הצג את כל המצלעים. שיעור "מצולעים

נושא: "מצולעים. סוגי מצולעים"

כיתה 9

SL №20

מורה: חריטונוביץ' ת.י.מטרת השיעור: חקר סוגי מצולעים.

משימת למידה:לעדכן, להרחיב ולהכליל את הידע של התלמידים במצולעים; ליצור רעיון של "מרכיבים" של מצולע; לערוך מחקר על מספר האלמנטים המרכיבים של מצולעים רגילים (ממשולש ל-n-גון);

משימת פיתוח:לפתח יכולת ניתוח, השוואה, הסקת מסקנות, פיתוח מיומנויות חישוביות, דיבור מתמטי בעל פה ובכתב, זיכרון, וכן עצמאות בפעילויות חשיבה ולמידה, יכולת עבודה בזוגות ובקבוצות; לפתח פעילויות מחקר וחינוך;

משימה חינוכית:לטפח עצמאות, פעילות, אחריות למשימה שהוטלה עליה, התמדה בהשגת המטרה.

ציוד: לוח אינטראקטיבי (מצגת)

במהלך השיעורים

הצג מצגת: "מצולעים"

"הטבע מדבר בשפת המתמטיקה, האותיות של השפה הזו... דמויות מתמטיות." ג' גליליי

בתחילת השיעור הכיתה מחולקת לקבוצות עבודה (במקרה שלנו חלוקה ל-3 קבוצות)

1. התקשר לשלב-

א) עדכון הידע של התלמידים בנושא;

ב) התעוררות העניין בנושא הנלמד, המוטיבציה של כל תלמיד לפעילויות למידה.

קבלת פנים: המשחק "האם אתה מאמין ש...", ארגון עבודה עם טקסט.

צורות עבודה: פרונטלית, קבוצתית.

"האם אתה מאמין לזה…."

1. ...המילה "מצולע" מציינת שלכל הדמויות של המשפחה הזו יש "הרבה פינות"?

2. …האם משולש שייך למשפחה גדולה של מצולעים הנבדלים ממגוון צורות גיאומטריות במישור?

3. …האם ריבוע הוא מתומן רגיל (ארבע צלעות + ארבע פינות)?

היום בשיעור נדבר על מצולעים. אנו למדים כי נתון זה מוגבל על ידי קו שבור סגור, אשר בתורו יכול להיות פשוט, סגור. בואו נדבר על העובדה שהמצולעים הם שטוחים, רגילים, קמורים. אחד המצלעים השטוחים הוא משולש שאתם מכירים כבר הרבה זמן (אפשר להראות לתלמידים פוסטרים המתארים מצולעים, קו שבור, להראות את סוגיהם השונים, אפשר גם להשתמש ב-TCO).

2. שלב ההבנה

מטרה: השגת מידע חדש, הבנתו, בחירתו.

קבלת פנים: מזגזג.

צורות עבודה: יחיד->זוג->קבוצה.

לכל קבוצה ניתן טקסט על נושא השיעור, והטקסט מעוצב כך שהוא כולל גם מידע שכבר ידוע לתלמידים וגם מידע חדש לחלוטין. יחד עם הטקסט מקבלים התלמידים שאלות שאת התשובות עליהן יש למצוא בטקסט זה.

מצולעים. סוגי מצולעים.

מי לא שמע על משולש ברמודה המסתורי, שבו ספינות ומטוסים נעלמים ללא עקבות? אבל המשולש המוכר לנו מילדות רצוף בהרבה דברים מעניינים ומסתוריים.

בנוסף לסוגי המשולשים שכבר ידועים לנו, מחולקים לפי צלעות (סולם, שווה שוקיים, שווי צלעות) וזוויות (חדות זווית, קהה זווית, ישרה זווית), המשולש שייך למשפחה גדולה של מצולעים, המובחנים בין צורות גיאומטריות רבות ושונות במישור.

המילה "מצולע" מציינת שלכל הדמויות של משפחה זו יש "פינות רבות". אבל זה לא מספיק כדי לאפיין את הדמות.

קו שבור A1A2...An הוא דמות המורכבת מנקודות A1,A2,...An ומקטעים A1A2, A2A3,... המחברים ביניהם. הנקודות נקראות הקודקודים של הפוליליין, והקטעים נקראים הקישורים של הפוליליין. (איור 1)

קו שבור נקרא פשוט אם אין לו צמתים עצמיים (איור 2,3).

קו שבור נקרא סגור אם הקצוות שלו חופפים. אורכו של קו שבור הוא סכום אורכי החוליות שלו (איור 4)

קו שבור פשוט סגור נקרא מצולע אם הקישורים הסמוכים לו אינם מונחים על אותו קו ישר (איור 5).

תחליף במילה "מצולע" במקום בחלק "רבים" מספר מסוים, למשל 3. תקבל משולש. או 5. ואז - מחומש. שימו לב שישנן זוויות רבות כמו צלעות, כך שניתן לקרוא לדמויות אלו רב-צדדיות.

קודקודי הפוליגון נקראים קודקודי המצולע, וקישורי הפוליגון נקראים צלעות המצולע.

המצולע מחלק את המישור לשני אזורים: פנימי וחיצוני (איור 6).

מצולע מישור או אזור מצולע הוא חלק סופי של מישור התחום במצולע.

שני קודקודים של מצולע שהם קצוות של אותה צד נקראים שכנים. קודקודים שאינם קצוות של צד אחד אינם סמוכים.

מצולע בעל n קודקודים ולכן n צלעות נקרא n-גון.

אמנם המספר הקטן ביותר של צלעות של מצולע הוא 3. אבל משולשים, המתחברים זה לזה, יכולים ליצור צורות אחרות, שבתורן הן גם מצולעים.

קטעים המחברים קודקודים לא שכנים של מצולע נקראים אלכסונים.

מצולע נקרא קמור אם הוא נמצא בחצי מישור אחד ביחס לכל ישר המכיל את הצלע שלו. במקרה זה, הקו עצמו נחשב כשייך ל-HALF-PLANE

הזווית של מצולע קמור בקודקוד נתון היא הזווית שנוצרת מהתכנסות צלעותיו בקודקוד זה.

בואו נוכיח את המשפט (על סכום הזוויות של n-גון קמור): סכום הזוויות של n-גון קמור שווה ל-1800*(n - 2).

הוכחה. במקרה n=3 המשפט נכון. תן А1А2…А n להיות מצולע קמור נתון ו-n>3. נצייר בו אלכסונים (מקודקוד אחד). מכיוון שהמצולע קמור, האלכסונים הללו מחלקים אותו ל-n - 2 משולשים. סכום הזוויות של המצולע זהה לסכום הזוויות של כל המשולשים הללו. סכום הזוויות של כל משולש הוא 1800, ומספר המשולשים הללו הוא n - 2. לכן, סכום הזוויות של n קמור - זווית A1A2 ... A n הוא 1800 * (n - 2). המשפט הוכח.

הזווית החיצונית של מצולע קמור בקודקוד נתון היא הזווית הסמוכה לזווית הפנימית של המצולע בקודקוד זה.

מצולע קמור נקרא רגיל אם כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות.

אז הריבוע יכול להיקרא אחרת - מרובע רגיל. משולשים שווי צלעות הם גם סדירים. דמויות כאלה כבר מזמן מעניינות את המאסטרים שקישטו את הבניינים. הם הכינו דוגמאות יפות, למשל, על הפרקט. אבל לא כל המצלעים הרגילים יכולים לשמש ליצירת פרקט. לא ניתן ליצור פרקט מתומנים רגילים. העובדה היא שיש להם כל זווית שווה ל-1350. ואם נקודה כלשהי היא הקודקוד של שני מתומנים כאלה, אז יהיו להם 2700, ואין מקום לתומן השלישי להתאים: 3600 - 2700 = 900. אבל עבור ריבוע זה מספיק. לכן אפשר לקפל את הפרקט מתומנים וריבועים רגילים.

הכוכבים נכונים. הכוכב המחומש שלנו הוא כוכב מחומש רגיל. ואם תסובב את הריבוע סביב המרכז ב-450, תקבל כוכב מתומן רגיל.

מה זה קו שבור? הסבירו מהם קודקודים וקישורים של פוליליין.

איזה קו שבור נקרא פשוט?

איזה קו שבור נקרא סגור?

מהו מצולע? איך קוראים לקודקודים של מצולע? מהן צלעותיו של מצולע?

מהו מצולע שטוח? תן דוגמאות למצולעים.

מה זה n-gon?

הסבר אילו קודקודים של המצולע סמוכים ואיזה לא.

מהו האלכסון של מצולע?

מהו מצולע קמור?

הסבר אילו פינות של המצולע הן חיצוניות ואילו הן פנימיות?

מהו מצולע רגיל? תן דוגמאות למצולעים רגילים.

מהו סכום הזוויות של n-גון קמור? הוכח זאת.

התלמידים עובדים עם הטקסט, מחפשים תשובות לשאלות שנשאלו, ולאחר מכן נוצרות קבוצות מומחים, שבהן מתבצעת עבודה על אותם נושאים: התלמידים מדגישים את העיקר, משרטטים תקציר תומך, מציגים מידע באחד מהשאלות. טפסים גרפיים. בתום העבודה התלמידים חוזרים לקבוצות העבודה שלהם.

3. שלב השתקפות -

א) הערכת הידע שלהם, אתגר לשלב הבא של הידע;

ב) הבנה וניכוס של המידע שהתקבל.

קבלת פנים: עבודת מחקר.

צורות עבודה: יחיד->זוג->קבוצה.

קבוצות העבודה מומחים בתשובות לכל אחד מהסעיפים בשאלות המוצעות.

בשובו לקבוצת העבודה, המומחה מציג בפני שאר חברי הקבוצה את התשובות לשאלותיהם. בקבוצה מתקיימים חילופי מידע של כל חברי קבוצת העבודה. כך, בכל קבוצת עבודה, הודות לעבודתם של מומחים, נוצר רעיון כללי על הנושא הנבדק.

עבודת מחקר של תלמידים- מילוי הטבלה.

מצולעים רגילים ציור מספר צלעות מספר קודקודים סכום כל הזוויות הפנימיות מידה של תואר פנימי. זווית מידת מעלות של זווית חיצונית מספר אלכסונים

א) משולש

ב) מרובע

ב) חמישה חורים

ד) משושה

ה) נ-גון

פתרון בעיות מעניינות בנושא השיעור.

1) כמה צלעות יש למצולע רגיל, שכל אחת מהזוויות הפנימיות שלו שווה ל-1350?

2) במצולע מסוים, כל הזוויות הפנימיות שוות זו לזו. האם סכום הזוויות הפנימיות של המצולע הזה יכול להיות: 3600, 3800?

3) האם ניתן לבנות מחומש עם זוויות של 100,103,110,110,116 מעלות?

מסכם את השיעור.

הקלטת שיעורי בית: STR66-72 מס' 15,17 ובעיה: במרובע, צייר ישיר כך שהיא תחלק אותו לשלושה משולשים.

השתקפות בצורת מבחנים (על לוח אינטראקטיבי)

מקצוע, גיל התלמידים: גיאומטריה, כיתה ט'

מטרת השיעור: חקר סוגי מצולעים.

משימת למידה: לעדכן, להרחיב ולהכליל את הידע של התלמידים במצולעים; ליצור רעיון של "מרכיבים" של מצולע; לערוך מחקר על מספר האלמנטים המרכיבים של מצולעים רגילים (ממשולש ל-n-גון);

משימה מפתחת: לפתח יכולת ניתוח, השוואה, הסקת מסקנות, פיתוח מיומנויות חישוביות, דיבור מתמטי בעל פה ובכתב, זיכרון, וכן עצמאות בחשיבה ופעילויות למידה, יכולת עבודה בזוגות ובקבוצות; לפתח פעילויות מחקר וחינוך;

משימה חינוכית: חינוך לעצמאות, פעילות, אחריות למשימה שהוטלה, התמדה בהשגת המטרה.

במהלך השיעורים:ציטוט כתוב על הלוח

"הטבע מדבר בשפת המתמטיקה, האותיות של השפה הזו... דמויות מתמטיות."ג' גליליי

בתחילת השיעור הכיתה מחולקת לקבוצות עבודה (במקרה שלנו החלוקה לקבוצות של 4 אנשים כל אחת - מספר חברי הקבוצה שווה למספר קבוצות השאלות).

1. התקשר לשלב-

מטרות:

א) עדכון הידע של התלמידים בנושא;

ב) התעוררות העניין בנושא הנלמד, המוטיבציה של כל תלמיד לפעילויות למידה.

קבלת פנים: המשחק "האם אתה מאמין ש...", ארגון עבודה עם טקסט.

צורות עבודה: פרונטלית, קבוצתית.

"האם אתה מאמין לזה…."

1. ...המילה "מצולע" מציינת שלכל הדמויות של המשפחה הזו יש "הרבה פינות"?

2. … משולש שייך למשפחה גדולה של מצולעים, הנבדלים בין צורות גיאומטריות רבות ושונות במישור?

3. …האם ריבוע הוא מתומן רגיל (ארבע צלעות + ארבע פינות)?

2. שלב ההבנה

מטרה: השגת מידע חדש, הבנתו, בחירתו.

קבלת פנים: מזגזג.

צורות עבודה: יחיד->זוג->קבוצה.

מצולעים. סוגי מצולעים.

המילה "מצולע" מציינת שלכל הדמויות של משפחה זו יש "פינות רבות". אבל זה לא מספיק כדי לאפיין את הדמות.

קו שבור A 1 A 2 ... A n הוא דמות המורכבת מנקודות A 1, A 2, ... A n ומקטעים A 1 A 2, A 2 A 3, ... מחברים ביניהם. הנקודות נקראות הקודקודים של הפוליליין, והקטעים נקראים הקישורים של הפוליליין. (איור 1)

קו שבור נקרא פשוט אם אין לו צמתים עצמיים (איור 2,3).

קו שבור נקרא סגור אם הקצוות שלו חופפים. אורכו של קו שבור הוא סכום אורכי החוליות שלו (איור 4).

קו שבור פשוט סגור נקרא מצולע אם הקישורים הסמוכים לו אינם מונחים על אותו קו ישר (איור 5).

קודקודי הפוליגון נקראים קודקודי המצולע, וקישורי הפוליגון נקראים צלעות המצולע.

המצולע מחלק את המישור לשני אזורים: פנימי וחיצוני (איור 6).

מצולע מישור או אזור מצולע הוא חלק סופי של מישור התחום במצולע.

שני קודקודים של מצולע שהם קצוות של אותה צד נקראים שכנים. קודקודים שאינם קצוות של צד אחד אינם סמוכים.

מצולע בעל n קודקודים ולכן n צלעות נקרא n-גון.

קטעים המחברים קודקודים לא שכנים של מצולע נקראים אלכסונים.

מצולע נקרא קמור אם הוא נמצא בחצי מישור אחד ביחס לכל ישר המכיל את הצלע שלו. במקרה זה, הקו הישר עצמו נחשב כשייך לחצי המישור.

הזווית של מצולע קמור בקודקוד נתון היא הזווית שנוצרת מהתכנסות צלעותיו בקודקוד זה.

נוכיח את המשפט (על סכום הזוויות של n-גון קמור): סכום הזוויות של n-גון קמור שווה ל-180 0 *(n - 2).

הוכחה. במקרה n=3 המשפט נכון. תן А 1 А 2 …А n להיות מצולע קמור נתון ו-n>3. נצייר בו אלכסונים (מקודקוד אחד). מכיוון שהמצולע קמור, האלכסונים הללו מחלקים אותו ל-n - 2 משולשים. סכום הזוויות של המצולע זהה לסכום הזוויות של כל המשולשים הללו. סכום הזוויות של כל משולש הוא 180 0, ומספר המשולשים הללו הוא n - 2. לכן, סכום הזוויות של n קמור - זווית A 1 A 2 ... A n הוא 180 0 * ( n - 2). המשפט הוכח.

הזווית החיצונית של מצולע קמור בקודקוד נתון היא הזווית הסמוכה לזווית הפנימית של המצולע בקודקוד זה.

מצולע קמור נקרא רגיל אם כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות.

אז הריבוע יכול להיקרא אחרת - מרובע רגיל. משולשים שווי צלעות הם גם סדירים. דמויות כאלה כבר מזמן מעניינות את המאסטרים שקישטו את הבניינים. הם הכינו דוגמאות יפות, למשל, על הפרקט. אבל לא כל המצלעים הרגילים יכולים לשמש ליצירת פרקט. לא ניתן ליצור פרקט מתומנים רגילים. העובדה היא שיש להם כל זווית שווה ל-135 0. ואם כל נקודה היא הקודקוד של שני מתומנים כאלה, אז יהיה להם 270 0, ואין מקום לתומן השלישי להתאים: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. אבל מספיק לריבוע. לכן אפשר לקפל את הפרקט מתומנים וריבועים רגילים.

קבוצה אחת

מה זה קו שבור? הסבירו מהם קודקודים וקישורים של פוליליין.

איזה קו שבור נקרא פשוט?

איזה קו שבור נקרא סגור?

מהו מצולע? איך קוראים לקודקודים של מצולע? מהן צלעותיו של מצולע?

2 קבוצות

מהו מצולע שטוח? תן דוגמאות למצולעים.

מה זה n-gon?

הסבר אילו קודקודים של המצולע סמוכים ואיזה לא.

מהו האלכסון של מצולע?

3 קבוצה

מהו מצולע קמור?

הסבר אילו פינות של המצולע הן חיצוניות ואילו הן פנימיות?

מהו מצולע רגיל? תן דוגמאות למצולעים רגילים.

קבוצה 4

מהו סכום הזוויות של n-גון קמור? הוכח זאת.

3. שלב השתקפות -

א) הערכת הידע שלהם, אתגר לשלב הבא של הידע;

ב) הבנה וניכוס של המידע שהתקבל.

קבלת פנים: עבודת מחקר.

צורות עבודה: יחיד->זוג->קבוצה.

קבוצות העבודה מומחים בתשובות לכל אחד מהסעיפים בשאלות המוצעות.

עבודת מחקר של תלמידים - מילוי הטבלה.

מצולעים רגילים	צִיוּר	מספר הצדדים	מספר הפסגות	סכום כל הזוויות הפנימיות	מדידת תואר int. זָוִית	מידה של תואר של זווית חיצונית	מספר אלכסונים
א) משולש
ב) מרובע
ב) חמש קירות
ד) משושה
ה) נ-גון

פתרון בעיות מעניינות בנושא השיעור.

במרובע, צייר קו כך שיחלק אותו לשלושה משולשים.
כמה צלעות יש למצולע רגיל, שכל אחת מהזוויות הפנימיות שלו שווה ל-135 0?
במצולע מסוים, כל הזוויות הפנימיות שוות זו לזו. האם סכום הזוויות הפנימיות של המצולע הזה יכול להיות: 360 0 , 380 0 ?

מסכם את השיעור. הקלטת שיעורי בית.

סוגי מצולעים:

ארבעים

ארבעים, בהתאמה, מורכב מ-4 צדדים ופינות.

צלעות וזוויות שנמצאות זו מול זו נקראות מול.

אלכסונים מחלקים מרובעים קמורים למשולשים (ראה איור).

סכום הזוויות של מרובע קמור הוא 360° (באמצעות הנוסחה: (4-2)*180°).

מקביליות

מַקבִּילִיתהוא מרובע קמור עם צלעות מקבילות הפוכות (ממוספר 1 באיור).

צלעות וזוויות מנוגדות במקבילית תמיד שוות.

והאלכסונים בנקודת החיתוך מחולקים לשניים.

טרַפֵּז

טרַפֵּזהוא גם מרובע, ו טרַפֵּזרק שתי צלעות מקבילות, שנקראות עילה. הצדדים האחרים הם הצדדים.

הטרפז באיור ממוספר 2 ו-7.

כמו במשולש:

אם הצלעות שוות, אז הטרפז הוא שְׁוֵה שׁוֹקַיִם;

אם אחת מהזוויות ישרה, אז הטרפז כן מַלבֵּנִי.

קו האמצע של טרפז הוא מחצית מסכום הבסיסים ומקביל להם.

מְעוּיָן

מְעוּיָןהוא מקבילית שכל הצלעות שוות.

בנוסף למאפיינים של מקבילית, למעוינים יש תכונה מיוחדת משלהם - האלכסונים של מעוין מאונכיםאחד את השני ו חוצים את פינותיו של מעוין.

באיור, המעוין ממוספר 5.

מלבנים

מַלבֵּן- זוהי מקבילית, שבה כל פינה היא ימין (ראה באיור במספר 8).

בנוסף למאפיינים של מקבילית, למלבנים יש תכונה מיוחדת משלהם - האלכסונים של המלבן שווים.

ריבועים

כיכרהוא מלבן שכל צלעותיו שוות (#4).

יש לו תכונות של מלבן ומעוין (שכן כל הצלעות שוות).

החלק של המישור התחום על ידי קו שבור סגור נקרא מצולע.

הקטעים של הקו השבור הזה נקראים מסיבותמְצוּלָע. AB, BC, CD, DE, EA (איור 1) - צידי המצולע ABCDE. סכום כל צלעות המצולע נקרא שלו היקף.

המצולע נקרא קָמוּר, אם הוא ממוקם בצד אחד של כל אחד מהצדדים שלו, נמשך ללא הגבלת זמן מעבר לשני הקודקודים.

המצולע MNPKO (איור 1) לא יהיה קמור, מכיוון שהוא ממוקם על יותר מצלע אחד של הקו הישר KP.

נשקול רק מצולעים קמורים.

הזוויות שנוצרות על ידי שתי צלעות סמוכות של מצולע נקראות שלו פְּנִימִיפינות, והחלק העליון שלהן - קודקודים מצולעים.

קטע קו המחבר שני קודקודים לא סמוכים של מצולע נקרא אלכסון של המצולע.

AC, AD - אלכסוני המצולע (איור 2).

הפינות הסמוכות לפינות הפנימיות של המצולע נקראות הפינות החיצוניות של המצולע (איור 3).

בהתאם למספר הזוויות (צלעות), מצולע נקרא משולש, מרובע, מחומש וכו'.

אומרים ששני מצולעים שווים אם ניתן להרכיב אותם.

מצולעים כתובים ומוקפים

אם כל הקודקודים של מצולע נמצאים על מעגל, אז המצולע נקרא כָּתוּבלתוך מעגל, והמעגל מְתוּאָרליד המצולע (איור).

אם כל צלעות המצולע משיקות למעגל, אז המצולע נקרא מְתוּאָרמסביב למעגל, והמעגל נקרא כָּתוּבלתוך מצולע (איור).

דמיון של מצולעים

שני מצולעים בעלי אותו שם נקראים דומים אם הזוויות של אחד מהם שוות בהתאמה לזוויות של השני, והצלעות הדומות של המצלעים פרופורציונליות.

מצולעים בעלי אותו מספר צלעות (זוויות) נקראים מצולעים בעלי אותו שם.

הצלעות של מצולעים דומים נקראות דומות אם הן מחברות את הקודקודים של זוויות שוות בהתאם (איור).

כך, למשל, כדי שהמצולע ABCDE יהיה דומה למצולע A'B'C'D'E', יש צורך ש: E = ∠E' ובנוסף, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

יחס היקפי של מצולעים דומים

ראשית, שקול את המאפיין של סדרה של יחסים שווים. נניח, למשל, יחסים: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

הבה נמצא את סכום האיברים הקודמים של יחסים אלה, אז - סכום האיברים הבאים שלהם ונמצא את היחס בין הסכומים שהתקבלו, נקבל:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

נקבל אותו דבר אם ניקח מספר של יחסים אחרים, לדוגמה: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 ואז נמצא את היחס בין הסכומים הללו , אנחנו מקבלים:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

בשני המקרים, סכום האיברים הקודמים בסדרה של יחסים שווים קשור לסכום האיברים הבאים מאותה סדרה, שכן האיבר הקודם של כל אחד מהיחסים הללו קשור לאיבר הבא שלו.

הסקנו תכונה זו על ידי בחינת מספר דוגמאות מספריות. ניתן להסיק זאת בקפדנות ובצורה כללית.

עכשיו שקול את היחס בין היקפים של מצולעים דומים.

תן למצולע ABCDE להיות דומה למצולע A'B'C'D'E' (איור).

מהדמיון של המצולעים הללו נובע ש

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

בהתבסס על המאפיין של סדרת יחסים שווים שהפקנו, נוכל לכתוב:

סכום האיברים הקודמים של היחסים שלקחנו הוא היקף המצולע הראשון (P), וסכום האיברים הבאים של היחסים הללו הוא היקף המצולע השני (P '), כך P / P ' = AB / A'B '.

לָכֵן, היקפים של מצולעים דומים קשורים כצלעות התואמות שלהם.

יחס של שטחים של מצולעים דומים

תנו ל-ABCDE ו-A'B'C'D'E' להיות מצולעים דומים (איור).

ידוע ש- ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' ו- ΔADE ~ ΔA'D'E'.

חוץ מזה,

מאז היחס השני של הפרופורציות הללו שווים, מה שנובע מהדמיון של מצולעים, אז

באמצעות התכונה של סדרה של יחסים שווים, נקבל:

כאשר S ו-S' הם השטחים של מצולעים דומים אלה.

לָכֵן, השטחים של מצולעים דומים קשורים כריבועים של צלעות דומות.

ניתן להמיר את הנוסחה המתקבלת לצורה זו: S / S '= (AB / A'B ') 2

שטח של מצולע שרירותי

תידרש לחשב את השטח של מרובע שרירותי ABDC (איור).

נצייר בו אלכסון, למשל לספירה. נקבל שני משולשים ABD ו-ACD, שאת שטחיהם נוכל לחשב. אז נמצא את סכום השטחים של המשולשים הללו. הסכום שיתקבל יבטא את השטח של המרובע הנתון.

אם אתה צריך לחשב את השטח של מחומש, אנו ממשיכים באותו אופן: אנו מציירים אלכסונים מאחד הקודקודים. נקבל שלושה משולשים, שאת שטחיהם נוכל לחשב. אז אנחנו יכולים למצוא את השטח של הפנטגון הזה. אנו עושים את אותו הדבר בעת חישוב השטח של כל מצולע.

אזור הקרנת מצולע

נזכיר שהזווית בין ישר למישור היא הזווית בין ישר נתון והשלכתו על המישור (איור).

מִשׁפָּט. שטח ההקרנה האורתוגונלית של המצולע על המישור שווה לשטח המצולע המוקרן כפול הקוסינוס של הזווית שנוצרת על ידי מישור המצולע ומישור ההקרנה.

ניתן לחלק כל מצולע למשולשים, שסכום שטחיהם שווה לשטח המצולע. לכן, די להוכיח את המשפט למשולש.

תן ל-ΔABC להיות מוקרן על המטוס ר. שקול שני מקרים:

א) אחת הצלעות ΔABS מקבילה למישור ר;

ב) אף אחת מהצלעות ΔABC אינה מקבילה ר.

לשקול מקרה ראשון: תן [AB] || ר.

צייר דרך המישור (AB). ר 1 || רולהקרין אורתוגונלית על ΔABC ר 1 ואילך ר(אורז.); נקבל ΔABC 1 ו- ΔA'B'C'.

לפי תכונת ההשלכה, יש לנו ΔABC 1 (cong) ΔA'B'C', ולכן

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

נצייר את ⊥ ואת הקטע D 1 C 1 . ואז ⊥ , a $\overbrace(CD_1C_1)$ = φ היא הזווית בין המישור ΔABC למישור ר 1 . בגלל זה

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | א.ב | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | א.ב | | תקליטור 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

ולכן, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

נעבור לשיקול מקרה שני. צייר מטוס ר 1 || רדרך אותו קודקוד ΔАВС, המרחק ממנו למישור רהקטן ביותר (שיהיה קודקוד A).

בואו נתכנן את ΔABC במטוס ר 1 ו ר(אורז.); תנו לתחזיות שלו להיות בהתאמה ΔAB 1 C 1 ו- ΔA'B'C'.

תן (BC) ∩ ע 1 = ד ואז

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

חומרים אחרים

מאפייני מצולע

מצולע הוא דמות גיאומטרית, המוגדרת לרוב כפולי-קו סגור ללא חיתוכים עצמיים (מצולע פשוט (איור 1א)), אך לעיתים מותרים חיתוכים עצמיים (ואז המצולע אינו פשוט).

קודקודי הפוליגון נקראים קודקודי המצולע, והקטעים נקראים צלעות המצולע. קודקודי מצולע נקראים שכנים אם הם הקצוות של אחת מצלעיו. קטעי קו המחברים קודקודים לא שכנים של מצולע נקראים אלכסונים.

זווית (או זווית פנימית) של מצולע קמור בקודקוד נתון היא הזווית שנוצרת מהתכנסות צלעותיו בקודקוד זה, והזווית נחשבת מצלע המצולע. בפרט, הזווית עשויה לעלות על 180° אם המצולע אינו קמור.

הזווית החיצונית של מצולע קמור בקודקוד נתון היא הזווית הסמוכה לזווית הפנימית של המצולע בקודקוד זה. באופן כללי, הזווית החיצונית היא ההבדל בין 180 מעלות לזווית הפנימית. מכל קודקוד של -גון עבור > 3, ישנם - 3 אלכסונים, כך שמספר האלכסונים הכולל של -גון שווה.

מצולע בעל שלושה קודקודים נקרא משולש, עם ארבע - מרובע, עם חמישה - מחומש וכן הלאה.

מצולע עם נ peaks נקרא n-כיכר.

מצולע שטוח הוא דמות המורכבת ממצולע ומהחלק הסופי של השטח התחום בו.

מצולע נקרא קמור אם אחד מהתנאים הבאים (שווים) מתקיים:

1. הוא שוכב בצד אחד של כל קו ישר המחבר את הקודקודים השכנים לו. (כלומר, שלוחות צלעותיו של מצולע אינן חותכות את שאר צלעותיו);
2. זהו החתך (כלומר חלק משותף) של כמה חצאי מישורים;
3. כל קטע עם קצוות בנקודות השייכות למצולע שייך לו כולו.

מצולע קמור נקרא רגיל אם כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות, למשל, משולש שווה צלעות, ריבוע ומחומש.

אומרים שמצולע קמור נרשם סביב מעגל אם כל צלעותיו משיקות למעגל כלשהו

מצולע רגיל הוא מצולע שבו כל הזוויות וכל הצלעות שוות.

מאפייני מצולע:

1 כל אלכסון של -גון קמור, כאשר >3, מפרק אותו לשני מצולעים קמורים.

2 סכום כל הזוויות של -גון קמור שווה ל.

D-in: בואו נוכיח את המשפט בשיטת האינדוקציה המתמטית. עבור = 3 זה ברור. נניח שהמשפט נכון עבור -גון, שבו <, ולהוכיח זאת עבור -גון.

בואו להיות מצולע נתון. צייר אלכסון של מצולע זה. לפי משפט 3, המצולע מפורק למשולש ולגון קמור (איור 5). לפי השערת האינדוקציה. בצד השני, . הוספת השוויון הללו ולוקחת זאת בחשבון (- זווית קרן פנימית ) ו (- זווית קרן פנימית ), אנחנו מקבלים כשאנחנו מקבלים: .

3 בערך כל מצולע רגיל אפשר לתאר מעגל, ויותר מכך, רק אחד.

D-in: תן מצולע רגיל, ו-ו להיות חצויים של הזוויות, ו (איור 150). מאז, לכן, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке על אודות.בואו נוכיח את זה O = OA 2 = על אודות =… = OA פ . משולש על אודותשווה שוקיים, לפיכך על אודות= על אודות. לפי הקריטריון השני לשוויון המשולשים, לפיכך, על אודות = על אודות. באופן דומה, הוכח כי על אודות = על אודותוכו ' אז הנקודה על אודותבמרחק שווה מכל קודקודי המצולע, אז המעגל עם המרכז על אודותרַדִיוּס על אודותמוקף על מצולע.

הבה נוכיח כעת שיש רק מעגל מוקף אחד. חשבו על שלושה קודקודים של מצולע, למשל, א 2 , . מכיוון שרק עיגול אחד עובר בנקודות אלו, אז בערך המצולע … אתה לא יכול לתאר יותר ממעגל אחד.

4 בכל מצולע רגיל, אתה יכול לרשום מעגל ויותר מכך, רק אחד.
5 עיגול הכתוב במצולע רגיל נוגע בצידי המצולע בנקודות האמצע שלהם.
6 מרכז המעגל המקיף מצולע רגיל עולה בקנה אחד עם מרכז המעגל החתום באותו מצולע.
7 סימטריה:

אומרים שדמות היא סימטרית (סימטרית) אם יש תנועה כזו (לא זהה) שהופכת את הדמות הזו לעצמה.

7.1. למשולש כללי אין צירים או מרכזי סימטריה, הוא אינו סימטרי. למשולש שווה שוקיים (אך לא שווה שוקיים) יש ציר סימטריה אחד: החציו הניצב לבסיס.
7.2. למשולש שווה צלעות יש שלושה צירים של סימטריה (חצויים מאונכים לצדדים) וסימטריה סיבובית סביב המרכז עם זווית סיבוב של 120°.

7.3 לכל n-גון רגיל יש n צירי סימטריה, שכולם עוברים במרכזו. יש לו גם סימטריה סיבובית על המרכז עם זווית סיבוב.

אֲפִילוּ נצירים מסוימים של סימטריה עוברים דרך קודקודים מנוגדים, אחרים דרך נקודות האמצע של צלעות מנוגדות.

בשביל מוזר נכל ציר עובר דרך הקודקוד ונקודת האמצע של הצד הנגדי.

מרכזו של מצולע רגיל עם מספר זוגי של צלעות הוא מרכז הסימטריה שלו. למצולע רגיל עם מספר אי זוגי של צלעות אין מרכז סימטריה.

8 דמיון:

עם דמיון, ו-גון נכנס לגון, חצי מישור - לחצי מישור, ולכן קמור נ-גון הופך לקמור נ-גון.

משפט: אם הצלעות והזוויות של מצולעים קמורים ומקיימים את השוויון:

איפה מקדם הפודיום

אז המצלעים האלה דומים.

8.1 היחס בין היקפים של שני מצולעים דומים שווה למקדם הדמיון.
8.2. היחס בין השטחים של שני מצולעים דומים קמורים שווה לריבוע של מקדם הדמיון.

משפט היקף משולש מצולע

הצג את כל המצלעים. שיעור "מצולעים

ארבעים

מקביליות

טרַפֵּז

מְעוּיָן

מלבנים

ריבועים

מצולעים כתובים ומוקפים

דמיון של מצולעים

יחס היקפי של מצולעים דומים

יחס של שטחים של מצולעים דומים

שטח של מצולע שרירותי

אזור הקרנת מצולע

אנחנו ברשתות חברתיות

קטגוריות