Kalkulator online do znajdowania obszaru figury ograniczonej liniami. Określona całka

Rozwiązanie.

Pierwszym i najważniejszym momentem decyzji jest konstrukcja rysunku.

Zróbmy rysunek:

Równanie y=0 ustawia oś x;

- x=-2 I x=1 - prosty, równoległy do osi jednostka organizacyjna;

- y \u003d x 2 +2 - parabola, której gałęzie są skierowane do góry, z wierzchołkiem w punkcie (0;2).

Komentarz. Aby skonstruować parabolę, wystarczy znaleźć punkty jej przecięcia z osiami współrzędnych, tj. kładzenie x=0 znajdź punkt przecięcia z osią jednostka organizacyjna i rozwiązując odpowiednie równanie kwadratowe, znajdź punkt przecięcia z osią Oh .

Wierzchołek paraboli można znaleźć za pomocą wzorów:

Możesz rysować linie i punkt po punkcie.

Na przedziale [-2;1] wykres funkcji y=x 2 +2 usytuowany nad osią Wół , Dlatego:

Odpowiedź: S \u003d 9 jednostek kwadratowych

Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i sprawdzić, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku "na oko" policzymy ilość komórek na rysunku - no cóż, około 9 będzie wpisanych, wydaje się to być prawdą. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek wyraźnie nie pasuje do omawianej liczby, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Co zrobić, jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osią Oh?

B) Oblicz pole figury ograniczonej liniami y=-e x , x=1 i osie współrzędnych.

Rozwiązanie.

Zróbmy rysunek.

Jeśli trapez krzywoliniowy całkowicie pod osią Oh , wtedy jego pole można znaleźć ze wzoru:

Odpowiedź: S=(e-1) jednostka kwadratowa” 1,72 jednostka kwadratowa

Uwaga! Nie myl tych dwóch typów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie tylko całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, może ona być ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, obszar jest zawsze dodatni! Dlatego właśnie w rozważanym wzorze pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie.

Z) Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Rozwiązanie.

Najpierw musisz zrobić rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w problemach powierzchniowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia prostych. Znajdź punkty przecięcia paraboli i bezpośredni Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny.

Rozwiązujemy równanie:

Czyli dolna granica całkowania a=0 , górna granica integracji b=3 .

Budujemy podane proste: 1. Parabola - wierzchołek w punkcie (1;1); przecięcie osi Oh - punkty (0;0) i (0;2). 2. Linia prosta - dwusieczna 2. i 4. kąta współrzędnych. A teraz Uwaga! Jeśli w przedziale [ a; b] pewna funkcja ciągła f(x) większa lub równa pewnej funkcji ciągłej g(x), wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć według wzoru: .

I nie ma znaczenia, gdzie znajduje się figura - nad osią czy pod osią, ale ważne, który wykres jest WYŻSZY (względem innego wykresu), a który PONIŻEJ. W rozważanym przykładzie jest oczywiste, że na odcinku parabola znajduje się nad linią prostą, dlatego konieczne jest odjęcie od

Linie można konstruować punkt po punkcie, a granice całkowania wynajduje się niejako „same”. Niemniej jednak analityczna metoda znajdowania granic nadal czasami musi być stosowana, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub konstrukcja gwintowana nie ujawniła granic całkowania (mogą być ułamkowe lub niewymierne).

Pożądana figura jest ograniczona parabolą od góry i linią prostą od dołu.

Na segmencie , zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź: S \u003d 4,5 jednostki kwadratowej

W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć obszar figury ograniczonej liniami za pomocą obliczeń całkowych. Po raz pierwszy ze sformułowaniem takiego problemu spotykamy się w szkole średniej, kiedy nauka niektórych całek została właśnie zakończona i nadszedł czas, aby rozpocząć geometryczną interpretację zdobytej wiedzy w praktyce.

Co jest więc potrzebne, aby pomyślnie rozwiązać problem znalezienia obszaru figury za pomocą całek:

Umiejętność poprawnego rysowania rysunków;
Umiejętność rozwiązywania całki oznaczonej za pomocą znanego wzoru Newtona-Leibniza;
Możliwość „zobaczenia” bardziej opłacalnego rozwiązania – tj. zrozumieć, jak w tym czy innym przypadku wygodniej będzie przeprowadzić integrację? Wzdłuż osi x (OX) czy osi y (OY)?
Cóż, gdzie bez poprawnych obliczeń?) Obejmuje to zrozumienie, jak rozwiązać ten inny typ całek i poprawne obliczenia numeryczne.

Algorytm rozwiązywania problemu obliczania obszaru figury ograniczonej liniami:

1. Budujemy rysunek. Wskazane jest, aby zrobić to na kartce papieru w klatce, na dużą skalę. Nad każdym wykresem podpisujemy ołówkiem nazwę tej funkcji. Podpis wykresów odbywa się wyłącznie dla wygody dalszych obliczeń. Po otrzymaniu wykresu pożądanej liczby w większości przypadków od razu będzie jasne, które granice integracji zostaną zastosowane. W ten sposób rozwiązujemy problem graficznie. Zdarza się jednak, że wartości granic są ułamkowe lub niewymierne. Dlatego możesz wykonać dodatkowe obliczenia, przejdź do kroku drugiego.

2. Jeśli granice całkowania nie są wyraźnie określone, to znajdujemy punkty przecięcia wykresów ze sobą i sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie graficzne jest zgodne z rozwiązaniem analitycznym.

3. Następnie musisz przeanalizować rysunek. W zależności od tego, jak rozmieszczone są wykresy funkcji, istnieją różne podejścia do znajdowania obszaru figury. Rozważ różne przykłady znajdowania obszaru figury za pomocą całek.

3.1. Najbardziej klasyczną i najprostszą wersją problemu jest znalezienie obszaru krzywoliniowego trapezu. Co to jest trapez krzywoliniowy? Jest to płaska figura ograniczona przez oś x (y=0), prosty x = za, x = b i dowolna krzywa ciągła w przedziale od A zanim B. Jednocześnie liczba ta jest nieujemna i znajduje się nie niżej niż oś x. W tym przypadku obszar trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równy całce oznaczonej obliczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

Przykład 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Jakie linie definiują sylwetkę? Mamy parabolę y = x2 - 3x + 3, który znajduje się nad osią OH, jest nieujemne, ponieważ wszystkie punkty tej paraboli są dodatnie. Następnie podane proste x = 1 I x = 3 które biegną równolegle do osi jednostka organizacyjna, to linie ograniczające figurę po lewej i prawej stronie. Dobrze y = 0, ona jest osią x, która ogranicza figurę od dołu. Wynikowa liczba jest zacieniona, jak widać na rysunku po lewej stronie. W takim przypadku możesz natychmiast przystąpić do rozwiązywania problemu. Przed nami prosty przykład trapezu krzywoliniowego, który następnie rozwiązujemy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza.

3.2. W poprzednim akapicie 3.1 analizowano przypadek, gdy trapez krzywoliniowy znajduje się powyżej osi x. Rozważmy teraz przypadek, gdy warunki rozwiązania problemu są takie same, z wyjątkiem tego, że funkcja leży pod osią x. Do standardowego wzoru Newtona-Leibniza dodaje się minus. Jak rozwiązać taki problem, rozważymy dalej.

Przykład 2 . Oblicz pole figury ograniczonej liniami y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

W tym przykładzie mamy parabolę y=x2+6x+2, która pochodzi spod osi OH, prosty x=-4, x=-1, y=0. Tutaj y = 0 ogranicza pożądaną figurę od góry. Bezpośredni x = -4 I x = -1 są to granice, w których obliczona zostanie całka oznaczona. Zasada rozwiązania problemu znalezienia obszaru figury prawie całkowicie pokrywa się z przykładem nr 1. Jedyną różnicą jest to, że dana funkcja nie jest dodatnia, a także jest ciągła w przedziale [-4; -1] . Co nie znaczy pozytywne? Jak widać z rysunku, figura leżąca w zadanym x ma wyłącznie „ujemne” współrzędne, co musimy zobaczyć i zapamiętać przy rozwiązywaniu zadania. Szukamy obszaru figury za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, tylko ze znakiem minus na początku.

Artykuł nie jest zakończony.

Przejdźmy teraz do rozważenia zastosowań rachunku całkowego. W tej lekcji przeanalizujemy typowe i najczęstsze zadanie. obliczanie pola figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej. Wreszcie wszystkim, którzy szukają sensu w wyższej matematyce - niech go znajdą. Nigdy nie wiesz. W prawdziwym życiu będziesz musiał przybliżyć domek letniskowy za pomocą elementarnych funkcji i znaleźć jego powierzchnię za pomocą pewnej całki.

Aby pomyślnie opanować materiał, musisz:

1) Zrozumieć całkę nieoznaczoną przynajmniej na poziomie średniozaawansowanym. Dlatego manekiny powinny najpierw przeczytać lekcję Nie.

2) Umieć zastosować wzór Newtona-Leibniza i obliczyć całkę oznaczoną. Możesz nawiązać ciepłe przyjazne stosunki z niektórymi całkami na stronie Określona całka. Przykłady rozwiązań. Zadanie „oblicz pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z konstrukcją rysunku dlatego pilną kwestią będzie również Twoja wiedza i umiejętności rysunkowe. Jako minimum trzeba umieć zbudować linię prostą, parabolę i hiperbolę.

Zacznijmy od trapezu krzywoliniowego. Krzywoliniowy trapez to płaska figura ograniczona wykresem pewnej funkcji y = F(X), oś WÓŁ i linie X = A; X = B.

Obszar krzywoliniowego trapezu jest liczbowo równy pewnej całce

Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne. Na lekcji Określona całka. Przykłady rozwiązań powiedzieliśmy, że całka oznaczona jest liczbą. A teraz czas na kolejny przydatny fakt. Z punktu widzenia geometrii całką oznaczoną jest POLE. To jest, całka oznaczona (jeśli istnieje) geometrycznie odpowiada obszarowi jakiejś figury. Rozważ całkę oznaczoną

Integranda

definiuje krzywą na płaszczyźnie (można ją narysować w razie potrzeby), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa polu odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.

Przykład 1

, , , .

To jest typowe zestawienie zadań. Najważniejszym punktem decyzji jest konstrukcja rysunku. Ponadto rysunek musi być zbudowany PRAWIDŁOWY.

Podczas budowania planu polecam następującą kolejność: najpierw lepiej jest konstruować wszystkie linie (jeśli są) i tylko Następnie- parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Technikę konstrukcji punkt po punkcie można znaleźć w materiale referencyjnym Wykresy i własności funkcji elementarnych. Znajdziesz tam również materiał bardzo przydatny w związku z naszą lekcją - jak szybko zbudować parabolę.

W tym problemie rozwiązanie może wyglądać tak.

Zróbmy rysunek (zwróć uwagę, że równanie y= 0 określa oś WÓŁ):

Nie wyklujemy trapezu krzywoliniowego, jasne jest, o jakim obszarze tutaj mówimy. Rozwiązanie jest kontynuowane w następujący sposób:

W przedziale [-2; 1] wykres funkcji y = X 2 + 2 znajduje się nad osiąWÓŁ, Dlatego:

Odpowiedź: .

Kto ma trudności z obliczeniem całki oznaczonej i zastosowaniem wzoru Newtona-Leibniza

zapoznaj się z wykładem Określona całka. Przykłady rozwiązań. Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i sprawdzić, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku „na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, około 9 zostanie wpisanych, wydaje się to prawdą. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek oczywiście nie mieści się w omawianej liczbie, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 2

Oblicz pole figury ograniczonej liniami xy = 4, X = 2, X= 4 i oś WÓŁ.

To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Co zrobić, jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osiąWÓŁ?

Przykład 3

Oblicz pole figury ograniczonej liniami y = były, X= 1 i osie współrzędnych.

Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:

Jeśli trapez krzywoliniowy całkowicie pod osią WÓŁ , to jego pole można znaleźć ze wzoru:

W tym przypadku:

Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch typów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie tylko całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, może ona być ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, obszar jest zawsze dodatni! Dlatego właśnie w rozważanym wzorze pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami y = 2X – X 2 , y = -X.

Rozwiązanie: Najpierw musisz zrobić rysunek. Podczas konstruowania rysunku w problemach powierzchniowych najbardziej interesują nas punkty przecięcia linii. Znajdź punkty przecięcia paraboli y = 2X – X 2 i prosto y = -X. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny. Rozwiązujemy równanie:

Czyli dolna granica całkowania A= 0, górna granica integracji B= 3. Często bardziej opłacalne i szybsze jest konstruowanie linii punkt po punkcie, a granice całkowania wyznaczane są niejako „same”. Niemniej jednak analityczna metoda znajdowania granic nadal czasami musi być stosowana, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub konstrukcja gwintowana nie ujawniła granic całkowania (mogą być ułamkowe lub niewymierne). Wracamy do naszego zadania: bardziej racjonalne jest skonstruowanie najpierw prostej, a dopiero potem paraboli. Zróbmy rysunek:

Powtarzamy, że w konstrukcji punktowej granice integracji najczęściej wyznaczane są „automatycznie”.

A teraz formuła robocza:

Jeśli w przedziale [ A; B] pewna funkcja ciągła F(X) większe lub równe jakaś funkcja ciągła G(X), wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć według wzoru:

Tutaj nie trzeba już myśleć, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią, ale ma znaczenie, który wykres jest POWYŻEJ(względem innego wykresu), a który jest PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie jest oczywiste, że na odcinku parabola znajduje się nad linią prostą, a zatem od 2 X – X 2 należy odjąć - X.

Zakończenie rozwiązania może wyglądać następująco:

Pożądana figura jest ograniczona parabolą y = 2X – X 2 górne i proste y = -X od dołu.

Na odcinku 2 X – X 2 ≥ -X. Zgodnie z odpowiednią formułą:

Odpowiedź: .

W rzeczywistości formuła szkolna dla obszaru trapezu krzywoliniowego w dolnej półpłaszczyźnie (patrz przykład nr 3) jest szczególnym przypadkiem wzoru

Od osi WÓŁ jest dana równaniem y= 0 i wykres funkcji G(X) znajduje się poniżej osi WÓŁ, To

A teraz kilka przykładów niezależnego rozwiązania

Przykład 5

Przykład 6

Znajdź obszar figury ograniczony liniami

W trakcie rozwiązywania zadań obliczania pola powierzchni za pomocą pewnej całki zdarza się czasem zabawny incydent. Rysunek został wykonany poprawnie, obliczenia były poprawne, ale z powodu nieuwagi ... znalazł obszar niewłaściwej figury.

Przykład 7

Narysujmy najpierw:

Figura, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko.(uważnie spójrz na stan - jak ograniczona jest figura!). Ale w praktyce, z powodu nieuwagi, często decydują, że muszą znaleźć obszar figury zacieniony na zielono!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ w nim obszar figury jest obliczany za pomocą dwóch całek oznaczonych. Naprawdę:

1) Na odcinku [-1; 1] nad osią WÓŁ wykres jest prosty y = X+1;

2) Na odcinku powyżej osi WÓŁ znajduje się wykres hiperboli y = (2/X).

Jest dość oczywiste, że obszary można (i należy) dodawać, dlatego:

Odpowiedź:

Przykład 8

Oblicz pole figury ograniczonej liniami

Przedstawmy równania w formie „szkolnej”.

i wykonaj rysunek liniowy:

Z rysunku widać, że nasza górna granica jest „dobra”: B = 1.

Ale jaka jest dolna granica? Oczywiste jest, że nie jest to liczba całkowita, ale co?

Może, A=(-1/3)? Ale gdzie jest gwarancja, że \u200b\u200brysunek jest wykonany z idealną dokładnością, może się to okazać A=(-1/4). Co jeśli w ogóle nie otrzymamy prawidłowego wykresu?

W takich przypadkach trzeba poświęcić dodatkowy czas i analitycznie uściślić granice całkowania.

Znajdź punkty przecięcia wykresów

W tym celu rozwiązujemy równanie:

Stąd, A=(-1/3).

Dalsze rozwiązanie jest trywialne. Najważniejsze, aby nie pomylić się w podstawieniach i znakach. Obliczenia tutaj nie należą do najłatwiejszych. Na segmencie

, ,

według odpowiedniego wzoru:

Odpowiedź:

Na zakończenie lekcji rozważymy dwa trudniejsze zadania.

Przykład 9

Oblicz pole figury ograniczonej liniami

Rozwiązanie: Narysuj tę figurę na rysunku.

Aby narysować punkt po punkcie, musisz znać wygląd sinusoidy. Ogólnie rzecz biorąc, warto znać wykresy wszystkich funkcji elementarnych, a także niektóre wartości sinusa. Można je znaleźć w tabeli wartości funkcje trygonometryczne. W niektórych przypadkach (na przykład w tym przypadku) dopuszcza się skonstruowanie schematycznego rysunku, na którym wykresy i granice całkowania muszą być w zasadzie poprawnie przedstawione.

Nie ma tu problemów z granicami integracji, wynikają one bezpośrednio z warunku:

- „x” zmienia się od zera do „pi”. Podejmujemy kolejną decyzję:

Na odcinku wykres funkcji y= grzech 3 X znajduje się nad osią WÓŁ, Dlatego:

(1) Na lekcji możesz zobaczyć, jak sinusy i cosinusy są scalane z nieparzystymi potęgami Całki funkcji trygonometrycznych. Odcinamy jeden sinus.

(2) W postaci używamy podstawowej tożsamości trygonometrycznej

(3) Zmieńmy zmienną T= cos X, to: znajduje się nad osią , więc:

Notatka: zwróć uwagę, jak pobierana jest całka stycznej w sześcianie, tutaj używana jest konsekwencja podstawowej tożsamości trygonometrycznej

Zadanie 1(w sprawie obliczenia powierzchni trapezu krzywoliniowego).

W kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych xOy podana jest figura (patrz rysunek), ograniczona osią x, liniami prostymi x \u003d a, x \u003d b (trapez krzywoliniowy. Wymagane jest obliczenie obszaru \ u200b\u200bkrzywoliniowy trapez.
Rozwiązanie. Geometria daje nam przepisy na obliczanie pól wielokątów i niektórych części koła (wycinek, odcinek). Korzystając z rozważań geometrycznych, będziemy w stanie znaleźć tylko przybliżoną wartość wymaganego obszaru, argumentując w następujący sposób.

Podzielmy segment [a; b] (podstawa trapezu krzywoliniowego) na n równych części; podział ten jest wykonalny za pomocą punktów x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Narysujmy linie przechodzące przez te punkty równolegle do osi y. Wtedy dany trapez krzywoliniowy zostanie podzielony na n części, na n wąskich kolumn. Powierzchnia całego trapezu jest równa sumie obszarów kolumn.

Rozważ osobno k-tą kolumnę, tj. trapez krzywoliniowy, którego podstawą jest odcinek. Zastąpmy go prostokątem o tej samej podstawie i wysokości równej f(x k) (patrz rysunek). Pole prostokąta to $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, gdzie $\Delta x_k $ to długość odcinka; naturalne jest traktowanie skompilowanego produktu jako przybliżonej wartości pola k-tej kolumny.

Jeśli teraz zrobimy to samo ze wszystkimi innymi kolumnami, otrzymamy następujący wynik: pole S danego trapezu krzywoliniowego jest w przybliżeniu równe polu S n figury schodkowej złożonej z n prostokątów (patrz rysunek):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Tutaj, ze względu na jednolitość zapisu, uważamy, że a \u003d x 0, b \u003d x n; $\Delta x_0 $ - długość segmentu , $\Delta x_1 $ - długość segmentu itd.; natomiast, jak ustaliliśmy powyżej, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Zatem $S \około S_n $, a ta przybliżona równość jest tym dokładniejsza, im większe n.
Z definicji przyjmuje się, że pożądany obszar trapezu krzywoliniowego jest równy granicy ciągu (S n):
$$ S = \lim_(n \do \infty) S_n $$

Zadanie 2(o przesunięciu punktu)
Punkt materialny porusza się po linii prostej. Zależność prędkości od czasu wyraża wzór v = v(t). Znajdź przemieszczenie punktu w przedziale czasu [a; B].
Rozwiązanie. Gdyby ruch był ruchem jednostajnym, problem zostałby rozwiązany bardzo prosto: s = vt, tj. s = v(b-a). W przypadku ruchu nierównego należy skorzystać z tych samych pomysłów, na których oparto rozwiązanie poprzedniego problemu.
1) Podziel przedział czasu [a; b] na n równych części.
2) Rozważmy przedział czasu i załóżmy, że w tym przedziale czasu prędkość była stała, np. w chwili t k . Zakładamy więc, że v = v(t k).
3) Znajdź przybliżoną wartość przemieszczenia punktu w przedziale czasu , ta przybliżona wartość będzie oznaczona przez sk
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Znajdź przybliżoną wartość przemieszczenia s:
$s \około S_n $ gdzie
$S_n = s_0 + \kropki + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \kropki + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Wymagane przemieszczenie jest równe granicy ciągu (S n):
$$ s = \lim_(n \do \infty) S_n $$

Podsumujmy. Rozwiązania różnych problemów zostały sprowadzone do tego samego modelu matematycznego. Wiele problemów z różnych dziedzin nauki i techniki prowadzi do tego samego modelu w procesie rozwiązania. Tak więc ten model matematyczny powinien być specjalnie zbadany.

Pojęcie całki oznaczonej

Podajmy opis matematyczny modelu, który został zbudowany w trzech rozważanych problemach dla funkcji y = f(x), która jest ciągła (ale niekoniecznie nieujemna, jak przyjęto w rozważanych problemach) na odcinku [ A; B]:
1) podzielić odcinek [a; b] na n równych części;
2) suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \kropki + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) oblicz $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

W toku analizy matematycznej udowodniono, że granica ta istnieje w przypadku funkcji ciągłej (lub fragmentarycznie ciągłej). Jest on nazywany całka oznaczona funkcji y = f(x) na odcinku [a; B] i są oznaczone w ten sposób:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Liczby aib nazywane są granicami całkowania (odpowiednio dolna i górna).

Wróćmy do omówionych powyżej zadań. Definicję obszaru podaną w zadaniu 1 można teraz przepisać w następujący sposób:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
tutaj S jest obszarem krzywoliniowego trapezu pokazanego na powyższym rysunku. Co to jest geometryczne znaczenie całki oznaczonej.

Podaną w zadaniu 2 definicję przemieszczenia s punktu poruszającego się po linii prostej z prędkością v = v(t) w przedziale czasu od t = a do t = b można zapisać następująco:

Formuła Newtona - Leibniza

Na początek odpowiedzmy sobie na pytanie: jaki jest związek między całką oznaczoną a funkcją pierwotną?

Odpowiedź można znaleźć w zadaniu 2. Z jednej strony przemieszczenie s punktu poruszającego się po linii prostej z prędkością v = v(t) w przedziale czasu od t = a do t = b i jest obliczane ze wzoru Formuła
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Z kolei współrzędna punktu ruchu jest funkcją pierwotną prędkości - oznaczmy ją jako s(t); stąd przemieszczenie s wyraża się wzorem s = s(b) - s(a). W rezultacie otrzymujemy:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
gdzie s(t) jest funkcją pierwotną dla v(t).

W toku analizy matematycznej udowodniono następujące twierdzenie.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja y = f(x) jest ciągła na odcinku [a; b], a następnie wzór
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
gdzie F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x).

Ta formuła jest zwykle nazywana Formuła Newtona-Leibniza na cześć angielskiego fizyka Izaaka Newtona (1643-1727) i niemieckiego filozofa Gottfrieda Leibniza (1646-1716), którzy otrzymali go niezależnie od siebie i niemal jednocześnie.

W praktyce zamiast pisać F(b) - F(a) używają notacji $\left. F(x)\right|_a^b $ (czasami nazywa się to podwójna zamiana) i odpowiednio przepisać formułę Newtona-Leibniza w tej postaci:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Obliczając całkę oznaczoną, najpierw znajdź funkcję pierwotną, a następnie wykonaj podwójne podstawienie.

Na podstawie wzoru Newtona-Leibniza można otrzymać dwie własności całki oznaczonej.

Obiekt 1. Całka z sumy funkcji jest równa sumie całek:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Nieruchomość 2. Stały czynnik można wyjąć ze znaku całki:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Obliczanie pól figur płaskich za pomocą całki oznaczonej

Za pomocą całki można obliczyć pole powierzchni nie tylko trapezów krzywoliniowych, ale także płaskich figur bardziej złożonego typu, takich jak ta pokazana na rysunku. Figura P jest ograniczona liniami prostymi x = a, x = b i wykresami funkcji ciągłych y = f(x), y = g(x) oraz na odcinku [a; b] zachodzi nierówność $g(x) \leq f(x) $. Aby obliczyć pole S takiej figury, postępujemy w następujący sposób:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Zatem pole S figury ograniczone prostymi x = a, x = b oraz wykresy funkcji y = f(x), y = g(x), ciągłe na odcinku i takie, że dla dowolnego x z odcinek [a; b] nierówność $g(x) \leq f(x) $ jest spełniona, oblicza się ze wzoru
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tablica całek nieoznaczonych (funkcje pierwotne) niektórych funkcji

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$