Tiesą sakant, padalijimo iš nulio istorija persekiojo jos išradėjus (a). Tačiau indai yra filosofai, pripratę prie abstrakčių problemų. Ką reiškia dalyti iš nieko? To meto europiečiams tokio klausimo iš viso nebuvo, nes jie nežinojo nei apie nulį, nei apie neigiamus skaičius (kurie skalėje yra kairėje nuo nulio).
Indijoje atimti didesnį iš mažesnio ir gauti neigiamą skaičių nebuvo problema. Galų gale, ką 3-5 \u003d -2 reiškia įprastame gyvenime? Tai reiškia, kad kažkas kam nors buvo skolingas 2. Neigiami skaičiai buvo vadinami skolomis.
Dabar lygiai taip pat išspręskime padalijimo iš nulio klausimą. Dar 598 m. po Kr. (tik pagalvokite, kaip seniai, daugiau nei prieš 1400 metų!) Indijoje gimė matematikas Brahmagupta, kuris taip pat susimąstė apie dalijimą iš nulio.
Jis pasiūlė, kad jei imsime citriną ir pradėsime pjaustyti gabalėliais, anksčiau ar vėliau prieisime prie to, kad griežinėliai bus labai maži. Vaizduotėje galime pasiekti tašką, kai segmentai tampa lygūs nuliui. Taigi, kyla klausimas, jei citriną padalijate ne į 2, 4 ar 10 dalių, o į begalinį skaičių dalių, kokio dydžio yra griežinėliai?
Gausite be galo daug „nulinių gabalėlių“. Viskas gana paprasta, citriną supjaustome labai smulkiai, gauname balą su begale dalių.
Bet jei imsitės matematikos, tai pasirodo kažkaip nelogiška
a*0=0? O jei b*0=0? Taigi: a*0=b*0. Ir iš čia: a=b. Tai yra, bet koks skaičius yra lygus bet kuriam skaičiui. Pirmas dalybos iš nulio neteisingumas, eikime toliau. Matematikoje dalyba laikomas atvirkštine daugybos dalimi.
Tai reiškia, kad jei padalinsime 4 iš 2, turime rasti skaičių, kurį padauginus iš 2 gausime 4. Padalinkite 4 iš nulio - reikia rasti skaičių, kurį padauginus iš nulio, gausite 4. Tai yra, x * 0 \u003d 4? Bet x*0=0! Vėl nesėkmė. Taigi mes klausiame: "Kiek nulių reikia paimti, kad gautumėte 4?"
Begalybė? Begalinis nulių skaičius vis tiek bus lygus nuliui.
O 0 dalijimas iš 0 paprastai suteikia neapibrėžtumo, nes 0 * x \u003d 0, kur x yra bet kas. Tai yra, sprendimų yra be galo daug.
Nelogiška ir abstraktu nulinės operacijos neleidžiamos siaurose algebros ribose, tiksliau tai neapibrėžtas veiksmas. Jai reikia prietaiso. rimtesnis - aukštoji matematika. Taigi kažkaip negalima dalyti iš nulio, bet jei labai nori, tai gali dalinti iš nulio, bet reikia būti pasiruošus suprasti tokius dalykus kaip Dirac delta funkcija ir kitus sunkiai suvokiamus dalykus. Pasidalinkite dėl sveikatos.
Labai dažnai daugelis žmonių stebisi, kodėl neįmanoma naudoti padalijimo iš nulio? Šiame straipsnyje mes išsamiai aptarsime, iš kur kilo ši taisyklė, taip pat kokius veiksmus galima atlikti be nulio.
Susisiekus su
Nulį galima vadinti vienu įdomiausių skaičių. Šis skaičius neturi reikšmės, tai reiškia tuštumą tikrąja to žodžio prasme. Tačiau jei šalia bet kurio skaitmens įdėsite nulį, šio skaitmens reikšmė padidės kelis kartus.
Skaičius pats savaime yra labai paslaptingas. Jį naudojo senovės majų žmonės. Majams nulis reiškė „pradžia“, o kalendorinių dienų skaičiavimas taip pat prasidėjo nuo nulio.
Labai įdomus faktas yra tai, kad nulio ženklas ir neapibrėžtumo ženklas jiems buvo panašūs. Tuo majai norėjo parodyti, kad nulis yra tas pats ženklas kaip neapibrėžtumas. Europoje nulio žymėjimas pasirodė palyginti neseniai.
Be to, daugelis žmonių žino draudimą, susijusį su nuliu. Bet kuris žmogus tai pasakys negalima padalyti iš nulio. Taip sako mokytojai mokykloje, o vaikai dažniausiai laikosi žodžio. Dažniausiai vaikams arba tiesiog neįdomu tai žinoti, arba jie žino, kas bus, jei išgirdę svarbų draudimą iškart paklaus „Kodėl negalima dalyti iš nulio?“. Tačiau senstant pabunda susidomėjimas, norisi daugiau sužinoti apie tokio draudimo priežastis. Tačiau yra pagrįstų įrodymų.
Veiksmai su nuliu
Pirmiausia turite nustatyti, kokius veiksmus galima atlikti su nuliu. Egzistuoja kelių rūšių veikla:
- Papildymas;
- Daugyba;
- Atimtis;
- Padalinys (nulis pagal skaičių);
- Eksponentiškumas.
Svarbu! Jei sudėjus prie bet kurio skaičiaus pridedamas nulis, šis skaičius išliks toks pat ir nepakeis jo skaitinės reikšmės. Tas pats atsitinka, jei iš bet kurio skaičiaus atimate nulį.
Su daugyba ir padalijimu viskas yra šiek tiek kitaip. Jeigu bet kurį skaičių padauginkite iš nulio, tada produktas taip pat taps nuliu.
Apsvarstykite pavyzdį:
Parašykime tai kaip priedą:
Iš viso yra penki nuliai, taigi taip ir paaiškėja
Pabandykime padauginti vieną iš nulio. Rezultatas taip pat bus nulinis.
Nulį taip pat galima padalyti iš bet kurio kito jam nelygaus skaičiaus. Tokiu atveju tai pasirodys, kurios vertė taip pat bus lygi nuliui. Ta pati taisyklė galioja ir neigiamiems skaičiams. Jei padalysite nulį iš neigiamo skaičiaus, gausite nulį.
Taip pat galite padidinti bet kokį skaičių iki nulinės galios. Šiuo atveju jūs gaunate 1. Svarbu atsiminti, kad posakis „nuo nulio iki nulio galios“ yra visiškai beprasmis. Jei bandysite pakelti nulį iki bet kokios galios, gausite nulį. Pavyzdys:
Naudojame daugybos taisyklę, gauname 0.
Ar galima padalyti iš nulio
Taigi, mes priėjome prie pagrindinio klausimo. Ar galima padalyti iš nulio iš viso? Ir kodėl neįmanoma padalyti skaičiaus iš nulio, turint omenyje, kad visos kitos operacijos su nuliu visiškai egzistuoja ir taikomos? Norėdami atsakyti į šį klausimą, turite kreiptis į aukštąją matematiką.
Pradėkime nuo sąvokos apibrėžimo, kas yra nulis? Mokyklų mokytojai tvirtina, kad nulis yra niekas. Tuštuma. Tai yra, kai sakote, kad turite 0 rašiklių, tai reiškia, kad jūs neturite rašiklių.
Aukštojoje matematikoje „nulio“ sąvoka yra platesnė. Tai visai nereiškia tuščios. Čia nulis vadinamas neapibrėžtumu, nes šiek tiek patyrinėjus paaiškėja, kad padalijus nulį iš nulio, galime gauti bet kokį kitą skaičių, kuris nebūtinai gali būti nulis.
Ar žinote, kad tie paprasti aritmetiniai veiksmai, kurių mokėtės mokykloje, nėra tokie lygūs? Pagrindiniai žingsniai yra sudėjimas ir daugyba.
Matematikams sąvokos „“ ir „atimtis“ neegzistuoja. Tarkime: jei trys atimami iš penkių, tada liks du. Taip atrodo atimtis. Tačiau matematikai tai parašytų taip:
Taigi paaiškėja, kad nežinomas skirtumas yra tam tikras skaičius, kurį reikia pridėti prie 3, kad gautumėte 5. Tai yra, jums nereikia nieko atimti, tereikia rasti tinkamą skaičių. Ši taisyklė taikoma papildymui.
Viskas yra šiek tiek kitaip su daugybos ir dalybos taisyklės. Yra žinoma, kad padauginus iš nulio gaunamas nulis. Pavyzdžiui, jei 3:0=x, tada, jei apverčiate įrašą, gausite 3*x=0. O skaičius, padaugintas iš 0, sandaugoje bus lygus nuliui. Pasirodo, kad skaičiaus, kuris suteiktų kitokią reikšmę nei nulis sandaugoje su nuliu, neegzistuoja. Tai reiškia, kad dalyba iš nulio yra beprasmė, tai yra, tai atitinka mūsų taisyklę.
Bet kas atsitiks, jei bandysite padalyti nulį iš savęs? Paimkime x kaip neapibrėžtą skaičių. Pasirodo lygtis 0 * x \u003d 0. Tai galima išspręsti.
Jei bandysime vietoj x imti nulį, gausime 0:0=0. Atrodytų logiška? Bet jei bandysime vietoj x paimti bet kokį kitą skaičių, pavyzdžiui, 1, tada gausime 0:0=1. Ta pati situacija bus, jei imsite bet kurį kitą numerį ir prijunkite jį prie lygties.
Tokiu atveju paaiškėja, kad veiksniu galime paimti bet kurį kitą skaičių. Rezultatas bus begalinis skirtingų skaičių skaičius. Tačiau kartais aukštojoje matematikoje dalyba iš 0 yra prasminga, bet tada dažniausiai yra tam tikra sąlyga, dėl kurios vis tiek galime pasirinkti vieną tinkamą skaičių. Šis veiksmas vadinamas „neapibrėžtumo atskleidimu“. Įprastoje aritmetikoje dalyba iš nulio vėl neteks prasmės, nes negalėsime iš aibės pasirinkti nė vieno skaičiaus.
Svarbu! Nulis negali būti padalintas iš nulio.
Nulis ir begalybė
Begalybė yra labai paplitusi aukštojoje matematikoje. Kadangi moksleiviams tiesiog nėra svarbu žinoti, kad vis dar yra matematinių veiksmų su begalybe, mokytojai negali tinkamai paaiškinti vaikams, kodėl negalima dalyti iš nulio.
Pagrindinių matematinių paslapčių studentai pradeda mokytis tik pirmaisiais instituto metais. Aukštoji matematika pateikia daugybę problemų, kurios neturi sprendimo. Garsiausios problemos yra begalybės problemos. Juos galima išspręsti su matematinė analizė.
Taip pat galite kreiptis į begalybę elementarios matematinės operacijos: sudėjimas, daugyba iš skaičiaus. Atimtis ir dalyba taip pat dažnai naudojami, tačiau galiausiai jie vis tiek susideda į dvi paprastas operacijas.
Vadovėlis:„Matematika“ M.I.Moro
Pamokos tikslai: sudaryti sąlygas formuotis gebėjimui padalyti 0 iš skaičiaus.
Pamokos tikslai:
- atskleisti 0 dalijimo iš skaičiaus prasmę per daugybos ir dalybos ryšį;
- ugdyti savarankiškumą, dėmesį, mąstymą;
- formuoti lentelių daugybos ir dalybos pavyzdžių sprendimo įgūdžius.
Norint pasiekti tikslą, pamoka buvo sukurta atsižvelgiant į veiklos metodas.
Pamokos struktūra apėmė:
- Org. momentas, kurios tikslas buvo teigiamai paruošti vaikus mokymosi veiklai.
- Motyvacija leido atnaujinti žinias, formuoti pamokos tikslus ir uždavinius. Tam buvo skirtos užduotys papildomo skaičiaus radimas, pavyzdžių klasifikavimas į grupes, trūkstamų skaičių pridėjimas. Spręsdami šias užduotis vaikai susidūrė problema: buvo pavyzdys, kurio sprendimui nepakanka esamų žinių. Dėl šios priežasties vaikai išsikelti savo tikslus ir nustatyti pamokos mokymosi tikslus.
- Naujų žinių paieška ir atradimas suteikė vaikams galimybę pasiūlyti skirtingus variantus užduočių sprendimai. Remiantis anksčiau išmokta medžiaga, jie sugebėjo rasti tinkamą sprendimą ir prieiti išvada kurioje buvo suformuluota nauja taisyklė.
- Per pirminė fiksacija studentai pakomentavo savo veiksmus, dirba pagal taisyklę, buvo papildomai atrinkti jų pavyzdžiai prie šios taisyklės.
- Dėl veiksmų automatizavimas Ir gebėjimas naudoti taisykles nestandartinėse užduotis, vaikai sprendė lygtis, posakius keliais veiksmais.
- Savarankiškas darbas ir dirigavo abipusis patikrinimas parodė, kad dauguma vaikų išmoko temą.
- Per atspindžiai vaikai padarė išvadą, kad pamokos tikslas buvo pasiektas ir patys įvertino kortelių pagalba.
Pamoka buvo paremta savarankiškais mokinių veiksmais kiekviename etape, visišku įsigilinimu į mokymosi užduotį. Tai palengvino tokios technikos kaip darbas grupėse, savęs ir abipusis patikrinimas, sėkmės situacijos kūrimas, diferencijuotos užduotys, savirefleksija.
Per užsiėmimus
| Scenos paskirtis | Sceninis turinys | Studentų veikla | ||||||||||||
| 1. Org. momentas | ||||||||||||||
| Mokinių paruošimas darbui, teigiamas požiūris į mokymosi veiklą. | Mokymosi veiklos stimuliavimas. Patikrinkite savo pasirengimą pamokai, atsisėskite tiesiai, atsiremkite į kėdės atlošą. Patrinkite ausis, kad padidintumėte kraujo tekėjimą į smegenis. Šiandien jūsų laukia daug įdomių darbų, kuriuos, tikiu, atliksite labai gerai. |
Darbo vietos organizavimas, tinkamumo tikrinimas. | ||||||||||||
| 2. Motyvacija. | ||||||||||||||
| Pažinimo stimuliavimas veikla, mąstymo proceso suaktyvinimas |
Žinių, kurių pakanka naujoms žinioms įgyti, aktualizavimas. Žodinis skaičiavimas. Lentelių daugybos žinių patikrinimas: |
Užduočių sprendimas remiantis lentelių daugybos žiniomis. | ||||||||||||
| a) suraskite papildomą skaičių 2 4 6 7 10 12 14 6 18 24 29 36 42 Paaiškinkite, kodėl jis perteklinis ir kokiu numeriu jį reikėtų pakeisti. |
Papildomo numerio radimas. | |||||||||||||
| B) užpildykite trūkstamus skaičius: … 16 24 32 … 48 … |
Pridedamas trūkstamas skaičius. | |||||||||||||
| Probleminės situacijos kūrimas Užduotys poromis: C) Suskirstykite pavyzdžius į 2 grupes: Kodėl jis taip platinamas? (su 4 ir 5 atsakymais). |
Pavyzdžių klasifikavimas į grupes. | |||||||||||||
| Kortelės: 8 7-6+30:6= 28:(16:4) 6= 30-(20-10:2):5= 30-(20-10 2):5= |
Stiprūs mokiniai dirba pagal individualias korteles. | |||||||||||||
| ką pastebėjai? Ar čia yra papildomas pavyzdys? Ar pavyko išspręsti visus pavyzdžius? Kas turi bėdų? Kuo šis pavyzdys skiriasi nuo kitų? Jei kas nors nuspręs, tada gerai. Bet kodėl ne visi galėtų susidoroti su šiuo pavyzdžiu? |
Sunkumų paieška. Trūkstamų žinių, sunkumų priežasčių nustatymas. |
|||||||||||||
| Ugdymo užduoties išdėstymas. Štai pavyzdys su 0. O nuo 0 galite tikėtis įvairių triukų. Tai neįprastas skaičius. Prisimeni, ką žinai apie 0? (a 0 = 0, 0 a = 0, 0 + a = a) Pateikite pavyzdžių. Pažiūrėk, koks jis klastingas: sudėjus skaičių nekeičia, o padauginus paverčia 0. Ar šios taisyklės galioja mūsų pavyzdžiui? Kaip jis elgsis valgydamas? |
Žinomų veiksmų metodų nuo 0 stebėjimas ir koreliacija su pirminiu pavyzdžiu. | |||||||||||||
| Taigi koks yra mūsų tikslas? Teisingai išspręskite šį pavyzdį. Stalas ant lentos. Ko tam reikia? Išmokite taisyklę, kaip padalyti 0 iš skaičiaus. |
iškeliant hipotezę, | |||||||||||||
| Kaip rasti tinkamą sprendimą? Kas yra daugybos operacija? (su padalijimu) Pateikite pavyzdį 2 3 = 6 6: 2 = 3 Ar galime dabar 0:5? Tai reiškia, kad reikia rasti skaičių, kuris, padaugintas iš 5, būtų 0. x 5 = 0 Šis skaičius yra 0. Taigi, 0:5=0. Pateikite savo pavyzdžius. |
ieškoti sprendimo remiantis anksčiau išmokta, | |||||||||||||
| Taisyklės formulavimas. Kokią taisyklę galima suformuluoti dabar? Padalijus 0 iš skaičiaus, gausite 0. 0: a = 0. |
Tipinių užduočių sprendimas komentuojant. Dirbkite pagal schemą (0: a = 0) |
|||||||||||||
| 5. Fizinės minutės. | ||||||||||||||
| Laikysenos pažeidimų prevencija, akių nuovargio pašalinimas, bendras nuovargis. | ||||||||||||||
| 6. Žinių automatizavimas. | ||||||||||||||
| Naujų žinių pritaikomumo ribų atskleidimas. | Kokioms kitoms užduotims gali prireikti žinoti šią taisyklę? (sprendžiant pavyzdžius, lygtis) |
Įgytų žinių panaudojimas atliekant įvairias užduotis. Grupinis darbas. |
||||||||||||
| Kas nežinoma šiose lygtyse? Prisiminkite, kaip rasti nežinomą daugiklį. Išspręskite lygtis. Koks yra 1 lygties sprendimas? (0) 2 val.? (nėra sprendimo, negalite padalyti iš 0) |
Peržvelgti anksčiau išmoktus įgūdžius. | |||||||||||||
| ** Padarykite lygtį su sprendimu x=0 (x 5 = 0) | Stipriems besimokantiems – kūrybinė užduotis | |||||||||||||
| 7. Savarankiškas darbas. | ||||||||||||||
| Savarankiškumo, pažintinių gebėjimų ugdymas | Savarankiškas darbas su vėlesniu abipusiu patikrinimu. №6 |
Aktyvūs mokinių psichiniai veiksmai, susiję su sprendimų paieška, paremti jų žiniomis. Savikontrolė ir savikontrolė. Stiprūs mokiniai išbando ir padeda silpnesniems. |
||||||||||||
| 8. Darbas su anksčiau uždengta medžiaga. Problemų sprendimo įgūdžių ugdymas. | ||||||||||||||
| Problemų sprendimo įgūdžių formavimas. | Kaip dažnai, jūsų nuomone, užduotyse naudojamas skaičius 0? (Ne, ne dažnai, nes 0 yra niekas, o užduotys turi turėti kažkokį kiekį.) Tada spręsime uždavinius ten, kur yra kiti skaičiai. Perskaitykite užduotį. Kas padės išspręsti problemą? (lentelė) Kokius lentelės stulpelius reikia rašyti? Užpildykite lentelę. Sudarykite sprendimo planą: ko reikia išmokti 1, 2 veiksme? |
Darbas su užduotimi naudojant skaičiuoklę. Problemų sprendimo planavimas. Savęs įrašymo sprendimas. Modelio savikontrolė. |
||||||||||||
| 9. Refleksija. Pamokos rezultatai. | ||||||||||||||
| Veiklos įsivertinimo organizavimas. Vaiko motyvacijos didinimas. |
Su kokia tema šiandien dirbate? Ko nežinojote pamokos pradžioje? Kokį tikslą išsikėlėte sau? Ar pasiekei? Kokią taisyklę sugalvojai? Įvertinkite savo darbą nustatydami atitinkamą ženklelį:
| Savo veiklos suvokimas, įsigilinimas į savo darbą. Veiklos rezultatų ir tikslo atitikties fiksavimas. | ||||||||||||
| 10. Namų darbai. | ||||||||||||||
Jie sako, kad galite padalyti iš nulio, jei nustatote padalijimo iš nulio rezultatą. Tiesiog reikia išplėsti algebrą. Dėl keisto sutapimo nepavyksta rasti bent vieno, bet geriau suprantamo ir paprasto tokio pratęsimo pavyzdžio. Norint sutvarkyti internetą, reikia arba vieno iš tokio plėtinio metodų demonstravimo, arba aprašymo, kodėl tai neįmanoma.
Straipsnis parašytas tęsiant tendenciją:
Atsisakymas
Šio straipsnio tikslas – „žmonių kalba“ paaiškinti, kaip veikia pagrindiniai matematikos pagrindai, susisteminti žinias ir atkurti praleistus priežasties ir pasekmės ryšius tarp matematikos skyrių. Visi argumentai yra filosofiniai, vertinimų požiūriu jie skiriasi nuo visuotinai priimtų (taigi, nepretenduoja į matematiškai griežtą). Straipsnis skirtas skaitytojo lygiui „prieš daugelį metų praėjo bokštą“.Pageidautina, bet neprivaloma suprasti aritmetinės, elementariosios, bendrosios ir tiesinės algebros, matematinės ir nestandartinės analizės, aibių teorijos, bendrosios topologijos, projekcinės ir afininės geometrijos principus.
Eksperimentų metu nebuvo paveikta nei viena begalybė.
Prologas
„Anapus“ yra natūralus naujų žinių paieškos procesas. Tačiau ne kiekviena paieška atneša naujų žinių ir todėl naudos.1. Apskritai, viskas jau buvo padalinta iki mūsų!
1.1 Afininis skaičių eilutės pratęsimas
Pradėkime nuo to, kur tikriausiai visi nuotykių ieškotojai pradeda dalyti iš nulio. Prisiminkite funkcijos grafiką
.
Į kairę ir į dešinę nuo nulio funkcija eina skirtingomis „neegzistavimo“ kryptimis. Pačiame nulyje paprastai yra „sūkurys“ ir nieko nesimato.
Užuot stačia galva mėtęsi į „baseiną“, pažiūrėkime, kas įteka, o kas iš ten. Tam naudojame limitą – pagrindinį matematinės analizės įrankį. Pagrindinė „gudrybė“ yra ta, kad riba leidžia eiti į duotą tašką kuo arčiau, bet ne „įžengti ant jo“. Tokia "tvora" priešais "sūkurį".
Originalus
Gerai, "tvora" buvo pastatyta. Jau nebe taip baisu. Turime du kelius į „sūkurį“. Eikime į kairę – staigus nusileidimas, į dešinę – staigus pakilimas. Kad ir kiek eitum prie „tvoros“, ji nepriartėja. Jokiu būdu negalima kirsti apatinės ir viršutinės „nebuvimo“. Kyla įtarimų, gal einame ratu? Nors ne, skaičiai keičiasi, tad ne ratu. Dar knaisiokimės krūtinėje su matematinės analizės įrankiais. Be apribojimų su „tvorele“, komplekte yra teigiama ir neigiama begalybė. Vertės yra visiškai abstrakčios (ne skaičiai), gerai formalizuotos ir paruoštos naudoti! Mums tai tinka. Papildykime savo „būtį“ (realiųjų skaičių aibę) dviem begalybėmis, pažymėtomis ženkle.
Matematinė kalba:
Būtent šis išplėtimas leidžia perimti ribą, kai argumentas linkęs į begalybę ir gauti begalybę dėl ribos.Yra dvi matematikos šakos, apibūdinančios tą patį dalyką naudojant skirtingą terminiją.
Apibendrinti:
sausose likučiuose. Senieji metodai nebeveikia. Padidėjo sistemos sudėtingumas, išreikštas „jeigu“, „visiems, išskyrus“ ir kt. Turėjome tik dvi neapibrėžtis 1/0 ir 0/0 (neįvertinome galios operacijų), todėl buvo penkios. Vieno neapibrėžtumo atskleidimas sukėlė dar daugiau neaiškumų.
1.2 Ratas
Viskas nesustojo ties nepasirašytos begalybės įvedimu. Norint ištrūkti iš netikrumo, reikia antro vėjo.Taigi, turime realiųjų skaičių rinkinį ir dvi neapibrėžtis 1/0 ir 0/0. Norėdami pašalinti pirmąjį, atlikome tikrosios linijos projekcinį pratęsimą (tai yra, įvedėme beženklę begalybę). Pabandykime susitvarkyti su antrąja formos 0/0 neapibrėžtimi. Darykime taip pat. Papildykime skaičių aibę nauju elementu, vaizduojančiu antrąją neapibrėžtį.
Dalybos apibrėžimas grindžiamas daugyba. Mums tai netinka. Atsiekime operacijas vienas nuo kito, bet išsaugokime įprastą realiųjų skaičių elgesį. Apibrėžkime vienkartinę padalijimo operaciją, pažymėtą „/“.
Apibrėžkime operacijas.
Ši konstrukcija vadinama „ratu“. Terminas paimtas dėl panašumo su topologiniu tikrosios tiesės ir taško 0/0 projekcinio tęsinio paveikslu.
Viskas atrodo gerai, bet velnias slypi detalėse:
Norint išspręsti visas savybes, be elementų rinkinio išplėtimo, pridedama ne viena, o dvi tapatybės, apibūdinančios paskirstymo dėsnį.
Matematinė kalba:Bendrosios algebros požiūriu mes dirbome lauke . O lauke, kaip žinote, apibrėžiamos tik dvi operacijos (sudėtis ir daugyba). Padalinimo sąvoka išvedama per atvirkštinius, o jei net giliau, tai pavienius elementus. Atlikti pakeitimai mūsų algebrinę sistemą paverčia monoidu tiek sudėjimo (kai neutralus elementas yra nulis), tiek daugybos (kai vienetas yra neutralus elementas) operacija.Atradėjų darbuose ne visada naudojami simboliai ∞ ir ⊥. Vietoj to galite matyti įrašą formomis /0 ir 0/0.
Pasaulis nebėra toks gražus, ar ne? Vis dėlto neskubėkite. Patikrinkime, ar naujosios paskirstymo dėsnio tapatybės susidoros su mūsų išplėstiniu rinkiniu.
Šį kartą rezultatas daug geresnis.Apibendrinti:
sausose likučiuose. Algebra veikia puikiai. Tačiau „neapibrėžta“ sąvoka buvo paimta kaip pagrindas, kuris pradėtas laikyti kažkuo egzistuojančiu ir su juo operuoti. Vieną dieną kas nors pasakys, kad viskas blogai ir reikia suskaidyti šį „neapibrėžtą“ į dar kelis „neapibrėžtus“, bet mažesnius.Bendroji algebra pasakys: „No problem, Bro!“.
Taip postuluojami papildomi (j ir k) įsivaizduojami vienetai kvaternionuose Pridėkite žymes
Jie sako, kad galite padalyti iš nulio, jei nustatote padalijimo iš nulio rezultatą. Tiesiog reikia išplėsti algebrą. Dėl keisto sutapimo nepavyksta rasti bent vieno, bet geriau suprantamo ir paprasto tokio pratęsimo pavyzdžio. Norint sutvarkyti internetą, reikia arba vieno iš tokio plėtinio metodų demonstravimo, arba aprašymo, kodėl tai neįmanoma.
Straipsnis parašytas tęsiant tendenciją:
Atsisakymas
Šio straipsnio tikslas – „žmonių kalba“ paaiškinti, kaip veikia pagrindiniai matematikos pagrindai, susisteminti žinias ir atkurti praleistus priežasties ir pasekmės ryšius tarp matematikos skyrių. Visi argumentai yra filosofiniai, vertinimų požiūriu jie skiriasi nuo visuotinai priimtų (taigi, nepretenduoja į matematiškai griežtą). Straipsnis skirtas skaitytojo lygiui „prieš daugelį metų praėjo bokštą“.Pageidautina, bet neprivaloma suprasti aritmetinės, elementariosios, bendrosios ir tiesinės algebros, matematinės ir nestandartinės analizės, aibių teorijos, bendrosios topologijos, projekcinės ir afininės geometrijos principus.
Eksperimentų metu nebuvo paveikta nei viena begalybė.
Prologas
„Anapus“ yra natūralus naujų žinių paieškos procesas. Tačiau ne kiekviena paieška atneša naujų žinių ir todėl naudos.1. Apskritai, viskas jau buvo padalinta iki mūsų!
1.1 Afininis skaičių eilutės pratęsimas
Pradėkime nuo to, kur tikriausiai visi nuotykių ieškotojai pradeda dalyti iš nulio. Prisiminkite funkcijos grafiką.
Į kairę ir į dešinę nuo nulio funkcija eina skirtingomis „neegzistavimo“ kryptimis. Pačiame nulyje paprastai yra „sūkurys“ ir nieko nesimato.
Užuot stačia galva mėtęsi į „baseiną“, pažiūrėkime, kas įteka, o kas iš ten. Tam naudojame limitą – pagrindinį matematinės analizės įrankį. Pagrindinė „gudrybė“ yra ta, kad riba leidžia eiti į duotą tašką kuo arčiau, bet ne „įžengti ant jo“. Tokia "tvora" priešais "sūkurį".
Originalus
Gerai, "tvora" buvo pastatyta. Jau nebe taip baisu. Turime du kelius į „sūkurį“. Eikime į kairę – staigus nusileidimas, į dešinę – staigus pakilimas. Kad ir kiek eitum prie „tvoros“, ji nepriartėja. Jokiu būdu negalima kirsti apatinės ir viršutinės „nebuvimo“. Kyla įtarimų, gal einame ratu? Nors ne, skaičiai keičiasi, tad ne ratu. Dar knaisiokimės krūtinėje su matematinės analizės įrankiais. Be apribojimų su „tvorele“, komplekte yra teigiama ir neigiama begalybė. Vertės yra visiškai abstrakčios (ne skaičiai), gerai formalizuotos ir paruoštos naudoti! Mums tai tinka. Papildykime savo „būtį“ (realiųjų skaičių aibę) dviem begalybėmis, pažymėtomis ženkle.
Matematinė kalba:
Būtent šis išplėtimas leidžia perimti ribą, kai argumentas linkęs į begalybę ir gauti begalybę dėl ribos.Yra dvi matematikos šakos, apibūdinančios tą patį dalyką naudojant skirtingą terminiją.
Apibendrinti:
sausose likučiuose. Senieji metodai nebeveikia. Padidėjo sistemos sudėtingumas, išreikštas „jeigu“, „visiems, išskyrus“ ir kt. Turėjome tik dvi neapibrėžtis 1/0 ir 0/0 (neįvertinome galios operacijų), todėl buvo penkios. Vieno neapibrėžtumo atskleidimas sukėlė dar daugiau neaiškumų.
1.2 Ratas
Viskas nesustojo ties nepasirašytos begalybės įvedimu. Norint ištrūkti iš netikrumo, reikia antro vėjo.Taigi, turime realiųjų skaičių rinkinį ir dvi neapibrėžtis 1/0 ir 0/0. Norėdami pašalinti pirmąjį, atlikome tikrosios linijos projekcinį pratęsimą (tai yra, įvedėme beženklę begalybę). Pabandykime susitvarkyti su antrąja formos 0/0 neapibrėžtimi. Darykime taip pat. Papildykime skaičių aibę nauju elementu, vaizduojančiu antrąją neapibrėžtį.
Dalybos apibrėžimas grindžiamas daugyba. Mums tai netinka. Atsiekime operacijas vienas nuo kito, bet išsaugokime įprastą realiųjų skaičių elgesį. Apibrėžkime vienkartinę padalijimo operaciją, pažymėtą „/“.
Apibrėžkime operacijas.
Ši konstrukcija vadinama „ratu“. Terminas paimtas dėl panašumo su topologiniu tikrosios tiesės ir taško 0/0 projekcinio tęsinio paveikslu.
Viskas atrodo gerai, bet velnias slypi detalėse:
Norint išspręsti visas savybes, be elementų rinkinio išplėtimo, pridedama ne viena, o dvi tapatybės, apibūdinančios paskirstymo dėsnį.
Matematinė kalba:Bendrosios algebros požiūriu mes dirbome lauke . O lauke, kaip žinote, apibrėžiamos tik dvi operacijos (sudėtis ir daugyba). Padalinimo sąvoka išvedama per atvirkštinius, o jei net giliau, tai pavienius elementus. Atlikti pakeitimai mūsų algebrinę sistemą paverčia monoidu tiek sudėjimo (kai neutralus elementas yra nulis), tiek daugybos (kai vienetas yra neutralus elementas) operacija.Atradėjų darbuose ne visada naudojami simboliai ∞ ir ⊥. Vietoj to galite matyti įrašą formomis /0 ir 0/0.
Pasaulis nebėra toks gražus, ar ne? Vis dėlto neskubėkite. Patikrinkime, ar naujosios paskirstymo dėsnio tapatybės susidoros su mūsų išplėstiniu rinkiniu
Šį kartą rezultatas daug geresnis.Apibendrinti:
sausose likučiuose. Algebra veikia puikiai. Tačiau „neapibrėžta“ sąvoka buvo paimta kaip pagrindas, kuris pradėtas laikyti kažkuo egzistuojančiu ir su juo operuoti. Vieną dieną kas nors pasakys, kad viskas blogai ir reikia suskaidyti šį „neapibrėžtą“ į dar kelis „neapibrėžtus“, bet mažesnius.Bendroji algebra pasakys: „No problem, Bro!“.
Taip postuluojami papildomi (j ir k) įsivaizduojami vienetai kvaternionuose Pridėkite žymes