פתרון אי שוויוןבמצב באינטרנט פִּתָרוֹןכמעט כל אי שוויון נתון באינטרנט. מָתֵימָטִי אי שוויון באינטרנטלפתור מתמטיקה. מצא במהירות פתרון אי שוויוןבמצב באינטרנט. האתר www.site מאפשר לך למצוא פִּתָרוֹןכמעט כל נתון אַלגֶבּרִי, טריגונומטריאוֹ אי שוויון טרנסצנדנטי באינטרנט. כשלומדים כמעט כל קטע במתמטיקה בשלבים שונים, צריך להחליט אי שוויון באינטרנט. כדי לקבל תשובה מיידית, והכי חשוב תשובה מדויקת, אתה צריך משאב שמאפשר לך לעשות זאת. תודה לאתר www.site לפתור אי שוויון באינטרנטייקח כמה דקות. היתרון העיקרי של www.site בפתרון מתמטי אי שוויון באינטרנט- היא המהירות והדיוק של התגובה שהונפקה. האתר מסוגל לפתור כל אי שוויון אלגברי באינטרנט, אי שוויון טריגונומטרי באינטרנט, אי שוויון טרנסצנדנטי באינטרנט, ו אי שוויוןעם פרמטרים לא ידועים במצב באינטרנט. אי שוויוןלשמש מנגנון מתמטי רב עוצמה פתרונותמשימות מעשיות. עם עזרה אי שוויון מתמטיאפשר לבטא עובדות ויחסים שעלולים במבט ראשון להיראות מבלבלים ומורכבים. כמויות לא ידועות אי שוויוןניתן למצוא על ידי ניסוח הבעיה ב מָתֵימָטִישפה בצורה אי שוויוןו לְהַחלִיטהמשימה שהתקבלה במצב באינטרנטבאתר www.site. כל אי שוויון אלגברי, אי שוויון טריגונומטריאוֹ אי שוויוןמֵכִיל טרנסצנדנטלימציג אותך בקלות לְהַחלִיטבאינטרנט וקבל את התשובה הנכונה. בלימוד מדעי הטבע, נתקלים בהכרח בצורך פתרון אי השוויון. במקרה זה, התשובה חייבת להיות מדויקת והיא חייבת להתקבל מיד במוד באינטרנט. לכן, עבור לפתור אי שוויון מתמטי באינטרנטאנו ממליצים על האתר www.site, שיהפוך למחשבון הכרחי עבורכם לפתור אי שוויון אלגברי באינטרנט, אי שוויון טריגונומטרי באינטרנט, ו אי שוויון טרנסצנדנטי באינטרנטאוֹ אי שוויוןעם פרמטרים לא ידועים. לבעיות מעשיות של מציאת פתרונות תוך-ווליים מגוונים אי שוויון מתמטימשאב www.. פתרון אי שוויון באינטרנטבעצמך, כדאי לבדוק את התשובה שהתקבלה באמצעות פתרון מקוון של אי שוויוןבאתר www.site. יש צורך לרשום את אי השוויון בצורה נכונה ולקבל באופן מיידי פתרון מקוון, לאחר מכן נותר רק להשוות את התשובה לפתרון שלך לאי השוויון. בדיקת התשובה תארך לא יותר מדקה, מספיק לפתור אי שוויון באינטרנטולהשוות תשובות. זה יעזור לך להימנע מטעויות ב הַחְלָטָהולתקן את התשובה בזמן פתרון אי שוויון באינטרנטאוֹ אַלגֶבּרִי, טריגונומטרי, טרנסצנדנטיאוֹ אי שיוויוןעם פרמטרים לא ידועים.
אי-שוויון המכילים פונקציות טריגונומטריות, כאשר הם נפתרים, מצטמצמים לאי-השוויון הפשוטים ביותר של הצורה cos(t)>a, sint(t)=a וכדומה. וכבר נפתרים אי השוויון הפשוטים ביותר. שקול, באמצעות דוגמאות שונות, שיטות לפתרון אי השוויון הטריגונומטרי הפשוט ביותר.
דוגמה 1. פתור את אי השוויון sin(t) > = -1/2.
צייר עיגול בודד. מכיוון ש-sin (t) בהגדרה היא קואורדינטת y, אנו מסמנים את הנקודה y \u003d -1/2 על ציר Oy. נשרטט דרכו קו ישר במקביל לציר ה-x. סמן את הנקודות Pt1 ו-Pt2 במפגשים של הישר עם גרף מעגל היחידה. אנו מחברים את מקור הקואורדינטות עם הנקודות Pt1 ו- Pt2 עם שני קטעים.
הפתרון לאי-שוויון זה יהיו כל הנקודות של מעגל היחידה הממוקמות מעל נקודות אלו. במילים אחרות, הפתרון יהיה arc l.. כעת עליך לציין את התנאים שבהם נקודה שרירותית תהיה שייכת לקשת l.
Pt1 נמצא בחצי העיגול הימני, הסמין שלו הוא -1/2, ואז t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. ניתן לכתוב את הנוסחה הבאה כדי לתאר את הנקודה Pt1:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. כתוצאה מכך, אנו מקבלים את אי השוויון הבא עבור t:
אנחנו שומרים על סימני אי השוויון. ומכיוון שפונקציית הסינוס היא פונקציה מחזורית, אז הפתרונות יחזרו על עצמם כל 2 * פי. נוסיף את התנאי הזה לאי השוויון שנוצר עבור t ורשום את התשובה.
תשובה: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
דוגמה 2פתור את עלות אי השוויון (t)<1/2.
בואו נצייר עיגול יחידה. מכיוון שלפי ההגדרה של cos(t), זוהי קואורדינטת ה-x, אנו מסמנים את הנקודה x = 1/2 בגרף על ציר ה-x.
אנו מציירים קו ישר דרך נקודה זו במקביל לציר ה-y. סמן את הנקודות Pt1 ו-Pt2 במפגשים של הישר עם גרף מעגל היחידה. אנו מחברים את מקור הקואורדינטות עם הנקודות Pt1 ו- Pt2 עם שני קטעים.
הפתרונות הם כולן נקודות של מעגל היחידה השייכות לקשת l.. בוא נמצא את הנקודות t1 ו-t2.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
קיבלנו את אי השוויון עבור t: pi/3 מכיוון שהקוסינוס הוא פונקציה מחזורית, הפתרונות יחזרו על עצמם כל 2 * פי. נוסיף את התנאי הזה לאי השוויון שנוצר עבור t ורשום את התשובה. תשובה: pi/3+2*pi*n דוגמה 3פתור את אי השוויון tg(t)< = 1. התקופה של הטנגנס היא פאי. בואו נמצא פתרונות השייכים למרווח (-pi/2;pi/2) חצי העיגול הימני. לאחר מכן, באמצעות המחזוריות של המשיק, נכתוב את כל הפתרונות של אי השוויון הזה. נצייר מעגל יחידה ונסמן עליו את קו המשיקים. אם t הוא פתרון לאי השוויון, אזי הסמין של הנקודה T = tg(t) חייבת להיות קטנה או שווה ל-1. קבוצת הנקודות הללו תהווה את הקרן AT. קבוצת הנקודות Pt שתתאים לנקודות של קרן זו היא הקשת l. יתרה מכך, הנקודה P(-pi/2) אינה שייכת לקשת זו. פתרון אי שוויון מקוון באתר Math24.biz יספק דיוק מרבי בחישובים. אי שוויון במתמטיקה הוא הצהרה על גודל או סדר יחסי של שני עצמים (אחד מהאובייקטים קטן או לא גדול מהשני), או ששני עצמים אינם זהים (שלילת השוויון). במתמטיקה היסודית חוקרים אי-שוויון מספרי; באלגברה, ניתוח וגיאומטריה כללית, אי-שוויון נחשב גם בין אובייקטים בעלי אופי לא מספרי. כדי לפתור אי שוויון, יש להגדיר את שני חלקיו עם אחד מסימני אי השוויון ביניהם. אי-שוויון קפדני מרמז על אי-שוויון של שני אובייקטים. בשונה מאי שוויון קפדני, אי שוויון לא קפדני מאפשר את שוויון החפצים הכלולים בו. אי-שוויון ליניארי הם הביטויים הפשוטים ביותר מלכתחילה, והטכניקות הפשוטות ביותר משמשות לפתרון אי-שוויון כאלה. הטעות העיקרית של סטודנטים בפתרון אי שוויון באינטרנט היא שהם אינם מבחינים בין המאפיינים של אי שוויון קפדני ולא קפדני, מה שקובע אם ערכי הגבול ייכללו בתשובה הסופית או לא. כמה אי-שוויון המקושרים על ידי כמה אלמונים נקראים מערכת של אי-שוויון. פתרון אי השוויון מהמערכת הוא אזור מסוים במישור, או דמות תלת מימדית במרחב התלת מימדי. יחד עם זה, הם מופשטים על ידי מרחבים נ-ממדיים, אולם כאשר פותרים אי-שוויון כאלה, לעתים קרובות אי אפשר להסתדר בלי מחשבים מיוחדים. עבור כל אי שוויון בנפרד, יש צורך למצוא את ערכי הלא נודע בגבולות אזור הפתרון. מכלול הפתרונות של אי השוויון הוא התשובה שלו. החלפת אי-שוויון אחד באי-שוויון אחר המקביל לו נקרא מעבר שווה-ערך מאי-שוויון אחד לאחר. גישה דומה נמצאת בדיסציפלינות אחרות, כי היא עוזרת להביא ביטויים לצורה סטנדרטית. אתה תעריך את כל היתרונות של פתרון אי שוויון באינטרנט באתר שלנו. אי שוויון הוא ביטוי המכיל אחד מהסימנים = >. בעיקרון, זה ביטוי בוליאני. זה יכול להיות נכון או לא - תלוי מה יש בימין ובשמאל באי השוויון הזה. ההסבר על משמעות אי השוויון והטכניקות הבסיסיות לפתרון אי שוויון נלמדות בקורסים שונים וכן בבית הספר. פתרון של כל אי שוויון באינטרנט - אי שוויון עם מודולוס, אי שוויון אלגברי, טריגונומטרי, טרנסצנדנטלי באינטרנט. אי שוויון זהות, כמו אי שוויון קפדני ולא קפדני, מפשט את תהליך השגת התוצאה הסופית, מהווה כלי עזר לפתרון הבעיה. הפתרון של כל אי-שוויון ומערכות אי-שוויון, בין אם לוגריתמי, אקספוננציאלי, טריגונומטרי או ריבועי, ניתן בעזרת גישה נכונה תחילה לתהליך חשוב זה. פתרון אי שוויון מקוון באתר זמין תמיד לכל המשתמשים והוא לגמרי בחינם. פתרונות לאי שוויון עם משתנה אחד הם ערכי המשתנה שהופכים אותו לביטוי מספרי אמיתי. משוואות ואי-שוויון עם מודולוס: המודולוס של מספר ממשי הוא הערך המוחלט של מספר זה. השיטה הסטנדרטית לפתרון אי השוויון הללו היא העלאת שני הצדדים של אי השוויון לעוצמה הרצויה. אי-שוויון הם ביטויים המצביעים על השוואה של מספרים, ולכן הפתרון הנכון של אי-שוויון מבטיח את הדיוק של השוואות כאלה. הם קפדניים (גדולים מ-, פחות מ-) ואי-מחמירים (גדולים מ- או שווה ל-, פחות מ- או שווים). לפתור אי שוויון פירושו למצוא את כל אותם ערכים של משתנים שכאשר הם מוחלפים בביטוי המקורי הופכים אותו לייצוג המספרי הנכון. מושג אי השוויון, מהותו ותכונותיו, סיווגו וגיוון - זה מה שקובע את הפרטים של החלק המתמטי הזה. המאפיינים העיקריים של אי-שוויון מספרי החלים על כל האובייקטים בכיתה זו חייבים להילמד על ידי התלמידים בשלב הראשוני של ההיכרות עם נושא זה. אי-השוויון והפערים בקווי המספרים קשורים קשר הדוק מאוד כשמדובר בפתרון אי-שוויון באינטרנט. הייעוד הגרפי של פתרון אי השוויון מראה בבירור את המהות של ביטוי כזה, מתברר למה יש לשאוף בעת פתרון כל משימה. מושג אי השוויון מבוסס על השוואה של שני אובייקטים או יותר. אי-שוויון המכילים משתנה נפתרים כמשוואות המורכבות באופן דומה, שלאחריהן מתבצעת מבחר של מרווחים שייקחו כתשובה. כל אי-שוויון אלגברי, אי-שוויון טריגונומטרי או אי-שוויון המכילים פונקציות טרנסצנדנטליות, אתה יכול לפתור בקלות ובמיידי באמצעות השירות החינמי שלנו. מספר הוא פתרון לאי שוויון אם, כאשר מחליפים מספר זה במקום משתנה, נקבל את הביטוי הנכון, כלומר, סימן אי השוויון מראה את המושג האמיתי. פרויקט אלגברה "פתרון אי-שוויון טריגונומטרי" הושלם על ידי תלמידת כיתה 10 "ב" יוליה קזצ'קובה מנחה: מורה למתמטיקה קוצ'קובה נ.נ. מטרה לגבש את החומר בנושא "פתרון אי שוויון טריגונומטרי" וליצור תזכיר לתלמידים להתכונן לבחינה הקרובה. מטרות סכמו את החומר בנושא. ארגן את המידע שהתקבל. שקול נושא זה בבחינה. רלוונטיות הרלוונטיות של הנושא שבחרתי נעוצה בעובדה שמטלות בנושא "פתרון אי שוויון טריגונומטרי" כלולות במשימות הבחינה. אי שוויון טריגונומטרי אי שוויון הוא יחס המחבר בין שני מספרים או ביטויים דרך אחד הסימנים: (גדול מ); ≥ (גדול או שווה ל). אי שוויון טריגונומטרי הוא אי שוויון המכיל פונקציות טריגונומטריות. אי שוויון טריגונומטרי פתרון אי השוויון המכילים פונקציות טריגונומטריות מצטמצם, ככלל, לפתרון אי השוויון הפשוטים ביותר של הצורה: sin x>a, sin x א, כי x a,tgx a, ctg x אלגוריתם לפתרון אי שוויון טריגונומטרי על הציר המתאים לפונקציה טריגונומטרית נתונה, סמן את הערך המספרי הנתון של פונקציה זו. צייר קו דרך הנקודה המסומנת החותכת את מעגל היחידה. בחר את נקודות החיתוך של הקו והמעגל, תוך התחשבות בסימן אי-שוויון קפדני או לא קפדני. בחר את קשת המעגל שעליה ממוקמים פתרונות אי השוויון. קבע את ערכי הזוויות בנקודות ההתחלה והסיום של הקשת המעגלית. רשום את הפתרון של אי השוויון, תוך התחשבות במחזוריות של הפונקציה הטריגונומטרית הנתונה. נוסחאות לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). סינקס א; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxא; x (arctg a + πn ; + πn). tgx א; x (πn ; arctg + πn). ctgx פתרון גרפי של אי השוויון הטריגונומטריים העיקריים sinx >a פתרון גרפי של אי השוויון הטריגונומטריים העיקריים sinx פתרון גרפי של אי השוויון הטריגונומטריים העיקריים cosx >a פתרון גרפי של אי השוויון הטריגונומטריים העיקריים cosx פתרון גרפי של אי השוויון הטריגונומטריים העיקריים tgx >a פתרון גרפי של אי השוויון הטריגונומטרי העיקרי tgx פתרון גרפי של אי השוויון הטריגונומטריים העיקריים ctgx >a שיטות לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי
רלוונטיות.
מבחינה היסטורית, משוואות טריגונומטריות ואי-שוויון קיבלו מקום מיוחד בתכנית הלימודים בבית הספר. אנו יכולים לומר שטריגונומטריה היא אחד הסעיפים החשובים ביותר בקורס בבית הספר ובכל המדעים המתמטיים בכלל. משוואות טריגונומטריות ואי-שוויון תופסים את אחד המקומות המרכזיים בקורס מתמטיקה בתיכון, הן מבחינת תוכן החומר החינוכי והן מבחינת שיטות הפעילות החינוכית והקוגניטיבית שניתן וצריכים להיווצר במהלך לימודיהם וליישם לפתרון עניין גדול. מספר בעיות בעלות אופי תיאורטי ויישומי. . הפתרון של משוואות ואי-שוויון טריגונומטריות יוצר את התנאים המוקדמים לשיטת הידע של התלמידים הקשורים לכל החומר החינוכי בטריגונומטריה (לדוגמה, תכונות של פונקציות טריגונומטריות, שיטות להמרת ביטויים טריגונומטריים ועוד) ומאפשר ליצור קשרים יעילים עם החומר הנלמד באלגברה (משוואות, שקילות משוואות, אי שוויון, טרנספורמציות זהות של ביטויים אלגבריים וכו'). במילים אחרות, השיקול של שיטות לפתרון משוואות טריגונומטריות ואי-שוויון כרוך בסוג של העברה של מיומנויות אלו לתוכן חדש. משמעות התיאוריה ויישומיה הרבים מהווים הוכחה לרלוונטיות של הנושא הנבחר. זה, בתורו, מאפשר לך לקבוע את המטרות, המטרות ואת נושא המחקר של עבודת הקורס. מטרת המחקר:
להכליל את הסוגים הזמינים של אי-שוויון טריגונומטרי, שיטות בסיסיות ומיוחדות לפתרון שלהם, לבחור סדרה של משימות לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי על ידי תלמידי בית ספר. נושאי מחקר:
1. בהתבסס על ניתוח הספרות הזמינה בנושא המחקר, ערכו שיטתיות של החומר. 2. תנו סט של משימות הדרושות לאיחוד הנושא "אי שוויון טריגונומטרי". מושא לימוד
הם אי שוויון טריגונומטרי בקורס המתמטיקה בבית הספר. נושא לימוד:
סוגי אי שוויון טריגונומטריים ושיטות לפתרון שלהם. משמעות תיאורטית
זה לארגן את החומר. משמעות מעשית:
יישום ידע תיאורטי בפתרון בעיות; ניתוח של השיטות העיקריות שנתקלות בהן לעתים קרובות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי. שיטות מחקר
: ניתוח ספרות מדעית, סינתזה והכללה של הידע הנרכש, ניתוח פתרון בעיות, חיפוש אחר שיטות מיטביות לפתרון אי שוויון. §1.
סוגי אי שוויון טריגונומטרי ושיטות בסיסיות לפתרון שלהם
1.1. אי השוויון הטריגונומטרי הפשוט ביותר
שני ביטויים טריגונומטריים המחוברים בסימן או > נקראים אי-שוויון טריגונומטרי. לפתור אי שוויון טריגונומטרי פירושו למצוא קבוצה של ערכים של הלא ידועים הכלולים באי השוויון, שמתחתם אי השוויון מסופק. החלק העיקרי של אי השוויון הטריגונומטרי נפתר על ידי צמצום לפתרון הפשוטים ביותר: זו עשויה להיות שיטה של פירוק לגורמים, שינוי של משתנה ( אי השוויון הפשוטים ביותר נפתרים בשתי דרכים: באמצעות מעגל היחידה או בצורה גרפית. לתתf(x
היא אחת הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות. לפתור את אי השוויון הבה ניתן דוגמה לאלגוריתם לפתרון אי שוויון אלגוריתם לפתרון אי השוויון 1. נסח את ההגדרה של הסינוס של מספראיקס
על מעגל היחידה. 3. על ציר ה-y, סמן נקודה עם הקואורדינטהא
.
4. דרך נקודה זו, צייר קו מקביל לציר OX, וסמן את נקודות החיתוך שלו עם המעגל. 5. בחר קשת של מעגל, שלכל הנקודות שלה יש סדין קטן מא
.
6. ציין את כיוון המעקף (נגד כיוון השעון) ורשום את התשובה על ידי הוספת פרק הזמן של הפונקציה לקצוות המרווח2πn
,
אלגוריתם לפתרון אי השוויון 1. נסח את ההגדרה של הטנגנס של מספראיקס
על מעגל היחידה. 2. צייר עיגול יחידה. 3. צייר קו של משיקים וסמן עליו נקודה באסמינטהא
.
4. חברו נקודה זו למקור וסמנו את נקודת החיתוך של הקטע שנוצר עם מעגל היחידה. 5. בחר קשת של מעגל, שלכל הנקודות שלה יש קו סמיך על קו המשיק הקטן מ-א
.
6. ציין את כיוון המעבר ורשום את התשובה תוך התחשבות בהיקף הפונקציה, הוספת נקודהP n
,
פרשנות גרפית של פתרונות למשוואות ולנוסחאות הפשוטות ביותר לפתרון אי-שוויון בצורה כללית ניתנת בנספח (נספחים 1 ו-2). דוגמה 1
לפתור את אי השוויון צייר קו על מעגל היחידה כל הערכיםy
במרווח NM יותר
, כל הנקודות של הקשת AMB מספקות את אי השוויון הזה. בכל זוויות הסיבוב, גדולות איור.1 לפיכך, הפתרון של אי השוויון יהיה כל הערכים במרווח הָהֵן. תשובה: 1.2. שיטה גרפית
בפועל, שיטה גרפית לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי היא לרוב שימושית. שקול את מהות השיטה על הדוגמה של אי השוויון 1. אם הטיעון מורכב (שונה מאיקס
), אז נחליף אותו בט
.
2. אנחנו בונים במישור קואורדינטות אחדtoOy
גרפי פונקציות 3. אנחנו מוצאים כאלהשתי נקודות חיתוך סמוכות של גרפים, ביניהםסינוסואידממוקםגבוה יותר
יָשָׁר 4. כתוב אי שוויון כפול לטיעוןט
, בהתחשב בתקופת הקוסינוס (ט
יהיה בין האבססיסים שנמצאו). 5. בצע החלפה הפוכה (חזור לארגומנט המקורי) ובטא את הערךאיקס
מתוך אי שוויון כפול, אנו כותבים את התשובה כמרווח מספרי. דוגמה 2
לפתור את אי השוויון: . כאשר פותרים אי שוויון בשיטה גרפית, יש צורך לבנות גרפים של פונקציות בצורה מדויקת ככל האפשר. בואו נהפוך את אי השוויון לצורה: הבה נבנה גרפים של פונקציות במערכת קואורדינטות אחת איור 2 גרפי פונקציות מצטלבים בנקודהא
עם קואורדינטות תשובה: 1.3. שיטה אלגברית
לעתים קרובות למדי, ניתן לצמצם את אי השוויון הטריגונומטרי המקורי, על ידי החלפה שנבחרה היטב, לאי שוויון אלגברי (רציונלי או לא רציונלי). שיטה זו כוללת הפיכת אי השוויון, הכנסת תחליף או החלפת משתנה. הבה נשקול את היישום של שיטה זו על דוגמאות ספציפיות. דוגמה 3
צמצום לצורה הפשוטה ביותר איור 3 תשובה: דוגמה 4
לפתור את אי השוויון: ODZ: שימוש בנוסחאות: אנו כותבים את אי השוויון בצורה: או, בהנחה פתרון אי השוויון האחרון בשיטת המרווחים, נקבל: איור.4 איור.5 תשובה: 1.4. שיטת ריווח
הסכימה הכללית לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי בשיטת המרווחים: שימוש בנוסחאות טריגונומטריות, בצע פירוק לגורמים. מצא נקודות שבירה ואפסים של הפונקציה, שים אותם על המעגל. קח כל נקודהל
(אך לא נמצא קודם לכן) וגלה את הסימן של המוצר. אם התוצר חיובי, שימו נקודה מחוץ למעגל היחידה על הקרן המתאימה לזווית. אחרת, שים את הנקודה בתוך המעגל. אם נקודה מתרחשת מספר זוגי של פעמים, אנו קוראים לה נקודה של ריבוי זוגי; אם מספר אי זוגי של פעמים, אנו קוראים לה נקודה של ריבוי אי זוגי. צייר קשתות באופן הבא: התחל מנקודהל
, אם הנקודה הבאה היא בריבוי אי זוגי, אז הקשת חותכת את המעגל בנקודה זו, אבל אם הנקודה היא בריבוי זוגי, אז היא לא חותכת. קשתות מאחורי מעגל הן פערים חיוביים; בתוך המעגל יש מרווחים שליליים. דוגמה 5
לפתור את אי השוויון נקודות מהסדרה הראשונה: נקודות מהסדרה השנייה: כל נקודה מתרחשת מספר אי זוגי של פעמים, כלומר כל הנקודות בריבוי אי זוגי. גלה את השלט של המוצר ב אורז. 6 תשובה: דוגמה 6
. לפתור את אי השוויון.
פִּתָרוֹן:
בוא נמצא את האפסים של הביטוי .
לקבלaeM :
על מעגל היחידה, ערכי סדרהאיקס
1
מיוצג על ידי נקודות עכשיו תן את המספר אז הנקודהא
יש לבחור על הקורה היוצרת את הזווית עכשיו מהנקודהא
אנו מציירים קו רציף גלי ברצף לכל הנקודות המסומנות. ובנקודות איור 7 תשובה סופית: הערה.
אם לא ניתן להחזיר את הקו הגלי, לאחר חציית כל הנקודות המסומנות במעגל היחידה, לנקודהא
,
מבלי לחצות את המעגל במקום "לא חוקי", פירוש הדבר שנפלה טעות בפתרון, כלומר, הושמט מספר אי זוגי של שורשים. תשובה:
.
§2. סט משימות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי
בתהליך פיתוח היכולת של תלמידי בית הספר לפתור אי שוויון טריגונומטרי, ניתן להבחין גם ב-3 שלבים. 1. הכנה, 2. היווצרות מיומנויות לפתרון אי השוויון הטריגונומטרי הפשוט ביותר; 3. הכנסת אי-שוויון טריגונומטרי מסוגים אחרים. מטרת שלב ההכנה היא שיש צורך ליצור אצל תלמידי בית הספר את היכולת להשתמש במעגל טריגונומטרי או גרף כדי לפתור אי שוויון, כלומר: יכולת לפתור אי שוויון פשוט של הצורה יכולת ליצור אי-שוויון כפול עבור קשתות של מעגל מספרי או עבור קשתות של גרפים של פונקציות; יכולת לבצע טרנספורמציות שונות של ביטויים טריגונומטריים. מומלץ ליישם שלב זה בתהליך שיטת הידע של תלמידי בית הספר על תכונות הפונקציות הטריגונומטריות. האמצעים העיקריים יכולים להיות משימות המוצעות לתלמידים ומבוצעות בהדרכת מורה או באופן עצמאי, כמו גם מיומנויות שנרכשו בפתרון משוואות טריגונומטריות. להלן דוגמאות למשימות כאלה: 1
. סמן נקודה על מעגל היחידה .
2.
באיזה רבע של מישור הקואורדינטות נמצאת הנקודה 3.
סמן נקודות על המעגל הטריגונומטרי 4.
הביאו את הביטוי לפונקציות טריגונומטריותאנימְגוּרִים. א) 5.
בהינתן הקשת MR.M
- באמצעאנירבעון,ר
- באמצעIIהרבעון. הגבל את הערך של משתנהט
עבור: (חבר אי שוויון כפול) א) קשת MP; ב) קשתות RM. 6.
כתוב אי שוויון כפול עבור החלקים שנבחרו בגרף: אורז. 1 7.
לפתור אי שוויון 8.
המרת ביטוי
.
בשלב השני של הלמידה לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי, נוכל להציע את ההמלצות הבאות הקשורות למתודולוגיה לארגון פעילויות התלמידים. במקביל, יש צורך להתמקד במיומנויות התלמידים לעבוד עם עיגול טריגונומטרי או גרף, שנוצרים במהלך פתרון המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר. ראשית, ניתן להניע את כדאיות השגת שיטה כללית לפתרון אי השוויון הטריגונומטרי הפשוט ביותר על ידי התייחסות, למשל, לאי שוויון של הצורה. שנית, על המורה להפנות את תשומת לב התלמידים לדרכים שונות להשלמת המשימה, לתת דוגמה מתאימה לפתרון אי השוויון הן מבחינה גרפית והן באמצעות המעגל הטריגונומטרי. שקול אפשרויות כאלה לפתרון אי השוויון 1. פתרון אי השוויון באמצעות מעגל היחידה. בשיעור הראשון על פתרון אי שוויון טריגונומטרי, נציע לתלמידים אלגוריתם פתרונות מפורט, אשר במצגת שלב אחר שלב משקף את כל המיומנויות הבסיסיות הנחוצות לפתרון אי השוויון. שלב 1.צייר מעגל יחידה, סמן נקודה על ציר ה-y שלב 2קו ישר זה חילק את המעגל לשתי קשתות. הבה נפרט את זה שעליו מוצגים מספרים שיש להם סינוס גדול מ אורז. 2 שלב 3בוא נבחר אחד מקצוות הקשת המסומנת. נרשום את אחד המספרים שמיוצג על ידי נקודה זו של מעגל היחידה שלב 4על מנת לבחור מספר המתאים לקצה השני של הקשת הנבחרת, אנו "מעבירים" לאורך הקשת הזו מהקצה המכונה אל הקצה השני. יחד עם זאת, אנו זוכרים שכאשר נעים נגד כיוון השעון, המספרים שנעבור על פני גדלים (כאשר נעים בכיוון ההפוך, המספרים היו יורדים). נרשום את המספר שמתואר על מעגל היחידה בקצה השני של הקשת המסומנת לפיכך, אנו רואים את אי השוויון יש לבקש מהתלמידים לשקול היטב את הנתון ולהבין מדוע כל הפתרונות לאי השוויון אורז. 3 יש צורך להסב את תשומת לב התלמידים לעובדה שכאשר פותרים אי-שוויון עבור פונקציית הקוסינוס, אנו מציירים קו ישר מקביל לציר ה-y. דרך גרפית לפתור את אי השוויון. בניית תרשימים אורז. 4 ואז נכתוב את המשוואה (מַתָןנ
ערכים 0, 1, 2, אנו מוצאים שלושה שורשים של המשוואה המורכבת). ערכים אורז. 5 לְסַכֵּם. לפתור את אי השוויון שלישית, העובדה על מערך השורשים של אי השוויון הטריגונומטרי המתאים מאושרת בבירור כאשר פותרים אותו בצורה גרפית. אורז. 6 יש צורך להדגים לתלמידים שהסליל, שהוא הפתרון לאי השוויון, חוזר באותו מרווח, שווה לתקופה של הפונקציה הטריגונומטרית. אתה יכול גם לשקול איור דומה עבור הגרף של פונקציית הסינוס. רביעית, רצוי לבצע עבודה על עדכון שיטות התלמידים להמרת סכום (הפרש) של פונקציות טריגונומטריות למוצר, כדי להסב את תשומת לבם של תלמידי בית הספר לתפקידן של טכניקות אלו בפתרון אי שוויון טריגונומטרי. עבודה כזו יכולה להתארגן באמצעות מילוי עצמאי של התלמידים במשימות המוצעות על ידי המורה, וביניהן אנו מדגישים את הדברים הבאים: חמישית, יש לדרוש מהתלמידים להמחיש את הפתרון של כל אי שוויון טריגונומטרי פשוט באמצעות גרף או עיגול טריגונומטרי. הקפד לשים לב לכדאיות שלו, במיוחד לשימוש במעגל, שכן בעת פתרון אי שוויון טריגונומטרי, האיור המקביל משמש כאמצעי נוח מאוד לקיבוע מכלול הפתרונות לאי שוויון נתון היכרות של תלמידים עם שיטות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי שאינן הפשוטות ביותר, רצוי לבצע לפי הסכימה הבאה: הכוונה לאי שוויון טריגונומטרי ספציפי המתייחס למשוואה הטריגונומטרית המתאימה חיפוש משותף (מורה - תלמידים) לפתרון עצמאי. העברת הטכניקה שנמצאה לאי שוויון אחרים מאותו סוג. על מנת ליצור שיטתיות של הידע של התלמידים בטריגונומטריה, אנו ממליצים לבחור ספציפית באי-שוויון מסוג זה, שפתרונם מצריך טרנספורמציות שונות שניתן ליישם בתהליך פתרונה, תוך מיקוד תשומת הלב של התלמידים בתכונותיהם. כאי שוויון פרודוקטיבי כזה, אנו יכולים להציע, למשל, את הדברים הבאים: לסיכום, אנו נותנים דוגמה למערכת של בעיות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי. 1. לפתור את אי השוויון: א) ב) 5. מצא את כל הפתרונות של אי-שוויון: א) ;
ב) ;
V) ז) ה) 6. לפתור את אי השוויון: א) ;
ב) ;
V) ; ז) ה) ; ה) ; ו) 7. פתור את אי השוויון: א) ב) ;
V) ; ז). 8. לפתור את אי השוויון: א) ;
ב) ;
V) ; ז) ה) ה) ; ו) ח) . רצוי להציע מטלות 6 ו-7 לתלמידים הלומדים מתמטיקה ברמה מתקדמת, משימה 8 - לתלמידים בכיתות עם לימוד מעמיק במתמטיקה. §3. שיטות מיוחדות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי
שיטות מיוחדות לפתרון משוואות טריגונומטריות - כלומר אותן שיטות שניתן להשתמש בהן רק לפתרון משוואות טריגונומטריות. שיטות אלו מבוססות על שימוש בתכונות של פונקציות טריגונומטריות, וכן על שימוש בנוסחאות ובזהויות טריגונומטריות שונות. 3.1. שיטת מגזר
שקול את שיטת המגזר לפתרון אי שוויון טריגונומטרי. פתרון אי השוויון של הצורה בשיטת המרווח, כל גורם ליניארי של המונה והמכנה של הצורה יש לזכור את הדברים הבאים: א) מכפילים של הצורה ב) מכפילים של הצורה דוגמה 1
לפתור אי שוויון: א) 3.2. שיטת מעגל קונצנטרי
שיטה זו מקבילה לשיטת צירים מספריים מקבילים בפתרון מערכות של אי-שוויון רציונלי. שקול דוגמה למערכת של אי שוויון. דוגמה 5
פתור מערכת של אי-שוויון טריגונומטרי פשוט ראשית, אנו פותרים כל אי שוויון בנפרד (איור 5). בפינה הימנית העליונה של האיור, נציין עבור איזה טיעון נחשב המעגל הטריגונומטרי. איור.5 לאחר מכן, אנו בונים מערכת של מעגלים קונצנטריים עבור הטיעוןאיקס
. אנו מציירים מעגל ומצללים אותו לפי הפתרון של אי השוויון הראשון, ואז נצייר עיגול ברדיוס גדול יותר ומצללים אותו לפי הפתרון של השני, ואז בונים עיגול לאי השוויון השלישי ומעגל בסיס . אנו מציירים קרניים ממרכז המערכת דרך קצוות הקשתות כך שהן חותכות את כל המעגלים. אנו יוצרים פתרון על מעגל הבסיס (איור 6). איור 6 תשובה:
סיכום
כל המטרות של הקורס הושלמו. החומר התיאורטי מסודר: ניתנים הסוגים העיקריים של אי-שוויון טריגונומטרי והשיטות העיקריות לפתרון שלהם (גרפי, אלגברי, שיטת המרווחים, סקטורים ושיטת המעגלים הקונצנטריים). לכל שיטה ניתנה דוגמה לפתרון אי שוויון. לאחר החלק העיוני הגיע החלק המעשי. הוא מכיל קבוצה של משימות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי. קורס זה יכול לשמש את התלמידים לעבודה עצמאית. התלמידים יכולים לבדוק את רמת ההטמעה של נושא זה, להתאמן בביצוע משימות במורכבות משתנה. לאחר שעבדנו על הספרות הרלוונטית בנושא זה, כמובן, אנו יכולים להסיק שהיכולת והמיומנויות לפתור אי-שוויון טריגונומטרי בקורס האלגברה בבית הספר ותחילת הניתוח חשובים מאוד, שפיתוחם דורש מאמץ ניכר מצדו של המורה למתמטיקה. לכן, עבודה זו תהיה שימושית עבור מורים למתמטיקה, שכן היא מאפשרת לארגן ביעילות את ההכשרה של תלמידים בנושא "אי שוויון טריגונומטרי". ניתן להמשיך את הלימוד על ידי הרחבתו לעבודת ההסמכה הסופית.
רשימת ספרות משומשת
Bogomolov, N.V. אוסף בעיות במתמטיקה [טקסט] / N.V. בוגומולוב. – M.: Bustard, 2009. – 206 עמ'. ויגודסקי, מ.י. מדריך למתמטיקה יסודית [טקסט] / M.Ya. ויגודסקי. – M.: Bustard, 2006. – 509 p. ז'ורבנקו, ל.נ. מתמטיקה בדוגמאות ומשימות [טקסט] / ל.נ. ז'ורבנקו. – מ.: אינפרא-מ, 2009. – 373 עמ'. איבנוב, או.א. מתמטיקה יסודית לתלמידי בית ספר, תלמידים ומורים [טקסט] / O.A. איבנוב. – מ.: MTsNMO, 2009. – 384 עמ'. קארפ, א.פ. משימות באלגברה והתחלות ניתוח לארגון החזרה הסופית וההסמכה בכיתה יא [טקסט] / א.פ. קַרפִּיוֹן. – מ.: נאורות, 2005. – 79 עמ'. קולנין, א.ד. 3000 בעיות תחרותיות במתמטיקה [טקסט] / E.D. קולנין. – M.: Iris-press, 2007. – 624 p. לייבסון, ק.ל. אוסף משימות מעשיות במתמטיקה [טקסט] / ק.ל. ליבסון. – M.: Bustard, 2010. – 182 עמ'. מרפק, V.V. בעיות בפרמטרים והפתרון שלהם. טריגונומטריה: משוואות, אי שוויון, מערכות. כיתה י' [טקסט] / V.V. מַרְפֵּק. – M.: ARKTI, 2008. – 64 עמ'. מנובה, א.נ. מָתֵימָטִיקָה. מורה אקספרס להתכונן לבחינה: חשבון. קצבה [טקסט] / א.נ. מנובה. - רוסטוב-על-דון: הפניקס, 2012. - 541 עמ'. מורדקוביץ', א.ג. אלגברה ותחילת ניתוח מתמטי. כיתות י'-י"א. ספר לימוד לתלמידי מוסדות חינוך [טקסט] / א.ג. מורדקוביץ'. – M.: Iris-press, 2009. – 201 עמ'. נוביקוב, א.י. פונקציות טריגונומטריות, משוואות ואי-שוויון [טקסט] / א.י. נוביקוב. - מ.: FIZMATLIT, 2010. - 260 עמ'. Oganesyan, V.A. שיטות הוראת מתמטיקה בבית הספר העל יסודי: מתודולוגיה כללית. פרוק. קצבה לסטודנטים לפיזיקה. - מחצלת. fak. פד. בחבר. [טקסט] / V.A. אוגאנסיאן. – מ.: נאורות, 2006. – 368 עמ'. Olechnik, S.N. משוואות ואי שוויון. שיטות פתרון לא סטנדרטיות [טקסט] / S.N. אולקניק. - M .: Publishing House Factorial, 1997. - 219 עמ'. סבריוקוב, P.F. משוואות טריגונומטריות, אקספוננציאליות ולוגריתמיות ואי-שוויון [טקסט] / P.F. סבריוקוב. – מ.: חינוך לאומי, 2008. – 352 עמ'. סרגייב, I.N. שימוש: 1000 משימות עם תשובות ופתרונות במתמטיקה. כל המשימות של קבוצה C [טקסט] / I.N. סרגייב. – מ.: בחינה, 2012. – 301 עמ'. סובולב, א.ב. מתמטיקה יסודית [טקסט] / א.ב. סובולב. - יקטרינבורג: GOU VPO USTU-UPI, 2005. - 81 עמ'. פנקו, ל.מ. שיטת המרווחים בפתרון אי שוויון ולימוד פונקציות [טקסט] / ל.מ. פנקו. – M.: Bustard, 2005. – 124 עמ'. פרידמן, ל.מ. יסודות תיאורטיים של מתודולוגיה של הוראת מתמטיקה [טקסט] / ל.מ. פרידמן. - מ.: בית הספר "LIBROKOM", 2009. - 248 עמ'. נספח 1 פרשנות גרפית של פתרונות לאי השוויון הפשוטים ביותר אורז. 1 אורז. 2 איור 3 איור.4 איור.5 איור 6 איור 7 איור.8 נספח 2 פתרונות לחוסר השוויון הפשוט ביותר
, 
וכו'), שם פותרים תחילה את אי השוויון הרגיל, ולאחר מכן את אי השוויון של הצורה 
וכו', או דרכים אחרות.
די למצוא את פתרונו על תקופה אחת, כלומר. על כל קטע שאורכו שווה לתקופה של הפונקציהו
איקס
. אז הפתרון של אי השוויון המקורי יימצא כולואיקס
, כמו גם אותם ערכים השונים מאלה שנמצאו לפי מספר שלם של תקופות של הפונקציה. במקרה זה, נוח להשתמש בשיטה הגרפית.
(
) ו 
.
(
).
.
.
(המספר בצד שמאל של הרשומה תמיד קטן מהמספר בצד ימין).
.
, שחותך את המעגל בנקודות A ו-B.
, אבל קטן יותר 
,
ייקח על עצמו ערכים גדולים מ
(אך לא יותר מאחד).
, כלומר 
. כדי לקבל את כל הפתרונות של אי השוויון הזה, מספיק להוסיף לקצוות המרווח הזה 
, איפה 
, כלומר 
,
.
שימו לב שהערכים 
ו 
הם שורשי המשוואה 
,
;
.
, .
:
ו 
.
. מצא את האבססיס של נקודות אלה.
ו 
(איור 2).
; 
. בין לבין 
גרף נקודות 
מתחת לנקודות התרשים 
. ומתי ערכי הפונקציות זהים. בגלל זה בְּ- 
.
.
.
(איור 3)
, 
.
, 
, 
.
, 
.
לאחר טרנספורמציות פשוטות אנו מקבלים
,
,
.
, בהתאמה 
. ואז מתוך איור. 4 בהמשך 
, איפה 
.
, 
.
, 
.
.
.
: . אנו מסמנים את כל הנקודות במעגל היחידה (איור 6):
, 
; 
, 
; 
, 
.
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
. סִדרָהאיקס
2
נותן נקודות 
. סדרהאיקס
3
נקבל שתי נקודות 
. סוף סוף סדרהאיקס
4
ייצג נקודות 
. שמנו את כל הנקודות הללו על מעגל היחידה, מציינים בסוגריים ליד כל אחת מהריבוי שלה.
יהיה שווה. אנו עורכים הערכה לפי השלט:
עם קורההו,
מחוץ למעגל היחידה. (שימו לב שקרן העזרעל אודות
א
זה לא חייב להיות מוצג בתמונה. נְקוּדָהא
נבחר בערך.)הקו שלנו עובר מאזור אחד לאחר: אם הוא היה מחוץ למעגל היחידה, אז הוא עובר לתוכו. מתקרבים לנקודה 
, הקו חוזר לאזור הפנימי, שכן הריבוי של נקודה זו הוא זוגי. באופן דומה בנקודה 
(עם ריבוי שווה) יש לסובב את הקו לאזור החיצוני. אז, ציירנו תמונה מסוימת המתוארת באיור. 7. זה עוזר להדגיש את האזורים הרצויים במעגל היחידה. הם מסומנים ב-"+".
,
, ,
,
שימוש במאפיינים של פונקציות הסינוס והקוסינוס;
, אם, אם 
שווים: 
, אם:
,
ב) 
,
V) 
, 
, 
, 
.
.
באמצעות הידע והמיומנויות שנרכשו בשלב ההכנה, התלמידים יביאו את אי השוויון המוצע לטופס 
, אך עשוי להתקשות למצוא סט של פתרונות לאי השוויון הנובע מכך, שכן אי אפשר לפתור את זה רק באמצעות המאפיינים של פונקציית הסינוס. ניתן להימנע מקושי זה על ידי התייחסות לאיור המתאים (פתרון המשוואה בצורה גרפית או שימוש במעגל יחידה)..
וצייר דרכו קו ישר במקביל לציר ה-x. קו זה יחצה את מעגל היחידה בשתי נקודות. כל אחת מהנקודות הללו מתארת מספרים שהסינוס שלהם שווה ל .
. באופן טבעי, קשת זו ממוקמת מעל הקו הישר המצויר.
.
.
לספק את המספרים שעבורם אי השוויון 
. פתרנו את אי השוויון עבור מספרים הממוקמים באותה תקופה של פונקציית הסינוס. לכן, ניתן לכתוב את כל הפתרונות של אי השוויון בתור 
ניתן לכתוב בטופס 
, 
.
ו 
, בהתחשב בכך ש 
.
וההחלטה שלו 
, 
, 
, נמצא באמצעות נוסחאות 
, 
, 
.
הם שלוש אבשסיס רצוף של נקודות החיתוך של הגרפים ו . ברור, תמיד במרווח 
את אי השוויון 
, ועל המרווח 
- אי שיוויון 
. אנחנו מעוניינים במקרה הראשון, ואז מוסיפים לקצוות המרווח הזה מספר שהוא כפולה של תקופת הסינוס, נקבל פתרון לאי השוויון כפי ש: 
, .
, עליך לכתוב את המשוואה המתאימה ולפתור אותה. מהנוסחה שהתקבלה מצא את השורשים 
ו 
, וכתוב את התשובה של אי השוויון בצורה: , .
, עומד בתנאי 
;
, עומד בתנאי 
.
;
;
.
;
.
;
;
;
;
, איפהפ
(
איקס
)
וש
(
איקס
)
- פונקציות טריגונומטריות רציונליות (סינוסים, קוסינוסים, משיקים וקוטנגנטים נכנסים אליהן באופן רציונלי), בדומה לפתרון אי-השוויון הרציונלי. נוח לפתור אי-שוויון רציונלי בשיטת המרווחים על הציר האמיתי. האנלוגיה שלו בפתרון אי-שוויון טריגונומטרי רציונלי היא השיטה של מגזרים במעגל טריגונומטרי, עבורסינקס
וcosx
(
) או חצי עיגול טריגונומטרי עבורtgx
וctgx
(
).
נקודה על ציר המספרים 
, וכשעוברים בנקודה זו משנה סימן. בשיטת המגזר, כל מכפיל של הטופס 
, איפה 
- אחת הפונקציותסינקס
אוֹcosx
ו 
, במעגל טריגונומטרי מתאימות שתי זוויות 
ו 
, המחלקים את המעגל לשני מגזרים. כשעוברים דרכו ו פוּנקצִיָה משנה סימן.
ו 
, איפה 
, שמור סימן עבור כל הערכים 
. מכפילים כאלה של המונה והמכנה נמחקים ומשתנים (אם 
) עבור כל דחייה כזו, סימן אי השוויון מתהפך.
ו 
גם נזרקים. יתרה מכך, אם אלה הם גורמים של המכנה, אזי אי-השוויון של הצורה מתווספים למערכת המקבילה של אי-השוויון 
ו 
. אם אלו גורמים של המונה, אזי במערכת האילוצים המקבילה הם תואמים את אי השוויון ו במקרה של אי שוויון ראשוני קפדני, ושוויון 
ו 
במקרה של אי שוויון ראשוני לא קפדני. כשמורידים את המכפיל 
אוֹ 
סימן אי השוויון הפוך.
, ב) 
.
יש לנו פונקציה, ב). לפתור את אי השוויון שיש לנו
, 
.
