צורות מרובעות.
לחתום על הגדרה של טפסים. קריטריון סילבסטר

שם התואר "ריבועי" מרמז מיד שמשהו כאן קשור לריבוע (הדרגה השנייה), ומהר מאוד נגלה את ה"משהו" הזה ומה הצורה. התברר שזה מעקף לשון :)

ברוכים הבאים לשיעור החדש שלי, וכחימום מיידי נסתכל על צורת הפסים ליניארי. צורה לינארית משתניםשקוראים לו הוֹמוֹגֵנִיפולינום מדרגה 1:

- כמה מספרים ספציפיים * (אנו מניחים שלפחות אחד מהם אינו אפס), a הם משתנים שיכולים לקבל ערכים שרירותיים.

* במסגרת נושא זה נשקול רק מספרים אמיתיים .

כבר נתקלנו במונח "הומוגנית" בשיעור על מערכות הומוגניות של משוואות ליניאריות, ובמקרה זה משתמע שלפולינום אין קבוע פלוס.

לדוגמה: – צורה לינארית של שני משתנים

כעת הצורה היא ריבועית. צורה ריבועית משתניםשקוראים לו הוֹמוֹגֵנִיפולינום מדרגה 2, כל קדנציה שבהמכיל את הריבוע של המשתנה או כפולתוצר של משתנים. כך, למשל, לצורה הריבועית של שני משתנים יש את הצורה הבאה:

תשומת הלב!זהו ערך סטנדרטי ואין צורך לשנות בו כלום! למרות המראה ה"מפחיד", הכל פשוט כאן - רישומים כפולים של קבועים מסמנים אילו משתנים כלולים באיזה מונח:
– מונח זה מכיל את המוצר ואת (ריבוע);
- הנה העבודה;
- והנה העבודה.

- אני צופה מיד טעות גסה כשהם מאבדים את ה"מינוס" של מקדם, בלי להבין שזה מתייחס למונח:

לפעמים יש אפשרות עיצוב "בית ספר" ברוח, אבל רק לפעמים. אגב, שימו לב שהקבועים לא אומרים לנו כאן כלום, ולכן קשה יותר לזכור את ה"סיימון הקל". במיוחד כשיש יותר משתנים.

והצורה הריבועית של שלושה משתנים כבר מכילה שישה איברים:

...מדוע ממוקמים "שני" גורמים במונחים "מעורבים"? זה נוח, ובקרוב יתברר מדוע.

עם זאת, בואו נרשום את הנוסחה הכללית; זה נוח לכתוב אותה ב"גיליון":

- אנו לומדים בקפידה כל שורה - אין בזה שום דבר רע!

הצורה הריבועית מכילה איברים עם ריבועי המשתנים ואיברים עם התוצרים המזווגים שלהם (ס"מ. נוסחת שילוב קומבינטורית) . לא יותר - לא "X בודד" ולא קבוע נוסף (ואז תקבל לא צורה ריבועית, אלא הֵטֵרוֹגֵנִיפולינום מדרגה 2).

סימון מטריצה ​​בצורה ריבועית

בהתאם לערכים, הצורה המדוברת יכולה לקבל גם ערכים חיוביים ושליליים, והדבר חל על כל צורה לינארית - אם לפחות אחד מהמקדמים שלה שונה מאפס, אז הוא יכול להיות חיובי או שלילי (בהתאם לערכים ערכים).

טופס זה נקרא סימן מתחלף. ואם הכל שקוף עם הצורה הליניארית, אז עם הצורה הריבועית הדברים הרבה יותר מעניינים:

ברור לחלוטין שצורה זו יכולה לקבל משמעות של כל סימן, ובכך הצורה הריבועית יכולה להיות גם לסירוגין.

יכול להיות שזה לא:

– תמיד, אלא אם כן שווה לאפס בו זמנית.

- לכל אחד וֶקטוֹרחוץ מאפס.

ובאופן כללי,אם למישהו לא אפסוקטור , , אז נקראת הצורה הריבועית חיובי מובהק; אם כן אז שלילי מובהק.

והכל יהיה בסדר, אבל ההגדרה של הצורה הריבועית נראית רק בדוגמאות פשוטות, והראות הזו אובדת אפילו עם סיבוך קל:
– ?

אפשר להניח שהצורה מוגדרת בצורה חיובית, אבל האם זה באמת כך? מה אם יש ערכים שבהם הוא קטן מאפס?

יש מִשׁפָּט: אם כולם ערכים עצמייםמטריצות של צורה ריבועית הן חיוביות * , אז זה חיובי ודאי. אם כולם שליליים, אז שליליים.

* הוכח בתיאוריה שכל הערכים העצמיים של מטריצה ​​סימטרית אמיתית תָקֵף

בוא נכתוב את המטריצה ​​של הטופס לעיל:
ומתוך Eq. בוא נמצא אותה ערכים עצמיים:

בואו נפתור את הישן והטוב משוואה ריבועית:

, שפירושו הצורה מוגדר באופן חיובי, כלומר. עבור כל ערכים שאינם אפס הוא גדול מאפס.

נראה שהשיטה הנחשבת עובדת, אבל יש אבל אחד גדול. כבר עבור מטריצה ​​של שלוש על שלוש, לחפש מספרים נכונים היא משימה ארוכה ולא נעימה; בסבירות גבוהה תקבל פולינום מדרגה 3 עם שורשים לא רציונליים.

מה עלי לעשות? יש דרך קלה יותר!

קריטריון סילבסטר

לא, לא סילבסטר סטאלון :) ראשית, הרשה לי להזכיר לך מה זה קטינים בפינהמטריצות. זֶה מוקדמות ש"צומח" מהפינה השמאלית העליונה שלו:

והאחרון שווה בדיוק לדטרמיננטה של ​​המטריצה.

עכשיו, בעצם, קרִיטֶרִיוֹן:

1) מוגדרת צורה ריבועית באופן חיוביאם ורק אם כל הקטנים הזוויתיים שלו גדולים מאפס:.

2) מוגדרת צורה ריבועית שליליאם ורק אם הקטינות הזוויתיות שלו מתחלפות בסימן, כאשר הקטן הראשון קטן מאפס: , , אם - זוגי או , אם - אי זוגי.

אם קטין זוויתי אחד לפחות הוא בסימן ההפוך, אז הטופס סימן מתחלף. אם הקטינים הזוויתיים הם מהסימן "הנכון", אבל יש אפסים ביניהם, אז זה מקרה מיוחד, שאבדוק מעט מאוחר יותר, לאחר שנסתכל על דוגמאות נפוצות יותר.

בואו ננתח את הקטינים הזוויתיים של המטריצה :

וזה מיד אומר לנו שהצורה אינה מוגדרת באופן שלילי.

סיכום: כל הקטינים בפינה גדולים מאפס, כלומר הצורה מוגדר בצורה חיובית.

האם יש הבדל בשיטת הערך העצמי? ;)

הבה נכתוב את מטריצת הצורה ממנה דוגמה 1:

הראשון הוא מינור זוויתי שלו, והשני , שממנו נובע שהצורה מתחלפת בסימן, כלומר. בהתאם לערכים, זה יכול לקחת גם ערכים חיוביים ושליליים. עם זאת, זה כבר ברור.

בואו ניקח את הטופס ואת המטריצה ​​שלו דוגמה 2:

אין דרך להבין את זה בלי תובנה. אבל עם הקריטריון של סילבסטר לא אכפת לנו:
לכן, הצורה בהחלט אינה שלילית.

, ובהחלט לא חיובי (מכיוון שכל הקטינים הזוויתיים חייבים להיות חיוביים).

סיכום: הצורה מתחלפת.

דוגמאות חימום לפתרון בעצמך:

דוגמה 4

חקור צורות ריבועיות להגדרת סימן

א)

בדוגמאות האלה הכל חלק (ראה סוף השיעור), אבל למעשה, להשלים משימה כזו ייתכן שהקריטריון של סילבסטר אינו מספיק.

הנקודה היא שיש מקרי "קצה", כלומר: אם בכלל לא אפסוקטור, ואז הצורה נקבעת לא שלילי, אם - אז שלילי. יש לטפסים האלה לא אפסוקטורים שעבורם .

כאן אתה יכול לצטט את ה"אקורדיון" הבא:

הדגשה מרובע מושלם, אנחנו רואים מיד אי שליליותטופס: , והוא שווה לאפס עבור כל וקטור עם קואורדינטות שוות, למשל: .

דוגמה ל"מראה". שליליצורה מסוימת:

ודוגמה עוד יותר טריוויאלית:
– כאן הצורה שווה לאפס עבור כל וקטור , כאשר הוא מספר שרירותי.

כיצד לזהות צורות לא שליליות או לא חיוביות?

בשביל זה אנחנו צריכים את הקונספט קטינים גדולים מטריצות. קטין מז'ור הוא מינור המורכב מאלמנטים העומדים במפגש של שורות ועמודות עם אותם מספרים. לפיכך, למטריצה ​​יש שני קטינים עיקריים מהסדר הראשון:
(האלמנט נמצא בצומת של השורה הראשונה והעמודה הראשונה);
(האלמנט נמצא בצומת של השורה השנייה והעמודה השנייה),

וקטין מז'ור אחד מהסדר השני:
– מורכב מאלמנטים של השורה הראשונה, השנייה והעמודה הראשונה, השנייה.

המטריצה ​​היא "שלוש על שלוש" ישנם שבעה קטינים עיקריים, וכאן תצטרכו להגמיש את הדו-ראשי:
– שלושה קטינים מסדר 1,
שלושה קטינים מסדר ב':
- מורכב מאלמנטים של השורה הראשונה, השנייה והעמודה הראשונה, השנייה;
- מורכב מאלמנטים של השורה הראשונה, השלישית והעמודה הראשונה, השלישית;
- מורכב מאלמנטים של השורה השנייה, השלישית והעמודה השנייה, השלישית,
וקטין אחד מסדר שלישי:
– מורכב מאלמנטים של השורה הראשונה, השנייה, השלישית והעמודה הראשונה, השנייה והשלישית.
תרגיללהבנה: רשום את כל הקטינים העיקריים של המטריצה .
אנחנו בודקים בסוף השיעור וממשיכים.

קריטריון שוורצנגר:

1) מוגדרת צורה ריבועית שאינה אפס* לא שליליאם ורק אם כל הקטינים הגדולים שלו לא שלילי(גדול או שווה לאפס).

* הצורה הריבועית אפס (מנוונת) כוללת את כל המקדמים שווים לאפס.

2) מוגדרת צורה ריבועית שאינה אפס עם מטריצה שליליאם ורק אם:
- קטינים גדולים מהסדר הראשון לא חיובי(פחות או שווה לאפס);
- קטינים גדולים מהסדר השני לא שלילי;
- קטינים גדולים מהסדר השלישי לא חיובי(החלה החלה);
…
– קטין מז'ור מהסדר לא חיובי, אם - אי זוגי או לא שלילי, אפילו אם.

אם לפחות קטין אחד הוא בסימן ההפוך, אזי הטופס הוא סימן לסירוגין.

בואו נראה איך הקריטריון עובד בדוגמאות לעיל:

בואו ניצור מטריצת צורה, ו קוֹדֶם כֹּלבוא נחשב את הקטינים הזוויתיים - מה אם הוא מוגדר לחיוב או לשלילה?

הערכים שהושגו אינם עומדים בקריטריון סילבסטר, אלא הקטין השני לא שלילי, וזה מחייב לבדוק את הקריטריון השני (במקרה של הקריטריון השני לא יתמלא אוטומטית, כלומר המסקנה מיד על החלפת הסימנים של הטופס).

קטינים ראשיים מסדר 1:
- חיובי,
קטין מז'ור מסדר 2:
- לא שלילי.

לפיכך, כל הקטינים הגדולים אינם שליליים, כלומר הצורה לא שלילי.

בוא נכתוב את מטריצת הצורה , שברור שהקריטריון של סילבסטר אינו מתקיים לגביו. אבל גם לא קיבלנו סימנים הפוכים (שכן שני הקטינים הזוויתיים שווים לאפס). לכן, אנו בודקים את מילוי הקריטריון של אי-שליליות/אי-חיוביות. קטינים ראשיים מסדר 1:
- לא חיובי,
קטין מז'ור מסדר 2:
- לא שלילי.

לפיכך, על פי הקריטריון של שוורצנגר (נקודה 2), הצורה מוגדרת באופן לא חיובי.

עכשיו בואו נסתכל מקרוב על בעיה מעניינת יותר:

דוגמה 5

בדוק את הצורה הריבועית עבור הגדרת סימן

טופס זה מעוטר בסדר "אלפא", שיכול להיות שווה לכל מספר ממשי. אבל זה יהיה רק ​​יותר כיף אנחנו מחליטים.

ראשית, בואו נרשום את מטריצת הטופס; אנשים רבים כנראה כבר התרגלו לעשות זאת בעל פה: על אלכסון ראשישמנו את המקדמים לריבועים, ובמקומות הסימטריים שמנו מחצית מהמקדמים של המוצרים ה"מעורבים" המתאימים:

בואו נחשב את הקטינים הזוויתיים:

ארחיב את הקובע השלישי בשורה השלישית:

מבוא…………………………………………………………….......................... .............................3

1 מידע תיאורטי על צורות ריבועיות…………………………………………4

1.1 הגדרה של צורה ריבועית……………………………………………….…4

1.2 צמצום צורה ריבועית לצורה קנונית………………………6

1.3 חוק האינרציה………………………………………………………………………….….11

1.4 צורות מוגדרות חיוביות………………………………………………………18

2 יישום מעשי של צורות ריבועיות …………………………………22

2.1 פתרון בעיות טיפוסיות………………………………………………………………………………22

2.2 משימות לפתרון עצמאי……………………………….………………26

2.3 משימות מבחן…………………………………………………………………………...27

מסקנה…………………………………………………………………………………………………………29

רשימת ספרות משומשת……………………………………………………………………… 30

מבוא

בתחילה, התיאוריה של צורות ריבועיות שימשה לחקר עקומות ומשטחים המוגדרים על ידי משוואות מסדר שני המכילות שניים או שלושה משתנים. מאוחר יותר, תיאוריה זו מצאה יישומים אחרים. בפרט, בעת מודל מתמטי של תהליכים כלכליים, פונקציות אובייקטיביות עשויות להכיל מונחים ריבועיים. יישומים רבים של צורות ריבועיות דרשו בניית תיאוריה כללית כאשר מספר המשתנים שווה לכל

, והמקדמים של הצורה הריבועית אינם תמיד מספרים ממשיים.

התיאוריה של צורות ריבועיות פותחה לראשונה על ידי המתמטיקאי הצרפתי לגראנז'ה, שהיה בעל רעיונות רבים בתיאוריה זו; במיוחד, הוא הציג את המושג החשוב של צורה מופחתת, בעזרתו הוכיח את סופיות מספר המחלקות של צורות ריבועיות בינאריות של מבחין נתון. אז הורחב תיאוריה זו באופן משמעותי על ידי גאוס, שהציג מושגים חדשים רבים, שעל בסיסם הצליח להשיג הוכחות למשפטים קשים ועמוקים של תורת המספרים שחמקו מקודמיו בתחום זה.

מטרת העבודה היא ללמוד את סוגי הצורות הריבועיות והדרכים להקטנת צורות ריבועיות לצורה קנונית.

עבודה זו קובעת את המשימות הבאות: לבחור את הספרות הדרושה, לשקול הגדרות, לפתור מספר בעיות ולהכין מבחנים.

1 מידע תיאורטי על צורות ריבועיות

1.1 הגדרה של צורה ריבועית

צורה ריבועית

של לא ידועים הוא סכום, שכל איבר שלו הוא הריבוע של אחד מהלא ידועים האלה, או מכפלה של שני לא ידועים שונים. הצורה הריבועית מגיעה בשתי צורות: ממשי ומורכב, תלוי אם המקדמים שלה הם מספרים ממשיים או מרוכבים.

מציין את המקדם ב

דרך , ובעת הפקה , דרך , ניתן לייצג את הצורה הריבועית כ: .

מהמקדמים

אפשר לבנות מטריצה ​​מרובעת של סדר; היא נקראת מטריצה ​​של צורה ריבועית, והדרגה שלה נקראת דרגת הצורה הריבועית. אם, בפרט, , שבו , כלומר, המטריצה ​​אינה מנוונת, אז הצורה הריבועית נקראת לא מנוונת. עבור כל מטריצה ​​סימטרית בסדר ניתן לציין אותה בצורה ריבועית מוגדרת במלואה: (1.1) - לא ידועים, בעלי יסודות מטריצה ​​עם המקדמים שלהם.

הבה נסמן כעת ב

עמודה המורכבת מאלמונים:. היא מטריצה ​​עם שורות ועמודה אחת. במעבר מטריצה ​​זו, נקבל את המטריצה: , מורכב משורה אחת.

צורה ריבועית (1.1) עם מטריצה

כעת ניתן לכתוב כמוצר:.

1.2 הפחתה לצורה ריבועית

לנוף הקנוני

נניח שהצורה הריבועית

מהלא נודע כבר הצטמצם על ידי טרנספורמציה ליניארית לא מנוונת לצורה הקנונית , איפה הלא ידועים החדשים. חלק מהמקדמים עשויים להיות אפס. הבה נוכיח שמספר המקדמים הלא-אפס שווה בהכרח לדרגת הצורה. למטריצה ​​של צורה ריבועית זו יש צורה אלכסונית ,

והדרישה שיש למטריצה ​​הזו דרגה

, שווה ערך להנחה שהאלכסון הראשי שלו מכיל בדיוק אלמנטים שאינם אפס.

מִשׁפָּט.ניתן לצמצם כל צורה ריבועית לצורה קנונית על ידי טרנספורמציה ליניארית לא מנוונת כלשהי. אם נחשבת צורה ריבועית אמיתית, אז כל המקדמים של הטרנספורמציה הליניארית שצוינה יכולים להיחשב אמיתיים.

הוכחה. משפט זה נכון למקרה של צורות ריבועיות באחת לא ידועה, מכיוון שלכל צורה כזו יש את הצורה

, שהוא קנוני. הבה נציג הוכחה באינדוקציה, כלומר, להוכיח את המשפט לצורות ריבועיות בלא ידועים, בהתחשב בכך שהוא כבר הוכח לצורות עם מספר קטן יותר של לא ידועים.

תן את הצורה הריבועית (1.1) של

פולינום הומוגני של דרגה 2 במספר משתנים נקרא צורה ריבועית.

הצורה הריבועית של משתנים מורכבת ממונחים משני סוגים: ריבועי משתנים והתוצרים הזוגיים שלהם עם מקדמים מסוימים. הצורה הריבועית כתובה בדרך כלל כדיאגרמה הריבועית הבאה:

צמדי איברים דומים נכתבים במקדמים שווים, כך שכל אחד מהם מהווה מחצית מהמקדם של המכפלה המקבילה של המשתנים. לפיכך, כל צורה ריבועית קשורה באופן טבעי למטריצת המקדם שלה, שהיא סימטרית.

נוח לייצג את הצורה הריבועית בסימון המטריצה ​​הבא. הבה נסמן ב-X עמודה של משתנים עד X - שורה, כלומר, מטריצה ​​המוטרפת עם X. ואז

צורות ריבועיות נמצאות בענפים רבים של מתמטיקה ויישומיה.

בתורת המספרים ובגבישוגרפיה, צורות ריבועיות נחשבות תחת ההנחה שהמשתנים מקבלים רק ערכים שלמים. בגיאומטריה אנליטית, הצורה הריבועית היא חלק מהמשוואה של עקומה (או משטח) בסדר. במכניקה ובפיזיקה, נראה שהצורה הריבועית מבטאת את האנרגיה הקינטית של מערכת באמצעות מרכיבי מהירויות מוכללות וכו'. אך בנוסף, חקר צורות ריבועיות נחוץ גם בניתוח כאשר לומדים פונקציות של משתנים רבים, בשאלות עבורו חשוב לברר כיצד פונקציה זו בסביבה של נקודה נתונה חורגת מהפונקציה הליניארית המקורבת לה. דוגמה לבעיה מסוג זה היא חקר פונקציה עבור המקסימום והמינימום שלה.

קחו למשל את הבעיה של לימוד המקסימום והמינימום עבור פונקציה של שני משתנים שיש לה נגזרות חלקיות רציפות עד הסדר. תנאי הכרחי כדי שנקודה תיתן מקסימום או מינימום של פונקציה הוא שהנגזרות החלקיות של הסדר בנקודה שוות לאפס, נניח שתנאי זה מתקיים. בוא ניתן את המשתנים x ו-y מרווחים קטנים ו-k ונחשוב על התוספת המתאימה של הפונקציה. לפי הנוסחה של טיילור, תוספת זו, עד סדרים קטנים גבוהים יותר, שווה לצורה הריבועית שבה הם ערכי הנגזרות השניות מחושב בנקודה אם הצורה הריבועית הזו חיובית עבור כל הערכים של ו-k (למעט ), אז לפונקציה יש מינימום בנקודה; אם היא שלילית, אז יש לה מקסימום. לבסוף, אם צורה מקבלת ערכים חיוביים ושליליים כאחד, אז לא יהיה מקסימום או מינימום. פונקציות של מספר גדול יותר של משתנים נלמדות גם הן בצורה דומה.

חקר צורות ריבועיות מורכב בעיקר מחקר בעיית השקילות של צורות ביחס לקבוצה כזו או אחרת של טרנספורמציות ליניאריות של משתנים. אומרים ששתי צורות ריבועיות שוות ערך אם ניתן להמיר אחת מהן לאחרת באמצעות אחת מהטרנספורמציות של קבוצה נתונה. קשורה קשר הדוק לבעיית השקילות בעיית הקטנת הצורה, כלומר. להפוך אותו לאיזו צורה אולי הפשוטה ביותר.

בשאלות שונות הקשורות לצורות ריבועיות, נשקלות גם קבוצות שונות של טרנספורמציות קבילות של משתנים.

בשאלות של ניתוח, נעשה שימוש בכל טרנספורמציה לא מיוחדת של משתנים; למטרות גיאומטריה אנליטית, טרנספורמציות אורתוגונליות הן בעלות העניין הגדול ביותר, כלומר אלו המתאימות למעבר ממערכת אחת של קואורדינטות קרטזיות משתנות לאחרת. לבסוף, בתורת המספרים ובקריסטלוגרפיה נחשבות טרנספורמציות ליניאריות עם מקדמים שלמים ועם דטרמיננטה השווה לאחדות.

נשקול שתיים מהבעיות הללו: שאלת הקטנת צורה ריבועית לצורתה הפשוטה ביותר באמצעות כל טרנספורמציה שאינה יחידה, ואותה שאלה לגבי טרנספורמציות אורתוגונליות. קודם כל, בואו נגלה כיצד מטריצה ​​של צורה ריבועית עוברת טרנספורמציה במהלך טרנספורמציה לינארית של משתנים.

תן , כאשר A היא מטריצה ​​סימטרית של מקדמי צורה, X הוא עמודה של משתנים.

בואו נעשה טרנספורמציה ליניארית של משתנים, ונכתוב אותה בקיצור כ- . כאן C מציין את מטריצת המקדמים של טרנספורמציה זו, X הוא עמודה של משתנים חדשים. אז ולכן, כך המטריצה ​​של הצורה הריבועית שעברה טרנספורמציה היא

המטריצה ​​מתבררת אוטומטית כסימטרית, מה שקל לבדוק. לפיכך, הבעיה של צמצום צורה ריבועית לצורה הפשוטה ביותר שוות ערך לבעיה של צמצום מטריצה ​​סימטרית לצורה הפשוטה ביותר על ידי הכפלה משמאל וימין במטריצות המומרות הדדית.

צורה ריבועית f(x 1, x 2,...,x n) של n משתנים הוא סכום שכל איבר שלו הוא הריבוע של אחד המשתנים, או המכפלה של שני משתנים שונים, שנלקחו עם מקדם מסוים: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

המטריצה ​​A המורכבת מהמקדמים הללו נקראת מטריצה ​​בעלת צורה ריבועית. זה תמיד סִימֶטרִימטריצה ​​(כלומר מטריצה ​​סימטרית על האלכסון הראשי, a ij =a ji).

בסימון מטריצה, הצורה הריבועית היא f(X) = X T AX, כאשר

אכן

לדוגמה, בוא נכתוב את הצורה הריבועית בצורה מטריצה.

לשם כך, אנו מוצאים מטריצה ​​של צורה ריבועית. האלמנטים האלכסוניים שלו שווים למקדמים של המשתנים בריבוע, ושאר האלמנטים שווים לחצאי המקדמים המתאימים של הצורה הריבועית. בגלל זה

תנו למטריצה-עמודת המשתנים X להתקבל על ידי טרנספורמציה ליניארית לא מנוונת של המטריצה-עמודה Y, כלומר. X = CY, כאשר C היא מטריצה ​​לא יחידה מסדר n. ואז הצורה הריבועית f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

לפיכך, עם טרנספורמציה לינארית לא מנוונת C, המטריצה ​​של הצורה הריבועית לובשת את הצורה: A * =C T AC.

לדוגמה, בואו נמצא את הצורה הריבועית f(y 1, y 2), המתקבלת מהצורה הריבועית f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 על ידי טרנספורמציה לינארית.

הצורה הריבועית נקראת קנוני(יש לזה השקפה קנונית), אם כל המקדמים שלו ij = 0 עבור i≠j, כלומר f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

המטריצה ​​שלו היא אלכסונית.

מִשׁפָּט(לא ניתנה כאן הוכחה). ניתן לצמצם כל צורה ריבועית לצורה קנונית באמצעות טרנספורמציה ליניארית לא מנוונת.

לדוגמה, הבה נביא לצורה קנונית את הצורה הריבועית f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

לשם כך, בחר תחילה ריבוע שלם עם המשתנה x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

כעת נבחר ריבוע שלם עם המשתנה x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

אז הטרנספורמציה הליניארית הלא מנוונת y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 ו-y 3 = x 3 מביאה את הצורה הריבועית הזו לצורה הקנונית f(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

שימו לב שהצורה הקנונית של צורה ריבועית נקבעת באופן דו-משמעי (ניתן לצמצם את אותה צורה ריבועית לצורה קנונית בדרכים שונות 1). עם זאת, לצורות קנוניות המתקבלות בשיטות שונות יש מספר תכונות משותפות. בפרט, מספר האיברים עם מקדמים חיוביים (שליליים) של צורה ריבועית אינו תלוי בשיטת הקטנת הצורה לצורה זו (לדוגמה, בדוגמה הנחשבת תמיד יהיו שניים שליליים ומקדם חיובי אחד). נכס זה נקרא חוק האינרציה של צורות ריבועיות.

הבה נוודא זאת על ידי הבאת אותה צורה ריבועית לצורה קנונית בדרך אחרת. נתחיל את הטרנספורמציה עם המשתנה x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2) /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , כאשר y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 ו-y 3 = x 1. כאן יש מקדם חיובי של 2 עבור y 3 ושני מקדמים שליליים (-3) עבור y 1 ו- y 2 (ובשימוש בשיטה אחרת, קיבלנו מקדם חיובי של 2 עבור y 1 ושני שליליים - (-5) עבור y 2 ו-(-1/20) עבור y 3 ).

יש לציין גם כי הדרגה של מטריצה ​​של צורה ריבועית, נקראת דרגה של צורה ריבועית, שווה למספר המקדמים הלא-אפס של הצורה הקנונית ואינו משתנה תחת טרנספורמציות ליניאריות.

הצורה הריבועית f(X) נקראת באופן חיובי(שלילי)מסוים, אם עבור כל הערכים של המשתנים שאינם שווים לאפס בו זמנית, הוא חיובי, כלומר f(X) > 0 (שלילי, כלומר f(X)< 0).

לדוגמה, הצורה הריבועית f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 היא חיובית מוגדרת, מכיוון הוא סכום של ריבועים, והצורה הריבועית f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 היא שלילית מוגדרת, מכיוון מייצג את זה יכול להיות מיוצג בצורהf 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

ברוב המצבים המעשיים, קצת יותר קשה לקבוע את הסימן המובהק של צורה ריבועית, ולכן לשם כך נשתמש באחד מהמשפטים הבאים (ננסח אותם ללא הוכחה).

מִשׁפָּט. צורה ריבועית היא חיובית (שלילית) מוגדרת אם ורק אם כל הערכים העצמיים של המטריצה ​​שלה חיוביים (שליליים).

משפט (קריטריון סילבסטר). צורה ריבועית היא חיובית מוגדרת אם ורק אם כל הקטינים המובילים של המטריצה ​​של צורה זו הם חיוביים.

ראשי (פינתי) מינורהמטריצות מסדר ק' מסדר א' נקראות הקובע של המטריצה, המורכבות מהשורות והעמודות הראשונות של k' של המטריצה ​​A ().

שים לב שעבור צורות ריבועיות מוגדרות שליליות מתחלפים הסימנים של הקטינים הראשיים, והקטין מסדר ראשון חייב להיות שלילי.

לדוגמה, הבה נבחן את הצורה הריבועית f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 עבור הגדרת סימן.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . לכן, הצורה הריבועית היא חיובית מוגדרת.

שיטה 2. מינור ראשי מהסדר הראשון של המטריצה ​​A  1 =a 11 = 2 > 0. ראשי מינור מהסדר השני  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. לכן, לפי הקריטריון של סילבסטר, הריבועי הצורה היא חיובית מוגדרת.

אנו בוחנים צורה ריבועית נוספת עבור הגדרת סימן, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

שיטה 1. בואו נבנה מטריצה ​​בצורה ריבועית A = . למשוואה האופיינית תהיה הצורה = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . לכן, הצורה הריבועית היא שלילית מוגדרת.

שיטה 2. קטין ראשי מהסדר הראשון של המטריצה ​​A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. לכן, לפי הקריטריון של סילבסטר, הצורה הריבועית היא שלילית מוגדרת (הסימנים של הקטינים הגדולים מתחלפים, החל במינוס).

וכדוגמה נוספת, אנו בוחנים את הצורה הריבועית שנקבעה בסימן f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

שיטה 1. בואו נבנה מטריצה ​​בצורה ריבועית A = . למשוואה האופיינית תהיה הצורה = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . אחד המספרים הללו הוא שלילי והשני חיובי. הסימנים של הערכים העצמיים שונים. כתוצאה מכך, הצורה הריבועית אינה יכולה להיות מוגדרת באופן שלילי או חיובי, כלומר. צורה ריבועית זו אינה מוגדרת בסימן (היא יכולה לקבל ערכים של כל סימן).

שיטה 2. מינור ראשי מהסדר הראשון של המטריצה ​​A  1 =a 11 = 2 > 0. מינור ראשי מהסדר השני 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1השיטה הנחשבת של הפחתת צורה ריבועית לצורה קנונית נוחה לשימוש כאשר נתקלים במקדמים שאינם אפס עם ריבועי המשתנים. אם הם לא שם, עדיין אפשר לבצע את ההמרה, אבל אתה צריך להשתמש בטכניקות אחרות. לדוגמה, תן f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, כאשר y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 - x 2.

בעת פתרון בעיות יישומיות שונות, לעתים קרובות יש צורך ללמוד צורות ריבועיות.

הַגדָרָה.צורה ריבועית L(, x 2, ..., x n) של n משתנים היא סכום שכל איבר שלו הוא הריבוע של אחד המשתנים או המכפלה של שני משתנים שונים שנלקחו עם מקדם מסוים:

L( ,x 2 ,...,x n) =

אנו מניחים שהמקדמים של הצורה הריבועית הם מספרים ממשיים, ו

המטריצה ​​A = () (i, j = 1, 2, ..., n), המורכבת מהמקדמים הללו, נקראת מטריצה ​​בעלת צורה ריבועית.

בסימון מטריצה, לצורה הריבועית יש את הצורה: L = X"AX, כאשר X = (x 1, x 2,..., x n)" - מטריצה-עמודת משתנים.

דוגמה 8.1

כתוב את הצורה הריבועית L( , x 2 , x 3) = בצורת מטריצה.

בואו נמצא מטריצה ​​של צורה ריבועית. האלמנטים האלכסוניים שלו שווים למקדמים של המשתנים בריבוע, כלומר. 4, 1, -3 ואלמנטים אחרים - לחצאי המקדמים המתאימים של הצורה הריבועית. בגלל זה

L=( , x 2 , x 3) .

עם טרנספורמציה לינארית לא מנוונת X = CY, המטריצה ​​של הצורה הריבועית לובשת את הצורה: A * = C "AC. (*)

דוגמה 8.2

בהינתן הצורה הריבועית L(x x, x 2) =2x 1 2 +4x 1 x 2 -3. מצא את הצורה הריבועית L(y 1 ,y 2) המתקבלת מהטרנספורמציה הליניארית הנתונה = 2у 1 - 3y 2 , x 2 = y 1 + y 2.

המטריצה ​​של צורה ריבועית נתונה היא A= , ומטריצת הטרנספורמציה הליניארית היא

C = . לכן, לפי (*) מטריצה ​​של הצורה הריבועית הנדרשת

והצורה הריבועית נראית כמו

L(y 1, y 2) = .

יש לציין כי עם כמה טרנספורמציות ליניאריות שנבחרו היטב, ניתן לפשט באופן משמעותי את הצורה של הצורה הריבועית.

הַגדָרָה.הצורה הריבועית L(,x 2,...,x n) = נקראת קנונית (או בעלת צורה קנונית) אם כל המקדמים שלה = 0 עבור i¹j:

L= , והמטריצה ​​שלו היא אלכסונית.

המשפט הבא נכון.

מִשׁפָּט.ניתן לצמצם כל צורה ריבועית לצורה קנונית באמצעות טרנספורמציה ליניארית לא מנוונת של משתנים.

דוגמא 8.3

צמצם את הצורה הריבועית לצורה קנונית

L( , x 2 , x 3) =

ראשית, נבחר את הריבוע השלם של המשתנה, שמקדם הריבוע שלו שונה מאפס:

כעת נבחר את הריבוע המושלם עבור המשתנה שהמקדם שלו שונה מאפס:

אז, טרנספורמציה ליניארית לא מנוונת

מצמצם צורה ריבועית זו לצורה קנונית:

הצורה הקנונית של צורה ריבועית אינה מוגדרת באופן ייחודי, שכן ניתן לצמצם את אותה צורה ריבועית לצורה הקנונית בדרכים רבות. עם זאת, לצורות קנוניות המתקבלות בשיטות שונות יש מספר תכונות משותפות. הבה ננסח את אחת התכונות הללו כמשפט.

משפט (חוק האינרציה של צורות ריבועיות).מספר האיברים עם מקדמים חיוביים (שליליים) של הצורה הריבועית אינו תלוי בשיטת הקטנת הצורה לצורה זו.

יש לציין כי הדרגה של מטריצה ​​של צורה ריבועית שווה למספר המקדמים הלא-אפס של הצורה הקנונית ואינה משתנה תחת טרנספורמציות ליניאריות.

הַגדָרָה.הצורה הריבועית L(, x 2, ..., x n) נקראת חיובית (שלילית) מוגדרת אם, עבור כל הערכים של המשתנים, לפחות אחד מהם אינו אפס,

L( , x 2 , ..., x n) > 0 (L( , x 2 , ..., x n)< 0).

כך, לדוגמה, צורה ריבועית היא חיובית מוגדרת, והצורה היא מוגדרת שלילית.

מִשׁפָּט.כדי שהצורה הריבועית L = X"AX תהיה חיובית (שלילית) מוגדרת, יש צורך ומספיק שכל הערכים העצמיים של מטריצה ​​A יהיו חיוביים (שליליים).