NAUDOJIMO LOGARITMINIAI NELYGYDŽIAI
Sečinas Michailas Aleksandrovičius
Mažoji mokslų akademija Kazachstano Respublikos studentams „ieškotojas“
MBOU "Tarybinė vidurinė mokykla Nr. 1", 11 klasė, miestas. Sovietinis sovietinis rajonas
Gunko Liudmila Dmitrievna, MBOU „Tarybinės 1-osios vidurinės mokyklos“ mokytoja
Sovietskio rajonas
Darbo tikslas: C3 logaritminių nelygybių sprendimo mechanizmo tyrimas naudojant nestandartinius metodus, atskleidžiant įdomių faktų apie logaritmą.
Studijų dalykas:
3) Išmokti spręsti specifines logaritmines C3 nelygybes nestandartiniais metodais.
Rezultatai:
Turinys
Įvadas……………………………………………………………………………….4
1 skyrius. Pagrindiniai faktai…………………………………………………………5
2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkinys …………………………… 7
2.1. Lygiaverčiai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas…………… 7
2.2. Racionalizavimo metodas …………………………………………………… 15
2.3. Nestandartinis pakeitimas………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.4. Užduotys su spąstais……………………………………………………… 27
Išvada……………………………………………………………………… 30
Literatūra……………………………………………………………………. 31
Įvadas
Esu 11 klasėje ir planuoju stoti į universitetą, kur matematika yra pagrindinis dalykas. Štai kodėl aš daug dirbu su C dalies užduotimis. C3 užduotyje reikia išspręsti nestandartinę nelygybę arba nelygybių sistemą, dažniausiai susijusią su logaritmais. Ruošdamasis egzaminui susidūriau su C3 siūlomų egzamino logaritminių nelygybių sprendimo metodų ir technikų trūkumo problema. Metodai, kurie nagrinėjami mokyklos programoje šia tema, nesuteikia pagrindo spręsti užduotis C3. Matematikos mokytoja pasiūlė man pačiam atlikti C3 užduotis, jai vadovaujant. Be to, mane domino klausimas: ar mūsų gyvenime yra logaritmų?
Atsižvelgiant į tai, buvo pasirinkta tema:
„Logaritminės nelygybės egzamine“
Darbo tikslas: C3 uždavinių sprendimo mechanizmo tyrimas naudojant nestandartinius metodus, atskleidžiant įdomius logaritmo faktus.
Studijų dalykas:
1) Raskite reikiamą informaciją apie nestandartinius logaritminių nelygybių sprendimo būdus.
2) Raskite papildomos informacijos apie logaritmus.
3) Išmokti spręsti konkrečias C3 problemas nestandartiniais metodais.
Rezultatai:
Praktinė reikšmė yra C3 uždavinių sprendimo aparato išplėtimas. Ši medžiaga gali būti naudojama kai kuriose pamokose, vesti būrelius, pasirenkamuosius matematikos užsiėmimus.
Projekto produktas bus kolekcija „Logaritminės C3 nelygybės su sprendimais“.
1 skyrius. Fonas
XVI amžiuje apytikslių skaičiavimų skaičius sparčiai didėjo, visų pirma astronomijoje. Instrumentų tobulinimas, planetų judėjimo tyrimas ir kiti darbai pareikalavo kolosalinių, kartais daugelio metų, skaičiavimų. Astronomijai iškilo realus pavojus paskęsti neįgyvendintuose skaičiavimuose. Sunkumų kilo ir kitose srityse, pavyzdžiui, draudimo versle prireikė sudėtinių palūkanų lentelės įvairioms procentinėms reikšmėms. Pagrindinis sunkumas buvo daugyba, daugiaženklių skaičių, ypač trigonometrinių dydžių, dalyba.
Logaritmų atradimas buvo pagrįstas gerai žinomomis progresijų savybėmis iki XVI amžiaus pabaigos. Archimedas psalmite kalbėjo apie ryšį tarp geometrinės progresijos q, q2, q3, ... narių ir jų rodiklių 1, 2, 3, ... aritmetinės progresijos. Kita būtina sąlyga buvo laipsnio sąvokos išplėtimas į neigiamus ir trupmeninius rodiklius. Daugelis autorių atkreipė dėmesį į tai, kad daugyba, dalyba, kėlimas į laipsnį ir šaknies išskyrimas eksponentiškai atitinka aritmetiką – ta pačia tvarka – sudėtį, atimtį, daugybą ir dalybą.
Čia kilo logaritmo kaip eksponento idėja.
Logaritmų doktrinos raidos istorijoje praėjo keli etapai.
1 etapas
Logaritmus ne vėliau kaip 1594 m. savarankiškai išrado škotų baronas Napier (1550–1617), o po dešimties metų – šveicarų mechanikas Burgi (1552–1632). Abu norėjo pateikti naują patogią aritmetinio skaičiavimo priemonę, nors šią problemą sprendė skirtingai. Napier kinematikai išreiškė logaritminę funkciją ir taip pateko į naują funkcijų teorijos sritį. Bürgi pasiliko remdamasis atskiromis progresijomis. Tačiau abiejų logaritmo apibrėžimas nėra panašus į šiuolaikinį. Terminas „logaritmas“ (logaritmas) priklauso Napier. Jis kilo iš graikiškų žodžių junginio: logos – „santykis“ ir ariqmo – „skaičius“, o tai reiškė „santykių skaičius“. Iš pradžių Napier vartojo kitą terminą: numeri mākslīgi – „dirbtiniai skaičiai“, o ne numeri naturalts – „natūralūs skaičiai“.
1615 m., kalbėdamasis su Henriu Briggsu (1561–1631), Gresh koledžo Londone matematikos profesoriumi, Napier pasiūlė vieneto logaritmui paimti nulį, o dešimties logaritmą – 100, arba tai, kas yra tas pats. , tik 1. Taip buvo atspausdinti dešimtainiai logaritmai ir Pirmosios logaritminės lentelės. Vėliau Briggso lenteles papildė olandų knygnešys ir matematikas Andrianas Flakas (1600-1667). Napier ir Briggs, nors prie logaritmų priėjo anksčiau nei kiti, savo lenteles paskelbė vėliau nei kiti – 1620 m. Ženklus log ir Log 1624 metais pristatė I. Kepleris. Terminą „natūralus logaritmas“ 1659 metais įvedė Mengoli, 1668 metais – N. Mercator, o Londono mokytojas Johnas Spadelis paskelbė skaičių nuo 1 iki 1000 natūraliųjų logaritmų lenteles pavadinimu „Naujieji logaritmai“.
Rusų kalba pirmosios logaritminės lentelės buvo išleistos 1703 m. Tačiau visose logaritminėse lentelėse buvo padarytos skaičiavimo klaidos. Pirmosios be klaidų lentelės buvo paskelbtos 1857 metais Berlyne, apdorojant vokiečių matematiką K. Bremikerio (1804-1877).
2 etapas
Tolesnė logaritmų teorijos plėtra siejama su platesniu analitinės geometrijos ir begalinio mažumo skaičiavimo taikymu. Iki to laiko buvo nustatytas ryšys tarp lygiakraštės hiperbolės kvadratūros ir natūralaus logaritmo. Šio laikotarpio logaritmų teorija siejama su daugelio matematikų vardais.
Vokiečių matematikas, astronomas ir inžinierius Nikolaus Mercator savo esė
„Logaritmotechnika“ (1668) pateikia seriją, kurioje pateikiamas ln(x + 1) išplėtimas pagal
galios x:
Ši išraiška tiksliai atitinka jo minties eigą, nors, žinoma, jis vartojo ne ženklus d, ..., o gremėzdiškesnius simbolius. Atradus logaritmines eilutes, pasikeitė logaritmų skaičiavimo technika: jie pradėti nustatyti naudojant begalines eilutes. F. Kleinas savo paskaitose „Elementarioji matematika iš aukštesnio požiūrio“, skaitytose 1907–1908 m., pasiūlė formulę naudoti kaip logaritmų teorijos atspirties tašką.
3 etapas
Logaritminės funkcijos kaip atvirkštinės funkcijos apibrėžimas
eksponentinis, logaritmas kaip duotosios bazės eksponentas
buvo suformuluotas ne iš karto. Leonhardo Eulerio (1707-1783) darbas
„Įvadas į begalinių mažų skaičių analizę“ (1748 m.) pasitarnavo kaip toliau
logaritminės funkcijos teorijos plėtra. Taigi,
Praėjo 134 metai nuo tada, kai pirmą kartą buvo įvesti logaritmai
(skaičiuojama nuo 1614 m.), kol matematikai nepateikė apibrėžimo
logaritmo samprata, kuri dabar yra mokyklos kurso pagrindas.
2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkinys
2.1. Ekvivalentiniai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas.
Lygiaverčiai perėjimai
jei a > 1
jei 0 <
а <
1
Apibendrintas intervalo metodas
Šis metodas yra universaliausias sprendžiant beveik bet kokio tipo nelygybes. Sprendimo schema atrodo taip:
1. Atveskite nelygybę į tokią formą, kur funkcija yra kairėje pusėje 
ir 0 dešinėje.
2. Raskite funkcijos apimtį .
3. Raskite funkcijos nulius , tai yra, išspręskite lygtį 
(ir išspręsti lygtį paprastai yra lengviau nei išspręsti nelygybę).
4. Nubraižykite funkcijos apibrėžimo sritį ir nulius realioje tiesėje.
5. Nustatykite funkcijos požymius gautais intervalais.
6. Pasirinkite intervalus, kuriuose funkcija įgauna reikiamas reikšmes, ir užrašykite atsakymą.
1 pavyzdys
Sprendimas:
Taikykite intervalų metodą
kur
Šioms reikšmėms visos išraiškos po logaritmų ženklais yra teigiamos.
Atsakymas:
2 pavyzdys
Sprendimas:
1-oji būdu . ODZ nustatomas pagal nelygybę x> 3. Logaritmų ėmimas tokiems x 10 bazėje gauname
Paskutinę nelygybę būtų galima išspręsti taikant išskaidymo taisykles, t.y. lyginant veiksnius su nuliu. Tačiau šiuo atveju nesunku nustatyti funkcijos pastovumo intervalus
todėl galima taikyti intervalų metodą.
Funkcija f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ yra tęstinis x> 3 ir išnyksta taškuose x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Taigi nustatome funkcijos pastovumo intervalus f(x):
Atsakymas:
2-as būdas . Intervalų metodo idėjas pritaikykime tiesiogiai pradinei nelygybei.
Tam primename, kad posakiai a b- a c ir ( a - 1)(b- 1) turėti vieną ženklą. Tada mūsų nelygybė už x> 3 yra lygiavertis nelygybei
arba
Paskutinė nelygybė išsprendžiama intervalo metodu
Atsakymas:
3 pavyzdys
Sprendimas:
Taikykite intervalų metodą
Atsakymas:
4 pavyzdys
Sprendimas:
Nuo 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 visiems realiems x, Tai
Norėdami išspręsti antrąją nelygybę, naudojame intervalų metodą
Pirmoje nelygybėje mes atliekame pakeitimą
tada gauname nelygybę 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, kurios tenkina nelygybę -0,5< y < 1.
Iš kur, nes
gauname nelygybę
kuri atliekama su x, kuriam 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Dabar, atsižvelgdami į sistemos antrosios nelygybės sprendimą, pagaliau gauname
Atsakymas:
5 pavyzdys
Sprendimas:
Nelygybė yra lygi sistemų rinkiniui
arba
Taikykite intervalų metodą arba
Atsakymas:
6 pavyzdys
Sprendimas:
Nelygybė yra tolygi sistemai
Leisti
Tada y > 0,
ir pirmoji nelygybė
sistema įgauna formą
arba plečiasi
koeficientų kvadratinis trinaris,
Pritaikius intervalo metodą paskutinei nelygybei,
matome, kad jos sprendimai tenkina sąlygą y> 0 bus viskas y > 4.
Taigi pradinė nelygybė yra lygiavertė sistemai:
Taigi, nelygybės sprendimai yra visi
2.2. racionalizavimo metodas.
Anksčiau nelygybės racionalizavimo metodas nebuvo sprendžiamas, nebuvo žinomas. Tai „naujas modernus efektyvus eksponentinių ir logaritminių nelygybių sprendimo metodas“ (citata iš Kolesnikovos S.I. knygos)
Ir net jei mokytojas jį pažinojo, buvo baimė – bet ar USE ekspertas jį pažįsta ir kodėl jo neduoda mokykloje? Būdavo situacijų, kai mokytojas mokiniui sakydavo: „Kur gavai? Sėskis – 2“.
Dabar metodas propaguojamas visur. O ekspertams yra su šiuo metodu susijusios gairės, o „Išsamiausi standartinių parinkčių leidimai...“ sprendime C3 šis metodas naudojamas.
METODAS PUIKUS!
„Stebuklingas stalas“
Kituose šaltiniuose
Jeigu a >1 ir b >1, tada log a b >0 ir (a -1)(b -1)>0;
Jeigu a >1 ir 0 jei 0<a<1 и b
>1, tada įrašykite a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
jei 0<a<1 и 00 ir (a -1) (b -1)>0. Aukščiau pateiktas samprotavimas yra paprastas, tačiau pastebimai supaprastina logaritminių nelygybių sprendimą. 4 pavyzdys
log x (x 2–3)<0
Sprendimas:
5 pavyzdys
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Sprendimas: 6 pavyzdys
Norėdami išspręsti šią nelygybę, vietoj vardiklio rašome (x-1-1) (x-1), o vietoj skaitiklio - sandaugą (x-1) (x-3-9 + x). 7 pavyzdys
8 pavyzdys
2.3. Nestandartinis pakeitimas. 1 pavyzdys
2 pavyzdys
3 pavyzdys
4 pavyzdys
5 pavyzdys
6 pavyzdys
7 pavyzdys
log 4 (3 x -1) log 0,25 Padarykime pakeitimą y=3 x -1; tada ši nelygybė įgauna formą log 4 log 0,25 Nes log 0,25 Padarykime pakeitimą t =log 4 y ir gaukime nelygybę t 2 -2t +≥0, kurios sprendimas yra intervalai - Taigi, norėdami rasti y reikšmes, turime dviejų paprasčiausių nelygybių rinkinį Todėl pradinė nelygybė yra lygi dviejų eksponentinių nelygybių rinkiniui, Šios aibės pirmosios nelygybės sprendinys yra intervalas 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ 8 pavyzdys
Sprendimas:
Nelygybė yra tolygi sistemai Antrosios nelygybės, kuri lemia ODZ, sprendimas bus tų aibė x,
kuriam x > 0.
Norėdami išspręsti pirmąją nelygybę, atliekame pakeitimą Tada gauname nelygybę arba Metodu randama paskutinės nelygybės sprendinių aibė intervalai: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, mes gauname arba Daugelis iš tų x, kurios tenkina paskutinę nelygybę priklauso ODZ ( x> 0), todėl yra sistemos sprendimas, taigi ir pirminė nelygybė. Atsakymas: 2.4. Užduotys su spąstais. 1 pavyzdys
Sprendimas. Nelygybės ODZ visi x atitinka sąlygą 0 2 pavyzdys
log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.
Atsakymas. (0; 0,5) U .
Atsakymas :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , tada paskutinę nelygybę perrašome į 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Šios rinkinio sprendimas yra intervalai 0<у≤2 и 8≤у<+.
tai yra agregatai 
. Taigi pradinė nelygybė galioja visoms x reikšmėms iš intervalų 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Todėl visi x iš intervalo 0
Išvada
Iš daugybės skirtingų mokymo šaltinių nebuvo lengva rasti specialių metodų C3 uždaviniams spręsti. Atliekant darbą galėjau išstudijuoti nestandartinius kompleksinių logaritminių nelygybių sprendimo metodus. Tai: ekvivalentiniai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas, racionalizacijos metodas , nestandartinis pakeitimas , užduotys su spąstais ODZ. Šių metodų nėra mokyklos mokymo programoje.
Naudodamas skirtingus metodus išsprendžiau 27 nelygybes, pasiūlytas USE C dalyje, būtent C3. Šios nelygybės su sprendiniais metodais sudarė pagrindą rinkiniui „Logaritminės C3 nelygybės su sprendimais“, kuris tapo mano veiklos projektiniu produktu. Hipotezė, kurią iškėliau projekto pradžioje, pasitvirtino: C3 problemas galima efektyviai išspręsti, jei žinomi šie metodai.
Be to, atradau įdomių faktų apie logaritmus. Man buvo įdomu tai padaryti. Mano projekto produktai bus naudingi tiek mokiniams, tiek mokytojams.
Išvados:
Taigi projekto tikslas pasiektas, problema išspręsta. O aš įgijau pilniausią ir įvairiapusiškiausią projektinės veiklos patirtį visuose darbo etapuose. Vykdant projektą, pagrindinis mano vystymosi poveikis buvo protinei kompetencijai, veiklai, susijusiai su loginėmis protinėmis operacijomis, kūrybinės kompetencijos, asmeninės iniciatyvos, atsakomybės, atkaklumo, aktyvumo ugdymui.
Sėkmės garantas kuriant tyrimo projektą Tapau: reikšminga mokyklinė patirtis, gebėjimas išgauti informaciją iš įvairių šaltinių, patikrinti jos patikimumą, reitinguoti pagal reikšmingumą.
Be tiesioginių dalykinių matematikos žinių, praplėtė savo praktinius įgūdžius informatikos srityje, įgijo naujų žinių ir patirties psichologijos srityje, užmezgė ryšius su bendramoksliais, išmoko bendradarbiauti su suaugusiaisiais. Vykdant projekto veiklą buvo ugdomi organizaciniai, intelektualiniai ir komunikaciniai bendrieji ugdymosi įgūdžiai ir gebėjimai.
Literatūra
1. Korjanovas A. G., Prokofjevas A. A. Nelygybių su vienu kintamuoju sistemos (tipinės užduotys C3).
2. Malkova A. G. Pasiruošimas vieningam valstybiniam matematikos egzaminui.
3. S. S. Samarova, Logaritminių nelygybių sprendimas.
4. Matematika. Mokomųjų darbų rinkinys redagavo A.L. Semjonovas ir I. V. Jaščenka. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
Straipsnis skirtas 2017 m. profilinio matematikos egzamino 15 užduočių analizei. Šioje užduotyje mokiniams siūloma spręsti nelygybes, dažniausiai – logaritmines. Nors jie gali būti orientaciniai. Šiame straipsnyje pateikiama logaritminių nelygybių, įskaitant tuos, kurių logaritmo pagrindas yra kintamasis, pavyzdžių analizė. Visi pavyzdžiai paimti iš atvirojo matematikos USE užduočių banko (profilio), todėl labai tikėtina, kad tokia nelygybė egzamino metu susidurs su 15 užduotimi. Idealiai tinka tiems, kurie nori išmokti spręsti 15 užduotį iš antrosios dalies profilį NAUDOKITE per trumpą laiką matematikoje, kad gautumėte aukštesnius egzamino balus.
Matematikos profilinio egzamino 15 užduočių analizė
| 1 pavyzdys. Išspręskite nelygybę: |
Vieningo valstybinio matematikos egzamino (profilio) 15 užduotyse dažnai aptinkamos logaritminės nelygybės. Logaritminių nelygybių sprendimas prasideda nuo priimtinų reikšmių diapazono apibrėžimo. Šiuo atveju abiejų logaritmų bazėje kintamojo nėra, yra tik skaičius 11, o tai labai supaprastina užduotį. Todėl vienintelis apribojimas, kurį turime čia, yra tai, kad abi išraiškos po logaritmo ženklu yra teigiamos:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Pirmoji sistemos nelygybė yra kvadratinė nelygybė. Kad tai išspręstume, tikrai būtų gerai, jei kairę pusę padarytume faktoriais. Manau, jūs žinote, kad bet koks kvadratinis formos trinalis 
Jis suskaidomas taip:
kur ir yra lygties šaknys . Šiuo atveju koeficientas yra 1 (tai yra skaitinis koeficientas prieš ). Koeficientas taip pat lygus 1, o koeficientas yra laisvas narys, jis lygus -20. Trinario šaknis lengviausia nustatyti naudojant Vietos teoremą. Mūsų lygtis yra sumažinta, o tai reiškia šaknų sumą ir bus lygi koeficientui su priešingu ženklu, tai yra -1, o šių šaknų sandauga bus lygi koeficientui, tai yra -20. Nesunku atspėti, kad šaknys bus -5 ir 4.
Dabar galima apskaičiuoti kairę nelygybės pusę: title="Rended by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X taškuose -5 ir 4. Vadinasi, norimas nelygybės sprendimas yra intervalas . Tiems, kurie nesupranta, kas čia parašyta, detales galite pamatyti vaizdo įraše, nuo šiol. Ten taip pat rasite išsamų paaiškinimą, kaip sprendžiama antroji sistemos nelygybė. Tai sprendžiama. Be to, atsakymas yra lygiai toks pat, kaip ir į pirmą sistemos nelygybę. Tai yra, aukščiau parašyta aibė yra leistinų nelygybės verčių sritis.
Taigi, atsižvelgiant į faktorizaciją, pradinė nelygybė yra tokia:
Naudodamiesi formule, prie raiškos laipsnio po pirmojo logaritmo ženklu pridėkite 11, o antrąjį logaritmą perkelkime į kairę nelygybės pusę, pakeisdami jo ženklą į priešingą:
Po sumažinimo gauname:
Paskutinė nelygybė dėl funkcijos padidėjimo yra lygiavertė nelygybei 
, kurio sprendimas yra intervalas 
. Belieka perbraukti jį su leistinų nelygybės verčių sritimi, ir tai bus atsakymas į visą užduotį.
Taigi, norimas atsakymas į užduotį turi tokią formą:
Mes supratome šią užduotį, dabar pereiname prie kito Vieningo valstybinio matematikos egzamino (profilio) 15 užduoties pavyzdžio.
| 2 pavyzdys. Išspręskite nelygybę:
|
Sprendimą pradedame nustatydami šios nelygybės leistinų verčių diapazoną. Kiekvieno logaritmo pagrindas turi būti teigiamas skaičius, kuris nėra lygus 1. Visos išraiškos po logaritmo ženklu turi būti teigiamos. Trupmenos vardiklis neturi būti lygus nuliui. Paskutinė sąlyga yra lygiavertė , nes tik priešingu atveju abu vardiklio logaritmai išnyksta. Visos šios sąlygos nustato šios nelygybės leistinų verčių diapazoną, kurį suteikia tokia nelygybių sistema:
Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Priimtinų reikšmių diapazone galime naudoti logaritmų transformacijos formules, kad supaprastintume kairę nelygybės pusę. Naudojant formulę 
atsikratyti vardiklio:
Dabar turime tik bazinius logaritmus. Taip jau patogiau. Toliau naudojame formulę ir formulę, kad šlovės verta išraiška būtų tokia:
Skaičiuodami naudojome tai, kas yra priimtinų verčių diapazone. Naudodami pakaitalą gauname išraišką:
Naudokime dar vieną pakaitalą: . Dėl to gauname tokį rezultatą:
Taigi, palaipsniui grįžkite prie pradinių kintamųjų. Pirmiausia į kintamąjį:
Dažnai sprendžiant logaritmines nelygybes iškyla kintamos logaritmo bazės problemos. Taigi, formos nelygybė
yra standartinė mokyklos nelygybė. Paprastai jai išspręsti naudojamas perėjimas prie lygiaverčio sistemų rinkinio:
Šio metodo trūkumas yra būtinybė išspręsti septynias nelygybes, neskaičiuojant dviejų sistemų ir vienos aibės. Net ir esant nurodytoms kvadratinėms funkcijoms, populiacijos sprendimas gali užtrukti daug laiko.
Galima pasiūlyti alternatyvų, mažiau laiko reikalaujantį šios standartinės nelygybės sprendimo būdą. Norėdami tai padaryti, atsižvelgiame į šią teoremą.
Teorema 1. Tegu aibėje X nuolat didėjanti funkcija. Tada šioje aibėje funkcijos prieaugio ženklas sutaps su argumento prieaugio ženklu, t.y. , Kur 
.
Pastaba: jei rinkinyje X nuolat mažėja funkcija, tada .
Grįžkime prie nelygybės. Pereikime prie dešimtainio logaritmo (galite pereiti prie bet kurio, kurio pastovi bazė yra didesnė už vieną).
Dabar galime naudoti teoremą, skaitiklyje pastebėdami funkcijų prieaugį 
ir vardiklyje. Taigi tai tiesa
Dėl to skaičiavimų, vedančių į atsakymą, skaičius sumažėja maždaug perpus, o tai sutaupo ne tik laiko, bet ir leidžia potencialiai padaryti mažiau aritmetinių ir neatsargių klaidų.
1 pavyzdys
Palyginus su (1) randame 
, 
, .
Pereidami į (2) turėsime:
2 pavyzdys
Lyginant su (1) randame , , .
Pereidami į (2) turėsime:
3 pavyzdys
Kadangi kairioji nelygybės pusė yra didėjanti funkcija ir 
, tada atsakymas nustatomas.
Pavyzdžių, kuriuose galima pritaikyti „Terme 1“, rinkinį galima nesunkiai išplėsti, jei atsižvelgsime į „Terme 2“.
Leisk į filmavimo aikštelę X funkcijos , , , yra apibrėžtos, o šioje aibėje ženklai ir sutampa, t.y. tada bus sąžininga.
4 pavyzdys
5 pavyzdys
Taikant standartinį metodą, pavyzdys sprendžiamas pagal schemą: sandauga yra mažesnė už nulį, kai faktoriai yra skirtingų ženklų. Tie. nagrinėjame dviejų nelygybių sistemų aibę, kurioje, kaip buvo nurodyta pradžioje, kiekviena nelygybė suskaidoma į dar septynias.
Jei atsižvelgsime į 2 teoremą, kiekvienas veiksnys, atsižvelgiant į (2), gali būti pakeistas kita funkcija, kuri turi tą patį ženklą šiame O.D.Z. pavyzdyje.
Funkcijos prieaugio pakeitimo argumento padidėjimu metodas, atsižvelgiant į 2 teoremą, pasirodo labai patogus sprendžiant tipines C3 USE problemas.
6 pavyzdys
7 pavyzdys
. Pažymėkime. Gauk
. Atminkite, kad pakeitimas reiškia: . Grįžę prie lygties, gauname
.
8 pavyzdys
Mūsų naudojamose teoremose nėra jokių apribojimų funkcijų klasėms. Šiame straipsnyje, kaip pavyzdys, teoremos buvo pritaikytos logaritminių nelygybių sprendimui. Keli toliau pateikti pavyzdžiai parodys kitų tipų nelygybių sprendimo metodo žadą.