Palabras clave:
- álgebra de la lógica
- declaración
- operación lógica
- conjunción
- disyunción
- negación
- expresión lógica
- mesa de la verdad
- leyes de la lógica
1.3.1. Declaración
Álgebra en el sentido amplio de la palabra es la ciencia de las operaciones generales, similares a la suma y la multiplicación, que se pueden realizar con una variedad de objetos matemáticos. Estudias muchos objetos matemáticos (números enteros y racionales, polinomios, vectores, conjuntos) en un curso de álgebra escolar, donde te familiarizas con ramas de las matemáticas como el álgebra de números, el álgebra de polinomios, el álgebra de conjuntos, etc.
Para la informática es importante una rama de las matemáticas llamada álgebra lógica; Los objetos del álgebra de la lógica son enunciados.
Por ejemplo, con respecto a las frases “El gran científico ruso M.V. Lomonosov nació en 1711” y “Dos más seis son ocho”, podemos decir definitivamente que son ciertas. La frase “Los gorriones hibernan en invierno” es falsa. Por tanto, estas frases son declaraciones.
Por ejemplo, la oración “Esta oración es falsa” no es un enunciado porque no se puede decir que sea verdadera o falsa sin obtener una contradicción. De hecho, si aceptamos que la frase es verdadera, entonces contradice lo dicho. Si aceptamos que la oración es falsa, entonces se deduce que es verdadera.
Con respecto a la frase "Los gráficos por computadora son el tema más interesante en el curso de informática de la escuela", también es imposible decir sin ambigüedades si es verdadera o falsa. Piensa por ti mismo por qué.
Por ejemplo, oraciones como: “Escribe tu tarea”, “¿Cómo llegar a la biblioteca?”, “¿Quién vino a vernos?” no son declaraciones. "
Ejemplos de declaraciones podrían ser:
- “Na es metal” (afirmación verdadera);
- “La segunda ley de Newton se expresa mediante la fórmula F=m a” (enunciado verdadero);
- “El perímetro de un rectángulo con lados de longitud a u b es igual a a b” (afirmación falsa).
Las expresiones numéricas no son declaraciones, pero a partir de dos expresiones numéricas se puede hacer una declaración conectándolas con signos de igualdad o desigualdad. Por ejemplo:
- “34-5 = 2 4” (afirmación verdadera);
- “II4-VI > VIII” (afirmación falsa).
Las igualdades y desigualdades que contienen variables tampoco son enunciados. Por ejemplo, la frase "X< 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.
La justificación de la verdad o falsedad de los enunciados la deciden las ciencias a las que pertenecen. El álgebra de la lógica se abstrae del contenido semántico de los enunciados. A ella sólo le interesa si una afirmación determinada es verdadera o falsa. En álgebra lógica, los enunciados se indican con letras y se denominan variables lógicas. Además, si la afirmación es verdadera, entonces el valor de la variable lógica correspondiente se denota por uno (A = 1), y si es falsa, por cero (B = 0). 0 y 1 que denotan los valores de las variables booleanas se denominan valores booleanos.
Al operar con variables lógicas, que sólo pueden ser iguales a 0 o 1, el álgebra de la lógica permite reducir el procesamiento de información a operaciones con datos binarios. Es el aparato de álgebra lógica el que forma la base de los dispositivos informáticos para almacenar y procesar información. Encontrará elementos de álgebra lógica en muchas otras áreas de la informática.
1.3.2. Operaciones lógicas
Las declaraciones pueden ser simples o complejas. Un enunciado se llama simple si ninguna parte de él es en sí mismo un enunciado. Las declaraciones complejas (compuestas) se construyen a partir de declaraciones simples mediante operaciones lógicas.
Consideremos las operaciones lógicas básicas definidas en declaraciones. Todos ellos corresponden a conectivos utilizados en el lenguaje natural.
Conjunción
Considere dos afirmaciones: A = "El fundador del álgebra de la lógica es George Boole", B = "La investigación de Claude Shannon hizo posible aplicar el álgebra de la lógica en la tecnología informática". Obviamente, la nueva afirmación "El fundador del álgebra de la lógica es George Boole, y la investigación de Claude Shannon hizo posible aplicar el álgebra de la lógica en la tecnología informática" es verdadera sólo si ambas afirmaciones originales son verdaderas al mismo tiempo.
Para escribir una conjunción se utilizan los siguientes signos: , , И, &. Por ejemplo: A B, A B, A AND B, A&B.
La conjunción se puede describir en forma de tabla, que se llama tabla de verdad:
La tabla de verdad enumera todos los valores posibles de las declaraciones originales (columnas A y B), y los números binarios correspondientes generalmente se organizan en orden ascendente: 00, 01, 10, 11. La última columna registra el resultado de la operación lógica. para los operandos correspondientes.
De lo contrario, la conjunción se llama multiplicación lógica. Piensa por qué.
Disyunción
Considere dos afirmaciones: A = “La idea de utilizar el simbolismo matemático en lógica pertenece a Gottfried Wilhelm Leibniz”, B = “Leibniz es el fundador de la aritmética binaria”. Obviamente, la nueva afirmación “La idea de utilizar el simbolismo matemático en lógica pertenece a Gottfried Wilhelm Leibniz o Leibniz es el fundador de la aritmética binaria” es falsa sólo si ambas afirmaciones originales son falsas al mismo tiempo.
Determinar de forma independiente la verdad o falsedad de las tres afirmaciones consideradas.
Para escribir una disyunción se utilizan los siguientes signos: v, |, OR, +. Por ejemplo: AvB, A|B, A OR B, A+B.
La disyunción se define mediante la siguiente tabla de verdad:
De lo contrario, la disyunción se llama suma lógica. Piensa por qué.
inversión
Para escribir inversión se utilizan los siguientes signos: NOT, ¬, ‾. Por ejemplo: NO, ¬, ‾.
La inversión está determinada por la siguiente tabla de verdad:
La inversión también se llama negación lógica.
La negación de la afirmación "Tengo una computadora en casa" será la afirmación "No es cierto que tengo una computadora en casa" o, lo que es lo mismo en ruso, "No tengo una computadora en casa". La negación de la afirmación “No sé chino” será la afirmación “No es cierto que no sé chino” o, lo que es lo mismo en ruso, “Sé chino”. La negación de la afirmación “Todos los niños de noveno grado son excelentes estudiantes” es la afirmación “No es cierto que todos los niños de noveno grado sean excelentes estudiantes”, en otras palabras, “No todos los niños de noveno grado son excelentes estudiantes."
Por lo tanto, al construir una negación para una declaración simple, se usa la frase "no es cierto que...", o la negación se construye para un predicado, luego se agrega la partícula "no" al verbo correspondiente.
Cualquier declaración compleja se puede escribir como una expresión lógica: una expresión que contiene variables lógicas, signos de operadores lógicos y paréntesis. Las operaciones lógicas en una expresión lógica se realizan en el siguiente orden: inversión, conjunción, disyunción. Puede cambiar el orden de las operaciones usando paréntesis.
Ejemplo 1. Sea A = “La palabra “crucero” aparece en la página web”, B = “La palabra “acorazado” aparece en la página web”. Estamos considerando un determinado segmento de Internet que contiene 5.000.000 de páginas web. En él, el enunciado A es verdadero para 4800 páginas, el enunciado B es verdadero para 4500 páginas y el enunciado A v B es verdadero para 7000 páginas. ¿Para cuántas páginas web serán verdaderas las siguientes expresiones y afirmaciones en este caso?
a) NO (A O B);
c) En la página Web aparece la palabra “crucero”, pero no aparece la palabra “acorazado”.
Solución. Representaremos el conjunto de todas las páginas web del sector de Internet considerado como un círculo, dentro del cual colocaremos dos círculos: uno de ellos corresponde al conjunto de páginas web donde la afirmación A es verdadera, el segundo, donde la afirmación B es verdadero (Figura 1.3).
Arroz. 1.3.
Representación gráfica de múltiples páginas web.
Representemos gráficamente los conjuntos de páginas web para las cuales las expresiones y afirmaciones a) - c) son verdaderas (Fig. 1.4)
Arroz. 1.4.
Representación gráfica de conjuntos de páginas web para las cuales las expresiones y afirmaciones a) - c) son verdaderas
Los diagramas construidos nos ayudarán a responder las preguntas contenidas en la tarea.
La expresión A O B es verdadera para 7.000 páginas web y hay 5.000.000 de páginas en total, por lo tanto, la expresión A O B es falsa para 4.993.000 páginas web. En otras palabras, para 4.993.000 páginas web, la expresión NO (A O B) es verdadera.
La expresión A v B es verdadera para aquellas páginas web donde A (4800) es verdadera, así como para aquellas páginas web donde B (4500) es verdadera. Si todas las páginas web fueran diferentes, entonces la expresión A v B sería verdadera para 9300 (4800 + 4500) páginas web. Pero según la condición, sólo hay 7000 páginas web de este tipo, lo que significa que en 2300 (9300 - 7000) páginas web ambas palabras aparecen simultáneamente. Por lo tanto, la expresión A y B es verdadera para 2300 páginas web.
Para saber para cuántas páginas web la afirmación A es verdadera y al mismo tiempo la afirmación B es falsa, reste 2300 de 4800. Por lo tanto, la afirmación “La palabra “crucero” aparece en la página web y la palabra “acorazado” no aparecer” es cierto en 2500 páginas web.
Escriba la expresión lógica correspondiente al enunciado considerado.
El sitio web del Centro Federal de Información y Recursos Educativos (http://fcoir.edu.ru/) contiene el módulo de información “Declaración. Declaraciones simples y complejas. Operaciones lógicas básicas". Conocer este recurso te permitirá ampliar tu comprensión del tema que estás estudiando.
1.3.3. Construcción de tablas de verdad para expresiones lógicas.
Para una expresión lógica, puede crear una tabla de verdad que muestre qué valores toma la expresión para todos los conjuntos de valores de las variables incluidas en ella. Para construir una tabla de verdad debes:
- contar n: el número de variables en la expresión;
- contar el número total de operaciones lógicas en una expresión;
- establecer la secuencia de operaciones lógicas, teniendo en cuenta paréntesis y prioridades;
- determine el número de columnas de la tabla: número de variables + número de operaciones;
- completar el encabezado de la tabla, incluyendo variables y operaciones de acuerdo con la secuencia establecida en el párrafo 3;
- determine el número de filas de la tabla (sin contar el encabezado de la tabla) m = 2n;
- escriba conjuntos de variables de entrada, teniendo en cuenta el hecho de que representan una serie completa de números binarios de n bits de 0 a 2 n - 1;
- llenar la tabla columna por columna, realizando operaciones lógicas de acuerdo con la secuencia establecida.
Construyamos una tabla de verdad para la expresión lógica A v A & B. Contiene dos variables, dos operaciones y primero se realiza la conjunción y luego la disyunción. La tabla tendrá cuatro columnas en total:
Los conjuntos de variables de entrada son números enteros del O al 3, presentados en código binario de dos dígitos: 00, 01, 10, 11. La tabla de verdad completa tiene el siguiente aspecto:
Tenga en cuenta que la última columna (resultado) es la misma que la columna A. En este caso, se dice que la expresión lógica A v A & B es equivalente a la expresión lógica A.
1.3.4. Propiedades de las operaciones lógicas.
Consideremos las propiedades básicas (leyes) del álgebra de la lógica.
Las leyes del álgebra lógica se pueden demostrar mediante tablas de verdad.
Demostremos la ley de distribución para la suma lógica:
A v (B y C) = (A V B) y (A v C).
La coincidencia de las columnas correspondientes a las expresiones lógicas en los lados izquierdo y derecho de la igualdad prueba la validez de la ley de distribución para la suma lógica.
Ejemplo 2. Encontremos el valor de una expresión lógica. 
para el número X = 0.
Solución. Cuando X = 0 obtenemos la siguiente expresión lógica: . Dado que las expresiones lógicas son 0< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.
1.3.5. Resolver problemas lógicos
Veamos varias formas de resolver problemas lógicos.
Problema 1. Kolya, Vasya y Seryozha visitaron a su abuela en el verano. Un día, uno de los niños rompió accidentalmente el jarrón favorito de su abuela. Cuando se les preguntó quién rompió el jarrón, dieron las siguientes respuestas:
Seryozha: 1) No lo rompí. 2) Vasya no lo rompió.
Vasya: 3) Seryozha no lo rompió. 4) Kolya rompió el jarrón.
Kolya: 5) No lo rompí. 6) Seryozha rompió el jarrón.
La abuela sabía que uno de sus nietos, llamémosle veraz, dijo la verdad en ambas ocasiones; el segundo, llamémoslo bromista, mintió en ambas ocasiones; el tercero, llamémoslo astuto, dijo la verdad una vez y otra vez, una mentira. Nombra al veraz, al bromista y al astuto. ¿Qué nieto rompió el jarrón?
Solución. Sea K = "Kolya rompió un jarrón", B = "Vasya rompió un jarrón", C = "Seryozha rompió un jarrón". Creemos una tabla de verdad con la que presentemos las afirmaciones de cada niño 1.
- 1 Teniendo en cuenta el hecho de que el jarrón fue roto por un nieto, fue posible crear no toda la tabla, sino solo su fragmento que contiene los siguientes conjuntos de variables de entrada: 001, 010, 100.
Según lo que la abuela sabe sobre sus nietos, debes buscar filas en la tabla que contengan, en algún orden, tres combinaciones de valores: 00, 11, 01 (o 10). Había dos filas de este tipo en la tabla (están marcadas con marcas de verificación). Según el segundo de ellos, el jarrón fue roto por Kolya y Vasya, lo que contradice la condición. Según la primera de las líneas encontradas, Seryozha rompió el jarrón y resultó ser un astuto. Vasya resultó ser el bromista. El nombre del nieto veraz es Kolya.
Problema 2. Alla, Valya, Sima y Dasha participan en competiciones de gimnasia. Los fanáticos hicieron sugerencias sobre posibles ganadores:
- Sima será la primera, Valya será la segunda;
- Sima será segunda, Dasha tercera;
- Alla será segunda, Dasha será cuarta.
Al final del concurso, resultó que en cada uno de los supuestos solo una de las afirmaciones es verdadera y la otra es falsa. ¿Qué lugar ocupó cada una de las chicas en la competencia si todas terminaron en lugares diferentes?
Solución. Veamos algunas declaraciones simples:
C 1 = “Sima obtuvo el primer lugar”;
B 2 = “Valya ocupó el segundo lugar”;
C 2 = “Sima ocupó el segundo lugar”;
D 3 = “Dasha ocupó el tercer lugar”;
A 2 = “Alla ocupó el segundo lugar”;
D 4 = "Dasha ocupó el cuarto lugar".
Dado que en cada uno de los tres supuestos una de las afirmaciones es verdadera y la otra falsa, podemos concluir lo siguiente:
- C 1 + B 2 = 1, C 1 B 2 = 0;
- C2 + D3 = 1, C2D3 = 0;
- Un 2 + re 4 = 1, un 2 re 4 = 0.
El producto lógico de afirmaciones verdaderas será verdadero:
(C 1 + B 2) (C 2 + D 3) (A 2 + D 4) = 1.
Basándonos en la ley de distribución, transformamos el lado izquierdo de esta expresión:
(C 1 C 2 + C 1 D 3 + B 2 C 2 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.
La afirmación C 1 C 2 significa que Sima ocupó el primer y segundo lugar. Según las condiciones del problema, esta afirmación es falsa. La afirmación B 2 C 2 también es falsa. Teniendo en cuenta la ley de operaciones con la constante 0, escribimos:
(C 1 D 3 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.
Una mayor transformación del lado izquierdo de esta igualdad y la exclusión de declaraciones obviamente falsas da como resultado:
C 1 D 3 A 2 + C 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 = 1.
C 1 re 3 un 2 = 1.
De la última igualdad se deduce que C 1 = 1, D 3 = 1, A 2 = 1. Esto significa que Sima ocupó el primer lugar, Alla el segundo y Dasha el tercero. En consecuencia, Valya ocupó el cuarto lugar.
Puede familiarizarse con otras formas de resolver problemas lógicos, así como participar en olimpíadas y concursos de Internet para resolverlos en el sitio web "Matemáticas para escolares" (http://www.kenqyry.com/).
En el sitio web http://www.kaser.com/ puede descargar una versión demo de un muy útil acertijo de lógica de Sherlock que desarrolla habilidades de lógica y razonamiento.
1.3.6. Elementos lógicos
El álgebra de la lógica es una rama de las matemáticas que juega un papel importante en el diseño de dispositivos automáticos y el desarrollo de hardware y software para tecnologías de la información y las comunicaciones.
Ya sabes que cualquier información se puede representar de forma discreta, como un conjunto fijo de valores individuales. Los dispositivos que procesan dichos valores (señales) se denominan discretos. Un convertidor discreto que, después de procesar señales binarias, produce el valor de una de las operaciones lógicas se denomina elemento lógico.
En la Fig. 1.5 muestra los símbolos (diagramas) de elementos lógicos que implementan la multiplicación lógica, la suma lógica y la inversión.
Figura 1.5.
Elementos lógicos
El elemento lógico AND (conjuntor) implementa la operación de multiplicación lógica (Fig. 1.5, a). Una unidad en la salida de este elemento aparecerá sólo cuando haya unidades en todas las entradas.
El elemento lógico OR (disyuntor) implementa la operación de suma lógica (Fig. 1.5, b). Si al menos una entrada es una, entonces la salida del elemento también será una.
El elemento NO lógico (inversor) implementa la operación de negación (Fig. 1.5, c). Si la entrada del elemento es O, entonces la salida es 1 y viceversa.
Los dispositivos informáticos que realizan operaciones con números binarios y celdas que almacenan datos son circuitos electrónicos que constan de elementos lógicos individuales. Estos temas se tratarán con más detalle en el curso de informática para los grados 10 y 11.
Ejemplo 3. Analicemos el circuito electrónico, es decir, averigüemos qué señal debe estar en la salida para cada posible conjunto de señales en las entradas.
Solución. Ingresaremos todas las combinaciones posibles de señales en las entradas A a B en la tabla de verdad. Tracemos la transformación de cada par de señales a medida que pasan por elementos lógicos y escribamos el resultado en una tabla. La tabla de verdad completa describe completamente el circuito electrónico considerado.
También se puede construir una tabla de verdad utilizando una expresión lógica correspondiente a un circuito electrónico. El último elemento lógico del circuito considerado es el conector. Recibe señales de la entrada L y del inversor. A su vez, el inversor recibe una señal de la entrada B. Así,
Trabajar con el simulador de lógica (http://kpolyakov. narod. ru/prog/logic. htm) le ayudará a obtener una comprensión más completa de los elementos lógicos y los circuitos electrónicos.
El más importante
Un enunciado es una oración en cualquier idioma cuyo contenido puede determinarse sin ambigüedades si es verdadero o falso.
Operaciones lógicas básicas definidas sobre enunciados: inversión, conjunción, disyunción.
Tablas de verdad para operaciones lógicas básicas:
Al evaluar expresiones booleanas, los pasos entre paréntesis se realizan primero. Prioridad de ejecución de operaciones lógicas:
Preguntas y tareas
El número 376 es par y tiene tres cifras.
Un número es divisible por 3 si y sólo si la suma de las cifras del número es divisible por 3
2)
3)
4)
X
Y
z
F
Trabajo independiente
opcion 2
Dejar PAG q
1)2)
3)
4)
En las siguientes afirmaciones, resalte las simples, indicando cada una de ellas con una letra; Escriba cada declaración compuesta usando letras y signos de operaciones lógicas.
En invierno, los niños van a patinar sobre hielo o a esquiar.
Si la suma de los dígitos de un número natural es divisible por 3, entonces el número es divisible por 3.
2)
3)
4)
X
Y
z
F
Trabajo independiente
Opción 3
Dejar PAG = (A Anya le gustan las lecciones de matemáticas), yq = (A Anya le gustan las lecciones de química). Expresa las siguientes fórmulas en lenguaje natural:
1)2)
3)
4)
En las siguientes afirmaciones, resalte las simples, indicando cada una de ellas con una letra; Escriba cada declaración compuesta usando letras y signos de operaciones lógicas.
No es cierto que el sol gire alrededor de la tierra.
Si ayer fue domingo, entonces Dima no estuvo en la escuela ayer y caminó todo el día.
2)
3)
4)
X
Y
z
F
Trabajo independiente
Opción 4
Dejar PAG = (A Anya le gustan las lecciones de matemáticas), yq = (A Anya le gustan las lecciones de química). Expresa las siguientes fórmulas en lenguaje natural:
1)2)
3)
4)
En las siguientes afirmaciones, resalte las simples, indicando cada una de ellas con una letra; Escriba cada declaración compuesta usando letras y signos de operaciones lógicas.
Durante la lección de matemáticas, los estudiantes de secundaria respondieron las preguntas del profesor y también escribieron trabajos independientes.
2)
3)
4)
X
Y
z
F
“El juicio como forma de pensar” - Parcialmente Negativo Algunos no... El juicio como forma de pensar. Las mariposas de la col son blancas o amarillas. Complejo. Si le tienes miedo a un lobo, no irás al bosque. Parcialmente Afirmativo Algunos... Ningún estudiante quiere ser un fracaso. Se construyen mediante conectivos “Y” “O” “SI…, ENTONCES…” “NO ES VERDAD QUE…”. Tipos de juicios simples.
"Análisis de marcos" - Método de taxonomía. Madre. Imagen lingüística del mundo. Marco. Alejandro Ródchenko. Firmar. Camino. El camino no tiene fin. Una palabra puede tener varios niveles de estructura prototípica. ¿Es el ciclo del calendario de siete días el mismo? Sistemas de marcos. Prototipo. Libros de Anna Wierzbicka. Marco narrativo. El verbo ENTENDER.
"Inferencia" - Paradoja. La inferencia es una forma de pensar. Tipos de inferencias. Juicios verdaderos. Sofismo. La inducción es el paso de lo particular a lo general. Principio básico de la lógica formal. Si algo es metal, entonces conduce electricidad. La deducción es una transición de lo general a lo específico. Inferencia directa (derivada de una premisa).
“Pensamiento en Psicología” - Actividades de investigación de un psicólogo. Dificultades para estudiar los procesos metacognitivos. Realización de pruebas de hipótesis. Interpretación de los resultados de las pruebas. Interrelación de modelos de investigación. Vistas de S.L. Rubinsteina, M.K. Mamardashvili, G.V.F. Hegel. Conocimiento sobre el conocimiento. Proponiendo una hipótesis. A. Brown y G. Wellman, en el proceso de estudiar el metapensamiento, llegaron a identificar sus principales funciones.
“Memoria” - 1. Crítica experimental: presidentes 2. Análisis de metacogniciones (Flavell). El experimento de von Restorff. KP: Estrategias de búsqueda. Enfoque de abajo hacia arriba. Tulving Memoria episódica. Memoria de corto plazo. El problema de la dualidad de la memoria Hechos experimentales Procesos de almacenamiento y control. Atkinson, Shifrin, 1967.
“Entrenamiento del pensamiento” - Bertrand Russell. Pensamiento crítico. Definición de pensamiento crítico. Y mueren incluso antes de empezar. Mucha gente preferiría morir antes que pensar. Materiales para la formación “Pensamiento Crítico y Colaboración”. Se necesitan habilidades de pensamiento crítico. Las decisiones que tomemos afectarán la vida de las generaciones futuras.
Son 15 presentaciones en total.
| § 1.3. Elementos de la lógica del álgebra.
Lecciones 8 - 12
§ 1.3. Elementos de la lógica del álgebra.
Palabras clave:
- álgebra de la lógica
- declaración
- operación lógica
- conjunción
- disyunción
- negación
- expresión lógica
- mesa de la verdad
- leyes de la lógica
1.3.1. Declaración
Álgebra en el sentido amplio de la palabra es la ciencia de las operaciones generales, similares a la suma y la multiplicación, que se pueden realizar con una variedad de objetos matemáticos. Estudias muchos objetos matemáticos (números enteros y racionales, polinomios, vectores, conjuntos) en un curso de álgebra escolar, donde te familiarizas con ramas de las matemáticas como el álgebra de números, el álgebra de polinomios, el álgebra de conjuntos, etc.
Para la informática, es importante una rama de las matemáticas llamada álgebra lógica; los objetos del álgebra de la lógica son declaraciones.
Un enunciado es una oración en cualquier idioma cuyo contenido puede determinarse sin ambigüedades si es verdadero o falso.
Por ejemplo, con respecto a las frases “El gran científico ruso M.V. Lomonosov nació en 1711” y “Dos más seis son ocho”, podemos decir definitivamente que son ciertas. La frase “Los gorriones hibernan en invierno” es falsa. Por tanto, estas frases son declaraciones.
En ruso, las declaraciones se expresan mediante oraciones declarativas. Pero no toda oración declarativa es una declaración.
Por ejemplo, la oración “Esta oración es falsa” no es un enunciado, ya que no se puede decir de ella si es verdadera o falsa sin obtener una contradicción. De hecho, si aceptamos que la frase es verdadera, entonces contradice lo dicho. Si aceptamos que la oración es falsa, entonces se deduce que es verdadera.
Con respecto a la frase "Los gráficos por computadora son el tema más interesante en el curso de informática de la escuela", también es imposible decir sin ambigüedades si es verdadera o falsa. Piensa por ti mismo por qué.
Las oraciones incentivadoras e interrogativas no son declaraciones.
Por ejemplo, frases como: “Escribe tu tarea”, “¿Cómo llegar a la biblioteca?”, “¿Quién vino a vernos?” no son declaraciones.
Las declaraciones se pueden construir utilizando signos de varios lenguajes formales: matemáticas, física, química, etc.
Ejemplos de declaraciones podrían ser:
- “Na es metal” (afirmación verdadera);
- “La segunda ley de Newton se expresa mediante la fórmula F=m a” (enunciado verdadero);
- “El perímetro de un rectángulo con lados de longitud a y b es igual a a b” (afirmación falsa).
Las expresiones numéricas no son declaraciones, pero a partir de dos expresiones numéricas se puede hacer una declaración conectándolas con signos de igualdad o desigualdad. Por ejemplo:
- “3 + 5 = 2 4” (afirmación verdadera);
- “II + VI > VIII” (afirmación falsa).
Las igualdades y desigualdades que contienen variables tampoco son enunciados. Por ejemplo, la frase "X< 12» становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: «5 < 12» - истинное высказывание; «12 < 12» - ложное высказывание.
La justificación de la verdad o falsedad de los enunciados la deciden las ciencias a las que pertenecen. El álgebra de la lógica se abstrae del contenido semántico de los enunciados. A ella sólo le interesa si una afirmación determinada es verdadera o falsa. En álgebra lógica, los enunciados se indican con letras y se denominan variables lógicas. Además, si la afirmación es verdadera, entonces el valor de la variable lógica correspondiente se denota por uno (A = 1), y si es falsa, por cero (B = 0). 0 y 1 que denotan los valores de las variables booleanas se denominan valores booleanos.
El álgebra de la lógica define las reglas para escribir, calcular valores, simplificar y transformar enunciados.
Al operar con variables lógicas, que sólo pueden ser iguales a 0 o 1, el álgebra de la lógica permite reducir el procesamiento de información a operaciones con datos binarios. Es el aparato de álgebra lógica el que forma la base de los dispositivos informáticos para almacenar y procesar información. Encontrará elementos de álgebra lógica en muchas otras áreas de la informática.
1.3.2. Operaciones lógicas
Las declaraciones pueden ser simples o complejas.. Un enunciado se llama simple si ninguna parte de él es en sí mismo un enunciado. Las declaraciones complejas (compuestas) se construyen a partir de declaraciones simples mediante operaciones lógicas.
Consideremos las operaciones lógicas básicas definidas en declaraciones. Todos ellos corresponden a conectivos utilizados en el lenguaje natural.
Conjunción
Considere dos afirmaciones: A = "El fundador del álgebra de la lógica es George Boole", B = "La investigación de Claude Shannon hizo posible aplicar el álgebra de la lógica en la tecnología informática". Obviamente, la nueva afirmación "El fundador del álgebra de la lógica es George Boole, y la investigación de Claude Shannon hizo posible aplicar el álgebra de la lógica en la tecnología informática" es verdadera sólo si ambas afirmaciones originales son verdaderas al mismo tiempo.
La conjunción es una operación lógica que asocia cada dos enunciados con un nuevo enunciado, que es verdadero si y sólo si ambos enunciados originales son verdaderos.
Para escribir una conjunción se utilizan los siguientes signos: ∧, , И, &. Por ejemplo: A ∧ B, A B, A AND B, A & B.
La conjunción se puede describir en forma de tabla, que se llama tabla de verdad:
La tabla de verdad enumera todos los valores posibles de las declaraciones originales (columnas A y B), y los números binarios correspondientes generalmente se organizan en orden ascendente: 00, 01, 10, 11. La última columna registra el resultado de la operación lógica. para los operandos correspondientes.
De lo contrario, la conjunción se llama multiplicación lógica. Piensa por qué.
Disyunción
Considere dos afirmaciones: A = “La idea de utilizar el simbolismo matemático en lógica pertenece a Gottfried Wilhelm Leibniz”, B = “Leibniz es el fundador de la aritmética binaria”. Obviamente, la nueva afirmación “La idea de utilizar el simbolismo matemático en lógica pertenece a Gottfried Wilhelm Leibniz o Leibniz es el fundador de la aritmética binaria” es falsa sólo si ambas afirmaciones originales son falsas al mismo tiempo.
Determinar de forma independiente la verdad o falsedad de las tres afirmaciones consideradas.
La disyunción es una operación lógica que asocia cada dos enunciados con un nuevo enunciado, que es falso si y sólo si ambos enunciados originales son falsos.
Para escribir una disyunción se utilizan los siguientes signos: ∨, |, OR, +. Por ejemplo: A∨B, A|B, A OR B, A+B.
La disyunción se define mediante la siguiente tabla de verdad:
De lo contrario, la disyunción se llama suma lógica. Piensa por qué.
inversión
La inversión es una operación lógica que asocia cada enunciado con un nuevo enunciado cuyo significado es opuesto al original.
Para escribir inversión se utilizan los siguientes signos: NOT, ¬, ‾. Por ejemplo: NO A, ¬A, .
La inversión está determinada por la siguiente tabla de verdad:
La inversión también se llama negación lógica.
La negación de la afirmación "Tengo una computadora en casa" será la afirmación "No es cierto que tengo una computadora en casa" o, lo que es lo mismo en ruso, "No tengo una computadora en casa". La negación de la afirmación “No sé chino” será la afirmación “No es cierto que no sé chino” o, lo que es lo mismo en ruso, “Sé chino”. La negación de la afirmación “Todos los niños de noveno grado son excelentes estudiantes” es la afirmación “No es cierto que todos los niños de noveno grado sean excelentes estudiantes”, en otras palabras, “No todos los niños de noveno grado son excelentes estudiantes."
Por lo tanto, al construir una negación para una declaración simple, se usa la frase "no es cierto que...", o la negación se construye para un predicado, luego se agrega la partícula "no" al verbo correspondiente.
Cualquier declaración compleja se puede escribir como una expresión lógica: una expresión que contiene variables lógicas, signos de operadores lógicos y paréntesis. Las operaciones lógicas en una expresión lógica se realizan en el siguiente orden: inversión, conjunción, disyunción. Puede cambiar el orden de las operaciones usando paréntesis.
Las operaciones lógicas tienen la siguiente prioridad: inversión, conjunción, disyunción.
Ejemplo 1 . Sea A = “La palabra “crucero” aparece en la página web”, B = “La palabra “acorazado” aparece en la página web”. Estamos considerando un determinado segmento de Internet que contiene 5.000.000 de páginas web. En él, el enunciado A es verdadero para 4800 páginas, el enunciado B es verdadero para 4500 páginas y el enunciado A v B es verdadero para 7000 páginas. ¿Para cuántas páginas web serán verdaderas las siguientes expresiones y afirmaciones en este caso?
a) NO (A O B);
c) En la página Web aparece la palabra “crucero”, pero no aparece la palabra “acorazado”.
Solución . Representaremos el conjunto de todas las páginas web del sector de Internet considerado como un círculo, dentro del cual colocaremos dos círculos: uno de ellos corresponde al conjunto de páginas web donde la afirmación A es verdadera, el segundo, donde la afirmación B es verdadero (Figura 1.3).
Arroz. 1.3.
Representación gráfica de múltiples páginas web.
Representemos gráficamente los conjuntos de páginas web para las cuales las expresiones y afirmaciones a) - c) son verdaderas (Fig. 1.4)
Arroz. 1.4.
Representación gráfica de conjuntos de páginas web para las cuales las expresiones y afirmaciones a) - c) son verdaderas
Los diagramas construidos nos ayudarán a responder las preguntas contenidas en la tarea.
La expresión A O B es verdadera para 7.000 páginas web y hay 5.000.000 de páginas en total, por lo tanto, la expresión A O B es falsa para 4.993.000 páginas web. En otras palabras, para 4.993.000 páginas web, la expresión NO (A O B) es verdadera.
La expresión A ∨ B es verdadera para aquellas páginas web donde A (4800) es verdadera, así como para aquellas páginas web donde B (4500) es verdadera. Si todas las páginas web fueran diferentes, entonces la expresión A v B sería verdadera para 9300 (4800 + 4500) páginas web. Pero según la condición, sólo hay 7000 páginas web de este tipo, lo que significa que en 2300 (9300 - 7000) páginas web ambas palabras aparecen simultáneamente. Por lo tanto, la expresión A y B es verdadera para 2300 páginas web.
Para saber para cuántas páginas web la afirmación A es verdadera y al mismo tiempo la afirmación B es falsa, reste 2300 de 4800. Por lo tanto, la afirmación “La palabra “crucero” aparece en la página web y la palabra “acorazado” no aparecer” es cierto en 2500 páginas web.
Escriba la expresión lógica correspondiente al enunciado considerado.
El sitio web del Centro Federal de Información y Recursos Educativos (http://fcoir.edu.ru/) contiene el módulo de información “Declaración. Declaraciones simples y complejas. Operaciones lógicas básicas". Conocer este recurso te permitirá ampliar tu comprensión del tema que estás estudiando.
1.3.3. Construcción de tablas de verdad para expresiones lógicas.
Para una expresión lógica, puede crear una tabla de verdad que muestre qué valores toma la expresión para todos los conjuntos de valores de las variables incluidas en ella. Para construir una tabla de verdad debes:
- contar n: el número de variables en la expresión;
- contar el número total de operaciones lógicas en una expresión;
- establecer la secuencia de operaciones lógicas, teniendo en cuenta paréntesis y prioridades;
- determine el número de columnas de la tabla: número de variables + número de operaciones;
- completar el encabezado de la tabla, incluyendo variables y operaciones de acuerdo con la secuencia establecida en el párrafo 3;
- determine el número de filas de la tabla (sin contar el encabezado de la tabla) m = 2n;
- escriba conjuntos de variables de entrada, teniendo en cuenta el hecho de que representan una serie completa de números binarios de n bits de 0 a 2 n - 1;
- llenar la tabla columna por columna, realizando operaciones lógicas de acuerdo con la secuencia establecida.
Construyamos una tabla de verdad para la expresión lógica A ∨ A & B. Contiene dos variables, dos operaciones y primero se realiza la conjunción y luego la disyunción. La tabla tendrá cuatro columnas en total:
Los conjuntos de variables de entrada son números enteros del O al 3, presentados en código binario de dos dígitos: 00, 01, 10, 11. La tabla de verdad completa tiene el siguiente aspecto:
Tenga en cuenta que la última columna (resultado) es la misma que la columna A. En este caso, se dice que la expresión lógica A ∨ A & B es equivalente a la expresión lógica A.
1.3.4. Propiedades de las operaciones lógicas.
Consideremos las propiedades básicas (leyes) del álgebra de la lógica.
- Ley conmutativa (conmutativa)
- para multiplicación lógica:
- para suma lógica:
A y B = B y A;
A ∨ B = B ∨ A.
- para multiplicación lógica:
- para suma lógica:
(A y B) y C = A y (B y C);
(A ∨ B) ∨ C = A ∨(B ∨ C).
Si los signos de las operaciones son los mismos, los paréntesis se pueden colocar arbitrariamente o omitirse por completo.
- para multiplicación lógica:
- para suma lógica:
A y (B ∨ C) = (A y B) ∨ (A y C);
A ∨ (B y C) = (A ∨ B) y (A ∨ C).
De dos afirmaciones contradictorias sobre el mismo tema, una siempre es verdadera, la segunda es falsa y no hay una tercera.
- para multiplicación lógica:
- para suma lógica:
- para multiplicación lógica:
- para suma lógica:
A y 0 = 0; A y 1 = A;
UN ∨ O = A; Un ∨ l = l.
Las leyes del álgebra lógica se pueden demostrar mediante tablas de verdad.
Demostremos la ley de distribución para la suma lógica:
A ∨ (B y C) = (A ∨ B) y (A ∨ C).
La coincidencia de las columnas correspondientes a las expresiones lógicas en los lados izquierdo y derecho de la igualdad prueba la validez de la ley de distribución para la suma lógica.
Ejemplo 2
. Encontremos el valor de una expresión lógica. 
para el número X = 0.
Solución
. Cuando X = 0 obtenemos la siguiente expresión lógica: . Dado que las expresiones lógicas son 0< 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем: 1&Т = 1&0 = 0.
1.3.5. Resolver problemas lógicos
Veamos varias formas de resolver problemas lógicos.
Problema 1 . Kolya, Vasya y Seryozha visitaron a su abuela en el verano. Un día, uno de los niños rompió accidentalmente el jarrón favorito de su abuela. Cuando se les preguntó quién rompió el jarrón, dieron las siguientes respuestas:
Seryozha: 1) No lo rompí. 2) Vasya no lo rompió.
Vasya: 3) Seryozha no lo rompió. 4) Kolya rompió el jarrón.
Kolya: 5) No lo rompí. 6) Seryozha rompió el jarrón.
La abuela sabía que uno de sus nietos, llamémosle veraz, dijo la verdad en ambas ocasiones; el segundo, llamémoslo bromista, mintió en ambas ocasiones; el tercero, llamémoslo astuto, dijo la verdad una vez y otra vez, una mentira. Nombra al veraz, al bromista y al astuto. ¿Qué nieto rompió el jarrón?
Solución. Sea K = "Kolya rompió un jarrón", B = "Vasya rompió un jarrón", C = "Seryozha rompió un jarrón". Hagamos una tabla de verdad con la que presentamos las afirmaciones de cada niño. 1 .
1 Teniendo en cuenta el hecho de que el jarrón fue roto por un nieto, fue posible crear no toda la tabla, sino solo su fragmento que contiene los siguientes conjuntos de variables de entrada: 001, 010, 100.
Según lo que la abuela sabe sobre sus nietos, debes buscar filas en la tabla que contengan, en algún orden, tres combinaciones de valores: 00, 11, 01 (o 10). Había dos filas de este tipo en la tabla (están marcadas con marcas de verificación). Según el segundo de ellos, el jarrón fue roto por Kolya y Vasya, lo que contradice la condición. Según la primera de las líneas encontradas, Seryozha rompió el jarrón y resultó ser un astuto. Vasya resultó ser el bromista. El nombre del nieto veraz es Kolya.
Problema 2 . Alla, Valya, Sima y Dasha participan en competiciones de gimnasia. Los fanáticos hicieron sugerencias sobre posibles ganadores:
- Sima será la primera, Valya será la segunda;
- Sima será segunda, Dasha tercera;
- Alla será segunda, Dasha será cuarta.
Al final del concurso, resultó que en cada uno de los supuestos solo una de las afirmaciones es verdadera y la otra es falsa. ¿Qué lugar ocupó cada una de las chicas en la competencia si todas terminaron en lugares diferentes?
Solución . Veamos algunas declaraciones simples:
C 1 = “Sima obtuvo el primer lugar”;
B 2 = “Valya ocupó el segundo lugar”;
C 2 = “Sima ocupó el segundo lugar”;
D 3 = “Dasha ocupó el tercer lugar”;
A 2 = “Alla ocupó el segundo lugar”;
D 4 = "Dasha ocupó el cuarto lugar".
Dado que en cada uno de los tres supuestos una de las afirmaciones es verdadera y la otra falsa, podemos concluir lo siguiente:
- C 1 + B 2 = 1, C 1 B 2 = 0;
- C2 + D3 = 1, C2D3 = 0;
- Un 2 + re 4 = 1, un 2 re 4 = 0.
El producto lógico de afirmaciones verdaderas será verdadero:
(C 1 + B 2) (C 2 + D 3) (A 2 + D 4) = 1.
Basándonos en la ley de distribución, transformamos el lado izquierdo de esta expresión:
(C 1 C 2 + C 1 D 3 + B 2 C 2 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.
La afirmación C 1 C 2 significa que Sima ocupó el primer y segundo lugar. Según las condiciones del problema, esta afirmación es falsa. La afirmación B 2 C 2 también es falsa. Teniendo en cuenta la ley de operaciones con la constante 0, escribimos:
(C 1 D 3 + B 2 D 3) (A 2 + D 4) = 1.
Una mayor transformación del lado izquierdo de esta igualdad y la exclusión de declaraciones obviamente falsas da como resultado:
C 1 D 3 A 2 + C 1 D 3 D 4 + B 2 D 3 A 2 + B 2 D 3 D 4 = 1.
C 1 re 3 un 2 = 1.
De la última igualdad se deduce que C 1 = 1, D 3 = 1, A 2 = 1. Esto significa que Sima ocupó el primer lugar, Alla el segundo y Dasha el tercero. En consecuencia, Valya ocupó el cuarto lugar.
Puede familiarizarse con otras formas de resolver problemas lógicos, así como participar en Olimpiadas de Internet y concursos para resolverlos en el sitio web "Matemáticas para escolares" (http://www.kenqyry.com/).
En el sitio web http://www.kaser.com/ puede descargar una versión demo de un muy útil acertijo de lógica de Sherlock que desarrolla habilidades de lógica y razonamiento.
1.3.6. Elementos lógicos
El álgebra de la lógica es una rama de las matemáticas que juega un papel importante en el diseño de dispositivos automáticos y el desarrollo de hardware y software para tecnologías de la información y las comunicaciones.
Ya sabes que cualquier información se puede representar de forma discreta, como un conjunto fijo de valores individuales. Los dispositivos que procesan dichos valores (señales) se denominan discretos. Un convertidor discreto que, después de procesar señales binarias, produce el valor de una de las operaciones lógicas se denomina elemento lógico.
En la Fig. 1.5 muestra los símbolos (diagramas) de elementos lógicos que implementan la multiplicación lógica, la suma lógica y la inversión.
Figura 1.5.
Elementos lógicos
El elemento lógico AND (conjuntor) implementa la operación de multiplicación lógica (Fig. 1.5, a). Una unidad en la salida de este elemento aparecerá sólo cuando haya unidades en todas las entradas.
El elemento lógico OR (disyuntor) implementa la operación de suma lógica (Fig. 1.5, b). Si al menos una entrada es una, entonces la salida del elemento también será una.
El elemento NO lógico (inversor) implementa la operación de negación (Fig. 1.5, c). Si la entrada del elemento es O, entonces la salida es 1 y viceversa.
Los dispositivos informáticos que realizan operaciones con números binarios y celdas que almacenan datos son circuitos electrónicos que constan de elementos lógicos individuales. Estos temas se tratarán con más detalle en el curso de informática para los grados 10 y 11.
Ejemplo 3. Analicemos el circuito electrónico, es decir, averigüemos qué señal debe estar en la salida para cada posible conjunto de señales en las entradas.
Solución. Ingresaremos todas las combinaciones posibles de señales en las entradas A a B en la tabla de verdad. Tracemos la transformación de cada par de señales a medida que pasan por elementos lógicos y escribamos el resultado en una tabla. La tabla de verdad completa describe completamente el circuito electrónico considerado.
También se puede construir una tabla de verdad utilizando una expresión lógica correspondiente a un circuito electrónico. El último elemento lógico del circuito considerado es el conector. Recibe señales de la entrada L y del inversor. A su vez, el inversor recibe una señal de la entrada B. Así,
Trabajar con el simulador de lógica (http://kpolyakov. narod. ru/prog/logic. htm) le ayudará a obtener una comprensión más completa de los elementos lógicos y los circuitos electrónicos.
El más importante
Declaración- es una oración en cualquier idioma cuyo contenido puede determinarse sin ambigüedades como verdadero o falso.
Operaciones lógicas básicas definidas en declaraciones: inversión, conjunción, disyunción.
Tablas de verdad para operaciones lógicas básicas:
Al evaluar expresiones booleanas, los pasos entre paréntesis se realizan primero. Prioridad de ejecución de operaciones lógicas:
Preguntas y tareas
- Explique por qué las siguientes oraciones no son enunciados.
- ¿De qué color es esta casa?
- El número X no supera uno.
- 4X + 3.
- Mirar por la ventana.
- ¡Bebe jugo de tomate!
- Este tema es aburrido.
- Ricky Martin es el cantante más popular.
- ¿Has estado en el teatro?
- Dé un ejemplo de afirmaciones verdaderas y falsas de biología, geografía, informática, historia, matemáticas y literatura.
- En las siguientes afirmaciones, resalte las afirmaciones simples, indicando cada una de ellas con una letra; Escriba cada declaración compuesta usando letras y signos de operaciones lógicas.
- El número 376 es par y tiene tres cifras.
- En invierno, los niños van a patinar sobre hielo o a esquiar.
- Celebraremos el Año Nuevo en la casa de campo o en la Plaza Roja.
- No es cierto que el Sol se mueva alrededor de la Tierra.
- La Tierra tiene forma de bola, que desde el espacio parece azul.
- Durante la lección de matemáticas, los estudiantes de secundaria respondieron las preguntas del profesor y también escribieron trabajos independientes.
- Construya la negación de las siguientes afirmaciones.
- Hoy se representa en el teatro la ópera "Eugene Onegin".
- Todo cazador quiere saber dónde está sentado el faisán.
- El número 1 es un número primo.
- Los números naturales terminados en 0 no son números primos.
- No es cierto que el número 3 no sea divisor del número 198.
- Kolya resolvió todas las tareas de la prueba.
- En todas las escuelas, algunos estudiantes están interesados en los deportes.
- Algunos mamíferos no viven en la tierra.
- Sea A = “A Anya le gustan las lecciones de matemáticas” y B = “A Anya le gustan las lecciones de química”. Expresa las siguientes fórmulas en lenguaje ordinario:
- Considere los circuitos eléctricos que se muestran en la figura:
- Algún segmento de Internet consta de 1000 sitios. El servidor de búsqueda compiló automáticamente una tabla de palabras clave para los sitios de este segmento. Aquí está su fragmento:
- Construya tablas de verdad para las siguientes expresiones lógicas:
- Realice una prueba de las leyes lógicas analizadas en el párrafo utilizando tablas de verdad.
- Dados tres números en el sistema numérico decimal: A = 23, B = 19, C = 26. Convierta A, B y C al sistema numérico binario y realice operaciones lógicas bit a bit (A ∨ B) y C. Dé la respuesta en el sistema numérico decimal.
- Encuentra el significado de las expresiones:
- Encuentra el valor de una expresión booleana.
para los valores especificados del número X: - Sea A = “La primera letra del nombre es una vocal”, B = “La cuarta letra del nombre es una consonante”. Encuentre el valor de la expresión booleana para los siguientes nombres:
- Se está examinando el caso de John, Brown y Smith. Se sabe que uno de ellos encontró y escondió el tesoro. Durante la investigación, cada uno de los sospechosos hizo dos declaraciones:
- Alyosha, Borya y Grisha encontraron una vasija antigua en el suelo. Al examinar el sorprendente hallazgo, cada uno hizo dos suposiciones:
- Alyosha: "Esta es una vasija griega y fue hecha en el siglo V".
- Borya: "Esta es una vasija fenicia y fue hecha en el siglo III".
- Grisha: "Esta vasija no es griega y fue hecha en el siglo IV".
El profesor de historia les dijo a los niños que cada uno de ellos tenía razón en sólo una de dos suposiciones. ¿Dónde y en qué siglo se fabricó la vasija?
- Descubra qué señal debe haber en la salida del circuito electrónico para cada posible conjunto de señales en las entradas. Haz una tabla de cómo funciona el circuito. ¿Qué expresión lógica describe el circuito?
Representan las conexiones en paralelo y en serie de interruptores que conoces de tu curso de física. En el primer caso, es necesario encender ambos interruptores para que se encienda la luz. En el segundo caso, basta con que uno de los interruptores esté encendido. Intente establecer usted mismo una analogía entre los elementos de los circuitos eléctricos y los objetos y operaciones del álgebra lógica:
La consulta bagre y guppies encontró 0 sitios, la consulta bagre y colas de espada encontró 20 sitios y la consulta cola de espada y guppies encontró 10 sitios.
¿Cuántos sitios se encontrarán para la consulta bagre | colas de espada | ¿guppy?
¿Para cuántos sitios en el segmento bajo consideración es falsa la afirmación “bagre es la palabra clave del sitio O colas de espada la palabra clave del sitio O guppies es la palabra clave del sitio”?
1) 1;
2) 2;
3) 3;
4) 4
4) FEDOR
Smith: “Yo no lo hice. Brown lo hizo".
John: Brown no es culpable. Smith lo hizo".
Marrón: “Yo no lo hice. Juan no lo hizo."
El tribunal determinó que uno de ellos mintió dos veces, el otro dijo la verdad dos veces y el tercero mintió una vez y dijo la verdad una vez. ¿Qué sospechoso debería ser absuelto?
Construcción de tablas de verdad para expresiones lógicas.
Examen operaciones lógicas básicas.
53. La tabla muestra las consultas y el número de páginas encontradas usándolas para un determinado segmento de Internet.
|
Pedido |
Páginas encontradas (en miles) |
|
CHOCOLATE | CEFIRO |
15 000 |
|
CHOCOLATE Y CEFIR |
8 000 |
|
CEFIRO |
12 000 |
¿Cuántas páginas (en miles) se encontrarán para la consulta CHOCOLATE? Resuelve el problema usando círculos de Euler:
54. La tabla muestra las consultas y el número de páginas encontradas usándolas para un determinado segmento de Internet.
|
Pedido |
Páginas encontradas (en miles) |
|
BISONTE Y TOUR |
5 000 |
|
BISONTE |
18 000 |
|
RECORRIDO |
12 000 |
¿Cuántas páginas (en miles) se encontrarán para la consulta ZUBR | ¿RECORRIDO?Resuelve el problema usando círculos de Euler:
55. La tabla muestra las consultas y el número de páginas encontradas usándolas para un determinado segmento de Internet.
|
Pedido |
Páginas encontradas (en miles) |
|
FÚTBOL | HOCKEY |
20 000 |
|
FÚTBOL AMERICANO |
14 000 |
|
HOCKEY |
16 000 |
¿Cuántas páginas (en miles) se encontrarán para la consulta FÚTBOL Y HOCKEY? Resuelve el problema usando círculos de Euler:
Tareas.
1. Explique por qué las siguientes oraciones no son declaraciones.
1) ¿De qué color es esta casa?
2) El número X no excede de uno.
4) Mira por la ventana.
5) ¡Bebe jugo de tomate!
6) Este tema es aburrido.
7) Ricky Martin es el cantante más popular.
8) ¿Has estado en el teatro?
3. En los siguientes enunciados, resalte los enunciados simples, indicando cada uno de ellos con una letra; Escriba cada declaración compuesta usando letras y signos de operaciones lógicas.
1)El número 376 es par y tiene tres cifras.
2) En invierno, los niños van a patinar sobre hielo o a esquiar.
3) Celebraremos el Año Nuevo en la casa de campo o en la Plaza Roja.
4) No es cierto que el Sol se mueva alrededor de la Tierra.
5) La Tierra tiene forma de bola, que desde el espacio parece azul.
6) Durante una lección de matemáticas, los estudiantes de secundaria respondieron las preguntas del maestro y también escribieron trabajos independientes.
4.Construya las negaciones de las siguientes afirmaciones.
1)Hoy se representa en el teatro la ópera “Eugene Onegin”.
2) Todo cazador quiere saber dónde está sentado el faisán.
3) El número 1 es un número primo.
4) Los números naturales terminados en O no son números primos.
5) No es cierto que el número 3 no sea divisor del número 198.
6) Kolya resolvió todas las tareas de la prueba.
7) En todas las escuelas, algunos estudiantes están interesados en los deportes.
8) Algunos mamíferos no viven en la tierra.
5. Sea A = " A Anya le gustan las lecciones de matemáticas.", y B = " Pero noMe gustan las clases de química." Expresa las siguientes fórmulas en lenguaje ordinario:
6. Considere los circuitos eléctricos que se muestran en la figura:
Representan las conexiones en paralelo y en serie de interruptores que conoces de tu curso de física. En el primer caso, es necesario encender ambos interruptores para que se encienda la luz. En el segundo caso, basta con que uno de los interruptores esté encendido. Intente establecer usted mismo una analogía entre los elementos de los circuitos eléctricos y los objetos y operaciones del álgebra lógica:
|
Diagrama eléctrico |
álgebra de la lógica |
|
Cambiar |
|
|
Encender |
|
|
Apagar |
|
|
Conexión en serie de interruptores. |
|
|
Conexión en paralelo de interruptores. |
7. Un determinado segmento de Internet consta de 1000 sitios. El servidor de búsqueda compiló automáticamente una tabla de palabras clave para los sitios de este segmento. Aquí está su fragmento:
|
Palabra clave |
Número de sitios para los que esta palabra es una palabra clave |
|
bagre |
250 |
|
colas de espada |
200 |
|
guppy |
500 |
Bajo pedido bagre y guppies Se encontraron 0 sitios para su solicitud bagre y cola de espada- 20 sitios, y bajo petición. colas de espada y guppies- 10 sitios.¿Cuántos sitios se encontrarán mediante solicitud? bagre | colas de espada | guppy?
¿Para cuántos sitios del segmento considerado es falsa la afirmación?“Bagre - la palabra clave del sitio O colas de espada -palabra clave del sitio O guppy - palabra clave del sitio”?
8.
Construya tablas de verdad para las siguientes expresiones lógicas:
9. Demuestre la lógica discutida en el párrafo. leyes usando tablas de verdad.
Dados tres números en el sistema numérico decimal: A = 23, B = 19, C = 26. Convierta A, B y C al sistema numérico binario y realice operaciones lógicas bit a bit (A v B) y C. Dé la respuesta en el sistema numérico decimal.
11.
Encuentra el significado de las expresiones:
1) (1 contra 1) contra (1 contra 0);
2) ((1 v 0) v 1) v 1);
3)
(0 & 1) & 1;
4)
1 & (1 & 1) & 1;
5)
((1 contra 0) y (1 y 1)) y (0 contra 1);
6) ((1 y 1) contra 0) y (0 contra 1);
7) ((0 y 0) contra 0) y (1 contra 1);
8) (A v 1) v (B v 0);
9) ((1 y A) v (B y 0)) v 1;
10) 1 v A y 0.
12.
Encuentra el valor de una expresión booleana.
Para valores especificados del número X: 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4