גיאומטריה יסודית - שולאסטר נ.נ. סימני מקבילות של שני קווים

לכל זווית, בהתאם לגודלה, יש שם משלה:

סוג זווית	גודל במעלות	דוגמא
חָרִיף	פחות מ-90 מעלות
יָשָׁר	שווה ל-90°. בציור, זווית ישרה מסומנת בדרך כלל על ידי סמל המצייר מצד אחד של הזווית לצד השני.
לְהַקְהוֹת	יותר מ-90° אך פחות מ-180°
מוּרחָב	שווה ל-180° זווית ישרה שווה לסכום של שתי זוויות ישרות, וזווית ישרה היא חצי מזווית ישרה.
קָמוּר	יותר מ-180° אך פחות מ-360°
מלא	שווה ל-360°

שתי הזוויות נקראות סמוך, אם יש להם צד אחד משותף, ושתי הצלעות האחרות יוצרות קו ישר:

זוויות לְנַגֵבו PONסמוך, מאז הקורה OP- הצד המשותף, ושני הצדדים האחרים - OMו עַללהרכיב קו ישר.

הצד המשותף של זוויות סמוכות נקרא אלכסוני לישר, שעליו מונחות שני הצדדים האחרים, רק במקרה שבו זוויות סמוכות אינן שוות זו לזו. אם זוויות סמוכות שוות, אז הצלע המשותפת שלהן תהיה אֲנָכִי.

סכום הזוויות הסמוכות הוא 180°.

שתי הזוויות נקראות אֲנָכִי, אם הצדדים של זווית אחת משלימות את הצדדים של הזווית השנייה לקווים ישרים:

זוויות 1 ו-3, כמו גם זוויות 2 ו-4, הן אנכיות.

זוויות אנכיות שוות.

הבה נוכיח שהזוויות האנכיות שוות:

הסכום של ∠1 ו∠2 הוא זווית ישרה. והסכום של ∠3 ו∠2 הוא זווית ישרה. אז שני הסכומים האלה שווים:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

בשוויון זה יש מונח זהה משמאל ומימין - ∠2. השוויון לא ייפגע אם המונח הזה משמאל וימין יושמט. ואז אנחנו מקבלים את זה.

סימני מקבילות של שני קווים

משפט 1. אם, כאשר שני קווים מצטלבים עם גזרה:

זוויות מוצלבות שוות, או

זוויות מתאימות שוות, או

הסכום של זוויות חד-צדדיות הוא 180°, אם כן

קווים מקבילים(איור 1).

הוכחה. אנו מגבילים את עצמנו להוכחת מקרה 1.

תנו לישרים החותכים a ו-b להיות חוצים והזוויות AB שוות. לדוגמה, ∠ 4 = ∠ 6. הבה נוכיח כי || ב.

נניח שהקווים a ו-b אינם מקבילים. ואז הם מצטלבים בנקודה כלשהי M, ולכן, אחת מהזוויות 4 או 6 תהיה הזווית החיצונית של משולש ABM. למען הבירור, תן ∠ 4 להיות הזווית החיצונית של המשולש ABM, ו- ∠ 6 זו הפנימית. מהמשפט על הזווית החיצונית של משולש עולה ש-∠ 4 גדול מ-∠ 6, וזה סותר את התנאי, כלומר הישרים a ו-6 אינם יכולים להצטלב, ולכן הם מקבילים.

מסקנה 1. שני קווים שונים במישור המאונך לאותו הישר מקבילים(איור 2).

תגובה. הדרך שבה הוכחנו זה עתה מקרה 1 של משפט 1 נקראת שיטת ההוכחה על ידי סתירה או הפחתה לאבסורד. שיטה זו קיבלה את שמה הפרטי מכיוון שבתחילת הטיעון מניחים הנחה המנוגדת (הפוכה) למה שצריך להוכיח. היא נקראת מובילה לאבסורד בשל העובדה שבהנמקה על בסיס ההנחה שהונחה אנו מגיעים למסקנה אבסורדית (לאבסורד). קבלת מסקנה כזו מאלצת אותנו לדחות את ההנחה שהונחה בהתחלה ולקבל את זו שהייתה צריכה להוכיח.

משימה 1.בנה ישר העובר דרך נקודה M נתונה ומקביל לישר נתון a, לא עובר בנקודה M.

פִּתָרוֹן. נצייר קו ישר p דרך הנקודה M מאונך לישר a (איור 3).

לאחר מכן נצייר קו b דרך נקודה M בניצב לישר p. קו b מקביל לישר a על פי המסקנה של משפט 1.

מסקנה חשובה נובעת מהבעיה שנחשבה:
דרך נקודה שאינה שוכנת על קו נתון, תמיד אפשר לצייר קו מקביל לקו הנתון.

המאפיין העיקרי של קווים מקבילים הוא כדלקמן.

אקסיומה של קווים מקבילים. דרך נקודה נתונה שאינה שוכנת על קו נתון, עוברת רק קו אחד במקביל לזה הנתון.

הבה נבחן כמה תכונות של קווים מקבילים הנובעים מאקסיומה זו.

1) אם ישר חותך אחד משני ישרים מקבילים, אז הוא חותך גם את השני (איור 4).

2) אם שני קווים שונים מקבילים לישר שלישי, אז הם מקבילים (איור 5).

המשפט הבא נכון גם הוא.

משפט 2. אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי רוחב, אז:

זוויות צולבות שוות;

זוויות מתאימות שוות;

הסכום של זוויות חד-צדדיות הוא 180°.

מסקנה 2. אם ישר מאונך לאחד משני ישרים מקבילים, אז הוא גם מאונך לשני(ראה איור 2).

תגובה. משפט 2 נקרא היפוך של משפט 1. המסקנה של משפט 1 היא התנאי של משפט 2. ותנאיו של משפט 1 הוא המסקנה של משפט 2. לא לכל משפט יש הפוך, כלומר אם משפט נתון הוא נכון, אז המשפט ההפוך עשוי להיות שקרי.

הבה נסביר זאת באמצעות הדוגמה של המשפט על זוויות אנכיות. ניתן לנסח את המשפט הזה באופן הבא: אם שתי זוויות אנכיות, אז הן שוות. המשפט ההפוך יהיה: אם שתי זוויות שוות, אז הן אנכיות. וזה כמובן לא נכון. שתי זוויות שוות אינן חייבות להיות אנכיות.

דוגמה 1.שני קווים מקבילים נחצים בשליש. ידוע שההבדל בין שתי זוויות פנימיות חד-צדדיות הוא 30°. מצא את הזוויות האלה.

פִּתָרוֹן. תן לתמונה 6 לעמוד בתנאי.

נערך על ידי Ivanitskaya V.P. - מ.: הוצאה ממלכתית חינוכית ופדגוגית של משרד החינוך של ה-RSFSR, 1959. - 272 עמ'.
הורד(לינק ישיר) : egnnsholaster1959.djvu הקודם 1 .. 11 > .. >> הבא

אם זוויות סמוכות שוות, אז כל אחת מהן נקראת זווית ישרה. הצלע המשותפת שלהם נקראת מאונך לקו שנוצר על ידי שני הצלעות האחרות. אנו יכולים גם לומר שחציו של זווית הפוכה מאונך לישר שנוצר על ידי צלעותיו.

מִשׁפָּט. אם הזוויות שוות, אז הזוויות הסמוכות שוות.

תן (h, k) = ^. (I, m) ותנו ^ (h!, k) ו-^ (/", t) להיות הזוויות הסמוכות המתאימות (איור 20). תנו, בהמשך, / להיות התנועה שבה ^ (h, k) היא מוצג ב-(I, tri). עם תנועה זו, ה-^ (h, K) המורחב ימופה למורחב (I, /"). מכאן נובע כי ^(h", k) ימופו ל-^(V, m), כלומר ^(h!, k) = ^(V, m).

מִשׁפָּט. יש חוצה מכל זווית, ויתרה מכך, אחת ייחודית.

תנו ל-^(A, k) להיות שונה מהמורחב ותנו לאזור הפנימי שלו להיות קמור. הבה נשרטט מקטעים שווים OA ו-OB על צלעותיו מקודקוד O (ציור 21, a) ונחבר את הנקודות A ו-B. במשולש שווה שוקיים AOB A = ^B (§ 8). ע"י חיבור ה-C האמצעי של הקטע AB עם הנקודה O נקבל משולשים L OS ו-BOC השווים בתכונה הראשונה. לכן, AOC = BOC, ולכן ה-ray OS הוא חוצה (h, k).

אם (h, k) אינו קמור (בציור האזור הפנימי שלו אינו מוצל), אז לפי הקוד הקודם

6}
t^

לפי המשפט, החצייה שלו היא הקרן m המשלימה לקרן /.

מהשוויון של המשולשים ACO ו-BCO עולה גם ש-^ ACO = BCO1 כלומר קרן CO היא חוצה של זווית הפוכה עם הצלעות CA ו-CB.

כעת ניתן להרחיב ^(p,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

ACB מוצג ב

(עמ', ש'). קרן CO ממופה לתוך קרן t. מאז ^ (p, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO ו-^ACO= = (q, t), אז (p, t) = = ^(q, t), כלומר t -bisector (p, q ).

תן / להיות ה-bisector

(A, A), ו- Г היא קרן שרירותית היוצאת מקודקוד הזווית ונמצאת באזור הפנימי שלה. אם Γ נמצא באזור הפנימי ^(A, /), אז ^(A, /")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (א, /). לכן, ^(A, G)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

מסקנה 1. יש אחד ויחיד שניצב לישר נתון, היוצא מנקודה נתונה עליו ושוכב בחצי מישור נתון התחום בישר זה.

מסקנה 2. חצאי זוויות שוות שווים זה לזה.

אכן, אם ^(A, A) = ^(A", A"), אז יש תנועה / שבה אחד מהם ממופה לשני. על פי המשפט המוכח, יש למפות גם את חצאי החצי שלהם / ו-Γ עבור תנועה נתונה. לכן ^(A, /) = ^(A", Г).

מכיוון שכל הזוויות הישרות שוות, מקרה מיוחד של מסקנה 2 היא הטענה: כל הזוויות הישרות שוות זו לזו.

קווים ישרים a ו-A היוצרים זוויות ישרות כשהם מצטלבים נקראים בניצב (a ± b).

השתקפות מקו ישר. תנו לקו ישר לשכב במישור א. חצאי המישורים שנוצרו במקרה זה יסומנו על ידי X ו-p. (איור 22). ניקח את קרן A על קו ישר

יוצאת מנקודה O. לפי המאפיין של 6 תנועות (§ 7), ישנה תנועה ייחודית הממפה את הקרן h לתוך עצמה ואת חצי המישור X לתוך חצי המישור jx. כל הנקודות של קרן זו, על פי המאפיין של 5 תנועות, ממפות לתוך עצמן. כל הנקודות של הקרן k, המשלימות לקרן h הישירה, ממפות גם הן על עצמן.

לכן, במהלך התנועה הנבדקת, כל נקודות קו a ממפות לעצמן. קל יותר לראות את זה

הבה ניקח כעת נקודה מחוץ לקו א.

מִשׁפָּט. דרך כל נקודה שאינה שוכבת על קו עובר קו בודד בניצב לישר הנתון.

הוכחה. תן M להיות נקודה השוכנת מחוץ לקו הישר a (איור 23). קו a מחלק את המישור המוגדר על ידי קו זה ו

נקודה M, לשני חצאי מישורים: חצי המישור X המכיל את הנקודה M, וחצי המישור jx. כשהיא משתקפת מישר a, נקודה M ממופה לנקודה M" של חצי המישור jx. מכיוון שנקודות M ו-M" שוכנות בחצי מישור שונים,

אה, אז ישר MM" ו לעזאזל 23

מצטלבים בחלקם

נקודה M0, שכאשר משתקפת היא ממופה על עצמה. מכאן נובע שהקו הישר MM" ממופה על עצמו, ולפיכך זוויות / ו-2 שנוצרות על ידו עם הישר a (ראה איור 23) ממפות זו בזו.

חצי המישור jx ממופה לחצי המישור X.

התנועה הנידונה נקראת השתקפות מקו ישר א.

מקיומו של חוצה של זווית הפוכה נובע שדרך כל נקודה השוכנת על קו a, תמיד אפשר לצייר קו b מאונך לישר a.

זה אומר שזוויות אלו שוות, ומכיוון שהן, בנוסף, סמוכות, אז MM" ± a. כעת יש לצייר קו ישר נוסף דרך M, חוצה קו a בנקודה כלשהי Af0. הוא ימופה לישר M "N0, a ^ MN0M0 ימופה ב-M"N0M0. אז, ^ 3 = ^i4. אבל מתוקף אקסיומה 1 (§ 2), הנקודות M1 N0 ו-M" אינן שוכנות על אותו קו ישר, וכן לכן סכום הזוויות 3 ו-4, כלומר ^ MN0M", אינו זווית הפוכה. מכאן נובע שזוויות 3 ו-4 שונות מהזווית הישרה והקו הישר MN0 לא יהיה מאונך לישר א'. ישר MM" הוא אם כן הישר היחיד המאונך ל-a ועובר דרך הנקודה M.

זוויות.

מושגי יסוד.

פינההיא דמות שנוצרת משתי קרניים הבוקעות מנקודה אחת.

פינה עליונה- זו הנקודה שממנה יוצאות שתי קרניים היוצרות זווית זו.

חוֹצֶה- זוהי קרן שיוצאת מראש הזווית ומחלקת את הזווית לשניים.

זווית ישרה- היא זווית שצלעותיה שוכנות על אותו מישור; שווה ל-180? והוא ישר.

זווית נכונה- זוהי זווית השווה למחצית מהזווית הנפרשת; שווה ל-90?.

פינה חדההיא זווית שהיא פחות מזווית ישרה.

זווית קהה- זוהי זווית שגדולה מזווית ישרה, אבל פחות מזווית ישרה.

זווית מפרקת מישור לשני חלקים. כל חלק נקרא זווית שטוחה.

זוויות מישוריות עם צלעות משותפות נקראות נוֹסָף.

אם זווית מישור היא חלק מחצי מישור, אזי מידת המעלות שלה נקראת מידת המעלות של זווית רגילה עם אותן צלעות.

אם זווית מישור מכילה חצי מישור, אזי מידת המעלות שלה שווה ל-360º - α, כאשר α היא מידת המעלות של זווית מישור נוספת.

זוויות שוות.

אלו הן הזוויות החופפות כשהן עולות.

פינות צמודות.

שתי הזוויות נקראות סמוך, אם יש להם צד אחד משותף, והצלעות האחרות של זוויות אלו הן קווים למחצה נוספים.

הפינות בתמונה (מוֹדָעָה)ו (CD)סמוך. יש להם צד דכללי, והצדדים או ג- קווים חצי ישרים נוספים.

מִשׁפָּט:

סכום הזוויות הסמוכות הוא 180º.

מהמשפט עולה:

אם שתי זוויות שוות, אז הזוויות הסמוכות שלהן שוות.

אם הזווית אינה מסובבת, מידת המעלות שלה קטנה מ-180º.

זווית צמודה לזווית ישרה היא זווית ישרה.

זוויות אנכיות.

שתי הזוויות נקראות אֲנָכִי, אם צלעות זווית אחת הן קווי חצאי משלימים של צלעות האחרת. הם נוצרים על ידי מפגש של שני קווים ישרים ואינם סמוכים; יש להם קודקוד משותף ואותה מידה של תואר.

באיור, הזוויות (A 1 B 1) ו- (A 2 B 2) אנכיות. הצלעות A 2 ו-B 2 של הזווית השנייה הם קווים חצי ישרים משלימים של הצלעות A 1 ו- B 1 של הזווית הראשונה.

מִשׁפָּט:

זוויות אנכיות שוות.

פינה מרכזית.

זווית מרכזיתבמעגל זווית שטוחה שבמרכזה קודקוד (איור 1).

החלק במעגל שנמצא בתוך זווית מישור נקרא קשת של מעגל, המקביל לזווית המרכזית הזו (באיור 1, קשת AB היא קשת של מעגל).

מדידת תוארקשת מעגל נקראת מידת המעלות של הזווית המרכזית המתאימה.

זוויות כתובות במעגל.

זווית שקודקודה מונח על מעגל ושצלעותיה חוצות את המעגל הזה נקראת רשום במעגל(איור 2).

נכסים:

זוויות במפגש של שני קווים ישרים עם שלישי.

כאשר קווים מצטלבים או בחוֹתֵך גנוצרות שמונה זוויות, המסומנות על ידי מספרים באיור. לכמה זוגות של זוויות אלה יש שמות מיוחדים:
זוויות מתאימות: 1 ו-5, 4 ו-8, 2 ו-6, 3 ו-7;

זוויות צולבות: 3 ו-5, 4 ו-6;
זוויות חד צדדיות: 4 ו-5, 3 ו-6.