في متوازي السطوح المستطيل، تكون جميع المقاطع القطرية متساوية. تعريفات متوازية الأضلاع

متوازي السطوح هو منشور قاعدته متوازية الأضلاع. في هذه الحالة، ستكون جميع الحواف متوازي الأضلاع.
يمكن اعتبار كل متوازي سطوح منشورًا بثلاث طرق مختلفة، حيث يمكن اعتبار كل وجهين متقابلين بمثابة قواعد (في الشكل 5، الوجوه ABCD وA"B"C"D"، أو ABA"B" وCDC"D "، أو BCB "C" وADA"D").
الجسم المعني له اثنتا عشرة حافة، أربعة منها متساوية ومتوازية مع بعضها البعض.
النظرية 3 . تتقاطع أقطار متوازي الأضلاع عند نقطة واحدة، وتتوافق مع منتصف كل منهما.
يحتوي ABCDA"B"C"D" (الشكل 5) المتوازي على أربعة أقطار: AC، BD، CA، DB. يجب أن نثبت أن نقطتي المنتصف لأي اثنين منهما، على سبيل المثال AC و BD، متطابقتان. وينتج هذا من حقيقة أن الشكل ABC"D"، الذي له جوانب متساوية ومتوازية AB وC"D"، هو متوازي أضلاع.
التعريف 7 . متوازي السطوح الأيمن هو متوازي سطوح وهو أيضًا منشور مستقيم، أي متوازي سطوح تكون حوافه الجانبية متعامدة مع مستوى القاعدة.
التعريف 8 . متوازي السطوح المستطيل هو متوازي السطوح الأيمن الذي قاعدته مستطيلة. وفي هذه الحالة ستكون جميع وجوهه مستطيلة.
متوازي السطوح المستطيل هو منشور مستقيم، بغض النظر عن أي وجه من وجوهه نتخذه قاعدة، حيث أن كل حرف من أضلاعه متعامد مع الحواف الخارجة من نفس الرأس، وبالتالي سيكون متعامدًا مع مستويات الأوجه المحددة بهذه الحواف. في المقابل، يمكن النظر إلى متوازي السطوح المستقيم، ولكن ليس المستطيل، على أنه منشور قائم بطريقة واحدة فقط.
التعريف 9 . تسمى أطوال الحواف الثلاثة لمتوازي السطوح المستطيل، والتي لا يوجد منها اثنتين متوازيتين مع بعضهما البعض (على سبيل المثال، ثلاث حواف تخرج من نفس الرأس)، بأبعادها. من الواضح أن متوازيي سطوح مستطيلين لهما أبعاد متساوية متساويان لبعضهما البعض.
التعريف 10 .المكعب هو متوازي مستطيلات، أبعاده الثلاثة متساوية، بحيث تكون جميع أوجهه مربعة. مكعبان ضلعاهما متساويان متساويان.
التعريف 11 . يُطلق على متوازي السطوح المائل الذي تكون فيه جميع الحواف متساوية مع بعضها البعض وتكون زوايا جميع الوجوه متساوية أو متكاملة اسم معيني.
جميع وجوه المعين هي معينات متساوية. (بعض البلورات ذات الأهمية الكبيرة لها شكل معيني، على سبيل المثال، بلورات أيسلندا الصاري.) في الشكل المعيني، يمكنك العثور على قمة (وحتى رأسين متقابلين) بحيث تكون جميع الزوايا المجاورة لها متساوية مع بعضها البعض.
النظرية 4 . أقطار متوازي الأضلاع المستطيلة متساوية مع بعضها البعض. مربع القطر يساوي مجموع مربعات الأبعاد الثلاثة.
في متوازي السطوح المستطيل ABCDA"B"C"D" (الشكل 6)، يكون القطران AC" و BD" متساويين، نظرًا لأن الشكل الرباعي ABC"D" مستطيل (الخط المستقيم AB متعامد مع المستوى ECB" C"، حيث تكمن BC") .
بالإضافة إلى ذلك، AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 بناءً على نظرية مربع الوتر. ولكن بناءً على نفس النظرية AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2؛ ومن ثم فإننا يملك:
أكس" 2 = أ ب 2 + أأ" 2 + أ" د" 2 = أ ب 2 + أأ" 2 + أ د 2.

الموضوع 10.3. المتوازي وخصائصه.

تعريف متوازي السطوح. خصائص متوازي السطوح مع البراهين. مكعب

متوازي الأضلاع - نشور زجاجي، وهو أساس متوازي الاضلاع.

أنواع متوازي السطوح

هناك عدة أنواع من متوازيات السطوح:

• مستطيلة متوازية- هذا متوازي السطوح، وجوهه كلها مستطيلة؛
• متوازي السطوح الصحيح- هذا متوازي السطوح وله 4 وجوه جانبية - مستطيلات؛
• متوازي السطوح مائلهو متوازي سطوح جوانبه غير متعامدة مع قاعدتيه.

العناصر الأساسية

يُطلق على وجهين متوازيين ليس لهما حافة مشتركة عكس، ولها حافة مشتركة - مجاور. يسمى رأسان متوازيان لا ينتميان إلى نفس الوجه بالعكس. القطعة المستقيمة يسمى ربط القمم المقابلة انحرافيمتوازي السطوح. تسمى أطوال الحواف الثلاثة لمتوازي السطوح المستطيل ذو الرأس المشترك قياسات.

ملكيات

1. يكون متوازي السطوح متماثلًا حول منتصف قطره.
2. كل قطعة طرفيها تابعان لسطح موازي السطوح ويمران بوسط قطره يقسمانه إلى نصفين؛ على وجه الخصوص، تتقاطع جميع أقطار متوازي السطوح عند نقطة واحدة وتنقسم بها.
3. الأوجه المتقابلة لمتوازي السطوح متوازية ومتساوية.
4. مربع الطول القطري لمتوازي المستطيلات يساوي مجموع مربعات أبعاده الثلاثة.

الصيغ الأساسية

متوازي السطوح الصحيح

مساحة السطح الجانبية S b =P o *h، حيث P o هو محيط القاعدة، h هو الارتفاع

المساحة الإجمالية S p =S b +2S o، حيث S o هي مساحة القاعدة

مقدار V=S o *h

] متوازي المستطيلات

مساحة السطح الجانبية S b =2c(a+b)، حيث a، b هي جوانب القاعدة، c هي الحافة الجانبية لمتوازي المستطيلات

المساحة الإجماليةس ع = 2 (أ ب + ب ج + أس)

مقدار V=abc، حيث a، b، c هي أبعاد متوازي السطوح المستطيل.

إذا كانت قاعدة المنشور متوازي الأضلاع، فإنه يسمى متوازي السطوح. جميع وجوه متوازي السطوح هي متوازيات أضلاع.

الشكل 12، أ) يوضح متوازي السطوح المائل، والشكل 12، ب) يوضح متوازي السطوح المستقيم.

تسمى وجوه متوازي السطوح التي ليس لها رؤوس مشتركة بالعكس.

النظرية 1. الأوجه المقابلة لمتوازي السطوح متوازية ومتساوية.

دليل:دعونا نفكر في بعض الوجهين المتقابلين لمتوازي السطوح، على سبيل المثال و (الشكل 13). بما أن جميع وجوه متوازي الأضلاع هي متوازيات أضلاع، فإن الخط المستقيم يوازي خطًا مستقيمًا، والخط المستقيم يوازي خطًا مستقيمًا. ويترتب على ذلك أن مستويات الوجوه قيد النظر متوازية.

النص النصي للدرس:

النظر في هذه العناصر:

طوب البناء، النرد، فرن الميكروويف. هذه الأشياء متحدة بالشكل.

سطح يتكون من متوازيي أضلاع متساويين ABCD وA1B1C1D1

وأربعة متوازيات أضلاع AA1B1B وBB1C1C، СС1D1D، AA1D1D تسمى متوازي السطوح.

تسمى متوازيات الأضلاع التي تشكل متوازي السطوح الوجوه. الوجه А1В1С1D1. الحافة ВВ1С1С. حافة ABCD.

في هذه الحالة، غالبًا ما يُطلق على الوجوه ABCD وA1B1C1D1 اسم القواعد، أما الوجوه المتبقية فهي جانبية.

تسمى جوانب متوازيات الأضلاع بحواف متوازي الأضلاع. الضلع A1B1. ضلع CC1. ضلع م.

الحافة CC1 لا تنتمي إلى القواعد، بل تسمى الحافة الجانبية.

تسمى رؤوس متوازيات الأضلاع رؤوس متوازي الأضلاع.

فيرتكس D1. فيرشينا ب. فيرشينا إس.

القمم D1 و B

لا تنتمي إلى نفس الوجه وتسمى عكس ذلك.

يمكن تصوير متوازي السطوح بطرق مختلفة

متوازي السطوح يوجد في قاعدته المعين، وصور الوجوه متوازية الأضلاع.

متوازي السطوح يوجد في قاعدته مربع. يتم تصوير الحواف غير المرئية AA1، AB، AD بخطوط متقطعة.

متوازي السطوح يوجد في قاعدته مربع

متوازي السطوح يوجد في قاعدته مستطيل أو متوازي أضلاع

متوازي السطوح مع كل الوجوه مربعة. في كثير من الأحيان يطلق عليه مكعب.

جميع متوازيات السطوح لها خصائص. دعونا صياغة وإثباتها.

الخاصية 1. الأوجه المتقابلة لمتوازي السطوح متوازية ومتساوية.

دعونا نفكر في المتوازي ABCDA1B1C1D1 ونثبت، على سبيل المثال، التوازي والمساواة بين الوجوه BB1C1C وAA1D1D.

حسب تعريف متوازي الأضلاع، فإن الوجه ABCD هو متوازي أضلاع، مما يعني، من خلال خاصية متوازي الأضلاع، أن الحافة BC موازية للحافة AD.

الوجه ABB1A1 هو أيضًا متوازي أضلاع، مما يعني أن الحافتين BB1 وAA1 متوازيتان.

وهذا يعني أن الخطين المستقيمين المتقاطعين BC وBB1 لمستوى واحد، على التوالي، موازيان لخطين مستقيمين AD وAA1، على التوالي، لمستوى آخر، مما يعني أن المستويين ABB1A1 وBCC1D1 متوازيان.

جميع وجوه متوازي السطوح هي متوازيات أضلاع، مما يعني BC = AD، BB1 = AA1.

في هذه الحالة، تكون جوانب الزاويتين B1BC وA1AD في اتجاه مشترك على التوالي، مما يعني أنهما متساويتان.

وبالتالي، فإن الضلعين المتجاورين والزاوية بينهما من متوازي الأضلاع ABB1A1 يساويان على التوالي الضلعين المتجاورين والزاوية بينهما من متوازي الأضلاع BCC1D1، مما يعني أن متوازيات الأضلاع هذه متساوية.

يمتلك متوازي السطوح أيضًا خاصية حول الأقطار. قطر متوازي السطوح هو الجزء الذي يربط القمم غير المتجاورة. يوضح الخط المنقط في الرسم الأقطار B1D، BD1، A1C.

لذا، الخاصية 2. تتقاطع أقطار متوازي السطوح عند نقطة واحدة وتنقسم إلى نصفين عند نقطة التقاطع.

لإثبات الخاصية، فكر في الشكل الرباعي BB1D1D. أقطارها B1D، BD1 هي أقطار متوازي السطوح ABCDA1B1C1D1.

في الخاصية الأولى وجدنا أن الحافة BB1 متوازية وتساوي الحافة AA1، أما الحافة AA1 فهي متوازية وتساوي الحافة DD1. ولذلك فإن الضلعين BB1 و DD1 متوازيان ومتساويان، مما يثبت أن الشكل الرباعي BB1D1D متوازي الأضلاع. وفي متوازي الأضلاع، وفقًا للخاصية، تتقاطع الأقطار B1D، BD1 عند نقطة ما وتنقسم إلى نصفين بهذه النقطة.

الشكل الرباعي BC1D1A هو أيضًا متوازي أضلاع وتتقاطع أقطاره C1A عند نقطة واحدة وتنقسم إلى هذه النقطة. أقطار متوازي الأضلاع C1A، ВD1 هي أقطار متوازي الأضلاع، مما يعني أن الخاصية المصاغة قد تم إثباتها.

لتعزيز المعرفة النظرية حول متوازي السطوح، فكر في مشكلة الإثبات.

تم تحديد النقاط L,M,N,P على حواف متوازي السطوح بحيث BL=CM=A1N=D1P. أثبت أن ALMDNB1C1P متوازي السطوح.

الوجه BB1A1A هو متوازي أضلاع، مما يعني أن الحافة BB1 متساوية وموازية للحافة AA1، ولكن حسب الشرط، فإن القطعتين BL و A1N، مما يعني أن القطعتين LB1 و NA متساويتان ومتوازيتان.

3) ولذلك فإن الشكل الرباعي LB1NA هو متوازي أضلاع.

4) بما أن CC1D1D متوازي أضلاع، فهذا يعني أن الحافة CC1 تساوي الحافة D1D وموازية لها، وCM تساوي D1P بالشرط، مما يعني أن القطع MC1 وDP متساوية ومتوازية

ولذلك، فإن الشكل الرباعي MC1PD هو أيضًا متوازي أضلاع.

5) الزاويتان LB1N و MC1P متساويتان كزوايا ذات ضلعين متوازيين ومتماثلين على التوالي.

6) وجدنا أن متوازي الأضلاع و MC1PD لهما أضلاع متناظرة متساوية والزوايا بينهما متساوية، مما يعني أن متوازيات الأضلاع متساوية.

7) القطع متساوية حسب الشرط، مما يعني أن BLMC متوازي أضلاع والضلع BC موازي للضلع LM موازي للضلع B1C1.

8) وبالمثل، من متوازي الأضلاع NA1D1P، يترتب على ذلك أن الضلع A1D1 موازي للضلع NP وموازي للضلع AD.

9) الأوجه المتقابلة ABB1A1 و DCC1D1 لمتوازي السطوح متوازيتان في الخاصية، وقطاعات الخطوط المستقيمة المتوازية المحصورة بين المستويات المتوازية متساوية، مما يعني أن القطع B1C1، LM، AD، NP متساوية.

لقد وجد أنه في الأشكال الرباعية ANPD، NB1C1P، LB1C1M، ALMD، يكون الضلعان متوازيين ومتساويين، مما يعني أنهما متوازيان أضلاع. إذًا يتكون سطحنا ALMDNB1C1P من ستة متوازيات أضلاع، اثنان منها متساويان، وهو بحكم التعريف متوازي أضلاع.

تعريف

متعدد السطوحسنسميه سطحًا مغلقًا يتكون من مضلعات ويحد جزءًا معينًا من الفضاء.

تسمى الأجزاء التي تمثل جوانب هذه المضلعات ضلوعمتعدد السطوح، والمضلعات نفسها حواف. تسمى رؤوس المضلعات رؤوس متعددة السطوح.

سننظر فقط في متعددات الوجوه المحدبة (هذا متعدد الوجوه يقع على جانب واحد من كل مستوى يحتوي على وجهه).

المضلعات التي تشكل متعدد السطوح تشكل سطحه. يُطلق على الجزء من الفضاء الذي يحده متعدد السطوح اسم الجزء الداخلي منه.

التعريف: المنشور

خذ بعين الاعتبار مضلعين متساويين \(A_1A_2A_3...A_n\) و \(B_1B_2B_3...B_n\) يقعان في مستويات متوازية بحيث تكون المقاطع \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)موازي. متعدد الوجوه مكون من المضلعات \(A_1A_2A_3...A_n\) و \(B_1B_2B_3...B_n\) بالإضافة إلى متوازيات الأضلاع \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)، يسمى (\(n\)-gonal) نشور زجاجي.

المضلعات \(A_1A_2A_3...A_n\) و \(B_1B_2B_3...B_n\) تسمى قواعد المنشور، متوازيات الأضلاع \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)- الوجوه الجانبية والقطاعات \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- الأضلاع الجانبية.
وبذلك تكون الحواف الجانبية للمنشور متوازية ومتساوية مع بعضها البعض.

دعونا نلقي نظرة على مثال - المنشور \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\)، في قاعدتها يوجد خماسي محدب.

ارتفاعالمنشور هو سقوط عمودي من أي نقطة من قاعدة واحدة إلى مستوى قاعدة أخرى.

إذا لم تكن الحواف الجانبية متعامدة مع القاعدة، فسيتم استدعاء هذا المنشور يميل(الشكل 1)، وإلا – مستقيم. في المنشور المستقيم، تكون الحواف الجانبية ارتفاعات، والأوجه الجانبية مستطيلات متساوية.

إذا كان المضلع المنتظم يقع عند قاعدة منشور مستقيم، يسمى المنشور صحيح.

التعريف: مفهوم الحجم

وحدة قياس الحجم هي مكعب وحدة (مكعب يقيس \(1\times1\times1\) وحدات\(^3\)، حيث الوحدة هي وحدة قياس معينة).

يمكننا القول إن حجم متعدد السطوح هو مقدار المساحة التي يحدها هذا متعدد السطوح. بخلاف ذلك: هذه كمية توضح قيمتها العددية عدد المرات التي يتناسب فيها مكعب الوحدة وأجزائه مع متعدد السطوح المحدد.

الحجم له نفس خصائص المساحة:

1. أحجام الأشكال المتساوية متساوية.

2. إذا كان متعدد الوجوه يتكون من عدة متعددات وجوه غير متقاطعة، فإن حجمه يساوي مجموع أحجام هذه متعددات الوجوه.

3. الحجم كمية غير سالبة.

4. يتم قياس الحجم بـ cm\(^3\) (سنتيمتر مكعب)، m\(^3\) (متر مكعب)، إلخ.

نظرية

1. مساحة السطح الجانبي للمنشور تساوي ناتج محيط القاعدة وارتفاع المنشور.
مساحة السطح الجانبية هي مجموع مساحات الوجوه الجانبية للمنشور.

2. حجم المنشور يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة وارتفاع المنشور: \

التعريف: متوازي

متوازي الأضلاعهو منشور ذو متوازي أضلاع في قاعدته.

جميع وجوه متوازي الأضلاع (هناك \(6\) : \(4\) وجوه جانبية و\(2\) قواعد) هي متوازيات أضلاع، والأوجه المقابلة (موازية لبعضها البعض) هي متوازيات أضلاع متساوية (الشكل 2) .

قطري متوازي السطوحهو القطعة التي تصل بين رأسين لمتوازي سطوح لا يقعان على وجه واحد (يوجد منها \(8\)): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\)إلخ.).

مستطيلة متوازيةهو متوازي سطوح قائم وفي قاعدته مستطيل.
لأن وبما أن هذا متوازي سطوح قائم، فإن الأوجه الجانبية مستطيلة. وهذا يعني أن جميع وجوه متوازي السطوح المستطيل هي بشكل عام مستطيلات.

جميع أقطار متوازي السطوح المستطيل متساوية (وهذا يتبع من مساواة المثلثات \(\مثلث ACC_1=\مثلث AA_1C=\مثلث BDD_1=\مثلث BB_1D\)إلخ.).

تعليق

وبالتالي، فإن متوازي السطوح لديه كل خصائص المنشور.

نظرية

مساحة السطح الجانبية لمتوازي السطوح المستطيل هي \

المساحة الإجمالية لمتوازي السطوح المستطيل هي \

نظرية

حجم المكعب يساوي حاصل ضرب حوافه الثلاثة الخارجة من قمة واحدة (ثلاثة أبعاد للمكعب): \

دليل

لأن في متوازي السطوح المستطيل، تكون الحواف الجانبية متعامدة مع القاعدة، فهي أيضًا ارتفاعاتها، أي \(h=AA_1=c\) لأن القاعدة مستطيلة إذن \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). ومن هنا تأتي هذه الصيغة.

نظرية

تم إيجاد القطر \(d\) لمتوازي السطوح المستطيل باستخدام الصيغة (حيث \(a,b,c\) هي أبعاد متوازي السطوح) \

دليل

دعونا ننظر إلى الشكل. 3. لأن القاعدة مستطيلة، إذن \(\triangle ABD\) مستطيلة، وبالتالي، وفقًا لنظرية فيثاغورس \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

لأن جميع الحواف الجانبية متعامدة مع القواعد \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)عمودي على أي خط مستقيم في هذا المستوى، أي. \(BB_1\perp BD\) . وهذا يعني أن \(\المثلث BB_1D\) مستطيل. ثم بنظرية فيثاغورس \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\)، ث.

التعريف: مكعب

مكعبهو مستطيل متوازي الأضلاع، جميع وجوهه مربعات متساوية.

وبالتالي فإن الأبعاد الثلاثة متساوية مع بعضها البعض: \(a=b=c\) . لذا فإن ما يلي صحيح

نظريات

1. حجم المكعب ذو الحافة \(a\) يساوي \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. تم العثور على قطري المكعب باستخدام الصيغة \(d=a\sqrt3\) .

3. إجمالي مساحة سطح المكعب \(S_(\text(مكعب كامل))=6a^2\).