Tema: "Daugiakampiai. Daugiakampių tipai"
9 klasė
SL Nr. 20
Mokytojas: Kharitonovičius T.I. Pamokos tikslas: daugiakampių tipų tyrimas.
Mokymosi užduotis: atnaujinti, plėsti ir apibendrinti mokinių žinias apie daugiakampius; suformuoti daugiakampio „komponentų“ idėją; atlikti taisyklingųjų daugiakampių (nuo trikampio iki n kampo) sudedamųjų elementų skaičiaus tyrimą;
Kūrimo užduotis: ugdyti gebėjimus analizuoti, lyginti, daryti išvadas, ugdyti skaičiavimo įgūdžius, matematinę kalbą žodžiu ir raštu, atmintį, taip pat mąstymo ir mokymosi veiklos savarankiškumą, gebėjimą dirbti poromis ir grupėmis; plėtoti mokslinę ir edukacinę veiklą;
Mokomoji užduotis: ugdyti savarankiškumą, aktyvumą, atsakomybę už pavestą užduotį, užsispyrimą siekiant tikslo.
Įranga: interaktyvi lenta (pristatymas)
Per užsiėmimus
Rodyti pristatymą: „Daugiakampiai“
„Gamta kalba matematikos kalba, šios kalbos raidėmis... matematinėmis figūromis. G. Gallilei
Pamokos pradžioje klasė suskirstoma į darbo grupes (mūsų atveju – į 3 grupes)
1. Skambučio etapas-
a) atnaujinti studentų žinias šia tema;
b) susidomėjimo nagrinėjama tema žadinimas, kiekvieno mokinio motyvacija mokymosi veiklai.
Priėmimas: Žaidimas „Ar tu tiki, kad ...“, darbo su tekstu organizavimas.
Darbo formos: frontalinė, grupinė.
"Ar tu tuo tiki..."
1. ... žodis „daugiakampis“ rodo, kad visos šios šeimos figūros turi „daug kampų“?
2. … ar trikampis priklauso didelei daugiakampių šeimai, išsiskiriančiai iš įvairių geometrinių figūrų plokštumoje?
3. …ar kvadratas yra taisyklingas aštuonkampis (keturios kraštinės + keturi kampai)?
Šiandien pamokoje kalbėsime apie daugiakampius. Sužinome, kad šią figūrą riboja uždara laužyta linija, kuri savo ruožtu gali būti paprasta, uždara. Pakalbėkime apie tai, kad daugiakampiai yra plokšti, taisyklingi, išgaubti. Vienas iš plokščiųjų daugiakampių yra jums seniai pažįstamas trikampis (galite parodyti studentams plakatus, vaizduojančius daugiakampius, laužtą liniją, parodyti įvairius jų tipus, taip pat galite naudoti TCO).
2. Supratimo stadija
Tikslas: naujos informacijos gavimas, jos suvokimas, atranka.
Priėmimas: zigzagas.
Darbo formos: individualus->porinis->grupinis.
Kiekvienai grupei duodamas tekstas pamokos tema, tekstas kuriamas taip, kad jame būtų ir mokiniams jau žinoma, ir visiškai nauja informacija. Kartu su tekstu mokiniai gauna klausimus, į kuriuos atsakymus reikia rasti šiame tekste.
Daugiakampiai. Daugiakampių tipai.
Kas negirdėjo apie paslaptingą Bermudų trikampį, kuriame be žinios dingsta laivai ir lėktuvai? Tačiau nuo vaikystės mums pažįstamas trikampis yra kupinas daug įdomių ir paslaptingų dalykų.
Be mums jau žinomų trikampių tipų, suskirstytų iš kraštinių (skalnė, lygiašonis, lygiakraštis) ir kampais (smailusis, bukas, stačiakampis), trikampis priklauso didelei daugiakampių šeimai, išsiskiriančiai daug įvairių geometrinių figūrų plokštumoje.
Žodis „daugiakampis“ rodo, kad visos šios šeimos figūros turi „daug kampų“. Tačiau to nepakanka figūrai apibūdinti.
Nutrūkusi linija A1A2…An – tai figūra, susidedanti iš taškų A1,A2,…An ir juos jungiančių atkarpų A1A2, A2A3,…. Taškai vadinami polilinijos viršūnėmis, o atkarpos – polilinijos grandimis. (1 pav.)
Nutrūksta linija vadinama paprasta, jei ji neturi savaiminių susikirtimų (2,3 pav.).
Nutrūkusi linija vadinama uždara, jei jos galai sutampa. Nutrūkusios linijos ilgis yra jos grandžių ilgių suma (4 pav.)
Paprasta uždara laužyta linija vadinama daugiakampiu, jeigu jos gretimos grandys guli ne toje pačioje tiesėje (5 pav.).
Žodyje „daugiakampis“ vietoj „daug“ dalies pakeiskite konkretų skaičių, pavyzdžiui, 3. Gausite trikampį. Arba 5. Tada – penkiakampis. Atkreipkite dėmesį, kad kampų yra tiek, kiek yra šonų, todėl šias figūras galima vadinti daugiašalėmis.
Polilinijos viršūnės vadinamos daugiakampio viršūnėmis, o polilinijos grandys – daugiakampio kraštinėmis.
Daugiakampis padalija plokštumą į dvi sritis: vidinę ir išorinę (6 pav.).
Plokštumos daugiakampis arba daugiakampio sritis yra baigtinė plokštumos dalis, kurią riboja daugiakampis.
Dvi daugiakampio viršūnės, kurios yra tos pačios pusės galai, vadinamos kaimynėmis. Viršūnės, kurios nėra vienos pusės galai, nėra gretimos.
Daugiakampis su n viršūnių ir todėl n kraštinių vadinamas n kampu.
Nors mažiausias daugiakampio kraštinių skaičius yra 3. Tačiau trikampiai, jungdamiesi vienas su kitu, gali sudaryti kitas figūras, kurios savo ruožtu taip pat yra daugiakampiai.
Atkarpos, jungiančios negretimas daugiakampio viršūnes, vadinamos įstrižainėmis.
Daugiakampis vadinamas išgaubtu, jei jis yra vienoje pusplokštumoje bet kurios tiesės, kurioje yra jo kraštinė, atžvilgiu. Šiuo atveju pati linija laikoma priklausančia PUSPLOKŠTUMAI
Išgaubto daugiakampio kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, kurį sudaro jo kraštinės, susiliejančios toje viršūnėje.
Įrodykime teoremą (apie išgaubto n-kampio kampų sumą): Išgaubto n-kampio kampų suma lygi 1800*(n - 2).
Įrodymas. Tuo atveju, kai n=3, teorema galioja. Tegu А1А2…А n yra duotasis išgaubtas daugiakampis ir n>3. Jame nubrėžkime įstrižaines (iš vienos viršūnės). Kadangi daugiakampis yra išgaubtas, šios įstrižainės padalija jį į n - 2 trikampius. Daugiakampio kampų suma yra tokia pati kaip visų šių trikampių kampų suma. Kiekvieno trikampio kampų suma lygi 1800, o šių trikampių skaičius n - 2. Todėl išgaubto n - kampo A1A2 ... A n kampų suma lygi 1800 * (n - 2). Teorema įrodyta.
Išorinis išgaubto daugiakampio kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, esantis greta daugiakampio vidinio kampo toje viršūnėje.
Išgaubtasis daugiakampis vadinamas taisyklingu, jei visos kraštinės yra lygios ir visi kampai lygūs.
Taigi kvadratą galima vadinti kitaip – taisyklingu keturkampiu. Lygiakraščiai trikampiai taip pat yra taisyklingi. Tokios figūros jau seniai domino pastatus puošiančius meistrus. Jie padarė gražius raštus, pavyzdžiui, ant parketo. Tačiau ne visi taisyklingi daugiakampiai gali būti naudojami parketui formuoti. Parketas negali būti formuojamas iš įprastų aštuonkampių. Faktas yra tas, kad kiekvienas jų kampas yra lygus 1350. Ir jei kuris nors taškas yra dviejų tokių aštuonkampių viršūnė, tada jie turės 2700, o trečiam aštuonkampiui nėra kur tilpti: 3600 - 2700 = 900. kvadratu to pakanka. Todėl parketą galima išlankstyti iš įprastų aštuonkampių ir kvadratų.
Žvaigždės teisingos. Mūsų penkiakampė žvaigždė yra įprasta penkiakampė žvaigždė. Ir jei pasukate kvadratą aplink centrą 450, gausite įprastą aštuonkampę žvaigždę.
Kas yra nutrūkusi linija? Paaiškinkite, kas yra polilinijos viršūnės ir saitai.
Kuri nutrūkusi linija vadinama paprasta?
Kuri nutrūkusi linija vadinama uždara?
Kas yra daugiakampis? Kaip vadinamos daugiakampio viršūnės? Kokios yra daugiakampio kraštinės?
Kas yra plokščias daugiakampis? Pateikite daugiakampių pavyzdžių.
Kas yra n-gon?
Paaiškinkite, kurios daugiakampio viršūnės yra gretimos, o kurios ne.
Kas yra daugiakampio įstrižainė?
Kas yra išgaubtas daugiakampis?
Paaiškinkite, kurie daugiakampio kampai yra išoriniai, o kurie vidiniai?
Kas yra taisyklingas daugiakampis? Pateikite taisyklingų daugiakampių pavyzdžių.
Kokia yra išgaubto n kampo kampų suma? Įrodyk.
Studentai dirba su tekstu, ieško atsakymų į užduodamus klausimus, po to sudaromos ekspertų grupės, kuriose dirbama tais pačiais klausimais: studentai išryškina pagrindinį dalyką, parengia pagrindinę santrauką, pateikia informaciją viename iš grafines formas. Pasibaigus darbui, mokiniai grįžta į savo darbo grupes.
3. Refleksijos etapas –
a) savo žinių įvertinimas, iššūkis kitam žinių žingsniui;
b) gautos informacijos supratimas ir pasisavinimas.
Priėmimas: tiriamasis darbas.
Darbo formos: individualus->porinis->grupinis.
Darbo grupės yra ekspertai, atsakantys į kiekvieną siūlomų klausimų skyrių.
Grįžęs prie darbo grupės, ekspertas supažindina kitus grupės narius su atsakymais į jiems rūpimus klausimus. Grupėje vyksta visų darbo grupės narių keitimasis informacija. Taigi kiekvienoje darbo grupėje ekspertų darbo dėka susidaro bendra idėja nagrinėjama tema.
Studentų tiriamieji darbai- lentelės pildymas.
Taisyklingi daugiakampiai Brėžinys Kraštinių skaičius Viršūnių skaičius Visų vidinių kampų suma Vidinio laipsnio matas. kampas Išorinio kampo laipsnio matas Įstrižainių skaičius
A) trikampis
B) keturkampis
B) penkių skylių
D) šešiakampis
E) n-gon
Įdomių uždavinių sprendimas pamokos tema.
1) Kiek kraštinių turi taisyklingasis daugiakampis, kurio kiekvienas vidinis kampas lygus 1350?
2) Tam tikrame daugiakampyje visi vidiniai kampai yra lygūs vienas kitam. Ar šio daugiakampio vidinių kampų suma gali būti: 3600, 3800?
3) Ar galima pastatyti penkiakampį, kurio kampai yra 100,103,110,110,116 laipsnių?
Apibendrinant pamoką.
Namų darbų įrašymas: STR66-72 Nr. 15,17 IR UŽDAVINIMAS: KETRAKAMPIEJE NUBRĖŽKITE TIESIOGĄ, KAD JI JĄ PADALINTŲ Į TRIS TRIKAMPIUS.
Refleksija testų pavidalu (interaktyvioje lentoje)
Dalykas, mokinių amžius: geometrija, 9 klasė
Pamokos tikslas: daugiakampių tipų tyrimas.
Mokymosi užduotis: atnaujinti, išplėsti ir apibendrinti mokinių žinias apie daugiakampius; suformuoti daugiakampio „komponentų“ idėją; atlikti taisyklingųjų daugiakampių (nuo trikampio iki n kampo) sudedamųjų elementų skaičiaus tyrimą;
Ugdomoji užduotis: ugdyti gebėjimus analizuoti, lyginti, daryti išvadas, ugdyti skaičiavimo įgūdžius, matematinę kalbą žodžiu ir raštu, atmintį, taip pat mąstymo ir mokymosi veiklos savarankiškumą, gebėjimą dirbti poromis ir grupėmis; plėtoti mokslinę ir edukacinę veiklą;
Ugdymo užduotis: ugdyti savarankiškumą, aktyvumą, atsakingumą atlikti pavestą užduotį, atkaklumą siekiant tikslo.
Užsiėmimų metu: lentoje parašyta citata
„Gamta kalba matematikos kalba, šios kalbos raidėmis... matematinėmis figūromis. G. Gallilei
Pamokos pradžioje klasė suskirstoma į darbo grupes (mūsų atveju suskirstymas į grupes po 4 žmones – grupės narių skaičius lygus klausimų grupių skaičiui).
1. Skambučio etapas-
Tikslai:
a) atnaujinti studentų žinias šia tema;
b) susidomėjimo nagrinėjama tema žadinimas, kiekvieno mokinio motyvacija mokymosi veiklai.
Priėmimas: Žaidimas „Ar tu tiki, kad ...“, darbo su tekstu organizavimas.
Darbo formos: frontalinė, grupinė.
"Ar tu tuo tiki..."
1. ... žodis „daugiakampis“ rodo, kad visos šios šeimos figūros turi „daug kampų“?
2. … trikampis priklauso didelei daugiakampių šeimai, išsiskiriančiai daugybe skirtingų geometrinių figūrų plokštumoje?
3. …ar kvadratas yra taisyklingas aštuonkampis (keturios kraštinės + keturi kampai)?
Šiandien pamokoje kalbėsime apie daugiakampius. Sužinome, kad šią figūrą riboja uždara laužyta linija, kuri savo ruožtu gali būti paprasta, uždara. Pakalbėkime apie tai, kad daugiakampiai yra plokšti, taisyklingi, išgaubti. Vienas iš plokščiųjų daugiakampių yra jums seniai pažįstamas trikampis (galite parodyti studentams plakatus, vaizduojančius daugiakampius, laužtą liniją, parodyti įvairius jų tipus, taip pat galite naudoti TCO).
2. Supratimo stadija
Tikslas: naujos informacijos gavimas, jos suvokimas, atranka.
Priėmimas: zigzagas.
Darbo formos: individualus->porinis->grupinis.
Kiekvienai grupei duodamas tekstas pamokos tema, tekstas kuriamas taip, kad jame būtų ir mokiniams jau žinoma, ir visiškai nauja informacija. Kartu su tekstu mokiniai gauna klausimus, į kuriuos atsakymus reikia rasti šiame tekste.
Daugiakampiai. Daugiakampių tipai.
Kas negirdėjo apie paslaptingą Bermudų trikampį, kuriame be žinios dingsta laivai ir lėktuvai? Tačiau nuo vaikystės mums pažįstamas trikampis yra kupinas daug įdomių ir paslaptingų dalykų.
Be mums jau žinomų trikampių tipų, suskirstytų iš kraštinių (skalnė, lygiašonis, lygiakraštis) ir kampais (smailusis, bukas, stačiakampis), trikampis priklauso didelei daugiakampių šeimai, išsiskiriančiai daug įvairių geometrinių figūrų plokštumoje.
Žodis „daugiakampis“ rodo, kad visos šios šeimos figūros turi „daug kampų“. Tačiau to nepakanka figūrai apibūdinti.
Nutrūksta linija A 1 A 2 ... A n yra figūra, susidedanti iš taškų A 1, A 2, ... A n ir juos jungiančių atkarpų A 1 A 2, A 2 A 3, .... Taškai vadinami polilinijos viršūnėmis, o atkarpos – polilinijos grandimis. (1 pav.)
Nutrūksta linija vadinama paprasta, jei ji neturi savaiminių susikirtimų (2,3 pav.).
Nutrūkusi linija vadinama uždara, jei jos galai sutampa. Nutrūkusios linijos ilgis yra jos grandžių ilgių suma (4 pav.).
Paprasta uždara laužyta linija vadinama daugiakampiu, jeigu jos gretimos grandys guli ne toje pačioje tiesėje (5 pav.).
Žodyje „daugiakampis“ vietoj „daug“ dalies pakeiskite konkretų skaičių, pavyzdžiui, 3. Gausite trikampį. Arba 5. Tada – penkiakampis. Atkreipkite dėmesį, kad kampų yra tiek, kiek yra šonų, todėl šias figūras galima vadinti daugiašalėmis.
Polilinijos viršūnės vadinamos daugiakampio viršūnėmis, o polilinijos grandys – daugiakampio kraštinėmis.
Daugiakampis padalija plokštumą į dvi sritis: vidinę ir išorinę (6 pav.).
Plokštumos daugiakampis arba daugiakampio sritis yra baigtinė plokštumos dalis, kurią riboja daugiakampis.
Dvi daugiakampio viršūnės, kurios yra tos pačios pusės galai, vadinamos kaimynėmis. Viršūnės, kurios nėra vienos pusės galai, nėra gretimos.
Daugiakampis su n viršūnių ir todėl n kraštinių vadinamas n kampu.
Nors mažiausias daugiakampio kraštinių skaičius yra 3. Tačiau trikampiai, jungdamiesi vienas su kitu, gali sudaryti kitas figūras, kurios savo ruožtu taip pat yra daugiakampiai.
Atkarpos, jungiančios negretimas daugiakampio viršūnes, vadinamos įstrižainėmis.
Daugiakampis vadinamas išgaubtu, jei jis yra vienoje pusplokštumoje bet kurios tiesės, kurioje yra jo kraštinė, atžvilgiu. Šiuo atveju laikoma, kad pati tiesė priklauso pusiau plokštumai.
Išgaubto daugiakampio kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, kurį sudaro jo kraštinės, susiliejančios toje viršūnėje.
Įrodykime teoremą (apie išgaubto n-kampio kampų sumą): Išgaubto n-kampio kampų suma lygi 180 0 *(n - 2).
Įrodymas. Tuo atveju, kai n=3, teorema galioja. Tegu А 1 А 2 …А n yra duotasis išgaubtas daugiakampis ir n>3. Jame nubrėžkime įstrižaines (iš vienos viršūnės). Kadangi daugiakampis yra išgaubtas, šios įstrižainės padalija jį į n - 2 trikampius. Daugiakampio kampų suma yra tokia pati kaip visų šių trikampių kampų suma. Kiekvieno trikampio kampų suma lygi 180 0, o šių trikampių skaičius yra n - 2. Todėl išgaubto n - kampo A 1 A 2 ... A n kampų suma lygi 180 0 * ( n - 2). Teorema įrodyta.
Išorinis išgaubto daugiakampio kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, esantis greta daugiakampio vidinio kampo toje viršūnėje.
Išgaubtasis daugiakampis vadinamas taisyklingu, jei visos kraštinės yra lygios ir visi kampai lygūs.
Taigi kvadratą galima vadinti kitaip – taisyklingu keturkampiu. Lygiakraščiai trikampiai taip pat yra taisyklingi. Tokios figūros jau seniai domino pastatus puošiančius meistrus. Jie padarė gražius raštus, pavyzdžiui, ant parketo. Tačiau ne visi taisyklingi daugiakampiai gali būti naudojami parketui formuoti. Parketas negali būti formuojamas iš įprastų aštuonkampių. Faktas yra tas, kad kiekvienas jų kampas yra lygus 135 0. Ir jei kuris nors taškas yra dviejų tokių aštuonkampių viršūnė, tada jie turės 270 0, o trečiam aštuonkampiui nėra kur tilpti: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Bet užtenka kvadratui. Todėl parketą galima išlankstyti iš įprastų aštuonkampių ir kvadratų.
Žvaigždės teisingos. Mūsų penkiakampė žvaigždė yra įprasta penkiakampė žvaigždė. O jei kvadratą aplink centrą pasuksite 45 0, gausite taisyklingą aštuonkampę žvaigždę.
1 grupė
Kas yra nutrūkusi linija? Paaiškinkite, kas yra polilinijos viršūnės ir saitai.
Kuri nutrūkusi linija vadinama paprasta?
Kuri nutrūkusi linija vadinama uždara?
Kas yra daugiakampis? Kaip vadinamos daugiakampio viršūnės? Kokios yra daugiakampio kraštinės?
2 grupė
Kas yra plokščias daugiakampis? Pateikite daugiakampių pavyzdžių.
Kas yra n-gon?
Paaiškinkite, kurios daugiakampio viršūnės yra gretimos, o kurios ne.
Kas yra daugiakampio įstrižainė?
3 grupė
Kas yra išgaubtas daugiakampis?
Paaiškinkite, kurie daugiakampio kampai yra išoriniai, o kurie vidiniai?
Kas yra taisyklingas daugiakampis? Pateikite taisyklingų daugiakampių pavyzdžių.
4 grupė
Kokia yra išgaubto n kampo kampų suma? Įrodyk.
Studentai dirba su tekstu, ieško atsakymų į užduodamus klausimus, po to sudaromos ekspertų grupės, kuriose dirbama tais pačiais klausimais: studentai išryškina pagrindinį dalyką, parengia pagrindinę santrauką, pateikia informaciją viename iš grafines formas. Pasibaigus darbui, mokiniai grįžta į savo darbo grupes.
3. Refleksijos etapas –
a) savo žinių įvertinimas, iššūkis kitam žinių žingsniui;
b) gautos informacijos supratimas ir pasisavinimas.
Priėmimas: tiriamasis darbas.
Darbo formos: individualus->porinis->grupinis.
Darbo grupės yra ekspertai, atsakantys į kiekvieną siūlomų klausimų skyrių.
Grįžęs prie darbo grupės, ekspertas supažindina kitus grupės narius su atsakymais į jiems rūpimus klausimus. Grupėje vyksta visų darbo grupės narių keitimasis informacija. Taigi kiekvienoje darbo grupėje ekspertų darbo dėka susidaro bendra idėja nagrinėjama tema.
Mokinių tiriamasis darbas – lentelės pildymas.
| Taisyklingi daugiakampiai | Piešimas | Šonų skaičius | Smailių skaičius | Visų vidinių kampų suma | Laipsnio matas tarpt. kampas | Išorinio kampo laipsnio matas | Įstrižainių skaičius |
| A) trikampis | |||||||
| B) keturkampis | |||||||
| B) penkių sienų | |||||||
| D) šešiakampis | |||||||
| E) n-gon |
Įdomių uždavinių sprendimas pamokos tema.
- Keturkampyje nubrėžkite liniją, kad ji padalintų ją į tris trikampius.
- Kiek kraštinių turi taisyklingasis daugiakampis, kurio kiekvienas vidinis kampas lygus 135 0 ?
- Tam tikrame daugiakampyje visi vidiniai kampai yra lygūs vienas kitam. Ar šio daugiakampio vidinių kampų suma gali būti: 360 0 , 380 0 ?
Apibendrinant pamoką. Namų darbų įrašymas.
Daugiakampių tipai:
Keturkampiai
Keturkampiai, atitinkamai, susideda iš 4 kraštų ir kampų.
Vadinami vienas prieš kitą esantys šonai ir kampai priešingas.
Įstrižainės padalija išgaubtus keturkampius į trikampius (žr. pav.).
Išgaubto keturkampio kampų suma lygi 360° (naudojant formulę: (4-2)*180°).
lygiagretainiai
Lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis su priešingomis lygiagrečiomis kraštinėmis (paveiksle numeruotas 1).
Lygiagretainio priešingos kraštinės ir kampai visada yra lygūs.
O įstrižainės susikirtimo taške dalijamos pusiau.
Trapecija
Trapecija taip pat yra keturkampis, ir trapecija lygiagrečios tik dvi kraštinės, kurios vadinamos pagrindu. Kitos pusės yra pusės.
Paveikslėlyje esanti trapecija sunumeruota 2 ir 7.
Kaip trikampyje:
Jei kraštinės lygios, tai trapecija yra lygiašoniai;
Jei vienas iš kampų yra teisingas, tada trapecija yra teisinga stačiakampio formos.
Trapecijos vidurio linija yra pusė pagrindų sumos ir lygiagreti jiems.
Rombas
Rombas yra lygiagretainis, kurio visos kraštinės lygios.
Be lygiagretainio savybių, rombai turi savo ypatingą savybę - rombo įstrižainės yra statmenos vienas kitą ir perpjauti rombo kampus.
Paveiksle rombas sunumeruotas 5.
Stačiakampiai
Stačiakampis- tai lygiagretainis, kurio kiekvienas kampas yra stačias (žr. 8 paveikslą).
Be lygiagretainio savybių, stačiakampiai turi savo ypatingą savybę - stačiakampio įstrižainės lygios.
kvadratai
Kvadratas yra stačiakampis, kurio visos kraštinės lygios (#4).
Jis turi stačiakampio ir rombo savybes (nes visos kraštinės yra lygios).
Plokštumos dalis, kurią riboja uždara trūkinė linija, vadinama daugiakampiu.
Šios trūkinės linijos atkarpos vadinamos vakarėliams poligonas. AB, BC, CD, DE, EA (1 pav.) - daugiakampio ABCDE kraštinės. Visų daugiakampio kraštinių suma vadinama jo perimetras.
Daugiakampis vadinamas išgaubtas, jei jis yra vienoje iš bet kurios jo pusių pusės, neribotai ištęstas už abiejų viršūnių.
Daugiakampis MNPKO (1 pav.) nebus išgaubtas, nes yra daugiau nei vienoje tiesės KP pusėje.
Nagrinėsime tik išgaubtus daugiakampius.
Kampai, sudaryti iš dviejų gretimų daugiakampio kraštinių, vadinami jo vidinis kampai ir jų viršūnės - daugiakampių viršūnių.
Tiesijos atkarpa, jungianti dvi negretimas daugiakampio viršūnes, vadinama daugiakampio įstriža.
AC, AD - daugiakampio įstrižainės (2 pav.).
Kampai, esantys greta daugiakampio vidinių kampų, vadinami išoriniais daugiakampio kampais (3 pav.).
Priklausomai nuo kampų (kraštinių) skaičiaus, daugiakampis vadinamas trikampiu, keturkampiu, penkiakampiu ir kt.
Sakoma, kad du daugiakampiai yra lygūs, jei juos galima uždėti.
Įbrėžti ir apibrėžti daugiakampiai
Jei visos daugiakampio viršūnės yra apskritime, tada daugiakampis vadinamas įrašytasį ratą ir ratą aprašytašalia daugiakampio (pav.).
Jei visos daugiakampio kraštinės liečia apskritimą, tai daugiakampis vadinamas aprašyta aplink apskritimą, ir apskritimas vadinamas įrašytasį daugiakampį (pav.).
Daugiakampių panašumas
Du to paties pavadinimo daugiakampiai vadinami panašiais, jei vieno iš jų kampai atitinkamai lygūs kito kampams, o panašios daugiakampių kraštinės yra proporcingos.
Daugiakampiai, turintys tą patį kraštinių (kampų) skaičių, vadinami to paties pavadinimo daugiakampiais.
Panašių daugiakampių kraštinės vadinamos panašiomis, jei jos jungia atitinkamai vienodų kampų viršūnes (pav.).
Taigi, pavyzdžiui, kad daugiakampis ABCDE būtų panašus į daugiakampį A'B'C'D'E', būtina, kad: E = ∠E' ir, be to, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .
Panašių daugiakampių perimetro santykis
Pirmiausia apsvarstykite vienodų santykių serijos savybę. Pavyzdžiui, turėkime santykius: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.
Raskime šių santykių ankstesnių narių sumą, tada - vėlesnių jų narių sumą ir raskime gautų sumų santykį, gausime:
$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$
Tą patį gausime, jei paimsime keletą kitų santykių, pavyzdžiui: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 ir tada rasime šių sumų santykį , mes gauname:
$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$
Abiem atvejais ankstesnių lygių santykių serijos narių suma yra susijusi su vėlesnių tos pačios serijos narių suma, nes ankstesnis bet kurio iš šių santykių narys yra susijęs su sekančiu.
Šią savybę nustatėme atsižvelgdami į daugybę skaitinių pavyzdžių. Tai galima išvesti griežtai ir bendra forma.
Dabar apsvarstykite panašių daugiakampių perimetrų santykį.
Tegul daugiakampis ABCDE yra panašus į daugiakampį A'B'C'D'E' (pav.).
Iš šių daugiakampių panašumo išplaukia, kad
AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'
Remdamiesi lygių santykių serijos savybe, kurią išvedėme, galime parašyti:
Ankstesnių mūsų paimtų santykių narių suma yra pirmojo daugiakampio (P) perimetras, o vėlesnių šių santykių narių suma yra antrojo daugiakampio perimetras (P '), taigi P / P ' = AB / A'B'.
Vadinasi, panašių daugiakampių perimetrai yra susiję kaip atitinkamos jų kraštinės.
Panašių daugiakampių plotų santykis
Tegul ABCDE ir A'B'C'D'E' yra panašūs daugiakampiai (pav.).
Yra žinoma, kad ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' ir ΔADE ~ ΔA'D'E'.
Be to,
Kadangi antrieji šių proporcijų santykiai yra lygūs, o tai išplaukia iš daugiakampių panašumo, tada
Naudodamiesi lygių santykių serijos savybe, gauname:
kur S ir S' yra šių panašių daugiakampių plotai.
Vadinasi, panašių daugiakampių plotai yra susiję kaip panašių kraštinių kvadratai.
Gautą formulę galima konvertuoti į šią formą: S / S '= (AB / A'B') 2
Savavališko daugiakampio plotas
Tegul reikia apskaičiuoti savavališko keturkampio ABDC plotą (pav.).
Nubrėžkime jame įstrižainę, pavyzdžiui AD. Gauname du trikampius ABD ir ACD, kurių plotus galime apskaičiuoti. Tada randame šių trikampių plotų sumą. Gauta suma išreikš nurodyto keturkampio plotą.
Jei reikia apskaičiuoti penkiakampio plotą, mes elgiamės taip pat: iš vienos viršūnės nubrėžiame įstrižaines. Gauname tris trikampius, kurių plotus galime apskaičiuoti. Taigi galime rasti šio penkiakampio plotą. Tą patį darome apskaičiuodami bet kurio daugiakampio plotą.
Daugiakampio projekcijos sritis
Prisiminkite, kad kampas tarp tiesės ir plokštumos yra kampas tarp nurodytos tiesės ir jos projekcijos į plokštumą (pav.).
Teorema. Daugiakampio stačiakampės projekcijos į plokštumą plotas lygus projektuojamo daugiakampio plotui, padaugintam iš kampo, kurį sudaro daugiakampio plokštuma ir projekcijos plokštuma, kosinuso.
Kiekvienas daugiakampis gali būti suskirstytas į trikampius, kurių plotų suma yra lygi daugiakampio plotui. Todėl pakanka įrodyti trikampio teoremą.
Tegu ΔABC projektuojamas į plokštumą R. Apsvarstykite du atvejus:
a) viena iš kraštinių ΔABS lygiagreti plokštumai R;
b) nė viena iš kraštinių ΔABC nėra lygiagreti R.
Apsvarstykite pirmas atvejis: tegul [AB] || R.
Brėžkite per (AB) plokštumą R 1 || R ir projektuoti statmenai ΔABC į R 1 ir toliau R(ryžiai.); gauname ΔABC 1 ir ΔA’B’C’.
Pagal projekcijos savybę turime ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’, todėl
S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'
Nubraižykime ⊥ ir atkarpą D 1 C 1 . Tada ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ yra kampas tarp plokštumos ΔABC ir plokštumos R 1 . Štai kodėl
S ∆ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ
ir todėl S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.
Pereikime prie svarstymo antrasis atvejis. Nubrėžkite plokštumą R 1 || R per tą viršūnę ΔАВС, atstumą, nuo kurio iki plokštumos R mažiausias (tebūnie tai viršūnė A).
Suprojektuokime ΔABC plokštumoje R 1 ir R(ryžiai.); tegul jo projekcijos yra atitinkamai ΔAB 1 C 1 ir ΔA’B’C’.
Tegu (BC) ∩ p 1 = D. Tada
S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ
Kitos medžiagosDaugiakampio ypatybės
Daugiakampis – tai geometrinė figūra, dažniausiai apibrėžiama kaip uždara polilinija be savaiminių susikirtimų (paprastas daugiakampis (1a pav.)), tačiau kartais leidžiamos ir savaiminės sankirtos (tada daugiakampis nėra paprastas).
Polilinijos viršūnės vadinamos daugiakampio viršūnėmis, o atkarpos – daugiakampio kraštinėmis. Daugiakampio viršūnės vadinamos kaimynėmis, jei jos yra vienos iš jo kraštinių galai. Tiesijos atkarpos, jungiančios negretimas daugiakampio viršūnes, vadinamos įstrižainėmis.
Išgaubto daugiakampio kampas (arba vidinis kampas) tam tikroje viršūnėje yra kampas, kurį sudaro jo kraštinės, susiliejančios šioje viršūnėje, ir kampas laikomas iš daugiakampio šono. Visų pirma kampas gali viršyti 180°, jei daugiakampis nėra išgaubtas.
Išorinis išgaubto daugiakampio kampas tam tikroje viršūnėje yra kampas, esantis greta daugiakampio vidinio kampo toje viršūnėje. Apskritai išorinis kampas yra skirtumas tarp 180° ir vidinio kampo. Iš kiekvienos -gon viršūnės, kai > 3, yra - 3 įstrižainės, todėl bendras -gon įstrižainių skaičius yra lygus.
Trijų viršūnių daugiakampis vadinamas trikampiu, su keturiomis – keturkampiu, su penkiomis – penkiakampiu ir pan.
Daugiakampis su n viršūnės vadinamos n- kvadratas.
Plokščiasis daugiakampis yra figūra, kurią sudaro daugiakampis ir baigtinė jo ribojamo ploto dalis.
Daugiakampis vadinamas išgaubtu, jei tenkinama viena iš šių (lygiaverčių) sąlygų:
- 1. jis yra vienoje pusėje bet kurios tiesės, jungiančios gretimas viršūnes. (t. y. daugiakampio kraštinių plėtiniai nesikerta su kitomis jo kraštinėmis);
- 2. tai kelių pusplokštumų sankirta (t.y. bendroji dalis);
- 3. bet kuri atkarpa, kurios galai yra taškuose, priklausančiuose daugiakampiui, visiškai priklauso jam.
Išgaubtasis daugiakampis vadinamas taisyklingu, jei visos kraštinės lygios ir visi kampai lygūs, pavyzdžiui, lygiakraštis trikampis, kvadratas ir penkiakampis.
Sakoma, kad išgaubtas daugiakampis yra įbrėžtas apie apskritimą, jei visos jo kraštinės liečia kurį nors apskritimą
Taisyklingasis daugiakampis yra daugiakampis, kurio visi kampai ir visos kraštinės yra lygūs.
Daugiakampio savybės:
1 Kiekviena išgaubto kampo įstrižainė, kur >3, išskaido jį į du išgaubtus daugiakampius.
2 Visų išgaubto kampo kampų suma yra lygi.
D-in: Įrodykime teoremą matematinės indukcijos metodu. Jei = 3, tai akivaizdu. Tarkime, kad teorema yra teisinga -gon, kur <, ir įrodyti tai už -gon.
Leisti būti pateiktas daugiakampis. Nubrėžkite šio daugiakampio įstrižainę. Pagal 3 teoremą daugiakampis išskaidomas į trikampį ir išgaubtą -kampį (5 pav.). Pagal indukcijos hipotezę. Kitoje pusėje, . Pridėjus šias lygybes ir atsižvelgiant į tai (- vidinis spindulio kampas ) Ir (- vidinis spindulio kampas ), gauname.Kai gauname: .
3 Apie bet kurį taisyklingą daugiakampį galima apibūdinti apskritimą, be to, tik vieną.
D-in: Tegul taisyklingas daugiakampis, ir ir yra kampų ir pusiausvyros (150 pav.). Kadangi todėl * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке APIE.Įrodykime tai O = OA 2 = APIE =… = OA P . Trikampis APIE lygiašoniai, todėl APIE= APIE. Pagal antrąjį trikampių lygybės kriterijų, todėl APIE = APIE. Panašiai įrodyta, kad APIE = APIE ir tt Taigi esmė APIE vienodu atstumu nuo visų daugiakampio viršūnių, todėl apskritimas su centru APIE spindulys APIE yra apibrėžtas apie daugiakampį.
Dabar įrodykime, kad yra tik vienas apibrėžtas ratas. Pavyzdžiui, apsvarstykite tris daugiakampio viršūnes, A 2 , . Kadangi per šiuos taškus eina tik vienas apskritimas, tada apie daugiakampį … Negalite aprašyti daugiau nei vieno rato.
- 4 Bet kuriame taisyklingame daugiakampyje galite įbrėžti apskritimą ir, be to, tik vieną.
- 5 Į taisyklingą daugiakampį įbrėžtas apskritimas paliečia daugiakampio kraštines jų vidurio taškuose.
- 6 Taisyklingąjį daugiakampį juosiančio apskritimo centras sutampa su apskritimo, įbrėžto į tą patį daugiakampį, centru.
- 7 Simetrija:
Figūra vadinama simetriška (simetriška), jei yra toks judėjimas (ne identiškas), kuris paverčia šią figūrą į save.
- 7.1. Bendrasis trikampis neturi ašių ar simetrijos centrų, jis nėra simetriškas. Lygiašonis (bet ne lygiakraštis) trikampis turi vieną simetrijos ašį: statmeną bazei.
- 7.2. Lygiakraštis trikampis turi tris simetrijos ašis (statmenas į šonus) ir sukimosi simetriją apie centrą, kai sukimosi kampas yra 120°.
7.3 Bet kuris taisyklingas n-kampis turi n simetrijos ašių, kurios visos eina per jo centrą. Jis taip pat turi sukimosi simetriją apie centrą su sukimosi kampu.
Netgi n vienos simetrijos ašys eina per priešingas viršūnes, kitos – per priešingų kraštinių vidurio taškus.
Dėl keistų n kiekviena ašis eina per priešingos pusės viršūnę ir vidurio tašką.
Taisyklingo daugiakampio su lyginiu kraštinių skaičiumi centras yra jo simetrijos centras. Taisyklingas daugiakampis su nelyginiu kraštinių skaičiumi neturi simetrijos centro.
8 Panašumas:
Su panašumu -gon pereina į -gon, pusiau plokštuma - į pusiau plokštumą, todėl išgaubta n-gon tampa išgaubta n-gon.
Teorema: Jei išgaubtų daugiakampių kraštinės ir kampai tenkina lygybes:
kur yra podiumo koeficientas
tada šie daugiakampiai yra panašūs.
- 8.1 Dviejų panašių daugiakampių perimetrų santykis lygus panašumo koeficientui.
- 8.2. Dviejų išgaubtų panašių daugiakampių plotų santykis lygus panašumo koeficiento kvadratui.
daugiakampio trikampio perimetro teorema