פקטוריזציה של ביטויים מסדר גבוה ו. דוגמאות לחישוב לפי נוסחאות של ריבועים

מובאות 8 דוגמאות לפירוק של פולינומים. הם כוללים דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות ובי-ריבועיות, דוגמאות של פולינומים רקורסיביים ודוגמאות למציאת שורשים שלמים של פולינומים מדרגה שלישית ורביעית.

1. דוגמאות עם פתרון משוואה ריבועית

דוגמה 1.1

איקס 4 + x 3 - 6 x 2.

פִּתָרוֹן

הוציאו את x 2 עבור סוגריים:
.
2 + x - 6 = 0:
.
שורשי המשוואה:
, .

.

תשובה

דוגמה 1.2

הפקת פולינום מדרגה שלישית:
איקס 3 + 6 x 2 + 9 x.

פִּתָרוֹן

אנו מוציאים את x מתוך סוגריים:
.
נפתור את המשוואה הריבועית x 2 + 6 x + 9 = 0:
המפלה שלה היא .
מכיוון שהמבחן שווה לאפס, שורשי המשוואה הם כפולות: ;
.

מכאן נקבל את הפירוק של הפולינום לגורמים:
.

תשובה

דוגמה 1.3

הפקת פולינום מדרגה חמישית:
איקס 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

פִּתָרוֹן

הוציאו את x 3 עבור סוגריים:
.
נפתור את המשוואה הריבועית x 2 - 2 x + 10 = 0.
המפלה שלה היא .
מכיוון שהמבחן קטן מאפס, שורשי המשוואה מורכבים: ;
, .

לפירוק של פולינום יש את הצורה:
.

אם אנו מעוניינים ב- factoring עם מקדמים אמיתיים, אז:
.

תשובה

דוגמאות לפירוק פולינומים באמצעות נוסחאות

דוגמאות עם פולינומים דו-ריבועיים

דוגמה 2.1

עשה פקטוריון את הפולינום הבי-ריבועי:
איקס 4 + x 2 - 20.

פִּתָרוֹן

החל את הנוסחאות:
א 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
א 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

תשובה

דוגמה 2.2

הפקת פולינום המצטמצם לבי-ריבועי:
איקס 8 + x 4 + 1.

פִּתָרוֹן

החל את הנוסחאות:
א 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
א 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

תשובה

דוגמה 2.3 עם פולינום רקורסיבי

חלוקת הפולינום הרקורסי:
.

פִּתָרוֹן

לפולינום הרקורסי יש מידה אי-זוגית. לכן יש לו שורש x = - 1 . נחלק את הפולינום ב-x - (-1) = x + 1. כתוצאה מכך, אנו מקבלים:
.
אנו מבצעים החלפה:
, ;
;


;
.

תשובה

דוגמאות לחלוקת פולינומים עם שורשים שלמים

דוגמה 3.1

עיבוד פולינום:
.

פִּתָרוֹן

נניח המשוואה

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

אז מצאנו שלושה שורשים:
איקס 1 = 1 , איקס 2 = 2 , איקס 3 = 3 .
מכיוון שהפולינום המקורי הוא מהמעלה השלישית, אין לו יותר משלושה שורשים. מכיוון שמצאנו שלושה שורשים, הם פשוטים. לאחר מכן
.

תשובה

דוגמה 3.2

עיבוד פולינום:
.

פִּתָרוֹן

נניח המשוואה

יש לפחות שורש מספר שלם אחד. אז זה המחלק של המספר 2 (איבר ללא x ). כלומר, כל השורש יכול להיות אחד מהמספרים:
-2, -1, 1, 2 .
החליפו את הערכים האלה בזה אחר זה:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
אם נניח שלמשוואה זו יש שורש של מספר שלם, אז זה מחלק של המספר 2 (איבר ללא x ). כלומר, כל השורש יכול להיות אחד מהמספרים:
1, 2, -1, -2 .
תחליף x = -1 :
.

אז מצאנו שורש אחר x 2 = -1 . ניתן יהיה, כמו במקרה הקודם, לחלק את הפולינום ב-, אך נקבץ את המונחים:
.

מאז המשוואה x 2 + 2 = 0 אין שורשים אמיתיים, אז לפירוק של הפולינום יש את הצורה.

מה קרה פירוק לגורמים?זו דרך להפוך דוגמה מביכה ומסובכת לדוגמא פשוטה וחמודה.) טריק חזק מאוד! זה מתרחש בכל שלב הן במתמטיקה היסודית והן במתמטיקה הגבוהה.

טרנספורמציות כאלה בשפה מתמטית נקראות טרנספורמציות זהות של ביטויים. מי שלא בנושא - טיילו בקישור. יש מעט מאוד, פשוט ושימושי.) המשמעות של כל טרנספורמציה זהה היא כתיבת הביטוי בצורה אחרתתוך שמירה על מהותו.

מַשְׁמָעוּת פקטוריזציותפשוט ומובן במיוחד. ממש מהכותרת עצמה. אתה יכול לשכוח (או לא לדעת) מה זה מכפיל, אבל האם אתה יכול להבין שהמילה הזו באה מהמילה "כפל"?) פקטורינג פירושו: מייצגים ביטוי ככפל של משהו במשהו. סלח לי מתמטיקה והשפה הרוסית...) וזהו.

לדוגמה, אתה צריך לפרק את המספר 12. אתה יכול לכתוב בבטחה:

אז הצגנו את המספר 12 ככפל של 3 ב-4. שימו לב שהמספרים מימין (3 ו-4) שונים לחלוטין מאשר משמאל (1 ו-2). אבל אנחנו מודעים היטב לכך ש-12 ו-3 4 אותו.המהות של המספר 12 מהטרנספורמציה לא השתנה.

האם אפשר לפרק 12 בדרך אחרת? בְּקַלוּת!

12=3 4=2 6=3 2 2=0.5 24=........

אפשרויות הפירוק אינסופיות.

פירוק מספרים לגורמים הוא דבר שימושי. זה עוזר מאוד, למשל, כשעוסקים בשורשים. אבל הפירוק לגורמים של ביטויים אלגבריים הוא לא משהו מועיל, הוא - נחוץ!רק לדוגמא:

לפשט:

מי שלא יודע לפרק את הביטוי לגורמים, נח מהצד. מי יודע איך - מפשט ומקבל:

האפקט מדהים, נכון?) אגב, הפתרון די פשוט. אתה תראה בעצמך למטה. או, למשל, משימה כזו:

פתור את המשוואה:

x 5 - x 4 = 0

הוחלט בשכל, אגב. בעזרת פירוק לגורמים. להלן נפתור את הדוגמה הזו. תשובה: x 1 = 0; x2 = 1.

או, אותו דבר, אבל עבור המבוגרים יותר):

פתור את המשוואה:

בדוגמאות אלה, הראיתי מטרה עיקריתפישוטים לגורמים: פישוט של ביטויי שברים ופתרון של כמה סוגים של משוואות. אני ממליץ לזכור את כלל האצבע:

אם יש לפנינו ביטוי שבר נוראי, נוכל לנסות לחלק את המונה והמכנה לגורמים. לעתים קרובות מאוד, השבר מופחת ומפושט.

אם יש לפנינו משוואה, שבה בצד ימין הוא אפס, ובצד שמאל - לא מבין מה, אתה יכול לנסות לפרק את הצד השמאלי. לפעמים זה עוזר.)

שיטות בסיסיות של פירוק לגורמים.

להלן הדרכים הפופולריות ביותר:

4. פירוק של טרינום מרובע.

יש לזכור את השיטות הללו. זה בסדר הזה. דוגמאות מורכבות נבדקות לכל שיטות הפירוק האפשריות.ועדיף לבדוק לפי הסדר, כדי לא להתבלבל... בואו נתחיל לפי הסדר.)

1. הוצאת הגורם המשותף מסוגריים.

דרך פשוטה ואמינה. זה לא נהיה רע ממנו! זה קורה או טוב או לא בכלל.) לכן, הוא הראשון. אנחנו מבינים.

כולם מכירים (אני מאמין!) את הכלל:

a(b+c) = ab+ac

או, באופן כללי יותר:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

כל השוויון פועל גם משמאל לימין, ולהיפך, מימין לשמאל. אתה יכול לכתוב:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

זה כל הקטע של להוציא את הגורם המשותף בין סוגריים.

בצד השמאלי א - גורם משותףלכל התנאים. מוכפל בהכל.) נכון זה הכי הרבה אכבר מחוץ לסוגריים.

נשקול את היישום המעשי של השיטה עם דוגמאות. בהתחלה, הווריאציה היא פשוטה, אפילו פרימיטיבית.) אבל בגרסה זו אסמן (בירוק) נקודות חשובות מאוד לכל פירוק לגורמים.

לְהַכפִּיל:

אה+9x

איזה כלליהאם המכפיל בשני המונחים? X, כמובן! נוציא את זה מהסוגריים. אנחנו עושים זאת. מיד נכתוב x מחוץ לסוגריים:

ax+9x=x(

ובסוגריים אנו כותבים את תוצאת החלוקה כל קדנציהעל x זה ממש. בסדר:

זה הכל. כמובן, אין צורך לצייר בפירוט כזה, זה נעשה בראש. אבל כדי להבין מה זה מה, רצוי). אנו מתקנים בזיכרון:

אנו כותבים את הגורם המשותף מחוץ לסוגריים. בסוגריים, אנו כותבים את התוצאות של חלוקת כל המונחים בגורם נפוץ מאוד זה. בסדר.

כאן הרחבנו את הביטוי אה+9xעבור מכפילים. הפך אותו להכפלת x ב (א + 9).אציין שבביטוי המקורי היה גם כפל, אפילו שניים: a x ו-9 x.אבל זה לא חולק לגורמים!כי בנוסף לכפל, הביטוי הזה הכיל גם חיבור, הסימן "+"! ובביטוי x(a+9) שום דבר מלבד כפל!

איך זה!? – אני שומע את קולם הממורמר של העם – ובסוגריים!?)

כן, יש תוספת בתוך הסוגריים. אבל החוכמה היא שבעוד שהסוגריים לא נפתחים, אנחנו רואים אותם כמו אות אחת.ואנחנו עושים את כל הפעולות עם סוגריים בשלמותן, כמו אות אחת.במובן הזה, בביטוי x(a+9)שום דבר מלבד כפל. זו כל הנקודה של הפירוק לגורמים.

אגב, האם יש דרך לבדוק אם עשינו הכל נכון? קַל! מספיק להכפיל בחזרה את מה שהוצא (x) בסוגריים ולראות אם זה הסתדר מְקוֹרִיביטוי? אם זה הסתדר, הכל טיפ טופ!)

x(a+9)=ax+9x

קרה.)

אין בעיה בדוגמה הפרימיטיבית הזו. אבל אם יש כמה מונחים, ואפילו עם סימנים שונים... בקיצור, כל תלמיד שלישי מפשל). לָכֵן:

במידת הצורך, בדוק את הפירוק לגורמים בכפל הפוך.

לְהַכפִּיל:

3x+9x

אנחנו מחפשים גורם משותף. ובכן, הכל ברור עם X, אפשר לסבול את זה. האם יש עוד כלליגורם? כן! זו שלישייה. אתה יכול גם לכתוב את הביטוי כך:

3x+3 3x

כאן ברור מיד שהגורם המשותף יהיה 3x. הנה אנחנו מוציאים את זה:

3ax+3 3x=3x(a+3)

להתפשט.

ומה קורה אם לוקחים רק x?שום דבר מיוחד:

3ax+9x=x(3a+9)

זה יהיה גם פירוק לגורמים. אבל בתהליך המרתק הזה, נהוג לפרוש הכל עד שהוא נעצר, בזמן שיש הזדמנות. כאן בסוגריים יש הזדמנות להוציא טריפל. לקבל:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

אותו דבר, רק עם פעולה נוספת אחת.) זכור:

כאשר מוציאים את הגורם המשותף מסוגריים, אנו מנסים להוציא מַקסִימוּםמכפיל משותף.

בואו נמשיך בכיף?

גורם לביטוי:

3ax+9x-8a-24

מה נוציא? שלוש, X? לא-אי... אתה לא יכול. אני מזכיר לך שאתה יכול רק לקחת כללימכפיל כלומר בכלמונחי הביטוי. בגלל זה הוא כללי.אין כאן מכפיל כזה... מה, אתה לא יכול לפרוס!? ובכן, כן, שמחנו, איך ... תכירו:

2. קיבוץ.

למעשה, קיבוץ בקושי יכול להיקרא דרך עצמאית של פירוק לגורמים. זו דווקא דרך לצאת מדוגמה מורכבת.) אתה צריך לקבץ את המונחים כך שהכל יסתדר. זה יכול להיות מוצג רק עם דוגמה. אז יש לנו ביטוי:

3ax+9x-8a-24

ניתן לראות שיש כמה אותיות ומספרים נפוצים. אבל... כלליאין מכפיל להיות בכל המונחים. אל תאבד את הלב ו אנו מפרקים את הביטוי לחתיכות.אנחנו מקבצים. כך שבכל יצירה היה גורם משותף, היה מה להוציא. איך נשברים? כן, רק סוגריים.

הרשו לי להזכיר לכם שניתן להציב סוגריים בכל מקום ובכל דרך. ולו רק מהות הדוגמה לא השתנה.לדוגמה, אתה יכול לעשות את זה:

3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)

אנא שימו לב לסוגריים השניים! לפניהם סימן מינוס, ו 8או 24 להיות חיובי! אם, לצורך אימות, נפתח את הסוגריים בחזרה, השלטים ישתנו, ונקבל מְקוֹרִיביטוי. הָהֵן. מהות הביטוי מסוגריים לא השתנתה.

אבל אם אתה רק מכניס סוגריים, לא לוקח בחשבון את שינוי הסימן, למשל, כך:

3ax+9x-8a-24=(3x + 9x) -(8a-24 )

זו תהיה טעות. נכון - כבר אַחֵרביטוי. הרחב את הסוגריים והכל יתבהר. אתה לא יכול להחליט יותר, כן...)

אבל נחזור לפירוק לגורמים. תסתכל על הסוגריים הראשונים (3x + 9x)ולחשוב, האם אפשר לסבול משהו? ובכן, פתרנו את הדוגמה הזו למעלה, אנחנו יכולים להוציא אותה 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

אנו לומדים את הסוגריים השניים, שם אתה יכול להוציא את השמונה:

(8a+24)=8(a+3)

כל הביטוי שלנו יהיה:

(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

כָּפוּל? לא. הפירוק אמור לגרום רק כפל,ויש לנו סימן מינוס מקלקל הכל. אבל... לשני המונחים יש גורם משותף! זֶה (a+3). לא בכדי אמרתי שהסוגריים בכללותם הם כביכול אות אחת. אז ניתן להוציא את הסוגריים האלה מהסוגריים. כן, זה בדיוק מה שזה נשמע.)

אנו עושים כמתואר לעיל. כתוב את הגורם המשותף (a+3), בסוגריים השניים נכתוב את התוצאות של חלוקת המונחים ב (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

את כל! בצד ימין, אין דבר מלבד כפל! אז הפירוק הושלם בהצלחה!) הנה זה:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

בואו נסכם את מהות הקבוצה.

אם הביטוי לא כללימכפיל עבור את כלמונחים, אנו מפצלים את הביטוי בסוגריים כך שבתוך הסוגריים הגורם המשותף היה.בוא נוציא אותו ונראה מה קורה. אם יתמזל מזלנו, ונשארו בדיוק אותם ביטויים בסוגריים, נוציא את הסוגריים הללו מהסוגריים.

אוסיף שקיבוץ הוא תהליך יצירתי). זה לא תמיד עובד בפעם הראשונה. זה בסדר. לפעמים אתה צריך להחליף מונחים, לשקול אפשרויות קיבוץ שונות עד שתמצא טוב. העיקר כאן הוא לא לאבד את הלב!)

דוגמאות.

עכשיו, לאחר שהעשרת בידע, אתה יכול גם לפתור דוגמאות מסובכות.) בתחילת השיעור, היו שלוש כאלה ...

לפשט:

למעשה, כבר פתרנו את הדוגמה הזו. באופן בלתי מורגש לעצמי.) אני מזכיר לך: אם ניתן לנו שבר נורא, אנחנו מנסים לפרק את המונה והמכנה לגורמים. אפשרויות פישוט אחרות פשוט לא.

ובכן, המכנה לא מפורק כאן, אלא המונה... את המונה כבר פירקנו במהלך השיעור! ככה:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

נכתוב את תוצאת ההתרחבות למונה השבר:

לפי כלל הפחתת השברים (התכונה העיקרית של שבר), נוכל לחלק (בו זמנית!) את המונה והמכנה באותו מספר, או ביטוי. חלק מזה לא משתנה.אז נחלק את המונה והמכנה בביטוי (3x-8). ופה ושם אנחנו מקבלים יחידות. תוצאת הפישוט הסופית:

אני מדגיש במיוחד: צמצום שבר אפשרי אם ורק אם במונה ובמכנה, בנוסף להכפלת ביטויים אין שם כלום.לכן הפיכת הסכום (ההפרש) ל כֶּפֶלכל כך חשוב לפשט. כמובן, אם הביטויים שונה,אז שום דבר לא יצטמצם. בבט. אבל הפירוק לגורמים נותן סיכוי.הסיכוי הזה ללא פירוק – פשוט לא קיים.

דוגמה למשוואה:

פתור את המשוואה:

x 5 - x 4 = 0

מוציאים את הגורם המשותף x 4עבור סוגריים. אנחנו מקבלים:

x 4 (x-1)=0

אנו מניחים שמכפלת הגורמים שווה לאפס אז ורק אזכאשר כל אחד מהם שווה לאפס. אם יש לך ספק, מצא לי כמה מספרים שאינם אפס, שכאשר מכפילים אותם, יתנו אפס.) אז נכתוב, קודם כל את הגורם הראשון:

עם השוויון הזה, הגורם השני לא מפריע לנו. כל אחד יכול להיות, בכל מקרה, בסופו של דבר, אפס יתברר. מהו המספר בחזקת אפס? רק אפס! ותו לא... לכן:

הבנו את הגורם הראשון, מצאנו שורש אחד. בואו נתמודד עם הגורם השני. עכשיו לא אכפת לנו מהמכפיל הראשון.):

כאן מצאנו פתרון: x 1 = 0; x2 = 1. כל אחד מהשורשים הללו מתאים למשוואה שלנו.

הערה חשובה מאוד. שימו לב שפתרנו את המשוואה בהדרגה!כל גורם הוגדר לאפס. ללא קשר לגורמים אחרים.אגב, אם במשוואה כזו אין שני גורמים, כמו שיש לנו, אלא שלושה, חמישה, כמה שתרצו, אנחנו נחליט דוֹמֶה.חתיכה אחר חתיכה. לדוגמה:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

מי שפותח את הסוגריים, מכפיל הכל, לנצח יתלה במשוואה הזו.) התלמיד הנכון יראה מיד שאין שום דבר משמאל חוץ מכפל, מימין - אפס. והוא יתחיל (בדעתו!) להשוות לאפס את כל הסוגריים לפי הסדר. והוא יקבל (תוך 10 שניות!) את הפתרון הנכון: x 1 = 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x4 = -2.

נהדר, נכון?) פתרון אלגנטי כזה אפשרי אם הצד השמאלי של המשוואה לפצל לכפולות.האם הרמז ברור?)

ובכן, הדוגמה האחרונה, עבור המבוגרים יותר):

פתור את המשוואה:

זה קצת דומה לקודם, אתה לא חושב?) כמובן. הגיע הזמן לזכור שבכיתה ז' אלגברה, ניתן להסתיר סינוסים, לוגריתמים וכל דבר אחר מתחת לאותיות! הפקטורינג עובד בכל המתמטיקה.

מוציאים את הגורם המשותף lg4xעבור סוגריים. אנחנו מקבלים:

lg 4x=0

זה שורש אחד. בואו נתמודד עם הגורם השני.

הנה התשובה הסופית: x 1 = 1; x2 = 10.

אני מקווה שהבנת את הכוח של הפקת פקטורים בפישוט שברים ופתרון משוואות.)

בשיעור זה התוודענו להסרת הגורם המשותף והקבצה. נותר לעסוק בנוסחאות לכפל מקוצר ולטרינום הריבועי.

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. למידה - בעניין!)

אתה יכול להכיר פונקציות ונגזרות.

פקטורינג של משוואה הוא תהליך של מציאת מונחים או ביטויים שכאשר מכפילים אותם, מובילים למשוואה הראשונית. פקטורינג הוא מיומנות שימושית לפתרון בעיות אלגבריות בסיסיות, והופך להכרח מעשי כאשר עובדים עם משוואות ריבועיות ופולינומים אחרים. פקטורינג משמש כדי לפשט משוואות אלגבריות כדי להקל עליהן לפתור. פקטורינג יכול לעזור לך לשלול תשובות אפשריות מסוימות מהר יותר ממה שאתה יכול על ידי פתרון ידני של המשוואה.

שלבים

פקטוריזציה של מספרים וביטויים אלגבריים בסיסיים

1. פקטוריזציה של מספרים.הרעיון של פקטורינג הוא פשוט, אבל בפועל הפקטורינג יכול להיות מסובך (בהינתן משוואה מורכבת). אז בואו נתחיל מהמושג של הפקת פקטורים באמצעות מספרים כדוגמה, נמשיך עם משוואות פשוטות, ואז נעבור למשוואות מורכבות. הגורמים של מספר נתון הם המספרים שבכפל הם נותנים את המספר המקורי. לדוגמה, הגורמים של המספר 12 הם המספרים: 1, 12, 2, 6, 3, 4, שכן 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • באופן דומה, אתה יכול לחשוב על הגורמים של מספר כמחלקים שלו, כלומר, המספרים שהמספר הנתון מתחלק בהם.
   • מצא את כל הגורמים של המספר 60. לעתים קרובות אנו משתמשים במספר 60 (לדוגמה, 60 דקות בשעה, 60 שניות בדקה וכו') ולמספר הזה יש מספר די גדול של גורמים.
     • 60 מכפילים: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ו-60.

2. זכור:מונחים של ביטוי המכילים מקדם (מספר) ומשתנה ניתנים גם לגורם. לשם כך, מצא את מכפילי המקדם במשתנה. לדעת איך לחלק את המונחים של המשוואות, אתה יכול בקלות לפשט את המשוואה הזו.

   • לדוגמה, ניתן לכתוב את המונח 12x כמכפלה של 12 ו-x. אתה יכול גם לכתוב 12x כ-3(4x), 2(6x) וכו' על ידי חלוקת 12 לגורמים המתאימים לך ביותר.
     • אתה יכול לפרוס פי 12 מספר פעמים ברציפות. במילים אחרות, לא כדאי לעצור ב-3(4x) או 2(6x); המשך הרחבה: 3(2(2x)) או 2(3(2x)) (כמובן, 3(4x)=3(2(2x)) וכו')

3. החל את התכונה הדיפלקטורית של הכפל כדי לחלק משוואות אלגבריות לגורמים.לדעת כיצד לחלק מספרים ומונחים של ביטוי לגורמים (מקדמים עם משתנים), אתה יכול לפשט משוואות אלגבריות פשוטות על ידי מציאת הגורם המשותף של מספר ומונח של ביטוי. בדרך כלל, כדי לפשט את המשוואה, אתה צריך למצוא את המחלק המשותף הגדול ביותר (gcd). פישוט כזה אפשרי בשל התכונה החלוקתית של הכפל: עבור כל מספרים a, b, c, השוויון a (b + c) = ab + ac נכון.

   • דוגמא. חשב את המשוואה 12x + 6. ראשית, מצא את ה-gcd של 12x ו-6. 6 הוא המספר הגדול ביותר שמחלק גם 12x ו-6, כך שתוכל לחלק את המשוואה הזו ל: 6(2x+1).
   • תהליך זה נכון גם עבור משוואות בעלות מונחים שליליים ושברים. לדוגמה, ניתן לפרק את x/2+4 ל-1/2(x+8); לדוגמה, -7x+(-21) ניתן לפרק ל-7(x+3).

   פקטוריזציה של משוואות ריבועיות

   1. ודא שהמשוואה היא בצורה ריבועית (ax 2 + bx + c = 0).משוואות ריבועיות הן: ax 2 + bx + c = 0, כאשר a, b, c הם מקדמים מספריים שאינם 0. אם ניתנת לך משוואה עם משתנה אחד (x) ולמשוואה זו יש איבר אחד או יותר עם סדר שני משתנה , אתה יכול להעביר את כל האיברים של המשוואה לצד אחד של המשוואה ולשוות אותו לאפס.

      • לדוגמה, בהינתן המשוואה: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. ניתן להמיר אותו למשוואה x 2 + 6x + 9 = 0, שהיא משוואה ריבועית.
      • משוואות עם משתנה x של סדרים גדולים, למשל, x 3, x 4 וכו'. אינן משוואות ריבועיות. אלו הן משוואות מעוקבות, משוואות מסדר רביעי וכן הלאה (רק אם לא ניתן לפשט משוואות כאלה למשוואות ריבועיות עם המשתנה x בחזקת 2).

   2. משוואות ריבועיות, שבהן a \u003d 1, מפורקות ל- (x + d) (x + e), כאשר d * e \u003d c ו- d + e \u003d b.אם למשוואה הריבועית שניתנה לך יש את הצורה: x 2 + bx + c \u003d 0 (כלומר, המקדם ב-x 2 שווה ל-1), אז משוואה כזו יכולה (אך לא מובטחת) להתפרק לאמור לעיל גורמים. כדי לעשות זאת, אתה צריך למצוא שני מספרים שכפליים נותנים "c", וכאשר מוסיפים אותם - "b". לאחר שתמצא את שני המספרים הללו (d ו-e), החלף אותם בביטוי הבא: (x+d)(x+e), אשר, כאשר הסוגריים נפתחים, מוביל למשוואה המקורית.

      • לדוגמה, בהינתן המשוואה הריבועית x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 ו-3+2=5, כך שתוכל להרחיב את המשוואה ל-(x+3)(x+2).
      • למונחים שליליים, בצע את השינויים הקטנים הבאים בתהליך הפירוק לגורמים:
        • אם למשוואה הריבועית יש את הצורה x 2 -bx + c, אז היא מתפרקת ל: (x-_) (x-_).
        • אם למשוואה הריבועית יש את הצורה x 2 -bx-c, אז היא מתפרקת ל: (x + _) (x-_).
      • הערה: ניתן להחליף רווחים בשברים או עשרונים. לדוגמה, המשוואה x 2 + (21/2)x + 5 = 0 מפורקת ל-(x + 10) (x + 1/2).

   3. פקטוריזציה על ידי ניסוי וטעייה.ניתן לחשב משוואות ריבועיות פשוטות על ידי החלפת מספרים לפתרונות אפשריים עד שתמצא את הפתרון הנכון. אם למשוואה יש את הצורה ax 2 +bx+c, כאשר a>1, הפתרונות האפשריים נכתבים כ-(dx +/- _)(ex +/- _), כאשר d ו-e הם מקדמים מספריים שאינם אפס, שכאשר מכפלים נותנים א. או d או e (או שני המקדמים) יכולים להיות שווים ל-1. אם שני המקדמים שווים ל-1, השתמשו בשיטה שתוארה לעיל.

      • לדוגמה, בהינתן המשוואה 3x 2 - 8x + 4. כאן, ל-3 יש רק שני גורמים (3 ו-1), ולכן הפתרונות האפשריים נכתבים כ-(3x +/- _)(x +/- _). במקרה זה, החלפת -2 ברווחים, תמצא את התשובה הנכונה: -2*3x=-6x ו-2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x ו-2*-2=4, כלומר הרחבה כזו בעת פתיחת הסוגריים תוביל למונחים של המשוואה המקורית.

כל פולינום אלגברי בדרגה n יכול להיות מיוצג כמכפלה של n גורמים ליניאריים של הצורה ומספר קבוע, שהוא המקדמים של הפולינום במעלה x הגבוהה ביותר, כלומר.

איפה - הם שורשי הפולינום.

השורש של פולינום הוא מספר (ממשי או מורכב) שהופך את הפולינום לאפס. השורשים של פולינום יכולים להיות גם שורשים אמיתיים וגם שורשים מצומדים מורכבים, ואז ניתן לייצג את הפולינום בצורה הבאה:

שקול שיטות להרחבת פולינומים בדרגה "n" למכפלה של גורמים מהמעלה הראשונה והשנייה.

שיטה מספר 1.שיטה של ​​מקדמים בלתי מוגדרים.

המקדמים של ביטוי שעבר טרנספורמציה כזה נקבעים בשיטה של ​​מקדמים בלתי מוגדרים. מהות השיטה היא שסוג הגורמים שאליהם מפורק הפולינום הנתון ידוע מראש. כאשר משתמשים בשיטת המקדמים הבלתי מוגדרים, ההצהרות הבאות נכונות:

עמ' 1. שני פולינומים שווים באופן זהה אם המקדמים שלהם שווים באותן חזקות x.

עמ' 2. כל פולינום מדרגה שלישית מתפרק למכפלה של גורמים ליניאריים ומרובעים.

עמ' 3. כל פולינום מהמעלה הרביעית מתפרק למכפלה של שני פולינומים מהמעלה השנייה.

דוגמה 1.1.יש צורך לחלק את הביטוי המעוקב לגורמים:

עמ' 1. בהתאם להצהרות המקובלות, השוויון הזהה נכון לביטוי המעוקב:

עמ' 2. הצד הימני של הביטוי יכול להיות מיוצג כמונחים כדלקמן:

עמ' 3. אנו מרכיבים מערכת משוואות מתנאי השוויון של המקדמים עבור החזקות התואמות של הביטוי המעוקב.

מערכת משוואות זו ניתנת לפתרון על ידי שיטת בחירת מקדמים (אם מדובר בבעיה אקדמית פשוטה) או ניתן להשתמש בשיטות לפתרון מערכות משוואות לא ליניאריות. כשפותרים מערכת משוואות זו, נקבל שהמקדמים הלא וודאיים מוגדרים כדלקמן:

לפיכך, הביטוי המקורי מפורק לגורמים בצורה הבאה:

ניתן להשתמש בשיטה זו הן בחישובים אנליטיים והן בתכנות מחשב כדי להפוך את תהליך מציאת שורש המשוואה לאוטומטי.

שיטה מספר 2.נוסחאות וייטה

נוסחאות וייטה הן נוסחאות המקשרות את המקדמים של משוואות אלגבריות של תואר n והשורשים שלה. נוסחאות אלו הוצגו במרומז בעבודותיו של המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה ויטה (1540 - 1603). בשל העובדה שוויאט חשב רק על שורשים אמיתיים חיוביים, לכן, לא הייתה לו הזדמנות לכתוב את הנוסחאות הללו בצורה כללית מפורשת.

עבור כל פולינום אלגברי בדרגה n שיש לו n שורשים ממשיים,

היחסים הבאים תקפים, המחברים את השורשים של פולינום עם המקדמים שלו:

הנוסחאות של Vieta נוחות לשימוש כדי לבדוק את נכונות מציאת השורשים של פולינום, כמו גם להרכיב פולינום משורשים נתונים.

דוגמה 2.1.שקול כיצד שורשים של פולינום קשורים למקדמים שלו באמצעות המשוואה המעוקבת כדוגמה

בהתאם לנוסחאות וייטה, הקשר בין שורשי הפולינום והמקדמים שלו הוא כדלקמן:

ניתן ליצור קשרים דומים עבור כל פולינום בדרגה n.

שיטה מספר 3. פקטוריזציה של משוואה ריבועית עם שורשים רציונליים

מהנוסחה האחרונה של וייטה עולה כי השורשים של פולינום הם מחלקים של המונח החופשי שלו ושל המקדם המוביל. בהקשר זה, אם מצב הבעיה מכיל פולינום בדרגה n עם מקדמים שלמים

אז לפולינום הזה יש שורש רציונלי (שבר בלתי ניתן לצמצום), כאשר p הוא המחלק של האיבר החופשי, ו-q הוא המחלק של המקדם המוביל. במקרה זה, פולינום בדרגה n יכול להיות מיוצג כ(משפט בזוט):

פולינום שהדרגה שלו קטנה ב-1 מדרגת הפולינום הראשוני נקבע על ידי חלוקת פולינום מדרגה n בבינומי, למשל, באמצעות סכמת הורנר או בצורה הפשוטה ביותר - "עמודה".

דוגמה 3.1.יש צורך לחלק את הפולינום לגורמים

עמ' 1. בשל העובדה שהמקדם במונח הגבוה ביותר שווה לאחד, אז השורשים הרציונליים של פולינום זה הם מחלקים של האיבר החופשי של הביטוי, כלומר. יכול להיות מספרים שלמים . החלפת כל אחד מהמספרים המוצגים בביטוי המקורי, אנו מוצאים שהשורש של הפולינום המוצג הוא .

בואו נחלק את הפולינום המקורי בבינומי:

בואו נשתמש בתוכנית של הורנר

המקדמים של הפולינום המקורי נקבעים בשורה העליונה, בעוד שהתא הראשון של השורה העליונה נשאר ריק.

השורש שנמצא נכתב בתא הראשון של השורה השנייה (בדוגמה זו נכתב המספר "2") והערכים הבאים בתאים מחושבים בצורה מסוימת והם המקדמים של הפולינום, שייגרם מחלוקת הפולינום בבינומי. המקדמים הלא ידועים מוגדרים כדלקמן:

הערך מהתא המתאים בשורה הראשונה מועבר לתא השני בשורה השנייה (בדוגמה זו נכתב המספר "1").

התא השלישי של השורה השנייה מכיל את הערך של המכפלה של התא הראשון והתא השני של השורה השנייה בתוספת הערך מהתא השלישי של השורה הראשונה (בדוגמה זו, 2 ∙ 1 -5 = -3) .

התא הרביעי של השורה השנייה מכיל את הערך של המכפלה של התא הראשון והתא השלישי של השורה השנייה בתוספת הערך מהתא הרביעי של השורה הראשונה (בדוגמה זו 2 ∙ (-3) +7 = 1 ).

לפיכך, הפולינום המקורי מחולק לגורמים:

שיטה מספר 4.שימוש בנוסחאות כפל קיצור

נוסחאות כפל מקוצר משמשות לפישוט חישובים, כמו גם לפירוק של פולינומים לגורמים. נוסחאות הכפל המקוצרות מאפשרות לפשט את הפתרון של בעיות בודדות.

נוסחאות המשמשות לפקטורינג

הפקת מספר גדול היא משימה לא פשוטה.רוב האנשים מתקשים לפרק מספרים ארבע או חמש ספרות. כדי לפשט את התהליך, כתוב את המספר מעל שתי העמודות.

• בוא נחלק לגורמים את המספר 6552.

מחלקים את המספר הנתון במחלק הראשוני הקטן ביותר (מלבד 1) המחלק את המספר הנתון ללא שארית.כתוב את המחלק הזה בעמודה השמאלית, ורשום את תוצאת החלוקה בעמודה הימנית. כפי שצוין לעיל, קל לגורם מספרים זוגיים מכיוון שהגורם הראשוני הקטן ביותר שלהם יהיה תמיד 2 (למספרים אי-זוגיים יש גורמים ראשוניים קטנים שונים).

• בדוגמה שלנו, 6552 הוא מספר זוגי, ולכן 2 הוא הגורם הראשוני הקטן ביותר שלו. 6552 ÷ 2 = 3276. כתוב 2 בעמודה השמאלית ו-3276 בעמודה הימנית.

לאחר מכן, חלקו את המספר בעמודה הימנית במחלק הראשוני הקטן ביותר (מלבד 1) המחלק את המספר הנתון ללא שארית. כתבו את המחלק הזה בעמודה השמאלית, ורשמו את תוצאת החלוקה בעמודה הימנית (המשיכו בתהליך זה עד שנשאר 1 בעמודה הימנית).

• בדוגמה שלנו: 3276 ÷ 2 = 1638. כתוב 2 בעמודה השמאלית ו- 1638 בעמודה הימנית. הבא: 1638 ÷ 2 = 819. כתוב 2 בעמודה השמאלית ו-819 בעמודה הימנית.

יש לך מספר אי זוגי; עבור מספרים כאלה, קשה יותר למצוא את המחלק הראשוני הקטן ביותר.אם אתה מקבל מספר אי-זוגי, נסה לחלק אותו במספרים הראשוניים האי-זוגיים הקטנים ביותר: 3, 5, 7, 11.

• בדוגמה שלנו, קיבלת את המספר האי-זוגי 819. חלקו אותו ב-3: 819 ÷ 3 = 273. כתוב 3 בעמודה השמאלית ו-273 בעמודה הימנית.
• כשאתה מחפש מחלקים, נסה את כל המספרים הראשוניים עד לשורש הריבועי של המחלק הגדול ביותר שמצאת. אם אף מחלק לא מחלק את המספר באופן שווה, סביר להניח שקיבלת מספר ראשוני ותוכל להפסיק לחשב.

המשיכו בתהליך חלוקת המספרים בגורמים ראשוניים עד שנשאר 1 בעמודה הימנית (אם קיבלתם מספר ראשוני בעמודה הימנית, חלקו אותו בעצמו כדי לקבל 1).

• נמשיך עם הדוגמה שלנו:
  • מחלקים ב-3: 273 ÷ 3 = 91. אין שארית. כתוב 3 בעמודה השמאלית ו-91 בעמודה הימנית.
  • חלקו ב-3. 91 מתחלק ב-3 עם שארית, אז חלקו ב-5. 91 מתחלק ב-5 עם שארית, אז חלקו ב-7: 91 ÷ 7 = 13. אין שארית. כתוב 7 בעמודה השמאלית ו-13 בעמודה הימנית.
  • מחלקים ב-7. 13 מתחלק ב-7 עם שארית, אז מחלקים ב-11. 13 מתחלק ב-11 עם שארית, אז מחלקים ב-13: 13 ÷ 13 = 1. אין שארית. כתוב 13 בעמודה השמאלית ו-1 בעמודה הימנית. החישובים שלך הושלמו.

העמודה השמאלית מציגה את הגורמים הראשוניים של המספר המקורי.במילים אחרות, כאשר מכפילים את כל המספרים מהעמודה השמאלית, תקבל את המספר שנכתב מעל העמודות. אם אותו גורם מופיע מספר פעמים ברשימת הגורמים, השתמש במעריכים כדי לציין זאת. בדוגמה שלנו, 2 מופיע 4 פעמים ברשימת המכפילים; כתוב את הגורמים האלה כ-2 4, לא כ-2*2*2*2.

• בדוגמה שלנו, 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. הפקת את המספר 6552 לגורמים ראשוניים (סדר הגורמים בסימון זה אינו משנה).