Na Twoją prośbę!
13. Rozwiąż równanie 3-4cos 2 x=0. Znajdź sumę jego pierwiastków należących do przedziału .
Obniżmy stopień cosinusa według wzoru: 1+cos2α=2cos 2 α. Otrzymujemy równoważne równanie:
3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Dzielimy obie strony równania przez (-2) i otrzymujemy najprostsze równanie trygonometryczne:
14. Znajdź postęp geometryczny b 5, jeśli b 4 = 25 i b 6 = 16.
Każdy element ciągu geometrycznego, począwszy od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej elementów sąsiadujących z nim:
(b n) 2 = b n-1 ∙b n+1 . Mamy (b 5) 2 = b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25 16 ⇒ b 5 =±5 4 ⇒ b 5 =±20.
15. Znajdź pochodną funkcji: f(x)=tgx-ctgx.
16. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji y(x)=x 2 -12x+27
na segmencie.
Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji y=f(x) na segmencie, musisz znaleźć wartości tej funkcji na końcach odcinka iw tych punktach krytycznych, które należą do tego segmentu, a następnie wybrać największą i najmniejszą ze wszystkich uzyskanych wartości.
Znajdźmy wartości funkcji przy x=3 i przy x=7, tj. na końcach segmentu.
y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;
y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.
Znajdź pochodną tej funkcji: y'(x)=(x 2 -12x+27)' =2x-12=2(x-6); punkt krytyczny x=6 należy do danego przedziału. Znajdź wartość funkcji przy x=6.
y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. I teraz wybieramy spośród trzech otrzymanych wartości: 0; -8 i -9 to największe i najmniejsze: najwyżej. =0; przy zatrudnianiu =-9.
17. Znajdź ogólną postać funkcji pierwotnej dla funkcji:
Ten przedział jest dziedziną definicji tej funkcji. Odpowiedzi powinny zaczynać się od F(x), a nie f(x), ponieważ szukamy funkcji pierwotnej. Z definicji funkcja F(x) jest funkcją pierwotną dla funkcji f(x), jeśli zachodzi równość: F’(x)=f(x). Możesz więc po prostu znaleźć pochodne proponowanych odpowiedzi, dopóki nie uzyskasz tej funkcji. Ścisłym rozwiązaniem jest obliczenie całki danej funkcji. Stosujemy formuły:
19. Ułóż równanie prostej zawierającej środkową BD trójkąta ABC, jeśli jej wierzchołki to A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).
Aby skompilować równanie prostej, musisz znać współrzędne 2 punktów tej prostej, a my znamy tylko współrzędne punktu B. Ponieważ środkowa BD dzieli przeciwną stronę na pół, punkt D jest punktem środkowym segmentu AC. Punkty środkowe odcinka to sumy połówkowe odpowiednich współrzędnych końców odcinka. Znajdźmy współrzędne punktu D.
20. Oblicz:
24. Obszar regularnego trójkąta u podstawy prawego pryzmatu wynosi
Ten problem jest odwrotnością problemu 24 z opcji 0021.
25. Znajdź wzór i wstaw brakującą cyfrę: 1; 4; 9; 16; …
Oczywiście ten numer 25 , ponieważ dany jest ciąg kwadratów liczb naturalnych:
1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …
Powodzenia i powodzenia wszystkim!
Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje informacje. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe odnoszą się do danych, które mogą być wykorzystane do zidentyfikowania lub skontaktowania się z konkretną osobą.
W każdym momencie kontaktu z nami możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych.
Poniżej przedstawiono kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić, oraz sposobów ich wykorzystania.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy gromadzić różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach oraz innych wydarzeniach i nadchodzących wydarzeniach.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.
Ujawnienie osobom trzecim
Nie ujawniamy otrzymanych od Ciebie informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, postępowaniem sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub żądań organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub właściwe ze względu na bezpieczeństwo, egzekwowanie prawa lub inne cele interesu publicznego.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniemu następcy zewnętrznemu.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności — w tym administracyjne, techniczne i fizyczne — w celu ochrony danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Zachowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach w zakresie prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki w zakresie prywatności.
Aby pomyślnie rozwiązać równania trygonometryczne wygodny w użyciu metoda redukcji do wcześniej rozwiązanych problemów. Zobaczmy, jaka jest istota tej metody?
W każdym zaproponowanym problemie musisz zobaczyć poprzednio rozwiązany problem, a następnie za pomocą kolejnych równoważnych przekształceń spróbować zredukować dany problem do prostszego.
Tak więc, rozwiązując równania trygonometryczne, zwykle tworzą skończoną sekwencję równań równoważnych, których ostatnim ogniwem jest równanie z oczywistym rozwiązaniem. Należy tylko pamiętać, że jeśli nie zostaną ukształtowane umiejętności rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych, rozwiązanie bardziej złożonych równań będzie trudne i nieskuteczne.
Ponadto rozwiązując równania trygonometryczne, nigdy nie należy zapominać o możliwości istnienia kilku rozwiązań.
Przykład 1. Znajdź liczbę pierwiastków równania cos x = -1/2 na przedziale.
Rozwiązanie:
ja tak. Sporządźmy wykresy funkcji y = cos x i y = -1/2 i znajdźmy liczbę ich punktów wspólnych na przedziale (rys. 1).
Ponieważ wykresy funkcji mają dwa wspólne punkty na przedziale, równanie zawiera dwa pierwiastki na tym przedziale.
II sposób. Za pomocą okręgu trygonometrycznego (ryc. 2) znajdujemy liczbę punktów należących do przedziału, w którym cos x = -1/2. Rysunek pokazuje, że równanie ma dwa pierwiastki. 
III sposób. Korzystając ze wzoru na pierwiastki równania trygonometrycznego, rozwiązujemy równanie cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k jest liczbą całkowitą (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k jest liczbą całkowitą (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k jest liczbą całkowitą (k ∈ Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k jest liczbą całkowitą (k ∈ Z).
Pierwiastki 2π/3 i -2π/3 + 2π należą do przedziału, k jest liczbą całkowitą. Zatem równanie ma dwa pierwiastki w danym przedziale.
Odpowiedź: 2.
W przyszłości równania trygonometryczne będą rozwiązywane jedną z proponowanych metod, co w wielu przypadkach nie wyklucza zastosowania innych metod.
Przykład 2. Znajdź liczbę rozwiązań równania tg (x + π/4) = 1 na przedziale [-2π; 2π].
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru na pierwiastki równania trygonometrycznego, otrzymujemy:
x + π/4 = arctan 1 + πk, k jest liczbą całkowitą (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k jest liczbą całkowitą (k € Z);
x = πk, k jest liczbą całkowitą (k ∈ Z);
Przedział [-2π; 2π] należą do liczb -2π; -π; 0; π; 2π. Zatem równanie ma pięć pierwiastków w danym przedziale.
Odpowiedź: 5.
Przykład 3. Znajdź liczbę pierwiastków równania cos 2 x + sin x cos x = 1 w przedziale [-π; π].
Rozwiązanie:
Ponieważ 1 = sin 2 x + cos 2 x (podstawowa tożsamość trygonometryczna), pierwotne równanie wygląda następująco:
sałata 2 x + grzech x sałata x = grzech 2 x + sałata 2 x;
grzech 2 x - grzech x cos x \u003d 0;
sin x(sin x - cos x) = 0. Iloczyn jest równy zeru, co oznacza, że co najmniej jeden z czynników musi być równy zeru, zatem:
grzech x \u003d 0 lub grzech x - cos x \u003d 0.
Ponieważ wartością zmiennej, przy której cos x = 0, nie są pierwiastki drugiego równania (sinus i cosinus tej samej liczby nie mogą być jednocześnie równe zeru), to dzielimy obie części drugiego równania równanie przez cos x:
grzech x = 0 lub grzech x / cos x - 1 = 0.
W drugim równaniu wykorzystujemy fakt, że tg x = sin x / cos x, to:
sin x = 0 lub tg x = 1. Używając wzorów mamy:
x = πk lub x = π/4 + πk, k jest liczbą całkowitą (k ∈ Z).
Od pierwszego szeregu pierwiastków do przedziału [-π; π] należą do liczb -π; 0; π. Z drugiego szeregu: (π/4 – π) i π/4.
Zatem pięć pierwiastków pierwotnego równania należy do przedziału [-π; π].
Odpowiedź: 5.
Przykład 4. Znajdź sumę pierwiastków równania tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 w przedziale [-π; 1,1π].
Rozwiązanie:
Przepiszmy równanie w następującej postaci:
tg 2 x + ńtg 2 x + 3(tg x + ńtgx) + 4 = 0 i dokonaj zmiany.
Niech tg x + ńtgx = a. Podnieśmy obie strony równania do kwadratu:
(tg x + ńtg x) 2 = za 2 . Rozwińmy nawiasy:
tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = za 2 .
Ponieważ tg x сtgx \u003d 1, to tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, co oznacza
tg 2 x + сtg 2 x \u003d za 2 - 2.
Teraz oryginalne równanie wygląda następująco:
za 2 - 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Korzystając z twierdzenia Viety, otrzymujemy, że a = -1 lub a = -2.
Dokonując podstawienia odwrotnego mamy:
tg x + ctgx = -1 lub tg x + ctgx = -2. Rozwiążmy otrzymane równania.
tgx + 1/tgx = -1 lub tgx + 1/tgx = -2.
Z własności dwóch wzajemnie odwrotnych liczb ustalamy, że pierwsze równanie nie ma pierwiastków, a z drugiego równania mamy:
tg x = -1, tj. x = -π/4 + πk, k jest liczbą całkowitą (k ∈ Z).
Przedział [-π; 1,1π] pierwiastki należą do: -π/4; -π/4 + π. Ich suma:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Odpowiedź: π/2.
Przykład 5. Znajdź średnią arytmetyczną pierwiastków równania sin 3x + sin x = sin 2x na przedziale [-π; 0,5π].
Rozwiązanie:
Używamy wzoru sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), wtedy
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x i równanie przyjmuje postać
2 grzech 2x sałata x = grzech 2x;
2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Wyciągamy wspólny czynnik sin 2x z nawiasów
sin 2x(2cos x - 1) = 0. Rozwiążmy wynikowe równanie:
grzech 2x \u003d 0 lub 2cos x - 1 \u003d 0; 
grzech 2x = 0 lub cos x = 1/2;
2x = πk lub x = ±π/3 + 2πk, k jest liczbą całkowitą (k € Z).
Mamy więc korzenie
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k jest liczbą całkowitą (k € Z).
Przedział [-π; 0,5π] należą do pierwiastków -π; -π/2; 0; π/2 (z pierwszego szeregu pierwiastków); π/3 (z drugiej serii); -π/3 (z trzeciej serii). Ich średnia arytmetyczna to:
(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.
Odpowiedź: -π/6.
Przykład 6. Znajdź liczbę pierwiastków równania sin x + cos x = 0 w przedziale [-1,25π; 2π].
Rozwiązanie:
Równanie to jest równaniem jednorodnym pierwszego stopnia. Podziel obie jego części przez cosx (wartość zmiennej, przy której cos x = 0, nie są pierwiastkami tego równania, ponieważ sinus i cosinus tej samej liczby nie mogą być jednocześnie równe zeru). Oryginalne równanie wygląda następująco:
x = -π/4 + πk, k jest liczbą całkowitą (k € Z).
przerwa [-1,25π; 2π] mają korzenie -π/4; (-π/4 + π); i (-π/4 + 2π).
Zatem trzy pierwiastki równania należą do danego przedziału.
Odpowiedź: 3.
Naucz się robić najważniejszą rzecz - jasno przedstawiać plan rozwiązania problemu, a wtedy każde równanie trygonometryczne będzie na twoim ramieniu.
Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania trygonometryczne?
Aby skorzystać z pomocy korepetytora - zarejestruj się.
strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje informacje. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe odnoszą się do danych, które mogą być wykorzystane do zidentyfikowania lub skontaktowania się z konkretną osobą.
W każdym momencie kontaktu z nami możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych.
Poniżej przedstawiono kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić, oraz sposobów ich wykorzystania.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy gromadzić różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach oraz innych wydarzeniach i nadchodzących wydarzeniach.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.
Ujawnienie osobom trzecim
Nie ujawniamy otrzymanych od Ciebie informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, postępowaniem sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub żądań organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub właściwe ze względu na bezpieczeństwo, egzekwowanie prawa lub inne cele interesu publicznego.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniemu następcy zewnętrznemu.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności — w tym administracyjne, techniczne i fizyczne — w celu ochrony danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Zachowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach w zakresie prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki w zakresie prywatności.
a) Rozwiąż równanie: .
b) Znajdź pierwiastki tego równania należące do przedziału .
Rozwiązanie problemu
Ta lekcja pokazuje przykład rozwiązania równania trygonometrycznego, które z powodzeniem można wykorzystać w przygotowaniu do egzaminu z matematyki. W szczególności przy rozwiązywaniu problemów typu C1 rozwiązanie to stanie się istotne.
Podczas rozwiązywania funkcja trygonometryczna lewej strony równania jest przekształcana za pomocą wzoru na podwójny argument sinus. Funkcja cosinus po prawej stronie jest również zapisana jako funkcja sinus z argumentem uproszczonym do. W tym przypadku znak przed otrzymaną funkcją trygonometryczną jest odwrócony. Ponadto wszystkie wyrazy równania są przenoszone na jego lewą stronę, gdzie wspólny czynnik jest usuwany z nawiasów. W rezultacie otrzymane równanie jest reprezentowane jako iloczyn dwóch czynników. Każdy czynnik jest z kolei ustawiony na zero, co pozwala nam wyznaczyć pierwiastki równania. Następnie wyznacza się pierwiastki równania należącego do danego przedziału. Metodą zakrętów na skonstruowanym okręgu jednostkowym zaznacza się zakręt od lewej krawędzi danego segmentu do prawej. Znalezione pierwiastki na okręgu jednostkowym łączy się odcinkami z jego środkiem, a następnie wyznacza się punkty, w których odcinki te przecinają cewkę. Te punkty przecięcia są odpowiedzią na część „b” problemu.