מה ההסתברות שהקוביות. זורקים שתי קוביות

מה ההסתברות שזריקה אחת של קובייה תביא למספר זוגי?

54. קטיה ואניה כותבות הכתבה. ההסתברות שקטיה תטעה היא 60%, וההסתברות של אניה לטעות היא 40%. מצא את ההסתברות ששתי הבנות יכתבו את ההכתבה ללא שגיאות.

55. המפעל מייצר 15% מהמוצרים מהדרגה הגבוהה ביותר, 25% מהכיתה א', 40% מהכיתה ב' והיתר פגום. מצא את ההסתברות שהמוצר הנבחר לא יהיה פגום.

מה ההסתברות שיוולד תינוק ב-7?

57. כל אחד משלושת היורים יורה למטרה פעם אחת, כאשר היורה הראשון פוגע ב-90%, השני - 80%, והשלישי - 70%. מצא את ההסתברות שכל שלושת היורים פגעו במטרה?

בקופסה יש 7 כדורים לבנים ו-9 שחורים. כדור נשלף באקראי ומוחזר. ואז מוציאים את הכדור שוב. מה ההסתברות ששני הכדורים לבנים

מה ההסתברות להופיע לפחות מעיל נשק אחד בעת הטלת שני מטבעות?

ארגז הכלים מכיל 15 חלקים תקניים ו-5 חלקים פגומים. חלק אחד נלקח באקראי מהקופסה. מצא את ההסתברות שחלק זה הוא סטנדרטי

למכשיר שלושה מחווני אזעקה מותקנים באופן עצמאי. ההסתברות שבמקרה של תאונה הראשון יעבוד הוא 0.9, השני הוא 0.7, השלישי הוא 0.8. מצא את ההסתברות שאף אזעקה לא תפעל במהלך תאונה.

62. ניקולאי וליאוניד עושים מבחן. ההסתברות לטעות בחישוביו של ניקולאי היא 70%, ושל ליאוניד היא 30%. מצא את ההסתברות שליאוניד יטעה, אבל ניקולאי לא.

63. בית ספר למוזיקה מגייס תלמידים. ההסתברות לא להתקבל במהלך מבחן האוזן המוזיקלית היא 40%, וחוש הקצב הוא 10%. מה ההסתברות לבדיקה חיובית?

64. כל אחד משלושת היורים יורה למטרה פעם אחת, וההסתברות לפגוע ביורה אחד היא 80%, השני - 70%, השלישי - 60%. מצא את ההסתברות שרק היורה השני יפגע במטרה.

65. יש פירות בסל, כולל 30% בננות ו-60% תפוחים. מה ההסתברות שפרי שנבחר באקראי יהיה בננה או תפוח?

הקופסה מכילה 4 כדורים כחולים, 3 אדומים, 9 ירוקים, 6 כדורים צהובים. מה ההסתברות שהכדור שנבחר אינו ירוק?

בהגרלה יש 1000 כרטיסים, כולל 20 זוכים. נרכש כרטיס אחד. מה ההסתברות שהכרטיס הזה לא מנצח?

68. ישנם 6 ספרי לימוד, 3 מהם כרוכים. קח 2 ספרי לימוד באקראי. ההסתברות ששני ספרי הלימוד שנלקחו יהיו כרוכים היא... .

69. בסדנה עובדים 7 גברים ו-3 נשים. 3 אנשים נבחרים באקראי באמצעות מספרי הצוות שלהם. ההסתברות שכל הנבחרים יהיו גברים היא...

70. בקופסה יש 10 כדורים, מתוכם 6 צבעוניים. 4 כדורים נמשכים באקראי מבלי להחזיר אותם. ההסתברות שכל הכדורים המצוירים יהיו צבעוניים היא... .

71. יש 4 כדורים אדומים ו-2 כחולים בקופסה. שלושה כדורים נלקחים ממנו באקראי. ההסתברות שכל שלושת הכדורים האלה אדומים היא...

72. תלמיד יודע 20 שאלות מתוך 25 שאלות בדיסציפלינה. שואלים אותו 3 שאלות. ההסתברות שהתלמיד מכיר אותם היא... .

73. בכד יש 4 כדורים לבנים ו-3 שחורים. מוציאים שני כדורים בו זמנית. ההסתברות ששני הכדורים לבנים היא...

74. הם זורקים 3 קוביות בבת אחת. ההסתברות לגלגל 3 שישיות היא... .

הרופא המקומי ראה 35 חולים תוך שבוע, מתוכם חמישה חולים אובחנו עם כיב קיבה. קבע את התדירות היחסית של הופעה של חולה עם מחלת קיבה בפגישה.

משימות עבור הסתברות לקוביותלא פחות פופולרי מבעיות הטלת מטבעות. המצב של בעיה כזו בדרך כלל נשמע כך: כאשר זורקים אחד או יותר קוביות(2 או 3), מה ההסתברות שסכום הנקודות יהיה שווה ל-10, או שמספר הנקודות יהיה 4, או מכפלת מספר הנקודות, או מכפלת מספר הנקודות חלקי 2, וכן הלאה.

יישום נוסחת ההסתברות הקלאסית הוא השיטה העיקרית לפתרון בעיות מסוג זה.

מתה אחת, סבירות.

המצב די פשוט עם קובייה אחת. נקבע על ידי הנוסחה: P=m/n, כאשר m הוא מספר התוצאות החיוביות לאירוע, ו-n הוא מספר כל התוצאות הבסיסיות האפשריות באותה מידה של הניסוי עם זריקת עצם או קובייה.

בעיה 1. הקוביות נזרקות פעם אחת. מה ההסתברות לקבל מספר זוגי של נקודות?

מכיוון שהקוביה היא קובייה (או שהיא נקראת גם קובייה רגילה, הקוביה תנחת מכל הצדדים בסבירות שווה, מכיוון שהיא מאוזנת), לקובייה יש 6 צלעות (מספר הנקודות מ-1 עד 6, שהן בדרך כלל מסומן על ידי נקודות), זה אומר שלבעיה יש מספר כולל של תוצאות: n=6. האירוע מועדף רק על ידי תוצאות שבהן מופיעה הצד עם הנקודות הזוגיות 2,4 ו-6; לקובייה יש את הצדדים הבאים: m=3. כעת נוכל לקבוע את ההסתברות הרצויה של הקוביות: P=3/6=1/2=0.5.

משימה 2. הקוביות נזרקות פעם אחת. מה ההסתברות שתקבלו לפחות 5 נקודות?

בעיה זו נפתרת באנלוגיה לדוגמא שניתנה לעיל. כאשר זורקים קובייה, המספר הכולל של התוצאות האפשריות באותה מידה הוא: n=6, ורק 2 תוצאות מספקות את תנאי הבעיה (לפחות 5 נקודות מגולגלות, כלומר 5 או 6 נקודות מגולגלות), כלומר m =2. לאחר מכן, נמצא את ההסתברות הנדרשת: P=2/6=1/3=0.333.

שתי קוביות, הסתברות.

כאשר פותרים בעיות הכרוכות בהטלת 2 קוביות, נוח מאוד להשתמש בטבלת ניקוד מיוחדת. על זה, מספר הנקודות שנפלו על הקובייה הראשונה מוצג בצורה אופקית, ומספר הנקודות שנפלו על הקובייה השנייה מוצג בצורה אנכית. חומר העבודה נראה כך:

אבל נשאלת השאלה, מה יהיה בתאים הריקים של הטבלה? זה תלוי בבעיה שצריך לפתור. אם הבעיה היא על סכום הנקודות, אז הסכום נכתב שם, ואם זה על ההפרש, אז ההפרש נרשם, וכן הלאה.

בעיה 3. זורקים 2 קוביות בו זמנית. מה ההסתברות לקבל פחות מ-5 נקודות?

ראשית, עליך להבין מה יהיה המספר הכולל של תוצאות הניסוי. הכל היה ברור מתי לזרוק קובייה אחת 6 פרצופים של הקובייה - 6 תוצאות של הניסוי. אבל כאשר יש כבר שתי קוביות, ניתן לייצג את התוצאות האפשריות כזוגות מסודרים של מספרים של הצורה (x, y), כאשר x מראה כמה נקודות הוטלו בקובייה הראשונה (מ-1 עד 6), ו-y - כמה נקודות הוטלו על הקובייה השנייה (מ-1 עד 6). יהיו בסך הכל זוגות מספרים כאלה: n=6*6=36 (בטבלת התוצאות הם תואמים בדיוק ל-36 תאים).

כעת אתה יכול למלא את הטבלה; לשם כך, מספר הנקודות שנפלו על הקובייה הראשונה והשנייה מוזן בכל תא. הטבלה שהושלמה נראית כך:

באמצעות הטבלה, נקבע את מספר התוצאות המעדיפות את האירוע "יופיעו בסך הכל פחות מ-5 נקודות". בואו נספור את מספר התאים שבהם ערך הסכום יהיה קטן מהמספר 5 (אלה 2, 3 ו-4). מטעמי נוחות, אנו מציירים מעל תאים כאלה; יהיו m=6 מהם:

בהתחשב בנתוני הטבלה, הסתברות לקוביותשווה: P=6/36=1/6.

בעיה 4. נזרקו שתי קוביות. קבע את ההסתברות שהמכפלה של מספר הנקודות תתחלק ב-3.

כדי לפתור את הבעיה, נערוך טבלה של תוצרי הנקודות שנפלו על הקובייה הראשונה והשנייה. בו, אנו מיד מדגישים את המספרים שהם כפולות של 3:

נכתוב את המספר הכולל של התוצאות של הניסוי n=36 (הנימוק זהה לבעיה הקודמת) ואת מספר התוצאות החיוביות (מספר התאים המוצללים בטבלה) m=20. ההסתברות לאירוע היא: P=20/36=5/9.

בעיה 5. הקוביות נזרקות פעמיים. מה ההסתברות שההפרש במספר הנקודות בקובייה הראשונה והשנייה יהיה מ-2 ל-5?

כדי לקבוע הסתברות לקוביותנרשום טבלה של הפרשי נקודות ונבחר בה את התאים שערך ההפרש שלהם יהיה בין 2 ל-5:

מספר התוצאות החיוביות (מספר התאים המוצללים בטבלה) הוא m=10, המספר הכולל של תוצאות אלמנטריות אפשריות באותה מידה יהיה n=36. קובע את ההסתברות לאירוע: P=10/36=5/18.

במקרה של אירוע פשוט וכאשר זורקים 2 קוביות, אתה צריך לבנות טבלה, ולאחר מכן לבחור את התאים הדרושים בה ולחלק את מספרם ב-36, זה ייחשב הסתברות.

אחורה קדימה

תשומת הלב! תצוגות מקדימות של השקופיות מיועדות למטרות מידע בלבד וייתכן שאינן מייצגות את כל התכונות של המצגת. אם אתה מעוניין בעבודה זו, אנא הורד את הגרסה המלאה.

טכנולוגיות חינוכיות: טכנולוגיה של הוראה מסבירה ומאוירת, טכנולוגיית מחשבים, גישה ממוקדת אדם ללמידה, טכנולוגיות מצילות בריאות.

סוג שיעור: שיעור ברכישת ידע חדש.

משך: שיעור אחד.

כיתה: כיתה ח'.

מטרות השיעור:

חינוכי:

• לחזור על מיומנויות השימוש בנוסחה כדי למצוא את ההסתברות לאירוע וללמד כיצד להשתמש בה בבעיות עם קוביות;
• לנהל חשיבה מדגימה בעת פתרון בעיות, להעריך את הנכונות הלוגית של החשיבה, לזהות חשיבה לא נכונה מבחינה לוגית.

חינוכי:

• לפתח מיומנויות בחיפוש, עיבוד והצגת מידע;
• לפתח את היכולת להשוות, לנתח ולהסיק מסקנות;
• לפתח מיומנויות התבוננות ותקשורת.

חינוכי:

• לטפח קשב והתמדה;
• לגבש הבנה של משמעות המתמטיקה כדרך להבנת העולם הסובב אותנו.

ציוד שיעור: מחשב, מולטימדיה, טושים, מכשיר להעתקת mimio (או לוח אינטראקטיבי), מעטפה (מכילה מטלה לעבודה מעשית, שיעורי בית, שלושה קלפים: צהוב, ירוק, אדום), דגמי קוביות.

מערך שיעור

ארגון זמן.

בשיעור הקודם למדנו על נוסחת ההסתברות הקלאסית.

ההסתברות P להתרחשות אירוע אקראי A היא היחס בין m ל-n, כאשר n הוא המספר של כל התוצאות האפשריות של הניסוי, ו-m הוא המספר של כל התוצאות החיוביות.

הנוסחה היא מה שנקרא ההגדרה הקלאסית של הסתברות על פי Laplace, שהגיעה מתחום ההימורים, שבו נעשה שימוש בתורת ההסתברות כדי לקבוע את הסיכוי לזכייה. נוסחה זו משמשת לניסויים עם מספר סופי של תוצאות אפשריות באותה מידה.

הסתברות לאירוע = מספר התוצאות הטובות / מספר כל התוצאות האפשריות באותה מידה

אז הסתברות היא מספר בין 0 ל-1.

ההסתברות היא 0 אם האירוע בלתי אפשרי.

ההסתברות היא 1 אם האירוע בטוח.

בואו נפתור את הבעיה בעל פה: יש 20 ספרים על מדף ספרים, 3 מהם ספרי עיון. מה ההסתברות שספר שנלקח ממדף לא יהיה ספר עיון?

פִּתָרוֹן:

המספר הכולל של תוצאות אפשריות באותה מידה הוא 20

מספר התוצאות הטובות – 20 – 3 = 17

תשובה: 0.85.

2. השגת ידע חדש.

כעת נחזור לנושא השיעור שלנו: "הסתברויות לאירועים", בואו נחתום על זה במחברות שלנו.

מטרת השיעור: ללמוד לפתור בעיות במציאת ההסתברות בעת זריקת קובייה או 2 קוביות.

הנושא שלנו היום קשור לקוביות או שהוא נקרא גם קוביות. קוביות ידועות עוד מימי קדם. משחק הקוביות הוא אחד העתיקים ביותר; אבות הטיפוס הראשונים של הקוביות נמצאו במצרים, והם מתוארכים למאה ה-20 לפני הספירה. ה. ישנם סוגים רבים, החל מפשוטים (מי שזורק הכי הרבה נקודות מנצח) ועד למורכבים, שבהם ניתן להשתמש בטקטיקות משחק שונות.

העצמות העתיקות ביותר מתוארכות למאה ה-20 לפני הספירה. ה., התגלה בתבאי. בתחילה, עצמות שימשו כלי לגילוי עתידות. על פי חפירות ארכיאולוגיות, שיחקו קוביות בכל מקום בכל פינות תבל. השם בא מהחומר המקורי - עצמות בעלי חיים.

היוונים הקדמונים האמינו שהלידים המציאו עצמות, בורחים מרעב, כדי לפחות להעסיק את דעתם במשהו.

משחק הקוביות בא לידי ביטוי במיתולוגיה המצרית העתיקה, היוונית-רומית והוודית. מוזכרים בתנ"ך, "איליאדה", "אודיסאה", "מהבהרטה", אוסף המזמורים הוודיים "ריגדה". בפנתיאון האלים, אל אחד לפחות היה הבעלים של הקוביות כתכונה אינטגרלית http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 - cite_note-2 .

לאחר נפילת האימפריה הרומית, המשחק התפשט ברחבי אירופה, והיה פופולרי במיוחד במהלך ימי הביניים. מכיוון שקוביות שימשו לא רק למשחק, אלא גם לגילוי עתידות, הכנסייה ניסתה שוב ושוב לאסור את המשחק; העונשים המתוחכמים ביותר הומצאו למטרה זו, אך כל הניסיונות הסתיימו בכישלון.

על פי נתונים ארכיאולוגיים, שיחקו קוביות גם ברוס הפגאנית. לאחר הטבילה ניסתה הכנסייה האורתודוקסית למגר את המשחק, אך בקרב פשוטי העם הוא נשאר פופולרי, שלא כמו באירופה, שם האצולה הגבוהה ביותר ואפילו אנשי הדת היו אשמים במשחק בקוביות.

המלחמה שהוכרזה על ידי השלטונות של מדינות שונות במשחק הקוביות הולידה טריקים רבים ושונים.

בעידן ההשכלה, התחביב לשחק בקוביות החל לרדת בהדרגה, אנשים פיתחו תחביבים חדשים, והתעניינו יותר בספרות, במוזיקה ובציור. כיום, משחק בקוביות אינו נפוץ כל כך.

קוביות נכונות מספקות סיכוי שווה להנחית צד. לשם כך, כל הקצוות חייבים להיות זהים: חלקים, שטוחים, בעלי אותו שטח, עיגולים (אם יש), יש לקדוח חורים לאותו עומק. סכום הנקודות בצדדים מנוגדים הוא 7.

קובייה מתמטית, המשמשת בתורת ההסתברות, היא תמונה מתמטית של קובייה רגילה. מָתֵימָטִילעצם אין גודל, אין צבע, אין משקל וכו'.

כשזורקים משחק עצמות(קוּבִּיָה) כל אחד מששת הפנים שלו יכול ליפול, כלומר. כל אחד מ אירועים- הפסד מ-1 ל-6 נקודות (נקודות). אבל אף אחד שתייםופרצופים נוספים לא יכולים להופיע בו-זמנית. כגון אירועיםנקראים לא תואמים.

קחו בחשבון את המקרה שבו נזרקת קובייה אחת. בוא נעשה את מספר 2 בצורה של טבלה.

עכשיו שקול את המקרה שבו מטילים 2 קוביות.

אם הקוביה הראשונה מטיל נקודה אחת, אז הקוביה השנייה יכולה להטיל 1, 2, 3, 4, 5, 6. נקבל את הזוגות (1;1), (1;2), (1;3), (1) ;4), (1;5), (1;6) וכן הלאה עם כל פנים. ניתן להציג את כל המקרים בצורה של טבלה של 6 שורות ו-6 עמודות:

טבלת אירועים יסודיים

יש מעטפה על השולחן שלך.

קח את הגיליון עם המשימות מהמעטפה.

כעת תשלימו משימה מעשית באמצעות טבלת האירועים היסודיים.

הצג בהצללה את האירועים המעדיפים את האירועים:

משימה 1. "אותו מספר נקודות נפלו";

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

משימה 2. "סכום הנקודות הוא 7";

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

משימה 3. "סכום הנקודות אינו פחות מ-7."

מה זאת אומרת "לא פחות"? (התשובה היא "גדול או שווה ל")

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

עכשיו בואו נמצא את ההסתברויות של אירועים שעבורם הוצללו אירועים חיוביים בעבודה מעשית.

בואו נרשום את זה במחברות מס' 3

תרגיל 1.

המספר הכולל של התוצאות - 36

תשובה: 1/6.

משימה 2.

המספר הכולל של התוצאות - 36

מספר תוצאות חיוביות - 6

תשובה: 1/6.

משימה 3.

המספר הכולל של התוצאות - 36

מספר תוצאות חיוביות - 21

P = 21/36=7/12.

תשובה: 7/12.

№4. סשה ולאד משחקים בקוביות. כולם מגלגלים את הקוביה פעמיים. זה עם מספר הנקודות הגבוה ביותר מנצח. אם הנקודות שוות, המשחק מסתיים בתיקו. סשה היה הראשון להטיל את הקוביות, והוא קיבל 5 נקודות ו-3 נקודות. עכשיו ולאד זורק את הקוביות.

א) בטבלת האירועים היסודיים, ציין (על ידי הצללה) את האירועים היסודיים המעדיפים את האירוע "ולד ינצח".

ב) מצא את ההסתברות לאירוע "ולד ינצח".

3. דקת חינוך גופני.

אם האירוע אמין, כולנו מוחאים כפיים יחד,

אם האירוע בלתי אפשרי, כולנו רוקעים יחד,

אם האירוע אקראי, נענע בראשך / ימינה ושמאלה

"יש 3 תפוחים בסל (2 אדומים, 1 ירוק).

3 אדומים נשלפו מהסל - (בלתי אפשרי)

תפוח אדום נשלף מהסל - (אקראי)

תפוח ירוק נשלף מהסל - (אקראי)

2 אדומים וירוק אחד נשלפו מהסל - (אמין)

בואו נפתור את המספר הבא.

קובייה הוגנת מושלכת פעמיים. איזה אירוע סביר יותר:

ת: "בשתי הפעמים הציון היה 5";

ש: "בפעם הראשונה קיבלתי 2 נקודות, בפעם השנייה קיבלתי 5 נקודות";

S: "פעם אחת זה היה 2 נקודות, פעם אחת זה היה 5 נקודות"?

בואו ננתח אירוע א': המספר הכולל של התוצאות הוא 36, מספר התוצאות החיוביות הוא 1 (5;5)

בואו ננתח אירוע ב': המספר הכולל של התוצאות הוא 36, מספר התוצאות החיוביות הוא 1 (2;5)

בואו ננתח אירוע ג': המספר הכולל של התוצאות הוא 36, מספר התוצאות החיוביות הוא 2 (2;5 ו-5;2)

תשובה: אירוע ג'.

4. הגדרת שיעורי בית.

1. גוזרים את הפיתוח, מדביקים את הקוביות. תביא את זה לשיעור הבא שלך.

2. בצע 25 זריקות. כתבו את התוצאות בטבלה: (בשיעור הבא תוכלו להציג את מושג התדירות)

3. פתרו את הבעיה: זורקים שתי קוביות. חשב את ההסתברות:

א) "סכום הנקודות הוא 6";

ב) "סכום נקודות לא פחות מ-5";

ג) "בקוביה הראשונה יש יותר נקודות מהשנייה."

בעיה פופולרית נוספת בתורת ההסתברות (יחד עם בעיית הטלת המטבעות) היא בעיה בהטלת קוביות.

בדרך כלל המשימה נשמעת כך: זורקים קובייה אחת או יותר (בדרך כלל 2, לעתים רחוקות יותר 3). אתה צריך למצוא את ההסתברות שמספר הנקודות הוא 4, או שסכום הנקודות הוא 10, או המכפלה של מספר הנקודות מתחלקת ב-2, או שמספר הנקודות שונה ב-3, וכן הלאה.

השיטה העיקרית לפתרון בעיות כאלה היא שימוש בנוסחת ההסתברות הקלאסית, אותה ננתח באמצעות דוגמאות להלן.

לאחר היכרות עם שיטות הפתרון, תוכלו להוריד פתרון סופר שימושי לזריקת 2 קוביות (עם טבלאות ודוגמאות).

קובייה אחת

עם קובייה אחת המצב פשוט בצורה מגונה. הרשו לי להזכיר לכם שההסתברות נמצאת על ידי הנוסחה $P=m/n$, כאשר $n$ הוא המספר של כל התוצאות היסודיות האפשריות באותה מידה של ניסוי עם הטלת קובייה או קובייה, ו-$m$ הוא המספר מהתוצאות שמעדיפות את האירוע.

דוגמה 1. הקוביה נזרקת פעם אחת. מהי ההסתברות שמספר זוגי של נקודות יתגלגל?

מכיוון שהקוביה היא קובייה (אומרים גם קוביות הוגנותכלומר, הקובייה מאוזנת, אז היא נוחתת מכל הצדדים באותה הסתברות), לקובייה יש 6 צלעות (עם מספר נקודות מ-1 עד 6, בדרך כלל נקודות מסוימות), ואז המספר הכולל של התוצאות ב- הבעיה היא $n=6$. התוצאות היחידות שמעדיפות את האירוע הן אלו שבהן מופיעה צד עם 2, 4 או 6 נקודות (אפילו רק אחת); יש $m=3$ של צדדים כאלה. אז ההסתברות הרצויה שווה ל-$P=3/6=1/2=0.5$.

דוגמה 2. הקוביות נזרקות. מצא את ההסתברות לגלגל לפחות 5 נקודות.

אנו מנמקים באותו אופן כמו בדוגמה הקודמת. המספר הכולל של תוצאות אפשריות באותה מידה בעת זריקת קובייה הוא $n=6$, והתנאי "לפחות 5 נקודות מגולגלות", כלומר, "או 5 או 6 נקודות מגולגלות" מתקיימים ב-2 תוצאות, $m =2$. ההסתברות הנדרשת היא $P=2/6=1/3=0.333$.

אני אפילו לא רואה טעם לתת עוד דוגמאות, בואו נעבור לשתי קוביות, שבהן הכל נהיה יותר מעניין ומסובך.

שתי קוביות

כשמדובר בבעיות הכרוכות בהטלת 2 קוביות, זה מאוד נוח לשימוש טבלת נקודות. אופקית, אנו משרטטים את מספר הנקודות שנפלו על הקובייה הראשונה, ובמאונך, את מספר הנקודות שנפלו על הקובייה השנייה. בוא נקבל משהו כזה (אני בדרך כלל עושה את זה באקסל, אתה יכול להוריד את הקובץ):

מה יש בתאי הטבלה, אתם שואלים? וזה תלוי באיזו בעיה נפתור. תהיה משימה על סכום הנקודות - נכתוב שם את הסכום, על ההפרש - נכתוב את ההפרש וכן הלאה. בואו נתחיל?

דוגמה 3. זורקים 2 קוביות בו זמנית. מצא את ההסתברות שהסך הכל יהיה פחות מ-5 נקודות.

ראשית, בואו נסתכל על המספר הכולל של התוצאות של הניסוי. כאשר זרקנו קובייה אחת, הכל היה ברור, 6 צדדים - 6 תוצאות. יש כאן כבר שתי קוביות, כך שניתן לייצג את התוצאות כזוגות מסודרים של מספרים בצורת $(x,y)$, כאשר $x$ הוא כמה נקודות נפלו על הקובייה הראשונה (מ-1 עד 6), $ y$ הוא כמה נקודות נפלו על הקובייה השנייה (מ-1 עד 6). ברור שהמספר הכולל של זוגות מספרים כאלה יהיה $n=6\cdot 6=36$ (והם מתאימים בדיוק ל-36 תאים בטבלת התוצאות).

עכשיו הגיע הזמן למלא את הטבלה. בכל תא נזין את סכום מספר הנקודות שהוטלו על הקובייה הראשונה והשנייה ונקבל את התמונה הבאה:

כעת הטבלה הזו תעזור לנו למצוא את מספר התוצאות הטובות לאירוע "סך הכל יופיעו פחות מ-5 נקודות". לשם כך, נספור את מספר התאים שבהם ערך הסכום קטן מ-5 (כלומר, 2, 3 או 4). למען הבהירות, בוא נצבע את התאים האלה, יהיו $m=6$:

אז ההסתברות שווה ל: $P=6/36=1/6$.

דוגמה 4. זורקים שתי קוביות. מצא את ההסתברות שהמכפלה של מספר הנקודות מתחלקת ב-3.

אנו יוצרים טבלה של תוצרי הנקודות שהוטלו על הקובייה הראשונה והשנייה. מיד נדגיש את המספרים שהם כפולות של 3:

כל שנותר הוא לרשום שמספר התוצאות הכולל הוא $n=36$ (ראה את הדוגמה הקודמת, הנימוק זהה), ומספר התוצאות החיוביות (מספר התאים המוצללים בטבלה למעלה) הוא $m=20$. אז ההסתברות לאירוע תהיה שווה ל-$P=20/36=5/9$.

כפי שאתה יכול לראות, סוג זה של בעיה, עם הכנה נכונה (בואו נסתכל על עוד כמה בעיות), ניתן לפתור במהירות ובפשטות. למגוון, בואו נעשה עוד משימה אחת עם טבלה אחרת (ניתן להוריד את כל הטבלאות בתחתית העמוד).

דוגמה 5. הקוביות נזרקות פעמיים. מצא את ההסתברות שההפרש במספר הנקודות בקובייה הראשונה והשנייה יהיה בין 2 ל-5.

נרשום טבלה של הבדלי נקודות, נסמן בה את התאים שבהם ערך ההפרש יהיה בין 2 ל-5:

אז, המספר הכולל של תוצאות אלמנטריות אפשריות באותה מידה הוא $n=36$, ומספר התוצאות החיוביות (מספר התאים המוצללים בטבלה למעלה) הוא $m=10$. אז ההסתברות לאירוע תהיה שווה ל-$P=10/36=5/18$.

לכן, במקרה שאנו מדברים על זריקת 2 קוביות ואירוע פשוט, אתה צריך לבנות טבלה, לבחור בה את התאים הדרושים ולחלק את מספרם ב-36, זו תהיה ההסתברות. בנוסף לבעיות על סכום, מכפלה והפרש של מספר הנקודות, ישנן גם בעיות על מודול ההפרש, המספר הקטן והגדול ביותר של נקודות שנשלפו (תוכלו למצוא טבלאות מתאימות).

בעיות אחרות לגבי קוביות וקוביות

כמובן, העניין אינו מוגבל לשתי סוגי הבעיות הנוגעות לזריקת קוביות שנדונו לעיל (הן פשוט נתקלות בתדירות הגבוהה ביותר בספרי בעיות ובמדריכי הדרכה), ישנן אחרות. למגוון והבנה של שיטת הפתרון המשוער, ננתח עוד שלוש דוגמאות אופייניות: לזריקת 3 קוביות, להסתברות מותנית ולנוסחה של ברנולי.

דוגמה 6. זורקים 3 קוביות. מצא את ההסתברות שהסך הכולל הוא 15 נקודות.

במקרה של 3 קוביות, טבלאות ערוכות בתדירות נמוכה יותר, מכיוון שתזדקק ל-6 חתיכות (ולא אחת, כמו לעיל), הן מסתדרות על ידי חיפוש פשוט בשילובים הנדרשים.

בואו נמצא את המספר הכולל של תוצאות הניסוי. ניתן לייצג את התוצאות כשלישות מסודרות של מספרים בצורת $(x,y,z)$, כאשר $x$ הוא כמה נקודות נפלו על הקוביה הראשונה (מ-1 עד 6), $y$ הוא כמה נקודות נפלו על הקוביה השנייה (מ-1 עד 6), $z$ - כמה נקודות גלגלו על הקוביה השלישית (מ-1 עד 6). ברור שהמספר הכולל של שלשות מספרים כאלה יהיה $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

עכשיו בואו נבחר תוצאות שנותנות סך של 15 נקודות.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

קיבלנו תוצאות של $m=3+6+1=10$. ההסתברות הרצויה היא $P=10/216=0.046$.

דוגמה 7. זורקים 2 קוביות. מצא את ההסתברות שהקוביה הראשונה תטיל לא יותר מ-4 נקודות, בתנאי שמספר הנקודות הכולל הוא זוגי.

הדרך הקלה ביותר לפתור בעיה זו היא להשתמש בטבלה שוב (הכל יהיה ברור), כמו קודם. אנו כותבים טבלה של סכומי הנקודות ובוחרים רק תאים בעלי ערכים זוגיים:

אנו מקבלים שלפי תנאי הניסוי, אין 36, אלא $n=18$ תוצאות (כאשר סכום הנקודות זוגי).

עַכשָׁיו מהתאים האלהבוא נבחר רק את אלו שמתואמים לאירוע "לא יותר מ-4 נקודות מגולגלות על הקוביה הראשונה" - כלומר, למעשה, התאים ב-4 השורות הראשונות של הטבלה (מסומנים בכתום), יהיו $m= 12$.

ההסתברות הנדרשת $P=12/18=2/3.$

אותה משימה יכולה להיות להחליט אחרתבאמצעות נוסחת ההסתברות המותנית. בואו ניכנס לאירועים:
A = סכום מספר הנקודות הוא זוגי
B = לא יותר מ-4 נקודות שהוטלו על הקוביה הראשונה
AB = סכום מספר הנקודות הוא זוגי ולא יותר מ-4 נקודות הושלכו בקובייה הראשונה
אז לנוסחה של ההסתברות הרצויה יש את הצורה: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ מציאת הסתברויות. המספר הכולל של התוצאות הוא $n=36$, עבור אירוע A מספר התוצאות הטובות (ראה טבלאות למעלה) הוא $m(A)=18$, ובאירוע AB - $m(AB)=12$. נקבל: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P) (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ התשובות היו זהות.

דוגמה 8. הקוביות נזרקות 4 פעמים. מצא את ההסתברות שמספר זוגי של נקודות יופיע בדיוק 3 פעמים.

במקרה כאשר הקוביות זורק מספר פעמים, והאירוע אינו עוסק בסכום, במוצר וכו'. מאפיינים אינטגרליים, אבל רק על מספר טיפותמסוג מסוים, אתה יכול להשתמש בו כדי לחשב את ההסתברות