Funkcijos diferencialas yra diferencialo savybė. Funkcinis diferencialas

Diferencialinis funkcija y \u003d ƒ (x) taške x vadinama pagrindine jos prieaugio dalimi, lygia funkcijos išvestinės ir argumento prieaugio sandaugai, ir žymima dу (arba dƒ (x)): dy \u003d ƒ "(x) ∆x.

Pagrindiniai skirtumai:

Funkcijos diferencialas turi panašių savybių kaip ir išvestinės.

Nuolatinis diferencialas lygus nuliui:
dc = 0, c = pastovus.
Diferencijuojamų funkcijų sumos diferencialas yra lygus terminų skirtumų sumai:

Pasekmė. Jei dvi diferencijuojamos funkcijos skiriasi pastoviu nariu, tai jų skirtumai yra

d(u+c) = du (c= const).

produktų skirtumas dviejų diferencijuojamų funkcijų sandauga yra lygi pirmosios funkcijos sandaugai iš antrosios ir antrosios funkcijos sandaugai iš pirmosios funkcijos skirtumo:

d(uv) = udv + vdu.

Pasekmė. Pastovų koeficientą galima paimti iš diferencialo ženklo

d(cu) = cdu (c = const).

koeficiento skirtumas u/v dviejų diferencijuojamų funkcijų u = u(x) ir v = v(x) apibrėžiamas formule

Diferencialo formos nepriklausomumo nuo nepriklausomo kintamojo pasirinkimo savybė (diferencialo formos nekintamumas): funkcijos diferencialas yra lygus išvestinės ir argumento diferencialo sandaugai, nepriklausomai nuo to, ar šis argumentas yra nepriklausomas kintamasis arba kito nepriklausomo kintamojo funkcija.

Aukštesnių laipsnių išvestinės ir diferencialinės priemonės.

Tegu kokios nors funkcijos išvestinė f skiriasi. Tada vadinama šios funkcijos išvestinės išvestinė antrasis darinys funkcijas f ir žymimas f". Taigi,

f"(x) = (f"(x))" .

Jei skiriasi ( n- 1)-oji funkcijos išvestinė f, tada ji n-tas vedinys vadinamas išvestiniu iš ( n- 1)-oji funkcijos išvestinė f ir žymimas f(n). Taigi,

f(n)(x) = (f(n-1)(x))" , n ϵ N, f(0)(x) = f(x).

Skaičius n paskambino išvestinė tvarka.

Diferencialinis n– įsakymas funkcijas f vadinamas skirtumu nuo diferencialo ( n- 1)-oji tos pačios funkcijos eilė. Taigi,

d n f(x) = d(d n -1 f(x)), d 0 f(x) = f(x), n ϵ N.

Jeigu x tada yra nepriklausomas kintamasis

dx= const ir d 2 x = d 3 x = ... = d n x = 0.

Šiuo atveju formulė galioja

d n f(x) = f (n) (x)(dx)n.

Dariniai n– eilė nuo pagrindinių elementariųjų funkcijų

Sąžiningos formulės

Išvestinių taikymas funkcijoms tirti.

Pagrindinės funkcijų diferenciacijos teoremos:

Rolio teorema

Tegul funkcija f: [a, b] → R yra ištisinis segmente [ a, b] ir šiame segmente turi baigtinę arba begalinę išvestinę. Tegul, be to, f(a) = f(b). Tada segmento viduje [ a, b] yra taškas ξ toks kad f"(ξ ) = 0.

Lagranžo teorema

Jei funkcija f: [a, b] → R yra ištisinis segmente [ a, b] ir turi baigtinę arba begalinę išvestinę šio atkarpos vidiniuose taškuose, tada tokią, kad f(b) - f(a) = f"(ξ )(b - a).

Koši teorema

Jei kiekviena iš funkcijų f Ir g nuolatinis [ a, b] ir turi baigtinę arba begalinę išvestinę ] a, b[ o jei, be to, išvestinė g"(x) ≠ 0 pagal ] a, b[, tada tokia, kad formulė

Jei to papildomai reikalaujama g(a) ≠ g(b), tada sąlyga g"(x) ≠ 0 gali būti pakeista ne tokia griežta:

1.d c = 0;

2.d( c u(x)) = c d u(x);

3.d( u(x) ± v(x)) = d u( x)±d v(x);

4.d( u(x) v(x)) = v(x) d u(x) + u(x)dv( x);

5. d( u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v 2 (x).

Nurodykime dar vieną savybę, kurią diferencialas turi, o išvestinė neturi. Apsvarstykite funkciją y = f(u), kur u = φ(x), tai yra, apsvarstykite kompleksinę funkciją y = f(φ(x)). Jei kiekviena iš funkcijų f ir φ yra diferencijuojamos, tai kompleksinės funkcijos išvestinė pagal teoremą yra lygi y" = f"(u) u". Tada funkcijos diferencialas

dy=f"(x)dx=f"(u)u"dx = f"(u)du,

kadangi u "dx = du. Tai yra

dy=f"(u)du.

(6)

Paskutinė lygybė reiškia, kad diferencialinė formulė nesikeičia, jei vietoj x funkcijos laikome kintamojo u funkciją. Ši diferencialo savybė vadinama pirmojo diferencialo formos nekintamumas.

komentuoti. Atkreipkite dėmesį, kad formulėje (5) dx = ∆ x, o formulėje (6) du yra tik tiesinė funkcijos prieaugio dalis u.

Apsvarstykite pirmojo diferencialo išraišką

dy=f"(x)dx.

Tegul funkcija dešinėje yra diferencijuojama funkcija duotame taške x. Tam pakanka, kad y = f(x) duotame taške x būtų diferencijuojamas du kartus, o argumentas būtų arba nepriklausomas kintamasis, arba du kartus diferencijuojama funkcija.

Antros eilės diferencialas

1 apibrėžimas (antros eilės diferencialas). Reikšmė δ(d y) pirmojo diferencialo (5) diferencialas δ x=d x, vadinamas antruoju funkcijos diferencialu y=f(x) ir žymimas d 2 y.

Taigi,

d 2 y=δ ( dy)| δ x = dx .

Diferencialas d n y gali būti įvestas indukciniu būdu.

7 apibrėžimas. Reikšmė δ(d n-1 y) skirtumas nuo ( n- 1) δ skirtumas x=d x, vadinamas n- m diferencialinė funkcija y=f(x) ir žymimas d n y.

Raskite d 2 išraišką y Panagrinėkime du atvejus, kai x- nepriklausomas kintamasis ir kada x = φ( t), tai yra kintamojo funkcija t.

1. leisti x = φ( t), Tada

d 2 = δ ( dy)| δ x = dx = δ( f"(x)dx)| δ x = dx =

= {δ( f"(x))dx+f"(x)δ( dx)} | δ x = dx =f""(x)(dx) 2 +f"(x)d 2 x.

d 2 y=f""(x)(dx) 2 +f"(x)d 2 x.

(7)

2. tada tegul x yra nepriklausomas kintamasis

d 2 y=f""(x)(dx) 2 ,

nes šiuo atveju δ(dx) = (dx)"δ x = 0.

Panašiai, naudojant indukciją, lengva gauti šią formulę, jei x yra nepriklausomas kintamasis:

d n y = f (n) (x)(dx)n.

Iš šios formulės išplaukia, kad f (n) = d n y/(dx) n .

Apibendrinant pažymime, kad antros ir aukštesnės eilės diferencialai neturi invariancijos savybės, o tai iš karto matyti iš antros eilės diferencialo formulės (7).

Vieno kintamojo funkcijos integralinis skaičiavimas

Neapibrėžtas integralas.

Funkcija vadinama antiderivatine funkcijos ir sąlygos atžvilgiu

Akivaizdu, kad kur C yra bet kuri konstanta.

Neapibrėžtas funkcijos integralas yra visų šios funkcijos antidarinių aibė. Neapibrėžtas integralas žymimas ir lygus

Abu jie, būdami neatsiejamai susiję, kelis šimtmečius buvo aktyviai naudojami sprendžiant beveik visas problemas, iškilusias žmogaus mokslinės ir techninės veiklos procese.

Diferencialo sampratos atsiradimas

Pirmą kartą jis paaiškino, kas yra diferencialas, vienas iš diferencialinio skaičiavimo įkūrėjų (kartu su Isaacu Newtonu), garsus vokiečių matematikas Gottfriedas Wilhelmas Leibnicas. Prieš tai matematikai 17 str. buvo panaudota labai miglota ir miglota idėja apie be galo mažą bet kurios žinomos funkcijos „nedalomą“ dalį, reiškiančią labai mažą pastovią reikšmę, bet nelygią nuliui, mažesnė už kurią funkcijos reikšmės tiesiog negali būti. Nuo čia tebuvo vienas žingsnis iki be galo mažų funkcijų argumentų ir atitinkamų pačių funkcijų prieaugių, išreikštų pastarųjų išvestinėmis, sąvokos įvedimo. Ir šį žingsnį beveik vienu metu žengė du jau minėti didieji mokslininkai.

Remdamiesi būtinybe išspręsti skubias praktines mechanikos problemas, kurias mokslui kėlė sparčiai besivystanti pramonė ir technologijos, Niutonas ir Leibnicas sukūrė bendrus metodus, kaip nustatyti funkcijų kitimo greitį (pirmiausia atsižvelgiant į kūno judėjimo mechaninį greitį). žinoma trajektorija), dėl kurios buvo įvestos tokios sąvokos, kaip funkcijos išvestinė ir diferencialas, taip pat rastas atvirkštinės problemos sprendimo algoritmas, kaip rasti atstumą, nuvažiuotą nuo žinomo (kintamo) greičio, kuris paskatino iki integralo sąvokos atsiradimo.

Leibnizo ir Newtono darbuose pirmą kartą pasirodė mintis, kad diferencialai yra pagrindinės funkcijų Δy prieaugio dalys, proporcingos argumentų Δx prieaugiams, kurias galima sėkmingai pritaikyti apskaičiuojant pastarasis. Kitaip tariant, jie atrado, kad funkcijos prieaugis gali būti išreikštas bet kuriame taške (jos apibrėžimo srityje) jos išvestinėje kaip 0, daug greičiau nei pati Δx.

Pasak matematinės analizės įkūrėjų, diferencialai yra tik pirmieji bet kokių funkcijų prieaugio išraiškų terminai. Dar neturėdami aiškiai suformuluotos sekų ribos sampratos, jie intuityviai suprato, kad diferencialo reikšmė linkusi į funkcijos išvestinę Δх→0 – Δу/Δх→ y"(x).

Skirtingai nuo Niutono, kuris pirmiausia buvo fizikas ir matematinį aparatą laikė pagalbine fizinių problemų tyrimo priemone, Leibnicas daugiau dėmesio skyrė pačiam priemonių rinkiniui, įskaitant vizualaus ir suprantamo matematinių dydžių žymėjimo sistemą. Būtent jis pasiūlė visuotinai priimtą funkcijos dy \u003d y "(x) dx" diferencialų žymėjimą, argumentą dx ir funkcijos išvestinę jų santykio y forma (x) \u003d dy / dx. .

Šiuolaikinis apibrėžimas

Kuo skiriasi šiuolaikinė matematika? Jis glaudžiai susijęs su kintamo prieaugio sąvoka. Jei kintamasis y pirmiausia įgyja reikšmę y = y 1, o paskui y = y 2 , tai skirtumas y 2 ─ y 1 vadinamas y prieaugiu.

Prieaugis gali būti teigiamas. neigiamas ir lygus nuliui. Žodis „prieaugis“ žymimas Δ, žymėjimas Δy (skaityti „delta y“) reiškia y padidėjimą. taigi Δу = y 2 ─ y 1 .

Jei savavališkos funkcijos y = f (x) reikšmę Δу galima pavaizduoti kaip Δу = A Δх + α, kur A nepriklauso nuo Δх, t. y. A = const tam tikram x, o terminas α linkęs į jį yra net greičiau nei pats Δx, tada pirmasis („pagrindinis“) narys, proporcingas Δx, yra y \u003d f (x) diferencialas, žymimas dy arba df (x) (skaitykite „de y“, „de ef iš x“ “). Todėl diferencialai yra „pagrindiniai“ tiesiniai funkcijų prieaugio komponentai Δx atžvilgiu.

Mechaninis aiškinimas

Tegu s = f(t) yra atstumas nuo pradinės padėties (t – kelionės laikas). Prieaugis Δs yra taško kelias laiko intervale Δt, o skirtumas ds = f "(t) Δt yra kelias, kurį taškas būtų nuėjęs per tą patį laiką Δt, jei būtų išlaikęs greitį f" (t ) pasiekė iki laiko t . Esant be galo mažam Δt, įsivaizduojamas kelias ds nuo tikrojo Δs skiriasi be galo maža reikšme, kuri yra aukštesnė Δt atžvilgiu. Jei greitis momentu t nėra lygus nuliui, tai ds pateikia apytikslę taško mažojo poslinkio reikšmę.

Geometrinė interpretacija

Tegul tiesė L yra grafikas y = f(x). Tada Δ x \u003d MQ, Δy \u003d QM "(žr. paveikslėlį žemiau). Liestinė MN padalija atkarpą Δy į dvi dalis, QN ir NM". Pirmasis yra proporcingas Δх ir lygus QN = MQ∙tg (kampas QMN) = Δх f "(x), t.y. QN yra diferencialas dy.

Antroji dalis NM"pateikia skirtumą Δу ─ dy, ties Δх→0 NM ilgis" mažėja net greičiau nei argumento prieaugis, ty jo mažumo tvarka yra didesnė nei Δх. Nagrinėjamu atveju, jei f "(x) ≠ 0 (liestinė nėra lygiagreti OX), atkarpos QM" ir QN yra lygiavertės; kitaip tariant, NM" mažėja greičiau (jo mažumo tvarka yra didesnė) nei bendras prieaugis Δу = QM". Tai matyti paveikslėlyje (kai M „artėja prie M, segmentas NM“ sudaro vis mažesnę segmento QM procentinę dalį).

Taigi, grafiškai, savavališkos funkcijos skirtumas yra lygus jos liestinės ordinatės prieaugio dydžiui.

Išvestinė ir diferencinė

Koeficientas A pirmajame funkcijos padidėjimo išraiškos naryje yra lygus jo išvestinės f "(x) reikšmei. Taigi vyksta toks ryšys - dy \u003d f" (x) Δx, arba df (x) \u003d f "(x) Δx.

Yra žinoma, kad nepriklausomo argumento prieaugis yra lygus jo diferencialui Δх = dx. Atitinkamai galite parašyti: f "(x) dx \u003d dy.

Skirtumų radimas (kartais vadinamas „sprendimu“) atliekamas pagal tas pačias taisykles, kaip ir išvestiniams. Jų sąrašas pateikiamas žemiau.

Kas yra universaliau: argumento padidėjimas ar jo skirtumas

Čia būtina pateikti kai kuriuos paaiškinimus. Diferencialo atvaizdavimas reikšme f "(x) Δx galimas, kai x yra argumentas. Tačiau funkcija gali būti sudėtinga, kurioje x gali būti kokio nors argumento t funkcija. Tada diferencialo atvaizdavimas išraiška f "(x) Δx, kaip taisyklė, neįmanomas; išskyrus tiesinės priklausomybės atvejį x = ties + b.

Kalbant apie formulę f "(x) dx \u003d dy, tada nepriklausomo argumento x atveju (tada dx \u003d Δx) ir esant parametrinei x priklausomybei nuo t, tai reiškia skirtumą.

Pavyzdžiui, išraiška 2 x Δx reiškia y = x 2 diferencialą, kai x yra argumentas. Dabar nustatykime x= t 2 ir paimkime t kaip argumentą. Tada y = x 2 = t 4 .

Ši išraiška nėra proporcinga Δt, todėl dabar 2xΔх nėra diferencialas. Jį galima rasti iš lygties y = x 2 = t 4 . Pasirodo lygi dy=4t 3 Δt.

Jei imsime reiškinį 2xdx, tai reiškia bet kurio argumento t diferencialą y = x 2. Iš tiesų, esant x= t 2, gauname dx = 2tΔt.

Tai reiškia, kad 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, t.y., diferencialų, užrašytų dviem skirtingais kintamaisiais, išraiškos sutapo.

Prieaugių pakeitimas diferencialais

Jei f "(x) ≠ 0, tada Δу ir dy yra lygiaverčiai (kai Δх→0); jei f "(x) = 0 (tai reiškia, kad dy = 0), jie nėra lygiaverčiai.

Pavyzdžiui, jei y \u003d x 2, tada Δy \u003d (x + Δx) 2 ─ x 2 \u003d 2xΔx + Δx 2 ir dy \u003d 2xΔx. Jei x=3, tai turime Δу = 6Δх + Δх 2 ir dy = 6Δх, kurie yra lygiaverčiai dėl Δх 2 →0, esant x=0 reikšmės Δу = Δх 2 ir dy=0 nėra lygiavertės.

Šis faktas kartu su paprasta diferencialo struktūra (ty tiesiškumas Δx atžvilgiu) dažnai naudojamas apytiksliuose skaičiavimuose, darant prielaidą, kad Δy ≈ dy esant mažam Δx. Funkcijos diferencialą rasti paprastai yra lengviau nei apskaičiuoti tikslią prieaugio reikšmę.

Pavyzdžiui, turime metalinį kubą, kurio briauna x = 10,00 cm Kaitinant briauna pailgėja Δx = 0,001 cm Kiek padidėjo kubo tūris V? Turime V \u003d x 2, kad dV \u003d 3x 2 Δx \u003d 3 10 2 0 / 01 \u003d 3 (cm 3). Tūrio padidėjimas ΔV yra lygus diferencialui dV, todėl ΔV = 3 cm 3 . Išsamus skaičiavimas gautų ΔV = 10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Tačiau šiame rezultate visi skaičiai, išskyrus pirmąjį, yra nepatikimi; taigi bet kokiu atveju reikia suapvalinti iki 3 cm 3.

Akivaizdu, kad toks metodas yra naudingas tik tuo atveju, jei įmanoma įvertinti įvestos klaidos dydį.

Funkcijų diferencialas: pavyzdžiai

Pabandykime surasti funkcijos y = x 3 diferencialą, nerasdami išvestinės. Padidinkime argumentą ir apibrėžkime Δу.

Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3).

Čia koeficientas A= 3x 2 nepriklauso nuo Δх, todėl pirmasis narys yra proporcingas Δх, o kitas narys 3xΔх 2 + Δх 3 ties Δх→0 mažėja greičiau nei argumento prieaugis. Todėl terminas 3x 2 Δx yra diferencialas y = x 3:

dy \u003d 3x 2 Δx \u003d 3x 2 dx arba d (x 3) = 3x 2 dx.

Šiuo atveju d(x 3) / dx \u003d 3x 2.

Dabar suraskime funkcijos y = 1/x dy pagal jos išvestinę. Tada d(1/x) / dx = ─1/x 2 . Todėl dy = ─ Δх/х 2 .

Žemiau pateikiami pagrindinių algebrinių funkcijų skirtumai.

Apytiksliai skaičiavimai naudojant diferencialą

Dažnai nesunku apskaičiuoti funkciją f (x), taip pat jos išvestinę f "(x), kai x=a, tačiau tai nėra lengva padaryti šalia taško x=a. Tada apytikslė išraiška ateina į pagalbą

f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).

Tai suteikia apytikslę funkcijos vertę mažais žingsniais Δх per diferencialą f "(a) Δх.

Todėl ši formulė pateikia apytikslę funkcijos išraišką Δx ilgio atkarpos pabaigos taške kaip jos vertės šios atkarpos pradžios taške (x=a) ir diferencialo tame pačiame pradžios taške sumą. Šio funkcijos reikšmės nustatymo metodo klaida pavaizduota paveikslėlyje žemiau.

Tačiau taip pat žinoma tiksli funkcijos reikšmės x=a+Δх išraiška, pateikta baigtinių žingsnių formule (arba, kitaip tariant, Lagranžo formule)

f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),

kur taškas x = a + ξ yra atkarpoje nuo x = a iki x = a + Δx, nors tiksli jo padėtis nežinoma. Tiksli formulė leidžia įvertinti apytikslės formulės paklaidą. Jei į Lagranžo formulę įdėsime ξ = Δх /2, tada, nors ji nustoja būti tiksli, ji paprastai suteikia daug geresnę aproksimaciją nei pradinė išraiška per diferencialą.

Formulių klaidos įvertinimas taikant diferencialą

Iš esmės jie yra netikslūs ir įtraukia atitinkamas matavimo duomenų klaidas. Jiems būdinga ribinė arba, trumpai tariant, ribinė paklaida – teigiamas skaičius, akivaizdžiai viršijantis šią paklaidą absoliučia reikšme (arba bent jau jai lygus). Riba vadinama jos padalijimo iš išmatuotos vertės absoliučios vertės koeficientu.

Apskaičiuojant funkciją y, naudokite tikslią formulę y= f (x), tačiau x reikšmė yra matavimo rezultatas ir todėl į y įveda klaidą. Tada, norėdami rasti funkcijos y ribinę absoliučią paklaidą │‌‌Δу│, naudokite formulę

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

kur │Δх│ yra argumento ribinė paklaida. Reikšmė │‌‌Δу│ turėtų būti suapvalinta, nes netikslus yra pats prieaugio skaičiavimo pakeitimas skirtumo apskaičiavimu.

Jei funkcija taške skiriasi , tada jo prieaugis gali būti pavaizduotas kaip dviejų narių suma

. Šie terminai yra be galo mažos funkcijos
.Pirmasis narys yra tiesinis atžvilgiu
, antroji yra be galo maža aukštesnė tvarka nei
.Tikrai,

Taigi, antroji kadencija val
linkęs į nulį greičiau ir kai suranda funkcijos prieaugį
pirmas terminas vaidina pagrindinį vaidmenį
arba (nes
)
.

Apibrėžimas . Pagrindinė funkcijos padidėjimo dalis
taške , tiesinis atžvilgiu
,vadinamas diferencialu funkcijas šioje vietoje ir žymimasdyarbadf(x)

. (2)

Taigi galime daryti išvadą: nepriklausomo kintamojo diferencialas sutampa su jo prieaugiu, tai yra
.

Santykis (2) dabar įgauna formą

(3)

komentuoti . Formulė (3) trumpumui dažnai rašoma formoje

(4)

Geometrinė diferencialo reikšmė

Apsvarstykite diferencijuojamos funkcijos grafiką
. taškų
ir priklauso funkcijos grafikui. Taške M liestinė KAMį funkcijos, kurios kampas su teigiama ašies kryptimi, grafiką
žymėti
. Pieškime tiesiai MN lygiagrečiai ašiai Jautis Ir
lygiagrečiai ašiai Oy. Funkcijos prieaugis yra lygus atkarpos ilgiui
. Iš stačiojo trikampio
, kuriame
, mes gauname

Aukščiau pateiktas argumentas leidžia daryti išvadas:

Funkcinis diferencialas
taške yra pavaizduotas šios funkcijos grafiko liestinės ordinatės prieaugiu atitinkamame jos taške
.

Ryšys tarp diferencialo ir išvestinės

Apsvarstykite formulę (4)

Abi šios lygybės puses padalijame iš dx, Tada

Taigi, funkcijos išvestinė lygi jos diferencialo ir nepriklausomo kintamojo diferencialo santykiui.

Dažnai toks požiūris traktuojamas tiesiog kaip simbolis, reiškiantis funkcijos išvestinę adresu argumentu X.

Patogus išvestinės žymėjimas taip pat yra:

,
ir taip toliau.

Taip pat naudojami įrašai

,
,

ypač patogu, kai imama kompleksinės išraiškos išvestinė.

2. Sumos, sandaugos ir dalinio skirtumas.

Kadangi diferencialas gaunamas iš išvestinės, padauginus jį iš nepriklausomo kintamojo diferencialo, tai žinant pagrindinių elementariųjų funkcijų išvestines, taip pat išvestinių radimo taisykles, galima prieiti prie panašių diferencialų radimo taisyklių.

1 0 . Konstantos skirtumas lygus nuliui

2 0 . Baigtinio skaičiaus diferencijuojamų funkcijų algebrinės sumos diferencialas yra lygus šių funkcijų diferencialų algebrinei sumai

3 0 . Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos diferencialas yra lygus pirmosios funkcijos sandaugų ir antrosios bei antrosios funkcijos skirtumo sandaugų ir pirmosios diferencialų sumai

Pasekmė. Pastovų koeficientą galima paimti iš diferencialo ženklo

Pavyzdys. Raskite funkcijos skirtumą.

Sprendimas Šią funkciją įrašome formoje

tada gauname

4. Funkcijos, pateiktos parametriškai, jų diferenciacija.

Apibrėžimas . Funkcija
vadinamas parametriškai duotu, jei abu kintamieji X Ir adresu kiekviena atskirai apibrėžiama kaip to paties pagalbinio kintamojo – parametro – vienareikšmės funkcijost:

Kurtskiriasi viduje
.

komentuoti . Parametrinis funkcijų priskyrimas plačiai naudojamas teorinėje mechanikoje, kur parametras t žymi laiką ir lygtis
yra judančio taško projekcijų kitimo dėsniai
ant ašies
Ir
.