Išvestinių paaiškinimų skaičiavimas. Sudėtingos funkcijos išvestinės formulės taikymo pavyzdžiai

Matematinės funkcijos išvestinės radimas vadinamas diferenciacija. Matematinės funkcijos išvestinės radimas yra dažna aukštosios matematikos problema. Galima kalbėti įvairiai: rasti išvestinę, apskaičiuoti išvestinę, diferencijuoti funkciją, paimti išvestinę, bet visa tai yra tos pačios sąvokos. Žinoma, yra sudėtingų užduočių, kuriose išvestinės vertės radimas yra tik vienas iš problemos komponentų. Mūsų svetainės paslaugoje turite galimybę internetu apskaičiuoti tiek elementarių, tiek sudėtingų funkcijų, kurios neturi analitinio sprendimo, išvestinę. Mūsų paslaugos internetinį išvestinį variantą galima rasti iš beveik bet kurios matematinės funkcijos, net ir pačios sudėtingiausios, kurios kitos paslaugos negalėjo išspręsti už jus. Ir gautas atsakymas visada yra 100% teisingas ir neįtraukia klaidų. Galite pamatyti, kaip mūsų svetainėje vykdomas išvestinės priemonės paieškos procesas, naudodami konkrečius pavyzdžius. Pavyzdžiai yra mygtuko „Sprendimas“ dešinėje. Pasirinkite bet kurią funkciją iš pavyzdžių sąrašo, ji bus automatiškai pakeista funkcijos lauke, tada spustelėkite mygtuką „Sprendimas“. Pamatysite žingsnis po žingsnio sprendimą, jūsų išvestinė bus rasta taip pat. Privalumai sprendžiant išvestinę priemonę internetu. Net jei žinote, kaip rasti išvestines priemones, šis procesas gali užtrukti daug laiko ir pastangų. Paslaugų svetainė sukurta taip, kad išvengtumėte varginančių ir ilgų skaičiavimų, kuriuose, be to, galite suklysti. Internetinė išvestinė priemonė apskaičiuojama vienu mygtuko „Sprendimas“ paspaudimu įvedus nurodytą funkciją. Taip pat svetainė puikiai tinka tiems, kurie nori išbandyti savo gebėjimus rasti matematinės funkcijos išvestinę ir įsitikinti, ar jų pačių sprendimas yra teisingas arba rasti jame padarytą klaidą. Norėdami tai padaryti, jums tereikia palyginti savo atsakymą su internetinės paslaugos skaičiavimų rezultatu. Jei nenorite naudoti išvestinių lentelių, su kuriomis norimos funkcijos suradimas užtrunka pakankamai laiko, tuomet išvestinei rasti naudokite mūsų paslaugą, o ne išvestines lenteles. Pagrindiniai mūsų svetainės pranašumai, palyginti su kitomis panašiomis paslaugomis, yra tai, kad apskaičiavimas yra labai greitas (vidutiniškai 5 sekundės) ir už tai nereikia nieko mokėti - paslauga yra visiškai nemokama. Jums nereikės registruotis, įvesti el. pašto ar savo asmens duomenų. Tereikia įvesti nurodytą funkciją ir paspausti mygtuką „Sprendimas“. Kas yra darinys. Funkcijos išvestinė yra pagrindinė matematikos ir skaičiavimo sąvoka. Šio proceso atvirkštinė pusė yra integravimas, tai yra funkcijos radimas pagal žinomą išvestinę. Paprasčiau tariant, diferenciacija yra veiksmas funkcijai, o išvestinė jau yra tokio veiksmo rezultatas. Norint apskaičiuoti funkcijos išvestinę tam tikrame taške, argumentas x pakeičiamas skaitine reikšme ir įvertinama išraiška. Išvestinė žymima brūkšniu viršutiniame dešiniajame kampe virš funkcijos. Be to, insultas gali būti konkrečios funkcijos žymėjimas. Norėdami rasti elementariosios funkcijos išvestinę, turėsite žinoti išvestinę lentelę arba visada ją turėti po ranka, kas gali būti nelabai patogu, taip pat žinoti diferenciacijos taisykles, todėl rekomenduojame pasinaudoti mūsų paslauga, kur skaičiuojama išvestinė internetu, tereikia įvesti funkciją tam skirtame lauke . Argumentas turi būti x kintamasis, nes jo atžvilgiu atliekamas diferencijavimas. Jei reikia apskaičiuoti antrąją išvestinę, galite atskirti atsakymą. Kaip išvestinė apskaičiuojama internete. Elementariųjų funkcijų išvestinių lentelės buvo kuriamos jau seniai ir be vargo galima rasti elementariųjų funkcijų išvestinių lenteles, todėl elementarios (paprastos) matematinės funkcijos išvestinės skaičiavimas yra gana paprastas dalykas. Tačiau kai reikia rasti sudėtingos matematinės funkcijos išvestinę, tai nebėra trivialus uždavinys ir pareikalaus daug pastangų ir laiko. Naudodami mūsų internetinę paslaugą galite atsikratyti beprasmių ir ilgų skaičiavimų. Jo dėka išvestinė bus paskaičiuota per kelias sekundes.

Ant jų išanalizavome paprasčiausius darinius, taip pat susipažinome su diferencijavimo taisyklėmis ir kai kuriomis išvestinių radimo technikomis. Taigi, jei nesate labai gerai susipažinę su funkcijų išvestiniais arba kai kurie šio straipsnio punktai nėra visiškai aiškūs, pirmiausia perskaitykite aukščiau pateiktą pamoką. Prašau nusiteikti rimtai – medžiaga nelengva, bet vis tiek stengsiuosi ją pateikti paprastai ir aiškiai.

Praktikoje su kompleksinės funkcijos išvestine tenka susidurti labai dažnai, net sakyčiau beveik visada, kai duodama užduotis surasti išvestines.

Lentelėje žiūrime į taisyklę (Nr. 5), kaip atskirti sudėtingą funkciją:

Mes suprantame. Visų pirma, pažvelkime į užrašą. Čia turime dvi funkcijas - ir , o funkcija, vaizdžiai tariant, yra įdėta į funkciją . Tokio tipo funkcija (kai viena funkcija įdėta į kitą) vadinama sudėtinga funkcija.

Paskambinsiu funkcijai išorinė funkcija, ir funkcija – vidinė (arba įdėta) funkcija.

! Šie apibrėžimai nėra teoriniai ir neturėtų būti įtraukti į galutinį užduočių planą. Aš naudoju neformalius posakius „išorinė funkcija“, „vidinė“ funkcija tik tam, kad jums būtų lengviau suprasti medžiagą.

Norėdami išsiaiškinti situaciją, apsvarstykite:

1 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Po sinusu turime ne tik raidę "x", bet ir visą išraišką, todėl išvestinės iš karto rasti iš lentelės nepavyks. Taip pat pastebime, kad čia neįmanoma taikyti pirmųjų keturių taisyklių, atrodo, kad skirtumas yra, bet faktas yra tas, kad sinuso „išplėšti“ neįmanoma:

Šiame pavyzdyje jau iš mano paaiškinimų intuityviai aišku, kad funkcija yra sudėtinga funkcija, o daugianomas yra vidinė funkcija (įterpimas) ir išorinė funkcija.

Pirmas žingsnis, kuris turi būti atliktas ieškant sudėtingos funkcijos išvestinės to suprasti, kuri funkcija yra vidinė, o kuri išorinė.

Paprastų pavyzdžių atveju atrodo aišku, kad polinomas yra įdėtas po sinusu. Bet kas, jei tai nėra akivaizdu? Kaip tiksliai nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė? Norėdami tai padaryti, siūlau naudoti šią techniką, kurią galima atlikti protiškai arba pagal juodraštį.

Įsivaizduokime, kad reiškinio reikšmę reikia apskaičiuoti skaičiuotuvu (vietoj vieno skaičius gali būti bet koks).

Ką pirmiausia skaičiuosime? Pirmiausia turėsite atlikti šį veiksmą: , todėl daugianomas bus vidinė funkcija:

Antra jums reikės rasti, taigi sinusas - bus išorinė funkcija:

Po mūsų SUPRASTI su vidinėmis ir išorinėmis funkcijomis, laikas taikyti sudėtinių funkcijų diferenciacijos taisyklę .

Pradedame spręsti. Iš pamokos Kaip rasti išvestinę priemonę? prisimename, kad bet kurios išvestinės sprendinio dizainas visada prasideda taip - išraišką įdedame skliausteliuose, o viršuje dešinėje darome brūkšnį:

Iš pradžių randame išorinės funkcijos išvestinę (sinusą), pažiūrime į elementariųjų funkcijų išvestinių lentelę ir pastebime, kad . Visos lentelės formulės yra taikomos, net jei "x" pakeičiamas sudėtinga išraiška, tokiu atveju:

Atkreipkite dėmesį, kad vidinė funkcija nepasikeitė, jo neliečiame.

Na, tai visiškai akivaizdu

Formulės taikymo rezultatas švarus atrodo taip:

Pastovus koeficientas paprastai dedamas išraiškos pradžioje:

Jei kyla nesusipratimų, užrašykite sprendimą ant popieriaus ir dar kartą perskaitykite paaiškinimus.

2 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

3 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Kaip visada rašome:

Išsiaiškiname, kur turime išorinę funkciją, o kur – vidinę. Norėdami tai padaryti, bandome (protiškai arba juodraštyje) apskaičiuoti išraiškos reikšmę. Ką pirmiausia reikia padaryti? Visų pirma reikia apskaičiuoti, kam lygi bazė:, tai reiškia, kad daugianomas yra vidinė funkcija:

Ir tik tada atliekamas eksponentiškumas, todėl galios funkcija yra išorinė funkcija:

Pagal formulę , pirmiausia reikia rasti išorinės funkcijos išvestinę, šiuo atveju laipsnį. Lentelėje ieškome norimos formulės:. Dar kartą kartojame: bet kuri lentelės formulė galioja ne tik "x", bet ir sudėtingai išraiškai. Taigi kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklės taikymo rezultatas Kitas:

Dar kartą pabrėžiu, kad imant išorinės funkcijos išvestinę, vidinė funkcija nesikeičia:

Dabar belieka rasti labai paprastą vidinės funkcijos darinį ir šiek tiek „šukuoti“ rezultatą:

4 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys savarankiškam sprendimui (atsakymas pamokos pabaigoje).

Norėdami įtvirtinti supratimą apie sudėtingos funkcijos išvestinę, pateiksiu pavyzdį be komentarų, pabandykite tai išsiaiškinti patys, motyvuokite, kur yra išorinė, o kur vidinė funkcija, kodėl užduotys sprendžiamos būtent taip?

5 pavyzdys

a) Raskite funkcijos išvestinę

b) Raskite funkcijos išvestinę

6 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia mes turime šaknį, o norint atskirti šaknį, ji turi būti pavaizduota kaip laipsnis. Taigi pirmiausia pateikiame funkciją į tinkamą diferencijavimo formą:

Analizuodami funkciją, darome išvadą, kad trijų narių suma yra vidinė funkcija, o eksponentiškumas yra išorinė funkcija. Taikome kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę :

Laipsnis vėl vaizduojamas kaip radikalas (šaknis), o vidinės funkcijos išvestinei taikome paprastą sumos diferencijavimo taisyklę:

Paruošta. Taip pat galite suvesti išraišką į bendrą vardiklį skliausteliuose ir parašyti viską kaip vieną trupmeną. Žinoma, gražu, bet kai gaunami sudėtingi ilgi dariniai, geriau to nedaryti (lengva susipainioti, padaryti nereikalingą klaidą, o mokytojui bus nepatogu patikrinti).

7 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys savarankiškam sprendimui (atsakymas pamokos pabaigoje).

Įdomu pastebėti, kad kartais vietoj sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklės galima naudoti koeficiento diferencijavimo taisyklę. , tačiau toks sprendimas atrodys kaip iškrypimas neįprastas. Štai tipiškas pavyzdys:

8 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Čia galite naudoti koeficiento diferencijavimo taisyklę , tačiau daug pelningiau išvestinę rasti taikant sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę:

Paruošiame funkciją diferencijuoti - išimame išvestinės minuso ženklą ir pakeliame kosinusą iki skaitiklio:

Kosinusas yra vidinė funkcija, eksponencija yra išorinė funkcija.
Pasinaudokime savo taisykle :

Randame vidinės funkcijos išvestinę, iš naujo nustatome kosinusą žemyn:

Paruošta. Nagrinėjamame pavyzdyje svarbu nesupainioti ženkluose. Beje, pabandykite tai išspręsti taisykle , atsakymai turi sutapti.

9 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Tai pavyzdys savarankiškam sprendimui (atsakymas pamokos pabaigoje).

Iki šiol svarstėme atvejus, kai sudėtingoje funkcijoje turėjome tik vieną lizdą. Praktinėse užduotyse dažnai galima rasti išvestinių, kur, kaip ir lėlės, viena kitos viduje, vienu metu įdėtos 3 ar net 4-5 funkcijos.

10 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę

Mes suprantame šios funkcijos priedus. Bandome įvertinti išraišką naudodami eksperimentinę reikšmę . Kaip suskaičiuotume skaičiuotuvą?

Pirmiausia turite rasti, o tai reiškia, kad arcsinusas yra giliausias lizdas:

Tada šis vienybės arcsinusas turėtų būti padalytas kvadratu:

Ir galiausiai iškeliame septynis į galią:

Tai reiškia, kad šiame pavyzdyje turime tris skirtingas funkcijas ir du lizdus, ​​o vidinė funkcija yra arcsinė, o tolimiausia funkcija yra eksponentinė funkcija.

Pradedame spręsti

Pagal taisyklę pirmiausia reikia paimti išorinės funkcijos išvestinę. Žiūrime į išvestinių lentelę ir randame eksponentinės funkcijos išvestinę: Vienintelis skirtumas yra tas, kad vietoj „x“ turime sudėtingą išraišką, kuri nepaneigia šios formulės galiojimo. Taigi, kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklės taikymo rezultatas Kitas.

Taikymas

Svetainės vedinio sprendimas, skirtas sujungti studentų ir moksleivių aptariamą medžiagą. Apskaičiuoti funkcijos išvestinę per kelias sekundes nėra sunku, jei naudojatės mūsų internetine problemų sprendimo paslauga. Kas trečias mokinys praktinėje pamokoje galės pateikti išsamią analizę nuodugniam tyrimui. Dažnai į mus kreipiasi atitinkamo skyriaus skyrius dėl matematikos populiarinimo šalies ugdymo įstaigose. Kaip šiuo atveju jau nekalbant apie išvestinės online sprendimą uždarai skaitinių sekų erdvei. Daugeliui turtingų asmenų leidžiama išreikšti savo sumišimą. Tačiau tuo tarpu matematikai nesėdi vietoje ir sunkiai dirba. Įvesties parametrų pasikeitimą pagal tiesines charakteristikas išvestinių skaičiuoklė priims daugiausia dėl kubelių mažėjančių pozicijų viršenybės. Rezultatas neišvengiamas kaip paviršius. Kaip pradiniai duomenys, internetinė išvestinė priemonė pašalina būtinybę imtis nereikalingų veiksmų. Išskyrus fiktyvius namų darbus. Be to, kad išvestinių dalykų sprendimas internetu yra būtinas ir svarbus matematikos mokymosi aspektas, mokiniai dažnai neprisimena praeities problemų. Mokinys, kaip tinginys, tai supranta. Bet studentai yra juokingi žmonės! Arba darykite tai pagal taisykles, arba funkcijos išvestinė pasvirusioje plokštumoje gali suteikti pagreitį materialiam taškui. Nukreipkime kur nors besileidžiančio erdvinio pluošto vektorių. Norimame atsakyme išvestinės radimas atrodo kaip abstrakti teorinė kryptis dėl matematinės sistemos nestabilumo. Pagalvokite apie skaičių santykį kaip nepanaudotų parinkčių seką. Ryšio kanalas buvo papildytas penktąja linija išilgai mažėjančio vektoriaus nuo uždaros kubo bifurkacijos taško. Kreivų erdvių plokštumoje išvestinės problemos sprendimas internete veda prie išvados, kuri praėjusiame amžiuje privertė susimąstyti didžiausius planetos protus. Vykstant įvykiams iš matematikos srities, į viešą diskusiją buvo iškelti penki iš esmės svarbūs veiksniai, prisidedantys prie kintamojo pasirinkimo pozicijos gerinimo. Taigi taškų įstatymas sako, kad internetinė išvestinė priemonė ne kiekvienu atveju detaliai skaičiuojama, išimtis gali būti tik lojaliai progresuojantis momentas. Prognozė atvedė mus į naują plėtros etapą. Mums reikia rezultato. Matematinio nuolydžio linijoje, einančioje po paviršiumi, režimo išvestinių skaičiuotuvas yra lenkimo rinkinio gaminių susikirtimo srityje. Belieka išanalizuoti funkcijos diferenciaciją jos nepriklausomame taške netoli epsilono kaimynystės. Tai kiekvienas gali pamatyti praktiškai. Dėl to kitame programavimo etape bus ką nuspręsti. Studentui kaip visada reikalingas internetinis išvestinis dalykas, nepaisant įsivaizduojamų studijų. Pasirodo, išvestinės funkcijos, padaugintos iš konstantos, internetinis sprendimas nekeičia bendrosios materialaus taško judėjimo krypties, o charakterizuoja greičio padidėjimą tiesia linija. Šia prasme bus naudinga taikyti mūsų išvestinę skaičiuoklę ir apskaičiuoti visas funkcijos reikšmes visame jos apibrėžimo rinkinyje. Tiesiog nereikia tirti gravitacinio lauko jėgos bangų. Jokiu būdu internetinis išvestinis sprendimas neparodys išeinančio spindulio posvyrio, tačiau tik retais atvejais, kai tai tikrai būtina, universiteto studentai gali tai įsivaizduoti. Mes tiriame direktorių. Mažiausio rotoriaus vertė yra nuspėjama. Rezultatui pritaikykite linijas, žvelgiančias į dešinę, išilgai kurios aprašytas rutulys, tačiau internetinė išvestinių skaičiuoklė yra ypatingo stiprumo ir netiesinės priklausomybės figūrų pagrindas. Matematikos projekto ataskaita paruošta. Asmeninės savybės mažiausių skaičių skirtumas ir funkcijos išvestinė pagal y ašį iškels tos pačios funkcijos įdubimą į aukštį. Yra kryptis – yra išvada. Teoriją lengviau pritaikyti praktiškai. Yra studentų pasiūlymas dėl studijų pradžios laiko. Reikia mokytojo atsakymo. Vėlgi, kaip ir ankstesnėje pozicijoje, matematinė sistema nėra reguliuojama pagal veiksmą, kuris padės rasti išvestinę.Kaip ir apatinė pusiau tiesinė versija, internetinė išvestinė detaliai nurodys sprendimo identifikavimą pagal išsigimusią sąlyginę teisę. Tiesiog pateikite formulių skaičiavimo idėją. Funkcijos tiesinis diferencijavimas atmeta sprendimo tiesą, paprasčiausiai išdėstydamas nereikšmingus teigiamus variantus. Lyginimo ženklų svarba bus laikoma nuolatine funkcijos pertrauka išilgai ašies. Tai, pasak studento, labai svarbi sąmoningiausia išvada, kurioje internetinė išvestinė yra kažkas kita, nei ištikimas matematinės analizės pavyzdys. Išlenkto apskritimo spindulys Euklido erdvėje, priešingai, išvestinių skaičiuotuvui suteikė natūralų lemiamų problemų pasikeitimą stabilumu. Surastas geriausias būdas. Buvo lengviau išlyginti užduotį. Tegul nepriklausomo skirtumo proporcijos pritaikymas veda prie išvestinių sprendimų internete. Sprendimas sukasi aplink x ašį, aprašydamas apskritimo figūrą. Išeitis yra, ir ji pagrįsta universiteto studentų teoriškai remiamais tyrimais, iš kurių visi mokosi, ir net tais laiko momentais yra funkcijos išvestinė. Radome pažangos kelią ir mokiniai tai patvirtino. Galime sau leisti rasti išvestinę neperžengdami nenatūralaus požiūrio į matematinės sistemos transformavimą. Kairysis proporcinis ženklas auga eksponentiškai kaip matematinis internetinės išvestinės skaičiuoklės vaizdas dėl nežinomų tiesinių veiksnių begalinėje y ašyje aplinkybės. Matematikai visame pasaulyje įrodė gamybos proceso išskirtinumą. Apskritimo viduje yra mažiausias kvadratas pagal teorijos aprašymą. Vėlgi, internetinė išvestinė priemonė paaiškins mūsų spėjimą, kas pirmiausia galėjo turėti įtakos teoriškai patobulintai nuomonei. Buvo kitokio pobūdžio nuomonių nei mūsų analizuotame pranešime. Atskiro dėmesio gali ir nenutikti mūsų fakultetų studentams, bet tik ne protingiems ir pažengusiems matematikams, kuriems funkcijos diferencijavimas yra tik pasiteisinimas. Mechaninė vedinio reikšmė labai paprasta. Kėlimo jėga apskaičiuojama kaip internetinė išvestinė į apačią pastovioms erdvėms laike. Akivaizdu, kad išvestinių skaičiuoklė yra griežtas procesas, apibūdinantis dirbtinės transformacijos, kaip amorfinio kūno, išsigimimo problemą. Pirmoji išvestinė kalba apie materialaus taško judėjimo pasikeitimą. Akivaizdu, kad trimatė erdvė stebima specialiai parengtų išvestinių sprendimų internete technologijų kontekste, iš tikrųjų ji yra kiekviename koliokviume matematikos disciplinos tema. Antroji išvestinė apibūdina materialaus taško greičio kitimą ir nustato pagreitį. Meridiano metodas, pagrįstas afininės transformacijos naudojimu, perkelia funkcijos išvestinę taške iš šios funkcijos apibrėžimo srities į naują lygį. Internetinis išvestinių skaičiuotuvas kai kuriais atvejais negali būti be skaičių ir simbolinio žymėjimo tinkamu vykdymo momentu, išskyrus transformuojamą užduoties dalykų išdėstymą. Keista, kad yra antrasis materialaus taško pagreitis, kuris apibūdina pagreičio pokytį. Netrukus mes pradėsime studijuoti išvestinio sprendimo būdą internete, tačiau kai tik pasieks tam tikrą žinių etapą, mūsų studentas sustabdys šį procesą. Geriausia tinklų kūrimo priemonė yra tiesioginis pokalbis matematine tema. Yra principų, kurių negalima pažeisti jokiomis aplinkybėmis, kad ir kokia sunki užduotis būtų. Naudinga laiku ir be klaidų rasti išvestį internete. Tai lems naują matematinės išraiškos padėtį. Sistema yra stabili. Fizinė vedinio reikšmė nėra tokia populiari kaip mechaninė. Vargu ar kas nors prisimena, kaip internetinė išvestinė plokštumoje detaliai išvedė funkcijos linijų kontūrą į normaliąją nuo trikampio, esančio greta x ašies. Žmogus nusipelno didelio vaidmens praėjusio amžiaus tyrinėjimuose. Atlikime trijuose elementariuose etapuose funkcijos diferencijavimą taškuose, tiek iš apibrėžimo srities, tiek iš begalybės. Bus rašoma tik studijų srityje, bet gali užimti pagrindinio vektoriaus vietą matematikoje ir skaičių teorijoje, kai tik tai, kas atsitiks, susies internetinį išvestinių skaičiuotuvą su problema. Priežastis būtų, bet bus priežastis sudaryti lygtį. Labai svarbu nepamiršti visų įvesties parametrų. Į geriausius ne visada žiūrima akis į akį, už to slypi didžiulis geriausių protų, žinojusių, kaip internetinė išvestinė priemonė apskaičiuojama erdvėje, darbo. Nuo tada išgaubtumas buvo laikomas nuolatinės funkcijos savybe. Visgi, geriau iš pradžių nustatyti išvestinių finansinių priemonių sprendimą internetu per trumpiausią įmanomą laiką. Taigi sprendimas bus baigtas. Be neįvykdytų normų, manoma, kad to nepakanka. Iš pradžių beveik kiekvienas studentas siūlo pateikti paprastą metodą, kaip funkcijos išvestinė sukelia prieštaringą augimo algoritmą. Kylančio spindulio kryptimi. Tai prasminga kaip bendra pozicija. Anksčiau jie žymėdavo konkretaus matematinio veiksmo atlikimo pradžią, o šiandien bus atvirkščiai. Galbūt išvestinės internete sprendimas vėl iškels problemą ir mokytojų susirinkimo diskusijoje priimsime bendrą nuomonę dėl jos išsaugojimo. Tikimės supratimo iš visų susitikimo dalyvių pusių. Loginė prasmė glūdi išvestinių skaičių rezonanso skaičiuoklės aprašyme apie problemos minties pateikimo seką, į kurią praėjusiame amžiuje atsakė didieji pasaulio mokslininkai. Tai padės iš konvertuotos išraiškos išgauti sudėtingą kintamąjį ir internete rasti išvestinę, kad būtų atliktas didžiulis to paties tipo veiksmas. Tiesa daug geriau nei spėlionės. Mažiausia vertė tendencijoje. Rezultatas netruks laukti, kai naudosite unikalią paslaugą tiksliausiai vietai nustatyti, kuriai yra išsami internetinė išvestinė priemonė. Netiesiogiai, bet iki esmės, kaip sakė vienas išmintingas žmogus, daugelio studentų iš skirtingų sąjungos miestų prašymu buvo sukurta internetinė išvestinių finansinių priemonių skaičiuoklė. Jei yra skirtumas, kam tada nuspręsti du kartus. Pateiktas vektorius yra toje pačioje pusėje kaip ir normalus. Praėjusio amžiaus viduryje funkcijos diferencijavimas anaiptol nebuvo suvokiamas taip, kaip šiandien. Vykdomos plėtros dėka atsirado internetinė matematika. Laikui bėgant studentai pamiršta įskaityti matematines disciplinas. Išvestinės internetinis sprendimas bus iššūkis mūsų tezei, pagrįstai teorijos taikymu, paremtu praktinėmis žiniomis. Peržengs esamą pateikimo faktoriaus reikšmę ir parašys formulę aiškia funkcijos forma. Pasitaiko, kad išvestinę priemonę reikia rasti internete jau dabar, nenaudojant jokios skaičiuoklės, tačiau visada galite pasinaudoti studento gudrybe ir vis tiek pasinaudoti tokia paslauga kaip svetaine. Taigi studentas sutaupys daug laiko kopijuodamas pavyzdžius iš sąsiuvinio juodraščio į galutinę formą. Jei nėra prieštaravimų, tokiems sudėtingiems pavyzdžiams naudokite žingsnis po žingsnio sprendimo paslaugą.

Pateikiami išvestinių skaičiavimo, naudojant kompleksinės funkcijos išvestinės formulę, pavyzdžiai.

Pateikiame šių funkcijų išvestinių skaičiavimo pavyzdžius:
; ; ; ; .

Jei funkcija gali būti pavaizduota kaip sudėtinga funkcija tokia forma:
,
tada jo išvestinė nustatoma pagal formulę:
.
Toliau pateiktuose pavyzdžiuose šią formulę parašysime tokia forma:
.
Kur.
Čia apatiniai indeksai arba , esantys po išvestinio ženklu, žymi kintamąjį, kurio atžvilgiu atliekamas diferencijavimas.

Paprastai išvestinių lentelėse pateikiamos funkcijų išvestinės iš kintamojo x. Tačiau x yra formalus parametras. Kintamąjį x galima pakeisti bet kuriuo kitu kintamuoju. Todėl, atskirdami funkciją nuo kintamojo, išvestinių lentelėje kintamąjį x tiesiog pakeičiame į kintamąjį u .

Paprasti pavyzdžiai

1 pavyzdys

Raskite sudėtingos funkcijos išvestinę
.

Sprendimas

Pateiktą funkciją rašome lygiaverte forma:
.
Darinių lentelėje randame:
;
.

Pagal sudėtingos funkcijos išvestinės formulę turime:
.
čia .

Atsakymas

2 pavyzdys

Rasti išvestinę
.

Sprendimas

Už išvestinės ženklo išimame konstantą 5 ir iš išvestinių lentelės randame:
.

.
čia .

Atsakymas

3 pavyzdys

Raskite išvestinę
.

Sprendimas

Išimame konstantą -1 vedinio ženklui ir iš vedinių lentelės randame:
;
Iš darinių lentelės randame:
.

Taikome sudėtingos funkcijos išvestinės formulę:
.
čia .

Atsakymas

Sudėtingesni pavyzdžiai

Sudėtingesniuose pavyzdžiuose keletą kartų taikome sudėtinių funkcijų diferenciacijos taisyklę. Tai darydami išvestinę apskaičiuojame nuo galo. Tai yra, suskaidome funkciją į sudedamąsias dalis ir randame paprasčiausių dalių išvestinius išvestinė lentelė. Mes taip pat kreipiamės sumų diferencijavimo taisyklės, produktai ir frakcijos . Tada atliekame pakaitalus ir taikome kompleksinės funkcijos išvestinės formulę.

4 pavyzdys

Raskite išvestinę
.

Sprendimas

Pasirenkame paprasčiausią formulės dalį ir randame jos išvestinę. .

.
Čia mes panaudojome žymėjimą
.

Taikydami gautus rezultatus randame kitos pradinės funkcijos dalies išvestinę. Taikome sumos diferencijavimo taisyklę:
.

Dar kartą taikome sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę.

.
čia .

Atsakymas

5 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę
.

Sprendimas

Parenkame paprasčiausią formulės dalį ir randame jos išvestinę iš išvestinių lentelės. .

Taikome kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę.
.
Čia
.

Apibrėžimas. Tegul funkcija \(y = f(x) \) yra apibrėžta tam tikrame intervale, kurio viduje yra taškas \(x_0 \). Padidinkime \(\Delta x \) iki argumento, kad nepaliktume šio intervalo. Raskite atitinkamą funkcijos \(\Delta y \) prieaugį (einant iš taško \(x_0 \) į tašką \(x_0 + \Delta x \)) ir sudarykite ryšį \(\frac(\Delta y) )(\Delta x) \). Jei \(\Delta x \rightarrow 0 \) yra šio ryšio riba, tada nurodyta riba vadinama išvestinė funkcija\(y=f(x) \) taške \(x_0 \) ir pažymėkite \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \iki 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbolis y dažnai naudojamas išvestinei žymėti. Atkreipkite dėmesį, kad y" = f(x) yra nauja funkcija, tačiau natūraliai susijusi su funkcija y = f(x), apibrėžta visuose x taškuose, kuriuose egzistuoja aukščiau nurodyta riba . Ši funkcija vadinama taip: funkcijos y \u003d f (x) išvestinė.

Išvestinės geometrinė reikšmė susideda iš toliau nurodytų dalykų. Jei liestinė, kuri nėra lygiagreti y ašiai, gali būti nubrėžta į funkcijos y \u003d f (x) grafiką taške, kurio abscisė x \u003d a, tada f (a) išreiškia liestinės nuolydį:
\(k = f"(a)\)

Kadangi \(k = tg(a) \), lygybė \(f"(a) = tg(a) \) yra teisinga.

O dabar išvestinės apibrėžimą interpretuojame apytikslėmis lygybėmis. Tegul funkcija \(y = f(x) \) turi išvestinę tam tikrame taške \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \iki 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Tai reiškia, kad šalia taško x apytikslė lygybė \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), t.y. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Gautos apytikslės lygybės prasminga reikšmė yra tokia: funkcijos prieaugis yra „beveik proporcingas“ argumento prieaugiui, o proporcingumo koeficientas yra išvestinės reikšmė duotame taške x. Pavyzdžiui, funkcijos \(y = x^2 \) apytikslė lygybė \(\Delta y \apytiksliai 2x \cdot \Delta x \) yra teisinga. Jei atidžiai išanalizuosime išvestinės apibrėžimą, pamatysime, kad jame yra algoritmas, kaip jį rasti.

Suformuluokime.

Kaip rasti funkcijos y \u003d f (x) išvestinę?

1. Pataisykite reikšmę \(x \), raskite \(f(x) \)
2. Padidinkite \(x \) argumentą \(\Delta x \), pereikite į naują tašką \(x+ \Delta x \), raskite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Raskite funkcijos prieaugį: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Sudarykite ryšį \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Apskaičiuokite $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ši riba yra funkcijos x išvestinė.

Jei funkcija y = f(x) turi išvestinę taške x, tai taške x ji vadinama diferencijuojama. Iškviečiama funkcijos y \u003d f (x) išvestinės radimo procedūra diferenciacija funkcijos y = f(x).

Aptarkime tokį klausimą: kaip yra susiję funkcijos tęstinumas ir diferenciacija taške?

Tegul funkcija y = f(x) taške x diferencijuojama. Tada funkcijos grafikui taške M (x; f (x)) galima nubrėžti liestinę ir, prisiminkime, liestinės nuolydis yra lygus f "(x). Toks grafikas negali "nutrūkti" ties taškas M, t.y., funkcija turi būti ištisinė ties x.

Tai buvo samprotavimai „ant pirštų“. Pateikime griežtesnį argumentą. Jei funkcija y = f(x) yra diferencijuojama taške x, tai apytikslė lygybė \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) yra lygi nuliui, tada \(\Delta y \) ) taip pat bus linkęs į nulį, ir tai yra funkcijos tęstinumo taške sąlyga.

Taigi, jei funkcija yra diferencijuojama taške x, tai tame taške ji taip pat yra tolydi.

Atvirkščiai netiesa. Pavyzdžiui: funkcija y = |x| yra ištisinis visur, ypač taške x = 0, bet funkcijos grafiko liestinė "jungties taške" (0; 0) neegzistuoja. Jei tam tikru momentu funkcijos grafiko liestinės nubrėžti neįmanoma, tai išvestinės šiuo metu nėra.

Dar vienas pavyzdys. Funkcija \(y=\sqrt(x) \) yra ištisinė visoje skaičių tiesėje, įskaitant tašką x = 0. O funkcijos grafiko liestinė egzistuoja bet kuriame taške, įskaitant tašką x = 0 Bet šiuo metu liestinė sutampa su y ašimi, tai yra, ji yra statmena abscisių ašiai, jos lygtis yra x \u003d 0. Tokiai tiesei nėra nuolydžio, o tai reiškia, kad \ ( f „(0) \) taip pat neegzistuoja

Taigi, susipažinome su nauja funkcijos savybe – diferenciacija. Kaip galite pasakyti, ar funkcija skiriasi nuo funkcijos grafiko?

Atsakymas iš tikrųjų pateiktas aukščiau. Jei tam tikru momentu funkcijos grafike galima nubrėžti liestinę, kuri nėra statmena x ašiai, tai šioje vietoje funkcija yra diferencijuojama. Jei tam tikru momentu funkcijos grafiko liestinė neegzistuoja arba ji yra statmena x ašiai, tai šiuo metu funkcija nediferencijuojama.

Diferencijavimo taisyklės

Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija. Atliekant šią operaciją dažnai tenka dirbti su koeficientais, sumomis, funkcijų sandaugomis, taip pat su „funkcijų funkcijomis“, tai yra sudėtingomis funkcijomis. Remdamiesi išvestinės apibrėžimu, galime išvesti diferencijavimo taisykles, palengvinančias šį darbą. Jei C yra pastovus skaičius, o f=f(x), g=g(x) yra kai kurios diferencijuojamos funkcijos, tai teisinga diferenciacijos taisyklės:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Sudėtinės funkcijos išvestinė:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Kai kurių funkcijų išvestinių lentelė

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $