוביל אותנו לאי שוויון כפול

לפיכך, טווח הערכים הרצוי הוא .

בוא ניתן פתרון לדוגמא נוספת, אך ללא הסברים (הם אינם נדרשים, מכיוון שהם דומים לחלוטין).

דוגמא.

הגדר טווח פונקציות .

פִּתָרוֹן.

אנו כותבים את הפונקציה המקורית בטופס . הטווח של הפונקציה המעריכית הוא המרווח. זה, . לאחר מכן

לָכֵן, .

להשלמת התמונה, כדאי לדבר על מציאת הטווח של פונקציה שאינה רציפה בתחום ההגדרה. במקרה זה, תחום ההגדרה מחולק על ידי נקודות שבירה למרווחים, ואנו מוצאים את קבוצות הערכים על כל אחד מהם. בשילוב קבוצות הערכים שהתקבלו, אנו מקבלים את טווח הערכים של הפונקציה המקורית. אנו ממליצים לזכור