Viena iš matematikos šakų, su kuria moksleiviai susiduria su didžiausiais sunkumais, yra trigonometrija. Nieko nuostabaus: norint laisvai įsisavinti šią žinių sritį, reikia erdvinio mąstymo, gebėjimo pagal formules rasti sinusus, kosinusus, liestines, kotangentus, supaprastinti išraiškas ir mokėti naudoti skaičių pi skaičiavimuose. Be to, įrodant teoremas reikia mokėti taikyti trigonometriją, o tam reikia arba išvystytos matematinės atminties, arba gebėjimo išvesti sudėtingas logines grandines.
Trigonometrijos ištakos
Susipažinimas su šiuo mokslu turėtų prasidėti nuo kampo sinuso, kosinuso ir liestinės apibrėžimo, tačiau pirmiausia reikia išsiaiškinti, ką trigonometrija daro apskritai.
Istoriškai stačiakampiai trikampiai buvo pagrindinis šios matematikos mokslo skyriaus tyrimo objektas. 90 laipsnių kampo buvimas leidžia atlikti įvairias operacijas, kurios leidžia nustatyti visų nagrinėjamos figūros parametrų reikšmes naudojant dvi puses ir vieną kampą arba du kampus ir vieną pusę. Anksčiau žmonės pastebėjo šį modelį ir pradėjo aktyviai jį naudoti statydami pastatus, navigaciją, astronomiją ir net mene.
Pirmas lygmuo
Iš pradžių žmonės kalbėjo apie kampų ir kraštinių santykį tik stačiųjų trikampių pavyzdžiu. Tada buvo atrastos specialios formulės, kurios leido išplėsti šios matematikos dalies naudojimo kasdieniame gyvenime ribas.
Trigonometrijos studijos mokykloje šiandien pradedamos nuo stačiųjų trikampių, po kurių įgytas žinias mokiniai panaudoja fizikoje ir spręsdami abstrakčias trigonometrines lygtis, su kuriomis darbas pradedamas vidurinėje mokykloje.
Sferinė trigonometrija
Vėliau, mokslui pasiekus kitą išsivystymo lygį, sferinėje geometrijoje pradėtos naudoti formulės su sinusu, kosinusu, tangentu, kotangentu, kur galioja kitos taisyklės, o trikampio kampų suma visada yra didesnė nei 180 laipsnių. Ši dalis mokykloje nėra studijuojama, tačiau būtina žinoti apie jos egzistavimą, bent jau todėl, kad žemės paviršius ir bet kurios kitos planetos paviršius yra išgaubtas, o tai reiškia, kad bet koks paviršiaus žymėjimas bus „lanko formos“ trimatė erdvė.
Paimkite gaublį ir siūlą. Pritvirtinkite siūlą prie bet kurių dviejų rutulio taškų, kad jis būtų įtemptas. Atkreipkite dėmesį – jis įgavo lanko formą. Būtent su tokiomis formomis susiduria sferinė geometrija, naudojama geodezijoje, astronomijoje ir kitose teorinėse bei taikomosiose srityse.
Taisyklingas trikampis
Šiek tiek sužinoję apie trigonometrijos naudojimo būdus, grįžkime prie pagrindinės trigonometrijos, kad geriau suprastume, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė, kokius skaičiavimus galima atlikti su jų pagalba ir kokias formules naudoti.
Pirmas žingsnis yra suprasti sąvokas, susijusias su stačiu trikampiu. Pirma, hipotenuzė yra pusė, priešinga 90 laipsnių kampui. Ji pati ilgiausia. Prisimename, kad pagal Pitagoro teoremą jo skaitinė reikšmė yra lygi kitų dviejų kraštinių kvadratų sumos šaknei.
Pavyzdžiui, jei dvi pusės yra atitinkamai 3 ir 4 centimetrai, hipotenuzės ilgis bus 5 centimetrai. Beje, senovės egiptiečiai apie tai žinojo maždaug prieš keturis su puse tūkstančio metų.
Dvi likusios pusės, sudarančios stačią kampą, vadinamos kojomis. Be to, turime atsiminti, kad trikampio kampų suma stačiakampėje koordinačių sistemoje yra 180 laipsnių.
Apibrėžimas
Galiausiai, gerai suprasdami geometrinį pagrindą, galime pereiti prie kampo sinuso, kosinuso ir liestinės apibrėžimo.
Kampo sinusas yra priešingos kojos (t. y. pusės, priešingos norimam kampui) santykis su hipotenuze. Kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.
Atminkite, kad nei sinusas, nei kosinusas negali būti didesnis už vienetą! Kodėl? Kadangi hipotenuzė pagal nutylėjimą yra ilgiausia.Nesvarbu, kokios ilgio koja bebūtų, ji bus trumpesnė už hipotenuzą, vadinasi, jų santykis visada bus mažesnis už vieną. Taigi, jei atsakydami į problemą gausite sinusą arba kosinusą, kurio reikšmė didesnė nei 1, ieškokite skaičiavimų ar samprotavimų klaidos. Šis atsakymas akivaizdžiai neteisingas.
Galiausiai kampo liestinė yra priešingos pusės ir gretimos kraštinės santykis. Tas pats rezultatas duos sinuso padalijimą iš kosinuso. Žiūrėkite: pagal formulę kraštinės ilgį padalijame iš hipotenuzės, po to padaliname iš antrosios pusės ilgio ir padauginame iš hipotenuzės. Taigi gauname tą patį santykį kaip ir liestinės apibrėžime.
Kotangentas atitinkamai yra kraštinės, esančios šalia kampo, ir priešingos pusės santykis. Tą patį rezultatą gauname padalinę vienetą iš liestinės.
Taigi, mes apsvarstėme apibrėžimus, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, ir galime nagrinėti formules.
Paprasčiausios formulės
Trigonometrijoje neapsieisite be formulių - kaip be jų rasti sinusą, kosinusą, liestinę, kotangentą? Ir būtent to reikia sprendžiant problemas.
Pirmoji formulė, kurią reikia žinoti pradedant mokytis trigonometrijos, sako, kad kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra lygi vienetui. Ši formulė yra tiesioginė Pitagoro teoremos pasekmė, tačiau ji taupo laiką, jei norite sužinoti kampo, o ne kraštinės, reikšmę.
Daugelis mokinių neprisimena antrosios formulės, kuri taip pat labai populiari sprendžiant mokyklinius uždavinius: vieneto ir kampo liestinės kvadrato suma lygi vienai, padalytai iš kampo kosinuso kvadrato. Pažvelkite atidžiau: juk tai tas pats teiginys, kaip ir pirmoje formulėje, tik abi tapatybės pusės buvo padalintos kosinuso kvadratu. Pasirodo, dėl paprasto matematinio veiksmo trigonometrinė formulė tampa visiškai neatpažįstama. Atminkite: žinodami, kas yra sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, konvertavimo taisykles ir kelias pagrindines formules, bet kuriuo metu galite savarankiškai išvesti reikiamas sudėtingesnes formules ant popieriaus lapo.
Dvigubo kampo formulės ir argumentų pridėjimas
Dar dvi formulės, kurias turite išmokti, yra susijusios su sinuso ir kosinuso reikšmėmis kampų sumai ir skirtumui. Jie parodyti paveikslėlyje žemiau. Atkreipkite dėmesį, kad pirmuoju atveju sinusas ir kosinusas padauginami abu kartus, o antruoju pridedama sinuso ir kosinuso porinė sandauga.
Taip pat yra formulių, susijusių su dvigubo kampo argumentais. Jie yra visiškai kilę iš ankstesnių - kaip praktika, pabandykite juos gauti patys, paimdami alfa kampą, lygų beta kampui.
Galiausiai atkreipkite dėmesį, kad dvigubo kampo formules galima konvertuoti, kad būtų sumažintas sinuso, kosinuso, tangento alfa laipsnis.
Teoremos
Dvi pagrindinės pagrindinės trigonometrijos teoremos yra sinuso teorema ir kosinuso teorema. Naudodami šias teoremas galite lengvai suprasti, kaip rasti sinusą, kosinusą ir liestinę, taigi ir figūros plotą, kiekvienos pusės dydį ir kt.
Sinuso teorema teigia, kad padalijus kiekvienos trikampio kraštinės ilgį iš priešingo kampo vertės, gauname tą patį skaičių. Be to, šis skaičius bus lygus dviem apibrėžto apskritimo spinduliams, tai yra apskritimui, kuriame yra visi nurodyto trikampio taškai.
Kosinuso teorema apibendrina Pitagoro teoremą, projektuodama ją į bet kokius trikampius. Pasirodo, iš dviejų kraštinių kvadratų sumos atimkite jų sandaugą, padaugintą iš greta esančio kampo dvigubo kosinuso - gauta vertė bus lygi trečiosios kraštinės kvadratui. Taigi Pitagoro teorema pasirodo esanti ypatingas kosinuso teoremos atvejis.
Klaidos dėl neatidumo
Net ir žinant, kas yra sinusas, kosinusas ir tangentas, nesunku suklysti dėl neblaivumo ar paprasčiausių skaičiavimų klaidos. Norėdami išvengti tokių klaidų, susipažinkime su populiariausiomis iš jų.
Pirma, neturėtumėte konvertuoti įprastų trupmenų į dešimtainius, kol negausite galutinio rezultato – galite palikti atsakymą kaip paprastąją trupmeną, nebent sąlyga nurodo kitaip. Tokios transformacijos negalima vadinti klaida, tačiau reikia atminti, kad kiekviename problemos etape gali atsirasti naujų šaknų, kurias, pagal autoriaus sumanymą, reikėtų sumažinti. Tokiu atveju sugaišite laiką nereikalingiems matematiniams veiksmams. Tai ypač pasakytina apie tokias vertybes kaip trijų ar dviejų šaknis, nes jos atsiranda atliekant užduotis kiekviename žingsnyje. Tas pats pasakytina ir apie „bjaurių“ skaičių apvalinimą.
Be to, atkreipkite dėmesį, kad kosinuso teorema taikoma bet kuriam trikampiui, bet ne Pitagoro teoremai! Jei per klaidą pamiršite atimti dvigubą kraštinių sandaugą, padaugintą iš kampo tarp jų kosinuso, gausite ne tik visiškai neteisingą rezultatą, bet ir parodysite visišką dalyko nesupratimą. Tai yra blogiau nei neatsargumo klaida.
Trečia, nepainiokite sinusų, kosinusų, liestinių, kotangentų 30 ir 60 laipsnių kampų verčių. Atsiminkite šias reikšmes, nes 30 laipsnių sinusas yra lygus 60 kosinusui ir atvirkščiai. Juos nesunku sumaišyti, dėl to neišvengiamai gausite klaidingą rezultatą.
Taikymas
Daugelis studentų neskuba pradėti studijuoti trigonometrijos, nes nesupranta jos taikomosios reikšmės. Kas yra sinusas, kosinusas, tangentas inžinieriui ar astronomui? Tai sąvokos, kurių dėka galite apskaičiuoti atstumą iki tolimų žvaigždžių, numatyti meteorito kritimą, nusiųsti tyrimo zondą į kitą planetą. Be jų neįmanoma pastatyti pastato, suprojektuoti automobilio, apskaičiuoti paviršiaus apkrovą ar objekto trajektoriją. Ir tai tik ryškiausi pavyzdžiai! Juk trigonometrija vienokia ar kitokia forma naudojama visur – nuo muzikos iki medicinos.
Pagaliau
Taigi jūs esate sinusas, kosinusas, tangentas. Galite naudoti juos skaičiavimuose ir sėkmingai išspręsti mokyklos problemas.
Visa trigonometrijos esmė susiveda į tai, kad nežinomi parametrai turi būti skaičiuojami iš žinomų trikampio parametrų. Iš viso yra šeši parametrai: trijų kraštinių ilgiai ir trijų kampų dydžiai. Visas užduočių skirtumas slypi tame, kad pateikiami skirtingi įvesties duomenys.
Dabar žinote, kaip rasti sinusą, kosinusą, liestinę pagal žinomus kojų ilgius arba hipotenuzą. Kadangi šie terminai reiškia ne ką kitą, kaip santykį, o santykis yra trupmena, pagrindinis trigonometrinės problemos tikslas yra rasti įprastos lygties arba lygčių sistemos šaknis. O čia jums padės įprasta mokyklinė matematika.
Trigonometrijos studijas pradedame nuo stačiojo trikampio. Apibrėžkime, kas yra sinusas ir kosinusas, taip pat smailiojo kampo liestinė ir kotangentas. Tai yra trigonometrijos pagrindai.
Prisiminkite tai stačiu kampu yra kampas, lygus 90 laipsnių. Kitaip tariant, pusė išskleisto kampo.
Aštrus kampas- mažiau nei 90 laipsnių.
Bukas kampas- didesnis nei 90 laipsnių. Kalbant apie tokį kampą, „bukas“ yra ne įžeidimas, o matematinis terminas :-)
Nubrėžkime statųjį trikampį. Statusis kampas paprastai žymimas . Atkreipkite dėmesį, kad priešais kampą esanti pusė pažymėta ta pačia raide, tik maža. Taigi, pažymėta pusė, esanti priešais kampą A.
Kampas žymimas atitinkama graikiška raide.
Hipotenuzė Statusis trikampis yra kraštinė, priešinga stačiajam kampui.
Kojos- pusės priešais aštrius kampus.
Priešais kampą esanti koja vadinama priešingas(kampo atžvilgiu). Kita koja, esanti vienoje kampo pusėje, vadinama gretimas.
Sinusas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis:
Kosinusas smailus kampas stačiakampiame trikampyje - gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:
Tangentas smailus kampas stačiakampiame trikampyje - priešingos kojos ir gretimos kojos santykis:
Kitas (ekvivalentiškas) apibrėžimas: smailiojo kampo liestinė yra kampo sinuso ir jo kosinuso santykis:
Kotangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje - gretimos kojos ir priešingos kojos santykis (arba lygiaverčiai kosinuso ir sinuso santykis):
Atkreipkite dėmesį į pagrindinius sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento santykius, kurie pateikiami toliau. Jie mums pravers sprendžiant problemas.
Įrodykime kai kuriuos iš jų.
Gerai, mes pateikėme apibrėžimus ir parašytas formules. Bet kam mums reikia sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento?
Mes tai žinome bet kurio trikampio kampų suma yra.
Mes žinome ryšį tarp vakarėliams taisyklingas trikampis. Tai Pitagoro teorema: .
Pasirodo, žinant du trikampio kampus, galima rasti trečiąjį. Žinodami dvi stačiojo trikampio kraštines, galite rasti trečiąją. Taigi, kampams - jų santykis, šonams - savas. Bet ką daryti, jei stačiame trikampyje žinomas vienas kampas (išskyrus stačią) ir viena kraštinė, bet reikia rasti kitas puses?
Su tuo žmonės susidūrė praeityje, kurdami vietovės ir žvaigždėto dangaus žemėlapius. Juk ne visada galima tiesiogiai išmatuoti visas trikampio kraštines.
Sinusas, kosinusas ir tangentas – dar vadinami kampo trigonometrinės funkcijos- nurodykite santykį tarp vakarėliams Ir kampus trikampis. Žinodami kampą, visas jo trigonometrines funkcijas galite rasti naudodami specialias lenteles. O žinodami trikampio ir vienos iš jo kraštinių kampų sinusus, kosinusus ir tangentus, galite rasti likusias dalis.
Taip pat sudarysime sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento verčių lentelę „geriems“ kampams nuo iki.
Atkreipkite dėmesį į du raudonus brūkšnelius lentelėje. Atitinkamoms kampų vertėms liestinė ir kotangentas neegzistuoja.
Išanalizuokime keletą trigonometrijos problemų iš FIPI užduočių banko.
1. Trikampyje kampas yra , . Rasti.
Problema išspręsta per keturias sekundes.
Nes , .
2. Trikampyje kampas yra , , . Rasti.
Raskime pagal Pitagoro teoremą.
Problema išspręsta.
Dažnai problemose yra trikampių su kampais ir arba su kampais ir . Atmintinai įsiminkite pagrindinius jų santykius!
Jei trikampis su kampais ir kojelė priešinga kampui ties yra lygi pusė hipotenuzės.
Trikampis su kampais ir yra lygiašonis. Jame hipotenuzė yra kartų didesnė už koją.
Mes svarstėme stačiųjų trikampių sprendimo problemas - tai yra, kaip rasti nežinomas puses ar kampus. Bet tai dar ne viskas! Matematikos egzamino variantuose yra daug užduočių, kur atsiranda trikampio išorinio kampo sinusas, kosinusas, liestinė arba kotangentas. Daugiau apie tai kitame straipsnyje.
Kas yra kampo sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas, padės suprasti statųjį trikampį.
Kaip vadinamos stačiojo trikampio kraštinės? Teisingai, hipotenuzė ir kojos: hipotenuzė yra pusė, esanti priešais stačią kampą (mūsų pavyzdyje tai yra pusė \ (AC \) ); kojos yra dvi likusios pusės \ (AB \) ir \ (BC \) (tos, kurios yra greta stačiojo kampo), be to, jei atsižvelgsime į kojas kampo \ (BC \) atžvilgiu, tada koja \ (AB \) yra gretima kojelė, o koja \ (BC \) yra priešinga. Taigi, dabar atsakykime į klausimą: kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas?
Kampo sinusas- tai yra priešingos (tolimosios) kojos ir hipotenuzės santykis.
Mūsų trikampyje:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Kampo kosinusas- tai yra gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.
Mūsų trikampyje:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Kampo liestinė- tai yra priešingos (tolimosios) kojos ir gretimos (artimos) santykis.
Mūsų trikampyje:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Kampo kotangentas- tai gretimos (artimos) kojos ir priešingos (toli) santykis.
Mūsų trikampyje:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Šie apibrėžimai yra būtini Prisiminti! Kad būtų lengviau atsiminti, kurią koją iš ko padalinti, turite tai aiškiai suprasti liestinė Ir kotangentas sėdi tik kojos, o hipotenuzė atsiranda tik viduje sinusas Ir kosinusas. Ir tada jūs galite sugalvoti asociacijų grandinę. Pavyzdžiui, šis:
kosinusas→lietimas→lietimas→gretima;
Kotangentas→lietimas→lietimas→gretima.
Visų pirma, reikia atsiminti, kad sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas kaip trikampio kraštinių santykiai nepriklauso nuo šių kraštinių ilgių (vienu kampu). Netikiu? Tada įsitikinkite, žiūrėdami į paveikslėlį:
Apsvarstykite, pavyzdžiui, kampo \(\beta \) kosinusą. Pagal apibrėžimą, iš trikampio \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), bet kampo \(\beta \) kosinusą galime apskaičiuoti iš trikampio \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Matote, kraštinių ilgiai skirtingi, bet vieno kampo kosinuso reikšmė vienoda. Taigi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės priklauso tik nuo kampo dydžio.
Jei suprantate apibrėžimus, eikite į priekį ir pataisykite juos!
Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytą trikampį \(ABC \) randame \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(masyvas)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(masyvas) \)
Na, ar gavai? Tada pabandykite patys: apskaičiuokite tą patį kampui \(\beta \) .
Atsakymai: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Vienetinis (trigonometrinis) apskritimas
Suprasdami laipsnio ir radiano sąvokas, laikėme apskritimą, kurio spindulys lygus \ (1 \) . Toks ratas vadinamas vienišas. Tai labai naudinga tiriant trigonometriją. Todėl mes apie tai pasikalbėsime šiek tiek išsamiau.
Kaip matote, šis apskritimas yra pastatytas Dekarto koordinačių sistemoje. Apskritimo spindulys yra lygus vienetui, o apskritimo centras yra pradžioje, pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra fiksuota teigiama \(x \) ašies kryptimi (mūsų pavyzdyje tai yra spindulys \(AB \) ).
Kiekvienas apskritimo taškas atitinka du skaičius: koordinatę išilgai ašies \(x \) ir koordinatę išilgai ašies \(y \) . Kas yra šie koordinačių skaičiai? Ir apskritai, ką jie turi bendro su nagrinėjama tema? Norėdami tai padaryti, prisiminkite apie svarstomą stačiakampį trikampį. Viršuje esančiame paveikslėlyje galite pamatyti du ištisus stačiuosius trikampius. Apsvarstykite trikampį \(ACG \) . Jis yra stačiakampis, nes \(CG \) yra statmena \(x \) ašiai.
Kas yra \(\cos \ \alpha \) iš trikampio \(ACG \)? Teisingai \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Be to, žinome, kad \(AC \) yra vienetinio apskritimo spindulys, taigi \(AC=1 \) . Pakeiskite šią reikšmę mūsų kosinuso formule. Štai kas nutinka:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
O kas yra \(\sin \ \alpha \) iš trikampio \(ACG \)? Na žinoma, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Pakeiskite spindulio reikšmę \ (AC \) šioje formulėje ir gaukite:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Taigi, ar galite man pasakyti, kokios yra taško \(C \) koordinatės, priklausančios apskritimui? Na, niekaip? Bet ką daryti, jei suprasite, kad \(\cos \ \alpha \) ir \(\sin \alpha \) yra tik skaičiai? Kokią koordinatę atitinka \(\cos \alpha \)? Na, žinoma, koordinatė \(x \) ! O kokią koordinatę atitinka \(\sin \alpha \)? Teisingai, \(y \) koordinatė! Taigi esmė \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Kas tada yra \(tg \alpha \) ir \(ctg \alpha \)? Teisingai, naudokime atitinkamus liestinės ir kotangento apibrėžimus ir gaukime tai \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
O jei kampas didesnis? Štai, pavyzdžiui, kaip šiame paveikslėlyje:
Kas pasikeitė šiame pavyzdyje? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, vėl kreipiamės į stačiakampį trikampį. Apsvarstykite statųjį trikampį \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kampas (greta kampo \(\beta \) ). Kokia yra kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento reikšmė \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Taip, mes laikomės atitinkamų trigonometrinių funkcijų apibrėžimų:
\(\begin(masyvas)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kampas ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kampas ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(masyvas) \)
Na, kaip matote, kampo sinuso reikšmė vis tiek atitinka koordinatę \ (y \) ; kampo kosinuso reikšmė - koordinatė \ (x \) ; ir atitinkamų santykių liestinės ir kotangento reikšmės. Taigi šie santykiai taikomi bet kokiems spindulio vektoriaus sukimams.
Jau buvo minėta, kad pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra išilgai teigiamos \(x \) ašies krypties. Iki šiol mes sukome šį vektorių prieš laikrodžio rodyklę, bet kas atsitiks, jei pasuksime jį pagal laikrodžio rodyklę? Nieko nepaprasto, gausite ir tam tikro dydžio kampą, bet tik jis bus neigiamas. Taigi, sukdami spindulio vektorių prieš laikrodžio rodyklę, gauname teigiami kampai, o sukant pagal laikrodžio rodyklę - neigiamas.
Taigi, mes žinome, kad visas spindulio vektoriaus apsisukimas aplink apskritimą yra \(360()^\circ \) arba \(2\pi \) . Ar galima pasukti spindulio vektorių \(390()^\circ \) arba \(-1140()^\circ \)? Na, žinoma, galite! Pirmuoju atveju \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), taigi spindulio vektorius padarys vieną pilną apsisukimą ir sustos ties \(30()^\circ \) arba \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Antruoju atveju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), tai yra, spindulio vektorius padarys tris pilnus apsisukimus ir sustos padėtyje \(-60()^\circ \) arba \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Taigi iš aukščiau pateiktų pavyzdžių galime daryti išvadą, kad kampai, kurie skiriasi \(360()^\circ \cdot m \) arba \(2\pi \cdot m \) (kur \(m \) yra bet koks sveikasis skaičius ) atitinka tą pačią spindulio vektoriaus padėtį.
Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas kampas \(\beta =-60()^\circ \) . Tas pats vaizdas atitinka kampą \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) ir tt Šį sąrašą galima tęsti neribotą laiką. Visus šiuos kampus galima užrašyti pagal bendrą formulę \(\beta +360()^\circ \cdot m \) arba \(\beta +2\pi \cdot m \) (kur \(m \) yra bet koks sveikasis skaičius)
\(\begin(masyvas)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(masyvas) \)
Dabar, žinodami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimus ir naudodami vieneto apskritimą, pabandykite atsakyti, kam lygios reikšmės:
\(\begin(masyvas)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(masyvas) \)
Štai vieneto ratas, kuris jums padės:
Bet kokių sunkumų? Tada išsiaiškinkime. Taigi mes žinome, kad:
\(\begin(masyvas)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(masyvas) \)
Iš čia nustatome taškų koordinates, atitinkančias tam tikrus kampo matmenis. Na, pradėkime iš eilės: kampas į vidų \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) atitinka tašką, kurio koordinatės \(\left(0;1 \right) \) , todėl:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\RightArrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- neegzistuoja;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Be to, laikydamiesi tos pačios logikos, mes sužinome, kad kampai yra viduje \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) atitinka taškus su koordinatėmis \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \dešinė) \), atitinkamai. Tai žinant, nesunku nustatyti trigonometrinių funkcijų reikšmes atitinkamuose taškuose. Pirmiausia išbandykite patys, tada patikrinkite atsakymus.
Atsakymai:
\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(ctg)\ \pi \)- neegzistuoja
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(tg)\ 270()^\circ \)- neegzistuoja
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(ctg)\ 2\pi \)- neegzistuoja
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rodyklė dešinėn \text(tg)\ 450()^\circ \)- neegzistuoja
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Taigi galime sudaryti tokią lentelę:
Nereikia atsiminti visų šių vertybių. Pakanka prisiminti vienetinio apskritimo taškų koordinačių ir trigonometrinių funkcijų verčių atitikimą:
\(\left. \begin(masyvas)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(masyvas) \right\)\ \text(Reikia atsiminti arba turėti galimybę išvesti!! \) !}
Ir čia yra kampų ir trigonometrinių funkcijų reikšmės \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) pateiktą toliau pateiktoje lentelėje, turite atsiminti:
Nereikia bijoti, dabar parodysime vieną iš gana paprasto atitinkamų reikšmių įsiminimo pavyzdžių:
Norint naudoti šį metodą, labai svarbu atsiminti visų trijų kampų matavimų sinusines vertes ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), taip pat kampo liestinės reikšmę \(30()^\circ \) . Žinant šias \(4\) reikšmes, gana lengva atkurti visą lentelę - kosinuso reikšmės perkeliamos pagal rodykles, tai yra:
\(\begin(masyvas)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(masyvas) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), žinant tai, galima atkurti reikšmes \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Skaitiklis "\(1 \) " atitiks \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , o vardiklis "\(\sqrt(\text(3)) \) " atitiks \ (\tekstas (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangentinės reikšmės perkeliamos pagal paveikslėlyje parodytas rodykles. Jei tai suprasite ir atsimenate schemą su rodyklėmis, tada užteks atsiminti tik \(4 \) reikšmes iš lentelės.
Apskritimo taško koordinatės
Ar galima rasti apskritimo tašką (jo koordinates), žinant apskritimo centro koordinates, spindulį ir sukimosi kampą? Na, žinoma, galite! Išveskime bendrą formulę taško koordinatėms rasti. Pavyzdžiui, turime tokį ratą:
Mums suteiktas tas taškas \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys yra \(1,5 \) . Reikia rasti taško \(P \) koordinates, gautas sukant tašką \(O \) \(\delta \) laipsniais.
Kaip matyti iš paveikslo, taško \ (P \) koordinatė \ (x \) atitinka atkarpos \ ilgį (TP=UQ=UK+KQ \) . Atkarpos \ (UK \) ilgis atitinka apskritimo centro koordinatę \ (x \), tai yra, jis yra lygus \ (3 \) . Atkarpos \(KQ \) ilgį galima išreikšti naudojant kosinuso apibrėžimą:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Tada turime taško \(P \) koordinatę \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Pagal tą pačią logiką randame taško \(P\) y koordinatės reikšmę. Taigi,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Taigi, bendrai tariant, taškų koordinatės nustatomos pagal formules:
\(\begin(masyvas)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(masyvas) \), Kur
\(((x)_(0)),(y)_(0)) \) - apskritimo centro koordinatės,
\(r\) – apskritimo spindulys,
\(\delta \) - vektoriaus spindulio sukimosi kampas.
Kaip matote, mūsų svarstomo vieneto apskritimo formulės yra žymiai sumažintos, nes centro koordinatės yra lygios nuliui, o spindulys yra lygus vienetui:
\(\begin(masyvas)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(masyvas) \)
„Javascript“ jūsų naršyklėje išjungtas.Norint atlikti skaičiavimus, ActiveX valdikliai turi būti įjungti!
Šiame straipsnyje mes parodysime, kaip kampo ir skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai trigonometrijoje. Čia kalbėsime apie žymėjimą, pateiksime įrašų pavyzdžių, pateiksime grafines iliustracijas. Apibendrinant, mes lyginame sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus trigonometrijoje ir geometrijoje.
Puslapio naršymas.
Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimas
Stebėkime, kaip mokykliniame matematikos kurse formuojasi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento sąvokos. Geometrijos pamokose pateikiamas stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimas. O vėliau tiriama trigonometrija, kuri reiškia sukimosi kampo ir skaičiaus sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą. Pateikiame visus šiuos apibrėžimus, pateikiame pavyzdžių ir pateikiame reikiamas pastabas.
Smailusis kampas stačiakampiame trikampyje
Iš geometrijos eigos žinomi stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai. Jie pateikiami kaip stačiojo trikampio kraštinių santykis. Pateikiame jų formuluotes.
Apibrėžimas.
Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis.
Apibrėžimas.
Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.
Apibrėžimas.
Stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis.
Apibrėžimas.
Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentė yra gretimos kojos ir priešingos kojos santykis.
Čia taip pat įvedamas sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento žymėjimas - atitinkamai sin, cos, tg ir ctg.
Pavyzdžiui, jei ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C, tai smailiojo kampo A sinusas yra lygus priešingos kojos BC santykiui su hipotenuze AB, tai yra sin∠A=BC/AB.
Šie apibrėžimai leidžia apskaičiuoti smailaus kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes iš žinomų stačiojo trikampio kraštinių ilgių, taip pat iš žinomų sinuso, kosinuso verčių, liestinė, kotangentas ir vienos iš kraštinių ilgis, raskite kitų kraštinių ilgius. Pavyzdžiui, jei žinotume, kad stačiakampiame trikampyje kojos AC yra 3, o hipotenuzė AB yra 7 , tai smailiojo kampo A kosinusą galėtume apskaičiuoti pagal apibrėžimą: cos∠A=AC/AB=3/7 .
Sukimosi kampas
Trigonometrijoje jie pradeda žiūrėti į kampą plačiau – įveda sukimosi kampo sąvoką. Sukimosi kampas, skirtingai nuo smailaus kampo, neribojamas rėmeliais nuo 0 iki 90 laipsnių, sukimosi kampas laipsniais (ir radianais) gali būti išreikštas bet kokiu realiu skaičiumi nuo −∞ iki +∞.
Šioje šviesoje sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai nebėra smailusis kampas, o savavališko dydžio kampas – sukimosi kampas. Jie pateikiami per taško A 1 x ir y koordinates, į kuriuos eina vadinamasis pradinis taškas A(1, 0), jam pasisukus kampu α aplink tašką O – stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pradžią. ir vieneto apskritimo centras.
Apibrėžimas.
Sukimosi kampo sinusasα yra taško A 1 ordinatė, tai yra sinα=y .
Apibrėžimas.
sukimosi kampo kosinusasα vadinama taško A 1 abscise, tai yra cosα=x .
Apibrėžimas.
Sukimosi kampo liestinėα yra taško A 1 ordinatės ir jo abscisių santykis, tai yra, tgα=y/x .
Apibrėžimas.
Sukimosi kampo kotangentasα yra taško A 1 abscisių ir jo ordinatės santykis, tai yra ctgα=x/y .
Sinusas ir kosinusas apibrėžiami bet kuriam kampui α , nes visada galime nustatyti taško abscisę ir ordinatę, kuri gaunama sukant pradinį tašką kampu α . O tangentas ir kotangentas nėra apibrėžti jokiam kampui. Tokiems kampams α, kuriuose pradinis taškas eina į tašką su nuline abscise (0, 1) arba (0, −1) , liestinė neapibrėžta, ir tai vyksta kampuose 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Iš tiesų, esant tokiems sukimosi kampams, išraiška tgα=y/x neturi prasmės, nes joje yra dalijimas iš nulio. Kalbant apie kotangentą, jis neapibrėžtas tokiems kampams α, kuriuose pradžios taškas eina į tašką, kurio ordinatė yra nulinė (1, 0) arba (−1, 0) , ir tai yra 180° k kampų atveju, k ∈Z (π k rad).
Taigi sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiems sukimosi kampams, liestinė apibrėžiama visiems kampams, išskyrus 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), o kotangentas yra visiems kampams, išskyrus 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).
Mums jau žinomi žymėjimai atsiranda apibrėžimuose sin, cos, tg ir ctg, jie taip pat naudojami žymėti sukimosi kampo sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą (kartais galite rasti žymėjimą tan ir cot, atitinkantį liestinę ir kotangentas). Taigi 30 laipsnių sukimosi kampo sinusas gali būti parašytas kaip sin30°, įrašai tg(−24°17′) ir ctgα atitinka sukimosi kampo liestinę −24° 17 minučių ir sukimosi kampo α kotangentą. . Prisiminkite, kad rašant kampo radianinį matą, užrašas „rad“ dažnai praleidžiamas. Pavyzdžiui, trijų pi radų sukimosi kampo kosinusas paprastai žymimas cos3 π .
Apibendrinant šią pastraipą, verta paminėti, kad kalbant apie sukimosi kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą, dažnai praleidžiama frazė „sukimosi kampas“ arba žodis „sukimas“. Tai yra, vietoj frazės „sukimosi kampo sinusas alfa“ dažniausiai vartojamas posakis „alfa kampo sinusas“ arba dar trumpesnis – „alfa sinusas“. Tas pats pasakytina apie kosinusą, tangentą ir kotangentą.
Taip pat tarkime, kad stačiojo trikampio smailaus kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai atitinka ką tik pateiktus sukimosi kampo nuo 0 iki 90 sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus. laipsnių. Mes tai pagrįsime.
Skaičiai
Apibrėžimas.
Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas t yra skaičius, lygus sukimosi kampo sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui atitinkamai t radianais.
Pavyzdžiui, 8 π kosinusas pagal apibrėžimą yra skaičius, lygus 8 π rad kampo kosinusui. O kampo kosinusas 8 π rad lygus vienetui, todėl skaičiaus 8 π kosinusas lygus 1.
Yra ir kitas skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo būdas. Jis susideda iš to, kad kiekvienam realusiam skaičiui t priskiriamas vienetinio apskritimo taškas, kurio centras yra stačiakampės koordinačių sistemos pradžioje, o sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas nustatomi pagal šio taško koordinates. Pakalbėkime apie tai išsamiau.
Parodykime, kaip nustatoma realiųjų skaičių ir apskritimo taškų atitiktis:
- skaičiui 0 priskiriamas pradžios taškas A(1, 0) ;
- teigiamas skaičius t yra susietas su vienetinio apskritimo tašku, į kurį pateksime, jei apeisime apskritimą nuo pradžios taško prieš laikrodžio rodyklę ir eisime t ilgio taku;
- neigiamas skaičius t yra susietas su vienetinio apskritimo tašku, į kurį pateksime, jei apvažiuosime apskritimą nuo pradžios taško pagal laikrodžio rodyklę ir eisime |t| .
Dabar pereikime prie skaičiaus t sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Tarkime, kad skaičius t atitinka apskritimo tašką A 1 (x, y) (pavyzdžiui, skaičius &pi/2; atitinka tašką A 1 (0, 1) ).
Apibrėžimas.
Skaičiaus sinusas t yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatė, tai yra sint=y .
Apibrėžimas.
Skaičiaus kosinusas t vadinama vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, abscise, tai yra kaina=x .
Apibrėžimas.
Skaičiaus liestinė t yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatės ir abscisių santykis, tai yra tgt=y/x. Kitoje lygiavertėje formuluotėje skaičiaus t liestinė yra šio skaičiaus sinuso ir kosinuso santykis, ty tgt=sint/cost .
Apibrėžimas.
Skaičiaus kotangentas t yra abscisių ir apskritimo vienetinio taško, atitinkančio skaičių t, ordinatės santykis, tai yra ctgt=x/y. Kita formuluotė yra tokia: skaičiaus t liestinė yra skaičiaus t kosinuso ir skaičiaus t sinuso santykis: ctgt=kaina/sint .
Atkreipiame dėmesį, kad ką tik pateikti apibrėžimai atitinka šio poskyrio pradžioje pateiktą apibrėžimą. Iš tiesų vienetinio apskritimo taškas, atitinkantis skaičių t, sutampa su tašku, gautu sukant pradinį tašką t radianų kampu.
Taip pat verta paaiškinti šį dalyką. Tarkime, kad turime sin3 įrašą. Kaip suprasti, ar kalbama apie skaičiaus 3 sinusą, ar apie 3 radianų sukimosi kampo sinusą? Paprastai tai aišku iš konteksto, kitu atveju tikriausiai nesvarbu.
Kampinio ir skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos
Pagal ankstesnėje pastraipoje pateiktus apibrėžimus, kiekvienas sukimosi kampas α atitinka tiksliai apibrėžtą reikšmę sin α , taip pat reikšmę cos α . Be to, visi sukimosi kampai, išskyrus 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), atitinka reikšmes tgα ir, išskyrus 180° k , k∈Z (π k rad ) yra ctgα reikšmės. Todėl sinα, cosα, tgα ir ctgα yra kampo α funkcijos. Kitaip tariant, tai yra kampinio argumento funkcijos.
Panašiai galime kalbėti apie skaitinio argumento sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento funkcijas. Iš tiesų, kiekvienas realusis skaičius t atitinka tiksliai apibrėžtą sint vertę, taip pat kainą. Be to, visi skaičiai, išskyrus π/2+π·k , k∈Z atitinka reikšmes tgt , o skaičiai π·k , k∈Z atitinka reikšmes ctgt .
Vadinamos funkcijos sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas pagrindinės trigonometrinės funkcijos.
Iš konteksto paprastai aišku, kad kalbame apie kampinio argumento arba skaitinio argumento trigonometrines funkcijas. Kitu atveju nepriklausomą kintamąjį galime laikyti ir kampo matu (kampo argumentu), ir skaitiniu argumentu.
Tačiau mokykloje daugiausia tiriamos skaitinės funkcijos, tai yra funkcijos, kurių argumentai ir atitinkamos funkcijų reikšmės yra skaičiai. Todėl, jei kalbame apie funkcijas, patartina trigonometrines funkcijas laikyti skaitinių argumentų funkcijomis.
Geometrijos ir trigonometrijos apibrėžimų jungtis
Jei atsižvelgsime į sukimosi kampą α nuo 0 iki 90 laipsnių, tada sukimosi kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento apibrėžimo trigonometrijos duomenys visiškai atitinka sinuso, kosinuso apibrėžimus. , stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė ir kotangentė, kurios pateiktos geometrijos kurse. Pagrįskime tai.
Stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje Oxy nubrėžkite vienetinį apskritimą. Atkreipkite dėmesį į pradžios tašką A(1, 0) . Pasukime jį kampu α nuo 0 iki 90 laipsnių, gausime tašką A 1 (x, y) . Numeskime statmeną A 1 H iš taško A 1 į Ox ašį.
Nesunku pastebėti, kad stačiakampiame trikampyje kampas A 1 OH yra lygus sukimosi kampui α, o gretimos šio kampo kojos OH ilgis lygus taško A 1 abscisei, tai yra |OH |=x, kampui A 1 H priešingos kojos ilgis lygus taško A 1 ordinatėms, tai yra |A 1 H|=y , o hipotenuzės ilgis OA 1 lygus vienetui , nes tai yra vieneto apskritimo spindulys. Tada pagal geometrijos apibrėžimą stačiojo trikampio A 1 OH smailiojo kampo α sinusas yra lygus priešingos kojos ir hipotenuzos santykiui, tai yra sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Ir pagal apibrėžimą iš trigonometrijos, sukimosi kampo α sinusas yra lygus taško A 1 ordinatei, tai yra sinα=y. Tai rodo, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso apibrėžimas yra lygiavertis sukimosi kampo α sinuso apibrėžimui, kai α nuo 0 iki 90 laipsnių.
Panašiai galima parodyti, kad smailiojo kampo α kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai atitinka sukimosi kampo α kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus.
Bibliografija.
- Geometrija. 7-9 klasės: studijos. bendrajam lavinimui institucijos / [L. S. Atanasjanas, V. F. Butuzovas, S. B. Kadomcevas ir kiti]. – 20-asis leidimas M.: Išsilavinimas, 2010. - 384 p.: iliustr. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelovas A.V. Geometrija: Proc. 7-9 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. V. Pogorelovas. - 2 leidimas - M.: Švietimas, 2001. - 224 p.: iliustr. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra ir elementarios funkcijos: Vadovėlis vidurinės mokyklos 9 klasių mokiniams / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Redagavo fizinių ir matematikos mokslų daktaras O. N. Golovinas – 4 leidimas. Maskva: Švietimas, 1969 m.
- Algebra: Proc. 9 ląstelėms. vid. mokykla / Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova; Red. S. A. Teljakovskis.- M.: Švietimas, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorovas, A. M. Abramovas, Yu. P. Dudnicynas ir kt.; Red. A. N. Kolmogorova.- 14 leid.- M.: Švietimas, 2004.- 384 p.: iliustr.- ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovičius A. G. Algebra ir analizės pradžia. 10 klasė. 14 val. 1 dalis: vadovėlis švietimo įstaigoms (profilio lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenovas. - 4-asis leidimas, pridėti. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai /[Yu. M. Koliaginas, M. V. Tkačiova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuninas]; red. A. B. Žižčenka. – 3 leidimas. - I .: Švietimas, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bašmakovas M.I. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. vid. mokykla – 3 leidimas. - M.: Švietimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.
Instrukcija
Trikampis vadinamas stačiu trikampiu, jei vienas iš jo kampų yra 90 laipsnių. Jį sudaro dvi kojos ir hipotenuzė. Hipotenuzė yra ilgiausia šio trikampio kraštinė. Jis guli stačiu kampu. Kojos atitinkamai vadinamos mažesnėmis jo pusėmis. Jie gali būti lygūs vienas kitam arba turėti skirtingus dydžius. Kojų lygybė, kurią dirbate su stačiu trikampiu. Jo grožis yra tas, kad jis sujungia dvi figūras: stačiakampį ir lygiašonį trikampį. Jei kojos nelygios, tai trikampis yra savavališkas ir pagal pagrindinį dėsnį: kuo didesnis kampas, tuo labiau sukasi priešais jį esantis.
Yra keletas būdų, kaip rasti hipotenuzę pagal kampą. Tačiau prieš naudodami vieną iš jų turėtumėte nustatyti, kuris ir kampas yra žinomi. Atsižvelgiant į kampą ir šalia jo esančią koją, hipotenuzą lengviau rasti pagal kampo kosinusą. Stačiakampio trikampio smailaus kampo kosinusas (cos a) yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis. Tai reiškia, kad hipotenuzė (c) bus lygi gretimos kojos (b) ir kampo a kosinuso (cos a) santykiui. Tai galima parašyti taip: cos a=b/c => c=b/cos a.
Jei nurodytas kampas ir priešinga kojelė, tada reikia dirbti. Stačiakampio trikampio smailiojo kampo sinusas (sin a) yra priešingos kojos (a) ir hipotenuzės (c) santykis. Čia principas toks pat kaip ir ankstesniame pavyzdyje, tik vietoj kosinuso funkcijos imamas sinusas. sin a=a/c => c=a/sin a.
Taip pat galite naudoti trigonometrinę funkciją, pvz., . Tačiau rasti norimą vertę yra šiek tiek sudėtingiau. Stačiojo trikampio smailaus kampo liestinė (tg a) yra priešingos kojos (a) ir gretimos (b) santykis. Radę abi kojeles, pritaikykite Pitagoro teoremą (hipotenuzės kvadratas lygus kojų kvadratų sumai) ir bus rasta didesnė.
pastaba
Dirbdami su Pitagoro teorema nepamirškite, kad turite laipsnį. Suradę kojų kvadratų sumą, norėdami gauti galutinį atsakymą, turėtumėte paimti kvadratinę šaknį.
Šaltiniai:
- kaip rasti koją ir hipotenuzę
Hipotenuzė yra stačiojo trikampio kraštinė, esanti priešais 90 laipsnių kampą. Norint apskaičiuoti jo ilgį, pakanka žinoti vienos iš kojelių ilgį ir vieno iš trikampio smailiųjų kampų vertę.
Instrukcija
Esant žinomam ir aštriam stačiajam kampui, hipotenuzės dydis yra kojos ir šio kampo santykis, jei nurodytas kampas yra priešais / greta jo:
h = C1(arba C2)/sinα;
h = С1(arba С2)/cosα.
Pavyzdys: Tegu ABC yra duota su hipotenuze AB ir C. Tegul kampas B yra 60 laipsnių, o kampas A 30 laipsnių. Kojos BC ilgis yra 8 cm. Jums reikia hipotenuzės AB ilgio. Norėdami tai padaryti, galite naudoti bet kurį iš aukščiau siūlomų metodų:
AB=BC/cos60=8 cm.
AB = BC/sin30 = 8 cm.
žodis" koja“ kilęs iš graikiškų žodžių „statmenas“ arba „vertikalus“ – tai paaiškina, kodėl taip buvo pavadintos abi stačiakampio trikampio kraštinės, sudarančios devyniasdešimties laipsnių kampą. Raskite bet kurio iš koja ov nėra sunku, jei yra žinoma šalia jo esančio kampo vertė ir bet kuris kitas parametras, nes tokiu atveju visų trijų kampų reikšmės iš tikrųjų taps žinomos.
Instrukcija
Jei be gretimo kampo reikšmės (β), sekundės ilgis koja a (b), tada ilgis koja ir (a) gali būti apibrėžtas kaip žinomo ilgio koeficientas koja ir žinomu kampu: a=b/tg(β). Tai išplaukia iš šio trigonometrinio apibrėžimo. Jei naudojate teoremą, galite apsieiti be liestinės. Iš to išplaukia, kad norimo ilgis iki priešingo kampo sinuso ir žinomo ilgio santykis koja bet iki žinomo kampo sinuso. Priešingai norimam koja y smailusis kampas gali būti išreikštas žinomu kampu kaip 180°-90°-β = 90°-β, nes bet kurio trikampio visų kampų suma turi būti 180°, o vienas iš jo kampų lygus 90 °. Taigi norimas ilgis koja ir gali būti apskaičiuojamas pagal formulę a=sin(90°-β)∗b/sin(β).
Jei žinomas gretimo kampo dydis (β) ir hipotenuzės ilgis (c), tada ilgis koja ir (a) gali būti apskaičiuojamas kaip hipotenuzės ilgio ir žinomo kampo kosinuso sandauga: a=c∗cos(β). Tai išplaukia iš kosinuso kaip trigonometrinės funkcijos apibrėžimo. Bet galite naudoti, kaip ir ankstesniame žingsnyje, sinuso teoremą ir tada norimo ilgį koja a bus lygi sinuso sandaugai tarp 90° ir žinomo kampo, padaugintos iš hipotenuzės ilgio ir stačiojo kampo sinuso santykio. O kadangi 90° sinusas lygus vienetui, jį galima parašyti taip: a=sin(90°-β)∗c.
Praktinius skaičiavimus galima atlikti, pavyzdžiui, naudojant programinę skaičiuoklę, esančią Windows operacinėje sistemoje. Norėdami jį paleisti, pagrindiniame mygtuko „Pradėti“ meniu galite pasirinkti elementą „Vykdyti“, įvesti komandą calc ir spustelėti mygtuką „Gerai“. Paprasčiausia šios programos sąsajos versija, kuri atsidaro pagal nutylėjimą, neteikia trigonometrinių funkcijų, todėl ją paleidus reikia spustelėti meniu skyrių „View“ ir pasirinkti eilutę „Mokslinė“ arba „Inžinerija“ (priklausomai nuo jūsų naudojamos operacinės sistemos versijoje).
Susiję vaizdo įrašai
Žodis „katet“ į rusų kalbą atėjo iš graikų kalbos. Tiksliame vertime tai reiškia svambalo liniją, ty statmeną žemės paviršiui. Matematikoje kojos vadinamos kraštinėmis, kurios sudaro stačiojo trikampio stačią kampą. Priešinga šio kampo pusė vadinama hipotenuse. Terminas „koja“ taip pat vartojamas architektūroje ir suvirinimo technologijoje.
Nubraižykite statųjį trikampį ACB. Pažymėkite jo kojeles a ir b ir hipotenuzę c. Visos stačiojo trikampio kraštinės ir kampai yra apibrėžti vienas su kitu. Kojos, esančios priešais vieną iš smailiųjų kampų, santykis su hipotenuze vadinamas šio kampo sinusu. Šiame trikampyje sinCAB=a/c. Kosinusas yra santykis su gretimos kojos hipotenuze, ty cosCAB=b/c. Atvirkštiniai ryšiai vadinami sekantu ir kosekantu.
Šio kampo sekantas gaunamas padalijus hipotenuzą iš gretimos kojos, tai yra secCAB=c/b. Pasirodo kosinuso atvirkštinis dydis, tai yra, jį galima išreikšti formule secCAB=1/cosSAB.
Kosekantas yra lygus hipotenuzės dalijimosi iš priešingos kojos koeficientui ir yra sinuso atvirkštinė vertė. Jį galima apskaičiuoti naudojant formulę cosecCAB=1/sinCAB
Abi kojos yra tarpusavyje sujungtos ir kotangentinės. Šiuo atveju liestinė bus pusės a ir b pusės santykis, tai yra, priešingos kojos gretimai. Šis santykis gali būti išreikštas formule tgCAB=a/b. Atitinkamai atvirkštinis santykis bus kotangentas: ctgCAB=b/a.
Santykį tarp hipotenuzės ir abiejų kojų dydžių nustatė senovės graikų Pitagoras. Teorema, jo vardas, žmonės vis dar naudojasi. Jame sakoma, kad hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai, tai yra, c2 \u003d a2 + b2. Atitinkamai, kiekviena kojelė bus lygi skirtumo tarp hipotenuzės ir kitos kojos kvadratų kvadratinei šakniai. Šią formulę galima parašyti kaip b=√(c2-a2).
Kojos ilgį taip pat galima išreikšti per jums žinomus ryšius. Pagal sinusų ir kosinusų teoremas koja lygi hipotenuzės ir vienos iš šių funkcijų sandaugai. Galite išreikšti jį ir arba kotangentą. Koją a galima rasti, pavyzdžiui, pagal formulę a \u003d b * tan CAB. Lygiai taip pat, priklausomai nuo duotosios liestinės arba , nustatoma antroji kojelė.
Architektūroje taip pat vartojamas terminas „koja“. Jis uždedamas ant jonų sostinės ir per nugaros vidurį. Tai yra šiuo atveju pagal šį terminą statmena nurodytai linijai.
Suvirinimo technologijoje yra „filialinio suvirinimo kojelė“. Kaip ir kitais atvejais, tai yra trumpiausias atstumas. Čia kalbame apie tarpą tarp vienos iš suvirinamų dalių iki siūlės krašto, esančio kitos dalies paviršiuje.
Susiję vaizdo įrašai
Šaltiniai:
- kas yra koja ir hipotenuzė 2019 m