Šio straipsnio akcentas yra neigiamų skaičių dalyba. Pirmiausia pateikiama neigiamo skaičiaus padalijimo iš neigiamo taisyklė, pateikiami jos pagrindimai, o tada pateikiami neigiamų skaičių padalijimo pavyzdžiai su išsamiu sprendinių aprašymu.
Puslapio naršymas.
Neigiamų skaičių padalijimo taisyklė
Prieš pateikdami neigiamų skaičių padalijimo taisyklę, prisiminkime padalijimo veiksmo prasmę. Padalijimas iš esmės reiškia nežinomo veiksnio suradimą pagal žinomą produktą ir žinomą kitą veiksnį. Tai yra, skaičius c yra a padalytas iš b koeficientas, kai c b=a , ir atvirkščiai, jei c b=a , tada a:b=c .
Neigiamų skaičių padalijimo taisyklė taip: vieno neigiamo skaičiaus dalijimo iš kito koeficientas yra lygus skaitiklio dalijimo iš vardiklio modulio koeficientui.
Užrašykime įgarsintą taisyklę raidėmis. Jei a ir b yra neigiami skaičiai, tada lygybė a:b=|a|:|b| .
Lygybę a:b=a b −1 lengva įrodyti, pradedant nuo realiųjų skaičių daugybos savybės ir abipusių skaičių apibrėžimai. Iš tiesų, remiantis tuo, galima parašyti formos lygybių grandinę (a b −1) b=a (b −1 b)=a 1=a, kuris pagal straipsnio pradžioje paminėtą padalijimo prasmę įrodo, kad a · b − 1 yra a padalijimo iš b koeficientas.
Ir ši taisyklė leidžia nuo neigiamų skaičių dalybos pereiti prie daugybos.
Sprendžiant pavyzdžius belieka atsižvelgti į svarstomų neigiamų skaičių padalijimo taisyklių taikymą.
Neigiamų skaičių padalijimo pavyzdžiai
Paanalizuokime neigiamų skaičių dalybos pavyzdžiai. Pradėkime nuo paprastų atvejų, kuriuose išsiaiškinsime padalijimo taisyklės taikymą.
Pavyzdys.
Neigiamą skaičių −18 padalykite iš neigiamo skaičiaus −3 , tada apskaičiuokite koeficientą (−5):(−2) .
Sprendimas.
Pagal neigiamų skaičių dalybos taisyklę, −18 dalijimo iš −3 koeficientas yra lygus šių skaičių modulių dalijimui. Kadangi |−18|=18 ir |−3|=3 , tada (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , belieka atlikti natūraliųjų skaičių padalijimą, turime 18:3=6.
Taip pat išsprendžiame antrąją problemos dalį. Kadangi |−5|=5 ir |−2|=2 , tada (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . Šis koeficientas atitinka paprastąją trupmeną 5/2, kurią galima parašyti kaip mišrų skaičių.
Tie patys rezultatai gaunami naudojant skirtingą neigiamų skaičių padalijimo taisyklę. Iš tiesų, skaičius −3 yra atvirkščiai skaičius , tada 
, dabar atliekame neigiamų skaičių dauginimą: 
. Taip pat, .
Atsakymas:
(−18):(−3)=6 ir 
.
Dalijant trupmeninius racionalius skaičius, patogiausia dirbti su paprastosiomis trupmenomis. Bet, jei patogu, galite padalyti ir galutines dešimtaines trupmenas.
Pavyzdys.
Padalinkite skaičių -0,004 iš -0,25 .
Sprendimas.
Dividendo ir daliklio moduliai yra atitinkamai 0,004 ir 0,25, tada pagal neigiamų skaičių padalijimo taisyklę turime (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .
- arba padalinti dešimtaines trupmenas stulpeliu,
- arba pereikite nuo dešimtainių į paprastąsias trupmenas ir padalinkite atitinkamas paprastąsias trupmenas.
Pažvelkime į abu būdus.
Norėdami padalyti 0,004 iš 0,25 stulpelyje, pirmiausia perkelkite kablelį 2 skaitmenimis į dešinę, o 0,4 padalinkite iš 25. Dabar atliekame padalijimą iš stulpelio: 
Taigi 0,004:0,25=0,016 .
O dabar parodykime, kaip atrodytų sprendimas, jei nuspręstume dešimtaines trupmenas paversti įprastomis. Nes 
ir tada 
, ir vykdyti
Šiame straipsnyje pateikiama išsami apžvalga dalijant skaičius skirtingais ženklais. Pirma, pateikiama skaičių padalijimo skirtingais ženklais taisyklė. Žemiau pateikiami teigiamų skaičių padalijimo iš neigiamų ir neigiamų skaičių pavyzdžiai iš teigiamų.
Puslapio naršymas.
Skaičių su skirtingais ženklais padalijimo taisyklė
Straipsnio sveikųjų skaičių skaidyme buvo gauta sveikųjų skaičių su skirtingais ženklais padalijimo taisyklė. Jis gali būti išplėstas tiek racionaliesiems, tiek realiiesiems skaičiams, pakartojant visus argumentus iš nurodyto straipsnio.
Taigi, Skaičių su skirtingais ženklais padalijimo taisyklė turi tokią formuluotę: norint padalyti teigiamą skaičių iš neigiamo arba neigiamą skaičių iš teigiamo, reikia dividendą padalyti iš daliklio modulio, o prieš gautą skaičių įdėti minuso ženklą.
Šią padalijimo taisyklę rašome raidėmis. Jei skaičiai a ir b turi skirtingus ženklus, formulė galioja a:b=−|a|:|b| .
Iš išsakytos taisyklės aišku, kad skaičių su skirtingais ženklais padalijimo rezultatas yra neigiamas skaičius. Iš tiesų, kadangi dividendo modulis ir daliklio modulis yra labiau teigiami nei skaičius, tada jų koeficientas yra teigiamas skaičius, o minuso ženklas daro šį skaičių neigiamą.
Atkreipkite dėmesį, kad nagrinėjama taisyklė sumažina skaičių su skirtingais ženklais padalijimą į teigiamų skaičių padalijimą.
Galite pateikti kitą skaičių su skirtingais ženklais padalijimo taisyklės formuluotę: norėdami padalyti skaičių a iš skaičiaus b, turite skaičių a padauginti iš skaičiaus b −1, skaičiaus b atvirkštinės vertės. Tai yra, a:b=a b −1 .
Šią taisyklę galima naudoti, kai įmanoma peržengti sveikųjų skaičių aibę (nes ne kiekvienas sveikasis skaičius turi atvirkštinį skaičių). Kitaip tariant, jis taikomas tiek racionaliųjų, tiek realiųjų skaičių rinkiniui.
Akivaizdu, kad ši skaičių su skirtingais ženklais padalijimo taisyklė leidžia pereiti nuo dalybos prie daugybos.
Ta pati taisyklė taikoma dalijant neigiamus skaičius.
Belieka apsvarstyti, kaip ši skaičių skirstymo skirtingais ženklais taisyklė taikoma sprendžiant pavyzdžius.
Skaičių dalijimo skirtingais ženklais pavyzdžiai
Panagrinėkime kelių charakteristikų sprendimus skaičių dalijimo skirtingais ženklais pavyzdžiai suvokti ankstesnės pastraipos taisyklių taikymo principą.
Pavyzdys.
Neigiamą skaičių −35 padalinkite iš teigiamo skaičiaus 7 .
Sprendimas.
Skaičių su skirtingais ženklais padalijimo taisyklė reikalauja pirmiausia surasti dividendo ir daliklio modulius. –35 modulis yra 35, o modulis 7 yra 7. Dabar turime padalinti dividendo modulį iš daliklio modulio, tai yra, turime padalyti 35 iš 7. Prisiminus, kaip atliekamas natūraliųjų skaičių dalybos, gauname 35:7=5. Lieka paskutinis skaičių padalijimo su skirtingais ženklais taisyklės žingsnis - prieš gautą skaičių įdėkite minusą, turime -5.
Čia yra visas sprendimas: .
Galima būtų vadovautis kitokiu skaičių padalijimo skirtingais ženklais taisyklės formuluote. Šiuo atveju pirmiausia randame skaičių, kuris yra daliklio 7 atvirkštinė vertė. Šis skaičius yra bendroji trupmena 1/7. Taigi,. Belieka atlikti skaičių su skirtingais ženklais daugybą: . Akivaizdu, kad mes pasiekėme tą patį rezultatą.
Atsakymas:
(−35):7=−5 .
Pavyzdys.
Apskaičiuokite koeficientą 8:(−60) .
Sprendimas.
Pagal skaičių dalijimo skirtingais ženklais taisyklę turime 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60)
. Gauta išraiška atitinka neigiamą paprastąją trupmeną (žr. padalijimo ženklą kaip trupmenos juostą), galite sumažinti trupmeną 4, gausime 
.
Visą sprendimą trumpai užrašome: .
Atsakymas:
.
Dalinant trupmeninius racionalius skaičius skirtingais ženklais, jų dividendas ir daliklis dažniausiai vaizduojami kaip paprastosios trupmenos. Taip yra dėl to, kad ne visada patogu dalyti skaičiais kitokiu užrašu (pavyzdžiui, dešimtainiu).
Pavyzdys.
Sprendimas.
Dividendo modulis yra , o daliklio modulis yra 0,(23) . Norėdami padalyti dividendo modulį iš daliklio modulio, pereikime prie paprastųjų trupmenų.
Išverskime mišrų skaičių į paprastąją trupmeną: 
, ir
Šiame straipsnyje kalbėsiu apie tai, kaip rasti neigiamų skaičių dalybos liekana. Deja, šiai temai mokykloje skiriama labai mažai dėmesio, nors mokiniui itin svarbu suprasti pagrindinius matematikos pagrindus. Štai kodėl, kaip matematikos dėstytojas, savo pamokose su mokiniais išsamiai analizuoju šią medžiagą. Tai labai supaprastina tolesnį pasiruošimą vieningam valstybiniam egzaminui, OGE, stojamiesiems egzaminams ir matematikos olimpiadoms.
Taigi pradėkime. Norėdami padalyti du sveikuosius skaičius su likusia dalimi, turite naudoti šią teoremą:
Bet kokiems sveikiesiems skaičiams ir , be to, yra unikali sveikųjų skaičių pora ir ,  , Kur. |
Čia yra dividendas, yra daliklis, yra nepilnas koeficientas, yra liekana. Atminkite, kad likusi dalis yra neneigiamas skaičius. Aišku, kad sąlyga atsiranda todėl, kad dalyti iš nulio neįmanoma.
Tai skamba gana sudėtingai, bet iš tikrųjų šioje teoremoje nėra nieko sudėtingo. Norėdami viską suprasti, pereikime prie pavyzdžių.
Neigiamų skaičių dalybos liekanos radimo pavyzdžiai
1 pavyzdys Teigiamojo sveikojo skaičiaus liekana padalinama iš teigiamo sveikojo skaičiaus.
Tarkime, norime padalyti iš 4, paliekant 27 likutį. Kyla klausimas, kiek kartų 4 pasirodo 27? Tačiau žinome, kad nėra sveikojo skaičiaus, kurį būtų galima padauginti iš 4 ir gauti 27. Taigi klausimą reikia suformuluoti iš naujo. Kokį skaičių reikia padauginti iš 4, kad skaičius būtų kuo artimesnis 27, bet jo neviršytų? Akivaizdu, kad šis skaičius yra 6. Jei 4 padauginamas iš 6, tada gausite 24. Pirminiam dividendui 27 trūksta 3. Todėl 27 dalijimo iš 4 liekana yra 3:
2 pavyzdys Padalinkite su likusia neigiamo sveikojo skaičiaus dalimi iš teigiamo sveikojo skaičiaus.
Ką daryti, jei norite rasti neigiamo sveikojo skaičiaus -15 likutį, padalytą iš teigiamo sveikojo skaičiaus 4? Pradėkime nuo to, kad nepilnas koeficientas turėtų pasirodyti neigiamas, nes dalijant neigiamą skaičių iš teigiamo, rezultatas yra neigiamas. Galima manyti, kad dalinis koeficientas šiuo atveju turėtų būti lygus -3. Bet šiuo atveju, padauginus -3 iš 4, gauname -12. O norint gauti pradinį dividendą -15, prie rezultato -12 reikia pridėti skaičių -3, kuris negali būti liekana, nes likusi dalis negali būti neigiama!
Todėl šiuo atveju nepilnas koeficientas yra -4. Šiuo atveju -4 padauginus iš daliklio iš 4 gauname -16. O dabar, norint gauti pradinį dividendą -15, prie šio rezultato reikia pridėti skaičių 1. Jis yra neneigiamas ir mažesnis už daliklio modulį (tai yra 4). Tai yra, tai yra likusi dalis:
3 pavyzdys. Teigiamojo sveikojo skaičiaus padalijimas iš neigiamo sveikojo skaičiaus.
Dabar apsvarstykite padalyti su likusia teigiamo sveikojo skaičiaus 113 dalimi iš neigiamo sveikojo skaičiaus -3 pavyzdį. Dalinis koeficientas, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, turi būti neigiamas, nes teigiamą skaičių padalijus iš neigiamo, rezultatas yra neigiamas. Pagalvokime, kam tiksliai lygus nepilnasis koeficientas. Akivaizdu, kad jis lygus -37. Iš tiesų, padauginus -37 iš -3, gaunama 111. Dabar, norėdami gauti pradinį dividendą, prie šio rezultato turite pridėti skaičių 2, kuris yra neneigiamas ir mažesnis už daliklio modulį (ty modulį). iš -3, kuris yra lygus 3). Taigi mūsų atsakymas yra:
4 pavyzdys. Padalijimas iš neigiamo sveikojo skaičiaus liekanos iš neigiamo sveikojo skaičiaus.
Na, paskutinis pavyzdys. Neigiamas sveikasis skaičius -15 turi būti padalintas su likusia dalimi iš neigiamo sveikojo skaičiaus -7. Dalinis koeficientas turi būti teigiamo ženklo, nes dalijant neigiamus skaičius gaunamas teigiamas rezultatas. Ir jis lygus 3. Išties, padauginę 3 iš -7, gauname -21. Dabar prie šio skaičiaus turime pridėti teigiamą ir mažiau modulio -7 (ty 7) skaičių 6, kad gautume pradinį dividendą -15. Todėl likusi dalis, padalijus neigiamus skaičius -15 iš -7, yra:
Patikrinkite, kaip gerai supratote šią pamoką. Raskite neigiamų skaičių padalijimo likutį:
c) nuo -114 iki -4.
Savo atsakymus rašykite komentaruose, aš juos patikrinsiu.
Parengė Sergejus Valerjevičius
Tikslai:
- išmokti dalyti teigiamus ir neigiamus skaičius
- konsoliduoti teigiamų ir neigiamų skaičių sudėtį, atimtį ir daugybą
- ugdyti raštingą matematinę kalbą
- ugdyti susidomėjimą dalyku
Įranga: Kompiuteris, multimedijos projektorius.
Per užsiėmimus
Mokytojas: Sveiki, atsisėskite. Šiandien su jumis studijuosime naują medžiagą, bet nuo pat pradžių kartosime anksčiau išstuduotą medžiagą. Norėdami tai padaryti, turėsime išspręsti pavyzdžius.
1. Burnos pratimai
| A) | |
| b) |  |
| V) |  |
| G) | |
| e) |  |
| e) |  |
| ir) |
2. Darbas pamokos tema
(8-14 skaidrės)
1. Neigiamų skaičių dalyba turi tokią pat reikšmę kaip ir teigiamų skaičių, t.y. Atsižvelgdami į produktą ir vieną iš veiksnių, raskite antrąjį veiksnį.
Kas gali įvardyti padalijimo komponentus?
Pavyzdžiui: -10: (-5) = ?
Ką reiškia -10: (-5)? (Taigi, suraskite skaičių x, kad esant -5 x = -10)
Dabar suraskite skaičiaus ženklą X.
Kaip manote, kaip tai galima padaryti?
Nuo -5 padauginus iš X pasirodo neigiamas skaičius -10, todėl veiksniai turi turėti skirtingus ženklus. Vadinasi, X yra teigiamas skaičius.
Dabar suraskime skaičiaus modulį X.
Kadangi sandaugos modulis yra lygus veiksnių modulių sandaugai, todėl . Vadinasi 
, nes X yra teigiamas skaičius, tada x = tyrėjas X =
2
Tai parašyta taip:
arba trumpesnis
(-10) : (-5) = 10: 5 = 2
Taisyklė: norėdami padalyti neigiamą skaičių iš neigiamo, turite padalyti dividendo modulį iš daliklio modulio.
2.2. Dabar neigiamą skaičių padalinkime iš teigiamo.
Pavyzdžiui: -24:4=?
Ką reiškia -24:4? (Taigi, norėdami rasti tokį skaičių X, kad 4 val X = -24)
Dabar suraskime x ženklą.
Kaip aš tai galėčiau padaryti?
Kadangi padauginus 4 iš x, gaunamas neigiamas skaičius -24, todėl X- neigiamas skaičius.
Dabar suraskime skaičiaus modulį X.
Kaip manote, kam jis bus lygus?
vadinasi
nes X yra neigiamas skaičius modulo 6, tada X bus lygus -6
Gauname: -24: 4 = -6
Panašiai paaiškėja ir dalijant 24: (-4) \u003d -6
O dabar pakalbėkime apie skaičių padalijimo skirtingais ženklais algoritmą. Taigi:
- dividendo modulį padalinti iš daliklio modulio;
- prieš gautą skaičių padėkite minuso ženklą.
3. Nulį padalijus iš bet kurio skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gaunamas nulis.
Ir svarbiausia taisyklė: padalinkite iš nulio!
3. Naujos medžiagos konsolidavimas
(15-16 skaidrės).
| 1) | |
| 2) |  |
| 3) |  |
| 4) |  |
| 5) |  |
| 6) |  |
2. Savarankiškas darbas. Šiai veiklai turite skirti 8–10 minučių.
(17-24 skaidrės)
| A) | -4 (-5) – (-30) : 6 = 25 |
| b) | 15: (-15) – (-24) : 8 = 2 |
| V) | -8 (-3 + 12) : 36 + 2 = 0 |
| G) | 2,3 (-6 – 4) : 5 = - 4,6 |
| e) | (-8 + 32) : (-6) – 7 = -11 |
| e) | -21 + (-3 - 4 + 5) : (-2) = - 20 |
| ir) | -6 4 – 64: (-3,3 + 1,7) = - 64 |
| h) | (-6 + 6,4 – 10) : (-8) (-3) = - 3 |
Šiame straipsnyje pateiksime neigiamo skaičiaus padalijimo iš neigiamo apibrėžimą, suformuluosime ir pagrįsime taisyklę, pateiksime neigiamų skaičių padalijimo pavyzdžių ir išanalizuosime jų sprendimo eigą.
Neigiamų skaičių dalyba. taisyklė
Prisiminkite, kokia yra padalijimo operacijos esmė. Šis veiksmas yra nežinomo daugiklio radimas pagal žinomą produktą ir žinomą kitą daugiklį. Skaičius c vadinamas skaičių a ir b dalybos daliniu, jei sandauga c · b = a yra teisinga. Šiuo atveju a ÷ b = c .
Neigiamų skaičių padalijimo taisyklė
Vieno neigiamo skaičiaus dalijimo iš kito neigiamo skaičiaus koeficientas yra lygus šių skaičių modulių dalijimui.
Tegu a ir b yra neigiami skaičiai. Tada
a ÷ b = a ÷ b .
Ši taisyklė sumažina dviejų neigiamų skaičių padalijimą iki teigiamų skaičių. Jis galioja ne tik sveikiesiems, bet ir racionaliesiems bei realiesiems skaičiams. Neigiamą skaičių padalijus iš neigiamo skaičiaus rezultatas visada yra teigiamas skaičius.
Štai dar viena šios taisyklės formuluotė, tinkanti racionaliesiems ir realiesiems skaičiams. Jis pateikiamas naudojant grįžtamuosius skaičius ir sako: neigiamą skaičių a padalinti iš neapibrėžto skaičiaus, padauginti iš skaičiaus b - 1 , b atvirkštinės vertės.
a ÷ b = a · b - 1 .
Ta pati taisyklė, kuri sumažina padalijimą iki daugybos, taip pat gali būti taikoma dalinant skaičius su skirtingais ženklais.
Lygybę a ÷ b = a b - 1 galima įrodyti naudojant realiųjų skaičių daugybos savybę ir grįžtamųjų skaičių apibrėžimą. Užrašykime lygybes:
a b - 1 b = a b - 1 b = a 1 = a .
Remiantis padalijimo operacijos apibrėžimu, ši lygybė įrodo, kad yra skaičiaus dalijimo iš skaičiaus b koeficientas.
Pereikime prie pavyzdžių.
Pradėkime nuo paprastų atvejų, pereikime prie sudėtingesnių.
1 pavyzdys. Kaip padalinti neigiamus skaičius
Padalinkite - 18 iš - 3.
Daliklio ir dividendų moduliai yra atitinkamai 3 ir 18. Parašykime:
18 ÷ - 3 = - 18 ÷ - 3 = 18 ÷ 3 = 6 .
2 pavyzdys. Kaip padalinti neigiamus skaičius
Padalinkite 5 iš 2.
Panašiai rašome pagal taisyklę:
5 ÷ - 2 = - 5 ÷ - 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Tas pats rezultatas bus gautas, jei naudosime antrąją taisyklės formuluotę su atvirkštiniu skaičiumi.
5 ÷ - 2 = - 5 - 1 2 = 5 1 2 = 5 2 = 2 1 2 .
Dalijant trupmeninius racionalius skaičius, patogiausia juos pavaizduoti paprastosiomis trupmenomis. Tačiau taip pat galite padalinti paskutinius dešimtainius skaičius.
3 pavyzdys. Kaip padalinti neigiamus skaičius
Padalinkite - 0,004 iš - 0,25 .
Pirmiausia užrašome šių skaičių modulius: 0 , 004 ir 0 , 25 .
Dabar galite pasirinkti vieną iš dviejų būdų:
- Dešimtaines trupmenas atskirkite stulpeliu.
- Eikite į paprastąsias trupmenas ir padalykite.
Pažvelkime į abu metodus.
1. Atlikdami dešimtainių trupmenų dalijimą stulpeliu, perkelkite kablelį dviem skaitmenimis į dešinę.
Atsakymas: - 0, 004 ÷ 0, 25 = 0, 016
2. Dabar pateikiame sprendimą su dešimtainių trupmenų vertimu į paprastas.
0, 004 = 4 1000; 0, 25 = 25 100 0, 004 ÷ 0, 25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 100 25 = 4 250 = 0, 016
Gauti rezultatai yra tokie patys.
Pabaigoje pažymime, kad jei dividendas ir daliklis yra neracionalūs skaičiai ir pateikiami šaknimis, laipsniais, logaritmais ir pan., padalijimo rezultatas rašomas kaip skaitinė išraiška, kurios apytikslė vertė apskaičiuojama, jei reikia. .
4 pavyzdys. Kaip padalinti neigiamus skaičius
Apskaičiuokite skaičių -0, 5 ir -5 koeficientą.
0 , 5 ÷ - 5 = - 0 , 5 ÷ - 5 = 0 , 5 ÷ 5 = 1 2 1 5 = 1 2 5 = 5 10 .
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter