Straipsnyje aptariamos pirminių ir sudėtinių skaičių sąvokos. Pateikiami tokių skaičių apibrėžimai su pavyzdžiais. Pateikiame įrodymą, kad pirminių skaičių skaičius neribojamas ir Eratosteno metodu padarome įrašą pirminių skaičių lentelėje. Bus pateikti įrodymai, ar skaičius yra pirminis, ar sudėtinis.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai – apibrėžimai ir pavyzdžiai
Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai klasifikuojami kaip teigiami sveikieji skaičiai. Jie turi būti didesni nei vienas. Dalikliai taip pat skirstomi į paprastus ir sudėtinius. Norint suprasti sudėtinių skaičių sąvoką, pirmiausia reikia išstudijuoti daliklių ir kartotinių sąvokas.
1 apibrėžimas
Pirminiai skaičiai yra sveikieji skaičiai, didesni už vieną ir turintys du teigiamus daliklius, ty save ir 1.
2 apibrėžimas
Sudėtiniai skaičiai yra sveikieji skaičiai, didesni už vieną ir turintys bent tris teigiamus daliklius.
Vienas nėra nei pirminis, nei sudėtinis skaičius. Jis turi tik vieną teigiamą daliklį, todėl skiriasi nuo visų kitų teigiamų skaičių. Visi teigiami sveikieji skaičiai vadinami natūraliais, tai yra, naudojami skaičiuojant.
3 apibrėžimas
pirminiai skaičiai yra natūralūs skaičiai, turintys tik du teigiamus daliklius.
4 apibrėžimas
Sudėtinis skaičius yra natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du teigiamus daliklius.
Bet kuris skaičius, didesnis nei 1, yra pirminis arba sudėtinis. Iš dalijimosi savybės gauname, kad 1 ir skaičius a visada bus bet kurio skaičiaus a dalikliai, tai yra, jis dalijasi iš savęs ir iš 1. Pateikiame sveikųjų skaičių apibrėžimą.
5 apibrėžimas
Natūralūs skaičiai, kurie nėra pirminiai, vadinami sudėtiniais skaičiais.
Pirminiai skaičiai: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Jie dalijasi tik iš savęs ir iš 1. Sudėtiniai skaičiai: 6, 63, 121, 6697. Tai reiškia, kad skaičius 6 gali būti išskaidytas į 2 ir 3, o 63 - į 1, 3, 7, 9, 21, 63 ir 121 į 11, 11, tai yra, jo dalikliai bus 1, 11, 121. Skaičius 6697 suskaidys į 37 ir 181. Atkreipkite dėmesį, kad pirminių skaičių ir santykinai pirminių skaičių sąvokos yra skirtingos sąvokos.
Kad būtų lengviau naudoti pirminius skaičius, turite naudoti lentelę:
Visų esamų natūraliųjų skaičių lentelė yra nereali, nes jų yra begalinis skaičius. Kai skaičiai pasiekia 10000 arba 1000000000 dydžius, turėtumėte pagalvoti apie Eratosteno sieto naudojimą.
Apsvarstykite teoremą, paaiškinančią paskutinį teiginį.
1 teorema
Mažiausias teigiamas natūraliojo skaičiaus daliklis, didesnis nei 1, išskyrus 1, yra pirminis skaičius.
1 įrodymas
Tarkime, kad a yra natūralusis skaičius, didesnis už 1, o b yra mažiausias nevienetinis a daliklis. Turime įrodyti, kad b yra pirminis skaičius, naudodami prieštaravimo metodą.
Tarkime, kad b yra sudėtinis skaičius. Iš čia matome, kad yra b daliklis, kuris skiriasi nuo 1 ir nuo b. Toks daliklis žymimas b 1 . Būtina, kad 1 sąlyga< b 1 < b Buvo atlikta.
Iš sąlygos, kad a dalijasi iš b, b dalijasi iš b 1, matyti, tai reiškia, kad dalijimosi sąvoka išreiškiama taip: a = b q ir b = b 1 q 1 , iš kur a = b 1 (q 1 q) , kur q ir q 1 yra sveikieji skaičiai. Pagal sveikųjų skaičių daugybos taisyklę gauname, kad sveikųjų skaičių sandauga yra sveikasis skaičius, kurio lygybė yra a = b 1 · (q 1 · q) . Matyti, kad b1 yra a daliklis. 1 nelygybė< b 1 < b Ne atitinka, nes gauname, kad b yra mažiausias teigiamas ne 1 daliklis a.
2 teorema
Pirminių skaičių yra be galo daug.
2 įrodymas
Tarkime, kad paimame baigtinį skaičių natūraliųjų skaičių n ir pažymime kaip p 1 , p 2 , … , p n . Panagrinėkime variantą, kaip rasti pirminį skaičių, kuris skiriasi nuo nurodytųjų.
Apsvarstykite skaičių p, kuris lygus p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Jis nelygus kiekvienam skaičiui, atitinkančiam pirminius pirminius p 1 , p 2 , … , p n formos skaitmenis. Skaičius p yra pirminis. Tada teorema laikoma įrodyta. Jei jis yra sudėtinis, turime pažymėti p n + 1 ir parodykite daliklio neatitikimą su bet kuriuo iš p 1 , p 2 , … , p n .
Jei taip nebūtų, tada, remiantis sandaugos p 1 , p 2 , … , p n dalijamumo savybe , gauname, kad jis dalytųsi iš p n + 1 . Atkreipkite dėmesį, kad išraiška p n + 1 skaičius p padalytas lygus sumai p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Gauname, kad išraiška p n + 1 Antrasis šios sumos narys, lygus 1, turi būti padalintas, bet tai neįmanoma.
Galima pastebėti, kad bet kurį pirminį skaičių galima rasti tarp bet kurio pateiktų pirminių skaičių. Iš to išplaukia, kad pirminių skaičių yra be galo daug.
Kadangi pirminių skaičių yra daug, lentelėse gali būti tik skaičiai 100, 1000, 10000 ir pan.
Sudarant pirminių skaičių lentelę, reikėtų atsižvelgti į tai, kad tokiai užduočiai atlikti reikia nuosekliai tikrinti skaičius, pradedant nuo 2 iki 100. Jei daliklio nėra, jis įrašomas į lentelę, jei sudėtinis, tada į lentelę neįrašomas.
Apsvarstykime žingsnis po žingsnio.
Jei pradedate nuo skaičiaus 2, tada jis turi tik 2 daliklius: 2 ir 1, o tai reiškia, kad jį galima įrašyti į lentelę. Taip pat su numeriu 3 . Skaičius 4 yra sudėtinis, jis turėtų būti išskaidytas į 2 ir 2. Skaičius 5 yra pirminis, o tai reiškia, kad jį galima užfiksuoti lentelėje. Atlikite tai iki skaičiaus 100.
Šis metodas yra nepatogus ir užima daug laiko. Galite padaryti stalą, bet turėsite praleisti daug laiko. Būtina naudoti dalijamumo kriterijus, kurie pagreitins daliklių paieškos procesą.
Patogiausias laikomas metodas naudojant Eratosteno sietą. Pažvelkime į toliau pateiktas lenteles. Pirmiausia rašomi skaičiai 2, 3, 4, ..., 50.
Dabar reikia išbraukti visus skaičius, kurie yra 2 kartotiniai. Padarykite nuoseklų perbraukimą. Gauname tokios formos lentelę:
Pereikime prie skaičių, kurie yra 5 kartotiniai, išbraukimo. Mes gauname:
Nubraukiame skaičius, kurie yra 7, 11 kartotiniai. Pagaliau lentelė atrodo taip
Pereikime prie teoremos formulavimo.
3 teorema
Bazinio skaičiaus a mažiausias teigiamas ir ne 1 daliklis neviršija a , kur a yra duoto skaičiaus aritmetinė šaknis.
3 įrodymas
B reikia pažymėti kaip mažiausią sudėtinio skaičiaus a daliklį. Yra sveikasis skaičius q , kur a = b · q , ir mes turime, kad b ≤ q . Formos nelygybė b > q nes pažeidžiama sąlyga. Abi nelygybės b ≤ q pusės turi būti padaugintos iš bet kurio teigiamo skaičiaus b, nelygaus 1 . Gauname, kad b b ≤ b q , kur b 2 ≤ a ir b ≤ a .
Iš įrodytos teoremos matyti, kad skaičių išbraukimas lentelėje lemia tai, kad reikia pradėti nuo skaičiaus, lygaus b 2 ir tenkinančio nelygybę b 2 ≤ a . Tai yra, jei išbraukiate skaičius, kurie yra 2 kartotiniai, procesas prasideda nuo 4, o tie, kurie yra 3 kartotiniai, prasideda nuo 9 ir taip toliau iki 100.
Sudarant tokią lentelę pagal Eratosteno teoremą sakoma, kad perbraukus visus sudėtinius skaičius, liks pirminiai, kurie neviršija n. Pavyzdyje, kur n = 50, turime n = 50. Iš čia gauname, kad Eratosteno sietas išsijoja visus sudėtinius skaičius, kurių vertė nėra didesnė už 50 šaknies reikšmę. Skaičių paieška atliekama perbraukiant.
Prieš sprendžiant reikia išsiaiškinti, ar skaičius pirminis, ar sudėtinis. Dažnai naudojami padalijimo kriterijai. Pažvelkime į tai toliau pateiktame pavyzdyje.
1 pavyzdys
Įrodykite, kad 898989898989898989 yra sudėtinis skaičius.
Sprendimas
Duoto skaičiaus skaitmenų suma lygi 9 8 + 9 9 = 9 17 . Taigi skaičius 9 17 dalijasi iš 9, remiantis dalijimosi iš 9 ženklu. Iš to išplaukia, kad jis yra sudėtinis.
Tokie ženklai negali įrodyti skaičiaus pirmumo. Jei reikia patikrinti, reikia imtis kitų veiksmų. Tinkamiausias būdas yra surašyti skaičius. Proceso metu galima rasti pirminius ir sudėtinius skaičius. Tai reiškia, kad vertės skaičiai neturi viršyti a. Tai yra, skaičius a turi būti išskaidytas į pirminius veiksnius. jei tai tiesa, tada skaičius a gali būti laikomas pirminiu.
2 pavyzdys
Nustatykite sudėtinį arba pirminį skaičių 11723.
Sprendimas
Dabar reikia rasti visus skaičiaus 11723 daliklius. Reikia įvertinti 11723 .
Iš čia matome, kad 11723 m< 200 , то 200 2 = 40 000 ir 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .
Norint tiksliau įvertinti skaičių 11723, reikia parašyti išraišką 108 2 = 11 664 ir 109 2 = 11 881 , Tai 108 2 < 11 723 < 109 2 . Iš to išplaukia, kad 11723 m< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
Išskaidydami gauname, kad 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 7 , 7 , 7 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 yra pirminiai skaičiai. Visą šį procesą galima pavaizduoti kaip padalijimą stulpeliu. Tai yra, padalinkite 11723 iš 19. Skaičius 19 yra vienas iš jo veiksnių, nes mes gauname padalijimą be liekanos. Pavaizduokime padalijimą stulpeliu:
Iš to išplaukia, kad 11723 yra sudėtinis skaičius, nes be savęs ir 1 jis turi daliklį 19 .
Atsakymas: 11723 yra sudėtinis skaičius.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
Visi kiti natūralieji skaičiai vadinami sudėtiniais. Natūralusis skaičius 1 nėra nei pirminis, nei sudėtinis.
Pavyzdys
Pratimas. Kurie iš šių natūraliųjų skaičių yra pirminiai:
Atsakymas.
Skaičiaus faktorius
Natūralaus skaičiaus vaizdavimas natūraliųjų skaičių sandauga vadinamas faktorizavimas. Jeigu natūraliojo skaičiaus faktorizacijoje visi veiksniai yra pirminiai skaičiai, tai tokia faktorizacija vadinama pirminis faktorizavimas.
Teorema
(Pagrindinė aritmetikos teorema)
Kiekvienas natūralusis skaičius, išskyrus 1, gali būti išskaidytas į pirminius veiksnius ir, be to, unikaliu būdu (jei identifikuosime skaidymus ir , kur ir yra pirminiai skaičiai).
Sujungę vienodus pirminius skaičiaus skaidymo veiksnius, gauname vadinamąjį kanoninį skaičiaus skaidymą:
kur , yra skirtingi pirminiai skaičiai ir yra natūralūs skaičiai.
Pavyzdys
Pratimas. Raskite kanoninį skaičių išplėtimą:
Sprendimas. Norėdami rasti kanoninį skaičių išplėtimą, pirmiausia turite juos išskaidyti į pirminius veiksnius, tada sujungti tuos pačius veiksnius ir parašyti jų sandaugą kaip laipsnį su natūraliuoju rodikliu:
Atsakymas.
Istorinė nuoroda
Kaip nustatyti, kuris skaičius yra pirminis, o kuris ne? Labiausiai paplitęs būdas rasti visus pirminius skaičius bet kuriame skaitiniame intervale buvo pasiūlytas III amžiuje. pr. Kr e. Eratostenas (metodas vadinamas „Eratosteno sietu“). Tarkime, kad turime nustatyti, kurie iš skaičių yra pirminiai. Išrašome juos iš eilės ir išbraukiame kas antrą skaičių iš po skaičiaus 2 – jie visi yra sudėtiniai, nes yra skaičiaus 2 kartotiniai. Pirmasis iš likusių neperbrauktų skaičių – 3 – yra pirminis. Išbraukite kas trečią skaičių iš einančių po skaičiaus 3; kitas iš neperbrauktų skaičių – 5 – taip pat bus pirminis. Tuo pačiu principu išbraukiame kas penktą skaičių iš einančių po skaičiaus 5 ir apskritai kiekvieną -e iš tų, kurie eina po skaičiumi . Visi likę neperbraukti skaičiai bus pirminiai.
Didėjant pirminiams skaičiams, jie tampa vis retesni. Tačiau jau senoliai puikiai žinojo, kad jų yra be galo daug. Jo įrodymas pateiktas Euklido elementuose.
pirminis skaičius yra natūralusis (teigiamas sveikasis skaičius), kuris be liekanos dalijasi tik iš dviejų natūraliųjų skaičių: iš savęs ir iš savęs. Kitaip tariant, pirminis skaičius turi lygiai du natūraliuosius daliklius: ir patį skaičių.
Pagal apibrėžimą pirminio skaičiaus visų daliklių aibė yra dviejų elementų, t.y. yra rinkinys.
Visų pirminių skaičių aibė žymima simboliu . Taigi, remiantis pirminių skaičių aibės apibrėžimu, galime rašyti: .
Pirminių skaičių seka atrodo taip:
Pagrindinė aritmetikos teorema
Pagrindinė aritmetikos teorema teigia, kad kiekvienas natūralusis skaičius, didesnis už vieną, gali būti pavaizduotas kaip pirminių skaičių sandauga ir unikaliu būdu, atsižvelgiant į veiksnių eilę. Taigi pirminiai skaičiai yra elementarieji natūraliųjų skaičių aibės „statybiniai blokai“.
Natūralaus skaičiaus skaidymas title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanoninis:
kur yra pirminis skaičius ir . Pavyzdžiui, natūraliojo skaičiaus kanoninis išplėtimas atrodo taip: .
Taip pat vadinamas natūraliojo skaičiaus vaizdavimas pirminių skaičių sandauga skaičių faktorizavimas.
Pirminių skaičių savybės
Eratosteno sietelis
Vienas žinomiausių pirminių skaičių paieškos ir atpažinimo algoritmų yra Eratosteno sietas. Taigi šis algoritmas buvo pavadintas graikų matematiko Eratosteno Kirėniečio vardu, kuris laikomas algoritmo autoriumi.
Norėdami rasti visus pirminius skaičius, mažesnius už nurodytą skaičių, vadovaudamiesi Eratosteno metodu, turite atlikti šiuos veiksmus:
1 žingsnis. Iš eilės išrašykite visus natūraliuosius skaičius nuo dviejų iki , t.y. .
2 žingsnis Kintamajam priskirkite reikšmę, tai yra reikšmę, lygią mažiausiam pirminiam skaičiui.
3 veiksmas Ištrinkite iš sąrašo visus skaičius nuo iki kartotinių, tai yra skaičius: .
4 veiksmas Suraskite pirmąjį neperbrauktą skaičių sąraše, didesnį už , ir priskirkite to skaičiaus reikšmę kintamajam.
5 veiksmas Kartokite 3 ir 4 veiksmus, kol pasieksite skaičių.
Algoritmo taikymo procesas atrodys taip:
Visi likę neperbraukti skaičiai sąraše algoritmo taikymo proceso pabaigoje bus pirminių skaičių rinkinys nuo iki .
Goldbacho hipotezė
Knygos „Dėdė Petrosas ir Goldbacho spėjimas“ viršelis
Nepaisant to, kad pirminius skaičius matematikai tyrinėjo ilgą laiką, šiandien daugelis susijusių problemų lieka neišspręstos. Viena žinomiausių neišspręstų problemų yra Goldbacho spėjimas, kuris suformuluotas taip:
- Ar tiesa, kad kiekvienas lyginis skaičius, didesnis už du, gali būti pavaizduotas kaip dviejų pirminių skaičių suma (Goldbacho dvejetainis spėjimas)?
- Ar tiesa, kad kiekvienas nelyginis skaičius, didesnis nei 5, gali būti pavaizduotas kaip trijų pirminių skaičių suma (Goldbacho trejetas spėjimas)?
Reikia pasakyti, kad trinarė Goldbacho spėjimas yra ypatingas dvejetainio Goldbacho spėliojimo atvejis arba, kaip sako matematikai, trejetas Goldbacho spėjimas yra silpnesnis už dvejetainį Goldbacho spėjimą.
Goldbacho spėjimas tapo plačiai žinomas už matematikos bendruomenės ribų 2000 m. dėl reklamos rinkodaros triuko, kurį atliko Bloomsbury JAV (JAV) ir Faber and Faber (JK) leidybos įmonės. Šios leidyklos, išleidusios knygą „Dėdė Petros ir Goldbacho spėjimas“, pažadėjo per 2 metus nuo knygos išleidimo datos sumokėti 1 milijono JAV dolerių premiją tam, kuris įrodys Goldbacho spėjimą. Kartais minėtas leidėjų prizas painiojamas su prizais už Tūkstantmečio premijos problemų sprendimą. Nesuklyskite, Goldbacho hipotezė Molio instituto nėra įtraukta į Tūkstantmečio iššūkį, nors ji yra glaudžiai susijusi su Riemann hipotezė vienas iš tūkstantmečio iššūkių.
Knygą „Paprasti skaičiai. Ilgas kelias į begalybę
Knygos „Matematikos pasaulis. Paprasti skaičiai. Ilgas kelias į begalybę
Be to, rekomenduoju perskaityti žavią mokslo populiarinimo knygą, kurios anotacijoje rašoma: „Pirminių skaičių paieška yra viena paradoksaliausių matematikos problemų. Mokslininkai jau kelis tūkstantmečius bandė ją išspręsti, tačiau, gaudami naujų versijų ir hipotezių, ši paslaptis vis dar lieka neįminta. Pirminių skaičių išvaizda nėra pavaldi jokiai sistemai: jie atsiranda spontaniškai natūraliųjų skaičių serijoje, ignoruojant visus matematikų bandymus nustatyti jų sekos modelius. Ši knyga leis skaitytojui atsekti mokslo idėjų raidą nuo seniausių laikų iki šių dienų ir supažindinti su įdomiausiomis pirminių skaičių paieškos teorijomis.
Be to, pacituosiu antrojo šios knygos skyriaus pradžią: „Pirminiai skaičiai yra viena iš svarbių temų, sugrąžinančių mus į pačias matematikos užuomazgas, o vėliau vis sudėtingėjančio keliu vedančių į pjovimą. šiuolaikinio mokslo kraštas. Taigi būtų labai naudinga atsekti žavią ir sudėtingą pirminių skaičių teorijos istoriją: kaip tiksliai ji vystėsi, kaip tiksliai buvo renkami faktai ir tiesos, kurios dabar laikomos visuotinai priimtomis. Šiame skyriuje pamatysime, kaip matematikų kartos kruopščiai tyrinėjo natūraliuosius skaičius, ieškodamos taisyklės, numatančios pirminių skaičių atsiradimą – taisyklės, kuri, atliekant paiešką, tapo vis sunkiau suvokiama. Taip pat atidžiai pažvelgsime į istorinį kontekstą: kokiomis sąlygomis dirbo matematikai ir kiek jų darbas apėmė mistines ir pusiau religines praktikas, kurios visai nepanašios į mūsų laikais naudojamus mokslinius metodus. Nepaisant to, lėtai ir sunkiai buvo paruošta dirva naujiems požiūriams, kurie įkvėpė Fermat ir Euler XVII ir XVIII a.
- Vertimas
Pirminių skaičių savybes pirmieji tyrinėjo senovės Graikijos matematikai. Pitagoro mokyklos (500 – 300 m. pr. Kr.) matematikai pirmiausia domėjosi mistinėmis ir numerologinėmis pirminių skaičių savybėmis. Jie buvo pirmieji, kurie sugalvojo tobulus ir draugiškus skaičius.
Tobulas skaičius turi savo daliklius, lygius jam pačiam. Pavyzdžiui, tinkami skaičiaus 6 dalikliai yra: 1, 2 ir 3. 1 + 2 + 3 = 6. Skaičiaus 28 dalikliai yra 1, 2, 4, 7 ir 14. Be to, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Skaičiai vadinami draugiškaisiais, jei vieno skaičiaus tinkamųjų daliklių suma yra lygi kitam, ir atvirkščiai – pavyzdžiui, 220 ir 284. Galima sakyti, kad tobulas skaičius yra draugiškas sau.
Iki Euklido kūrinio „Pradžia“ pasirodymo 300 m. Jau buvo įrodyta keletas svarbių faktų apie pirminius skaičius. IX elementų knygoje Euklidas įrodė, kad pirminių skaičių yra be galo daug. Beje, tai vienas pirmųjų įrodymų panaudojimo prieštaravimu pavyzdžių. Jis taip pat įrodo pagrindinę aritmetikos teoremą – kiekvienas sveikasis skaičius gali būti pavaizduotas unikaliu būdu kaip pirminių skaičių sandauga.
Jis taip pat parodė, kad jei skaičius 2 n -1 yra pirminis, tada skaičius 2 n-1 * (2 n -1) bus tobulas. Kitas matematikas Euleris 1747 m. sugebėjo parodyti, kad visi net tobuli skaičiai gali būti užrašyti šia forma. Iki šiol nežinoma, ar egzistuoja nelyginiai tobuli skaičiai.
200 m.pr.Kr. Graikas Eratostenas sugalvojo pirminių skaičių paieškos algoritmą, vadinamą Eratosteno sietu.
Ir tada įvyko didelis lūžis pirminių skaičių, susijusių su viduramžiais, tyrimo istorijoje.
Šiuos atradimus jau XVII amžiaus pradžioje padarė matematikas Fermatas. Jis įrodė Alberto Girardo spėjimą, kad bet koks pirminis skaičius, kurio forma yra 4n+1, gali būti parašytas vienareikšmiškai kaip dviejų kvadratų suma, taip pat suformulavo teoremą, kad bet kurį skaičių galima pavaizduoti kaip keturių kvadratų sumą.
Jis sukūrė naują faktorizavimo metodą dideliems skaičiams ir pademonstravo jį skaičiumi 2027651281 = 44021 × 46061. Jis taip pat įrodė mažąją Ferma teoremą: jei p yra pirminis skaičius, tai a p = modulo p bus teisingas bet kuriam sveikajam skaičiui a.
Šis teiginys įrodo pusę to, kas buvo žinoma kaip „kinų hipotezė“, ir datuojamas 2000 metų anksčiau: sveikas skaičius n yra pirminis tada ir tik tada, kai 2n-2 dalijasi iš n. Antroji hipotezės dalis pasirodė klaidinga - pavyzdžiui, 2341 - 2 dalijasi iš 341, nors skaičius 341 yra sudėtinis: 341 = 31 × 11.
Mažoji Ferma teorema buvo daugelio kitų skaičių teorijos rezultatų ir metodų, skirtų patikrinti, ar skaičiai yra pirminiai, pagrindas. Daugelis jų vis dar naudojami ir šiandien.
Fermatas daug susirašinėjo su savo amžininkais, ypač su vienuoliu, vardu Marin Mersenne. Viename iš savo laiškų jis spėjo, kad 2 formos n + 1 skaičiai visada bus pirminiai, jei n yra dviejų laipsnis. Jis išbandė tai, kai n = 1, 2, 4, 8 ir 16, ir buvo tikras, kad kai n nėra dviejų laipsnis, skaičius nebūtinai yra pirminis. Šie skaičiai vadinami Ferma skaičiais, ir tik po 100 metų Euleris parodė, kad kitas skaičius, 232 + 1 = 4294967297, dalijasi iš 641 ir todėl nėra pirminis.
2 formos n - 1 skaičiai taip pat buvo tiriami, nes nesunku parodyti, kad jei n yra sudėtinis, tai ir pats skaičius yra sudėtinis. Šie skaičiai vadinami Merseno skaičiais, nes jis aktyviai juos studijavo.
Tačiau ne visi 2 formos n - 1 skaičiai, kur n yra pirminis, yra pirminiai. Pavyzdžiui, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Pirmą kartą tai buvo atrasta 1536 m.
Daugelį metų tokio pobūdžio skaičiai matematikams suteikdavo didžiausius žinomus pirminius skaičius. Kad skaičių M 19 įrodė Cataldi 1588 m. ir 200 metų buvo didžiausias žinomas pirminis skaičius, kol Euleris neįrodė, kad M 31 taip pat yra pirminis. Šis rekordas laikėsi dar šimtą metų, o tada Lucas parodė, kad M 127 yra pirminis (ir tai jau yra 39 skaitmenų skaičius), o po to tyrimai tęsėsi atsiradus kompiuteriams.
1952 metais buvo įrodytas skaičių M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 ir M 2281 pirmumas.
Iki 2005 m. buvo rasti 42 Mersenne pirminiai laipsniai. Didžiausias iš jų, M 25964951 , susideda iš 7816230 skaitmenų.
Eulerio darbas turėjo didžiulę įtaką skaičių teorijai, įskaitant pirminius skaičius. Jis išplėtė Ferma mažąją teoremą ir įvedė φ funkciją. Faktorizuotas 5-asis Ferma skaičius 2 32 +1, surasta 60 porų draugiškų skaičių ir suformuluotas (bet nepavyko įrodyti) kvadratinis abipusiškumo dėsnis.
Jis pirmasis pristatė matematinės analizės metodus ir sukūrė analitinę skaičių teoriją. Jis įrodė, kad ne tik harmonikų serija ∑ (1/n), bet ir formos eilutė
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
Gaunama kiekių suma, atvirkštinė pirminiams skaičiams, taip pat skiriasi. Harmonikos eilutės n narių suma auga maždaug kaip log(n), o antroji serija skiriasi lėčiau, kaip log[ log(n) ]. Tai reiškia, kad, pavyzdžiui, visų iki šiol rastų pirminių skaičių atvirkštinių dydžių suma duos tik 4, nors eilutės vis tiek skiriasi.
Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad pirminiai skaičiai tarp sveikųjų skaičių pasiskirsto gana atsitiktinai. Pavyzdžiui, tarp 100 skaičių prieš pat 10000000 yra 9 pirminiai skaičiai, o tarp 100 skaičių iškart po šios reikšmės yra tik 2. Tačiau dideliuose segmentuose pirminiai skaičiai pasiskirsto gana tolygiai. Legendre ir Gaussas sprendė jų platinimą. Gaussas kartą pasakė draugui, kad per bet kurias laisvas 15 minučių jis visada skaičiuoja pirminių skaičių kituose 1000 skaičių. Iki savo gyvenimo pabaigos jis buvo suskaičiavęs visus pirminius skaičius iki 3 mln. Legendre ir Gaussas vienodai apskaičiavo, kad dideliems n pirminių skaičių tankis yra 1/log(n). Legendre apskaičiavo pirminių skaičių nuo 1 iki n as
π(n) = n/(log(n) – 1,08366)
O Gausas – kaip logaritminis integralas
π(n) = / 1/log(t) dt
Su integravimo intervalu nuo 2 iki n.
Teiginys apie pirminių skaičių 1/log(n) tankį yra žinomas kaip pirminių skaičių teorema. Jie bandė tai įrodyti visą XIX amžių, o Čebyševas ir Riemanas padarė pažangą. Jie tai susiejo su Riemanno hipoteze – iki šiol neįrodytu spėjimu apie Riemann zeta funkcijos nulių pasiskirstymą. Pirminių skaičių tankį vienu metu įrodė Hadamardas ir de la Vallée-Poussin 1896 m.
Pirminių skaičių teorijoje vis dar yra daug neišspręstų klausimų, kai kuriems iš jų yra daug šimtų metų:
- dvynių pirminių skaičių hipotezė – apie begalinį skaičių porų pirminių skaičių, kurie skiriasi viena nuo kitos 2
- Goldbacho spėjimas: bet koks lyginis skaičius, pradedant nuo 4, gali būti pavaizduotas kaip dviejų pirminių skaičių suma
- Ar yra begalinis skaičius pirminių skaičių formos n 2 + 1 ?
- ar visada galima rasti pirminį skaičių tarp n 2 ir (n + 1) 2 ? (faktą, kad visada yra pirminis skaičius tarp n ir 2n, įrodė Čebyševas)
- Ar yra begalinis Fermato pirminių skaičių skaičius? ar yra Ferma pirminių skaičių po 4?
- ar yra bet kokio ilgio iš eilės einančių pirminių skaičių aritmetinė progresija? pavyzdžiui, 4 ilgiui: 251, 257, 263, 269. Didžiausias rastas ilgis yra 26 .
- Ar aritmetinėje progresijoje yra begalinis trijų iš eilės pirminių skaičių aibių skaičius?
- n 2 – n + 41 yra pirminis skaičius, kai 0 ≤ n ≤ 40. Ar yra begalinis tokių pirminių skaičių skaičius? Tas pats klausimas formulei n 2 - 79 n + 1601. Šie skaičiai yra pirminiai, kai 0 ≤ n ≤ 79.
- Ar yra begalinis skaičius pirminių skaičių formos n# + 1? (n# yra visų pirminių skaičių, mažesnių už n, padauginimo rezultatas)
- Ar yra begalinis skaičius pirminių skaičių formos n# -1 ?
- Ar yra begalinis skaičius n formos pirminių skaičių! +1?
- Ar yra begalinis skaičius n formos pirminių skaičių! - 1?
- jei p yra pirminis, ar 2 p -1 visada neįtraukiami į pirminių kvadratų koeficientus
- Ar Fibonačio sekoje yra begalinis pirminių skaičių skaičius?
Didžiausi pirminiai skaičiai dvyniai yra 2003663613 × 2 195000 ± 1. Jie susideda iš 58711 skaitmenų ir buvo rasti 2007 m.
Didžiausias faktorinis pirminis skaičius (formos n! ± 1) yra 147855! - 1. Jį sudaro 142891 skaitmuo ir rastas 2002 m.
Didžiausias pirminis skaičius (n# ± 1 formos skaičius) yra 1098133# + 1.
Skaičiai yra skirtingi: natūralūs, natūralūs, racionalieji, sveikieji ir trupmeniniai, teigiami ir neigiami, sudėtingi ir pirminiai, nelyginiai ir lyginiai, tikrieji ir tt Iš šio straipsnio galite sužinoti, kas yra pirminiai skaičiai.
Kokie skaičiai vadinami anglišku žodžiu „paprastas“?
Labai dažnai moksleiviai nežino, kaip atsakyti į vieną iš paprastiausių matematikos klausimų, kas yra pirminis skaičius. Jie dažnai painioja pirminius skaičius su natūraliaisiais skaičiais (tai yra skaičiai, kuriuos žmonės naudoja skaičiuodami objektus, o kai kuriuose šaltiniuose jie prasideda nuo nulio, o kituose - nuo vieneto). Tačiau tai dvi visiškai skirtingos sąvokos. Pirminiai skaičiai yra natūralūs skaičiai, tai yra sveikieji ir teigiami skaičiai, didesni už vienetą ir turintys tik 2 natūraliuosius daliklius. Šiuo atveju vienas iš šių daliklių yra duotas skaičius, o antrasis yra vienetas. Pavyzdžiui, trys yra pirminis skaičius, nes jis nėra tolygiai dalijamas iš kito skaičiaus, išskyrus jį patį ir vieną.
Sudėtiniai skaičiai
Pirminių skaičių priešingybė yra sudėtiniai skaičiai. Jie taip pat yra natūralūs, taip pat didesni už vieną, bet turi ne du, o daugiau daliklių. Taigi, pavyzdžiui, skaičiai 4, 6, 8, 9 ir kt. yra natūralūs, sudėtiniai, bet ne pirminiai skaičiai. Kaip matote, tai dažniausiai lyginiai skaičiai, bet ne visi. Tačiau „du“ yra lyginis skaičius ir „pirmasis skaičius“ pirminių skaičių serijoje.
Pasekmė
Norint sudaryti pirminių skaičių seką, reikia pasirinkti iš visų natūraliųjų skaičių, atsižvelgiant į jų apibrėžimą, tai yra, reikia veikti prieštaringai. Būtina atsižvelgti į kiekvieną iš natūralių teigiamų skaičių, ar jis turi daugiau nei du daliklius. Pabandykime sukurti seriją (seką), kurią sudaro pirminiai skaičiai. Sąrašas prasideda nuo dviejų, tada ateina trys, nes jis dalijasi tik iš savęs ir vieno. Apsvarstykite skaičių keturi. Ar jis turi kitus daliklius nei keturi ir vienas? Taip, tas skaičius yra 2. Taigi keturi nėra pirminis skaičius. Penki taip pat yra pirminiai (be 1 ir 5, jis nesidalija iš jokio kito skaičiaus), bet šeši dalijasi. Ir apskritai, jei vadovausitės visais lyginiais skaičiais, pastebėsite, kad, išskyrus „du“, nė vienas iš jų nėra pirminis. Iš to darome išvadą, kad lyginiai skaičiai, išskyrus du, nėra pirminiai. Kitas atradimas: visi skaičiai, kurie dalijasi iš trijų, išskyrus patį trigubą, nesvarbu, lyginis ar nelyginis, taip pat nėra pirminiai (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ir kt.). Tas pats pasakytina apie skaičius, kurie dalijasi iš penkių ir septynių. Visas jų komplektas taip pat nėra paprastas. Apibendrinkime. Taigi visi nelyginiai skaičiai, išskyrus vieną ir devynis, priklauso paprastiems vienaženkliams skaičiams, o tik „du“ iš lyginių. Patys dešimtukai (10, 20,... 40 ir kt.) nėra pirminiai. Pirminius dviženklius, triženklius ir pan.
Teorijos apie pirminių skaičių savybes
Yra mokslas, tiriantis sveikųjų skaičių, įskaitant pirminius, savybes. Tai matematikos šaka, vadinama aukštąja. Be sveikųjų skaičių savybių, ji taip pat nagrinėja algebrinius, transcendentinius skaičius, taip pat įvairios kilmės funkcijas, susijusias su šių skaičių aritmetika. Šiuose tyrimuose, be elementariųjų ir algebrinių metodų, naudojami ir analitiniai bei geometriniai. Konkrečiai, pirminių skaičių tyrimas yra susijęs su „skaičių teorija“.
Pirminiai skaičiai yra natūraliųjų skaičių „statybiniai blokai“.
Aritmetikoje yra teorema, vadinama pagrindine teorema. Pagal ją bet koks natūralusis skaičius, išskyrus vienetą, gali būti pavaizduotas kaip sandauga, kurios veiksniai yra pirminiai skaičiai, o veiksnių eilė yra unikali, vadinasi, vaizdavimo būdas yra unikalus. Tai vadinama natūraliojo skaičiaus skaidymu į pirminius veiksnius. Yra ir kitas šio proceso pavadinimas – skaičių faktorizacija. Remiantis tuo, pirminiai skaičiai gali būti vadinami „statybine medžiaga“, „blokais“ natūraliųjų skaičių konstravimui.
Ieškokite pirminių skaičių. Paprastumo testai
Daugelis skirtingų laikų mokslininkų bandė rasti tam tikrus principus (sistemas), kaip rasti pirminių skaičių sąrašą. Mokslas žino sistemas, vadinamas Atkino sietu, Sundartamo sietu, Eratosteno sietu. Tačiau jie neduoda jokių reikšmingų rezultatų, o pirminiams skaičiams rasti naudojamas paprastas testas. Algoritmus kūrė ir matematikai. Jie vadinami pirmumo testais. Pavyzdžiui, yra Rabino ir Millerio sukurtas testas. Jį naudoja kriptografai. Taip pat yra Kayala-Agrawala-Saskena testas. Tačiau, nepaisant pakankamo tikslumo, jį labai sunku apskaičiuoti, o tai sumažina jo praktinę vertę.
Ar pirminių skaičių aibė turi ribą?
Tai, kad pirminių skaičių aibė yra begalybė, buvo parašyta senovės graikų mokslininko Euklido knygoje „Pradžia“. Jis pasakė taip: „Akimirkai įsivaizduokime, kad pirminiai skaičiai turi ribą. Tada padauginkime juos tarpusavyje ir pridėkime vieną prie produkto. Skaičius, gautas atlikus šias paprastas operacijas, negali būti dalijamasi iš pirminių skaičių serijos, nes likusioji dalis visada bus viena. O tai reiškia, kad yra dar koks nors skaičius, kuris dar neįtrauktas į pirminių skaičių sąrašą. Todėl mūsų prielaida nėra teisinga, ir ši aibė negali turėti ribos. Be Euklido įrodymo, yra ir modernesnė formulė, kurią pateikė XVIII amžiaus šveicarų matematikas Leonhardas Euleris. Anot jo, suma, pirmųjų n skaičių sumos atvirkštinė vertė, didėjant skaičiui n, auga neribotai. O štai teoremos formulė dėl pirminių skaičių skirstinio: (n) auga kaip n / ln (n).
Koks yra didžiausias pirminis skaičius?
Vis dėlto Leonardas Euleris sugebėjo rasti didžiausią savo laiko pirminį skaičių. Tai yra 2 31 – 1 = 2147483647. Tačiau iki 2013 metų pirminių skaičių sąraše buvo paskaičiuotas dar vienas tiksliausias didžiausias – 2 57885161 – 1. Jis vadinamas Merseno skaičiumi. Jame yra apie 17 milijonų dešimtainių skaitmenų. Kaip matote, aštuonioliktojo amžiaus mokslininko rastas skaičius yra kelis kartus mažesnis už šį. Taip ir turėjo būti, nes Euleris šį skaičiavimą atliko rankiniu būdu, bet mūsų amžininkui tikriausiai padėjo kompiuteris. Be to, šis skaičius buvo gautas Matematikos katedroje viename iš Amerikos katedrų. Šio mokslininko vardu pavadinti skaičiai praeina Luc-Lehmer pirmumo testą. Tačiau mokslas tuo sustoti nenori. „Electronic Frontier Foundation“, kuris buvo įkurtas 1990 m. Jungtinėse Amerikos Valstijose (EFF), pasiūlė piniginį atlygį už didelių pirmųjų skaičių radimą. Ir jei iki 2013 metų premija buvo skiriama tiems mokslininkams, kurie juos suras iš 1 ir 10 milijonų dešimtainių skaičių, tai šiandien šis skaičius siekia nuo 100 milijonų iki 1 milijardo. Prizai svyruoja nuo 150 iki 250 tūkstančių JAV dolerių.
Specialiųjų pirminių skaičių pavadinimai
Tie skaičiai, kurie buvo rasti tam tikrų mokslininkų sukurtų algoritmų dėka ir išlaikė paprastumo testą, vadinami ypatingais. Štai keletas iš jų:
1. Mersinas.
4. Kalenas.
6. Mills ir kt.
Šių skaičių, pavadintų aukščiau minėtų mokslininkų vardu, paprastumas nustatomas naudojant šiuos testus:
1. Lucas-Lemer.
2. Pepina.
3. Ryzelis.
4. Billhart – Lehmer – Selfridge ir kt.
Šiuolaikinis mokslas tuo nesibaigia ir tikriausiai netolimoje ateityje pasaulis žinos vardus tų, kurie sugebėjo laimėti 250 000 dolerių prizą, radę didžiausią pirminį skaičių.