محاضرة حول موضوع "اختبار عمودي طائرتين"
تتيح لنا فكرة المستوى في الفضاء الحصول على سطح طاولة أو جدار على سبيل المثال. ومع ذلك، فإن الطاولة أو الجدار لها أبعاد محدودة، ويمتد المستوى إلى ما وراء حدوده إلى ما لا نهاية.النظر في طائرتين متقاطعتين. عندما تتقاطع، فإنها تشكل أربع زوايا ثنائية السطوح ذات حافة مشتركة.
دعونا نتذكر ما هي زاوية ثنائي السطوح.
في الواقع، نواجه كائنات لها شكل زاوية ثنائية السطوح: على سبيل المثال، باب مفتوح قليلاً أو مجلد نصف مفتوح.
عندما يتقاطع مستويان ألفا وبيتا، نحصل على أربع زوايا ثنائية السطوح. لتكن إحدى الزوايا الثنائية السطوح تساوي (فاي)، فالثانية تساوي (180 0 -)، الثالث، الرابع (180 0 -).
α وβ, 0°< 90 °
خذ بعين الاعتبار الحالة عندما تكون إحدى زوايا ثنائي السطوح 90 0 .
إذن، جميع الزوايا ثنائية السطوح في هذه الحالة تساوي 90 0 .
زاوية ثنائية السطوح بين الطائراتα وβ,
90 درجة
دعونا نقدم تعريف الطائرات المتعامدة:
يسمى المستويان متعامدين إذا كانت زاوية ثنائي السطوح بينهما 90 درجة.
الزاوية بين مستويي سيجما وإبسيلون هي 90 درجة، مما يعني أن المستويين متعامدان
لأن =90 درجة
دعونا نعطي أمثلة على الطائرات المتعامدة.
الجدار والسقف.
الجدار الجانبي وسطح الطاولة.
الجدار والسقف
دعونا نصيغ إشارة عمودية لطائرتين:
النظرية:إذا مر أحد المستويين بخط عمودي على المستوى الآخر، فإن هذين المستويين يكونان متعامدين.
دعونا نثبت هذه العلامة.
وبشرط أنه من المعروف أن الخط المستقيمAM تقع في المستوى α، والخط المستقيم AM عمودي على المستوى β،
أثبت أن المستويين α و β متعامدان.
دليل:
1) الطائرات α وβ تتقاطع على طول الخط المستقيم AR و AM AR، حيث أن AM β حسب الشرط، أي أن AM متعامد مع أي خط مستقيم يقع في المستوى β.
2) دعونا نرسم خطًا مستقيمًا في المستوى βأT عموديأر.
نحصل على الزاوية TأM هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائي السطوح. لكن الزاوية TأM = 90°، لأن MA هو β. لذلك α β.
Q.E.D.
النظرية:إذا مر مستوى عبر خط عمودي على مستوى آخر، فإن هذه المستويات تكون متعامدة.
منح:α، β، AM α، AMβ، AM∩=A
اثبات: αβ.
دليل:
1) α∩β = AR، بينما AM AR، نظرًا لأن AM β حسب الشرط، أي أن AM عمودي على أي خط مستقيم يقع في المستوى β.
2) أي تي بيتا،أتأر.
TAM هي الزاوية الخطية لزاوية ثنائي السطوح. تام = 90 درجة، لأن أماه بيتا. لذلك α β.
Q.E.D
من علامة عمودي طائرتين لدينا نتيجة طبيعية مهمة:
تأثير:المستوى العمودي على الخط الذي تتقاطع فيه طائرتان يكون عموديًا على كل من هذه المستويات.
دعونا نثبت هذه النتيجة الطبيعية: إذا كان مستوى جاما متعامدًا مع الخط c، فبناءً على التوازي بين المستويين، تكون جاما متعامدة مع ألفا. وبالمثل، غاما عمودي على بيتا
أي: إذا كانت α∩β=с وγс، فإن γα وγβ.
لأنγс و сα من علامة التعامد γα.
مشابهة لـ γ β
دعونا نعيد صياغة هذه النتيجة الطبيعية لزاوية ثنائية السطوح:
المستوى الذي يمر عبر الزاوية الخطية لزاوية ثنائية السطوح يكون متعامدًا مع حافة ووجوه هذه الزاوية ثنائية السطوح. بمعنى آخر، إذا قمنا ببناء زاوية خطية لزاوية ثنائية السطوح، فإن المستوى الذي يمر عبرها يكون عموديًا على حافة ووجوه هذه الزاوية ثنائية السطوح.
مهمة.
بالنظر إلى: ΔАВС، С = 90°، АС تقع في المستوى α، الزاوية بين المستويين α واي بي سي= 60°، AC = 5 سم، AB = 13 سم.
أوجد: المسافة من النقطة B إلى المستوى α.
حل:
1) لنقم ببناء VC α. ثم KS هو إسقاط الشمس على هذا المستوى.
2) BC AC (بالشرط) ويعني حسب نظرية الخطوط المتعامدة الثلاثة (TPP) KS AC. لذلك، VSK هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح بين المستوى α ومستوى المثلث ABC. أي أن زاوية VSK = 60 درجة.
3) من ΔBCA حسب نظرية فيثاغورس:
من ΔVKS: 
سيساعد هذا الدرس أولئك الذين يرغبون في فهم موضوع "علامة تعامد المستويين". في البداية، سنكرر تعريف الزوايا ثنائية السطوح والزوايا الخطية. ثم سنفكر في أي المستويات تسمى متعامدة، ونثبت إشارة عمودية طائرتين.
الموضوع: عمودي الخطوط والمستويات
درس: إشارة عمودية مستويين
تعريف. الزاوية ثنائية السطوح هي شكل مكون من نصفي مستويين لا ينتميان إلى نفس المستوى وخطهما المستقيم المشترك أ (أ هي الحافة).
أرز. 1
لنفكر في طائرتين نصفيتين α و β (الشكل 1). حدودهم المشتركة هي l. هذا الشكل يسمى زاوية ثنائي السطوح. تشكل طائرتان متقاطعتان أربع زوايا ثنائية السطوح ذات حافة مشتركة.
يتم قياس الزاوية ثنائية السطوح بزاويتها الخطية. نختار نقطة تعسفية على الحافة المشتركة l لزاوية ثنائي السطوح. في نصفي المستويين α و β، من هذه النقطة نرسم عموديين a و b على الخط المستقيم l ونحصل على الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح.
الخطوط المستقيمة أ و ب تشكل أربع زوايا تساوي φ، 180° - φ، φ، 180° - φ. تذكر أن الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة هي الأصغر بين هذه الزوايا.
تعريف. الزاوية بين المستويات هي أصغر الزوايا ثنائية السطوح التي تشكلها هذه المستويات. φ هي الزاوية بين المستويين α و β، إذا
تعريف. يُطلق على المستويين المتقاطعين اسم عمودي (متعامد متبادل) إذا كانت الزاوية بينهما 90 درجة.
أرز. 2
يتم تحديد نقطة تعسفية M على الحافة l (الشكل 2). دعونا نرسم خطين مستقيمين متعامدين MA = a و MB = b على الحافة l في المستوى α وفي المستوى β على التوالي. لقد حصلنا على الزاوية AMB. الزاوية AMB هي الزاوية الخطية لزاوية ثنائي السطوح. إذا كانت الزاوية AMB تساوي 90 درجة، فإن المستويين α و β يسمىان متعامدين.
الخط b عمودي على الخط l بالبناء. الخط b عمودي على الخط a، لأن الزاوية بين المستويين α و β هي 90 درجة. نجد أن الخط b عمودي على خطين متقاطعين a و l من المستوى α. وهذا يعني أن الخط المستقيم b عمودي على المستوى α.
وبالمثل، يمكننا إثبات أن الخط المستقيم a عمودي على المستوى β. الخط a عمودي على الخط l بالبناء. الخط أ عمودي على الخط ب، لأن الزاوية بين المستويين α و β هي 90 درجة. نجد أن الخط a عمودي على خطين متقاطعين b و l من المستوى β. وهذا يعني أن الخط المستقيم a عمودي على المستوى β.
إذا مر أحد المستويين بخط عمودي على المستوى الآخر، فإن هذين المستويين يكونان متعامدين.
يثبت:
أرز. 3
دليل:
دع المستويين α و β يتقاطعان على طول الخط المستقيم AC (الشكل 3). لإثبات أن المستويين متعامدان بشكل متبادل، عليك إنشاء زاوية خطية بينهما وإظهار أن هذه الزاوية تساوي 90 درجة.
الخط المستقيم AB عمودي على المستوى β، وبالتالي على الخط المستقيم AC الواقع في المستوى β.
دعونا نرسم خطًا مستقيمًا AD عموديًا على الخط المستقيم AC في المستوى β. ثم BAD هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح.
الخط المستقيم AB عمودي على المستوى β، وبالتالي على الخط المستقيم AD الواقع في المستوى β. وهذا يعني أن الزاوية الخطية BAD هي 90 درجة. هذا يعني أن المستويين α و β متعامدان، وهو ما يجب إثباته.
المستوى المتعامد مع الخط الذي تتقاطع فيه طائرتان معينتان يكون عموديًا على كل من هذه المستويات (الشكل 4).
يثبت:
أرز. 4
دليل:
الخط المستقيم l عمودي على المستوى γ، ويمر المستوى α عبر الخط المستقيم l. هذا يعني أنه وفقًا لتعامد المستويات، فإن المستويين α و γ متعامدان.
الخط المستقيم l عمودي على المستوى γ، ويمر المستوى β عبر الخط المستقيم l. هذا يعني أنه وفقًا لعمود المستويين، يكون المستويان β وγ متعامدين.
تعريف.الزاوية ثنائية السطوح هي شكل يتكون من خط مستقيم أ ونصف مستويين مع حد مشترك أ، ولا ينتميان إلى نفس المستوى.
تعريف.قياس درجة الزاوية ثنائية السطوح هو قياس درجة أي من زواياها الخطية.
تعريف.تسمى المستويتان المتقاطعتان عموديتين إذا كانت الزاوية بينهما 90 درجة.
علامة عمودي طائرتين.
ملكيات.
- في الشكل المكعب، جميع الوجوه الستة مستطيلة.
- جميع الزوايا ثنائية السطوح للمكعب هي زوايا قائمة
- مربع قطر متوازي المستطيلات يساوي مجموع مربعات أبعاده الثلاثة.
مشاكل واختبارات حول موضوع "الموضوع 7. "زاوية ثنائي السطوح. عمودي الطائرات."
- زاوية زوجية. عمودي الطائرات
- عمودي الخط والطائرة - عمودي الخطوط والمستويات، الصف 10
الدروس: 1 الواجبات: 10 الاختبارات: 1
- عمودي ومائل. الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى - عمودي الخطوط والمستويات، الصف 10
الدروس: 2 واجبات: 10 اختبارات: 1
- توازي الطائرات - توازي الخطوط والمستويات، الصف العاشر
الدروس: 1 الواجبات: 8 الاختبارات: 1
- خطوط متعامدة - المعلومات الهندسية الأساسية الصف السابع
الدروس: 1 الواجبات: 17 الاختبارات: 1
تلخص المواد المتعلقة بالموضوع وتنظم المعلومات التي تعرفها من قياس التخطيط حول عمودي الخطوط المستقيمة. يُنصح بالجمع بين دراسة النظريات حول العلاقة بين التوازي والعمودي للخطوط المستقيمة والمستويات في الفضاء، وكذلك المواد المتعامدة والمائلة، مع التكرار المنهجي للمادة المقابلة من قياس التخطيط.
تتلخص حلول جميع المسائل الحسابية تقريبًا في تطبيق نظرية فيثاغورس وعواقبها. في العديد من المسائل، يتم تبرير إمكانية استخدام نظرية فيثاغورس أو نتائجها الطبيعية من خلال نظرية المتعامدين الثلاثة أو خصائص التوازي وتعامد المستويات.
مفهوم الطائرات المتعامدة
عندما يتقاطع مستويان، نحصل على زاوية ثنائية السطوح بقيمة 4$. الزاويتان تساويان $\varphi $، والزاويتان الأخريان تساويان $(180)^0-\varphi $.
التعريف 1
الزاوية بين الطائرات هي الحد الأدنى من زوايا ثنائي السطوح التي تشكلها هذه الطائرات.
التعريف 2
يسمى المستويان المتقاطعان متعامدين إذا كانت الزاوية بين هاتين المستويتين تساوي $90^\circ$ (الشكل 1).
الشكل 1. الطائرات المتعامدة
علامة عمودي طائرتين
النظرية 1
إذا كان الخط المستقيم لمستوى ما عموديًا على مستوى آخر، فإن هذه المستويات تكون متعامدة مع بعضها البعض.
دليل.
دعونا نحصل على المستويين $\alpha $ و $\beta $، اللذين يتقاطعان على طول الخط المستقيم $AC$. اجعل الخط المستقيم $AB$ الواقع في المستوى $\alpha $ متعامدًا مع المستوى $\beta $ (الشكل 2).
الشكل 2.
بما أن الخط $AB$ عمودي على المستوى $\beta$، فهو أيضًا عمودي على الخط $AC$. دعونا أيضًا نرسم خطًا $AD$ في المستوى $\beta$، عموديًا على الخط $AC$.
نجد أن الزاوية $BAD$ هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح، وتساوي $90^\circ$. وهذا يعني، حسب التعريف 1، أن الزاوية بين المستويات هي $90^\circ$، مما يعني أن هذه المستويات متعامدة.
لقد تم إثبات النظرية.
النظرية التالية تتبع من هذه النظرية.
النظرية 2
إذا كان المستوى عموديًا على الخط الذي يتقاطع معه مستويان آخران، فإنه يكون أيضًا عموديًا على هذه المستويات.
دليل.
دعونا نحصل على طائرتين $\alpha $ و $\beta $ متقاطعتين على طول الخط المستقيم $c$. المستوى $\gamma $ عمودي على الخط المستقيم $c$ (الشكل 3)
الشكل 3.
نظرًا لأن الخط $c$ ينتمي إلى المستوى $\alpha $ والمستوى $\gamma $ عمودي على الخط $c$، إذن، وفقًا للنظرية 1، يكون المستويان $\alpha $ و $\gamma $ متعامدين.
نظرًا لأن الخط $c$ ينتمي إلى المستوى $\beta $ والمستوى $\gamma $ متعامد مع الخط $c$، إذن، وفقًا للنظرية 1، يكون المستويان $\beta $ و $\gamma $ متعامدين.
لقد تم إثبات النظرية.
ولكل من هذه النظريات، تكون العبارات العكسية صحيحة أيضًا.
مشاكل العينة
مثال 1
دعونا نحصل على متوازي مستطيلات $ABCDA_1B_1C_1D_1$. أوجد جميع أزواج المستويات المتعامدة (الشكل 5).
الشكل 4.
حل.
من خلال تعريف المستطيلات المتوازية والمتعامدة، نرى الأزواج الثمانية التالية من المستويات المتعامدة مع بعضها البعض: $(ABB_1)$ و$(ADD_1)$، $(ABB_1)$ و$(A_1B_1C_1)$، $( ABB_1)$ و$(BCC_1) $ و$(ABB_1)$ و$(ABC)$ و$(DCC_1)$ و$(ADD_1)$ و$(DCC_1)$ و$(A_1B_1C_1)$ و$(DCC_1) $ و$(BCC_1)$، و$(DCC_1)$، و$(ABC)$.
مثال 2
دعونا نحصل على طائرتين متعامدين بشكل متبادل. من نقطة على أحد المستويين يرسم عمودي على مستوي آخر. أثبت أن هذا الخط يقع في المستوى المعطى.
دليل.
دعونا نحصل على مستويين متعامدين $\alpha $ و $\beta $ يتقاطعان على طول الخط المستقيم $c$. من النقطة $A$ للمستوى $\beta $، يتم رسم $AC$ عموديًا على المستوى $\alpha $. لنفترض أن $AC$ لا يقع في المستوى $\beta$ (الشكل 6).
الشكل 5.
خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$. إنه مستطيل بزاوية قائمة $ACB$. ولذلك، $\angle ABC\ne (90)^0$.
لكن من ناحية أخرى، $\angle ABC$ هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح التي تشكلها هذه المستويات. أي أن زاوية ثنائي السطوح التي تشكلها هذه المستويات لا تساوي 90 درجة. نجد أن الزاوية بين الطائرات لا تساوي $90^\circ$. تناقض. لذلك، يقع $AC$ في المستوى $\beta$.
بناء طائرتين متعامدين بشكل متبادل.وكما هو معروف، تكون المستويات متعامدة إذا كان المستقيم الذي ينتمي إلى مستوى ما متعامدًا مع مستوى آخر.ولذلك، يمكن رسم مستوى عمودي على مستوى معين من خلال خط عمودي على مستوى معين، أو عمودي على خط يقع في مستوى معين.
يظهر في الشكل. 4.12 المستويان (مستوى المثلث ABC والمستوى P) متعامدان بشكل متبادل، لأن المستوى P عمودي على الخط المستقيم A1 الواقع في مستوى المثلث. إسقاط المستوى P الذي يمر عبر الخط مع الإسقاطات m 2 n 2، m 1 n 1 وعمودي على المستوى المحدد بالإسقاطات a 2 b 2 c 2، a 1 b 1 c 1 للمثلث يظهر في تين. 4.12.
البناء: 1. ارسم الخطوط الرئيسية للمستوى، C1 - أفقي، C2 - أمامي.
2. من خلال نقطة عشوائية E (تقع خارج المثلث ABC)، ارسم خطًا مستقيمًا EF عموديًا على الخطوط الرئيسية للمستوى (c 2 f 2 عمودي على c 2 2 2 و c 1 f 1 عمودي على 1 1 1).
3. من خلال النقطة N، نرسم خطًا مستقيمًا عشوائيًا EM يتقاطع مع EF، نحصل على مستوى P محدد بخطين مستقيمين متقاطعين (EM X EF).
وبالتالي، فإن المستوى P(ME X EF) متعامد مع المستوى Q(المثلث ABC).
تجدر الإشارة إلى أنه بالنسبة للمستويات المتعامدة في الوضع العام، فإن آثارها التي تحمل الاسم نفسه لا تكون متعامدة أبدًا. لكن إذا كان أحد المستويين المعينين (أو كليهما) مستويًا عامًا، فإن التعامد المتبادل على مخطط زوج واحد من آثارهما يشير إلى تعامد المستويين في الفضاء.
18) يمكن تحديد الخط المستقيم لتقاطع مستويين من خلال النقطتين المشتركتين بينهما. وللقيام بذلك حدد نقاط تقاطع أي خطين مستقيمين لمستوى ما مع مستوى آخر أو نقاط تقاطع خط مستقيم على كل مستوى مع مستوى آخر
تسلسل البناء:
يمكن إيجاد خط تقاطع مستويين باستخدام مستويات القطع المساعدة عند الحل. عادة ما يتم اختيار مستويات الإسقاط (غالبًا أفقية أو أمامية)
حدد مستوى أفقيًا مساعدًا قاطعًا عشوائيًا Ф1؛ فهو يتقاطع مع المستويات المحددة على طول الخطوط المستقيمة (12 و 34) والتي (على p1 تتقاطع عند النقطة k)
المستوى الأفقي القاطع الثاني يتقاطع مع المستويات المعطاة أيضًا على طول الخطوط الأفقية، وهي بدورها تتقاطع عند النقطة E
المستقيم KE هو خط تقاطع مستويات معينة.
دعونا نفكر في حل هذه المشكلة على رسم مسطح.
المرحلة الأولى من الحل لبناء النقطة M، يتم استخدام مستوى إسقاط أفقي - الوسيط (")، والذي يحيط بالجانب AB من المثلث ABC.
المرحلة الثانية من الحل نقوم ببناء خط التقاطع (في الرسم يتم تحديده بالنقطتين 1 و 2) للمستوى الوسيط (") والمستوى DEK.
المرحلة الثالثة من الحل أوجد النقطة M تقاطع الخط 1 - 2 مع الخط AB.
تم العثور على نقطة واحدة M من خط التقاطع المطلوب.
لبناء النقطة N، يتم استخدام مستوى إسقاط أفقي (")، والذي يحيط بالضلع AC للمثلث ABC.
الإنشاءات مشابهة لتلك السابقة.
يتم تحديد الرؤية على المستوى H باستخدام النقطتين المتنافستين أفقياً 4 و 8
تقع النقطة 4 فوق النقطة 8 (4 "و 8")، لذلك على المستوى H، يغطي جزء المثلث DEK، الواقع باتجاه النقطة 4، جزء المثلث ABC، الواقع من خط التقاطع باتجاه النقطة 8. بمساعدة يتم تحديد زوج من النقطتين المتنافستين أماميًا 6 و7 من حيث الرؤية على المستوى V.
تقاطع طائرتين بارزتين أماميًا (؟)
تقاطع مستويين بارزين أفقيا (؟)
19) القطع هو صورة كائن تم تشريحه عقلياً بمستوى أو أكثر، أما التشريح العقلي لجسم فهو يتعلق فقط بهذا القطع ولا يترتب عليه تغيير في صور أخرى لنفس الشيء. يظهر القسم ما يقع في مستوى القطع وما يقع خلفه.
اعتمادًا على عدد المستويات القاطعة، يتم تقسيم القسم إلى:
بسيطة (مع طائرة قطع واحدة)
مجمع (مع عدة طائرات قطع)
اعتمادًا على موضع مستوى القطع بالنسبة لمستوى الإسقاط الأفقي، يتم تقسيم المقاطع إلى:
أفقي - مستوى القطع موازي لمستوى الإسقاط الأفقي
عمودي - مستوى القطع متعامد مع مستوى الإسقاط الأفقي
مائل - مستوى القطع هو زاوية غير مباشرة مع مستوى أفقي =) يسمى القسم الرأسي أماميإذا كان مستوى القطع موازيًا للمستوى الأمامي للإسقاطات. و حساب تعريفيإذا كان مستوى القطع موازيًا للمستوى الجانبي للإسقاطات.
تكون القطع المعقدة طولية إذا تم توجيه مستويات القطع على طول الجسم أو ارتفاعه. والعرضية إذا تم توجيه مستويات القطع بشكل عمودي على طول أو ارتفاع الجسم.
الخطوة - إذا كانت الطائرات القاطعة متوازية مع بعضها البعض
مكسور - إذا تقاطعت مستويات القطع مع بعضها البعض.
تعمل القطع المحلية على الكشف عن البنية الداخلية لجسم ما في مكان منفصل ومحدود. يتم إبراز القسم المحلي في العرض بخط متين ومتموج ورفيع.
تعيين القطع - تتم الإشارة إلى موضع مستوى القطع بخط مقطع مفتوح. يجب ألا تتقاطع حدود البداية والنهاية لخط القسم مع محيط الصورة المقابلة. يجب وضع الأسهم على الخطوط الأولية والنهائية للإشارة إلى اتجاه الرؤية، ويجب وضع الأسهم على مسافة 2...3 ملم من الطرف الخارجي للخط.
بالنسبة للقطع المعقد، يتم أيضًا رسم حدود خط القسم المفتوح عند انحناءات خط القسم.
بالقرب من الأسهم التي تشير إلى اتجاه الرؤية، يتم تطبيق الحروف الكبيرة من الأبجدية الروسية على الجانب الخارجي من الزاوية. يتم تعيين تسميات الحروف بالترتيب الأبجدي دون تكرار أو حذف.
يجب أن يتم وضع علامة على الشق نفسه بنقش مثل A-A
إذا كان المستوى القاطع يتزامن مع مستوى تماثل الكائن، وتم عمل القسم بدلاً من العرض المقابل في اتصال الإسقاط، فبالنسبة للأقسام الأفقية والأمامية والملف الشخصي ليست هناك حاجة لتحديد موضع المستوى القاطع والقطع غير مصحوب بنقش.
إذا كان الخط المحيطي لكائن ما يتزامن مع محور التماثل، فسيتم الإشارة إلى الحد بين العرض والقسم بخط متموج، يتم رسمه بحيث يتم الحفاظ على صورة الحافة.