Jūsų pageidavimu!
13. Išspręskite lygtį 3-4cos 2 x=0. Raskite jo šaknų, priklausančių intervalui, sumą.
Sumažinkime kosinuso laipsnį pagal formulę: 1+cos2α=2cos 2 α. Gauname lygiavertę lygtį:
3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Abi lygties puses padalijame iš (-2) ir gauname paprasčiausią trigonometrinę lygtį:
14. Raskite b 5 geometrinę progresiją, jei b 4 =25 ir b 6 =16.
Kiekvienas geometrinės progresijos narys, pradedant nuo antrosios, yra lygus gretimų narių aritmetiniam vidurkiui:
(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . Turime (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25 16 ⇒ b 5 =±5 4 ⇒ b 5 =±20.
15. Raskite funkcijos išvestinę: f(x)=tgx-ctgx.
16. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos y(x)=x 2 -12x+27 reikšmes
segmente.
Norėdami rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes y=f(x) segmente, reikia rasti šios funkcijos reikšmes segmento galuose ir tuose kritiniuose taškuose, kurie priklauso šiam segmentui, o tada iš visų gautų verčių pasirinkti didžiausią ir mažiausią.
Raskime funkcijos reikšmes x=3 ir x=7, t.y. segmento galuose.
y(3)=3 2-12∙3+27 =9-36+27=0;
y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.
Raskite šios funkcijos išvestinę: y'(x)=(x 2 -12x+27)' =2x-12=2(x-6); kritinis taškas x=6 priklauso duotam intervalui. Raskite funkcijos reikšmę, kai x=6.
y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. O dabar renkamės iš trijų gautų reikšmių: 0; -8 ir -9 yra didžiausi ir mažiausi: daugiausia. =0; įdarbinant =-9.
17. Raskite bendrą funkcijos antidarinių formą:
Šis intervalas yra šios funkcijos apibrėžimo sritis. Atsakymai turėtų prasidėti F(x), o ne f(x), nes mes ieškome antidarinio. Pagal apibrėžimą funkcija F(x) yra funkcijos f(x) priešišvestinė, jei galioja lygybė: F’(x)=f(x). Taigi galite tiesiog rasti siūlomų atsakymų išvestinius, kol gausite šią funkciją. Griežtas sprendimas yra duotosios funkcijos integralo apskaičiavimas. Taikome formules:
19. Sudarykite tiesės, kurioje yra trikampio ABC mediana BD, lygtį, jei jos viršūnės yra A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6).
Norėdami sudaryti tiesės lygtį, turite žinoti 2 šios tiesės taškų koordinates, o mes žinome tik taško B koordinates. Kadangi mediana BD dalija priešingą pusę pusiau, taškas D yra vidurio taškas segmento AC. Atkarpos vidurio taškai yra atitinkamų atkarpos galų koordinačių pusės sumos. Raskime taško D koordinates.
20. Apskaičiuoti:
24. Taisyklingo trikampio plotas tiesios prizmės pagrindu yra
Ši problema yra atvirkštinė 24 užduočiai iš 0021 parinkties.
25. Raskite šabloną ir įrašykite trūkstamą skaičių: 1; 4; 9; 16; …
Akivaizdu, kad šis skaičius 25 , nes mums duota natūraliųjų skaičių kvadratų seka:
1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …
Sėkmės ir sėkmės visiems!
Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybinių institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Mes taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais viešojo intereso tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Norėdami sėkmingai išspręsti trigonometrines lygtis patogus naudoti mažinimo metodasį anksčiau išspręstas problemas. Pažiūrėkime, kokia yra šio metodo esmė?
Bet kurioje siūlomoje užduotyje turite pamatyti anksčiau išspręstą užduotį, o tada, pasitelkdami nuoseklias lygiavertes transformacijas, pabandyti sumažinti jums pateiktą problemą į paprastesnę.
Taigi, sprendžiant trigonometrines lygtis, jos dažniausiai sudaro kokią nors baigtinę lygiaverčių lygčių seką, kurios paskutinė grandis yra lygtis su akivaizdžiu sprendimu. Svarbu tik atsiminti, kad jei nesuformuosite paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo įgūdžių, sudėtingesnių lygčių sprendimas bus sunkus ir neveiksmingas.
Be to, spręsdami trigonometrines lygtis, niekada neturėtumėte pamiršti apie kelių sprendimų egzistavimą.
1 pavyzdys. Raskite lygties cos x = -1/2 šaknų skaičių intervale.
Sprendimas:
Aš būdas. Nubraižykime funkcijų y = cos x ir y = -1/2 grafikus ir raskime jų bendrų taškų skaičių intervale (1 pav.).
Kadangi funkcijų grafikai turi du bendrus intervalo taškus, lygtis turi dvi šio intervalo šaknis.
II būdas. Naudodami trigonometrinį apskritimą (2 pav.) sužinome taškų, priklausančių intervalui, kuriame cos x = -1/2, skaičių. Paveikslėlyje parodyta, kad lygtis turi dvi šaknis. 
III būdas. Naudodami trigonometrinės lygties šaknų formulę išsprendžiame lygtį cos x = -1/2.
x = ± arccos (-1/2) + 2πk, k yra sveikas skaičius (k € Z);
x = ± (π – arccos 1/2) + 2πk, k yra sveikas skaičius (k € Z);
x = ± (π – π/3) + 2πk, k yra sveikas skaičius (k € Z);
x = ± 2π/3 + 2πk, k yra sveikas skaičius (k € Z).
Šaknys 2π/3 ir -2π/3 + 2π priklauso intervalui, k yra sveikasis skaičius. Taigi lygtis turi dvi šaknis tam tikrame intervale.
Atsakymas: 2.
Ateityje trigonometrinės lygtys bus sprendžiamos vienu iš siūlomų metodų, o tai daugeliu atvejų neatmeta kitų metodų naudojimo.
2 pavyzdys. Raskite lygties tg (x + π/4) = 1 sprendinių skaičių intervale [-2π; 2π].
Sprendimas:
Naudodami trigonometrinės lygties šaknų formulę, gauname:
x + π/4 = arctan 1 + πk, k yra sveikas skaičius (k € Z);
x + π/4 = π/4 + πk, k yra sveikas skaičius (k € Z);
x = πk, k yra sveikas skaičius (k € Z);
Intervalas [-2π; 2π] priklauso skaičiams -2π; -π; 0; π; 2π. Taigi, lygtis turi penkias šaknis tam tikrame intervale.
Atsakymas: 5.
3 pavyzdys. Raskite lygties cos 2 x + sin x cos x = 1 šaknų skaičių intervale [-π; π].
Sprendimas:
Kadangi 1 = sin 2 x + cos 2 x (pagrindinė trigonometrinė tapatybė), pradinė lygtis tampa:
cos 2 x + sin x cos x = sin 2 x + cos 2 x;
sin 2 x - sin x cos x \u003d 0;
sin x(sin x - cos x) = 0. sandauga lygi nuliui, tai reiškia, kad bent vienas iš veiksnių turi būti lygus nuliui, todėl:
sin x \u003d 0 arba sin x - cos x \u003d 0.
Kadangi kintamojo reikšmė, kurioje cos x = 0, nėra antrosios lygties šaknys (to paties skaičiaus sinusas ir kosinusas vienu metu negali būti lygūs nuliui), tada padalijame abi antrosios lygties dalis. lygtis pagal cos x:
sin x = 0 arba sin x / cos x - 1 = 0.
Antroje lygtyje naudojame faktą, kad tg x = sin x / cos x, tada:
sin x = 0 arba tg x = 1. Naudodami formules turime:
x = πk arba x = π/4 + πk, k yra sveikas skaičius (k ∈ Z).
Nuo pirmosios šaknų serijos iki intervalo [-π; π] priklauso skaičiams -π; 0; π. Iš antrosios serijos: (π/4 – π) ir π/4.
Taigi, penkios pradinės lygties šaknys priklauso intervalui [-π; π].
Atsakymas: 5.
4 pavyzdys. Raskite lygties tg 2 x + сtg 2 x + 3tg x + 3сtgx + 4 = 0 šaknų sumą intervale [-π; 1,1π].
Sprendimas:
Perrašykime lygtį tokia forma:
tg 2 x + сtg 2 x + 3(tg x + сtgx) + 4 = 0 ir atlikite pakeitimą.
Tegu tg x + сtgx = a. Padėkime abi lygties puses kvadratu:
(tg x + сtg x) 2 = a 2 . Išplėskime skliaustus:
tg 2 x + 2tg x ctgx + ctg 2 x = a 2 .
Kadangi tg x сtgx \u003d 1, tada tg 2 x + 2 + сtg 2 x \u003d a 2, o tai reiškia
tg 2 x + сtg 2 x \u003d a 2 - 2.
Dabar pradinė lygtis atrodo taip:
a 2 - 2 + 3a + 4 = 0;
a 2 + 3a + 2 = 0. Naudodami Vietos teoremą gauname, kad a = -1 arba a = -2.
Atlikdami atvirkštinį pakeitimą, turime:
tg x + сtgx = -1 arba tg x + сtgx = -2. Išspręskime gautas lygtis.
tgx + 1/tgx = -1 arba tgx + 1/tgx = -2.
Pagal dviejų abipusių skaičių savybę nustatome, kad pirmoji lygtis neturi šaknų, o iš antrosios lygties turime:
tg x = -1, t.y. x = -π/4 + πk, k yra sveikas skaičius (k € Z).
Intervalas [-π; 1,1π] šaknys priklauso: -π/4; -π/4 + π. Jų suma:
-π/4 + (-π/4 + π) = -π/2 + π = π/2.
Atsakymas: π/2.
5 pavyzdys. Raskite lygties sin 3x + sin x = sin 2x šaknų aritmetinį vidurkį intervale [-π; 0,5π].
Sprendimas:
Mes naudojame formulę sin α + sin β = 2sin ((α + β)/2) cos ((α - β)/2), tada
sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x ir lygtis tampa
2sin 2x cos x = sin 2x;
2sin 2x cos x - sin 2x \u003d 0. Iš skliaustų išimame bendrą koeficientą sin 2x
sin 2x(2cos x - 1) = 0. Išspręskime gautą lygtį:
sin 2x \u003d 0 arba 2cos x - 1 \u003d 0; 
sin 2x = 0 arba cos x = 1/2;
2x = πk arba x = ±π/3 + 2πk, k yra sveikas skaičius (k € Z).
Taigi mes turime šaknis
x = πk/2, x = π/3 + 2πk, x = -π/3 + 2πk, k yra sveikas skaičius (k € Z).
Intervalas [-π; 0,5π] priklauso šaknims -π; -π/2; 0; π/2 (iš pirmosios šaknų serijos); π/3 (iš antrosios serijos); -π/3 (iš trečios serijos). Jų aritmetinis vidurkis:
(-π - π/2 + 0 + π/2 + π/3 - π/3)/6 = -π/6.
Atsakymas: -π/6.
6 pavyzdys. Raskite lygties sin x + cos x = 0 šaknų skaičių intervale [-1,25π; 2π].
Sprendimas:
Ši lygtis yra vienalytė pirmojo laipsnio lygtis. Abi jo dalis padalykite iš cosx (kintamojo reikšmė, kai cos x = 0, nėra šios lygties šaknys, nes to paties skaičiaus sinusas ir kosinusas negali tuo pačiu metu būti lygūs nuliui). Pradinė lygtis atrodo taip:
x = -π/4 + πk, k yra sveikas skaičius (k ∈ Z).
Tarpas [-1,25π; 2π] turi šaknis -π/4; (-π/4 + π); ir (-π/4 + 2π).
Taigi nurodytam intervalui priklauso trys lygties šaknys.
Atsakymas: 3.
Išmokite padaryti svarbiausią dalyką – aiškiai pateikti problemos sprendimo planą, tada bet kokia trigonometrinė lygtis bus ant jūsų peties.
Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip išspręsti trigonometrines lygtis?
Norėdami gauti korepetitoriaus pagalbą – registruokitės.
svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.
Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybinių institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Mes taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais viešojo intereso tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
a) Išspręskite lygtį: .
b) Raskite šios lygties šaknis, priklausančias intervalui .
Problemos sprendimas
Šioje pamokoje demonstruojamas trigonometrinės lygties sprendimo pavyzdys, kurį galima sėkmingai panaudoti ruošiantis matematikos egzaminui. Visų pirma, sprendžiant C1 tipo problemas, šis sprendimas taps aktualus.
Sprendimo metu kairiosios lygties pusės trigonometrinė funkcija transformuojama naudojant dvigubo argumento sinuso formulę. Dešinėje pusėje esanti kosinuso funkcija taip pat parašyta kaip sinuso funkcija su supaprastintu argumentu. Tokiu atveju ženklas prieš gautą trigonometrinę funkciją yra apverstas. Be to, visi lygties nariai perkeliami į kairę pusę, kur bendras koeficientas išimamas iš skliaustų. Dėl to gauta lygtis vaizduojama kaip dviejų veiksnių sandauga. Kiekvienas veiksnys paeiliui nustatomas lygus nuliui, o tai leidžia mums nustatyti lygties šaknis. Tada nustatomos duotam intervalui priklausančios lygties šaknys. Taikant posūkių metodą, sukonstruotame vienetiniame apskritime posūkis pažymėtas nuo kairiosios duotosios atkarpos ribos į dešinę. Rastos šaknys ant vieneto apskritimo sujungiamos segmentais su jo centru, o tada nustatomi taškai, kuriuose šie segmentai kerta ritę. Šie susikirtimo taškai yra atsakymas į problemos "b" dalį.