הכפלת מונום בפולינום. משימות אופייניות

>> מתמטיקה: הכפלת פולינום במונום

הכפלת פולינום במונום

בטח שמתם לב שעד כה פרק 4 פעל לפי אותה תוכנית כמו פרק 3. בשני הפרקים הוצגו לראשונה מושגי יסוד: בפרק 3 אלה היו מונומיאל, צורה סטנדרטית של מונומיאל, מקדם של מונומיאל; בפרק 4 - פולינום, הצורה הסטנדרטית של פולינום. ואז בפרק 3 הסתכלנו על חיבור והפחתה של מונומיאלים; באופן דומה, בפרק 4 - חיבור וחיסור של פולינומים.

מה קרה אחר כך בפרק 3? לאחר מכן דיברנו על הכפלת מונומיאלים. אז, באנלוגיה, על מה אנחנו צריכים לדבר עכשיו? על הכפלת פולינומים. אבל כאן נצטרך לפעול לאט: ראשית (בסעיף זה) נשקול להכפיל פולינום ב מונומיאלי(או מונום בפולינום, הכל אותו דבר), ולאחר מכן (בפסקה הבאה) - כפל של פולינומים כלשהם. כשלמדת להכפיל מספרים בבית הספר היסודי, פעלת גם בהדרגה: תחילה למדת להכפיל מספר רב ספרתי במספר חד ספרתי, ורק לאחר מכן להכפיל מספר רב ספרתי במספר רב ספרתי.

(a + b)с =ас + bс.

דוגמה 1.בצע כפל 2a 2 - Зab) (-5а).

פִּתָרוֹן. בואו נציג משתנים חדשים:

x = 2a 2, y = Zab, z = - 5a.

אז המוצר הזה ייכתב מחדש בצורה (x + y)z, שלפי חוק ההפצה שווה ל-xr + yz. כעת נחזור למשתנים הישנים:

xz + yz - 2a 2 (- 5a) + (- Зab) (- 5a).
כל שעלינו לעשות הוא למצוא את התוצרים של מונומיאלים. אנחנו מקבלים:

- 10a 3 + 15a 2 ב

להלן סיכום קצר של הפתרון (כך נכתוב אותו בעתיד, מבלי להכניס משתנים חדשים):

(2a 2 - Zab) (- 5a) = 2a 2 (- 5a) + (- Zab) (- 5a) = -10a 3 +15a 2 ב.

כעת נוכל לנסח את הכלל המתאים להכפלת פולינום במונום.

אותו כלל חל כאשר מכפילים מונום בפולינום:

- 5a(2a 2 - Zab) = (- 5a) 2a 2 + (- 5a) (- Zab) = 10a 3 + 15a 2 b

(לקחנו דוגמה 1, אבל החלפנו את הגורמים).

דוגמה 2.ייצג פולינום כמכפלה של פולינום ומונומיאל אם:

א) p1(x, y) - 2x 2 y + 4a:;

ב) p 2 (x, y) = x 2 + 3 2.

פִּתָרוֹן.

א) שימו לב ש-2x 2 y = 2x xy, ו-4a: = 2x 2. זה אומר

2x 2 y + 4x = xy 2x + 2 2x = (xy + 2) 2x

ב) בדוגמה א) הצלחנו לכלול איברים רבים p 1 (x, y) = 2x 2 y + 4a בכל איבר: בחרו את אותו חלק (אותו גורם) 2x. אין כאן חלק משותף שכזה. המשמעות היא שלא ניתן לייצג את הפולינום p 2 (x, y) = x 2 + 3 2 כמכפלה של פולינום ומונומיאל.

למעשה, הפולינום p 2 (x, y) יכול להיות מיוצג כמכפלה, למשל, כך:

x 2 + 3y 2 = (2x 2 + 6y 2) 0.5
או ככה:

x 2 + 3y 2 = (x 2 + 3y 2) 1
- מכפלה של מספר על ידי פולינום, אך זוהי טרנספורמציה מלאכותית ואינה משמשת אלא אם כן הכרחי.

אגב, הדרישה לייצג פולינום נתון בצורה של מכפלה של מונום ופולינום מתרחשת לעתים קרובות למדי במתמטיקה, ולכן להליך זה ניתן שם מיוחד: הצבת הגורם המשותף מתוך סוגריים.

המשימה של הוצאת הגורם המשותף מסוגריים עשויה להיות נכונה (כמו בדוגמה 2א), או שהיא לא לגמרי נכונה (כמו בדוגמה 26). נסתכל באופן ספציפי על סוגיה זו בפרק הבא.

בסוף סעיף זה נפתור בעיות שיראו כיצד לעבוד איתן מודלים מתמטייםבמצבים אמיתיים, אתה צריך לעשות סכום אלגברי של פולינומים ולהכפיל פולינום במונום. אז לא בכדי אנו לומדים את הפעולות הללו.

דוגמה 3.נקודות A, B ו-C ממוקמות על הכביש המהיר כפי שמוצג באיור 3. המרחק בין A ל-B הוא 16 ק"מ. הולך רגל יצא מ-B לכיוון ג'. שעתיים לאחר מכן יצא רוכב אופניים מ-A לכיוון C, שמהירותו גבוהה ב-6 קמ"ש ממהירותו של הולך רגל. 4 שעות לאחר היציאה השיג רוכב האופניים את הולך הרגל בנקודה C. מה המרחק מ-B ל-C?

פִּתָרוֹן.
במה ראשונה.בניית מודל מתמטי. תן x קמ"ש להיות המהירות של הולך רגל, ואז (x + 6) קמ"ש היא מהירותו של רוכב אופניים.

רוכב האופניים עבר את המרחק מ-A ל-C ב-4 שעות, כלומר מרחק זה מבוטא בנוסחה 4 (x + 6) ק"מ; במילים אחרות, AC = 4 (x + 6).

הולך הרגל הלך את המרחק מ-B ל-C תוך 6 שעות (הרי לפני יציאת רוכב האופניים הוא כבר היה שעתיים על הכביש), לפיכך, מרחק זה מתבטא בנוסחה 6x ק"מ; במילים אחרות, BC = 6x

כעת שימו לב לאיור 3: AC - BC = AB, כלומר AC - BC = 16. זהו הבסיס לשרטוט מודל מתמטי של הבעיה. זכור כי AC = 4 (x + 6), BC = 6x:; לָכֵן,

4 (x + 6) -6x = 16.

A.V. Pogorelov, גיאומטריה לכיתות ז'-י"א, ספר לימוד למוסדות חינוך

תוכן השיעור הערות שיעורתמיכה בשיטות האצת מצגת שיעורי מסגרת טכנולוגיות אינטראקטיביות תרגול משימות ותרגילים סדנאות בדיקה עצמית, הדרכות, מקרים, קווסטים שאלות דיון שיעורי בית שאלות רטוריות של תלמידים איורים אודיו, וידאו קליפים ומולטימדיהתצלומים, תמונות, גרפיקה, טבלאות, דיאגרמות, הומור, אנקדוטות, בדיחות, קומיקס, משלים, אמרות, תשבצים, ציטוטים תוספות תקציריםמאמרים טריקים עבור עריסות סקרנים ספרי לימוד בסיסי ומילון נוסף של מונחים אחרים שיפור ספרי לימוד ושיעוריםתיקון שגיאות בספר הלימודעדכון קטע בספר לימוד, אלמנטים של חדשנות בשיעור, החלפת ידע מיושן בחדש רק למורים שיעורים מושלמיםתוכנית לוח שנה לשנה; המלצות מתודולוגיות; תוכנית דיונים שיעורים משולבים

§ 1 הכפלת פולינום במונום

כשמדובר בכפל פולינומים, נוכל להתמודד עם שני סוגי פעולות: הכפלת פולינום במונום וכפל פולינום בפולינום. בשיעור זה נלמד כיצד להכפיל פולינום במונום.

הכלל הבסיסי המשמש כאשר מכפילים פולינום במונום הוא התכונה החלוקתית של הכפל. בוא נזכור:

כדי להכפיל סכום במספר, אתה יכול להכפיל כל איבר במספר הזה ולהוסיף את המוצרים המתקבלים.

תכונה זו של כפל חלה גם על פעולת החיסור. בסימון מילולי, התכונה החלוקתית של הכפל נראית כך:

(a + b) ∙ c = ac + bc

(א - ב) ∙ c = ac - bc

קחו דוגמה: הכפלו את הפולינום (5ab - 3a2) במונומיאל 2b.

הבה נציג משתנים חדשים ונסמן את 5ab באות x, 3a2 באות y, 2b באות c. אז הדוגמה שלנו תיראה כך:

(5аb - 3а2) ∙ 2b = (x - y) ∙с

לפי החוק החלוקתי, זה שווה ל-xc - yc. כעת נחזור למשמעות המקורית של המשתנים החדשים. אנחנו מקבלים:

5аb∙2b - 3а2∙2b

כעת נביא את הפולינום המתקבל לצורה סטנדרטית. נקבל את הביטוי:

לפיכך, ניתן לנסח את הכלל:

כדי להכפיל פולינום במונומיאל, עליך להכפיל כל איבר של הפולינום במונום זה ולהוסיף את התוצרים המתקבלים.

אותו כלל חל כאשר מכפילים מונום בפולינום.

§ 2 דוגמאות בנושא השיעור

כשמכפילים פולינומים בפועל, כדי למנוע בלבול בקביעת הסימנים המתקבלים, מומלץ קודם כל לקבוע ולרשום מיד את סימן המכפלה, ורק לאחר מכן למצוא ולכתוב את מכפלת המספרים והמשתנים. הנה איך זה נראה עם דוגמאות ספציפיות.

דוגמה 1. (4а2b - 2а) ∙ (-5аb).

כאן יש להכפיל את המונומיאל - 5ab בשני מונומיאלים המרכיבים את הפולינום, 4a2b ו- 2a. לחלק הראשון יהיה סימן "-", ולחלק השני יהיה סימן "+". אז הפתרון ייראה כך:

(4a2b - 2a) ∙ (-5ab) = - 4a2b ∙ 5ab + 2a ∙ 5ab = -20a3b2 + 10a2b

דוגמה 2. -xy(2x - 3y +5).

כאן נצטרך לבצע שלוש פעולות כפל, כאשר הסימן של המכפלה הראשון הוא "-", הסימן של "+" השני, והסימן של השלישי "-". הפתרון נראה כך:

Xy(2x - 3y + 5) = -xy∙2x + xy∙3y - xy∙5 = -2x2y + 3xy2 - 5xy.

רשימת ספרות משומשת:

1. מורדקוביץ' א.ג., אלגברה כיתה ז' ב-2 חלקים, חלק א', ספר לימוד למוסדות חינוך כללי / א.ג. מורדקוביץ'. – מהדורה 10, מתוקנת – מוסקבה, "מנמוסינה", 2007
2. מורדקוביץ' א.ג., אלגברה ז' ב-2 חלקים, חלק ב', ספר בעיות למוסדות חינוך / [א.ג. מורדקוביץ' ואחרים]; בעריכת א.ג. מורדקוביץ' - מהדורה 10, מתוקנת - מוסקבה, "מנמוסינה", 2007
3. שֶׁלָה. טולצ'ינסקאיה, אלגברה כיתה ז'. סקר בליץ: מדריך לתלמידי מוסדות חינוך כללי, מהדורה רביעית, מתוקן והורחב, מוסקבה, "מנמוסינה", 2008
4. אלכסנדרובה ל.א., אלגברה כיתה ז'. עבודות מבחן נושאיות בצורה חדשה לתלמידי מוסדות חינוך כללי, בעריכת א.ג. מורדקוביץ', מוסקבה, "מנמוסינה", 2011
5. אלכסנדרובה ל.א. אלגברה כיתה ז'. עבודות עצמאיות לתלמידי מוסדות חינוך כללי, בעריכת א.ג. מורדקוביץ' - מהדורה 6, סטריאוטיפית, מוסקבה, "מנמוסינה", 2010

כאשר מכפילים פולינום במונומיאל, נשתמש באחד מחוקי הכפל. במתמטיקה זה נקרא חוק הכפל החלוקתי. חוק חלוקתי של כפל:

1. (a + b)*c = a*c + b*c

2. (a - b)*c = a*c - b*c

כדי להכפיל מונום בפולינום, מספיק להכפיל כל אחד מהאיברים של הפולינום במונום. לאחר מכן, הוסף את המוצרים המתקבלים. האיור הבא מציג תרשים להכפלת מונום בפולינום.

סדר הכפל אינו חשוב; אם, למשל, אתה צריך להכפיל פולינום במונומיאל, אז אתה צריך לעשות את זה בדיוק באותו אופן. לפיכך, אין הבדל בין הערכים 4*x * (5*x^2*y - 4*x*y) ו-(5*x^2*y - 4*x*y)* 4*x.

הבה נכפיל את הפולינום והמונום הכתובים למעלה. ואנחנו נראה לך עם דוגמה ספציפית איך לעשות את זה נכון:

4*x * (5*x^2*y - 4*x*y)

באמצעות החוק החלוקתי של הכפל, אנו מרכיבים את המכפלה:

4*x*5*x^2*y - 4*x*4*x*y.

בסכום המתקבל, אנו מצמצמים כל אחד מהמונומיאלים לצורה סטנדרטית ומקבלים:

20*x^3*y - 16*x^2*y.

זו תהיה המכפלה של מונומיאל ופולינום: (4*x) * (5*x^2*y - 4*x*y) = 20*x^3*y - 16*x^2*y.

דוגמאות:

1. הכפל את המונומיאל 4*x^2 בפולינום (5*x^2+4*x+3). באמצעות החוק החלוקתי של הכפל, אנו מרכיבים את המכפלה. יש לנו
(4*x^2*5*x^2) +(4*x^2* 4*x) +(4*x^2*3).

20*x^4 +16*x^3 +12*x^2.

זה יהיה המכפלה של מונום ופולינום: (4*x^2)*(5*x^2+4*x+3)= 20*x^4 +16*x^3 +12*x^ 2.

2. הכפל את המונומיאל (-3*x^2) בפולינום (2*x^3-5*x+7).

אני משתמש בחוק החלוקתי של הכפל ויוצר מכפלה. יש לנו:

(-3*x^2 * 2*x^3) +(-3*x^2 * -5*x) +(-3*x^2 *7).

בסכום המתקבל, אנו מצמצמים כל אחד מהמונומיאלים לצורתו הסטנדרטית. אנחנו מקבלים:

6*x^5 +15*x^3 -21*x^2.

זה יהיה המכפלה של מונום ופולינום: (-3*x^2) * (2*x^3-5*x+7)= -6*x^5 +15*x^3 -21* x^2.

בשיעור זה נלמד את פעולת הכפלת פולינום במונום, המהווה את הבסיס ללימוד הכפל של פולינומים. הבה נזכיר את החוק החלוקתי של הכפל וננסח את הכלל להכפלת כל פולינום במונום. הבה נזכיר גם כמה מאפיינים של מעלות. בנוסף יגובשו שגיאות אופייניות בעת ביצוע דוגמאות שונות.

נושא:פולינומים. פעולות אריתמטיות על מונומיאלים

שיעור:הכפלת פולינום במונום. משימות אופייניות

פעולת הכפלת פולינום במונום היא הבסיס לבחינת פעולת הכפלת הפולינום בפולינום, ועליכם ללמוד תחילה כיצד להכפיל פולינום במונום על מנת להבין את הכפל של פולינומים.

הבסיס לפעולה זו הוא החוק החלוקתי של הכפל. בואו נזכיר לו:

בעיקרו של דבר, אנו רואים את הכלל להכפלת פולינום, במקרה זה בינומיאל, במונום, וניתן לנסח את הכלל הזה באופן הבא: כדי להכפיל פולינום במונום, צריך להכפיל כל איבר של הפולינום ב- המונומיאל הזה. הוסף את המוצרים שהתקבלו באופן אלגברי, ולאחר מכן בצע את הפעולות הדרושות על הפולינום - כלומר, הבא אותו לצורה סטנדרטית.

בואו נסתכל על דוגמה:

הערה: דוגמה זו נפתרת על ידי שמירה מדויקת על הכלל: כל איבר של פולינום מוכפל במונומיאל. על מנת להבין היטב ולהטמיע את החוק החלוקתי, בדוגמה זו, הוחלפו מונחי הפולינום ב-x וב-y, בהתאמה, והמונום ב-c, ולאחר מכן בוצעה פעולה אלמנטרית בהתאם לחוק החלוקתי והחוק החלוקתי. הערכים ההתחלתיים הוחלפו. כדאי להיזהר עם הסימנים ולהכפיל נכון במינוס אחד.

בואו נסתכל על דוגמה של הכפלת טרינום במונום ונוודא שהוא אינו שונה מאותה פעולה עם בינומי:

נעבור לפתרון דוגמאות:

הערה: דוגמה זו נפתרת לפי החוק החלוקתי ובדומה לדוגמא הקודמת - כל איבר של הפולינום מוכפל במונום, הפולינום המתקבל כבר כתוב בצורה סטנדרטית, כך שלא ניתן לפשט אותו.

דוגמה 2 - בצע את הפעולות וקבל את הפולינום בצורה סטנדרטית:

הערה: כדי לפתור את הדוגמה הזו, נכפיל תחילה עבור הבינומים הראשון והשני לפי חוק ההתפלגות, לאחר מכן נביא את הפולינום שנוצר לצורה סטנדרטית - נציג מונחים דומים.

כעת הבה ננסח את הבעיות העיקריות הקשורות לפעולת הכפלת פולינום במונום וניתן דוגמאות לפתרון שלהן.

משימה 1 - פשט את הביטוי:

הערה: דוגמה זו נפתרת בדומה לקודמתה, כלומר, תחילה מוכפלים הפולינומים במונומיאלים המתאימים, ולאחר מכן מצטמצמים דומים.

משימה 2 - פשט וחשב:

דוגמה 1:;

הערה: דוגמה זו נפתרת בדומה לקודמתה, עם התוספת היחידה שלאחר הבאת מונחים דומים, עליך להחליף את הערך הספציפי שלה במקום המשתנה ולחשב את הערך של הפולינום. להזכירך, כדי להכפיל בקלות נקודה עשרונית בעשרה, עליך להזיז את המקום העשרוני מקום אחד ימינה.

אם המספרים מסומנים באותיות שונות, אז אפשר רק לייעד את המוצר; נניח, למשל, צריך להכפיל את המספר a במספר b - נוכל לסמן זאת או a ∙ b או ab, אבל לא יכול להיות שאלה של ביצוע הכפל זה איכשהו. אולם, כאשר עסקינן במונומיאלים, אזי, הודות ל-1) הימצאות מקדמים ו-2) העובדה שהמונומיאלים הללו עשויים לכלול גורמים המסומנים באותן אותיות, ניתן לדבר על הכפלת מונומיאלים; אפשרות זו רחבה אף יותר עבור פולינומים. בואו נסתכל על מספר מקרים בהם ניתן לבצע כפל, החל מהפשוט ביותר.

1. הכפלת כוחות עם אותם בסיסים. תן, למשל, 3 ∙ ל-5 יידרש. הבה נכתוב, תוך ידיעת משמעות האקספונציה, את אותו הדבר ביתר פירוט:

א ∙ א ∙ א ∙ א ∙ א ∙ א ∙ א ∙ א

בהסתכלות על סימון מפורט זה, אנו רואים שיש לנו כתוב כגורם של פי 8, או, בקיצור, 8 . אז, 3 ∙ א 5 = 8.

יש צורך ב-b 42 ∙ b 28. נצטרך לכתוב תחילה את הגורם b פי 42, ואחר כך שוב את הגורם b פי 28 - באופן כללי, נקבל ש-b נלקח כגורם פי 70. כלומר b 70. אז, b 42 ∙ b 28 = b 70. מכאן כבר ברור שכאשר מכפילים חזקות עם אותם בסיסים, בסיס המעלה נשאר ללא שינוי, ומוסיפים את מעריכי החזקות. אם יש לנו 8 ∙ a, אז נצטרך לזכור שהגורם a מרמז על מעריך של 1 ("a לחזקה הראשונה"), ולכן, a 8 ∙ a = 9.

דוגמאות: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 = a 66; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (א + ב) 3 ∙ (א + ב) 4 = (א + ב) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5 וכו'.

לפעמים צריך להתמודד עם חזקות שהמעריכים שלהן מסומנים באותיות, למשל, xn (x בחזקת n). אתה צריך להתרגל להתמודד עם ביטויים כאלה. הנה דוגמאות:

הבה נסביר כמה מהדוגמאות הבאות: b n – 3 ∙ b 5 עליך להשאיר את הבסיס b ללא שינוי ולהוסיף את המעריכים, כלומר (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. מתוך כמובן, אתה חייב ללמוד לבצע תוספות כאלה במהירות בראש שלך.

דוגמה נוספת: x n + 2 ∙ x n – 2, – יש להשאיר את הבסיס x ללא שינוי, ולהוסיף את המעריך, כלומר (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.

כעת אתה יכול לבטא את הסדר שנמצא לעיל, כיצד לבצע כפל חזקה עם אותם בסיסים, על ידי השוויון:

a m ∙ a n = a m + n

2. הכפלת מונומיאל במונומיאל.תן, למשל, לדרוש 3a²b³c ∙ 4ab²d². אנו רואים שכאן כפל אחד מסומן בנקודה, אך אנו יודעים שאותו סימן כפל משתמע בין 3 ל-a², בין a² ל-b³, בין b³ ל-c, בין 4 ל-a, בין a ל-b², בין b² ל d². לכן, נוכל לראות כאן את המכפלה של 8 גורמים ונוכל להכפיל אותם בכל קבוצה בכל סדר. הבה נסדר אותם מחדש כך שהמקדמים והעצמות עם אותם בסיסים נמצאים בקרבת מקום, כלומר.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

אז נוכל להכפיל 1) מקדמים ו-2) חזקות עם אותם בסיסים ולקבל 12a³b5cd².

לכן, כאשר מכפילים מונומיאל במונומיאל, אנו יכולים להכפיל את המקדמים והעצמות עם אותם בסיסים, אך יש לשכתב את הגורמים הנותרים ללא שינויים.

דוגמאות נוספות:

3. הכפלת פולינום במונום.נניח שתחילה עליך להכפיל פולינום כלשהו, ​​למשל, a – b – c + d, במספר שלם חיובי, למשל, +3. מכיוון שמספרים חיוביים נחשבים זהים למספרים אריתמטיים, זה זהה ל-(a – b – c + d) ∙ 3, כלומר קח את a – b – c + d כאיבר 3 פעמים, או

(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,

כלומר, כתוצאה מכך, כל איבר של הפולינום היה צריך להיות מוכפל ב-3 (או +3).

מכאן נובע:

(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,

כלומר, כל איבר של הפולינום היה צריך להיות מחולק ב-(+3). כמו כן, בהכללה, אנו מקבלים:

וכולי.

כעת עלינו להכפיל (a – b – c + d) בשבר חיובי, למשל ב-+. זה זהה להכפלה בשבר אריתמטי, כלומר לקיחת חלקים של (a – b – c + d). קל לקחת חמישית מהפולינום הזה: אתה צריך לחלק (a – b – c + d) ב-5, ואנחנו כבר יודעים איך לעשות את זה, ואנחנו מקבלים . נותר לחזור על התוצאה 3 פעמים או להכפיל ב-3, כלומר.

כתוצאה מכך, אנו רואים שהיינו צריכים להכפיל כל איבר של הפולינום ב- או ב-+.

כעת עלינו להכפיל (a – b – c + d) במספר שלילי, מספר שלם או שבר,

כלומר, במקרה זה, כל איבר של הפולינום היה צריך להיות מוכפל ב-.

לפיכך, לא משנה מה המספר m, תמיד יש (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.

מכיוון שכל מונום הוא מספר, כאן אנו רואים אינדיקציה כיצד להכפיל פולינום במונומיאל - עלינו להכפיל כל איבר של הפולינום במונום זה.

4. הכפלת פולינום בפולינום. תן לזה להיות (a + b + c) ∙ (d + e). מכיוון ש-d ו-e פירושם מספרים, אז (d + e) ​​מבטא כל מספר אחד.

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​= a(d + e)+ b(d + e)+ c(d + e)

(אנו יכולים להסביר זאת כך: יש לנו את הזכות לקחת זמנית את d + e כמונומיאל).

Ad + ae + bd + be + cd + ce

בתוצאה זו, תוכל לשנות את סדר החברים.

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​= ad + bd + ed + ae + be + ce,

כלומר, כדי להכפיל פולינום בפולינום, יש להכפיל כל איבר של פולינום אחד בכל איבר של השני. נוח (לצורך כך שונה סדר האיברים שהושגו לעיל) להכפיל תחילה כל איבר של הפולינום הראשון באיבר הראשון של השני (ב +d), ואז באיבר השני של השני (ב + ה), אם כן, אם היה אחד, על ידי השלישי וכו' ד; לאחר מכן, יש לבצע הפחתת תנאים דומים.

בדוגמאות אלו, הבינומי מוכפל בבינומיאל; בכל בינומי, המונחים מסודרים בחזקות יורדות של האות המשותפת לשני הבינומים. קל לבצע הכפלות כאלה בראש ולכתוב מיד את התוצאה הסופית.

מהכפלת האיבר המוביל של הבינומי הראשון באיבר המוביל של השני, כלומר 4x² ב-3x, נקבל 12x³ האיבר המוביל של המכפלה - ברור שלא יהיו כאלה דומים. לאחר מכן, אנו מחפשים את הכפל של אילו איברים יביאו לאיברים עם מידה של האות x שהיא 1 פחות, כלומר עם x². אנו יכולים לראות בקלות שאיברים כאלה מתקבלים על ידי הכפלת האיבר השני של הגורם הראשון באיבר הראשון של השני ועל ידי הכפלת האיבר הראשון של הגורם הראשון באיבר השני של השני (הסוגריים בתחתית האיבר דוגמה מציינת זאת). ביצוע הכפלים אלו בראש שלך וגם ביצוע ההפחתה של שני האיברים הדומים הללו (שאחריו נקבל את המונח –19x²) זה לא קשה. ואז נבחין שהאיבר הבא, המכיל את האות x במידה אפילו פחותה מ-1, כלומר x עד מדרגה 1, יתקבל רק על ידי הכפלת האיבר השני בשני, ולא יהיו דומים.

דוגמה נוספת: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

קל גם להריץ דוגמאות בראש, כמו הבאות:

האיבר המוביל מתקבל על ידי הכפלת האיבר המוביל באיבר המוביל; לא יהיו איברים דומים לו, והוא = 2a³. לאחר מכן נחפש אילו כפלים יניבו איברים עם a² - מהכפלת האיבר הראשון (a²) ב-2 (–5) ומכפלת האיבר השני (–3a) ב-1 (2a) - זה מצוין להלן בסוגריים ; לאחר ביצוע הכפלות אלה ושילוב האיברים המתקבלים לאחד, נקבל –11a². לאחר מכן נחפש אילו כפלים יניבו איברים עם a עד מדרגה ראשונה - הכפלות הללו מסומנות בסוגריים בחלק העליון. לאחר השלמתם ושילוב המונחים המתקבלים לאחד, נקבל +11a. לבסוף, נציין שהאיבר הנמוך ביותר של המכפלה (+10), שאינו מכיל a כלל, מתקבל על ידי הכפלת האיבר הנמוך (–2) של פולינום אחד באיבר הנמוך (–5) של השני.

דוגמה נוספת: (4a 3 + 3a 2 – 2a) ∙ (3a 2 – 5a) = 12a 5 – 11a 4 – 21a 3 + 10a 2.

מכל הדוגמאות הקודמות נקבל גם תוצאה כללית: האיבר המוביל של המוצר מתקבל תמיד מהכפלת האיברים המובילים של הגורמים, ולא יכולים להיות איברים דומים לו; כמו כן, האיבר הנמוך ביותר של התוצר מתקבל מהכפלת האיברים מסדר נמוך של הגורמים, ולא יכולים להיות גם איברים דומים לו.

שאר האיברים המתקבלים על ידי הכפלת פולינום בפולינום עשויים להיות דומים, ואף יכול לקרות שכל האיברים הללו נהרסים הדדית, ורק הבכור והקטן נשארים.

הנה דוגמאות:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a 4 – b 4 (אנחנו כותבים רק את התוצאה)
(x 4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x 5 + 1 וכו'.

תוצאות אלו ראויות לציון ושימושיות לזכור.

המקרה הבא של הכפל חשוב במיוחד:

(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
או (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
או (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9 וכו'.

בכל הדוגמאות הללו, כאשר מיישמים אותם בחשבון, יש לנו את המכפלה של סכום שני מספרים וההפרש שלהם, והתוצאה היא ההפרש של הריבועים של המספרים הללו.

אם אנו רואים מקרה דומה, אז אין צורך לבצע את הכפל בפירוט, כפי שנעשה לעיל, אלא נוכל מיד לכתוב את התוצאה.

לדוגמה, (3a + 1) ∙ (3a - 1). כאן הגורם הראשון, מנקודת מבט של חשבון, הוא סכום שני מספרים: המספר הראשון הוא 3a והשני 1, והגורם השני הוא ההפרש של אותם המספרים; לכן, התוצאה צריכה להיות: הריבוע של המספר הראשון (כלומר 3a ∙ 3a = 9a²) פחות הריבוע של המספר השני (1 ∙ 1 = 1), כלומר.

(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.

גַם

(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25 וכו'.

אז בואו נזכור

(a + b) (a – b) = a² – b²

כלומר המכפלה של סכום שני מספרים וההפרש ביניהם שווה להפרש הריבועים של המספרים הללו.