הסבר חישוב נגזרות. דוגמאות ליישום הנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת

מציאת הנגזרת של פונקציה מתמטית נקראת בידול. מציאת הנגזרת של פונקציה מתמטית היא בעיה נפוצה במתמטיקה גבוהה יותר. אפשר לדבר בדרכים שונות: למצוא נגזרת, לחשב נגזרת, להבדיל פונקציה, לקחת נגזרת, אבל כל אלה הם אותם מושגים. יש כמובן משימות מורכבות שבהן מציאת הנגזרת היא רק אחד ממרכיבי הבעיה. בשירות האתר שלנו, יש לך הזדמנות לחשב את הנגזרת באופן מקוון של פונקציות אלמנטריות ומורכבות כאחד שאין להן פתרון אנליטי. את הנגזרת המקוונת של השירות שלנו ניתן למצוא כמעט מכל פונקציה מתמטית, אפילו המורכבת ביותר ששירותים אחרים לא יכלו לפתור עבורך. והתשובה שהתקבלה תמיד נכונה ב-100% ואינה כוללת שגיאות. אתה יכול לראות כיצד תהליך מציאת נגזרת באתר שלנו מתבצע באמצעות דוגמאות ספציפיות. דוגמאות נמצאות מימין ללחצן "פתרון". בחר פונקציה כלשהי מרשימת הדוגמאות, היא תוחלף אוטומטית בשדה הפונקציה, ולאחר מכן לחץ על כפתור "פתרון". תראה פתרון שלב אחר שלב, הנגזרת שלך תמצא באותו אופן. היתרונות של פתרון הנגזרת באינטרנט. גם אם אתה יודע איך למצוא נגזרים, תהליך זה יכול לקחת הרבה זמן ומאמץ. אתר השירות נועד לחסוך מכם חישובים מייגעים וארוכים, בהם, יתר על כן, תוכלו לטעות. הנגזרת המקוונת מחושבת בלחיצה אחת על כפתור "פתרון" לאחר הכניסה לפונקציה הנתונה. כמו כן, האתר מושלם למי שרוצה לבדוק את יכולתו למצוא את הנגזרת של פונקציה מתמטית ולוודא שהפתרון שלו נכון או למצוא בו טעות. כדי לעשות זאת, אתה רק צריך להשוות את התשובה שלך עם התוצאה של החישובים של השירות המקוון. אם אינך רוצה להשתמש בטבלאות נגזרות, שאיתן מציאת הפונקציה הרצויה לוקח מספיק זמן, אז השתמש בשירות שלנו במקום בטבלאות נגזרות כדי למצוא את הנגזרת. היתרונות העיקריים של האתר שלנו בהשוואה לשירותים דומים אחרים הם שהחישוב מהיר מאוד (בממוצע 5 שניות) ואתה לא צריך לשלם על זה כלום - השירות לגמרי בחינם. לא תידרש להירשם, להזין דואר אלקטרוני או את הנתונים האישיים שלך. כל מה שצריך זה להיכנס לפונקציה הנתונה וללחוץ על כפתור "פתרון". מהי נגזרת. הנגזרת של פונקציה היא מושג בסיסי במתמטיקה ובחשבון. ההפך של תהליך זה הוא אינטגרציה, כלומר מציאת פונקציה על ידי נגזרת ידועה. במילים פשוטות, דיפרנציאציה היא פעולה על פונקציה, והנגזרת היא כבר תוצאה של פעולה כזו. כדי לחשב את הנגזרת של פונקציה בנקודה מסוימת, ארגומנט x מוחלף בערך מספרי והביטוי מוערך. הנגזרת מסומנת באמצעות מקף בפינה הימנית העליונה מעל הפונקציה. כמו כן, שבץ יכול להיות ייעוד של פונקציה ספציפית. כדי למצוא את הנגזרת של פונקציה אלמנטרית, תצטרכו להכיר את טבלת הנגזרות או להחזיק אותה תמיד בהישג יד, מה שאולי לא מאוד נוח, וגם לדעת את כללי ההבחנה, לכן אנו ממליצים להשתמש בשירות שלנו שבו מחשבים את הנגזרת באינטרנט, אתה רק צריך להזין את הפונקציה בשדה המיועד לכך. הארגומנט חייב להיות המשתנה x, מכיוון שההבחנה נעשית ביחס אליו. אם אתה צריך לחשב את הנגזרת השנייה, אז אתה יכול להבדיל את התשובה. כיצד מחושב הנגזרת באינטרנט. טבלאות נגזרות לפונקציות אלמנטריות נוצרו מזמן וניתן למצוא בקלות טבלאות של נגזרות לפונקציות אלמנטריות, ולכן חישוב הנגזרת של פונקציה מתמטית אלמנטרית (פשוטה) הוא עניין פשוט למדי. אולם כאשר נדרש למצוא את הנגזרת של פונקציה מתמטית מורכבת, הרי שזו כבר לא משימה של מה בכך והיא תדרוש מאמץ וזמן רב. אתה יכול להיפטר מחישובים חסרי משמעות וארוכים אם אתה משתמש בשירות המקוון שלנו. בזכותו, הנגזרת תחושב תוך שניות.

עליהם ניתחנו את הנגזרות הפשוטות ביותר, וגם הכרנו את כללי ההבחנה וכמה טכניקות למציאת נגזרות. לפיכך, אם אתה לא טוב מאוד עם נגזרות של פונקציות או שחלק מהנקודות במאמר זה אינן ברורות לחלוטין, קרא תחילה את השיעור שלעיל. נא להתכוונן למצב רוח רציני - החומר לא קל, אבל בכל זאת אנסה להציג אותו בצורה פשוטה וברורה.

בפועל, אתה צריך להתמודד עם הנגזרת של פונקציה מורכבת לעתים קרובות מאוד, אפילו הייתי אומר כמעט תמיד, כשנותנים לך משימות למצוא נגזרות.

אנו מסתכלים בטבלה על הכלל (מס' 5) להבדיל בין פונקציה מורכבת:

אנחנו מבינים. קודם כל, בואו נסתכל על הסימון. כאן יש לנו שתי פונקציות - ו , והפונקציה, באופן פיגורטיבי, מקוננת בפונקציה . פונקציה מסוג זה (כאשר פונקציה אחת מקוננת בתוך אחרת) נקראת פונקציה מורכבת.

אני אקרא לפונקציה פונקציה חיצונית, והפונקציה – פונקציה פנימית (או מקוננת)..

! הגדרות אלו אינן תיאורטיות ואינן אמורות להופיע בעיצוב הסופי של מטלות. אני משתמש בביטויים הבלתי פורמליים "פונקציה חיצונית", פונקציה "פנימית" רק כדי להקל עליך להבין את החומר.

כדי להבהיר את המצב, שקול:

דוגמה 1

מצא את הנגזרת של פונקציה

מתחת לסינוס, יש לנו לא רק את האות "x", אלא את כל הביטוי, ולכן מציאת הנגזרת מיד מהטבלה לא תעבוד. אנחנו גם שמים לב שאי אפשר ליישם כאן את ארבעת הכללים הראשונים, נראה שיש הבדל, אבל העובדה היא שאי אפשר "לקרוע" את הסינוס:

בדוגמה הזו, כבר מההסברים שלי, ברור אינטואיטיבית שהפונקציה היא פונקציה מורכבת, והפולינום הוא פונקציה פנימית (הטבעה), ופונקציה חיצונית.

צעד ראשון, אשר יש לבצע כאשר מציאת הנגזרת של פונקציה מורכבת היא to להבין איזו פונקציה פנימית ואיזו חיצונית.

במקרה של דוגמאות פשוטות, נראה ברור שפולינום מקונן מתחת לסינוס. אבל מה אם זה לא ברור? איך לקבוע בדיוק איזו פונקציה היא חיצונית ואיזו פנימית? לשם כך, אני מציע להשתמש בטכניקה הבאה, שיכולה להתבצע נפשית או על טיוטה.

בואו נדמיין שאנחנו צריכים לחשב את הערך של הביטוי עם מחשבון (במקום אחד, יכול להיות כל מספר).

מה אנחנו מחשבים קודם? ראשית כלתצטרך לבצע את הפעולה הבאה: , אז הפולינום יהיה פונקציה פנימית:

שניתתצטרך למצוא, אז הסינוס - יהיה פונקציה חיצונית:

אחרי שאנחנו מביןעם פונקציות פנימיות וחיצוניות, הגיע הזמן ליישם את כלל הבידול של פונקציות מורכבות .

אנחנו מתחילים להחליט. מתוך השיעור איך למצוא את הנגזרת?אנו זוכרים שעיצוב הפתרון של כל נגזרת מתחיל תמיד כך - אנו סוגרים את הביטוי בסוגריים ומניחים קו בפינה השמאלית העליונה:

בתחילהאנו מוצאים את הנגזרת של הפונקציה החיצונית (סינוס), מסתכלים בטבלת הנגזרות של פונקציות יסודיות ושימו לב ש. כל הנוסחאות הטבלה ישימות גם אם "x" מוחלף בביטוי מורכב, במקרה הזה:

שימו לב שהפונקציה הפנימית לא השתנה, אנחנו לא נוגעים בו.

ובכן, זה די ברור

התוצאה של יישום הנוסחה נקי נראה כך:

הגורם הקבוע ממוקם בדרך כלל בתחילת הביטוי:

אם יש אי הבנה, רשום את ההחלטה על הנייר וקרא שוב את ההסברים.

דוגמה 2

מצא את הנגזרת של פונקציה

דוגמה 3

מצא את הנגזרת של פונקציה

כמו תמיד, אנו כותבים:

אנו מבינים היכן יש לנו פונקציה חיצונית, ואיפה היא פנימית. לשם כך, אנו מנסים (מנטלית או בטיוטה) לחשב את הערך של הביטוי עבור . מה צריך לעשות קודם? קודם כל, אתה צריך לחשב למה שווה הבסיס:, כלומר הפולינום הוא הפונקציה הפנימית:

ורק אז מבוצעת אקספוננציה, לכן, פונקציית הכוח היא פונקציה חיצונית:

לפי הנוסחה , ראשית עליך למצוא את הנגזרת של הפונקציה החיצונית, במקרה זה, התואר. אנו מחפשים את הנוסחה הרצויה בטבלה:. אנו חוזרים שוב: כל נוסחה טבלאית תקפה לא רק עבור "x", אלא גם עבור ביטוי מורכב. לפיכך, התוצאה של יישום כלל הדיפרנציאציה של פונקציה מורכבת הַבָּא:

אני מדגיש שוב שכאשר ניקח את הנגזרת של הפונקציה החיצונית, הפונקציה הפנימית לא משתנה:

כעת נותר למצוא נגזרת פשוטה מאוד של הפונקציה הפנימית ו"לסרק" מעט את התוצאה:

דוגמה 4

מצא את הנגזרת של פונקציה

זוהי דוגמה לפתרון עצמי (תשובה בסוף השיעור).

כדי לבסס את ההבנה של הנגזרת של פונקציה מורכבת, אתן דוגמה ללא הערות, אנסה להבין אותה לבד, נימוק, איפה החיצוני ואיפה הפונקציה הפנימית, למה פותרים את המשימות כך?

דוגמה 5

א) מצא את הנגזרת של פונקציה

ב) מצא את הנגזרת של הפונקציה

דוגמה 6

מצא את הנגזרת של פונקציה

כאן יש לנו שורש, וכדי להבדיל את השורש יש לייצג אותו כדרגה. לפיכך, אנו מביאים תחילה את הפונקציה לצורה המתאימה להבדלה:

בניתוח הפונקציה, אנו מגיעים למסקנה שסכום שלושה איברים הוא פונקציה פנימית, ואקספונציה היא פונקציה חיצונית. אנו מיישמים את כלל הדיפרנציאציה של פונקציה מורכבת :

התואר מיוצג שוב כרדיקל (שורש), ולנגזרת של הפונקציה הפנימית, אנו מיישמים כלל פשוט להבדיל בין הסכום:

מוּכָן. אפשר גם להביא את הביטוי למכנה משותף בסוגריים ולכתוב הכל כשבר אחד. זה יפה, כמובן, אבל כשמתקבלות נגזרות ארוכות מסורבלות, עדיף לא לעשות את זה (קל להתבלבל, לטעות מיותרת, ולא יהיה נוח למורה לבדוק).

דוגמה 7

מצא את הנגזרת של פונקציה

זוהי דוגמה לפתרון עצמי (תשובה בסוף השיעור).

מעניין לציין שלפעמים, במקום הכלל להבדיל פונקציה מורכבת, אפשר להשתמש בכלל להבדיל מנה , אבל פתרון כזה ייראה כמו סטייה יוצאת דופן. הנה דוגמה טיפוסית:

דוגמה 8

מצא את הנגזרת של פונקציה

כאן אתה יכול להשתמש בכלל ההבחנה של המנה , אבל הרבה יותר משתלם למצוא את הנגזרת באמצעות כלל ההבחנה של פונקציה מורכבת:

אנחנו מכינים את הפונקציה להבדלה - נוציא את סימן המינוס של הנגזרת, ומעלה את הקוסינוס למונה:

קוסינוס היא פונקציה פנימית, אקספוננציה היא פונקציה חיצונית.
בואו נשתמש בכלל שלנו :

אנו מוצאים את הנגזרת של הפונקציה הפנימית, מאפסים את הקוסינוס בחזרה למטה:

מוּכָן. בדוגמה הנחשבת, חשוב לא להתבלבל בסימנים. אגב, נסו לפתור את זה עם הכלל , התשובות חייבות להתאים.

דוגמה 9

מצא את הנגזרת של פונקציה

זוהי דוגמה לפתרון עצמי (תשובה בסוף השיעור).

עד כה, שקלנו מקרים שבהם היה לנו רק קינון אחד בפונקציה מורכבת. במשימות מעשיות, לעתים קרובות אתה יכול למצוא נגזרות, שבהן, כמו בובות קינון, אחת בתוך השנייה, מקוננים 3 או אפילו 4-5 פונקציות בבת אחת.

דוגמה 10

מצא את הנגזרת של פונקציה

אנו מבינים את הקבצים המצורפים של פונקציה זו. אנו מנסים להעריך את הביטוי באמצעות הערך הניסיוני. איך נסמוך על מחשבון?

ראשית עליך למצוא, מה שאומר שהארקסין הוא הקינון העמוק ביותר:

לאחר מכן יש לריבוע את קשת האחדות הזו:

ולבסוף, אנו מעלים את השבעה לכוח:

כלומר, בדוגמה זו יש לנו שלוש פונקציות שונות ושני קינון, בעוד שהפונקציה הפנימית ביותר היא הקשת, והפונקציה החיצונית ביותר היא הפונקציה האקספוננציאלית.

אנחנו מתחילים להחליט

לפי הכלל ראשית עליך לקחת את הנגזרת של הפונקציה החיצונית. אנו מסתכלים בטבלת הנגזרות ומוצאים את הנגזרת של הפונקציה המעריכית: ההבדל היחיד הוא שבמקום "x" יש לנו ביטוי מורכב, שאינו שולל את תקפותה של נוסחה זו. אז, התוצאה של יישום כלל ההבחנה של פונקציה מורכבת הַבָּא.

יישום

הפתרון של הנגזרת לאתר לאיחוד החומר שמכוסה על ידי תלמידים ותלמידי בית ספר. חישוב הנגזרת של פונקציה תוך מספר שניות אינו קשה אם אתה משתמש בשירות פתרון הבעיות המקוון שלנו. כל תלמיד שלישי יוכל לתת ניתוח מפורט ללימוד יסודי בשיעור מעשי. לא פעם פונה אלינו המחלקה של המחלקה הרלוונטית לקידום המתמטיקה במוסדות החינוך בארץ. איך, במקרה הזה, שלא לדבר על הפתרון של הנגזרת באינטרנט למרחב סגור של רצפים מספריים. אנשים עשירים רבים רשאים להביע את תמיהתם. אבל בינתיים, מתמטיקאים לא יושבים בשקט ועובדים קשה. השינוי בפרמטרי הקלט לפי מאפיינים ליניאריים יתקבל על ידי מחשבון הנגזרים בעיקר בשל העליונה של המיקומים היורדים של הקוביות. התוצאה היא בלתי נמנעת כמשטח. כנתונים ראשוניים, הנגזרת המקוונת מבטלת את הצורך לנקוט בצעדים מיותרים. חוץ משיעורי בית פיקטיביים. בנוסף לעובדה שפתרון נגזרות מקוון הוא היבט הכרחי וחשוב בלימוד מתמטיקה, תלמידים לרוב אינם זוכרים בעיות בעבר. התלמיד, כמו יצור עצלן, מבין זאת. אבל סטודנטים הם אנשים מצחיקים! או לעשות את זה לפי הכללים, או שהנגזרת של הפונקציה במישור משופע יכולה לתת תאוצה לנקודה חומרית. בואו נכוון את הווקטור של האלומה המרחבית היורדת למקום כלשהו. בתשובה הרצויה, נראה כי מציאת הנגזרת היא כיוון תיאורטי מופשט בשל חוסר היציבות של המערכת המתמטית. חשבו על יחס של מספרים כרצף של אפשרויות שאינן בשימוש. ערוץ התקשורת התחדש בקו החמישי לאורך הווקטור היורד מנקודת ההתפצלות הסגורה של הקובייה. במישור המרחבים המעוקלים, פתרון הנגזרת באינטרנט מוביל אותנו למסקנה שגרמה לגדולי המוחות של הפלנטה לחשוב במאה האחרונה. במהלך התרחשויות מתחום המתמטיקה הובאו לדיון הציבורי חמישה גורמים חשובים מהותית התורמים לשיפור עמדת בחירת המשתנה. אז החוק לנקודות אומר שהנגזרת המקוונת לא מחושבת בפירוט בכל מקרה, רק רגע שמתקדם בנאמנות יכול להיות חריג. התחזית הביאה אותנו לסבב חדש של פיתוח. אנחנו צריכים תוצאה. בקו המדרון המתמטי שעבר מתחת לפני השטח, מחשבון נגזרות המצב נמצא באזור ההצטלבות של המוצרים על סט הכיפוף. נותר לנתח את הבידול של הפונקציה בנקודה העצמאית שלה ליד שכונת אפסילון. כל אחד יכול לראות זאת בפועל. כתוצאה מכך, יהיה על מה להחליט בשלב הבא של התכנות. התלמיד צריך את הנגזרת המקוונת כמו תמיד, ללא קשר ללימודים הדמיוניים המתורגלים. מסתבר שהפתרון המקוון של פונקציית הנגזרת כפול קבוע אינו משנה את כיוון התנועה הכללי של נקודת החומר, אלא מאפיין את עליית המהירות בקו ישר. במובן זה, זה יהיה שימושי ליישם את מחשבון הנגזרת שלנו ולחשב את כל הערכים של פונקציה על כל קבוצת ההגדרה שלה. פשוט אין צורך לחקור את גלי הכוח של שדה הכבידה. בשום מקרה הפתרון הנגזרת המקוון לא יראה את הטיית האלומה היוצאת, אבל רק במקרים נדירים, כשזה ממש נחוץ, סטודנטים באוניברסיטה יכולים לדמיין זאת. אנחנו חוקרים את המנהל. הערך של הרוטור הקטן ביותר ניתן לחיזוי. החל על התוצאה את הקווים המביטים ימינה, שלאורכם מתואר הכדור, אבל המחשבון המקוון של נגזרות הוא הבסיס לדמויות של חוזק מיוחד ותלות לא ליניארית. דוח פרויקט מתמטיקה מוכן. מאפיינים אישיים ההפרש של המספרים הקטנים ביותר והנגזרת של הפונקציה לאורך ציר ה-y יביאו את הקיעור של אותה פונקציה לגובה. יש כיוון - יש מסקנה. קל יותר ליישם את התיאוריה בפועל. יש הצעה של סטודנטים על מועד תחילת הלימודים. צריך תשובה של מורה. שוב, כמו בעמדה הקודמת, המערכת המתמטית אינה מוסדרת על בסיס פעולה שתסייע למצוא את הנגזרת. כמו הגרסה החצי-לינארית התחתונה, הנגזרת המקוונת תציין בפירוט את זיהוי הפתרון ע"פ חוק מותנה מנוון. רק העלה את הרעיון של חישוב נוסחאות. בידול ליניארי של פונקציה דוחה את האמת של הפתרון פשוט על ידי הצגת וריאציות חיוביות לא רלוונטיות. חשיבותם של סימני ההשוואה תיחשב כהפסקה מתמשכת של הפונקציה לאורך הציר. זוהי החשיבות של המסקנה המודעת ביותר, לדברי התלמיד, שבה הנגזרת המקוונת היא משהו אחר מאשר דוגמה נאמנה לניתוח מתמטי. הרדיוס של עיגול מעוקל במרחב האוקלידי, להיפך, נתן למחשבון הנגזרות ייצוג טבעי של חילופי בעיות מכריעות ליציבות. השיטה הטובה ביותר נמצאה. היה קל יותר לעלות את המשימה ברמה. תן לתחולת פרופורציית ההפרש העצמאי להוביל לפתרון הנגזרות באינטרנט. הפתרון מסתובב סביב ציר ה-x, ומתאר את דמות המעגל. יש מוצא, והוא מבוסס על מחקר הנתמך תיאורטית על ידי סטודנטים באוניברסיטה, שכולם לומדים ממנו, וגם באותם רגעים בזמן יש נגזרת של הפונקציה. מצאנו דרך להתקדמות והתלמידים אישרו זאת. אנו יכולים להרשות לעצמנו למצוא את הנגזרת מבלי לחרוג מגישה לא טבעית לשינוי המערכת המתמטית. הסימן הפרופורציונלי השמאלי גדל באופן אקספוננציאלי בתור הייצוג המתמטי של מחשבון הנגזרת המקוון עקב הנסיבות הלא ידועות של גורמים ליניאריים על ציר ה-y האינסופי. מתמטיקאים בכל רחבי העולם הוכיחו את הבלעדיות של תהליך הייצור. יש ריבוע הכי קטן בתוך מעגל לפי תיאור התיאוריה. שוב, הנגזרת המקוונת תרחיב את הניחוש שלנו לגבי מה עשוי היה להשפיע על הדעה המעודנת מבחינה תיאורטית מלכתחילה. היו דעות בעלות אופי שונה מהדו"ח שניתחנו. תשומת לב נפרדת אולי לא תקרה לתלמידי הפקולטות שלנו, אבל רק לא למתמטיקאים חכמים ומתקדמים שהבידול של פונקציה אצלם הוא רק תירוץ. המשמעות המכנית של הנגזרת פשוטה מאוד. כוח ההרמה מחושב כנגזרת מקוונת עבור הרווחים היציבים המשופעים כלפי מטה בזמן. ברור שמחשבון הנגזרים הוא תהליך קפדני של תיאור בעיית הניוון של טרנספורמציה מלאכותית כגוף אמורפי. הנגזרת הראשונה מדברת על שינוי בתנועה של נקודה חומרית. מרחב תלת מימדי נצפה כמובן בהקשר של טכנולוגיות שהוכשרו במיוחד לפתרון נגזרות מקוונות, למעשה הוא נמצא בכל קולוקוויום בנושא דיסציפלינה מתמטית. הנגזרת השנייה מאפיינת את השינוי במהירות של נקודה חומרית וקובעת את התאוצה. גישת המרידיאן המבוססת על שימוש בטרנספורמציה אפינית לוקחת את הנגזרת של פונקציה בנקודה מתחום ההגדרה של פונקציה זו לרמה חדשה. מחשבון מקוון של נגזרות לא יכול להיות בלי מספרים וסימון סימבולי במקרים מסוימים לפי רגע ההפעלה הנכון, למעט הסידור הניתן לשינוי של דברים במשימה. באופן מפתיע, יש האצה שנייה של נקודה חומרית, זו מאפיינת את השינוי בתאוצה. בעוד זמן קצר נתחיל ללמוד את פתרון הנגזרת באינטרנט, אך ברגע שתגיע לאבן דרך מסוימת בידע, התלמיד שלנו יפסיק את התהליך הזה. האמצעי הטוב ביותר לנטוורקינג הוא לשוחח בשידור חי על נושא מתמטי. ישנם עקרונות שאסור להפר בשום פנים ואופן, לא משנה כמה קשה המשימה. כדאי למצוא את הנגזרת באינטרנט בזמן וללא שגיאות. זה יוביל לעמדה חדשה של הביטוי המתמטי. המערכת יציבה. המשמעות הפיזית של הנגזרת אינה פופולרית כמו זו המכנית. לא סביר שמישהו זוכר איך הנגזרת המקוונת הביאה בפירוט במישור את קווי המתאר של קווי הפונקציה לנורמלי מהמשולש הסמוך לציר ה-x. לאדם מגיע תפקיד גדול במחקר של המאה הקודמת. הבה נבצע בשלושה שלבים יסודיים את הבידול של הפונקציה בנקודות, הן מתחום ההגדרה והן באינסוף. יהיה בכתב רק בתחום הלימוד, אבל עשוי לתפוס את מקומו של הווקטור הראשי במתמטיקה ותורת המספרים, ברגע מה שיקרה יקשר את מחשבון הנגזרות המקוון לבעיה. תהיה סיבה, אבל תהיה סיבה לערוך משוואה. חשוב מאוד לזכור את כל פרמטרי הקלט. הטוב ביותר לא תמיד נלקח חזיתית, מאחורי זה עומדת כמות עמל עצומה של מיטב המוחות שידעו כיצד מחושבת הנגזרת המקוונת במרחב. מאז, קמורות נחשבת לתכונה של פונקציה מתמשכת. ובכל זאת, עדיף קודם כל להגדיר את המשימה של פתרון נגזרים באינטרנט בזמן הקצר ביותר האפשרי. כך הפתרון יהיה שלם. בנוסף לנורמות שלא התגשמו, זה לא נחשב מספיק. בתחילה, כמעט כל תלמיד מציע להעלות שיטה פשוטה לגבי האופן שבו הנגזרת של פונקציה גורמת לאלגוריתם צמיחה שנוי במחלוקת. לכיוון האלומה העולה. זה הגיוני כעמדה כללית. בעבר הם סימנו את תחילתה של סיום פעולה מתמטית ספציפית, אבל היום זה יהיה הפוך. אולי פתרון הנגזרת באינטרנט יעלה שוב את הנושא ונקבל דעה משותפת על שמירתה בדיון בישיבת המורים. אנו מקווים להבנה מכל הצדדים של משתתפי המפגש. המשמעות הלוגית כלולה בתיאור מחשבון הנגזרות בתהודה של מספרים על רצף הצגת המחשבה על הבעיה, אשר נענה במאה הקודמת על ידי המדענים הגדולים בעולם. זה יעזור לחלץ משתנה מורכב מהביטוי המומר ולמצוא את הנגזרת באינטרנט כדי לבצע פעולה מאסיבית מאותו סוג. האמת הרבה יותר טובה מאשר ניחושים. הערך הקטן ביותר במגמה. התוצאה לא תאחר לבוא בשימוש בשירות ייחודי למיקום המדויק ביותר, עבורו קיימת נגזרת מקוונת בפירוט. בעקיפין, אך לעניין, כפי שאמר איש חכם אחד, נוצר מחשבון נגזרים מקוון לבקשת סטודנטים רבים מערים שונות באיגוד. אם יש הבדל, אז למה להחליט פעמיים. הווקטור הנתון נמצא באותו צד של הנורמלי. באמצע המאה הקודמת, הבידול של פונקציה לא נתפס בשום אופן כפי שהוא היום. הודות להתפתחות בעיצומה, הופיעה מתמטיקה מקוונת. עם הזמן, תלמידים שוכחים לתת קרדיט לדיסציפלינות מתמטיות. הפתרון של הנגזרת באינטרנט יאתגר את התזה שלנו, המבוססת בצדק על יישום התיאוריה, הנתמכת בידע מעשי. יחרוג מהערך הקיים של גורם המצגת ויכתוב את הנוסחה בצורה מפורשת עבור הפונקציה. קורה שאתה צריך למצוא את הנגזרת באינטרנט כבר עכשיו מבלי להשתמש בכל מחשבון, עם זאת, אתה תמיד יכול לנקוט בטריק של התלמיד ועדיין להשתמש בשירות כזה כאתר אינטרנט. כך, התלמיד יחסוך זמן רב בהעתקת דוגמאות ממחברת טיוטה לטופס סופי. אם אין סתירות, השתמש בשירות פתרון שלב אחר שלב לדוגמאות מורכבות כאלה.

מובאות דוגמאות לחישוב נגזרות באמצעות הנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת.

כאן אנו נותנים דוגמאות לחישוב נגזרות של הפונקציות הבאות:
; ; ; ; .

אם ניתן לייצג פונקציה כפונקציה מורכבת בצורה הבאה:
,
אז הנגזרת שלו נקבעת על ידי הנוסחה:
.
בדוגמאות שלהלן, נכתוב את הנוסחה הזו בצורה הבאה:
.
איפה .
כאן, ה-subscripts או, הממוקמים מתחת לסימן הנגזרת, מציינים את המשתנה שלגביו מתבצעת בידול.

בדרך כלל, בטבלאות של נגזרות, ניתנות הנגזרות של פונקציות מהמשתנה x. עם זאת, x הוא פרמטר פורמלי. ניתן להחליף את המשתנה x בכל משתנה אחר. לכן, כאשר מבדילים פונקציה ממשתנה, אנו פשוט משנים, בטבלת הנגזרות, את המשתנה x למשתנה u .

דוגמאות פשוטות

דוגמה 1

מצא את הנגזרת של פונקציה מורכבת
.

פִּתָרוֹן

אנו כותבים את הפונקציה הנתונה בצורה מקבילה:
.
בטבלת הנגזרות אנו מוצאים:
;
.

על פי הנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת, יש לנו:
.
כאן .

תשובה

דוגמה 2

מצא נגזרת
.

פִּתָרוֹן

אנו מוציאים את הקבוע 5 מעבר לסימן הנגזרת ומטבלת הנגזרות אנו מוצאים:
.

.
כאן .

תשובה

דוגמה 3

מצא את הנגזרת
.

פִּתָרוֹן

אנחנו מוציאים את הקבוע -1 לסימן הנגזרת ומטבלת הנגזרות אנו מוצאים:
;
מטבלת הנגזרות אנו מוצאים:
.

אנו מיישמים את הנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת:
.
כאן .

תשובה

דוגמאות מורכבות יותר

בדוגמאות מורכבות יותר, אנו מיישמים את כלל הבידול של פונקציות מורכבות מספר פעמים. בכך אנו מחשבים את הנגזרת מהסוף. כלומר, אנו מפרקים את הפונקציה לחלקים המרכיבים אותה ומוצאים את הנגזרות של החלקים הפשוטים ביותר באמצעות טבלת נגזרות. אנחנו גם מיישמים כללי בידול סכום, מוצרים ושברים . לאחר מכן אנו עושים החלפות ומיישמים את הנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת.

דוגמה 4

מצא את הנגזרת
.

פִּתָרוֹן

אנו בוחרים את החלק הפשוט ביותר של הנוסחה ומוצאים את הנגזרת שלה. .

.
כאן השתמשנו בסימון
.

אנו מוצאים את הנגזרת של החלק הבא של הפונקציה המקורית, תוך שימוש בתוצאות שהתקבלו. אנו מיישמים את כלל ההבחנה של הסכום:
.

שוב, אנו מיישמים את כלל הדיפרנציאציה של פונקציה מורכבת.

.
כאן .

תשובה

דוגמה 5

מצא את הנגזרת של פונקציה
.

פִּתָרוֹן

אנו בוחרים את החלק הפשוט ביותר של הנוסחה ומוצאים את הנגזרת שלה מטבלת הנגזרות. .

אנו מיישמים את כלל הדיפרנציאציה של פונקציה מורכבת.
.
כאן
.

הַגדָרָה.תן לפונקציה \(y = f(x) \) להיות מוגדרת במרווח כלשהו המכיל את הנקודה \(x_0 \) בפנים. בואו נעלה את \(\Delta x \) לארגומנט כדי לא לעזוב את המרווח הזה. מצא את התוספת התואמת של הפונקציה \(\Delta y \) (בעת מעבר מהנקודה \(x_0 \) לנקודה \(x_0 + \Delta x \)) וחבר את היחס \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). אם יש גבול של יחס זה ב-\(\Delta x \rightarrow 0 \), אז הגבול המצוין נקרא פונקציה נגזרת\(y=f(x) \) בנקודה \(x_0 \) וסמן \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

הסמל y משמש לעתים קרובות לציון הנגזרת. שימו לב ש-y" = f(x) היא פונקציה חדשה, אך משויכת באופן טבעי לפונקציה y = f(x), המוגדרת בכל הנקודות x שבהן קיים הגבול הנ"ל. פונקציה זו נקראת כך: נגזרת של הפונקציה y \u003d f (x).

המשמעות הגיאומטרית של הנגזרתמורכב מהדברים הבאים. אם ניתן לצייר משיק שאינו מקביל לציר y לגרף של הפונקציה y \u003d f (x) בנקודה עם האבססיס x \u003d a, אז f (a) מבטא את השיפוע של המשיק:
\(k = f"(a)\)

מכיוון ש-\(k = tg(a) \), השוויון \(f"(a) = tg(a) \) נכון.

וכעת אנו מפרשים את הגדרת הנגזרת במונחים של שוויון משוער. תן לפונקציה \(y = f(x) \) נגזרת בנקודה מסוימת \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
המשמעות היא שליד הנקודה x, השוויון המשוער \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), כלומר \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). המשמעות המשמעותית של השוויון המשוער שהושג היא כדלקמן: התוספת של הפונקציה היא "כמעט פרופורציונלית" לתוספת הטיעון, ומקדם המידתיות הוא הערך של הנגזרת בנקודה x נתונה. לדוגמה, עבור הפונקציה \(y = x^2 \) השוויון המשוער \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) חוקי. אם ננתח היטב את הגדרת הנגזרת, נגלה שהיא מכילה אלגוריתם למציאתה.

בואו ננסח את זה.

כיצד למצוא את הנגזרת של הפונקציה y \u003d f (x) ?

1. תקן את הערך \(x \), מצא את \(f(x) \)
2. הגדל את הארגומנט \(x \) \(\Delta x \), העבר לנקודה חדשה \(x+ \Delta x \), מצא את \(f(x+ \Delta x) \)
3. מצא את תוספת הפונקציה: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. חבר את היחס \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. חשב $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
הגבול הזה הוא הנגזרת של הפונקציה ב-x.

אם לפונקציה y = f(x) יש נגזרת בנקודה x, אז היא נקראת דיפרנציאלית בנקודה x. ההליך למציאת הנגזרת של הפונקציה y \u003d f (x) נקרא בידולפונקציות y = f(x).

הבה נדון בשאלה הבאה: כיצד קשורות ההמשכיות והדיפרנציאליות של פונקציה בנקודה?

תנו לפונקציה y = f(x) להיות ניתנת להבדלה בנקודה x. אז ניתן למשוך משיק לגרף של הפונקציה בנקודה M (x; f (x)) וכזכור, שיפוע המשיק שווה ל-f "(x). גרף כזה לא יכול "להישבר" ב הנקודה M, כלומר, הפונקציה חייבת להיות רציפה ב-x.

זה היה נימוק "על האצבעות". הבה נציג טיעון קפדני יותר. אם הפונקציה y = f(x) ניתנת להבדלה בנקודה x, אזי השוויון המשוער \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) מתקיים. אפס, ואז \(\Delta y \) ) גם ישטה לאפס, וזה התנאי להמשכיות הפונקציה בנקודה.

כך, אם פונקציה ניתנת להבדלה בנקודה x, אז היא גם רציפה בנקודה זו.

ההיפך אינו נכון. לדוגמה: פונקציה y = |x| הוא רציף בכל מקום, במיוחד בנקודה x = 0, אך המשיק לגרף של הפונקציה ב"נקודת המשותפת" (0; 0) אינו קיים. אם בשלב מסוים אי אפשר לצייר משיק לגרף הפונקציה, אז אין נגזרת בשלב זה.

עוד דוגמה אחת. הפונקציה \(y=\sqrt(x) \) רציפה על כל קו המספרים, כולל בנקודה x = 0. והמשיק לגרף של הפונקציה קיים בכל נקודה, כולל בנקודה x = 0 אבל בנקודה זו המשיק חופף לציר ה-y, כלומר, הוא מאונך לציר האבססיס, למשוואה שלו יש את הצורה x \u003d 0. אין שיפוע לישר כזה, מה שאומר ש-\ ( f "(0) \) גם לא קיים

אז הכרנו תכונה חדשה של פונקציה - דיפרנציאליות. כיצד ניתן לדעת אם פונקציה ניתנת להבדלה מהגרף של פונקציה?

התשובה ניתנה למעשה למעלה. אם בשלב מסוים ניתן למשוך משיק לגרף של פונקציה שאינה מאונך לציר ה-x, הרי שבנקודה זו הפונקציה ניתנת להבדלה. אם בשלב מסוים המשיק לגרף של הפונקציה לא קיים או שהוא מאונך לציר ה-x, אז בשלב זה הפונקציה אינה ניתנת להבדלה.

כללי בידול

פעולת מציאת הנגזרת נקראת בידול. בעת ביצוע פעולה זו, לעתים קרובות אתה צריך לעבוד עם מנות, סכומים, מוצרים של פונקציות, כמו גם עם "פונקציות של פונקציות", כלומר, פונקציות מורכבות. בהתבסס על הגדרת הנגזרת, נוכל לגזור כללי בידול המקלים על עבודה זו. אם C הוא מספר קבוע ו-f=f(x), g=g(x) הן כמה פונקציות שניתן להבדיל, אז הדברים הבאים נכונים כללי בידול:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ נגזרת של פונקציה מורכבת:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

טבלת נגזרות של כמה פונקציות

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $