דיפרנציאל של פונקציה הוא תכונה של דיפרנציאל. הפרש פונקציות

דִיפֵרֶנציִאָלִיהפונקציה y=ƒ(x) בנקודה x נקראת החלק העיקרי של התוספת שלה, שווה למכפלת הנגזרת של הפונקציה והתוספת של הארגומנט, והיא מסומנת dу (או dƒ(x)): dy= ƒ"(x) ∆x.

הבדלים עיקריים:

להפרש של פונקציה יש תכונות דומות לאלו של הנגזרת.

1. קבוע דיפרנציאלישווה לאפס:
   dc = 0, c = const.
2. דיפרנציאל של סכום הפונקציות הניתנות להבדלהשווה לסכום ההפרשים של המונחים:

תוֹצָאָה. אם שתי פונקציות הניתנות להבדלה נבדלות במונח קבוע, אז ההפרשים שלהן שווים

d(u+c) = du (c= const).

1. דיפרנציאל מוצרשל שתי פונקציות הניתנות להבדלה שווה למכפלת הפונקציה הראשונה וההפרש של השנייה בתוספת המכפלה של השנייה בהפרש של הראשונה:

d(uv) = udv + vdu.

תוֹצָאָה. ניתן להוציא את המכפיל הקבוע מהסימן ההפרש

d(cu) = cdu (c = const).

1. דיפרנציאל של מנה u/v של שתי פונקציות הניתנות להבדלה u = u(x) ו-v = v(x) נקבעת על ידי הנוסחה

1. תכונת העצמאות של צורת הדיפרנציאל מבחירת משתנה בלתי תלוי (אינוריאנטיות של צורת הדיפרנציאל): ההפרש של פונקציה שווה למכפלת הנגזרת וההפרש של ארגומנט בלתי תלוי אם זה ארגומנט הוא משתנה בלתי תלוי או פונקציה של משתנה בלתי תלוי אחר.

נגזרות ודיפרנציאלים מסדרים גבוהים יותר.

תן לנגזרת של פונקציה כלשהי וגָזִיר. אז נקראת הנגזרת של הנגזרת של פונקציה זו נגזרת שנייהפונקציות ווהוא מיועד ו". לכן,

ו"(איקס) = (ו"(איקס))" .

אם ניתן להבדיל ( נ- 1) נגזרת של הפונקציה ו, ואז היא נהנגזרתנקראת הנגזרת של ( נ- 1) נגזרת של הפונקציה ווהוא מיועד f(n). כך,

f(n)(איקס) = (f(n-1)(איקס))" , נ ϵ נ, f(0)(איקס) = ו(איקס).

מספר נשקוראים לו סדר הנגזרת.

דִיפֵרֶנציִאָלִי נהסדר -פונקציות ונקרא דיפרנציאל מהפרש ( נ- סדר 1 של אותה פונקציה. לכן,

ד נ ו(איקס) = ד(ד נ -1 ו(איקס)), ד 0 ו(איקס) = ו(איקס), נ ϵ נ.

אם איקסהוא המשתנה הבלתי תלוי, אם כן

dx= const ו ד 2 איקס = ד 3 איקס = ... = d n x = 0.

במקרה זה הנוסחה תקפה

ד נ ו(איקס) = ו (נ) (איקס)(dx)נ.

נגזרים נהסדר מהפונקציות היסודיות הבסיסיות

הנוסחאות תקפות

יישום נגזרות לחקר פונקציות.

משפטים בסיסיים להבחנה של פונקציות:

משפט רול

תן לתפקד ו: [א, ב] → רהוא רציף על הקטע [ א, ב], ויש לו נגזרת סופית או אינסופית בתוך אותו מקטע. תן, בנוסף, ו(א) = ו(ב). ואז בתוך הקטע [ א, ב] יש טעם ξ כך ש ו"(ξ ) = 0.

משפט לגראנז'

אם הפונקציה ו: [א, ב] → רהוא רציף על הקטע [ א, ב] ויש לו נגזרת סופית או אינסופית בנקודות פנימיות של קטע זה, אז כזו ו(ב) - ו(א) = ו"(ξ )(ב - א).

משפט קאוצ'י

אם כל אחת מהפונקציות וו זהוא רציף על [ א, ב] ויש לו נגזרת סופית או אינסופית על ] א, ב[ואם בנוסף הנגזרת g"(איקס) ≠ 0 על ] א, ב[, אז כך שהנוסחה תקפה

אם אתה דורש את זה בנוסף ז(א) ≠ ז(ב), ואז התנאי g"(איקס) ≠ 0 ניתן להחליף באחד פחות מחמיר:

1. ד ג = 0;

2.ד( c u(איקס)) = גד u(איקס);

3.ד( u(איקס) ± v(איקס)) = d u( איקס)±ד v(איקס);

4.ד( u(איקס) v(איקס)) = v(איקס) ד u(איקס) + u(איקס)d v( איקס);

5.d( u(איקס) / v(איקס)) = (v(איקס) ד u(איקס) - u(איקס) ד v(איקס)) / v 2 (איקס).

הבה נציין עוד תכונה אחת שיש להפרש, אך אין לנגזרת. שקול את הפונקציה y = f(u), כאשר u = φ(x), כלומר, ראה את הפונקציה המורכבת y = f(φ(x)). אם כל אחת מהפונקציות f ו-φ ניתנות להבדלה, אזי הנגזרת של פונקציה מורכבת, לפי המשפט, שווה ל-y" = f"(u) · u". ואז ההפרש של הפונקציה

dy = f"(איקס)dx = f"(u)u"dx = f"(u)דו

מאז u"dx = du. כלומר

dy = f"(u)דו.

(6)

השוויון האחרון אומר שנוסחת ההפרש לא משתנה אם במקום פונקציה של x נתייחס לפונקציה של המשתנה u. תכונה זו של הדיפרנציאל נקראת אינוריאנטיות של צורת ההפרש הראשון.

תגובה.שימו לב שבנוסחה (5) dx = ∆ x, ובנוסחה (6) du הוא רק החלק הליניארי של התוספת של הפונקציה u.

שקול את הביטוי עבור ההפרש הראשון

dy = f"(איקס)dx.

תן לפונקציה בצד ימין להיות פונקציה הניתנת להבדלה בנקודה נתונה x. כדי לעשות זאת, מספיק ש-y = f(x) יהיה ניתן להבדיל פעמיים בנקודה נתונה x, והארגומנט הוא או משתנה בלתי תלוי או שהוא פונקציה שניתנת להבדלה.

דיפרנציאל מסדר שני

הגדרה 1 (הפרש מסדר שני).הערך δ(d y) דיפרנציאל מההפרש הראשון (5) ב-δ איקס=ד איקס, נקרא ההפרש השני של הפונקציה y = f(איקס) ומסומן ב-d 2 y.

לכן,

ד 2 y =δ ( dy)| δ x = dx .

דיפרנציאל dn yניתן להציג באמצעות אינדוקציה.

הגדרה 7.ערך δ(d n-1 y) דיפרנציאל מ( n- 1) ההפרש ב-δ איקס=ד איקס, שקוראים לו n- m הפרש פונקציות y = f(איקס) ומסומן על ידי ד נ y.

בוא נמצא ביטוי ל-d 2 yיחד עם זאת, אנו שוקלים שני מקרים כאשר איקס-משתנה בלתי תלוי ומתי איקס = φ( ט), כלומר, היא פונקציה של המשתנה ט.

1. לתת איקס = φ( ט), לאחר מכן

ד 2 = δ ( dy)| δ x = dx = δ( ו"(איקס)dx)| δ x = dx =

= {δ( ו"(איקס))dx+f"(איקס)δ( dx)} | δ x = dx =f""(איקס)(dx) 2 +f"(איקס)ד 2 איקס.

ד 2 y = f""(איקס)(dx) 2 +f"(איקס)ד 2 איקס.

(7)

2. אז תן x להיות המשתנה הבלתי תלוי

ד 2 y = f""(איקס)(dx) 2 ,

מכיוון שבמקרה זה δ(dx) = (dx)"δ x = 0.

באופן דומה, על ידי אינדוקציה קל להשיג את הנוסחה הבאה אם ​​x הוא המשתנה הבלתי תלוי:

d n y = f (נ) (איקס)(dx)נ.

מנוסחה זו נובע כי f (n) = d n y/(dx) n.

לסיכום, נציין שלדיפרנציאלים מהסדר השני והגבוה יותר אין את תכונת האינבוריות, מה שמיד ברור מהנוסחה של הדיפרנציאל מסדר שני (7).

חשבון אינטגרלי של פונקציה של משתנה אחד

אינטגרל בלתי מוגבל.

פונקציה נקראת אנטי נגזרת ביחס לפונקציה אם היא ניתנת להבדלה והתנאי מתקיים

ברור, כאשר C הוא קבוע כלשהו.

האינטגרל הבלתי מוגדר של פונקציה הוא קבוצת כל הנגזרות האנטי-נגזרות של פונקציה זו. האינטגרל הבלתי מוגדר מסומן ושווה ל

בהיותם קשורים קשר בל יינתק, שניהם שימשו באופן פעיל במשך כמה מאות שנים בפתרון כמעט כל הבעיות שהתעוררו בתהליך הפעילות המדעית והטכנית האנושית.

הופעת המושג דיפרנציאלי

המתמטיקאי הגרמני המפורסם גוטפריד וילהלם לייבניץ, אחד היוצרים (יחד עם אייזק ניוטון) של חשבון דיפרנציאלי, היה הראשון שהסביר מהו דיפרנציאל. לפני זה, מתמטיקאים של המאה ה-17. נעשה שימוש ברעיון מאוד מעורפל ומעורפל של חלק "ניתן לחלוקה" קטן לאין שיעור של כל פונקציה ידועה, שייצג ערך קבוע קטן מאוד, אך אינו שווה לאפס, פחות ממנו ערכי הפונקציה פשוט לא יכולים להיות. מכאן זה היה רק ​​שלב אחד להכנסת המושג של אינפיניטסימליים של ארגומנטים של פונקציות ושל התוספות המתאימות של הפונקציות עצמן, המתבטאות באמצעות הנגזרות של האחרונות. והצעד הזה נעשה כמעט בו זמנית על ידי שני המדענים הגדולים הנ"ל.

בהתבסס על הצורך לפתור בעיות מעשיות דוחקות של מכניקה, שהוצגו למדע על ידי התפתחות מהירה של תעשייה וטכנולוגיה, ניוטון ולייבניץ יצרו שיטות כלליות למציאת קצב השינוי של פונקציות (בעיקר ביחס למהירות המכנית של הגוף לאורך מסלול ידוע), שהוביל להכנסת מושגים כמו הנגזרת והדיפרנציאל של פונקציה, וכן מצא אלגוריתם לפתרון הבעיה ההפוכה של איך למצוא את המרחק שעבר באמצעות מהירות ידועה (משתנה), מה שהוביל להופעתו של מושג האינטגרל.

בעבודותיהם של לייבניץ וניוטון, הרעיון הופיע לראשונה שהפרשים הם החלקים העיקריים של מרווחי פונקציות Δy פרופורציונליים למרווחים של ארגומנטים Δx, שניתן להשתמש בהם בהצלחה כדי לחשב את הערכים של האחרונים. במילים אחרות, הם גילו שהתוספת של פונקציה יכולה להתבטא בכל נקודה (בתוך תחום ההגדרה שלה) דרך הנגזרת שלה כ-Δу = y"(x) Δх + αΔх, כאשר α Δх הוא האיבר הנותר הנוטה ל אפס כמו Δх→ 0, הרבה יותר מהיר מ-Δx עצמו.

לטענת מייסדי הניתוח המתמטי, דיפרנציאלים הם בדיוק המונחים הראשונים בביטויים של מרווחים של פונקציות כלשהן. עדיין לא היה להם מושג מנוסח בבירור של גבול הרצפים, הם הבינו אינטואיטיבית שערך הדיפרנציאל נוטה לנגזרת של הפונקציה כמו Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

בניגוד לניוטון, שהיה בעיקר פיזיקאי וראה במנגנון המתמטי ככלי עזר לחקר בעיות פיזיקליות, לייבניץ הקדיש תשומת לב רבה יותר לערכת הכלים הזו עצמה, לרבות מערכת של סימונים חזותיים ומובנים לכמויות מתמטיות. הוא זה שהציע את הסימון המקובל על ההפרשים של הפונקציה dy = y"(x)dx, הארגומנט dx והנגזרת של הפונקציה בצורת היחס שלהם y"(x) = dy/dx.

הגדרה מודרנית

מהו דיפרנציאל מנקודת המבט של המתמטיקה המודרנית? זה קשור קשר הדוק למושג תוספת של משתנה. אם המשתנה y מקבל תחילה את הערך y = y 1 ולאחר מכן y = y 2, אז ההפרש y 2 ─ y 1 נקרא התוספת של y.

העלייה יכולה להיות חיובית. שלילי ושווה לאפס. המילה "increment" מסומנת ב-Δ, הסימון Δу (קרא "delta y") מציין את התוספת של הערך y. אז Δу = y 2 ─ y 1 .

אם הערך Δу של פונקציה שרירותית y = f (x) יכול להיות מיוצג בצורה Δу = A Δх + α, כאשר ל-A אין תלות ב-Δх, כלומר A = const עבור x נתון, והמונח α עבור Δх →0 נוטה לכך שהוא אפילו מהיר יותר מ-Δx עצמו, אז האיבר הראשון ("הראשי"), פרופורציונלי ל-Δx, הוא עבור y = f (x) דיפרנציאל, מסומן dy או df(x) (קרא "de igrek" , "de ef מ-x"). לכן, הפרשים הם המרכיבים "העיקריים" של מרווחי פונקציה שהם ליניאריים ביחס ל-Δx.

פרשנות מכנית

תן s = f (t) להיות המרחק של הרכב הנע בצורה ישרה מהמיקום ההתחלתי (t הוא זמן הנסיעה). התוספת Δs היא הנתיב של הנקודה במהלך מרווח הזמן Δt, וההפרש ds = f" (t) Δt הוא הנתיב שהנקודה הייתה מכסה באותו זמן Δt אילו הייתה שומרת על המהירות f"(t ) הושג בזמן t . עבור Δt אינפיניטסימלי, הנתיב הדמיוני ds שונה מה-Δs האמיתי בכמות אינסופית, שסדרה גבוה יותר ביחס ל-Δt. אם המהירות ברגע t אינה אפס, אז ds נותן ערך משוער של התזוזה הקטנה של הנקודה.

פרשנות גיאומטרית

תן לקו L להיות הגרף של y = f(x). ואז Δ x = MQ, Δу = QM" (ראה איור למטה). המשיק MN מפצל את הקטע Δy לשני חלקים, QN ו-NM." הראשון הוא פרופורציונלי ל-Δх ושווה ל-QN = MQ∙tg (זווית QMN) = Δх f "(x), כלומר QN הוא הדיפרנציאלי.

החלק השני NM" נותן את ההפרש Δу ─ dy, עם Δх→0 האורך NM" יורד אפילו מהר יותר מהתוספת של הטיעון, כלומר סדר הקטנות שלו גבוה מזה של Δх. במקרה הנדון, עבור f "(x) ≠ 0 (המשיק אינו מקביל ל-OX), המקטעים QM" ו-QN שווים; במילים אחרות, NM" יורד מהר יותר (סדר הקטנות שלו גבוה יותר) מהתוספת הכוללת Δу = QM". ניתן לראות זאת באיור (כאשר M "מתקרב ל-M, הקטע NM" מהווה אחוז קטן מתמיד מהקטע QM").

אז, מבחינה גרפית, ההפרש של פונקציה שרירותית שווה לתוספת של הקורינטה של ​​הטנגנס שלה.

נגזרת ודיפרנציאלית

מקדם A במונח הראשון של הביטוי לתוספת של פונקציה שווה לערך הנגזרת שלה f "(x). לפיכך, היחס הבא מתקיים - dy = f "(x)Δx, או df (x) = f "(x)Δx.

ידוע שהתוספת של ארגומנט עצמאי שווה להפרש שלו Δх = dx. בהתאם, נוכל לכתוב: f "(x) dx = dy.

מציאת (לפעמים נקראת "פתירת") הפרשים פועלת לפי אותם כללים כמו עבור נגזרים. רשימה שלהם מובאת להלן.

מה יותר אוניברסלי: הגידול של טיעון או ההפרש שלו

צריך לעשות כאן כמה הבהרות. ייצוג דיפרנציאל על ידי הערך f "(x)Δx אפשרי כאשר מחשיבים את x כארגומנט. אבל הפונקציה יכולה להיות מורכבת, שבה x יכולה להיות פונקציה של ארגומנט t כלשהו. ואז מייצג את ההפרש על ידי הביטוי f "( x)Δx הוא, ככלל, בלתי אפשרי; פרט למקרה של תלות לינארית x = at + b.

לגבי הנוסחה f "(x)dx = dy, אז גם במקרה של ארגומנט עצמאי x (ואז dx = Δx) וגם במקרה של תלות פרמטרית של x ב-t, הוא מייצג דיפרנציאל.

לדוגמה, הביטוי 2 x Δx מייצג עבור y = x 2 את ההפרש שלו כאשר x הוא הארגומנט. הבה נשים כעת x = t 2 ונראה את t כארגומנט. אז y = x 2 = t 4.

ביטוי זה אינו פרופורציונלי ל-Δt ולכן כעת 2xΔx אינו דיפרנציאל. ניתן למצוא אותו מהמשוואה y = x 2 = t 4. מסתבר שהוא שווה ל-dy=4t 3 Δt.

אם ניקח את הביטוי 2xdx, אז הוא מייצג את ההפרש y = x 2 עבור כל ארגומנט t. ואכן, עבור x = t 2 נקבל dx = 2tΔt.

משמעות הדבר היא 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, כלומר, הביטויים של ההפרשים שנכתבו במונחים של שני משתנים שונים עולים בקנה אחד.

החלפת מרווחים בהפרשים

אם f "(x) ≠ 0, אז Δу ו-dy שווים (עבור Δх→0); אם f "(x) = 0 (שפירושו dy = 0), הם אינם שווים.

לדוגמה, אם y = x 2, אז Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2, ו-dy = 2xΔх. אם x=3, אז יש לנו Δу = 6Δх + Δх 2 ו-dy = 6Δх, שהם שקולים בגלל Δх 2 →0, ב-x=0 הערכים Δу = Δх 2 ו-dy=0 אינם שווים.

עובדה זו, יחד עם המבנה הפשוט של הדיפרנציאל (כלומר, לינאריות ביחס ל-Δx), משמשת לעתים קרובות בחישובים משוערים, בהנחה ש-Δy ≈ dy עבור Δx קטן. מציאת ההפרש של פונקציה היא בדרך כלל קלה יותר מאשר חישוב הערך המדויק של התוספת.

לדוגמה, יש לנו קוביית מתכת עם קצה x = 10.00 ס"מ. בחימום, הקצה התארך ב-Δx = 0.001 ס"מ. כמה גדל נפח V של הקובייה? יש לנו V = x 2, אז dV = 3x 2 Δx = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (ס"מ 3). הגידול בנפח ΔV שווה ערך ל-dV ההפרש, כך ש- ΔV = 3 ס"מ 3 . חישוב מלא ייתן ΔV = 10.01 3 ─ 10 3 = 3.003001. אבל בתוצאה זו כל הדמויות מלבד הראשונה אינן אמינות; זה אומר שזה לא משנה, אתה צריך לעגל אותו ל-3 ס"מ 3.

ברור שגישה זו שימושית רק אם ניתן להעריך את גודל השגיאה שהוצגה על ידה.

הפרש פונקציות: דוגמאות

בוא ננסה למצוא את ההפרש של הפונקציה y = x 3 מבלי למצוא את הנגזרת. בואו ניתן לארגומנט תוספת ונגדיר את Δу.

Δу = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).

כאן המקדם A = 3x 2 אינו תלוי ב-Δx, ולכן האיבר הראשון הוא פרופורציונלי ל-Δx, בעוד שהאיבר השני 3xΔx 2 + Δx 3 ב-Δx→0 יורד מהר יותר מהעלייה של הארגומנט. לכן, המונח 3x 2 Δx הוא ההפרש y = x 3:

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx או d(x 3) = 3x 2 dx.

במקרה זה, d(x 3) / dx = 3x 2.

הבה נמצא כעת את dy של הפונקציה y = 1/x דרך הנגזרת שלה. ואז d(1/x) / dx = ─1/x 2. לכן dy = ─ Δx/x 2.

להלן ההפרשים של פונקציות אלגבריות בסיסיות.

חישובים מקורבים באמצעות דיפרנציאל

לעתים קרובות לא קשה לחשב את הפונקציה f (x), כמו גם את הנגזרת שלה f "(x) ב-x=a, אבל לעשות את אותו הדבר בקרבת הנקודה x=a זה לא קל. אז הביטוי המשוער בא להציל

f(a + Δх) ≈ f "(a)Δх + f(a).

הוא נותן ערך משוער של הפונקציה עבור מרווחים קטנים Δх דרך ההפרש שלה f "(a)Δх.

כתוצאה מכך, נוסחה זו נותנת ביטוי משוער לפונקציה בנקודת הסיום של קטע מסוים באורך Δx בצורה של סכום הערך שלה בנקודת ההתחלה של קטע זה (x=a) וההפרש באותו התחלה נְקוּדָה. השגיאה בשיטה זו לקביעת הערך של פונקציה מומחשת באיור שלהלן.

עם זאת, הביטוי המדויק לערך של הפונקציה עבור x=a+Δх ידוע גם, נתון על ידי נוסחת התוספת הסופית (או, במילים אחרות, נוסחת לגראנז'ה)

f(a+ Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f(a),

כאשר הנקודה x = a+ ξ ממוקמת על הקטע מ-x = a עד x = a + Δx, אם כי מיקומה המדויק אינו ידוע. הנוסחה המדויקת מאפשרת להעריך את השגיאה של הנוסחה המשוערת. אם נשים ξ = Δx /2 בנוסחת לגרנז', אז למרות שהוא מפסיק להיות מדויק, זה בדרך כלל נותן קירוב הרבה יותר טוב מהביטוי המקורי דרך הדיפרנציאל.

הערכת השגיאה של נוסחאות באמצעות דיפרנציאל

באופן עקרוני, הם לא מדויקים ומכניסים שגיאות מתאימות לנתוני המדידה. הם מאופיינים בטעות שולית או בקיצור מקסימלית - מספר חיובי שכמובן גדול מהטעות הזו בערך המוחלט (או, במקרים קיצוניים, שווה לה). הגבול הוא המנה שלו חלקי הערך המוחלט של הכמות הנמדדת.

יש להשתמש בנוסחה המדויקת y= f (x) לחישוב הפונקציה y, אבל הערך של x הוא תוצאה של מדידה ולכן מכניס שגיאה לתוך y. לאחר מכן, כדי למצוא את השגיאה המוחלטת המקסימלית │‌‌Δу│פונקציה y, השתמש בנוסחה

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

כאשר │Δх│הוא השגיאה המקסימלית של הארגומנט. יש לעגל את הערך │‌‌Δу│ כלפי מעלה, כי עצם החלפת חישוב התוספת בחישוב ההפרש אינה מדויקת.

אם הפונקציה ניתן להבדיל בנקודה , אז ניתן לייצג את התוספת שלו כסכום של שני איברים

. מונחים אלה הם פונקציות אינפיניטסימליות ב
.המונח הראשון הוא ליניארי ביחס ל
,השני הוא אינפיניטסימלי מסדר גבוה מ
.בֶּאֱמֶת,

.

לפיכך, הקדנציה השנייה בשעה
נוטה לאפס מהר יותר בעת מציאת התוספת של הפונקציה
המונח הראשון משחק את התפקיד הראשי
או (מאז
)
.

הַגדָרָה . החלק העיקרי של תוספת הפונקציה
בנקודה , ליניארי ביחס ל
,נקרא דיפרנציאל פונקציות בשלב זה והוא מיועדdyאוֹdf(איקס)

. (2)

לפיכך, אנו יכולים להסיק: ההפרש של המשתנה הבלתי תלוי עולה בקנה אחד עם התוספת שלו, כלומר
.

מערכת היחסים (2) לובשת כעת את הצורה

(3)

תגובה . נוסחה (3) לקיצור נכתבת לעתים קרובות בצורה

(4)

משמעות גיאומטרית של דיפרנציאל

שקול את הגרף של הפונקציה הניתנת להבדלה
. נקודות
ושייכים לגרף של הפונקציה. בנקודה Mמשיק מצויר ללגרף של פונקציה שהזווית שלה היא עם הכיוון החיובי של הציר
לסמן ב
. בואו נצייר קווים ישרים MN במקביל לציר שׁוֹר ו
במקביל לציר אוי. התוספת של הפונקציה שווה לאורך הקטע
. ממשולש ישר זווית
, שבה
, אנחנו מקבלים

השיקולים לעיל מאפשרים לנו להסיק:

הפרש פונקציות
בנקודה מיוצג על ידי התוספת של הקורינטה של ​​המשיק לגרף של פונקציה זו בנקודה המתאימה לה
.

קשר בין דיפרנציאלי לנגזרת

שקול את הנוסחה (4)

.

הבה נחלק את שני הצדדים של השוויון הזה ב dx, לאחר מכן

.

לכן, הנגזרת של פונקציה שווה ליחס בין ההפרש שלה להפרש של המשתנה הבלתי תלוי.

לעתים קרובות הגישה הזו התייחסו פשוט כסמל המציין את הנגזרת של פונקציה בְּ-לפי טיעון איקס.

סימונים נוחים עבור הנגזרת הם גם:

,
וכולי.

נעשה שימוש גם בערכים

,
,

נוח במיוחד כאשר לוקחים את הנגזרת של ביטוי מורכב.

2. הפרש של סכום, מוצר ומנה.

מכיוון שההפרש מתקבל מהנגזרת על ידי הכפלתו בהפרש של המשתנה הבלתי תלוי, אזי, בהכרת הנגזרות של הפונקציות היסודיות הבסיסיות, כמו גם את הכללים למציאת נגזרות, ניתן להגיע לכללים דומים למציאת הפרשים.

1 0 . ההפרש של הקבוע הוא אפס

.

2 0 . ההפרש של סכום אלגברי של מספר סופי של פונקציות הניתנות להבדלה שווה לסכום האלגברי של ההפרשים של פונקציות אלו

3 0 . ההפרש של המכפלה של שתי פונקציות הניתנות להבדלה שווה לסכום המכפלה של הפונקציה הראשונה בהפרש של השנייה והפונקציה השנייה בהפרש של הראשונה

.

תוֹצָאָה. ניתן להוציא את המכפיל הקבוע מהסימן ההפרש

.

דוגמא. מצא את ההפרש של הפונקציה.

פתרון: בוא נכתוב את הפונקציה הזו בטופס

,

ואז אנחנו מקבלים

.

4. פונקציות המוגדרות באופן פרמטרי, הבידול שלהן.

הַגדָרָה . פוּנקצִיָה
אומרים שניתן באופן פרמטרי אם שני המשתנים איקס ו בְּ- כל אחת מהן מוגדרות בנפרד כפונקציות חד-ערך של אותו משתנה עזר - פרמטרט:

איפהטמשתנה בפנים
.

תגובה . מפרט פרמטרי של פונקציות נמצא בשימוש נרחב במכניקה תיאורטית, כאשר הפרמטר ט מציין את הזמן ואת המשוואות
מייצגים את חוקי השינוי בהקרנות של נקודה נעה
על הציר
ו
.

תגובה . הבה נציג את המשוואות הפרמטריות של מעגל ואליפסה.

א) עיגול עם מרכז במקור וברדיוס ר יש משוואות פרמטריות:

איפה
.

ב) נכתוב את המשוואות הפרמטריות עבור אליפסה:

איפה
.

על ידי אי הכללת הפרמטר ט מהמשוואות הפרמטריות של הקווים הנידונים, ניתן להגיע למשוואות הקנוניות שלהם.

מִשׁפָּט . אם הפונקציה y מוויכוח x ניתן פרמטרית על ידי המשוואות
, איפה
ו
ניתן להבדיל ביחס לטפונקציות ו
, זה

.

דוגמא. מצא את הנגזרת של פונקציה בְּ-מ איקס, נתון על ידי משוואות פרמטריות.

פִּתָרוֹן.
.