Tema: "Poligoni. Vrste mnogokotnikov"
9. razred
SL št.20
Učitelj: Kharitonovič T.I. Namen lekcije: preučevanje vrst poligonov.
Učna naloga: posodobiti, razširiti in posplošiti znanje učencev o mnogokotnikih; oblikovati idejo o "sestavnih delih" poligona; opravi študijo števila sestavnih elementov pravilnih poligonov (od trikotnika do n-kotnika);
Razvojna naloga: razvijajo zmožnost analiziranja, primerjanja, sklepanja, razvijajo računalniške sposobnosti, ustni in pisni matematični govor, spomin ter samostojnost pri razmišljanju in učnih dejavnostih, zmožnost dela v paru in skupini; razvijati raziskovalno in izobraževalno dejavnost;
Učna naloga: gojiti samostojnost, aktivnost, odgovornost za dodeljeno nalogo, vztrajnost pri doseganju cilja.
Oprema: interaktivna tabla (predstavitev)
Med poukom
Prikaži predstavitev: "Poligoni"
"Narava govori jezik matematike, črke tega jezika ... matematične figure." G. Gallilei
Na začetku lekcije je razred razdeljen na delovne skupine (v našem primeru razdelitev na 3 skupine)
1. Stopnja klica -
a) posodabljanje znanja študentov o temi;
b) prebujanje zanimanja za obravnavano temo, motivacija vsakega študenta za učne dejavnosti.
Sprejem: Igra "Ali verjameš, da ...", organizacija dela z besedilom.
Oblike dela: frontalna, skupinska.
"Ali verjameš, da ..."
1. ... beseda "poligon" pomeni, da imajo vse figure te družine "veliko vogalov"?
2. … ali trikotnik pripada veliki družini mnogokotnikov, ki se razlikujejo od različnih geometrijskih oblik na ravnini?
3. …je kvadrat pravilen osmerokotnik (štiri stranice + štirje vogali)?
Danes bomo v lekciji govorili o poligonih. Izvemo, da je ta lik omejen s sklenjeno lomljeno črto, ta pa je lahko preprosta, sklenjena. Pogovorimo se o tem, da so poligoni ravni, pravilni, konveksni. Eden od ploščatih poligonov je trikotnik, ki ga poznate že dolgo (učencem lahko pokažete plakate, ki prikazujejo mnogokotnike, lomljeno črto, prikažete njihove različne vrste, lahko uporabite tudi TCO).
2. Stopnja razumevanja
Namen: pridobivanje novih informacij, njihovo razumevanje, izbor.
Sprejem: cikcak.
Oblike dela: individualno->par->skupina.
Vsaka skupina dobi besedilo na temo lekcije, besedilo pa je zasnovano tako, da vključuje tako učencem že znane informacije kot povsem nove informacije. Skupaj z besedilom učenci dobijo vprašanja, na katera morajo odgovore najti v tem besedilu.
Poligoni. Vrste mnogokotnikov.
Kdo še ni slišal za skrivnostni Bermudski trikotnik, kjer brez sledu izginjajo ladje in letala? Toda trikotnik, ki ga poznamo iz otroštva, je poln veliko zanimivih in skrivnostnih stvari.
Poleg že znanih nam vrst trikotnikov, razdeljenih po stranicah (razmerno, enakokraki, enakostranični) in kotih (ostrokotni, tupokotni, pravokotni), spada trikotnik v veliko družino mnogokotnikov, ki jih ločimo med veliko različnih geometrijskih oblik na ravnini.
Beseda "poligon" pomeni, da imajo vse figure te družine "veliko vogalov". Toda to ni dovolj za karakterizacijo figure.
Zlomljena črta A1A2…An je figura, ki je sestavljena iz točk A1,A2,…An in odsekov A1A2, A2A3,…, ki ju povezujejo. Točke imenujemo oglišča lomljene črte, odseke pa členke lomljene črte. (SLIKA 1)
Zlomljena črta se imenuje preprosta, če nima samopresečišč (sl. 2,3).
Zlomljena črta se imenuje zaprta, če njeni konci sovpadajo. Dolžina zlomljene črte je vsota dolžin njenih povezav (slika 4)
Enostavno zaprto lomljeno črto imenujemo mnogokotnik, če njeni sosednji členi ne ležijo na isti ravni črti (slika 5).
V besedo "poligon" namesto dela "mnogo" nadomestite določeno številko, na primer 3. Dobili boste trikotnik. Ali 5. Potem - peterokotnik. Upoštevajte, da je toliko kotov, kolikor je stranic, zato bi te figure lahko imenovali večstranice.
Oglišča človeške črte imenujemo oglišča mnogokotnika, členi človeške črte pa stranice mnogokotnika.
Poligon deli ravnino na dve področji: notranjo in zunanjo (slika 6).
Ravninski poligon ali mnogokotno območje je končen del ravnine, ki ga omejuje mnogokotnik.
Dve točki mnogokotnika, ki sta koncu iste stranice, imenujemo sosedi. Oglišča, ki niso konca ene stranice, niso sosednja.
Mnogokotnik z n oglišči in s tem n stranicami se imenuje n-kotnik.
Čeprav je najmanjše število strani mnogokotnika 3. Toda trikotniki, ki se povezujejo med seboj, lahko tvorijo druge oblike, ki so posledično tudi poligoni.
Odseki, ki povezujejo nesosednja oglišča mnogokotnika, se imenujejo diagonale.
Mnogokotnik se imenuje konveksen, če leži v eni polravnini glede na katero koli premico, ki vsebuje njegovo stranico. V tem primeru velja, da premica sama pripada POLRAVNINI
Kot konveksnega mnogokotnika pri danem oglišču je kot, ki ga tvorijo njegove stranice, ki se stekajo v tem oglišču.
Dokažimo izrek (o vsoti kotov konveksnega n-kotnika): Vsota kotov konveksnega n-kotnika je enaka 1800*(n - 2).
Dokaz. V primeru n=3 je izrek resničen. Naj bo A1А2…А n dani konveksni mnogokotnik in n>3. Vanj narišimo diagonale (iz enega oglišča). Ker je mnogokotnik konveksen, ga te diagonale delijo na n - 2 trikotnika. Vsota kotov mnogokotnika je enaka vsoti kotov vseh teh trikotnikov. Vsota kotov vsakega trikotnika je 1800, število teh trikotnikov pa je n - 2. Zato je vsota kotov konveksnega n - kota A1A2 ... A n 1800 * (n - 2). Izrek je dokazan.
Zunanji kot konveksnega mnogokotnika pri danem oglišču je kot, ki meji na notranji kot mnogokotnika pri tem oglišču.
Konveksni mnogokotnik se imenuje pravilen, če so vse stranice enake in vsi koti enaki.
Torej kvadrat lahko imenujemo drugače - navaden štirikotnik. Pravilni so tudi enakostranični trikotniki. Takšne figure so že dolgo zanimale mojstre, ki so okrasili stavbe. Izdelali so čudovite vzorce, na primer na parketu. Toda vseh pravilnih mnogokotnikov ni mogoče uporabiti za oblikovanje parketa. Parketa ni mogoče oblikovati iz pravilnih osmerokotnikov. Dejstvo je, da ima vsak kot enak 1350. In če je katera koli točka oglišče dveh takih osmerokotnikov, potem bosta imela 2700, tretjega osmerokotnika pa ni nikamor: 3600 - 2700 = 900. Toda za kvadrat to je dovolj. Zato je možno zložiti parket iz pravilnih osmerokotnikov in kvadratov.
Zvezde so pravilne. Naša peterokraka zvezda je navadna peterokotna zvezda. In če kvadrat zavrtite okoli središča za 450, dobite navadno osmerokotno zvezdo.
Kaj je prekinjena črta? Pojasnite, kaj so oglišča in členi lomljene črte.
Katera lomljena črta se imenuje preprosta?
Katera lomljena črta se imenuje sklenjena?
Kaj je poligon? Kako se imenujejo oglišča mnogokotnika? Kakšne so stranice mnogokotnika?
Kaj je ravni mnogokotnik? Navedite primere mnogokotnikov.
Kaj je n-gon?
Pojasni, katera oglišča mnogokotnika so sosednja in katera ne.
Kaj je diagonala mnogokotnika?
Kaj je konveksni mnogokotnik?
Pojasni, kateri vogali mnogokotnika so zunanji in kateri notranji?
Kaj je pravilni mnogokotnik? Navedite primere pravilnih mnogokotnikov.
Kolikšna je vsota kotov konveksnega n-kotnika? Dokaži.
Študenti delajo z besedilom, iščejo odgovore na zastavljena vprašanja, po katerih se oblikujejo strokovne skupine, v katerih poteka delo na istih vprašanjih: študentje izpostavijo glavno, pripravijo podporni povzetek, predstavijo informacije v enem od grafične oblike. Po koncu dela se učenci vrnejo v svoje delovne skupine.
3. Faza refleksije -
a) ocenjevanje njihovega znanja, izziv na naslednjo stopnjo znanja;
b) razumevanje in prisvajanje prejetih informacij.
Recepcija: raziskovalno delo.
Oblike dela: individualno->par->skupina.
Delovne skupine so strokovnjaki za odgovore na posamezno poglavje predlaganih vprašanj.
Po vrnitvi v delovno skupino strokovnjak predstavi druge člane skupine z odgovori na njihova vprašanja. V skupini poteka izmenjava informacij vseh članov delovne skupine. Tako se v vsaki delovni skupini, zahvaljujoč delu strokovnjakov, oblikuje splošna ideja o obravnavani temi.
Raziskovalno delo študentov- izpolnjevanje tabele.
Pravilni mnogokotniki Risba Število stranic Število oglišč Vsota vseh notranjih kotov Stopinjska mera notranjega. kot Stopinjska mera zunanjega kota Število diagonal
A) trikotnik
B) štirikotnik
B) s petimi luknjami
D) šesterokotnik
E) n-kotnik
Reševanje zanimivih problemov na temo lekcije.
1) Koliko stranic ima pravilni mnogokotnik, katerega notranji kot je enak 1350?
2) V določenem mnogokotniku so vsi notranji koti med seboj enaki. Ali je lahko vsota notranjih kotov tega mnogokotnika: 3600, 3800?
3) Ali je mogoče sestaviti peterokotnik s koti 100,103,110,110,116 stopinj?
Povzetek lekcije.
Snemanje domače naloge: STR66-72 št. 15,17 IN NALOGA: v ŠTIRIKOTNIK NARIŠI DIREKTNICO TAKO, DA JO RAZDELI NA TRI TRIKOTNIKE.
Refleksija v obliki testov (na interaktivni tabli)
Predmet, starost učencev: geometrija, 9. razred
Namen lekcije: preučevanje vrst poligonov.
Učna naloga: obnoviti, razširiti in posplošiti znanje učencev o mnogokotnikih; oblikovati idejo o "sestavnih delih" poligona; opravi študijo števila sestavnih elementov pravilnih poligonov (od trikotnika do n-kotnika);
Razvijalna naloga: razvijati zmožnost analiziranja, primerjanja, sklepanja, razvijati računalniške sposobnosti, ustni in pisni matematični govor, spomin, pa tudi samostojnost pri razmišljanju in učnih dejavnostih, sposobnost dela v parih in skupinah; razvijati raziskovalno in izobraževalno dejavnost;
Vzgojna naloga: vzgajati neodvisnost, aktivnost, odgovornost za dodeljeno nalogo, vztrajnost pri doseganju cilja.
Med predavanji: na tablo je napisan citat
"Narava govori jezik matematike, črke tega jezika ... matematične figure." G. Gallilei
Na začetku lekcije je razred razdeljen na delovne skupine (v našem primeru razdelitev na skupine po 4 osebe - število članov skupine je enako številu skupin vprašanj).
1. Stopnja klica -
Cilji:
a) posodabljanje znanja študentov o temi;
b) prebujanje zanimanja za obravnavano temo, motivacija vsakega študenta za učne dejavnosti.
Sprejem: Igra "Ali verjameš, da ...", organizacija dela z besedilom.
Oblike dela: frontalna, skupinska.
"Ali verjameš, da ..."
1. ... beseda "poligon" pomeni, da imajo vse figure te družine "veliko vogalov"?
2. … trikotnik pripada veliki družini mnogokotnikov, ki se razlikujejo med številnimi različnimi geometrijskimi oblikami na ravnini?
3. …je kvadrat pravilen osmerokotnik (štiri stranice + štirje vogali)?
Danes bomo v lekciji govorili o poligonih. Izvemo, da je ta lik omejen s sklenjeno lomljeno črto, ta pa je lahko preprosta, sklenjena. Pogovorimo se o tem, da so poligoni ravni, pravilni, konveksni. Eden od ploščatih poligonov je trikotnik, ki ga poznate že dolgo (učencem lahko pokažete plakate, ki prikazujejo mnogokotnike, lomljeno črto, prikažete njihove različne vrste, lahko uporabite tudi TCO).
2. Stopnja razumevanja
Namen: pridobivanje novih informacij, njihovo razumevanje, izbor.
Sprejem: cikcak.
Oblike dela: individualno->par->skupina.
Vsaka skupina dobi besedilo na temo lekcije, besedilo pa je zasnovano tako, da vključuje tako učencem že znane informacije kot povsem nove informacije. Skupaj z besedilom učenci dobijo vprašanja, na katera morajo odgovore najti v tem besedilu.
Poligoni. Vrste mnogokotnikov.
Kdo še ni slišal za skrivnostni Bermudski trikotnik, kjer brez sledu izginjajo ladje in letala? Toda trikotnik, ki ga poznamo iz otroštva, je poln veliko zanimivih in skrivnostnih stvari.
Poleg že znanih nam vrst trikotnikov, razdeljenih po stranicah (razmerno, enakokraki, enakostranični) in kotih (ostrokotni, tupokotni, pravokotni), spada trikotnik v veliko družino mnogokotnikov, ki jih ločimo med veliko različnih geometrijskih oblik na ravnini.
Beseda "poligon" pomeni, da imajo vse figure te družine "veliko vogalov". Toda to ni dovolj za karakterizacijo figure.
Zlomljena črta A 1 A 2 ... A n je lik, ki je sestavljen iz točk A 1, A 2, ... A n in odsekov A 1 A 2, A 2 A 3, ..., ki jih povezujejo. Točke imenujemo oglišča lomljene črte, odseke pa členke lomljene črte. (slika 1)
Zlomljena črta se imenuje preprosta, če nima samopresečišč (sl. 2,3).
Zlomljena črta se imenuje zaprta, če njeni konci sovpadajo. Dolžina lomljene črte je vsota dolžin njenih členov (slika 4).
Enostavno zaprto lomljeno črto imenujemo mnogokotnik, če njeni sosednji členi ne ležijo na isti ravni črti (slika 5).
V besedo "poligon" namesto dela "mnogo" nadomestite določeno številko, na primer 3. Dobili boste trikotnik. Ali 5. Potem - peterokotnik. Upoštevajte, da je toliko kotov, kolikor je stranic, zato bi te figure lahko imenovali večstranice.
Oglišča človeške črte imenujemo oglišča mnogokotnika, členi človeške črte pa stranice mnogokotnika.
Poligon deli ravnino na dve področji: notranjo in zunanjo (slika 6).
Ravninski poligon ali mnogokotno območje je končen del ravnine, ki ga omejuje mnogokotnik.
Dve točki mnogokotnika, ki sta koncu iste stranice, imenujemo sosedi. Oglišča, ki niso konca ene stranice, niso sosednja.
Mnogokotnik z n oglišči in s tem n stranicami se imenuje n-kotnik.
Čeprav je najmanjše število strani mnogokotnika 3. Toda trikotniki, ki se povezujejo med seboj, lahko tvorijo druge oblike, ki so posledično tudi poligoni.
Odseki, ki povezujejo nesosednja oglišča mnogokotnika, se imenujejo diagonale.
Mnogokotnik se imenuje konveksen, če leži v eni polravnini glede na katero koli premico, ki vsebuje njegovo stranico. V tem primeru velja, da premica sama pripada polravnini.
Kot konveksnega mnogokotnika pri danem oglišču je kot, ki ga tvorijo njegove stranice, ki se stekajo v tem oglišču.
Dokažimo izrek (o vsoti kotov konveksnega n-kotnika): Vsota kotov konveksnega n-kotnika je enaka 180 0 *(n - 2).
Dokaz. V primeru n=3 je izrek resničen. Naj bo A 1 А 2 …А n dani konveksni mnogokotnik in n>3. Vanj narišimo diagonale (iz enega oglišča). Ker je mnogokotnik konveksen, ga te diagonale delijo na n - 2 trikotnika. Vsota kotov mnogokotnika je enaka vsoti kotov vseh teh trikotnikov. Vsota kotov vsakega trikotnika je 180 0, število teh trikotnikov pa je n - 2. Zato je vsota kotov konveksnega n-kotnika A 1 A 2 ... A n 180 0 * ( n - 2). Izrek je dokazan.
Zunanji kot konveksnega mnogokotnika pri danem oglišču je kot, ki meji na notranji kot mnogokotnika pri tem oglišču.
Konveksni mnogokotnik se imenuje pravilen, če so vse stranice enake in vsi koti enaki.
Torej kvadrat lahko imenujemo drugače - navaden štirikotnik. Pravilni so tudi enakostranični trikotniki. Takšne figure so že dolgo zanimale mojstre, ki so okrasili stavbe. Izdelali so čudovite vzorce, na primer na parketu. Toda vseh pravilnih mnogokotnikov ni mogoče uporabiti za oblikovanje parketa. Parketa ni mogoče oblikovati iz pravilnih osmerokotnikov. Dejstvo je, da ima vsak kot enak 135 0. In če je katera koli točka vrh dveh takšnih osmerokotnikov, potem bosta imela 270 0, tretji osmerokotnik pa se ne more nikamor prilegati: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Ampak dovolj za kvadrat. Zato je možno zložiti parket iz pravilnih osmerokotnikov in kvadratov.
Zvezde so pravilne. Naša peterokraka zvezda je navadna peterokotna zvezda. In če kvadrat zavrtite okoli središča za 45 0, dobite navadno osmerokotno zvezdo.
1 skupina
Kaj je prekinjena črta? Pojasnite, kaj so oglišča in členi lomljene črte.
Katera lomljena črta se imenuje preprosta?
Katera lomljena črta se imenuje sklenjena?
Kaj je poligon? Kako se imenujejo oglišča mnogokotnika? Kakšne so stranice mnogokotnika?
2 skupina
Kaj je ravni mnogokotnik? Navedite primere mnogokotnikov.
Kaj je n-gon?
Pojasni, katera oglišča mnogokotnika so sosednja in katera ne.
Kaj je diagonala mnogokotnika?
3 skupina
Kaj je konveksni mnogokotnik?
Pojasni, kateri vogali mnogokotnika so zunanji in kateri notranji?
Kaj je pravilni mnogokotnik? Navedite primere pravilnih mnogokotnikov.
4 skupina
Kolikšna je vsota kotov konveksnega n-kotnika? Dokaži.
Študenti delajo z besedilom, iščejo odgovore na zastavljena vprašanja, po katerih se oblikujejo strokovne skupine, v katerih poteka delo na istih vprašanjih: študentje izpostavijo glavno, pripravijo podporni povzetek, predstavijo informacije v enem od grafične oblike. Po koncu dela se učenci vrnejo v svoje delovne skupine.
3. Faza refleksije -
a) ocenjevanje njihovega znanja, izziv na naslednjo stopnjo znanja;
b) razumevanje in prisvajanje prejetih informacij.
Recepcija: raziskovalno delo.
Oblike dela: individualno->par->skupina.
Delovne skupine so strokovnjaki za odgovore na posamezno poglavje predlaganih vprašanj.
Po vrnitvi v delovno skupino strokovnjak predstavi druge člane skupine z odgovori na njihova vprašanja. V skupini poteka izmenjava informacij vseh članov delovne skupine. Tako se v vsaki delovni skupini, zahvaljujoč delu strokovnjakov, oblikuje splošna ideja o obravnavani temi.
Raziskovalno delo študentov – izpolnjevanje tabele.
| Pravilni poligoni | risanje | Število stranic | Število vrhov | Vsota vseh notranjih kotov | Stopinjska mera notr. kota | Stopinjska mera zunanjega kota | Število diagonal |
| A) trikotnik | |||||||
| B) štirikotnik | |||||||
| B) petostenski | |||||||
| D) šesterokotnik | |||||||
| E) n-kotnik |
Reševanje zanimivih problemov na temo lekcije.
- V štirikotnik nariši črto, ki bo razdeljena na tri trikotnike.
- Koliko stranic ima pravilni mnogokotnik, katerega notranji kot je enak 135 0?
- V določenem mnogokotniku so vsi notranji koti med seboj enaki. Ali je lahko vsota notranjih kotov tega mnogokotnika: 360 0 , 380 0 ?
Povzetek lekcije. Snemanje domačih nalog.
Vrste poligonov:
Štirikotniki
Štirikotniki, so sestavljeni iz 4 strani in vogalov.
Strani in koti, ki so drug proti drugemu, se imenujejo nasprotje.
Diagonale delijo konveksne štirikotnike na trikotnike (glej sliko).
Vsota kotov konveksnega štirikotnika je 360° (po formuli: (4-2)*180°).
paralelogrami
Paralelogram je konveksen štirikotnik z nasprotnimi vzporednimi stranicami (na sliki oštevilčen z 1).
Nasprotni stranici in koti v paralelogramu so vedno enaki.
In diagonale na presečišču so razdeljene na pol.
Trapez
Trapez je tudi štirikotnik in trapez le dve strani sta vzporedni, ki se imenujeta razlogov. Druge strani so straneh.
Trapez na sliki je oštevilčen z 2 in 7.
Kot v trikotniku:
Če sta stranici enaki, potem je trapez enak enakokraki;
Če je eden od kotov pravi, potem je trapez pravi pravokotne.
Vzdolžina trapeza je polovica vsote osnov in je vzporedna z njimi.
Romb
Romb je paralelogram z enakimi stranicami.
Poleg lastnosti paralelograma imajo rombovi svojo posebno lastnost - diagonali romba sta pravokotni drug drugega in razpolovite vogale romba.
Na sliki je romb oštevilčen s 5.
Pravokotniki
Pravokotnik- to je paralelogram, v katerem je vsak kot pravi (glej sliko pod številko 8).
Poleg lastnosti paralelograma imajo pravokotniki svojo posebno lastnost - diagonali pravokotnika sta enaki.
kvadrati
kvadrat je pravokotnik z enakimi stranicami (#4).
Ima lastnosti pravokotnika in romba (saj so vse stranice enake).
Del ravnine, ki ga omejuje sklenjena lomljena črta, imenujemo mnogokotnik.
Segmenti te lomljene črte se imenujejo stranke mnogokotnik. AB, BC, CD, DE, EA (slika 1) - stranice mnogokotnika ABCDE. Vsota vseh strani mnogokotnika se imenuje njegova obseg.
Poligon se imenuje konveksen, če se nahaja na eni strani katere koli njegove stranice, razširjene za nedoločen čas čez obe oglišči.
Mnogokotnik MNPKO (slika 1) ne bo konveksen, saj se nahaja na več kot eni strani premice KP.
Upoštevali bomo samo konveksne poligone.
Koti, ki jih tvorita dve sosednji stranici mnogokotnika, se imenujejo njegovi notranji vogali in njihovi vrhovi - oglišča poligona.
Odsek, ki povezuje dve nesosednji oglišči mnogokotnika, se imenuje diagonala mnogokotnika.
AC, AD - diagonale poligona (slika 2).
Vogali, ki mejijo na notranje vogale mnogokotnika, se imenujejo zunanji vogali mnogokotnika (slika 3).
Glede na število kotov (stranic) imenujemo mnogokotnik trikotnik, štirikotnik, peterokotnik itd.
Za dva poligona pravimo, da sta enaka, če ju je mogoče postaviti.
Včrtani in opisani mnogokotniki
Če vsa oglišča mnogokotnika ležijo na krožnici, se mnogokotnik imenuje vpisana v krog in krog opisano blizu poligona (slika).
Če se vse strani mnogokotnika dotikajo kroga, se imenuje mnogokotnik opisano okoli kroga, krog pa se imenuje vpisana v mnogokotnik (sl.).
Podobnost mnogokotnikov
Dva istoimenska mnogokotnika se imenujeta podobna, če sta kota enega od njiju enaka kotom drugega in sta podobni strani mnogokotnikov sorazmerni.
Mnogokotnike z enakim številom stranic (kotov) imenujemo istoimenski mnogokotniki.
Strani podobnih mnogokotnikov se imenujejo podobne, če povezujejo oglišča ustrezno enakih kotov (slika).
Torej, na primer, da je mnogokotnik ABCDE podoben mnogokotniku A'B'C'D'E', je potrebno, da: E = ∠E' in poleg tega AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'.
Obodno razmerje podobnih mnogokotnikov
Najprej razmislite o lastnosti niza enakih razmerij. Vzemimo na primer relacije: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.
Poiščemo vsoto prejšnjih članov teh odnosov, nato - vsoto njihovih naslednjih članov in poiščemo razmerje prejetih vsot, dobimo:
$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$
Enako bomo dobili, če vzamemo številne druge relacije, na primer: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 in nato poiščemo razmerje teh vsot , dobimo:
$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$
V obeh primerih je vsota predhodnih členov niza enakih relacij povezana z vsoto naslednjih členov iste vrste, kot je prejšnji člen katerega koli od teh relacij povezan s svojim naslednjim.
To lastnost smo izpeljali z upoštevanjem številnih numeričnih primerov. Izvedemo ga lahko strogo in v splošni obliki.
Zdaj razmislite o razmerju obsegov podobnih mnogokotnikov.
Naj bo mnogokotnik ABCDE podoben mnogokotniku A'B'C'D'E' (sl.).
Iz podobnosti teh mnogokotnikov izhaja, da
AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'
Na podlagi lastnosti niza enakih relacij, ki smo jih izpeljali, lahko zapišemo:
Vsota prejšnjih členov relacij, ki smo jih vzeli, je obseg prvega poligona (P), vsota naslednjih členov teh relacij pa je obseg drugega mnogokotnika (P '), torej P / P ' = AB / A'B '.
torej obodi podobnih mnogokotnikov so povezani kot njihove ustrezne stranice.
Razmerje ploščin podobnih mnogokotnikov
Naj sta ABCDE in A'B'C'D'E' podobna mnogokotnika (sl.).
Znano je, da ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' in ΔADE ~ ΔA'D'E'.
Poleg tega
Ker sta druga razmerja teh razmerij enaka, kar izhaja iz podobnosti mnogokotnikov, torej
Z uporabo lastnosti serije enakih razmerij dobimo:
kjer sta S in S' ploščini teh podobnih mnogokotnikov.
torej površine podobnih mnogokotnikov so povezane kot kvadrati podobnih stranic.
Nastalo formulo je mogoče pretvoriti v to obliko: S / S '= (AB / A'B ') 2
Območje poljubnega poligona
Naj bo potrebno izračunati površino poljubnega štirikotnika ABDC (sl.).
Vanj narišimo diagonalo, na primer AD. Dobimo dva trikotnika ABD in ACD, katerih ploščini lahko izračunamo. Nato poiščemo vsoto ploščin teh trikotnikov. Dobljena vsota bo izrazila površino danega štirikotnika.
Če morate izračunati površino peterokotnika, potem nadaljujemo na enak način: narišemo diagonale iz ene od oglišč. Dobimo tri trikotnike, katerih ploščine lahko izračunamo. Tako lahko najdemo območje tega peterokotnika. Enako storimo pri izračunu površine katerega koli poligona.
Območje projekcije poligona
Spomnimo se, da je kot med premico in ravnino kot med dano premico in njeno projekcijo na ravnino (slika).
Izrek. Območje pravokotne projekcije poligona na ravnino je enako površini projiciranega mnogokotnika, pomnoženemu s kosinusom kota, ki ga tvorita ravnina poligona in projekcijska ravnina.
Vsak mnogokotnik lahko razdelimo na trikotnike, katerih vsota površin je enaka površini mnogokotnika. Zato zadostuje dokazati izrek za trikotnik.
Naj se ΔABC projicira na ravnino R. Razmislite o dveh primerih:
a) ena od stranic ΔABS je vzporedna z ravnino R;
b) nobena od stranic ΔABC ni vzporedna R.
Razmislite prvi primer: naj [AB] || R.
Nariši skozi (AB) ravnino R 1 || R in pravokotno projiciramo ΔABC na R 1 in naprej R(riž); dobimo ΔABC 1 in ΔA’B’C’.
Po lastnosti projekcije imamo ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’ in torej
S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'
Narišimo ⊥ in odsek D 1 C 1 . Potem je ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ kot med ravnino ΔABC in ravnino R 1. Zato
S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ
in zato S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.
Preidimo na obravnavo drugi primer. Nariši ravnino R 1 || R skozi tisto oglišče ΔАВС, razdalja od katerega do ravnine R najmanjši (naj bo to oglišče A).
Načrtujmo ΔABC na ravnini R 1 in R(riž); naj bosta njegovi projekciji ΔAB 1 C 1 oziroma ΔA’B’C’.
Naj bo (BC) ∩ str 1 = D. Potem
S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ
Drugi materialiLastnosti poligona
Mnogokotnik je geometrijski lik, običajno definiran kot sklenjena poličrta brez samopresečišč (preprost mnogokotnik (slika 1a)), včasih pa so dovoljena samopresečišča (takrat mnogokotnik ni preprost).
Oglišča človeške črte imenujemo oglišča mnogokotnika, odseke pa stranice mnogokotnika. Oglišča mnogokotnika se imenujejo soseda, če so konca ene od njegovih stranic. Odseki, ki povezujejo nesosednja oglišča mnogokotnika, se imenujejo diagonale.
Kot (ali notranji kot) konveksnega mnogokotnika pri danem oglišču je kot, ki ga tvorijo njegove stranice, ki se stekajo v to oglišče, in kot se obravnava s strani mnogokotnika. Zlasti lahko kot preseže 180°, če poligon ni konveksen.
Zunanji kot konveksnega mnogokotnika pri danem oglišču je kot, ki meji na notranji kot mnogokotnika pri tem oglišču. Na splošno je zunanji kot razlika med 180° in notranjim kotom. Iz vsakega oglišča -kotnika za > 3 potekajo - 3 diagonale, torej je skupno število diagonal -kotnika enako.
Poligon s tremi oglišči se imenuje trikotnik, s štirimi - štirikotnik, s petimi - peterokotnik in tako naprej.
Poligon z n vrhovi se imenujejo n- kvadrat.
Ravni mnogokotnik je lik, ki je sestavljen iz mnogokotnika in končnega dela ploskve, ki ga omejuje.
Mnogokotnik se imenuje konveksen, če je izpolnjen eden od naslednjih (enakovrednih) pogojev:
- 1. leži na eni strani poljubne premice, ki povezuje njena sosednja oglišča. (tj. podaljški strani mnogokotnika ne sekajo njegovih drugih strani);
- 2. je presečišče (tj. skupni del) več polravnin;
- 3. vsak segment s konci v točkah, ki pripadajo mnogokotniku, mu v celoti pripada.
Konveksni mnogokotnik se imenuje pravilen, če so vse strani enake in vsi koti enaki, na primer enakostranični trikotnik, kvadrat in peterokotnik.
Pravimo, da je konveksni mnogokotnik včrtan v krog, če se vse njegove stranice dotikajo nekega kroga
Pravilni mnogokotnik je mnogokotnik, v katerem so vsi koti in vse stranice enaki.
Lastnosti poligona:
1 Vsaka diagonala konveksnega -kotnika, kjer je >3, ga razgradi na dva konveksna mnogokotnika.
2 Vsota vseh kotov konveksnega gonila je enaka.
D-in: Dokažimo izrek z metodo matematične indukcije. Za = 3 je očitno. Predpostavimo, da je izrek resničen za -kotnik, kjer je <, in to dokazati za -gon.
Pustiti je podan mnogokotnik. Narišite diagonalo tega mnogokotnika. Po izreku 3 je mnogokotnik razčlenjen na trikotnik in konveksni -kotnik (slika 5). Po indukcijski hipotezi. Na drugi strani, . Seštevanje teh enakosti in upoštevanje tega (- notranji kot žarka ) in (- notranji kot žarka ), dobimo Ko dobimo: .
3 Vsakemu pravilnemu mnogokotniku je mogoče opisati krog in še več, le enega.
D-in: Naj bo pravilni mnogokotnik in in simetrali kotov in (slika 150). Ker je torej * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O. Dokažimo to O = OA 2 = O =… = OA p . Trikotnik O enakokraki, torej O= O. Po drugem kriteriju za enakost trikotnikov je torej O = O. Podobno je dokazano, da O = O itd. Torej bistvo O enako oddaljen od vseh oglišč mnogokotnika, torej krog s središčem O polmer O je opisana okoli mnogokotnika.
Dokažimo zdaj, da obstaja le en opisan krog. Razmislite o treh ogliščih mnogokotnika, na primer A 2 , . Ker skozi te točke poteka le en krog, potem o poligonu … Ne morete opisati več kot enega kroga.
- 4 V kateri koli pravilni mnogokotnik lahko vpišete krog in poleg tega samo enega.
- 5 Pravilnemu mnogokotniku včrtan krog se dotika stranic mnogokotnika v središčih.
- 6 Središče kroga, ki opisuje pravilni mnogokotnik, sovpada s središčem kroga, včrtanega v isti mnogokotnik.
- 7 Simetrija:
Za figuro pravimo, da je simetrična (simetrična), če obstaja takšno gibanje (ne identično), ki to figuro spremeni vase.
- 7.1. Splošni trikotnik nima osi ali središč simetrije, ni simetričen. Enakokraki (vendar ne enakostranični) trikotnik ima eno simetrijsko os: simetralo, pravokotno na osnovo.
- 7.2. Enakostranični trikotnik ima tri simetrične osi (pravokotne simetrale na stranice) in rotacijsko simetrijo okoli središča z rotacijskim kotom 120°.
7.3 Vsak pravilni n-kotnik ima n simetrijskih osi, ki vse potekajo skozi njegovo središče. Ima tudi rotacijsko simetrijo okoli središča z rotacijskim kotom.
celo n nekatere simetrijske osi gredo skozi nasprotna oglišča, druge skozi središča nasprotnih stranic.
Za neparno n vsaka os poteka skozi oglišče in razpolovišče nasprotne stranice.
Središče pravilnega mnogokotnika s sodim številom stranic je njegovo simetrično središče. Pravilni mnogokotnik z lihim številom stranic nima središča simetrije.
8 Podobnost:
S podobnostjo in -gon preide v -kot, polravnina - v polravnino, torej konveksna n-gon postane konveksen n-gon.
Izrek: Če stranice in koti konveksnih mnogokotnikov in izpolnjujejo enakosti:
kje je koeficient stopničk
potem so ti mnogokotniki podobni.
- 8.1 Razmerje obsegov dveh podobnih mnogokotnikov je enako koeficientu podobnosti.
- 8.2. Razmerje ploščin dveh konveksnih podobnih mnogokotnikov je enako kvadratu koeficienta podobnosti.
izrek o obodu mnogokotnika trikotnika