Funkcija yra modelis. Apibrėžkime X kaip nepriklausomo kintamojo reikšmių rinkinį // nepriklausomas reiškia bet kurį.
Funkcija yra taisyklė, pagal kurią kiekvienai nepriklausomo kintamojo reikšmei iš aibės X galima rasti vienintelę priklausomo kintamojo reikšmę. // t.y. kiekvienam x yra vienas y.
Iš apibrėžimo matyti, kad yra dvi sąvokos - nepriklausomas kintamasis (kurį žymime x ir jis gali turėti bet kokią reikšmę) ir priklausomas kintamasis (kurį žymime y arba f (x) ir jis apskaičiuojamas iš funkcijos, kai pakeičiame x).
PAvyzdžiui, y=5+x
1. Nepriklausomas yra x, todėl imame bet kokią reikšmę, tegul x = 3
2. o dabar apskaičiuojame y, taigi y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y priklauso nuo x, nes kokį x pakeičiame, gauname tokį y)
Sakome, kad kintamasis y funkciškai priklauso nuo kintamojo x ir tai žymima taip: y = f (x).
PAVYZDŽIUI.
1.y=1/x. (vadinama hiperbole)
2. y=x^2. (vadinama parabole)
3.y=3x+7. (vadinama tiesia linija)
4. y \u003d √ x. (vadinama parabolės šaka)
Nepriklausomas kintamasis (kurį žymime x) vadinamas funkcijos argumentu.
Funkcijos apimtis
Visų reikšmių rinkinys, kurį naudoja funkcijos argumentas, vadinamas funkcijos domenu ir žymimas D (f) arba D (y).
Apsvarstykite D(y) 1.,2.,3.,4.
1. D (y)= (∞; 0) ir (0;+∞) //visa realiųjų skaičių aibė, išskyrus nulį.
2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / visi daugelis realiųjų skaičių
3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / visi daugelis realiųjų skaičių
4. D (y) \u003d. Belieka rasti reikšmių x rinkinių sankirtą, kad x∈D(f 2) ir f 2 (x)∈D(f 1) : 
Esant arcsinx>0, prisiminkime arcsininės funkcijos savybes. Arsinusas didėja visoje apibrėžimo srityje [−1, 1] ir išnyksta ties x=0 , todėl arcsinx>0 bet kuriam x iš intervalo (0, 1] ).
Grįžkime prie sistemos: 
Taigi norima funkcijos apibrėžimo sritis yra pusės intervalas (0, 1] ).
Atsakymas:
(0, 1] .
Dabar pereikime prie sudėtingų bendrųjų funkcijų y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Funkcijos f sritis šiuo atveju randama kaip 
.
Pavyzdys.
Raskite funkcijos apimtį 
.
Sprendimas.
Pateiktą kompleksinę funkciją galima parašyti kaip y \u003d f 1 (f 2 (f 3 (x))), kur f 1 - sin, f 2 - ketvirtojo laipsnio šaknies funkcija, f 3 - lg.
Žinome, kad D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)= ∪ ∪
Žodiniu būdu nustatydami funkciją turite atidžiai perskaityti sąlygą ir rasti x apribojimus. Kartais akys ieško formulių, o žodžiai švilpia pro sąmonę, taip...) Pavyzdys iš ankstesnės pamokos:
Funkcija pateikiama sąlyga: kiekviena natūralaus argumento x reikšmė yra susieta su skaitmenų, sudarančių x reikšmę, suma.
Čia reikia pažymėti, kad taip yra tik apie gamtines x vertes. Tada ir D(f) iš karto įrašyta:
D(f): x ∈ N
Kaip matote, funkcijos apimtis nėra tokia sudėtinga sąvoka. Šios srities radimas sumažinamas iki funkcijos išnagrinėjimo, nelygybių sistemos parašymo ir šios sistemos sprendimo. Žinoma, yra visokių sistemų, paprastų ir sudėtingų. Bet...
Išduosiu tau mažą paslaptį. Kartais funkcija, kuriai reikia rasti taikymo sritį, atrodo tiesiog bauginanti. Noriu išbalti ir verkti.) Bet verta užrašyti nelygybių sistemą... Ir staiga sistema pasirodo elementari! Ir dažnai kuo prastesnė funkcija, tuo paprastesnė sistema...
Moralas: akys bijo, galva sprendžia!)
Instrukcija
Prisiminkite, kad funkcija yra tokia kintamojo Y priklausomybė nuo kintamojo X, kurioje kiekviena kintamojo X reikšmė atitinka vieną kintamojo Y reikšmę.
Kintamasis X yra nepriklausomas kintamasis arba argumentas. Kintamasis Y yra priklausomas kintamasis. Taip pat daroma prielaida, kad kintamasis Y yra kintamojo X funkcija. Funkcijos reikšmės yra lygios priklausomo kintamojo reikšmėms.
Aiškumo dėlei parašykite posakius. Jei kintamojo Y priklausomybė nuo kintamojo X yra funkcija, tai ji rašoma taip: y=f(x). (Skaityti: y lygus f iš x.) Simbolis f(x) žymi funkcijos reikšmę, atitinkančią argumento reikšmę, lygią x.
Funkcijų tyrimas paritetas arba nelyginis- vienas iš bendro funkcijos tyrimo algoritmo žingsnių, kuris reikalingas funkcijos grafikui nubraižyti ir jos savybėms tirti. Šiame žingsnyje turite nustatyti, ar funkcija yra lyginė, ar nelyginė. Jei negalima sakyti, kad funkcija yra lyginė ar nelyginė, tada sakoma, kad ji yra bendroji funkcija.
Instrukcija
Pakeiskite argumentą x argumentu (-x) ir pažiūrėkite, kas atsitiks pabaigoje. Palyginkite su pradine funkcija y(x). Jei y(-x)=y(x), turime lyginę funkciją. Jei y(-x)=-y(x), turime nelyginę funkciją. Jei y(-x) nelygus y(x) ir nelygus -y(x), turime bendrąją funkciją.
Visas operacijas su funkcija galima atlikti tik rinkinyje, kuriame ji apibrėžta. Todėl, tiriant funkciją ir kuriant jos grafiką, pirmasis vaidmuo tenka apibrėžimo srities paieškai.
Instrukcija
Jei funkcija y=g(x)/f(x), išspręskite f(x)≠0, nes trupmenos vardiklis negali būti lygus nuliui. Pavyzdžiui, y=(x+2)/(x−4), x−4≠0. Tai yra, apibrėžimo sritis bus aibė (-∞; 4)∪(4; +∞).
Kai funkcijos apibrėžime yra lygi šaknis, išspręskite nelygybę, kurios reikšmė yra didesnė arba lygi nuliui. Lyginę šaknį galima paimti tik iš neneigiamo skaičiaus. Pavyzdžiui, y=√(x−2), x−2≥0. Tada domenas yra aibė , tai yra, jei y=arcsin(f(x)) arba y=arccos(f(x)), reikia išspręsti dvigubą nelygybę -1≤f(x)≤1. Pavyzdžiui, y=arccos(x+2), -1≤x+2≤1. Apibrėžimo sritis bus segmentas [-3; -1].
Galiausiai, jei pateikiamas skirtingų funkcijų derinys, tada apibrėžimo sritis yra visų šių funkcijų apibrėžimo sričių sankirta. Pavyzdžiui, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+lg(x−6). Pirmiausia suraskite visų terminų domeną. Sin(2*x) apibrėžiama visoje skaičių eilutėje. Funkcijai x/√(x+2) išspręskite nelygybę x+2>0 ir domenas bus (-2; +∞). Funkcijos arcsin(x−6) sritis pateikiama dviguba nelygybe -1≤x-6≤1, tai yra gaunama atkarpa. Logaritmui galioja nelygybė x−6>0, ir tai yra intervalas (6; +∞). Taigi funkcijos sritis bus aibė (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), t.y. (6; 7]).
Susiję vaizdo įrašai
Šaltiniai:
- funkcijos sritis su logaritmu
Funkcija yra sąvoka, atspindinti ryšį tarp aibių elementų, arba, kitaip tariant, tai „dėsnis“, pagal kurį kiekvienas vienos aibės elementas (vadinamas apibrėžimo sritimi) yra susietas su kokiu nors kitos aibės elementu (vadinamasis). vertybių sritis).
Daugelis užduočių verčia mus ieškoti funkcijų reikšmių tam tikrame segmente arba visoje apibrėžimo srityje. Tokios užduotys apima įvairius posakių vertinimus, nelygybių sprendimą.
Šiame straipsnyje apibrėžsime funkcijos diapazoną, apsvarstysime jos radimo būdus ir išsamiai išanalizuosime pavyzdžių sprendimą nuo paprastų iki sudėtingesnių. Visa medžiaga aiškumo dėlei bus pateikta su grafinėmis iliustracijomis. Taigi šis straipsnis yra išsamus atsakymas į klausimą, kaip rasti funkcijos diapazoną.
Apibrėžimas.
Funkcijos y = f(x) reikšmių rinkinys intervale X vadinamas visų funkcijos reikšmių rinkiniu, kurio reikia, kai kartojama per visus .
Apibrėžimas.
Funkcijos y = f(x) diapazonas vadinamas visų funkcijos reikšmių rinkiniu, kurio ji užima, kai kartojama per visą x iš apibrėžimo srities.
Funkcijos diapazonas žymimas E(f) .
Funkcijos diapazonas ir funkcijos reikšmių rinkinys nėra tas pats dalykas. Šios sąvokos bus laikomos lygiavertėmis, jei intervalas X ieškant funkcijos y = f(x) reikšmių aibės sutampa su funkcijos sritimi.
Be to, nepainiokite funkcijos diapazono su kintamuoju x, skirtu reiškiniui dešinėje lygties y=f(x) pusėje. Leidžiamų kintamojo x reikšmių sritis f(x) išraiškai yra funkcijos y=f(x) apibrėžimo sritis.
Paveiksle parodyti keli pavyzdžiai.
Funkcijų grafikai rodomi paryškintomis mėlynomis linijomis, plonos raudonos linijos yra asimptotės, raudoni taškai ir linijos Oy ašyje rodo atitinkamos funkcijos diapazoną.
Kaip matote, funkcijos diapazonas gaunamas projektuojant funkcijos grafiką į y ašį. Tai gali būti vienas skaičius (pirmasis atvejis), skaičių rinkinys (antrasis atvejis), segmentas (trečiasis atvejis), intervalas (ketvirtasis atvejis), atviras spindulys (penktasis atvejis), sąjunga (šeštasis atvejis) ir kt. .
Taigi, ką reikia padaryti norint rasti funkcijos diapazoną.
Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo: parodysime, kaip nustatyti nuolatinės funkcijos y = f(x) reikšmių rinkinį intervale .
Yra žinoma, kad funkcija, kuri tęsiasi segmente, pasiekia didžiausią ir mažiausią reikšmes. Taigi segmento pradinės funkcijos reikšmių rinkinys bus segmentas 
. Todėl mūsų užduotis sumažinama iki didžiausių ir mažiausių intervalo funkcijos reikšmių radimo.
Pavyzdžiui, suraskime arcsininės funkcijos diapazoną.
Pavyzdys.
Nurodykite funkcijos y = arcsinx diapazoną.
Sprendimas.
Arsinuso apibrėžimo sritis yra atkarpa [-1; 1] . Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę šiame segmente. 
Išvestinė yra teigiama visiems x iš intervalo (-1; 1) , tai yra, arcsininė funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje. Todėl ji turi mažiausią reikšmę, kai x = -1, ir didžiausią, kai x = 1. 
Gavome arcsininės funkcijos diapazoną 
.
Pavyzdys.
Raskite funkcijų reikšmių rinkinį 
segmente.
Sprendimas.
Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę duotame segmente.
Apibrėžkime segmentui priklausančius ekstremumo taškus: 
Apskaičiuojame pradinės funkcijos reikšmes atkarpos galuose ir taškuose 
:
Todėl segmento funkcijos reikšmių rinkinys yra segmentas 
.
Dabar parodysime, kaip rasti nuolatinės funkcijos y = f(x) reikšmių rinkinį intervaluose (a; b) , .
Pirmiausia nustatome ekstremumo taškus, funkcijos ekstremumus, funkcijos padidėjimo ir mažėjimo intervalus tam tikrame intervale. Toliau apskaičiuojame intervalo galuose ir (arba) ribas begalybėje (tai yra, tiriame funkcijos elgseną intervalo arba begalybės ribose). Šios informacijos pakanka, kad būtų galima rasti funkcijų reikšmių rinkinį tokiais intervalais.
Pavyzdys.
Nustatykite funkcijų reikšmių rinkinį intervale (-2; 2) .
Sprendimas.
Raskime funkcijos kraštutinius taškus, patenkančius į intervalą (-2; 2) : 
Taškas x = 0 yra maksimalus taškas, nes eidama per jį išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, o funkcijos grafikas pereina iš didėjančio į mažėjantį. 
yra atitinkamas funkcijos maksimumas.
Išsiaiškinkime funkcijos elgseną, kai x dešinėje linkęs į -2, o kai x linkęs į 2 kairėje, tai yra, rasime vienpuses ribas: 
Ką mes gavome: kai argumentas pasikeičia iš -2 į nulį, funkcijos reikšmės padidėja nuo minus begalybės iki minus ketvirtadalio (funkcijos maksimumas esant x = 0), kai argumentas pasikeičia iš nulio į 2, funkcija vertės sumažėja iki minus begalybės. Taigi intervalo (-2; 2) funkcijų reikšmių rinkinys yra .
Pavyzdys.
Nurodykite tangentinės funkcijos y = tgx verčių rinkinį intervale .
Sprendimas.
Tangentinės funkcijos išvestinė intervale yra teigiama 
, o tai rodo funkcijos padidėjimą. Mes tiriame funkcijos elgesį intervalo ribose: 
Taigi, kai argumentas pasikeičia iš į, funkcijos reikšmės padidėja nuo minus begalybės iki plius begalybės, tai yra, liestinių verčių rinkinys šiame intervale yra visų realiųjų skaičių rinkinys.
Pavyzdys.
Raskite natūraliojo logaritmo funkcijos diapazoną y = lnx .
Sprendimas.
Natūralaus logaritmo funkcija yra apibrėžta teigiamoms argumento reikšmėms 
. Šiame intervale išvestinė yra teigiama 
, tai rodo jo funkcijos padidėjimą. Raskime vienpusę funkcijos ribą, nes argumentas linkęs į nulį iš dešinės, o riba kaip x linkusi į plius begalybę: 
Matome, kad kai x keičiasi iš nulio į pliuso begalybę, funkcijos reikšmės padidėja nuo minus begalybės iki plius begalybės. Todėl natūraliojo logaritmo funkcijos diapazonas yra visa realiųjų skaičių rinkinys.
Pavyzdys.
Sprendimas.
Ši funkcija apibrėžta visoms tikrosioms x reikšmėms. Nustatykime ekstremumo taškus, taip pat funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus. 
Todėl funkcija mažėja ties , didėja ties , x = 0 yra didžiausias taškas, 
atitinkamą funkcijos maksimumą.
Pažvelkime į funkcijos elgseną begalybėje: 
Taigi begalybėje funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie nulio.
Išsiaiškinome, kad argumentui pasikeitus iš minus begalybės į nulį (maksimalus taškas), funkcijos reikšmės padidėja nuo nulio iki devynių (iki funkcijos maksimumo), o kai x keičiasi iš nulio į pliuso begalybę, funkcijos reikšmės sumažėja nuo devynių iki nulio.
Pažiūrėkite į scheminį brėžinį.
Dabar aiškiai matyti, kad funkcijos diapazonas yra .
Norint rasti funkcijos y = f(x) reikšmių rinkinį intervalais, reikia panašių tyrimų. Dabar mes nenagrinėsime šių atvejų išsamiai. Mes juos pamatysime toliau pateiktuose pavyzdžiuose.
Tegul funkcijos y = f(x) sritis yra kelių intervalų sąjunga. Surandant tokios funkcijos diapazoną, nustatomos kiekvieno intervalo reikšmių rinkiniai ir imamasi jų sąjungos.
Pavyzdys.
Raskite funkcijos diapazoną.
Sprendimas.
Mūsų funkcijos vardiklis neturi eiti į nulį, tai yra, .
Pirmiausia suraskime funkcijos reikšmių rinkinį atvirame spindulyje.
Funkcijos išvestinė 
yra neigiamas šiame intervale, tai yra, funkcija jame sumažėja. 
Mes nustatėme, kad argumentui atėmus begalybę, funkcijos reikšmės asimptotiškai artėja prie vienybės. Kai x keičiasi iš minus begalybės į du, funkcijos reikšmės sumažėja nuo vienos iki minus begalybės, tai yra, nagrinėjamame intervale funkcija įgauna reikšmių rinkinį. Vienybės neįtraukiame, nes funkcijos reikšmės jos nepasiekia, o tik asimptotiškai linksta prie minus begalybės.
Panašiai elgiamės su atvira sija.
Funkcija taip pat sumažėja šiuo intervalu. 
Funkcijų reikšmių rinkinys šiame intervale yra rinkinys .
Taigi, norimas funkcijų reikšmių diapazonas yra rinkinių ir sąjunga.
Grafinė iliustracija.
Atskirai turėtume pasilikti ties periodinėmis funkcijomis. Periodinių funkcijų diapazonas sutampa su verčių rinkiniu intervale, atitinkančiame šios funkcijos laikotarpį.
Pavyzdys.
Raskite sinusinės funkcijos y = sinx diapazoną.
Sprendimas.
Ši funkcija yra periodinė su dviejų pi periodu. Paimkime segmentą ir apibrėžkime jame esančių reikšmių rinkinį. 
Segmentą sudaro du ekstremumo taškai ir .
Šiuose taškuose ir atkarpos ribose apskaičiuojame funkcijos reikšmes, pasirenkame mažiausią ir didžiausią reikšmes: 
Vadinasi, 
.
Pavyzdys.
Raskite funkcijos diapazoną 
.
Sprendimas.
Mes žinome, kad arckosino diapazonas yra segmentas nuo nulio iki pi, tai yra, 
arba kitame įraše. Funkcija 
galima gauti iš arccosx perkeliant ir ištempiant išilgai x ašies. Tokios transformacijos neturi įtakos diapazonui, todėl 
. Funkcija 
ateina iš ištempti tris kartus išilgai Oy ašies, tai yra, 
. Ir paskutinis transformacijų etapas yra poslinkis keturiais vienetais žemyn išilgai y ašies. Tai veda prie dvigubos nelygybės 
Taigi norimas verčių diapazonas yra 
.
Pateikiame kito pavyzdžio sprendimą, bet be paaiškinimų (jie nebūtini, nes yra visiškai panašūs).
Pavyzdys.
Apibrėžkite funkcijų diapazoną 
.
Sprendimas.
Formoje įrašome pradinę funkciją 
. Eksponentinės funkcijos diapazonas yra intervalas . Tai yra, . Tada 
Vadinasi, 
.
Norėdami užbaigti vaizdą, turėtume pakalbėti apie funkcijos diapazono, kuris nėra tęstinis apibrėžimo srityje, radimą. Šiuo atveju apibrėžimo sritis yra padalinta lūžio taškais į intervalus ir kiekviename iš jų randame reikšmių rinkinius. Sujungę gautus reikšmių rinkinius, gauname pradinės funkcijos reikšmių diapazoną. Rekomenduojame prisiminti