किसी गणितीय फलन का अवकलज ज्ञात करना विभेदन कहलाता है। किसी गणितीय फलन का व्युत्पन्न ढूँढना उच्च गणित में एक सामान्य समस्या है। आप अलग-अलग तरीकों से बोल सकते हैं: एक व्युत्पन्न ढूंढें, एक व्युत्पन्न की गणना करें, एक फ़ंक्शन को अलग करें, एक व्युत्पन्न लें, लेकिन ये सभी एक ही अवधारणाएं हैं। बेशक, ऐसे जटिल कार्य हैं जिनमें व्युत्पन्न खोजना समस्या के घटकों में से एक है। हमारी वेबसाइट सेवा पर, आपके पास प्राथमिक और जटिल दोनों कार्यों के व्युत्पन्न की ऑनलाइन गणना करने का अवसर है जिनके पास विश्लेषणात्मक समाधान नहीं है। हमारी सेवा पर ऑनलाइन व्युत्पन्न लगभग किसी भी गणितीय फ़ंक्शन से पाया जा सकता है, यहां तक कि सबसे जटिल भी जिसे अन्य सेवाएं आपके लिए हल नहीं कर सकती हैं। और प्राप्त उत्तर हमेशा 100% सही होता है और त्रुटियों को शामिल नहीं करता है। आप विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके देख सकते हैं कि हमारी वेबसाइट पर व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया कैसे की जाती है। उदाहरण "समाधान" बटन के दाईं ओर हैं। उदाहरणों की सूची से किसी भी फ़ंक्शन का चयन करें, यह स्वचालित रूप से फ़ंक्शन फ़ील्ड में प्रतिस्थापित हो जाएगा, और फिर "समाधान" बटन पर क्लिक करें। आप चरण दर चरण समाधान देखेंगे, आपका व्युत्पन्न उसी तरह पाया जाएगा। व्युत्पन्न को ऑनलाइन हल करने के लाभ। भले ही आप जानते हों कि डेरिवेटिव कैसे खोजा जाता है, इस प्रक्रिया में बहुत समय और प्रयास लग सकता है। सेवा साइट आपको थकाऊ और लंबी गणनाओं से बचाने के लिए डिज़ाइन की गई है, जिसमें, इसके अलावा, आप गलती भी कर सकते हैं। दिए गए फ़ंक्शन में प्रवेश करने के बाद "समाधान" बटन के एक क्लिक से ऑनलाइन व्युत्पन्न की गणना की जाती है। साथ ही, यह साइट उन लोगों के लिए बिल्कुल सही है जो गणितीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की अपनी क्षमता का परीक्षण करना चाहते हैं और यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि उनका स्वयं का समाधान सही है या इसमें कोई गलती हुई है। ऐसा करने के लिए, आपको बस अपने उत्तर की तुलना ऑनलाइन सेवा की गणना के परिणाम से करनी होगी। यदि आप व्युत्पन्न तालिकाओं का उपयोग नहीं करना चाहते हैं, जिसमें वांछित फ़ंक्शन ढूंढने में पर्याप्त समय लगता है, तो व्युत्पन्न खोजने के लिए व्युत्पन्न तालिकाओं के बजाय हमारी सेवा का उपयोग करें। अन्य समान सेवाओं की तुलना में हमारी साइट का मुख्य लाभ यह है कि गणना बहुत तेज है (औसतन 5 सेकंड में) और आपको इसके लिए कुछ भी भुगतान नहीं करना पड़ता है - सेवा बिल्कुल मुफ्त है। आपको पंजीकरण करने, ई-मेल या अपना व्यक्तिगत डेटा दर्ज करने की आवश्यकता नहीं होगी। बस आवश्यक है कि दिए गए फ़ंक्शन को दर्ज करें और "समाधान" बटन दबाएं। व्युत्पन्न क्या है. किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गणित और कैलकुलस में एक बुनियादी अवधारणा है। इस प्रक्रिया का उल्टा एकीकरण है, यानी किसी ज्ञात व्युत्पन्न द्वारा एक फ़ंक्शन ढूंढना। सीधे शब्दों में कहें तो विभेदीकरण एक फ़ंक्शन पर एक क्रिया है, और व्युत्पन्न पहले से ही ऐसी क्रिया का परिणाम है। किसी विशेष बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, तर्क x को एक संख्यात्मक मान से प्रतिस्थापित किया जाता है और अभिव्यक्ति का मूल्यांकन किया जाता है। व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के ऊपर ऊपरी दाएं कोने में एक डैश द्वारा दर्शाया गया है। इसके अलावा, एक स्ट्रोक एक विशिष्ट फ़ंक्शन का पदनाम हो सकता है। किसी प्राथमिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, आपको व्युत्पन्न तालिका को जानना होगा या इसे हमेशा हाथ में रखना होगा, जो बहुत सुविधाजनक नहीं हो सकता है, और भेदभाव के नियमों को भी जानना होगा, इसलिए हम अपनी सेवा का उपयोग करने की सलाह देते हैं जहां व्युत्पन्न की गणना की जाती है ऑनलाइन, आपको बस इसके लिए दिए गए फ़ील्ड में फ़ंक्शन दर्ज करना होगा। तर्क x चर होना चाहिए, क्योंकि भेदभाव इसके संबंध में किया जाता है। यदि आपको दूसरे व्युत्पन्न की गणना करने की आवश्यकता है, तो आप उत्तर को अलग कर सकते हैं। डेरिवेटिव की गणना ऑनलाइन कैसे की जाती है. प्राथमिक कार्यों के लिए व्युत्पन्न की तालिकाएँ लंबे समय से बनाई गई हैं और कोई भी प्राथमिक कार्यों के लिए व्युत्पन्न की तालिकाएँ आसानी से पा सकता है, इसलिए प्राथमिक (सरल) गणितीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करना काफी सरल मामला है। हालाँकि, जब किसी जटिल गणितीय फलन का व्युत्पन्न ज्ञात करना आवश्यक होता है, तो यह अब कोई मामूली कार्य नहीं रह जाता है और इसके लिए बहुत अधिक प्रयास और समय की आवश्यकता होगी। यदि आप हमारी ऑनलाइन सेवा का उपयोग करते हैं तो आप अर्थहीन और लंबी गणनाओं से छुटकारा पा सकते हैं। उसके लिए धन्यवाद, व्युत्पन्न की गणना कुछ ही सेकंड में की जाएगी।
जिस पर हमने सबसे सरल व्युत्पन्नों का विश्लेषण किया, और विभेदीकरण के नियमों और व्युत्पन्न खोजने की कुछ तकनीकों से भी परिचित हुए। इस प्रकार, यदि आप फ़ंक्शंस के डेरिवेटिव के साथ बहुत अच्छे नहीं हैं या इस लेख के कुछ बिंदु पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हैं, तो पहले उपरोक्त पाठ पढ़ें। कृपया गंभीर मूड में रहें - सामग्री आसान नहीं है, लेकिन फिर भी मैं इसे सरल और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करने का प्रयास करूंगा।
व्यवहार में, आपको अक्सर एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न से निपटना पड़ता है, मैं लगभग हमेशा ही कहूंगा, जब आपको व्युत्पन्न खोजने के लिए कार्य दिए जाते हैं।
हम एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के लिए नियम (संख्या 5) को तालिका में देखते हैं:
हम समझते है। सबसे पहले, आइए नोटेशन पर एक नज़र डालें। यहां हमारे पास दो फ़ंक्शन हैं - और, और फ़ंक्शन, लाक्षणिक रूप से बोलते हुए, फ़ंक्शन में निहित है। इस प्रकार का एक फ़ंक्शन (जब एक फ़ंक्शन दूसरे में निहित होता है) को जटिल फ़ंक्शन कहा जाता है।
मैं फ़ंक्शन को कॉल करूंगा बाह्य कार्य, और फ़ंक्शन - आंतरिक (या नेस्टेड) फ़ंक्शन.
! ये परिभाषाएँ सैद्धांतिक नहीं हैं और इन्हें असाइनमेंट के अंतिम डिज़ाइन में प्रदर्शित नहीं किया जाना चाहिए। मैं अनौपचारिक अभिव्यक्तियों "बाहरी फ़ंक्शन", "आंतरिक" फ़ंक्शन का उपयोग केवल आपके लिए सामग्री को समझना आसान बनाने के लिए करता हूं।
स्थिति स्पष्ट करने के लिए, विचार करें:
उदाहरण 1
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
साइन के अंतर्गत, हमारे पास केवल अक्षर "x" नहीं है, बल्कि संपूर्ण अभिव्यक्ति है, इसलिए तालिका से तुरंत व्युत्पन्न ढूँढना काम नहीं करेगा। हमने यह भी देखा कि पहले चार नियमों को यहां लागू करना असंभव है, इसमें अंतर प्रतीत होता है, लेकिन तथ्य यह है कि साइन को "फाड़ना" असंभव है:
इस उदाहरण में, पहले से ही मेरे स्पष्टीकरण से, यह सहज रूप से स्पष्ट है कि फ़ंक्शन एक जटिल फ़ंक्शन है, और बहुपद एक आंतरिक फ़ंक्शन (एम्बेडिंग), और एक बाहरी फ़ंक्शन है।
पहला कदम, जिसे किसी जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढते समय निष्पादित किया जाना चाहिए समझें कि कौन सा कार्य आंतरिक है और कौन सा बाह्य है.
सरल उदाहरणों के मामले में, यह स्पष्ट प्रतीत होता है कि एक बहुपद ज्या के नीचे निहित है। लेकिन क्या होगा अगर यह स्पष्ट नहीं है? यह कैसे निर्धारित करें कि कौन सा कार्य बाहरी है और कौन सा आंतरिक है? ऐसा करने के लिए, मैं निम्नलिखित तकनीक का उपयोग करने का प्रस्ताव करता हूं, जिसे मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर किया जा सकता है।
आइए कल्पना करें कि हमें एक कैलकुलेटर के साथ अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है (एक के बजाय, कोई भी संख्या हो सकती है)।
हम पहले क्या गणना करते हैं? सबसे पहलेआपको निम्नलिखित क्रिया करने की आवश्यकता होगी: , इसलिए बहुपद एक आंतरिक कार्य होगा: 
दूसरेआपको खोजने की आवश्यकता होगी, इसलिए साइन - एक बाहरी फ़ंक्शन होगा: 
हमारे बाद समझनाआंतरिक और बाहरी कार्यों के साथ, यौगिक फ़ंक्शन विभेदन नियम को लागू करने का समय आ गया है 
.
हम निर्णय लेना शुरू करते हैं. पाठ से व्युत्पन्न कैसे खोजें?हमें याद है कि किसी भी व्युत्पन्न के समाधान का डिज़ाइन हमेशा इस तरह से शुरू होता है - हम अभिव्यक्ति को कोष्ठक में संलग्न करते हैं और शीर्ष दाईं ओर एक स्ट्रोक लगाते हैं:
सर्वप्रथमहम बाहरी फलन (साइन) का व्युत्पन्न पाते हैं, प्राथमिक फलन के व्युत्पन्न की तालिका को देखते हैं और ध्यान देते हैं कि। सभी सारणीबद्ध सूत्र लागू होते हैं, भले ही "x" को एक जटिल अभिव्यक्ति से बदल दिया जाए, इस मामले में:
ध्यान दें कि आंतरिक कार्य नहीं बदला है, हम इसे नहीं छूते.
खैर, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि
सूत्र को लागू करने का परिणाम 
साफ़ इस तरह दिखता है:
स्थिरांक कारक आमतौर पर अभिव्यक्ति की शुरुआत में रखा जाता है:
यदि कोई गलतफहमी हो तो निर्णय को कागज पर लिखें और स्पष्टीकरण दोबारा पढ़ें।
उदाहरण 2
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
उदाहरण 3
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
हमेशा की तरह, हम लिखते हैं: 
हम यह पता लगाते हैं कि हमारा बाहरी कार्य कहां है और आंतरिक कार्य कहां है। ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने के लिए (मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर) प्रयास करते हैं। पहले क्या करने की जरूरत है? सबसे पहले, आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि आधार किसके बराबर है:, जिसका अर्थ है कि बहुपद आंतरिक कार्य है: 
और, केवल तभी घातांक निष्पादित किया जाता है, इसलिए, पावर फ़ंक्शन एक बाहरी फ़ंक्शन है: 
सूत्र के अनुसार 
, सबसे पहले आपको बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढना होगा, इस मामले में, डिग्री। हम तालिका में वांछित सूत्र की तलाश कर रहे हैं:। हम फिर दोहराते हैं: कोई भी सारणीबद्ध सूत्र न केवल "x" के लिए, बल्कि एक जटिल अभिव्यक्ति के लिए भी मान्य है. इस प्रकार, एक जटिल फ़ंक्शन के विभेदन के नियम को लागू करने का परिणाम 
अगला:
मैं फिर से इस बात पर जोर देता हूं कि जब हम बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेते हैं, तो आंतरिक फ़ंक्शन नहीं बदलता है: 
अब यह आंतरिक फ़ंक्शन का एक बहुत ही सरल व्युत्पन्न ढूंढना और परिणाम को थोड़ा "कंघी" करना बाकी है:
उदाहरण 4
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
यह स्व-समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।
एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की समझ को मजबूत करने के लिए, मैं बिना किसी टिप्पणी के एक उदाहरण दूंगा, इसे स्वयं समझने का प्रयास करें, कारण बताएं कि बाहरी कहां है और आंतरिक फ़ंक्शन कहां है, कार्यों को इस तरह क्यों हल किया जाता है?
उदाहरण 5
ए) किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
बी) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
उदाहरण 6
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें 
यहां हमारे पास एक जड़ है, और जड़ को अलग करने के लिए, इसे एक डिग्री के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। इस प्रकार, हम पहले फ़ंक्शन को विभेदन के लिए उचित रूप में लाते हैं:
फ़ंक्शन का विश्लेषण करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि तीन पदों का योग एक आंतरिक फ़ंक्शन है, और घातांक एक बाहरी फ़ंक्शन है। हम एक जटिल फलन के विभेदन का नियम लागू करते हैं 
:
डिग्री को फिर से एक रेडिकल (रूट) के रूप में दर्शाया जाता है, और आंतरिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए, हम योग को अलग करने के लिए एक सरल नियम लागू करते हैं:
तैयार। आप व्यंजक को कोष्ठक में एक सामान्य हर में भी ला सकते हैं और सभी चीज़ों को एक भिन्न के रूप में लिख सकते हैं। बेशक, यह सुंदर है, लेकिन जब बोझिल लंबे डेरिवेटिव प्राप्त होते हैं, तो ऐसा न करना बेहतर है (भ्रमित होना आसान है, अनावश्यक गलती करना, और शिक्षक के लिए इसे जांचना असुविधाजनक होगा)।
उदाहरण 7
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
यह स्व-समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।
यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि कभी-कभी, किसी जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के नियम के बजाय, कोई भागफल को अलग करने के लिए नियम का उपयोग कर सकता है 
, लेकिन ऐसा समाधान असामान्य विकृति जैसा लगेगा। यहाँ एक विशिष्ट उदाहरण है:
उदाहरण 8
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
यहां आप भागफल के विभेदन के नियम का उपयोग कर सकते हैं 
, लेकिन किसी जटिल फलन के विभेदन के नियम के माध्यम से व्युत्पन्न ज्ञात करना कहीं अधिक लाभदायक है:
हम विभेदन के लिए फ़ंक्शन तैयार करते हैं - हम व्युत्पन्न का ऋण चिह्न निकालते हैं, और कोसाइन को अंश तक बढ़ाते हैं:
कोसाइन एक आंतरिक कार्य है, घातांक एक बाहरी कार्य है।
आइए अपने नियम का उपयोग करें 
:
हम आंतरिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूंढते हैं, कोसाइन को वापस नीचे रीसेट करते हैं:
तैयार। विचारित उदाहरण में, यह महत्वपूर्ण है कि संकेतों में भ्रमित न हों। वैसे इसे नियम से सुलझाने की कोशिश करें 
, उत्तर मेल खाने चाहिए।
उदाहरण 9
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
यह स्व-समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।
अब तक, हमने ऐसे मामलों पर विचार किया है जहां हमारे पास एक जटिल फ़ंक्शन में केवल एक नेस्टिंग थी। व्यावहारिक कार्यों में, आप अक्सर डेरिवेटिव पा सकते हैं, जहां घोंसले बनाने वाली गुड़िया की तरह, एक दूसरे के अंदर 3 या यहां तक कि 4-5 फ़ंक्शन एक साथ निहित होते हैं।
उदाहरण 10
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
हम इस फ़ंक्शन के अनुलग्नकों को समझते हैं. हम प्रयोगात्मक मान का उपयोग करके अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करने का प्रयास करते हैं। हम कैलकुलेटर पर कैसे भरोसा करेंगे?
सबसे पहले आपको खोजने की जरूरत है, जिसका अर्थ है कि आर्क्साइन सबसे गहरा घोंसला है:
एकता की इस धुरी को तब चुकता किया जाना चाहिए:
और अंत में, हम सात को घात तक बढ़ाते हैं: 
अर्थात्, इस उदाहरण में हमारे पास तीन अलग-अलग फ़ंक्शन और दो नेस्टिंग्स हैं, जबकि सबसे भीतरी फ़ंक्शन आर्कसाइन है, और सबसे बाहरी फ़ंक्शन घातीय फ़ंक्शन है।
हम निर्णय लेना शुरू करते हैं
नियम के अनुसार 
सबसे पहले आपको बाहरी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेने की आवश्यकता है। हम डेरिवेटिव की तालिका को देखते हैं और घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को ढूंढते हैं: एकमात्र अंतर यह है कि "x" के बजाय हमारे पास एक जटिल अभिव्यक्ति है, जो इस सूत्र की वैधता को अस्वीकार नहीं करती है। तो, एक जटिल फ़ंक्शन के विभेदन के नियम को लागू करने का परिणाम 
अगला।
किसी जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करके व्युत्पन्न की गणना के उदाहरण दिए गए हैं।
यहां हम निम्नलिखित कार्यों के डेरिवेटिव की गणना के उदाहरण देते हैं:
;
;
;
;
.
यदि किसी फ़ंक्शन को निम्नलिखित रूप में एक जटिल फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है:
,
तो इसका व्युत्पन्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
.
नीचे दिए गए उदाहरणों में हम इस सूत्र को निम्नलिखित रूप में लिखेंगे:
.
कहाँ ।
यहां, उपस्क्रिप्ट या, व्युत्पन्न के चिह्न के नीचे स्थित, उस चर को दर्शाते हैं जिसके संबंध में भेदभाव किया जाता है।
आमतौर पर, डेरिवेटिव की तालिकाओं में, वेरिएबल x से फ़ंक्शन के डेरिवेटिव दिए जाते हैं। हालाँकि, x एक औपचारिक पैरामीटर है। वेरिएबल x को किसी अन्य वेरिएबल द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इसलिए, किसी फ़ंक्शन को वेरिएबल से अलग करते समय, हम डेरिवेटिव की तालिका में, वेरिएबल x को वेरिएबल u में बदल देते हैं।
सरल उदाहरण
उदाहरण 1
किसी जटिल फलन का व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए
.
समाधान
हम दिए गए फ़ंक्शन को समकक्ष रूप में लिखते हैं:
.
डेरिवेटिव की तालिका में हम पाते हैं:
;
.
एक जटिल फलन के व्युत्पन्न के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है:
.
यहाँ ।
उत्तर
उदाहरण 2
व्युत्पन्न खोजें
.
समाधान
हम अवकलज के चिह्न से परे स्थिरांक 5 को निकालते हैं और अवकलज की तालिका से हम पाते हैं:
.
.
यहाँ ।
उत्तर
उदाहरण 3
व्युत्पन्न खोजें
.
समाधान
हम स्थिरांक निकालते हैं -1
व्युत्पन्न के चिह्न के लिए और व्युत्पन्न की तालिका से हम पाते हैं:
;
डेरिवेटिव की तालिका से हम पाते हैं:
.
हम एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लागू करते हैं:
.
यहाँ ।
उत्तर
अधिक जटिल उदाहरण
अधिक जटिल उदाहरणों में, हम यौगिक फलन विभेदन नियम को कई बार लागू करते हैं। ऐसा करने पर, हम अंत से व्युत्पन्न की गणना करते हैं। अर्थात्, हम फ़ंक्शन को उसके घटक भागों में तोड़ते हैं और उपयोग करके सबसे सरल भागों के व्युत्पन्न ढूंढते हैं व्युत्पन्न तालिका. हम भी आवेदन करते हैं योग विभेदन नियम, उत्पाद और भिन्न . फिर हम प्रतिस्थापन करते हैं और एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लागू करते हैं।
उदाहरण 4
व्युत्पन्न खोजें
.
समाधान
हम सूत्र का सबसे सरल भाग चुनते हैं और उसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं। .
.
यहां हमने संकेतन का प्रयोग किया है
.
हम प्राप्त परिणामों को लागू करके मूल फ़ंक्शन के अगले भाग का व्युत्पन्न ढूंढते हैं। हम योग के विभेदन का नियम लागू करते हैं:
.
एक बार फिर, हम एक जटिल फलन के विभेदन का नियम लागू करते हैं।
.
यहाँ ।
उत्तर
उदाहरण 5
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
.
समाधान
हम सूत्र का सबसे सरल भाग चुनते हैं और डेरिवेटिव की तालिका से इसका व्युत्पन्न ढूंढते हैं। .
हम एक जटिल फलन के विभेदन का नियम लागू करते हैं।
.
यहाँ
.
परिभाषा।मान लीजिए कि फ़ंक्शन \(y = f(x) \) को अंदर बिंदु \(x_0 \) वाले कुछ अंतराल में परिभाषित किया गया है। आइए तर्क में \(\Delta x \) बढ़ाएं ताकि यह अंतराल न छूटे। फ़ंक्शन \(\Delta y \) (बिंदु \(x_0 \) से बिंदु \(x_0 + \Delta x \) तक गुजरते समय) की संगत वृद्धि ज्ञात करें और संबंध बनाएं \(\frac(\Delta y )(\डेल्टा x) \). यदि इस संबंध की कोई सीमा \(\Delta x \rightarrow 0 \) पर है, तो संकेतित सीमा कहलाती है व्युत्पन्न कार्य\(y=f(x) \) बिंदु \(x_0 \) पर और \(f"(x_0) \) को निरूपित करें।
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
प्रतीक y का उपयोग अक्सर व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए किया जाता है। ध्यान दें कि y" = f(x) एक नया फ़ंक्शन है, लेकिन स्वाभाविक रूप से फ़ंक्शन y = f(x) से जुड़ा हुआ है, जो सभी बिंदुओं x पर परिभाषित है, जिस पर उपरोक्त सीमा मौजूद है। इस फ़ंक्शन को इस प्रकार कहा जाता है: फ़ंक्शन y \u003d f (x) का व्युत्पन्न.
व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थनिम्नलिखित से मिलकर बनता है. यदि एक स्पर्शरेखा जो y अक्ष के समानांतर नहीं है, उसे भुज x = a वाले बिंदु पर फ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ़ पर खींचा जा सकता है, तो f (a) स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है:
\(k = f"(a)\)
चूँकि \(k = tg(a) \), समानता \(f"(a) = tg(a) \) सत्य है।
और अब हम अनुमानित समानता के संदर्भ में व्युत्पन्न की परिभाषा की व्याख्या करते हैं। मान लीजिए कि फ़ंक्शन \(y = f(x) \) का एक विशेष बिंदु \(x \) पर व्युत्पन्न है:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
इसका मतलब है कि बिंदु x के पास, अनुमानित समानता \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), यानी \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \डेलटैक्स\). प्राप्त अनुमानित समानता का सार्थक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन की वृद्धि तर्क की वृद्धि के लिए "लगभग आनुपातिक" है, और आनुपातिकता का गुणांक किसी दिए गए बिंदु x पर व्युत्पन्न का मान है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(y = x^2 \) के लिए अनुमानित समानता \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) सत्य है। यदि हम व्युत्पन्न की परिभाषा का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करें, तो हम पाएंगे कि इसमें इसे खोजने के लिए एक एल्गोरिदम शामिल है।
आइए इसे तैयार करें.
फ़ंक्शन y \u003d f (x) का व्युत्पन्न कैसे खोजें?
1. मान \(x \) ठीक करें, \(f(x) \) खोजें
2. \(x \) तर्क \(\Delta x \) को बढ़ाएं, एक नए बिंदु \(x+ \Delta x \) पर जाएं, \(f(x+ \Delta x) \) ढूंढें
3. फ़ंक्शन वृद्धि ज्ञात करें: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. संबंध लिखें \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ की गणना करें
यह सीमा x पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है।
यदि फ़ंक्शन y = f(x) का बिंदु x पर व्युत्पन्न है, तो इसे बिंदु x पर अवकलनीय कहा जाता है। फलन y = f (x) का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है भेदभावफलन y = f(x).
आइए निम्नलिखित प्रश्न पर चर्चा करें: किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता और भिन्नता कैसे संबंधित हैं?
मान लीजिए कि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है। फिर बिंदु M (x; f (x)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है और, याद रखें, स्पर्शरेखा का ढलान f "(x) के बराबर है। ऐसा ग्राफ़ "टूट" नहीं सकता है बिंदु M, यानी, फ़ंक्शन x पर निरंतर होना चाहिए।
यह "उंगलियों पर" तर्क था। आइये अधिक कठोर तर्क प्रस्तुत करें। यदि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है, तो अनुमानित समानता \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) कायम रहती है। शून्य, फिर \(\Delta y \ ) भी शून्य की ओर प्रवृत्त होगा, और यह एक बिंदु पर फ़ंक्शन की निरंतरता के लिए शर्त है।
इसलिए, यदि कोई फ़ंक्शन किसी बिंदु x पर अवकलनीय है, तो यह उस बिंदु पर निरंतर भी है.
इसका उलट सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन y = |x| हर जगह निरंतर है, विशेष रूप से बिंदु x = 0 पर, लेकिन "संयुक्त बिंदु" (0; 0) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन ग्राफ़ पर स्पर्श रेखा खींचना असंभव है, तो इस बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है।
एक और उदाहरण. फ़ंक्शन \(y=\sqrt(x) \) बिंदु x = 0 सहित संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है। और फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा बिंदु x = 0 सहित किसी भी बिंदु पर मौजूद है लेकिन इस बिंदु पर स्पर्शरेखा y-अक्ष के साथ मेल खाती है, अर्थात, यह भुज अक्ष के लंबवत है, इसके समीकरण का रूप x \u003d 0 है। ऐसी सीधी रेखा के लिए कोई ढलान नहीं है, जिसका अर्थ है कि \ ( f "(0) \) भी मौजूद नहीं है
तो, हम किसी फ़ंक्शन की एक नई संपत्ति - भिन्नता से परिचित हुए। आप कैसे बता सकते हैं कि कोई फ़ंक्शन किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से भिन्न है?
उत्तर वास्तव में ऊपर दिया गया है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है जो x-अक्ष के लंबवत नहीं है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अवकलनीय है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है या यह x-अक्ष के लंबवत है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन भिन्न नहीं है।
विभेदन नियम
अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव. इस ऑपरेशन को करते समय, आपको अक्सर भागफल, योग, कार्यों के उत्पादों के साथ-साथ "कार्यों के कार्यों", यानी जटिल कार्यों के साथ काम करना पड़ता है। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम विभेदन नियम प्राप्त कर सकते हैं जो इस कार्य को सुविधाजनक बनाते हैं। यदि C एक स्थिर संख्या है और f=f(x), g=g(x) कुछ भिन्न फलन हैं, तो निम्नलिखित सत्य हैं विभेदन नियम:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$